专题三：三角形中常见的辅助线的作法
一、斜边中线模型
构成：Rt △ABC,∠ACB=090,D 为AB 边的中点
目的：找等量关系，或2倍（1/2）的关系。 结果：AD=CD=BD
例 1 已知：△ABC 中，∠A=060，CE ⊥AB,BD ⊥AC 求证：DE=12
BC
证明：取BC 中点M ，连结EM,DM
先证EM=DM ?EM=12
BC=DM 再证：∠2=π-∠1-∠3
=π-（π-2∠ABC ）-（π-2∠ACB ）=060 则△EDM 为等边三角形，所以有DE=DM=12
BC
“Rt △中斜边上的中线等于斜边的一半”+“等腰对等底”+“等量代换” 例2、如图，直角三角形ABC 中，∠C=90?，M 是AB 中点，AM=AN ，MN//AC 求证：MN=AC 证明：连结CM
//AB AM
MN AC MCA MAC AMN N ACM MNA MN AC
∠?∴=∴∠=∠=∠=∠∴???∴=在直角三角形ABC 中，C=90M 是AB 的中点
1
CM=2
又 例3已知：△ABC 中，CE ⊥AB,BD ⊥AC ，M,N 分别为BC,DE 的中点 求证：MN ⊥ED
证明：连结EM,DM 先证 EM=DM ?EM=12
BC=DM
后证 MN ⊥ED ?N 为中点，EM=DM
“RT △中斜边上的中线等于斜边的一半”+“三线合一定理” [思考]：若△ABC 为钝角△，又该如何呢？在Rt △中，又是怎样？
例4已知：在△ABC 中，AB=AC,BD 为∠ABC 的角平分线，AM ⊥BC,DE ⊥BC, FD ⊥BD
A
D
C
M
A
B
D
E
C
213N
E
D
B
A
M
N
M
B
C
A
求证：ME=
14
BF 证明：取BD 、BF 中点G 、N ，连结 DN ， EF ， GM 先证 DN=12
BF
再证：DN=DC ?∠DNC=∠C=∠ABC ? ①DN ∥AB ?∠3=∠1②AB=AC 再证 GM=12
DC
后证 GM=ME ?∠MEG=∠MGE ? ①∠GEM=∠2②∠GMB=∠C=2∠2 所以有ME=12DC=
1
4
BF “RT △中斜边上的中线等于斜边的一半(2次)”+“平行线性质1”+“等腰对等底”+“三角形中位线定理”
例5如图，在△ABC 中，∠B=2∠C ，AD ⊥BC 与D,M 为BC 边的中点，AB=10cm,则MD 长为多少？ 解：取 AB 中点N,连结DN,NM,则DN=1
2
AB, ∠NDB= ∠B, 且∠NMD= ∠C ∠NDB= ∠NMD+ ∠DNM ∠B= ∠C+ ∠DNM=2∠C
∴∠DNM=∠C=∠NDM 则DM=DN=1
2
AB
“Rt △斜边上中线等于斜边的一半”+“三角形中位线定理”+“外角性质”+“等底对等腰” 例6如图 ，Rt △ABC 中，∠C=090，CD 平分∠C ，E 为AB 中点，PE ⊥AB,交CD 延长线于P,那么∠PAC+∠PBC 的大小是多少？
解：连结 CE ,则∠EAC=∠ECA
∴∠DCE=∠ECA-∠DCA=∠DAC-045
又
∠DAC=1800-∠ADC-045=0135-∠PDE
∴∠DCE=(0135-∠PDE)- 045=∠DPE 则PE =EC=AE
则可证∠PAC+∠PBC=∠PAB+∠BAC+∠PBA+∠ABC=1800
“斜边中线性质”+“对顶角相等”+“等量代换”+“三角形内角和定理” 等腰三角形底边的中线
例1、如图所示，在ABC 中，AB=2AC ，AD 平分∠BAC 且AD=BD ，求证：CD ⊥AC 提示：在AB 上取中点E ，连结DE ，可得DE ⊥AB ，并且AE=AC ，
N G
F 3
12
C
E D B A
M
N
C
D B
A M
P
D
C
E
B
A
证AED ?
