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丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A 卷）（答案在最后）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合{}Z 3A x x =∈<，则（）A.2A ∈B.3A ∈C.0A∉ D.A∅∈2.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B .“22,4x x ∀≥<”C.“22,4x x ∃<<”D .“224x x ∃≥<,”3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x=- B.2y x = C.3y x = D.1y x=-4.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c>，则a b > D.若a b >，则22a b >5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，则(4)f 等于（）A.2B.2- C. D.46.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个8.若指数函数()x f x a =的图像与射线350x y -+=（1x - ）相交，则（）A.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C.1,1(1,)2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.10,(1,)2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.2|4y x x =-B.24y x =-C.22||y x x =-+D.22y x x=-+10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，L ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12362n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A .10B.11C.12D.13第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()31f x x x =+-的定义域为__________.12.求值：()1130227438π-⎛⎫---= ⎪⎝⎭________．13.当3x >时，则43y x x =+-的最小值为______，当y 取得最小值时x 的值为______．14.写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）15.函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合{}{}14,123A x x B x m x m =-≤≤=-<<-.（1）若4m =，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.17.已知函数1,0()2,0xx x f x x -+≤⎧=⎨>⎩.（1）求1((2f f -的值；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x 的单调区间；（3）若()8f x ≤，求x 的取值范围.18.已知函数1()4f x x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数()f x 在区间1[,)2+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数(),0,()5,0,(),0,f x xg x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）19.已知函数2()(31)3f x ax a x =-++，R a ∈．（1）若()0f x <的解集是{}|1x x k <<，求函数()f x 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集．20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.21.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ；（2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一数学（A 卷）第I 卷（选择题共40分）一、选择题：本部分共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，选出最符合题意的一项.1.已知集合{}Z 3A x x =∈<，则（）A.2A ∈B.3A ∈C.0A ∉D.A∅∈【答案】A 【解析】【分析】根据元素与集合的关系即可求解.【详解】因为{}Z 3A x x =∈<，所以3,0A A ∉∈，而∅是集合，与A 的关系不应该是属于关系，而应该是包含关系.故选:A2.命题“22,4x x ∀≥≥”的否定为（）A.“22,4x x ∀≤≥”B.“22,4x x ∀≥<”C.“22,4x x ∃<<”D.“224x x ∃≥<,”【答案】D 【解析】【分析】根据给定条件，利用含有一个量词的否定求解作答.【详解】命题“22,4x x ∀≥≥”是全称量词命题，其否定是存在量词命题，所以命题“22,4x x ∀≥≥”的否定是：224x x ∃≥<,.故选：D3.下列函数中，既是偶函数又在()0,∞+上单调递增的是（）A.y x =-B.2y x =C.3y x =D.1y x=-【答案】B 【解析】【分析】根据函数的奇偶性、单调性确定正确答案.【详解】函数3y x =和函数1y x=-是奇函数，不符合题意，CD 选项错误.函数,0,0x x y x x x -≥⎧=-=⎨<⎩是偶函数，且在()0,∞+上递减，不符合题意，A 选项错误.函数2y x =是偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意，B 选项正确.故选：B4.下列说法正确的是（）A.若a b >，则22ac bc >B.若a b >，则12a b -<-C.若22a b c c>，则a b > D.若a b >，则22a b >【答案】C 【解析】【分析】根据不等式的性质可判断A ，B ，C ；举反例可判断D.【详解】对于A ，当0c =时，则a b >时，22ac bc =，A 错误；对于B ，若a b >，则112a b b ->->-，B 错误；对于C ，若22a bc c>，则0c ≠，即20c >，故a b >，C 正确；对于D ，若a b >，不妨取若12a b =->=-，则22a b <，D 错误，故选：C5.已知幂函数()y f x =的图象经过点，则(4)f 等于（）A.2B.2- C.D.4【答案】A 【解析】【分析】由幂函数所过的点求得()f x =，进而求(4)f .【详解】令()a f x x =，则1(2)22af a ===，则()f x =所以(4)2f ==.故选：A6.设x ∈R ，则“20x -≥”是“11x +≤”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】首先求出不等式的解集，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可.【详解】解：由20x -≥，解得2x ≤，由11x +≤，即111x -≤+≤，解得20x -≤≤，又[]2,0-(],2-∞，由20x -≥推不出11x +≤，故充分不成立，由11x +≤推得出20x -≥，即必要性成立，所以“20x -≥”是“11x +≤”的必要不充分条件.故选：B7.设M ＝{x |0≤x ≤2}，N ＝{y |0≤y ≤2}，给出下列四个图形，其中能表示从集合M 到集合N 的函数关系的有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】B 【解析】【分析】利用函数的定义域与函数的值域以及函数的定义，判断选项即可．【详解】对于①，x ＝2时，在N 中无元素与之对应，不满足任意性，故①错误；对于②，同时满足任意性与唯一性，故②正确；对于③，x ＝2时，对应元素y ＝3∉N ，不满足任意性，故③错误；对于④，x ＝1时，在N 中有两个元素与之对应，不满足唯一性，故④错误.故选：B.【点睛】本题考查函数的概念以及函数的定义域以及值域的应用，是基础题．8.若指数函数()x f x a =的图像与射线350x y -+=（1x - ）相交，则（）A.10,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B.1,12a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭C.1,1(1,)2a ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭D.10,(1,)2a ⎛⎤∈⋃+∞ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】【分析】分1a >和01a <<两种情况结合指数函数的图象，射线的端点进行分析求解即可【详解】当=1x -时，代入射线得2y =，若01a <<，指数函数()x f x a =的图象过第一、二象限，且单调递减，要使指数函数的图象与射线有交点，则当=1x -时，12y a -=≥，所以102a <≤，若1a >，则可知两图象在第一象限一定有交点，综上，102a <≤或1a >，故选：D9.如下图，一个“心形”由两个函数的图象构成，则“心形”上部分的函数解析式可能为（）A.|y x =B.y =C.y =D.y =【答案】C 【解析】【分析】根据心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，排除部分选项，再根据函数的最大值判断.【详解】由函数图象知：“心形”上部分的函数图象关于y 轴对称，而y =，y =满足；||y x =的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，2222x y +=≤=，当且仅当x =，即x =y =的图象过（0，0），（-2，0），（2，0），当02x <<时，1y ==≤，当1x =时，函数取得最大值1，符合要求；故选：C10.设集合A 的最大元素为M ，最小元素为m ，记A 的特征值为A X M m =-，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知1A ，2A ，3A ，L ，n A 是集合*N 的元素个数均不相同的非空真子集，且12362n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=，则n 的最大值为（）A.10 B.11C.12D.13【答案】B 【解析】【分析】根据题意保证各集合中n A X M m =-尽量小，结合已知和集合的性质有n 最大时()12312n A A A A n n X X X X -+++⋅⋅⋅+=，进而分析n 的取值即可.【详解】由题意1A ，2A ，3A ，L ，n A 中都至少有一个元素，且元素个数互不相同，要使n 最大，则各集合中n A X M m =-尽量小，所以集合1A ，2A ，3A ，L ，n A 中的元素个数尽量少且数值尽可能连续，所以，不妨设10A X =，21A X =，32A X =，L ，1n A X n =-，则有()12312nA A A A n n X X X X -+++⋅⋅⋅+=，当11n =时，1235562n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=<，当12n =时，1236662n A A A A X X X X +++⋅⋅⋅+=>，所以只需在11n =时，在上述特征值取最小的情况下，使其中一个集合的特征值增加7即可，故n 的最大值为11.故选：B.第Ⅱ卷（非选择题共110分）二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分.11.函数1()1f x x =-的定义域为__________.【答案】[3,1)(1,)-⋃+∞【解析】【分析】由函数解析式，结合根式、分式的性质求定义域.【详解】由题设30310x x x +≥⎧⇒≥-⎨-≠⎩且1x ≠，所以函数定义域为[3,1)(1,)-⋃+∞.故答案为：[3,1)(1,)-⋃+∞12.求值：()1130227438π-⎛⎫---= ⎪⎝⎭________．【答案】2-【解析】【分析】结合指数幂的运算化简整理即可求出结果.【详解】()1130227438π-⎛⎫--- ⎪⎝⎭()1313223212-⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦13212-=--13122=--2=-，故答案为：2-.13.当3x >时，则43y x x =+-的最小值为______，当y 取得最小值时x 的值为______．【答案】①.7②.5【解析】【分析】通过函数解析式的配凑，即可利用基本不等式可求解【详解】因为44=3343733y x x x x =+-++≥+=--，当43=3x x --时等号成立，此时5x =故y 最小值为7,当y 取得最小值时x 的值为5，故答案为：7,5.14.写出一个使得命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是假命题的实数a 的值__________．（写出一个a 的值即可）【答案】1-【解析】【分析】根据题意，假设命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，根据不等式恒成立，分类讨论当0a =和0a ≠时两种情况，从而得出实数a 的取值范围，再根据补集得出命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题时a 的取值范围，即可得出满足题意的a 的值.【详解】解：若命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，则当0a =时成立，当0a ≠时有2Δ4120a a a >⎧⎨=-<⎩，解得：0<<3a ，所以当03a ≤<时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”是真命题，所以当(,0)[3,)a ∈-∞+∞ 时，命题“2,230x R ax ax ∀∈-+>恒成立”为假命题，故答案为：1-.（答案不唯一，只需(,0)[3,)a ∈-∞+∞ ）15.