ACD ，则有∠ACD=∠AED=90?，即CD ⊥AC
例2如图所示，等腰直角三角形ABC ，∠BAC=90?，点D 是BC 的中点且AE=BF 求证：DE ⊥DF
证明：连接AD
二、“三线合一”模型
“角平分线”+垂线→等腰三角形”
构成：OC 为∠A0B 的角平分线，BC ⊥OC 于C 点 目的：构造等腰三角形
结果： ⑴[边]：BC=AC,OA=OB →OC 为△OAB 的中线
⑵[角]：∠3=∠4，∠ACO=090→ OC 为△ABO 的高线 ⑶[全等]：△ACO ≌△BCO
432
1C B A
O 45459090BAC BD AD B C B DAE
BDF ADE B DAE BD AD
BDF ADE BDF ADE
ADF BDF ADE ADF DE DF
∴⊥∠∠=?=∠=∠=?∴∠=∠??
∠=∠??=?∴?∴∠=∠∠+∠=?∴∠+∠=?⊥在等腰直角三角形ABC 中，AD 是中线1
AD BC ，且DAE=，2又在和中BF=AE 又即
例 1 已知：AD 是△ABC 的∠A 的平分线，CD ⊥AD 于D,BE ⊥AD 于AD 的延长线于E,M 是BC
边上的中点。 求证：ME=MD
证明：延长 CD 交AB 于F 点，BE 与ＡＣ延长线交于Ｇ点
Ｄ为FC 中点，Ｍ为ＢＣ中点。
ＤＭ∥ＡＢ，∠１＝∠3
∠４＋∠５＝090，∠２＋∠６＝090 ∠５＝∠Ｇ＝∠６∠４＝∠２ 则∠3＝∠４则ＭＤ＝ＭＥ
“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行线的性质”＋“等底对等腰” 例２已知：△ABC 为等腰直角三角形，∠A=090,∠１＝∠2,CE ⊥BE
求证：BD=2CE
证明：延长 CE 、BA 交于F 点 先证 CF=2CE
再证 RT △ABD ≌RT △CAF ? “∠3=∠F ”+”AB=AC ”+”∠BAD=∠CAF ”
则有BD=CF=2CE
“‘三线合一’定理的逆定理”+“ASA ?全等”
例3 已知：△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE,∠AED+∠CAE=1800(∠3+∠4=1800)
求证：DE ∥BC
证明：延长AE 交BC 边于F 点，则有∠3＝∠６且∠3＝∠5
? ①∠3+∠4=1800
② ∠4+∠5=1800
∴∠5＝∠6 则DE ∥BC
“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行线的判定”
例4 已知：在△ABC 中，AC>AB,AM 为∠A 的平分线，AD ⊥BC 于D 求证 ：∠MAD=12
(∠B-∠C)
证明：作BE ⊥AM,交AC 于E 点，交AM 于K 点 先证∠3=∠4?∠１＝∠2
654321M
G
F
E
D C
B
A 43
2
1F
E D B
A
543
2
1
F
E D C
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A 543
2
1K
E
M
D
C
B A
∠5＝∠AEB ? ① AM 为角平分线 ②BE ⊥AM 后证：∠B-∠C=∠4+∠5-∠C=∠4+∠AEB -∠C=2∠4 则∠3=∠4= 12（∠B-∠C ）即∠MAD=12
(∠B-∠C) “三线合一逆定理”+“平行四边形的判定”
例5 已知：在△ABC 的两边AB 、AC 上分别取BD=CE ，F 、G 分别为DE 、BC 的中点，∠A 的
平分线AT 交BC 于T
求证：FG ∥AT
证明：作EN ⊥AT 于N 点，交AB 于L 点，作CK ⊥AT 于K 点，连结FN 、GK 先证：NF ∥且=12LD,KG ∥且=12
MB 再证：LD=MB ?LM=DB=EC
最后证明四边形FNKG 为平行四边形。
“‘三线合一’定理的逆定理”＋“平行四边形判定”
例6、如图，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED ，点F 是CD 的中点 （1）求证：AF ⊥CD
（2）在你连接BE 后，还能得出什么新结论？
证明：（1）连接AC 、AD ，在△ABC 和△AED 中，AB=AE ，∠ABC=∠AED ，BC=ED
∴△ABC ?△AED ∴AC=AD
在等腰△ACD 中，F 是底边CD 的中点
∴AF ⊥CD
例7、如图，△ABC ，∠ACB=90?，AC=BC ，D 为AC 上一点，AE ⊥BD 的延长线于E ，且AE=1
2
BD ，求证：BD 平分∠ABC
提示：分别延长AE 和BC ，两者相交于F
欲证BD 平分∠ABC ，只需证BE 是等腰三角形底边上的高与中线，
M
K N
L G F T
E
D
A B
O
F E
D
C B
A F
E
D
C
B
A
蕴含着BE是AF的中垂线
三、三角形中位线模型
构成：△ABC中，D 为AB边中点
目的：找中位线，构造：①2倍关系②相似三角形
结果：①DE∥BC,DE=1
2
BC ②△ADE∽△ABC
例1 已知：在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于D,DE⊥AC于E,F为DE中点求证：AF⊥BE
证明：取BE中点H，连DH
先证：Rt△EDH∽Rt△AED 则
2
2 DE EC HD AE DE EF
==
∴ Rt△EDH∽Rt△AEF 则∠BED= ∠1
∴∠EAF+∠AEG=0
90则AF⊥BE
“AAA?△∽”+“中位线定理”+“（两直线）定义”
例2 已知 BD、CE为△ABC的角平分线，AF⊥CE 于F,AG⊥CE于F,AG⊥BD于G
求证：①FG∥BC ② FG=1
2
(AB+AC-BC)
证明：延长AF、AG 分别交BC于M、N 两点证G为AN中点?①BD⊥AN ②∠1=∠2
F为AM中点?①∠3=∠4 ②CE⊥AM
①则GF为△ANM中位线 GF∥BC, GF=1
2 MN
②MN=BN+CM-BC=AB+AC-BC
“等腰△三线合一”+“△中位线定理”+“等量代换”
思考：BD、CE为外角平分线时或一内一外角平分线时，又该如何证明？
例3 已知，如图在ABCD中，P为CD中点，AP延长线交BC延长线于E,PQ∥CE 交DE于Q
求证：PQ=1
2
BC
证明：先证△ADP≌△PCE 可得 CE=AD=BC
再证 PQ为中位线，PQ=1
2
CE
“AAS?△≌”+“平行四边形性质”+“△中位线定理”
A
B C
D E
G
F
E
D
H
B
A
43
2
1
G
F
N
M
E
C
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A
Q
P
E
D
C
B
A
例4 已知：梯形ABCD 中，AB=DC,AC ⊥BD,E 、F 为腰上中点，DL ⊥BC,M 为DL 与EF 的交点 求证：EF=DL
证明：取AD 、EF 的中点 H 、K,连结 EH 、FH 、HK 易证EH ⊥HF 则HK=12
EF
RT △DLC 中可得M 为DL 中点，则DM=12
DL
由题意得 HK=DM 则EF=DL
“三角形中位线定理（3次）”+“平行线性质”+“斜边上中线为斜边一半” 例 5 已知：锐角△ABC 中，以AB 、AC 为斜边向外作等腰直角△ADB ，△AEC,M 为 BC 中点，连结DM 、ME 求证：DM=EM ,DM ⊥EM
证明：取AB 、AC 的中点F 、G,连结DF 、FM 、 ME 先证△DFM ≌△MGE ?① DF=GM
②∠DFM=∠MGE ?∠1=∠2=∠3 ③FM=GE
则DM=ME , ∠4=∠5
再证∠DME=∠7+∠1+∠5=090，则 DM ⊥EM
[思考]：∠BAC 为钝角时，又该如何证明？
例6：如图所示，在等腰三角形ABC 中，AB=AC ，D 是AB 延长线上一点，且AB=BD ，CE 是腰
AB 上的中线。 求证：CD=2CE
分析：要证明一条线段是另一条线段的两倍（或一条线段是另一条线段的一半） 常用的方法是构造中位线 证明：找出AC 的中点F 连接BF ，
L
M
K H
F
E
D
C
B
A
7654
321
G F E
D
C
B
A
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E D
C
B
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,1
21
2
2AB AC F AC BF AC
AB AC AE AF BE CF ABC ACB BC BC
BCE CBF CE BF
CE CD
CD CE
=∴==∴===∠=∠=∴=∴=∴==是的中点
即
“补长截短”模型
（1） 截长法： 构成：线段a,b,c
目的：确定一线段，找令一线段的等量关系 结果：→ a-b '=c ?a=b+c ， b=b ' （2）补短法： 构成：线段a,b,c