函数()f x 的定义域为R ，且x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，给出下列四个结论：①(0)1f =或1-；②()f x 一定不是偶函数；③若()0f x >，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则()f x 在(0,)+∞上单调递增；④若()f x 有最大值，则()f x 一定有最小值．其中，所有正确结论的序号是______________．【答案】①③【解析】【分析】根据所给性质直接计算可判断①，取特殊函数判断②，利用函数的单调性定义判断③，取特殊函数判断④.【详解】因为x ∀∈R ，都有1()()f x f x -=，所以1(0)(0)f f =，即(0)1f =或1-，故①正确；不妨取()1f x =，则1()1()f x f x -==，即()()f x f x -=恒成立，所以()f x 是偶函数，故②错误；设12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，则210x x -<-<，所以21()()f x f x -<-，即21110()()f x f x <<，所以12()()f x f x <，即()f x 在(0,)+∞上单调递增，故③正确；不妨取,0()1,01,0x x f x x x x⎧⎪<⎪==⎨⎪⎪->⎩，则满足1()()f x f x -=，函数有最大值1，但是无最小值，故④错误.故答案为：①③三、解答题：本题共6小题,共85分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.16.已知集合{}{}14,123A x x B x m x m =-≤≤=-<<-.（1）若4m =，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，求实数m 的取值范围.【答案】（1）()()R ,14,A ∞∞=--+ ð，(]3,4A B = ，[)1,5A B =- （2）7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】【分析】（1）若4m =，代入集合B ，由补集交集并集的定义，求R ,,A A B A B ⋂⋃ð；（2）若B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种类型，求实数m 的取值范围.【小问1详解】4m =时，{}35B x x =<<，又{}14A x x =-≤≤，()()R ,14,A ∞∞=--+ ð，(]3,4A B = ，[)1,5A B =- .【小问2详解】当B A ⊆时，当B =∅时，则123m m -≥-，得2m ≤满足题意当B ≠∅时，则12323411m m m m -<-⎧⎪-≤⎨⎪-≥-⎩，解得722<≤m 综上：实数m 的取值范围是7,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦17.已知函数1,0()2,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩.（1）求1((2f f -的值；（2）画出函数()f x 的图象，根据图象写出函数()f x的单调区间；（3）若()8f x ≤，求x 的取值范围.【答案】（1）322（2）作图见解析，减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+（3）[]7,3-【解析】【分析】（1）根据分段函数代入求值；（2）直接作出函数的大致图象并写出单调区间；（3）对x 分段讨论，代入相应的解析式求解不等式.【小问1详解】由1,0()2,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩得3211313(1,(())()222222f f f f -=+=-==.【小问2详解】()1,02,0x x x f x x -+≤⎧=⎨>⎩，所以()f x的图象如下图所示，由图可知,()f x 的减区间为(),0∞-，增区间为()0,∞+.【小问3详解】由()8f x ≤可得018x x ≤⎧⎨-+≤⎩或028x x >⎧⎨≤⎩，解得70x -≤≤或03x <≤，所以x 的取值范围是[]7,3-.18.已知函数1()4f x x x =+．（1）判断函数()f x 的奇偶性，并证明你的结论；（2）判断函数()f x 在区间1[,)2+∞上的单调性，并用单调性定义证明；（3）已知函数(),0,()5,0,(),0,f x xg x x f x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，求实数t 的取值范围.（只需写出答案）【答案】（1）奇函数，证明见解析（2）单调递增，证明见解析（3）1[0,4【解析】【分析】（1）利用奇函数定义证明；（2）根据单调性定义证明；（3）作出()g x 的图象，观察图象得答案.【小问1详解】函数1()4f x x x=+为奇函数.证明：定义域{}|0x x ≠，因为{}|0x x x ∀∈≠，都有{}|0x x x -∈≠，且11()4()(4)()()f x x x f x x x -=-+=-+=--，所以函数1()4f x x x=+为奇函数.【小问2详解】函数()f x 在区间1[,)2+∞上单调递增.任取121,[,)2x x ∈+∞，1212x x ≤<，则()()21212111(4(4)f x f x x x x x -=+-+()2121124x x x x x x -=--()12211241x x x x x x -=-⋅因为210x x ->,120x x >，12410x x ->，所以()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x 在区间1[,)2+∞上单调递增.【小问3详解】t 的范围10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦，理由如下：14,0,()5,0,14,0,x x x g x x x x x ⎧+>⎪⎪⎪==⎨⎪⎛⎫⎪-+< ⎪⎪⎝⎭⎩先证明函数()f x 在区间1(0,2上单调递减.任取121,(0,]2x x ∈，12102x x ≤<<，则()()()1221211241x x f x f x x x x x --=-⋅，因为210x x ->，120x x >，12410x x -<，所以()()210f x f x -<，即()()21f x f x <，所以函数()f x 在区间1(0,2上单调递减.根据()f x 的单调性与奇偶性可以作出()g x的图象如下：计算可知：11()()544g g =-=，由图可知，当1[,]4x t ∈-时，()g x 的值域为[5,)+∞，t 的取值范围为1[0,]4.19.已知函数2()(31)3f x ax a x =-++，R a ∈．（1）若()0f x <的解集是{}|1x x k <<，求函数()f x 的零点；（2）求不等式()0f x >的解集．【答案】19.1和3；20.答案见解析.【解析】【分析】（1）根据题意确定1是2(31)3=0ax a x -++的一个根，从而求出1a =，进而求解()0f x =即可；（2）先讨论当0a =时求解不等式，在0a ≠时求得方程(1)(3)0ax x --=的两根为1,3a，再比较两根大小，分类讨论求解不等式即可.【小问1详解】因为()0f x <的解集是{}|1x x k <<，所以1是2(31)30ax a x -++=的一个根，所以(31)30a a -++=，解得1a =，所以2()43f x x x =-+.令2()430f x x x =-+=，解得1213x x ==，，所以()f x 的零点为1和3.【小问2详解】因为()0f x >，即2(31)30ax a x -++>，所以(1)(3)0ax x -->，当0a =时，30x -+>，解得3x <；当0a ≠时，方程(1)(3)0ax x --=的两根为121,3x x a==，当a<0时，()y f x =开口向下，且13a<，解得13x a <<；当103a <<时，()y f x =开口向上，且13a>，解得3x <或1x a >；当13a =时，()y f x =开口向上，且13a=，解得3x ≠；当13a >时，()y f x =开口向上，且13a <，解得1x a<或3x >；综上所述，当0a =时，解集为{}|3x x <；当a<0时，解集为1|3x x a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭；当103a <<时，解集为1|3x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或；当13a =时，解集为{}|3x x ≠；当13a >时，解集为1|3x x x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或.20.因新冠肺炎疫情影响，呼吸机成为紧缺商品，某呼吸机生产企业为了提高产品的产量，投入90万元安装了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前(N )n n +∈年的材料费、维修费、人工工资等共为（2552n n +）万元，每年的销售收入55万元.设使用该设备前n 年的总盈利额为()f n 万元.（1）写出()f n 关于n 的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；（2）使用若干年后，对该设备处理的方案有两种：案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以10万元的价格处理；方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以50万元的价格处理；问哪种方案处理较为合理？并说明理由.【答案】（1）25()50902f n n n =-+-，3年；（2）第二种方案更合适，理由见解析.【解析】【分析】（1）利用n 年的销售收入减去成本，求得()f n 的表达式，由()0f n >，解一元二次不等式求得从第3年开始盈利.（2）方案一：利用配方法求得总盈利额的最大值，进而求得总利润；方案二：利用基本不等式求得6n =时年平均利润额达到最大值，进而求得总利润.比较两个方案获利情况，作出合理的处理方案.【详解】（1）由题意得：2255()5590(5)509022f n n n n n n =--+=-+-由()0f n >得25509002n n -+->即220360n n -+<，解得218n <<由N n +∈，设备企业从第3年开始盈利（2）方案一总盈利额25()(10)1602f n n =--+，当10n =时，max ()160f n =故方案一共总利润16010170+=，此时10n =方案二：每年平均利润()536550()502022f n n n n =-+-⨯=≤，当且仅当6n =时等号成立故方案二总利润62050170⨯+=，此时6n =比较两种方案，获利都是170万元，但由于第一种方案只需要10年，而第二种方案需要6年，故选择第二种方案更合适.【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，考查基本不等式求最值，属于中档题.21.对于函数()f x ，若()00f x x =，则称0x 为()f x 的“不动点”；若()00f f x x =⎡⎤⎣⎦，则称0x 为()f x 的“稳定点”．函数()f x 的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A 和B ，即(){}A x f x x ==，(){}B x f f x x ⎡⎤==⎣⎦．（1）设函数()34=+f x x ，求集合A 和B ；（2）求证：A B ⊆；（3）设函数()()20f x ax bx c a =++≠，且A =∅，求证：B =∅．【答案】（1）{}2A B ==-（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）当()34=+f x x 时，直接解方程()f x x =、()f f x x ⎡⎤=⎣⎦，可得出集合A 、B ；（2）分A =∅、A ≠∅两种情况讨论，第一种情况直接验证即可；在第二种情况下，任取0x A ∈，由“稳定点”和“不动点”的定义证得0x B ∈，即可得出结论；（3）分0a >、a<0两种情况讨论，在第一种情况下，推导出()f x x >，结合不等式的基本性质可得出()f f x x >⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅；在第二种情况下，推导出()f x x <，结合不等式的基本性质可得出()f f x x <⎡⎤⎣⎦，从而得出B =∅.综合可证得结论成立.【小问1详解】解：由()34f x x x =+=，可得2x =-，即{}2A =-，由()()3344916f f x x x x =++=+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =-，即{}2B =-.故当()34=+f x x 时，{}2A B ==-.【小问2详解】证明：当A =∅，则A B ⊆成立，若A ≠∅，对任意的0x A ∈，()00f x x =，则()()000f f x f x x ==⎡⎤⎣⎦，所以，0x B ∈，因此，A B ⊆.综上所述，A B ⊆.【小问3详解】证明：因为A =∅，则关于x 的方程()20ax bx c x a ++=≠无实解，即方程()210ax b x c +-+=无实解，则()2140b ac ∆=--<，构造函数()()21g x ax b x c =+-+，①当0a >时，函数()g x 的图象恒在x 轴上方，即对任意的x ∈R ，则()f x x >恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤>>⎣⎦，即()0f f x x ->⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅；②当a<0时，函数()g x 的图象恒在x 轴下方，即对任意的x ∈R ，则()f x x <恒成立，则()()f f x f x x ⎡⎤<<⎣⎦，即()0f f x x -<⎡⎤⎣⎦恒成立，即B =∅.综上所述，当A =∅时，B =∅.【点睛】关键点点睛：在证明第三问时，要注意分0a >、a<0两种情况分析，确定()f x 与x 之间的大小关系，进而可得出()f f x ⎡⎤⎣⎦与x 的大小，从而证出结论成立.。
丰台区2023-2024学年度第一学期期中练习高一语文（A）练习时间：150分钟2023.11本练习共13页，150分。
考试时长150分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
一、本大题共5小题，共18分。
阅读下面的两则材料，完成1－5题。
材料一从基层上看去，中国社会是乡土性的。
那些被称为土头土脑的乡下人，他们才是中国社会的基层。