目的：构造一等长线段，再找等量关系 结果：c=c '，b+c '=a ?a=b+c
例1 已知：△ABC 中，AD 平分∠BAC
求：（1）若∠B=2∠C,则AB+BD=AC (2) 若AB+BD=AC,则∠B=2∠C
解：（1）在AC 上取AE=AB,连结DE,则△AED ≌△ABD
∴BD=ED ∠3=∠B,AB=AE 且∠3=2∠C=∠4+∠C
则EC=ED ∴AC=AE+EC=AB+BD (2) (1)的反推过程
“SAS ?△全等”+“△的一外角等于与它不相邻的两内角和”+“等底?等腰” 例2：在ABC 中，∠C=2∠B ，AD ⊥BCY 于D ，求证BD=AC+CD
提示：要证明一条线段等于两条线段之和的问题时要将两条线段转化到 一条直线上，即选用截长补短法
延长DC 至E 使AC=CE 证明ABE 是等腰三角形进而证明BD=DE 则问题得证
例3如图所示，等腰直角ABC 中，∠BAC=90?过点A 做直线DE ，BD ⊥DE 于D ，CE ⊥DE 于E ，求证：DE=BD+CE
c a
b c
432
1E B
D
C
A C
D B A
C
B
E
D
A
321G H
D
F E
B A 5
4
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1G
M F
E D C
B A
108
0543
2
1
E
C
B A
D
提示：证明DE=BD+CE 即证ABD ?
CAE 则有AD=CE ，BD=AE
例2已知：等腰△ABC 中，AB=AC, ∠A=0108,BD 平分∠ABC 求证：BC=AB+DC
证明： 在BC 边上取BE=BA,连结 DE, 则△ABD ≌△EBD ?AB=BE
再证：∠3=∠4 ?∠4=0
72，∠3=∠5-∠C=0
72
∴DC=EC 则BC=BE+EC=AB+DC
“SAS ?△全等”+“△两外角等于不相邻两内角和”+“等底对等腰” 例3、已知如图所示，在ABC 中，AB=AC ∠A=100?，BD 平分∠ABC 交AC 于D 求证：BC=AD+BD
提示通过截长补短证明，然后和角度结合
例 3 已知：在△ABC 的边BC 上取BE=CF ，过E 作EH ∥AB 交AC 于H,过F 作FG ∥AB 交AC
于G
求证：EH+FG=AB 证明：在AB 上取BD=FG,连结DE 先证△DBE ≌△GFC 再推∠3=∠C
再证四边形ADEH 为平行四边形则 FG+EH=AD+DB=AB “SAS ?△全等”+“平行线的判定”+
“平行四边形的判定”
[思考]： ①若在AC 上截取AD=EH ，连DF ，如何证明？
②若用以下方法添加辅助线，又该如何证明？ a. 在CA 上截取CD=GF,连DF b. 延长HE 至D,使ED=GF,连AD c. 延长EH 至D,使ED=AC,连CD
例 4 已知：在正方形ABCD 中，M 是CD 的中点，E 是CD 上一点，
且∠BAE=2∠DAM
求证：AE=BC+CE
证明：取BC 的中点G ，连结AG
C
D
B
A
M
N
F
E
D
C
B
A
延长AB 至F 使AF=AE,连结FG ,GE 先证∠3=∠5 则∠3=∠4=∠5
后证RT △AFG ≌RT △AEG 则FG=GE 再证RT △FBG ≌RT △ECG 则BF=EC 所以有AE=AF=AB+BF=BC+CE
“SAS ?△全等”+“‘三线合一’定理”+“等量代换”
[思考]：若用以下方法添加辅助线，该如何证明？ a. 在AE 上截取AF=AB,取BC 中点G,连结AG,GF,GE b. 延长DC 至H,使CH=AB ，连AH 交BC 于G
例 5 已知：在正方形ABCD 中，E 为BC 上任一点，∠EAD 的平分线交DC 于F 求证：BE+DF=AE
证明：延长CD 至G,使DG=BE,连结 AG,则RT △ABE ≌RT △ADG,
得∠3=∠4再证∠5=∠1+∠4 ?AG=FG 所以有AE=AG=AF =DF+DG=DF+BE
“平行线性质2”+“等底对等腰”+“HL ?RT △全等” “等腰?等边”模型 角平分线+平行线→等腰△
构成：∠AOB ,OD 为∠AOB 的角平分线
目的：构造等腰△，找等角，等边 结果： ①△OEC 为等腰△?OC=OE ②∠3=∠C, ∠1=∠3
例 1 已知：△ABC 中，AB=4,AC=7,M 是BC 中点，AD 平分∠BAC,过M 点作MF ∥AD, 交AC 于F 求：FC 的长度?