我们说乡下人土气，虽则似乎带着几分藐视的意味，但这个土字却用得很好。
土字的基本意义是指泥土。
乡下人离不了泥土，因为在乡下住，种地是最普通的谋生办法。
以现在的情形来说，这片大陆上最大多数的人是拖泥带水下田讨生活的了。
我们不妨缩小一些范围来看，三条大河的流域已经全是农业区。
而且，据说凡是从这个农业老家里迁移到四围边地上去的子弟，也老是很忠实地守着这直接向土里去讨生活的传统。
最近我遇着一位到内蒙旅行回来的美国朋友，他很奇怪的问我：你们中原的乡下人去了，到了这最适宜于放牧的草原，依旧锄地播种，一家家划着小小的一方地，种植起来，真像是向土里一钻，看不到其他利用这片地的方法了。
我记得我的老师史禄国先生也告诉过我，远在西伯利亚，中国的乡下人住下了，不管天气如何，还是要下些种子，试试看能不能种地。
直接靠农业来谋生的人是粘着在土地上的。
我遇见过一位在张北一带研究语言的朋友。
我问他说在这一带的语言中有没有受蒙古语的影响。
他摇了摇头，不但语言上看不出什么影响，其他方面也很少。
他接着说：“村子里几百年来老是这几个姓，我从墓碑上去重构每家的家谱，清清楚楚的，一直到现在还是那些人。
乡村里的人口似乎是附着在土上的，一代一代的下去，不太有变动。
”——这结论自然应当加以条件的，但是大体上说，这是乡土社会的特性之一。
我们很可以相信，以农为生的人，世代定居是常态，迁移是变态。
大旱大水，连年兵乱，可以使一部分农民抛井离乡；即使像抗战这样大事件所引起基层人口的流动，我相信还是微乎其微的。
不流动是从人和空间的关系上说的，从人和人在空间的排列关系上说就是孤立和隔膜。
北京十四中2020-2021学年度第一学期期中检测高三数学测试卷注意事项：1.本试卷共4页，共21道小题，满分150分.考试时间120分钟.2.在答题卡上指定位置贴好条形码，或填涂考号.3.试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效.4.在答题卡上，选择题用2B 铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答.5.答题不得使用任何涂改工具.一、选择题（本题共40分，每小题4分，每个题目只有一个选项正确）1. 已知全集U 是实数集R ，右边的韦恩图表示集合{}2M x x =与{}|13N x x =<<的关系，那么阴影部分所表示的集合可能为（ ）A. {}|2x x <B. {}|12x x <<C. {}|3x x >D. {}|1x x ≤【答案】D 【解析】阴影部分表示的集合为()UMN ，由题{}|1M N x x ⋃=>，所以(){}|1UM N x x ⋃=≤，故选择D.2. 已知向量()()()12,02,1,a b c λ==-=-,,，若()2//a b c -，则实数λ=（ ） A. -3 B.13C. 1D. 3【答案】A 【解析】【详解】向量()()12,02a b ==-,,，则()22,6a b -=，若()2//a b c -，则有26λ=-，所以3λ=-.故选：A.3. 函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象如图所示，则ω=（ ）A14B.2π C.4π D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的图象，求得函数的最小正周期，结合三角函数周期的公式，即可求解. 【详解】由题意，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>的一段图象，可得2114T=-=，所以4T =， 又由24w π=，解得2w π=. 故选：B.4. 已知函数()log a f x x =，()x g x b =，的图像都经过点1(,2)4，则ab 的值为 A. 1 B. 2C. 4D. 8【答案】D 【解析】 【分析】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x ，的图象都经过点124⎛⎫ ⎪⎝⎭，，可得14a log =2，14b =2，解得a ，b即可得出．【详解】函数f （x ）=log a x ，g （x ）=b x，的图象都经过点124⎛⎫⎪⎝⎭，，∴14alog =2，14b =2，解得a=12，b=16．则ab=8． 故选D ．【点睛】本题考查了函数的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 5. 下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞上单调递增的是（ ） A. 3y x =-B. 12y x =C. ||2x y =D.3log ()y x =-【答案】C 【解析】 【分析】对每一个选项中的函数，先求定义域，若定义域关于原点对称，再观察是否满足()()f x f x =-，再根据初等函数的单调性判断在(0,)+∞上是否单调递增，可得出选项.【详解】A 项，对于函数3y x =-，定义域为R ，关于原点对称，()33()()f x x x f x -=--==-，所以函数3y x =-是奇函数，故A 项错误；B 项，对于函数12y x =，定义域为(0,)+∞，定义域不关于原点对称，所以函数12y x =为非奇非偶函数，故B 项错误；C 项，对于函数||2x y =，定义域为R ，关于原点对称，2()()2x x g x g x --===，所以函数2x y =为偶函数，当0x >时，22x x y ==，利用指数函数知，函数2xy =在区间(0,)+∞上为增函数，故C 正确；D 项，对于函数3log ()y x =-，定义域为(,0)-∞，定义域不关于原点对称，所以函数3log ()y x =-是非奇非偶函数，故D 项错误；故选：C .6. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，13(*)n n a a n +=+∈N ，则n S 取最小值时，n 的值是（ ）．A. 3B. 4C. 5D. 6【答案】B 【解析】分析：求出等差数列{}n a 的通项公式，()()111031313n a a n d n n =+-=-+-=-，利用3130n -≥，从而可得当4n =时，n S 取最小值.详解：在数列{}n a 中，由13n n a a +=+，得()13*n n a a n N +-=∈， ∴数列{}n a 是公差为3的等差数列．又110a =-，∴数列{}n a 是公差为3的递增等差数列． 由()()1110313130n a a n d n n =+-=-+-=-≥，解得133n ≥． ∵*n N ∈，∴数列{}n a 中从第五项开始为正值． ∴当4n =时，n S 取最小值． 故选B ．点睛：求等差数列前n 项和的最大值的方法通常有两种：①将前n 项和表示成关于n 的二次函数，n S 2An Bn =+，当2B n A =-时有最大值（若2B n A=-不是整数，n 等于离它较近的一个或两个整数时n S 最大）；②可根据0n a ≥且10n a +≤确定n S 最大时的n 值. 7. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）A. 2 5 C. 3D. 22【答案】C 【解析】【分析】由三视图知该几何体是一条侧棱与底面垂直的四棱锥,由三视图求出几何元素的长度､判断出位置关系,由直观图求出该四棱锥最长棱【详解】根据三视图可知几何体是一个四棱锥,底面是一个直角梯形,AD ⊥AB ､AD //BC ,AD =AB =2､BC =1, P A ⊥底面ABCD ,且P A =2, ∴该四棱锥最长的棱长为222222213PA AC PC +=++=,故答案为:3.【点睛】本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力,属于难题.三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型,也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键,不但要注意三视图的三要素“高平齐,长对正,宽相等”,还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响.8. 已知P 是边长为2的正六边形ABCDEF 内的一点，则AP AB ⋅ 的取值范围是（ ） A. ()2,6- B. (6,2)- C. (2,4)- D. (4,6)-【答案】A 【解析】 【分析】首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-，利用向量数量积的定义式，求得结果.【详解】AB 的模为2，根据正六边形的特征，可以得到AP 在AB 方向上的投影的取值范围是(1,3)-， 结合向量数量积的定义式，可知AP AB ⋅等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积， 所以AP AB ⋅的取值范围是()2,6-， 故选：A.【点睛】该题以正六边形为载体，考查有关平面向量数量积的取值范围，涉及到的知识点有向量数量积的定义式，属于简单题目. 9. 已知数列{}n a 的通项公式为n aa n n=+，则“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】由数列{}n a 单调递增，化简得到2a n n <+，再由2t n n =+的单调性求得a 的范围，然后再由充分条件，必要条件的定义判断. 【详解】若数列{}n a 单调递增 则11a a n n n n++>++， 化简得2a n n <+，令221124t n n n ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭在[1,)+∞上递增， 所以2a <，所以“1a ≤”是“数列{}n a 单调递增”的充分不必要条件， 故选：A10. 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多⋅达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗浮宫博物馆.该油画规格为：纵77cm ，横53cm .油画挂在墙壁上的最低点处B 离地面237cm (如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T 到眼睛C 的距离为15cm )，设该游客离墙距离为xcm ，视角为θ.为使观赏视角θ最大，x 应为（ ）A 77 B. 80 C. 100D. 772【答案】D 【解析】 【分析】 设ACD α，BCD β，则θαβ=-，利用两角差的正切公式用x 表示出θ，再根据对勾函数的单调性求解．【详解】解：过C 作CD AB ⊥于D ，设ACD α，BCD β，则θαβ=-，则2371751577BD（cm ），7777154AD （cm ），∴154tan AD CD xα，77tan BD CDxβ， ∴tan θ=tan αβtan tan 1tan tan αβαβ15477154771x xx x7711858xx， ∴当且仅当11858x x即772x 时，tan θ有最大值，此时θ也最大，故选：D ．【点睛】本题主要考查两角差的正切公式的应用，考查对勾函数的单调性与最值，属于中档题．二、填空题（本题共25分，每小题5分）11. 角θ的终边经过点(1,P ，则sin 6πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭____________.【答案】12- 【解析】 【分析】利用正弦函数定义求得sin θ，再由正弦函数两角和的公式计算 【详解】由题意sin θ=1cos 2θ=，所以，1sin cos 622πθθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭311442=-+=-， 故答案为：12-12. 已知AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，则AE AC=______． 【答案】12【解析】 【分析】由已知可知，AE =AB BE +=12AC ，代入即可求解AE AC． 【详解】AB ，AC 是不共线的两个向量，BE =12AC AB -，∴AE =AB BE +=12AC ， 则AEAC =12AC AC=12， 故答案为12． 【点睛】本题主要考查了向量的基本运算，属于基础试题． 13. 函数22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，满足()01f x >的0x 的取值范围是____________. 【答案】()()102-+∞，，． 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式得出不等式组00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解之可得答案．【详解】因为22,0()3,0x x f x x x +<⎧=⎨->⎩，()01f x >，所以00+210x x >⎧⎨<⎩或20031>0x x ⎧->⎨⎩，解得10x 或0>2x ，所以0x 的取值范围是()()102-+∞，，． 故答案为：()()102-+∞，，． 14. 在ABC ∆中，3,4,AB AC ==若ABC∆的面积为则BC 边的长度为______.【解析】 【分析】利用三角形的面积公式，求得角A ，再利用余弦定理，即可求解BC 边的长度，得到答案. 【详解】由题意，在ABC ∆中，3AB =，4AC=，且面积为所以11sin 34sin 22AB AC A A ⋅=⨯⨯=sin A =，又因为(0,)A π∈，所以3A π=或23A π=， 当3A π=时，1cos 2A =， 由余弦定理，可得222212cos 34234132BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯=； 当23A π=时，1cos 2A =-，由余弦定理，可得222212cos 34234()372BC AB AC AB AC A =+-⋅=+-⨯⨯⨯-=，综上，BC 边的长度为13或37.【点睛】本题主要考查了余弦定理和三角形的面积公式的应用，其中在解有关三角形的题目时，要抓住题设条件和利用某个定理的信息，合理应用正弦定理和余弦定理求解是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.15. 给定函数y ＝f (x )，设集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}．若对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，则称函数f (x )具有性质P ．给出下列三个函数：①1y x =；②12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③y ＝lgx ．其中，具有性质P 的函数的序号是_____． 【答案】①③ 【解析】 【分析】A 即为函数的定义域，B即为函数的值域，求出每个函数的定义域及值域，直接判断即可．【详解】对①，A ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，B ＝ (﹣∞，0)∪ (0，+∞)，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ；对②，A ＝R ，B ＝ (0，+∞)，当x ＞0时，不存在y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即不具有性质P ； 对③，A ＝ (0，+∞)，B ＝R ，显然对于∀x ∈A ，∃y ∈B ，使得x +y ＝0成立，即具有性质P ； 故答案为：①③．【点睛】本题以新定义为载体，旨在考查函数的定义域及值域，属于基础题．三、解答题（本题共85分）16. 已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足111a b ==，2410a a +=，245b b a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若12381n a a a a +++⋅⋅⋅+=，求n ； （3）求和：13521n b b b b -+++⋅⋅⋅+.【答案】（1）21n a n =-；（2）9n =；（3）312n -【解析】 【分析】（1）利用11a =，2410a a +=，求得数列{}n a 的公差，从而求得{}n a 的通项公式； （2）利用等差数列求和公式即可求得.（3）利用245b b a =，59a =，求得239b =，由等比数列性质知33b =，即23q =，知数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列，利用等比数列求和公式即可求得. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由题可得：24332105a a a a +==⇒=，又11a =，解得112a d =⎧⎨=⎩ ，()1–121n a a n d n ∴=+=-（2）利用等差数列求和可知2123(121)2n n n a a a a n +-+++⋅⋅⋅+==，即281n =，解得：9n =或9n =-（舍去）9n ∴=（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，又2243b b b =，59a =，即239b =，又22310b b q q ==>，解得：33b =或33b =-（舍去）即23q =，所以数列{}21n b -是首项为1，公比为3的等比数列135211(13)31132n n n b b b b -⨯--∴+++⋅⋅⋅+==- 17. 已知函数()21()2cos 1sin 2cos 42=-+f x x x x . （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 的最大和最小值以及相应的x 的取值；（3）若,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，且()f α=，求α的值.【答案】（1）2π；（2）函数()f x ，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x 的最小值为2-，此时3+,162k x k Z ππ=-∈；（3）3148πα=或4748π． 【解析】 【分析】（1）化简函数解析式为最简形式，利用公式求出周期 （2）根据正弦的性质可求得函数最值和相应的x 的取值； （3）根据限定范围和正弦函数的取值可求得答案． 【详解】（1），因为()()212cos 1sin 2cos 42f x x x x =-+1cos 2sin 2cos 42x x x =+()sin 124cos4x x +=)24x π=+，所以()f x )24x π=+， 所以()f x 的最小正周期为242ππ=，（2）由（1）得()f x sin(4)24x π=+，所以当sin(4)14x π+=时，函数()f x 的最大值为2，此时4+2,42x k k Z πππ+=∈，即+,162k x k Z ππ=∈；当sin(4)14x π+=-时，函数()f x 的最小值为，此时4+2,42x k k Z πππ+=-∈，即3+,162k x k Z ππ=-∈；所以函数()f x，此时+,162k x k Z ππ=∈；函数()f x的最小值为，此时3+,162k x k Z ππ=-∈； （3）因为(,)2παπ∈，所以9174(,)444πππα+∈.因为()f α=，所以()sin(4)244f παα=+=，即1sin(4)42πα+=. 所以17446ππα+=或256π，故3148πα=或4748π. 18. 已知函数()2()(2,)xf x x ax a e a x R =++≤∈. （1）当1a =时，求()f x 的单调区间；（2）是否存在实数a ，使()f x 的极大值为3；若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-． 【解析】 【分析】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，求导，分析导函数取得正负的区间，从而得出函数()f x 的单调区间；（2）求导，分2a =和2a <两种情况得出导函数的正负，得出函数()f x 的单调性，从而得函数的极大值，建立方程，解之可得答案．【详解】（1）当1a =时，()2()1xf x x x e =++，所以()()()'2()3212x x f x e x x e x x =++=++，令'()0f x =，得1x =-或2-，所以当2x <-或>1x -时，'()>0f x ；当21x -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()1，-+∞上单调递增，在()21--，上单调递减；（2）存在，243a e =-，理由如下：()()()'2()2+22x xf x e x a x a e x a x ⎡⎤=++=++⎣⎦，令'()0f x =，得x a =-或2-， 因为2,a ≤所以2,a -≥-所以当2a =时，'()>0f x 恒成立，所以()f x 在R 上单调递增，此时函数()f x 不存在极值，所以2a ≠；当2a <时，>2a --，所以当2x <-或>x a -时，'()>0f x ；当2x a -<<-时，'()0f x <，所以()f x 在()2-∞-，和()a -+∞，上单调递增，在()2a --，上单调递减， 所以函数()f x 在2x =-时，取得极大值，所以()23f -=，即()2(2)243f a a e --=+=-，解得2432a e =-<，所以存在，243a e =-，使()f x 的极大值为3．【点睛】利用导函数研究函数的单调性，极值，最值等问题时，关键在于分析出导函数取得正负的区间，如果有参数，需讨论参数的范围，使之能确定导函数取得正负的区间． 19. 在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △为等边三角形，AB AD12CD ，AB AD ⊥，//AB CD ，点M 是PC 的中点.（1）求证：//MB 平面P AD ； （2）求二面角P BC D --的余弦值；（3）在线段PB 上是否存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ？若存在，请求出PNPB的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（215（3）在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ． 【解析】【分析】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ，推导出四边形ABMH 为平行四边形，由此能证明BM ∥平面P AD ．（2）取AD 中点O ，连结PO ，以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P ﹣BC ﹣D 的余弦值． （3）设点N （x ，y ，z ），且 [],0,1PNPBλλ=∈，利用向量法求出在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【详解】（1）取PD 中点H ，连结MH ，AH ．因为 M 为PC 中点，所以 1//,2HM CD HM CD =． 因为1//,2AB CD AB CD =，所以AB ∥HM 且AB =HM ．所以四边形ABMH 为平行四边形， 所以BM ∥AH ．因为 BM ⊄平面P AD ，AH ⊂平面P AD ，所以BM ∥平面P AD ． （2）取AD 中点O ，连结PO ．因为P A =PD ，所以PO ⊥AD ．因为平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD =AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD ． 取BC 中点K ，连结OK ，则OK ∥AB ．以O 为原点，如图建立空间直角坐标系，设AB =2，则()()()()(1,0,0,1,2,0,1,4,0,1,0,0,A B C D P --，(2,2,0),(1,2,BC PB =-=，则平面BCD的法向量(0,0OP =，设平面PBC 的法向量(,,)n x y z =，由00BC n PB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得22020.x y x y -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩令1x =，则(1,1,3)n =．cos ,||||3OP n OP n OP n ⋅<>===⨯由图可知，二面角P ﹣BC ﹣D 是锐二面角， 所以二面角P ﹣BC ﹣D （3）在线段PB 上是不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．设点(,,)N x y z ，且[],0,1PNPBλλ=∈，则PN PB λ=，所以()(,,3)1,2,3x y z λ-=-．则233.x y z λλλ⎧=⎪=⎨⎪=-⎩，所以(,2,33)N λλλ-，(+1,233)DN λλλ=-，． 若 DN ⊥平面PBC ，则//DN n ， 即33123λλλ-+==，此方程无解， 所以在线段PB 上不存在点N ，使得DN ⊥平面PBC ．【点睛】在解决线段上是否存在点，使得满足线面平行或线面垂直等条件的问题，常常采用向量的线性表示，运用λ法，设出点的坐标，表示已知条件，求解方程的解，得出结论． 20. 已知函数()(1)(21)x f x axe a x =-+-.（1）若1a =，求函数()f x 的图像在点(0,(0))f 处的切线方程； （2）当0x >时，函数()0f x ≥恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）32y x =-+（Ⅱ）11a e ≥-． 【解析】试题分析：（1）求出()'4xxf x xe e =+-,求出()0f 的值可得切点坐标，求出()'0f 的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程；（2）首先根据首先()10f ≥，初步判断101a e ≥>-，再证明()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1，且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，函数()f x 的最小值为()()()0000121x f x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221xa e a x +=+，代入上式即可证明.试题解析：（Ⅰ）若1a =，则()()221xf x xe x =--，当0x =时，()2f x =，()'4xxf x xe e =+-，当0x =时，()'3f x =-， 所以所求切线方程为32y x =-+ （Ⅱ）由条件可得，首先()10f ≥，得101a e ≥>-， 而()()()'121xf x a x e a =+-+，令其为()h x ，()()'2xh x a x e =+恒为正数，所以()h x 即()'f x 单调递增，而()'020f a =--<，()'12220f ea a =--≥，所以()'f x 存在唯一根0x ∈ (]0,1， 且函数()f x 在()00,x 上单调递减，在()0x +∞上单调递增，所以函数()f x 的最小值为()()()0000121xf x ax e a x =-+-，只需()00f x ≥即可，又0x 满足()00221x a e a x +=+，代入上式可得()()()200001211a x x f x x +-++=+(]00,1x ∈ 200210x x ∴-++≥,即：()00f x ≥恒成立，所以11a e ≥-． 21. 已知任意的正整数n 都可唯一表示为1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，其中01a =，12,,a a ,{0,1}k a ⋅⋅⋅∈，*k N ∈.对于*n N ∈，数列{}n b 满足：当01,,,k a a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0n b =；否则1n b =，如数5可以唯一表示为2105120212=⨯+⨯+⨯，则50b =. （1）写出数列{}n b 的前8项；（2）求证：数列{}n b 中连续为1的项不超过2项；（3）记数列{}n b 的前n 项和为n S ，求满足1026n S =的所有n 的值.（结论不要求证明）【答案】（1）1,1,0,1,0,0,1,1； （2）证明见解析； （3）2051n =或2052n =.. 【解析】 【分析】（1）由题意，1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，实际根是将十进制的转化为二进制的数，即可得到答案；（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由1001222k k k m a a a -=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，分01a =且12,,,k a a a 中无0和当01a =且12,,,k a a a 中有0，两种情况，即可证明； （3）由（2），即可求得n 的值.【详解】（1）由1100112222k k k k n a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，根据数列{}n b 满足：当01,,,ka a a ⋅⋅⋅中有偶数个1时，0nb =；否则1n b =， 所以数列{}n b 的前8项为1,1,0,1,0,0,1,1.