解：延长FM 至N ，使MF=MN,延长MF 、BA 交于E 点 先证:△BMN ≌△CMF ?BN=CF , ∠N=∠MFC
再证：∠E=∠BAD=∠CAD=∠CFM=∠AFE=∠N
?AE=AF,BN=BE
则有：AB+AC=AB+AF+FC=AB+AE+FC=BE+FC=NB+FC=2FC
2
1B
A
C
D
E
F
G
3
45
E
32
1D
C
B O A
432
1F
E D
C
B A
54A
B
D E C
F
21
3
5
P G
H
4A B
D E
C
F 213 所以有：FC=
1
2
(AB+AC)=5.5 “SAS ?△全等”+“平行线性质”+“对顶角相等”+“等底对等腰” 例 2 已知：锐角△ABC 中，∠ABC=2∠C, ∠ABC 的平分线与AD 垂直，垂足为D 求证：AC=2BD
证明：过A 作BC 平行线，延长BE 交平行线于F 先证：△ABF 为等腰△?BF=2BD
再证：AE+EC=EF+BE ? ①AE=EF ?∠3=∠4 ②BE=EC ?∠2=∠C 即 AC=BF=2BD
“等底?等腰” +“等腰△三线合一”+“平行线性质2” 例 3 已知：在△ABC 中，∠A=1000,AB=AC,BE 是∠B 的平分线
求证：AE+BE=BC
证明：过E 作ED ∥BC 交AB 于D,延长CA 至A 使EF=BC 连结FD
先证：DE=DB=EC
再证：△DEF ≌△ECB ?FD=BE 后证：FD=FA ?∠4=∠5=900 所以有：AE+BE=AE+FD=AE+FA=EF=BC
“平行线性质”+“等底?等腰”+“SAS ?△全等”
例 4 已知：△ABC 中，AB=AC,AD 为△ABC 的角平分线，P 为BC 上一点，过P 作
AD 的平行线交BA 的延长线于E ，交AC 于F
求证：2AD=PE+PF
证明：延长AD ，FP,过C 作AB 平行线，交于G 、H 点 先证：AD=DG,PH=FP ?∠1=∠2=∠3=∠4=∠5 后证：AG=EH ?四边形AEHG 为平行四边形 则有：2AD=AG=EH=EP+PH=EP+FP
“等底?等腰”+“平行线性质1”+“平行四边形判定及性质” 构造等边三角形、等腰三角形
例1、如图，已知∠ABD=∠ACD=60?∠ADB=90?-1
2
∠BDC 且∠BAC=20?求：∠ACB 的度数。
分析：由已知，∠ABD=∠ACD=60?联想等边三角形的内角，
E
D
C
B
A
43
2
1
E D C
B A 而原图中没有等边三角形因此考虑添加辅助线构造等边三角形。 解：如图延长CD 到E ，使CE=CA ，连结AE
注意：当条件中含有60?角或已知角的和差中含有60?的角时，经常想起构造等边三角形
例2、如图所示，在AOB 中，∠AOB=120?，CO 为∠AOB 的角平分线交AB 于点C 求证：111OA OB OC
+=
证明：延长AO 到点D ，使OD=OB ，连接BD 120601260,60//111
OA AOB BOD BD OB OC AOB AOC OC DB AO AD OC BD CO AD AO BD OC OB OB OC
∠=?∴∠=?∴∠=∠=?=∠∴∠=?∴∴==∴+=是的角平分线：：即（AO+OB ）=OA 即
倍长中线模型
构成（条件）：△ABC 中，AD 为中线
目的：（1）构造全等三角形 →找等量关系（边）
（2）构造平行线 → 找等角关系 结果：（1）△BDE ∽△ADC → ① BE=AC
F G
A
B
C
D
E 12360601
ADB=90 - BDC
2
2ADB=180-BDC=BDE 6012ACD ACE E ABD ADB ADE
E ABD AD AD ADB ADE AB AE AC
ACB ∠=?