（2）设数列{}n b 中某段连续为1的项从m b 开始，则1m b =，由题意，令1100112222k k k k m a a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，则12,,,k a a a 中有奇数个1，当01a =且12,,,k a a a 中无0时，因为1102222k k m -=++⋅⋅⋅++，所以110112020202k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，110212020212k k m ++=⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯+⨯，所以121,1,0m m m b b b ++===，此时连续2项为1， 当01a =且12,,,k a a a 中有0时，①若0k a =，则11001122202k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅， 则11001122212k k k m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅，因为12,,,k a a a 中有奇数个1，所以10m b +=，此时连续I 项为1.②若1k a =，即1101122202k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ， 则1101122212k k sk m a a a --=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+连续s 个乘以2i ，11011222202k k sk m a a a --+=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+110020212(1)02s is -⨯++⨯+⨯-连续个乘以（其中i N ∈），如果s 为奇数，那么120,0m m b b ++==，此时连续2项为1， 如果s 为偶数，那么10m b +=，此时仅有1项为1m b =， 综上所述，连续为1的项不超过2项.（3）由（2）可得，满足1026n S =，可得2051n =或2052n =. 【点睛】有关数列新定义问题特点与解题思路：1、新定义数列问题的特点：通过给出一个新的数列的概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设新的问题情景，要求再阅读理解的基础上，依据他们提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的；2、新定义问题的解题思路：遇到新定义问题时，认真分析定定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使问题得以解决.。
参照秘密级管理★启用前试卷类型：A2021级高三上学期期中校际联合考试数学试题考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束，将试题卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合{}31A x x =-<<，{}24B x x =-<≤，则7A B = （）A.{}32x x -<<-B.{}21x x -<<C.{}14x x << D.{}34x x -<≤2.已知复数z 满足()()2i 2i 5z +-=，则z 的共轭复数z =（）A.2i +B.2i- C.2i-+ D.2i--3.以点(),02k k π⎛⎫∈⎪⎝⎭Z 为对称中心的函数是（）A.sin y x =B.cos y x= C.tan y x= D.tan y x=4.在ABC △中，点M 是边AC 上靠近点A 的三等分点，点N 是BC 的中点，若MN xAB y AC =+，则x y +=（）A.1B.23C.23-D.-15.函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则函数()y f x =的图象可能是（）A. B.C. D.6.已知1a ，2a ，3a ，4a ，5a 成等比数列，且2和8为其中的两项，则5a 的最小值为（）A.-64B.-16C.164D.1167.在足球比赛中，球员在对方球门前的不同的位置起脚射门对球门的威胁是不同的，出球点对球门的张角越大，射门的命中率就越高.如图为室内5人制足球场示意图，设球场（矩形）长BC 为40米，宽AB 为20米，球门长PQ 为4米且AQ BP =.在某场比赛中有一位球员欲在边线BC 上某点M 处射门（假设球贴地直线运行），为使得命中率最高，则BM 大约为（）A.8米B.9米C.10米D.11米8.已知正方体每条棱所在直线与平面α所成角相等，平面α截此正方体所得截面边数最多时，截面的面积为S ，周长为l ，则（）A.S 不为定值，l 为定值B.S 为定值，l 不为定值C.S 与l 均为定值D.S 与l 均不为定值二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
百师联盟2021届高三一轮复习联考（三）全国卷I理科数学试卷（考试时间120分钟，满分150分）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合P ＝{x|x 2－1>0}，Q ＝{x|x －2≥0}，则P ∪Q 为（ ）A.{x|x ≥2}B.{x|x<－1或x ≥2}C.{x|x<－1或x>1}D.R2.已知复数z ＝21i i，则z ·z 的值（ ） A.0 B.2i C.2 D.13.cos50°cos10°－sin50°sin170°＝（ ）A.cos40°B.sin40°C.12D.24.已知m 2≥3，则直线y ＝mx 与圆x 2＋y 2＝1的位置关系为（ ）A.相切B.相离C.相交或相切D.相交5.函数f(x)＝xe x的图象在点(1，f(1))处的切线方程为（ ） A.y ＝x ＋e －1 B.y ＝e C.y ＝x －e －1 D.x ＝e6.将函数f(x)＝sinx 的图象上各点横坐标变为原来的12，纵坐标不变，再将所得图象向左平移3π个单位，得到函数g(x)的图象，则函数g(x)的解析式为（ ） A.g(x)＝sin(12x ＋3π) B.g(x)＝sin(12x ＋23π) C.g(x)＝sin(2x ＋3π) D.g(x)＝sin(2x ＋23π) 7.已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则(3＋1a )(1＋2b)的最小值为（ ） A.14＋46 B.25 C.24 D.1238.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，其中a 3＝52，S 4＝14，则当S n 取得最大值时n 的值为（ ） A.4或5 B.3或4 C.4 D.39.已知α∈(2π，π)，且cos(α－4π)＝35，则tan α＝（ ） A.－7 B.－17 C.－7或－17 D.－7或17 10.如图所示，某旅游景区的B ，C 景点相距2km ，测得观光塔AD 的塔底D 在景点B 的北偏东45°，在景点C 的北偏西60°方向上，在景点B 处测得塔顶A 的仰角为45°，现有游客甲从景点B 沿直线去往景点C ，则沿途中观察塔顶A 的最大仰角的正切值为(塔底大小和游客身高忽略不计)（ ）2 B.22C.1D.32 11.设有穷数列{a n }的前n 项和为S n ，令T n ＝12n s s s n++⋅⋅⋅+，称T n 为数列a 1，a 2，…，a n 的“凯森和”，已知数列a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为4042，那么数列－1，a 1，a 2，…，a 2020的“凯森和”为（ ）A.4036B.4037C.4038D.403912.已知a，b满足0<a<b<e，则a b＋ln aa与b a＋ln bb的大小关系为（）A.a b＋ln aa>b a＋ln bbB.a b＋ln aa＝b a＋ln bbC.a b＋ln aa<b a＋ln bbD.不能确定二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
北京市海淀区2021届高三上学期期中考试考数学试题第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1. 已知集合{|30}A x x =-≤，{0,2,4}B =，则A B =（ ）A. {0，2}B. {0，2，4}C. {}3x x ≤D. {}03x x ≤≤【答案】A【解析】集合{|30}{|3}A x x x x =-≤=≤，{0,2,4}B =，则A B ={}0,2故选：A.2. 已知向量(,2)a m =，(2,1)b =-. 若//a b ，则m 的值为（ ） A. 4 B. 1C. -4D. -1【答案】C【解析】因为//a b ，所以40m --=，解得4m =- 故选：C.3. 命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为（ ） A. 0x ∃>，使得21x < B. 0x ∃≤，使得21x ≥ C. 0x ∀>，都有21x < D. 0x ∀≤，都有21x <【答案】C【解析】命题“0x ∃>，使得21x ≥”的否定为“0x ∀>，都有21x <” 故选：C4. 设a ，b R ∈，且0a b <<，则（ ）A.11a b< B.b a a b> C.2a b+> D.2b a a b+> 【答案】D 【解析】0a b <<，11a b∴>，故A 错；0a b <<，22a b∴>，即220,0b a ab -<>，可得220b a b a a b ab --=<，b a a b ∴<，故B 错；0a b <<，02a b +∴<0>，则2a b+<，故C 错；0a b <<，0,0b a a b ∴>>，2b a a b +>=，等号取不到，故D 正确；故选：D.5. 下列函数中，是偶函数且在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ） A. 2ln y x = B. 3||y x =C. 1y x x=-D. cos y x =【答案】B 【解析】对于A ，2ln y x =的定义域为(0,)+∞，故不是偶函数，故A 错误；对于B ，()3f x x =的定义域为R ，关于原点对称，且()()33f x x x f x -=-==，∴3y x =是偶函数，且根据幂函数的性质可得在(0,)+∞上为增函数，故B 正确；对于C ，()1f x x x=-的定义域为{}0x x ≠，关于原点对称，且()()11f x x x f x x x ⎛⎫-=--=--=- ⎪-⎝⎭，故1y x x =-是奇函数，故C 错误； 对于D ，cos y x =在(0,)+∞有增有减，故D 错误. 故选：B.6. 已知函数()ln 4f x x x =+-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是（ ） A. （0，1） B. （1，2）C. （2，3）D. （3，4） 【答案】C【解析】函数()ln 4f x x x =+-，是增函数且为连续函数， 又f （2）ln2240=+-<，f （3）ln3340=+->，可得()()230f f <所以函数()ln 4f x x x =+-包含零点的区间是(2,3)． 故选：C ．7. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1(),2,3,n n S a n ==，则2020a =（ ）A. 0B. 1C. 2020D. 2021【答案】A【解析】当1n =时，11a S =，当2n ≥时，11n n n n n a S S a a --=-=-， 所以10n a -=，即1220200a a a ==⋅⋅⋅==， 故选：A.8. 已知函数sin()y A x ωϕ=+的部分图象如图所示，将该函数的图象向左平移()0t t >个单位长度，得到函数()y f x =的图象若函数()y f x =为奇函数，则t 的最小值是（ ）A.12πB.6π C.4π D.3π 【答案】B【解析】由图象可得6x π=时，函数sin()y A x ωϕ=+的函数值为0，即()6k k Z ωπϕπ+=∈，()6k k Z ωπϕπ∴=-+∈，sin()6y A x k ωπωπ∴=-+，将此函数向左平移()0t t >个单位得，()sin ()6f x A x t k ωπωπ⎡⎤=+-+⎢⎥⎣⎦，又因为()f x 为奇函数，11()6t k k k Z ωπωππ∴-+=∈，11(,)6k kt k Z k Z ππω-∴=+∈∈，因为0t >min 6t π∴=．故选：B ．9. 设x ，y 是实数，则“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】】若“01x <<，且01y <<”,则01xy <<，2222log log log log 10x y xy +=<=， 所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分条件；若22log log 0x y +<，则2222log log log log 10x y xy +=<=，可得01xy <<，但得不出“01x <<，且01y <<”，如116x =，2y =可得22log log 0x y +<，所以 22log log 0x y +<得不出“01x <<，且01y <<”，所以“01x <<，且01y <<”是“22log log 0x y +<充分不必要条件； 故选：A.10. 对于函数()f x ﹐若集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有k 个元素，则称函数()f x 是“k 阶准偶函数”.若函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则a 的取值范围是（ ） A. (),0-∞ B. [)0,2C. [)0,4D. [)2,4【答案】B【解析】根据题意，函数21,()2,xx af x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩是“2阶准偶函数”，则集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素.当0a <时，函数21,()2,xx a f x x x a ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩有一段部分为2,y x x a =>，注意的函数2y x 本身具有偶函数性质，故集合()(){}0,x x f x f x >=-中不止有两个元素，矛盾，当0a >时，根据“2阶准偶函数”的定义得()f x 的可能取值为2x 或12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，故当122xx ⎛⎫= ⎪⎝⎭，该方程无解，当22x x =，解得2x =或4x =，故要使得集合()(){}0,x x f x f x >=-中恰有2个元素，则需要满足2a <，即02a <<；当0a =时，函数21,0()2,0xx f x x x ⎧⎛⎫≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪>⎩，()f x 的取值为2x ，()f x -为122-⎛⎫= ⎪⎝⎭xx ，根据题意得22x x =满足恰有两个元素，故0a =满足条件. 综上，实数a 的取值范围是[)0,2. 故选：B.第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11. 若复数(1)z i i =+，则||z = _______.【解析】由题意得：2(1)1z i i i i i =+=+=-+，所以z ==12. 已知tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan α=________. 【答案】-3.【解析】因为tan 24πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以tan 12tan 31tan ααα-=⇒=-+．13. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若19a =，公差2d =-，则n S 的最大值为_______. 【答案】25 【解析】19a =，2d =-，912112na n n令0n a ≥，解得112n ≤，又*n N ∈，则15n ≤≤ n S 的最大值为554592252S故答案为：25.14. 在边长为2的正三角形ABC 中，M 是BC 的中点，D 是线段AM 的中点. ①若BD xBA yBC =+，则x y +=_______； ②BD BM ⋅= _______.【答案】 (1). 34(2). 1 【解析】①M 是BC 的中点，∴12BMBC ， D 是AM 的中点，∴11112224BD BA BM BA BC =+=+， 12x ∴=，14y =，故34x y +=． ②ABC ∆是边长为2的正三角形，M 是BC 的中点，AM BC ∴⊥，且1BM =，∴2cos 1BD BM BD BM DBM BM ⋅=⋅⋅∠==．故答案：34，1．15. 唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导.如图，某桨轮船的子的半径为3m ，它以1rad/s 的角速度逆时针旋转.轮子外边沿有一点P ，点P 到船底的距离是H （单位：m ），轮子旋转时间为t （单位：s ）. 当0t =时，点P 在轮子的最高点处.①当点P 第一次入水时，t =__________；②当t t =0时，函数()H t 的瞬时变化率取得最大值，则0t 的最小值是________. 【答案】 (1).23π (2). 32π【解析】（1）当0t =时，点P 在轮子最高点处，由图可知，轮船距离船底1m ，半径3m ，设为r ，则cos 13cos 4,0H r t r t t =++=+≥，当点P 第一次入水时，水面高 2.5m ，即2.5H =，代入3cos 4H t =+得，1cos 2t =-，第一次入水即在满足1cos 2t =-的情况下满足现实条件0t ≥后可取的最小值，23t π=（2）瞬时变化率取得最大值，即'()H t 最大，'()3sin H t t =-，当3sin 3t -=时，瞬时变化率取得最大值，此时，0t 的最小值为32π 故答案为：①23π；②32π三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC 中，sin 2sin B C =，3cos 4A =.（1）若△ABC ，求c 的值； （2）求ac的值. 解：（1）由正弦定理得：sin sin b cB C=. 因为sin 2sin B C =，所以2b c =.因为3cos4A=，0Aπ<<，所以27sin1cosA A=-=，因为S=211sin2sin22S bc A c A==⨯⨯=，所以24c=，所以2c=；（2）由（1）知2b c=，因为3cos4A=，所以222222232cos4424a b c bc A c c c c=+-=+-⨯=，所以a=，所以ac=17. 已知等差数列{}n a满足59a=，3922a a+=.（1）求{}n a的通项公式；（2）等比数列{}n b的前n项和为n S，且11b a=，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中任选择两个作为已知条件，求满足2020nS<的n的最大值.条件①：312b a a=+；条件②：37S=；条件③：1n nb b+>.解：（1）设等差数列{}n a的公差为d，则()11na a n d+-=，因为59a=，3922a a+=，所以1492102ta da d+=⎧⎨+=⎩，解得：112ad=⎧⎨=⎩所以21na n=-；（2）（I）选择①②设等比数列{}n b的公比为q，因为11b a=，312b a a=+，所以11b=，34b=，因为37S=，所以23132b S b b=--=，所以212b q b ==，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -≤， 所以10n ≤，即n 的最大值为10. （II ）选择①③设等比数列{}n b 的公比为q ， 因为11b a =，312b a a =+， 所以11b =，34b =，所以2314b q b ==，2q =±， 因为1n n b b +>，所以2q，所以1(1)211n n n b q S q-==--， 因为2020n S <，所以212020n -<， 所以10n ≤.即n 的最大值为10. 选择②③设等比数列{}n b 的公比为q 因为37S =，11b =， 所以217q q ++=. 所以2q，或3q =-.因为1n n b b +>，所以2q.所以1(1)211n n n b q S q-==-- 因为2020n S <，所以212020n -< 所以10n ≤.即n 的最大值为10.18. 已知函数2()(23)x f x e x x =-. （1）求不等式()0f x >的解集；（2）求函数()f x 在区间[0,2]上的最大值和最小值. 解：（1）因为0x e >，由()2(0)23xf x e x x =->，得2230x x ->.所以0x <或32x >. 所以不等式()0f x >的解集为{|x 0x <或32x ⎫>⎬⎭； （2）由()223()xf x e x x =-得：2()(23)x f x e x x '=+-()()231xex x =+-.令()0f x '=，得1x =，或32x =-（舍）. ()f x 与()f x '在区间[0，2]上的情况如下：所以当1x =时，()f x 取得最小值()1f e =-； 当2x =时，()f x 取得最大值()222f e =.19. 已知函数π()2sin 6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求()f x 的单调递减区间；（2）设π()()6g x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭. 当[0,]x m ∈时，()g x 的取值范围为0,2⎡⎣，求m 的最大值.解：（1）令322262πππk πx k π+≤+≤+，k Z ∈. 所以42233ππk πx k π+≤≤+，()k Z ∈.所以函数()f x 的单调递减区间42,2()33k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. （2）()()4sin sin 66g x f x f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭14cos sin 2x x x ⎫=+⎪⎝⎭22cos sin x x x =+cos2)sin 2x x =-+2sin 23x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭因为0x m ≤≤， 所以22333x m πππ-≤-≤-.因为()g x 的取值范围为0,2⎡+⎣，所以sin 23x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的取值范围为2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦所以42233m πππ≤-≤. 解得：55126m ππ≤≤. 所以m 的最大值为56π.20. 已知三次函数32()324f x ax ax a =-++.（1）当1a =-时，求曲线()y f x =在点(3,(3))f 处的切线方程； （2）若函数()f x 在区间(,3)a a +上具有单调性，求a 的取值范围； （3）当0a >时，若122x x +>，求12()()f x f x +的取值范围.解：由()32324f x ax ax a =-++可得：2()363(2)f x ax ax ax x '=-=-（1）当1a =-时，(3)2f =-，(3)9f '=-.所以曲线( )y f x =在点()()3,3f 处的切线方程为925y x =-+.（2）由已知可得0a ≠①当0a >时，令()0f x '=得0x =，22x =.()f x 与()f x '在区间(),-∞+∞_上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性，所以2a ≥.②当0a <时，()f x 与()'f x 在区间(),-∞+∞上的情况如下：因为()f x 在(),3a a +上具有单调性， 所以30a +≤，即3a ≤-. 综上所述，a 的取值范围是(][),32,-∞-+∞.（3）先证明：()()12 4f x f x +≥.由（2）知，当0a >时，()f x 的递增区间是(),0-∞，()2,+∞，递减区间是（0，2）. 因为122x x +>，不妨设12x x ≤，则21>x . ①若10x ≤，则2122x x >-≥.所以()()()()12112444f x f x f x f x a +>+-=+>. ②若1>0x ，因为21>x ，所以()()12()()224f x f x f f +≥+=，当且仅当122x x ==时取等号.综上所述，12())4(f x f x +≥.再证明：12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.假设存在常数()4m m ≥，使得对任意122x x +>，()()12f x f x m +≤.取12x =，且22x >+则 ()()3222222324f f x ax ax a+=+-++2222222()()222()224ax x a x a x m =+-+-+>-+>，与()()12f x f x m +≤矛盾.所以12()()f x f x +的取值范围是[4,)+∞.21. 已知{}n a 是无穷数列，1a a =，2a b =且对于{}n a 中任意两项i a ，()j a i j <在{}n a 中都存在一项(2)k a j k j <<，使得2k j i a a a =-. （1）若3a =，5b =求3a ； （2）若0a b ，求证：数列{}n a 中有无穷多项0；（3）若ab ，求数列{}n a 的通项公式.解：（1）取1i =，2j =，则存在24)k a k <<(，使得3212a a a =-，即3212a a a =-. 因为13a a ==，25a b ==，所以32127a a a =-=.（2）假设{}n a 中仅有有限项为0，不妨设0m a =，且当n m >时，n a 均不为0，则2m ≥.取1i =，j m =，则存在2)k a m k m <<(，使得120k m a a a =-=，与0k a ≠矛盾．（3）①当a b <时，首先证明数列{}n a 是递增数列，即证*n N ∀∈，1n n a a +<恒成立． 若不然，则存在最小的正整数0n ，使得001n n a a +≥，且012 n a a a <<<.显然02n ≥.取0j n =，1i =，2，…，01n -，则存在00(2k a n k n <<），使得02k n i a a a =-．因为00000121222n n n n n a a a a a a a -->->>->，所以012n a a -，022n a a -，…，0012n n a a --这01n -个不同数恰为01n a +，02n a +，…，021n a -这01n -项.所以001n n a a +>与001n n a a +≤矛盾. 所以数列{}n a 是递增数列.再证明： (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n= 记,d b a =- 即证(1)n a a n d =+-，1,2,3,n=当1,2n =时，结论成立.假设存在最小的正整数0,m 使得 (1)n a a n d =+-对任意01n m ≤≤恒成立， 但010,m a a m d +≠+则02m ≥. 取0j m =，1,2,i =，01m -，则存在()002k a m k m <<，使得02k m i a a a =-因为数列{}n a 是递增数列， 所以00012121m m m a a a a a +-<<<<<<.所以0600121222m m m m a a a a a a --<<-<-.因为0012m m a a --，…022m a a -，012m a a -这01m -个数恰为01m a +，02m a +，…021m a -这01m -项.所以()()004110002212m m m a a a a m d a m d a m d +-=-=+--+-=+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦， 与10n m a a m d +≠+矛盾.所以 (1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n=②当a b >时，令n n b a =-，1,2,3,n =，则1b a =-，2b b =-，且12<b b .对于{}n b 中任意两项i b ，()j b i j <，的因为对任意i a ，()j a i j <，存在(2),k a j k j <<使得2k j i a a a =-， 所以()2k j i a a a -=---，即存在(2),k b j k j <<使得2k j i b b b =-. 因此数列{}n b 满足题设条件.由① 可知(1)()n b a n a b =-+--，1,2,3,,n =所以(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =综上所述，(1)()n a a n b a =+--，1,2,3,n =经检验，数列{}n a 满足题设条件.。