∴?∴∠=∠=?
?∠∴∠?∠∠∴∠=∠∠=∠=?=∴?∴==∴∠=?∠???是等边三角形，1
（180-BAC ）=（180-20）=802
（2）AE=2AD ②∠1=∠2，∠3=∠4→AC ∥BE 例1： 已知：AD 为△ABC 中线，E 为AC 上一点，且AE=FE 求证：AC=BF
证明：（倍长中线）△BDG ≌△CDA ?∠ G=∠EAF ，BG=AC
再∠G=∠3?BF=BG “SAS △全等
”+“等底 等腰”+“等量代换”
例2 ：已知：CE 、CB 分别是△ABC 、△ACD 的中线，且AB=AC ，求证：CD=2CE 证明：倍长CE ，连结BM
△MEB ≌△CEA ?（SAS ）ME=EC+∠MEB=∠AEC+BE=AE △MBC ≌△DBC ?（SAS ）MB=BD+∠MBC=∠DBC+ BC=BC ∴DC=MC=2EC
“等腰对等底”+“外角=两内角和”+“SAS △全等”
例3、如图，在△ABC 中，AB=BD=DC ，AE 是△ABD 的中线，求证：AC=2AE
证明：延长AE 到F 使AE=EF ，连结DF ，
证△ABE ≌△FDE —》AB=DF 所以在证△ADF ≌△ADC 有AC=AF=2AE
例4、如图在△BAC 中，AD 是中线，且BE=AC 求证：AF=EF
证明：延长AD 到M 使AD=DM ，连结BM 证明△BDM ≌△CDA 则有BM=AC ，∠BMD=∠DAC ，又因为BE=AC=BM
所以∠BMD=∠BEM=∠AEF=∠DAC ，所以AE=AF
例5：已知Rt △BAC 中，∠A=900，D 为BC 边中点，E 、F 分别为边AB 、AC 上一动点，且ED
⊥FD 。求证：EF=BE+CF 。
证明：倍长FD 至G ， 连结BG 、EG
先证△CFD ≌△BGD ?CF=BG ，∠C=∠GBD （AC ∥BG ） Rt △EBG 中，EG 2=BG 2+BE 2=FC 2+BE 2 △EGF 为等腰△ ，则EF 2=BE 2+CF 2
“SAS ?△全等”+“勾股定理”+“等腰△三线合一”
M
E D
C B A
G
F E
D
C
B
A
54321G
E D
B A
C
F
M 例6：已知：△ABC 中，AD 为中线，AB 边长为x ，AC 边长为y ，求中线AD 的取值范围。 解：倍长AD 连结BE
△ ABE 中， |x-y|＜2AD ＜x+y
2
2
x y x y
AD -+∴
<<
“SAS △全等”+“等量代换”+“△三边关系”
例7：已知M 是△ABC 的边BC 上的中点，过BC 上一点D 引直线平行于AM 交AB 于E ，
交CA 的延长线于F 求证：ED+DF=2AM
证明：倍长AM ，连结BH 延长ED 交BH 于K 先证四边形FAHK 为平行四边形?AH=FK 再证ED= DK ?ED/AM=DK/HM ，AM=MH
∴ED+FD=FK=AH=2AM
“SAS 全等△”+“平行四边形定义及性质”+“比例性质”+ “等量代换”
[练习] 已知：△ABC 中，AD 是角平分线，M 是BC 中点，MF ∥DA ，MF 交AB 、CA 的延长线于E 、F 。求证：BE=CF 证明：倍长FM 连结BG
先证△BMG ≌△CMF ?BG=CF ，∠G=∠F ∴FC ∥BG
再证∠1=∠F=∠G ?41
212F ∠=∠??