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件北京市朝阳区2020〜2021学年度第一学期期中质量检测高三数学试卷2020.11（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项.1.已知集合4 =卜52-工一2<0}, B = {-1,0,123},则AA8 =【答案】B3sin( -- x)=」，贝ij sin2A-(2 5【答案】C4.如图，在aABC 中，。
是BC 的中点,若= = （【答案】c51加>11西'是“3°>3g 的（） B. {TO 』,2}C. {0,1,2}D. {0,123}12A.— 25n24 B.— 25c 24 D. 一一25【答案】B3.己知〃 =2-，b = log?!，c ~ a ，贝 Ij(J£ DA. a>b>cB. a>ohC. c>a>bD. c>b> aA- 3a-2bB. a-2bD.C.充分必要条件【答案】A6.已知函数/(x)=弓sin — (刃＞ 0)的图象与直线尸1的相邻两个交点间的距离等于冗,贝力/U) 的图象的一条对称轴是() 乃九冗A. x =---- B. x =—C. x =---12123【答案】D7.在aABC 中，AB=4, AC=3,且I 而+/1=19一正I,则CX =( A. -12B. -9C. 9【答案】B1 38.己知,ZU)是定义在R 上的偶函数，且当X £(-8, 0]时，/(工)=2'+ —，则/(1(^2二)=()3 2 1711 A. —B. 1C. -D.—27 11【答案】B9.己知函数/*•) =「+ 7'若存在实数叽使得/(〃?)= 2/一4。
2014届海淀区高三期中数学试卷及答案数 学(理科) 2013.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1. 已知集合{1,1,2}A =-，{|10}B x x =+≥，则A B =( A )A. {1,1,2}-B. {1,2}C. {1,2}-D. {2}2. 下列函数中，值域为(0,)+∞的函数是( C )A. ()f x =B. ()ln f x x =C. ()2x f x =D. ()tan f x x =3. 在ABC ∆中，若tan 2A =-，则cos A =( B )B.D. 4. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,0),(0,1),(1,2),(,0)O A B C m -，若//OB AC ，则实数m 的值为( C )A. 2-B. 12-C. 12D. 25.若a ∈R ，则“2a a >”是“1a >”的（ B ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 已知数列{}n a 的通项公式2(313)nn a n =-，则数列的前n 项和n S 的最小值是（ B ） A. 3SB. 4SC. 5SD. 6S7. 已知0a >，函数2πsin ,[1,0),()21,[0,),x x f x ax ax x ⎧∈-⎪=⎨⎪++∈+∞⎩若11()32f t ->-，则实数t 的取值范围为（ D ） A. 2[,0)3- B. [1,0)- C. [2,3) D. (0,)+∞8. 已知函数sin cos ()sin cos x xf x x x+=，在下列给出结论中：① π是()f x 的一个周期；② ()f x 的图象关于直线x 4π=对称； ③ ()f x 在(,0)2π-上单调递减. 其中，正确结论的个数为（ C ） A. 0个B.1个C. 2个D. 3个二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分。
北京市铁路第二中学2020—2021学年第一学期高三数学期中考试试卷及答案 第一部分（选择题 共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1. 已知集合2{2,}A x x x Z =<∈，{0,1,2}B =，则A B =（ ）A. {0,1,2}B. {1,0,1}-C. {1,0,1,2}-D. {2,1,0,1,2}--C根据集合的并集运算即可求解.{}{}{}22,|1,0,1A x x x Z x x x Z =<∈=<<∈=-，{0,1,2}B =，所以{}1,0,1,2A B ⋃=-，故选：C2. 已知向量(2,4)a →=，(,1)b λ→=，若//a b →→，则λ为（ ） A.12B. 1C. 2D. 4A根据向量平行的坐标表示可得答案.因为向量(2,4)a →=，(,1)b λ→=，又//a b →→，所以240λ-=，解得12λ=，故选：A. 3. 函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称，则()f x =（ ） A. 2x B. 2x - C. 2log ()x - D. 21log xD任取函数()f x 上的一点(),x y ，先求出点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -，又点(),x y -在曲线2log y x =上，整理即可得出结果. 任取函数()f x 上一点(),x y ，由函数()f x 的图象与曲线2log y x =关于x 轴对称， 则点(),x y 关于x 轴对称的点坐标为(),x y -， 又点(),x y -在曲线2log y x =上， 可得222log log log 1y y xx x -=⇒=-=， 则()21log f x x=.故选：D. 4. 已知1≥x ，则当4x x+取得最小值时，x 的值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4B根据基本不等式的取等条件可求得结果.44x x +≥=（当且仅当4x x =，即2x =时取等号）∴当4x x+取得最小值时，2x =故选：B5. 圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值为（ ） A. 1 B. 2C.D. C分析】求出圆心到直线距离，减去半径得解. 圆心为(1,0)-，直线方程为5y x =+， 所以d==，圆22(1)2x y ++=上一点到直线5y x =+的距离最小值d r -=故选C ． 6. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ）A. 1B. 2C. 3D. 4D由已知中的三视图，画出几何体的直观图，进而可分析出该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数．由三视图知几何体为一四棱锥，其直观图如图：由图可得：该棱锥的四个侧面均为直角三角形， 故该四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为4个，故选：D ．．7. 在等比数列{}n a 中，132a =，44a =．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ） A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项B首先求得数列的通项公式，再运用等差数列的求和公式求得n T ，根据二次函数的性质的指数函数的性质可得选项.设等比数列{}n a 为q ，则等比数列的公比414141328a qa -===，所以12q =， 则其通项公式为：116113222n n n n a a q ---⎛⎫=⋅=⨯= ⎪⎝⎭，所以()()5611542212622222nn +n n n n n T a aa ---==⨯==，令()11t n n =-，所以当5n =或6时，t 有最大值，无最小值，所以n T 有最大项，无最小项.故选：B. .8. 已知向量,a b →→满足||||1a b →→==，则“||||a b a b →→→→-=+”是“||a b →→+”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件C见模平方，利用完全平方式展开，可得0a b ⋅=，结合充分条件和必要条件的定义，即可得答案.充分性：因为||||a b a b →→→→-=+，左右同时平方得：22||||a b a b -=+， 所以222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅，即0a b ⋅=，又因为||||1a b →→==，所以222||||211a b a b a b a b +=+=++⋅=++ 所以“||||a b a b →→→→-=+”是“||a b →→+”的充分条件； 必要性：因为||a b →→+=，所以222||||22a b a b a b a b +=+=++⋅=，又||||1a b →→==， 所以0a b ⋅=，所以222222a b a b a b a b +-⋅=++⋅， 所以22||||a b a b -=+，即 ||||a b a b →→→→-=+，所以“||||a b a b →→→→-=+”是“||a b →→+”的必要条件；综上“||||a b a b →→→→-=+”是“||a b →→+”的充分必要条件.故选：C9. 已知圆22:2220C x y x y +---=，若直线(2)y k x =-与圆C 交于,A B 两点，则||AB 的最小值为（ ）A. 2B.C. D. 4B由圆的方程，求得圆心坐标和半径，再由直线方程，得到直线恒过定点(2,0)P ，结合圆的性质，以及弦长公式，即可求解.由题意，圆22:2220C x y x y +---=，可化为圆22:(1)(1)4C x y -+-=， 可得圆心坐标为(1,1)C ，半径为2r，又由直线(2)y k x =-，可得直线恒过定点(2,0)P ， 则22(21)(01)2PC =-+-=，根据圆的性质，要使得弦||AB 最小，此时直线PC AB ⊥， 如图所示，所以||AB 的最小值为22||2||24222AB r PC =-=-=.故选：B.10. 佩香囊是端午节传统习俗之一，香囊内通常填充一些中草药，有清香、驱虫、开窍的功效.因地方习俗的差异，香囊常用丝布做成各种不同的形状，形形色色，玲珑夺目.图1的ABCD 由六个正三角形构成，将它沿虚线折起来，可得图2所示的六面体形状的香囊，那么在图2这个六面体中，棱AB 与CD 所在直线的位置关系为（ ）A. 平行B. 相交C. 异面且垂直D. 异面且不垂直B可将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，即可判断AB ，CD 的位置关系．将平面展开图还原为直观图，可得两个三棱锥拼接的六面体，它们共一个底面，且，B C 两点重合，所以AB 与CD 相交， 故选：B第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则数列{}n a 的通项公式n a =________．21n a n =-利用11,1,2n n n a n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩，即可求解.当1n =时，111a S ==，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-， 经检验11a =满足21n a n =-， 所以21n a n =-， 故答案为：21n a n =- 12. 若ABC 2223)a c b +-，则B ∠=________． π3根据余弦定理及面积公式，化简整理可得tan 3B =B 的范围，即可求得答案.因为222cos 2a c b B ac+-=，所以2222cos a c b ac B =+-，又因为1sin 2S ac B =， 所以13sin 2cos 2ac B ac B =，解得tan 3B =因为(0,)B π∈， 所以3B π=，故答案为：π313. 已知函数()cos 2f x x =，若12,x x 满足12|()()|2f x f x -=，则12||x x -的一个取值为________．π2（答案不唯一） 根据()cos2f x x =的值域为[]1,1-可知若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,再根据三角函数的性质分析即可.因为()cos2f x x =的值域为[]1,1-,故若12,x x 满足()()122f x f x -=则必有()()12,f x f x 的值分别为±1,故12x x -的最小值当且仅当12,x x 为()cos2f x x =相邻的两个最值点取得.此时12x x -为()cos2f x x =的半个周期,即12222ππ⨯=. 故答案为：2π14. 已知矩形ABCD ，1AB =，2BC =，点P 满足1()2AP AB AC =+，则||PD =_________；PB PD ⋅=_________．(1).2 (2). 1-以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，求得点P 的坐标，利用平面向量数量积的坐标运算可求得PD 以及PB PD ⋅的值.以点A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点()0,0A 、()10B ,、()1,2C 、()0,2D ，()()()()1111,01,21,1222AP AB AC =+=+=， 则点()1,1P ，()1,1PD ∴=-，()0,1PB =-， 因此，()22112PD =-+=，()011(1)1PB PD ⋅=⨯-+⨯-=-.故答案为：2；1-.15. 我国新冠肺炎疫情进入常态化，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，给出下列四个结论：① 第3天至第11天复工复产指数均超过80%； ② 这11天期间，复产指数增量大于复工指数的增量； ③ 第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；④ 第1天至第3天复工指数的方差大于第2天至第4天复工指数的方差． 其中所有正确结论的序号是____________________． ①③根据折线图，可得复工指数与复产指数增量、波动情况，逐一分析①②③④，即可得答案. 由图像可得，第3天至第11天复工复产指数均超过80%，故①正确；由图像可得，第1天复产指数与复工指数的差大于第11天复产指数与复工指数的差，所以这11天期间，复产指数增量小于复工指数的增量，故②错误；由图像可得，第9天至第11天复产指数增量大于复工指数的增量；故③正确；由图像可得，第1天至第3天复工指数波动较小，第2天至第4天复工指数波动较大，所以第1天至第3天复工指数的方差小于第2天至第4天复工指数的方差，故④错误. 故答案为：①③三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16. 如图，四棱锥P ABCD -的底面为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ．PAD △为等腰直角三角形，且PA AD ⊥．E ，F 分别为底边AB 和侧棱PC 的中点．（Ⅰ）求证：//EF 平面PAD ； （Ⅱ）求二面角E PD C --的余弦值． （Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）3． （Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．由平面几何知识可证得四边形AEFG 是平行四边形．再由线面平行的判断可得证．（Ⅱ）先由面面垂直的性质和线面垂直的判定和性质证得,,AB AD AP 两两垂直．再以点A 为原点，分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求解方法可得答案.解：（Ⅰ）证明：取PD 的中点G ，连接FG ，AG ．因为F ，G 分别是PC ，PD 的中点，所以FG 是△PCD 的中位线．所以FG ∥CD ，且12FG CD =．又因为E 是AB 的中点，且底面ABCD 为正方形，所以1122AE AB CD ==，且AE ∥CD ． 所以AE ∥FG ，且AE FG =．所以四边形AEFG 是平行四边形． 所以EF ∥AG ．又EF ⊄平面PAD ，AG ⊂平面PAD ， 所以EF ∥平面PAD ．（Ⅱ）证明： 因为平面PAD ⊥平面ABCD ，PA AD ⊥，且平面PAD 平面ABCD AD =，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为ABCD 为正方形，所以AB AD ⊥，所以,,AB AD AP 两两垂直． 以点A 为原点，分别以,,AB AD AP 为,,x y z 轴， 建立空间直角坐标系（如图）．由题意易知AB AD AP ==，设2AB AD AP ===，则(0,0,0)A ，(2,0,0)B ，(2,2,0)C ，(0,2,0)D ，(0,0,2)P ，(1,0,0)E ．得到()022PD =-，，，()2,0,0DC =， 设平面PDC 的法向量为(),,m a b c =，则0,0.m PD m DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以 22020b c a -=⎧⎨=⎩，即0b c a =⎧⎨=⎩，令1b =，则()0,1,1m =．得()102EP =-，，，()0,2,2PD =-． 设平面EPD 的法向量为(,,)n x y z =，则0,0.n EP n PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以20220x z y z -+=⎧⎨-=⎩，即2x z y z =⎧⎨=⎩， 令1z =，则()2,1,1n =．所以 3cos ,26m n m n m n ⋅===⋅⨯． 由图可知，二面角E PD C --的大小为锐角， 所以二面角E PD C --的余弦值为3． 1、建：建立空间直角坐标系.以三条互相垂直的垂线的交点为原点，没有三垂线时需做辅助线，建立右手直角坐标系,让尽量多的点落在坐标轴上. 2、设：设所需点的坐标，并得出所需向量的坐标. 3、求：求出两个面的法向量.4、算：运用向量的数量积运算，求两个法向量的夹角的余弦值；5、取：根据二面角的范围[]0π，和图示得出的二面角是锐角还是钝角,再取值. 17. 已知函数212()2cos sin 1f x x x ωω=+-． （Ⅰ）求(0)f 的值；（Ⅱ）从①11ω=，21ω=； ②11ω=，22ω=这两个条件中任选一个，作为题目的已知条件，求函数()f x 在[,]26ππ-上的最小值，并求函数()f x 的最小正周期． （Ⅰ）1；（Ⅱ）选择条件①，最小正周期为2π，在[,]26ππ-取得最小值2-；选择条件②，最小正周期为π，在[,]26ππ-取得最小值 (I)将0x =代入求值即可；(II)①121,1ωω==，()222cos sin 2sin sin 2f x x x x x =+=-++利用抛物线知识求解②用二倍角和辅助角公式化简可得()+)+14f x x π=，再由[,]26x ππ∈-可得372[,]4412x πππ+∈-，结合正弦函数图象求解最值； 解：（Ⅰ）2(0)2cos 0sin 011f =+-=． （Ⅱ）选择条件①．()f x 的一个周期为2π．2()2cos sin 1f x x x =+-22(1sin )sin 1x x =-+-2192(sin )48x =--+．因为[,]26x ππ∈-，所以1sin [1,]2x ∈-．所以 当sin =1x -时，即π=2x -时， ()f x 在[,]26ππ-取得最小值2-． 选择条件②．()f x 的一个周期为π．2()2cos sin 21f x x x =+-sin2+cos2x x =22)x x =+2)4x π=+（．因为[,]26x ππ∈-，所以372+[,]4412x πππ∈-．当2=42x ππ+-时，即3π=8x -时， ()f x 在[,]26ππ-取得最小值． （1）利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成sin()A xk 或cos()A xk的形式；（2）根据自变量的范围确定x ωϕ+的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值. （3）换元转化为二次函数研究最值.18. 在等差数列{}n a 中，1617a a +=-，2723a a +=-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S ．（Ⅰ）32n a n =-+；（Ⅱ）当1q =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； 当1q ≠时，(31)121nn n n q S q--=+-． (Ⅰ)由题意可得数列的公差3d =-，首项11a =-,则其通项公式为32n a n =-+；(Ⅱ)由题意结合(Ⅰ)的结论有132n n b n q -=-+，分组求和并讨论可得：当1q =，1q ≠时得解.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 2716()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． 所以 1612517a a a d +=+=-，解得 11a =-．所以数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． （Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列， 得 1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=，所以 132n n b n q -=-+．所以 21[147(32)](1)n n S n q q q -=++++-+++++21(31)(1)2n n n q q q --=+++++．从而当1q =时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； 当1q ≠时，(31)121nn n n q S q--=+-． 19. 设函数22()ln 2x f x k x =-，0k >．（Ⅰ）求()f x 的单调区间和极值；（Ⅱ）证明：若()f x 存在零点，则()f x 在区间(1,上仅有一个零点．（Ⅰ）()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 极小值2(12ln )2k k -；（Ⅱ）证明见解析．（Ⅰ）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=，由()0f k ≤得k讨论k =k .（Ⅰ）由22()ln 02 ()x f x k x k >=-得222()k x k f x x x x-'=-=．由()0f x '=解得x k =．()f x 与()'f x 在区间(0,)+∞上的情况如下：所以，()f x 的单调递减区间是(0,)k ，单调递增区间是(,)k +∞；()f x 在x k =处取得极小值2(12ln )()2k k f k -=，无极大值.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，()f x 在区间(0,)+∞上的最小值为2(12ln )()2k k f k -=．因为()f x 存在零点，所以2(12ln )02k k -≤，从而k当k =()f x 在区间(1,上单调递减，且0f =，所以x =()f x 在区间(1,上的唯一零点．当k >()f x在区间(0,上单调递减，且1(1)02f =>，2e 02k f -=<，所以()f x在区间(1,上仅有一个零点．综上可知，若()f x 存在零点，则()f x在区间(1,上仅有一个零点．20. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>经过点(2,0)，一个焦点为．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）若直线(1)(0)y k x k =-≠与x 轴交于点P ，与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点Q ，求||||AB PQ 的取值范围． （Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）(4,．（Ⅰ）依题意2a =，c =222a c b -=求解b 的值，则椭圆方程可求；（Ⅱ）联立直线和椭圆方程，利用根与系数关系求出A ，B 横纵坐标的和与积，进一步求得AB 的垂直平分线方程，求得Q 的坐标，由两点间的距离公式求得||PQ ，由弦长公式求得||AB ，作比后求得||||AB PQ 的取值范围． 解：（Ⅰ）由题意得2a =，c =因为222a cb -=，即2222b -=，所以1b =．所以椭圆C 的方程是2214x y +=．（Ⅱ）由22(1),1,4y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得2222(14)8440k x k x k +-+-=． 设1122(,),(,)A x y B x y ，则有2122814k x x k +=+，21224414k x x k -=+， 121222(2)14ky y k x x k -+=+-=+．所以线段AB中点坐标为2224(,)1414k kk k -++，所以线段AB 的垂直平分线方程为22214()1414k k y x k k k --=--++． 于是，线段AB 的垂直平分线与x 轴的交点Q 223(,0)14kk+，又点(1,0)P ， 所以22223111414k k PQ k k +=-=++．又AB ==．于是，22||141||14AB k k PQ k +==++ 因为0k ≠，所以221331k<-<+． 所以||||AB PQ的取值范围为(4,． (2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．21. 从1,2,3,...n 中这n 个数中取(),,3m m n N m n *∈≤≤个数组成递增等差数列，所有可能的递增等差数列这个数记为(),f n m .（1）当5,3n m ==时，写出所有可能的递增等差数列及()5,3f 的值； （2）求()100,10f ； （3）求证:()()()()1,21n m n f n m m -+>-.（1）1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,()5,34f =；（2）506；（3）证明见解析.试题分析：（1）通过列举，可知符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.所以()5,34f =；（2）由于100n =，且10m =，即有10项，所以10110110019,1199a a a a d d --=+=≤=，故d取1,2,11，1a 取1,2,,1009d-个，归纳出个数()()100,10100?119123...11506f =-++++=；（3）由于1111m a a n d m m --=--≤，按照（2）的方法，求出(),f n m 的表达式，然后利用差比较法证明不等式. 试题解析：（1） 符合要求的递增等差数列为1,2,3;2,3,4;3,4,5;1,3,5,共4个.()5,34f ∴=. （2）设满足条件的一个等差数列首项为1a ，公差为1011011001,.9,11,99a a d d N a a d d d *--∈=+∴=≥=∴的可能取值为1,2,3,...,11.对于给定的 110,91009d a a d d =-≤-,当1a 分别取1,2,3,...,1009d -时，可得递增等差数列1009d -个（如:1d =时，191a ≤，当1a 分别取1,2,3,...,91时，可得递增等差数列91个:1,2,3,...,11;2,3,...,12;...91,92,93,...,100，其它同理）∴当d 取1,2,3,...,11时，可得符合要求的等差数列个数为:()()100,10100?119123...11506f =-++++=. （3）证明: 设等差数列首项为1a ，公差为()111,1,11m m a a n d a a m d d m m --=+-∴=≤--，记11n m --的整数部分是t ，则11111n n t m m ---<--≤，即111n m n t m m --<--≤.d 的可能取值为1,2,3,...,t ,对于给定的()1,1m d a a m d =--, 当1a 分别取()1,2,3,...,1n m --时，可得递增等差数列()1n m d --个.∴当d 取1,2,3,...,t 时，符合要求的等差数列个数()()()()()()22121121,1?222181t t n m m n m f n m nt m t m m ⎡⎤+-+--+=--=-+⎢⎥--⎢⎥⎣⎦.由题意()2111211n m n m n m m m --+-<≤---.又()()()()2112113,1212121121n m n m m n m n m m m m m m m --++-+---=-=------, ()()21211121211n m n m n m n m m m m --+-+-∴->-----. ()()()()()1111,?1?1221n m n m n m n n m m m f n m n m m m --⎛⎫+ ⎪-+---⎝⎭∴>--=--. 即()()()()1,21n m n f n m m -+>-.。