∠=∠??∠=∠?
∴BE=BG=CF
“SAS 全等”+“两直线平行，同位角相等”+“等底对等腰”+“等量代换”
四、面积法
（1）构成：AD ∥BC ，△ABC ，△BCD 。 目的：找等积 △. 结果：S △ABC =S △BCD. （2）构成：EF ∥BC ，△ABC ，△AEF 。
A
B
C
D
E
M
K H
F
C
A
B
D
E D
C
B
A
F E
C
B A
D A B
C
E F 目的：找比例线段。
结果：S △AEF ：S △ABC=AF 2
：AC 2
=AE 2
：AB 2
=EF 2
：BC
2
（3）构成：l 1∥l 2∥l 3，线段AC 、BD ，AD 、BC 相交于点O 。
目的：找比例线段。
结果： AE ：EC=AO ：OD=BO ：CO=BF ：FD
例1：在△ABC 的边AB 、AC 上分别取点D 、E ，使DE ∥BC ，在AB 上取点F ，
使S △ADE=S △BFC 。求证：AD 2
=AB ×BF 。
证明：“S △ADE ：S △ABC=AD 2
：AB 2”+“ S △ADE ：S △ABC=
S △BFC ：S △ABC=FB ：AB ” ? AD 2：AB 2=FB ：AB
? AD 2
=FB ×AB
“相似△面积比”+“同高△面积比”+“比例的基本性质”
例2：已知：△ABC 中，∠ACB=900，CE 平分∠ACB 交AB 于E ，EF ⊥AC 于F 。 求证：
111AC BC EF
+=。 证明：过E 作ED ⊥BC 于 D
S △ABC = S △BEC +S △AEC ?BC × AC=BC × ED+AC ×EF 则BC ×AC=（BC+AC ）×EF 所以有
111AC BC EF
+= “角平分线的性质”+ “△面积公式”+“比例性质（逆用）”+“等面积代换”
例 3：已知：△ABC 中,AB=AC ，D 为BC 上任一点，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，CG ⊥AB 于G 。
求证：CG=ED+DF 证明 ：连结AD 。
S △ABC =S △ABD+ S △ACD
12AC ×BG=12AB ×ED+1
2
AC ×DF ，则BG=ED+DF “△面积公式”+“等面积代换”
小结：等腰△腰上的高为底边任一点到两腰距离之和。
延伸：如图题中的条件不变把“点D 在BC 上”改为“点D 在BC 的延长线上”那么DE 、
DF 、CG 存在什么等式关系？写出你的猜想并加以证明 结论：DE-DF=CG
l 3
l 2l 1O F E D
C
B A
F E D
C
B
A
G E H
F
D
C
B
A
F
G
E D
A
C
B
P F
E
D
C
B
A
例4：已知P 是 △ABC 中∠A 的平分线上任意一点，过C 引CE ∥PB ，交AB 的延长线于E ，
过 B 引BF ∥PC ，交AC 的延长线于F 。求证：BE=CF 。 证明：连结PE 、PF 。
先证S △PBE= S △BPC=S △PCF 再证P 到BE 边与CF 边的距离相等。 所以有BE=CF
“同底等高?△面积相等”+“角平分线性质”+“面积公式”
例5：已知：△ABC 中，DE ∥BC 交CB 延长线于F ，AG ∥DC 交BC 延长线于G 。 求证：BF=CG 证明：连结EF 、DG 。
先证S △FBE=S △GCD ?“S △AEB =S △FBE ”+ “S △ADC =S △GCD ”+“S △AEBC= S △ADC ” 则有
12FB ×EN=1
2
CG ×DM ，即BF=CG 。 “等高同底 △面积相等”+“△面积公式”+“两平行线距离”
例6、已知：△ABC 中，AD 是中线，F 是AD 上的点，且DF=2AF ，BF 的延长线与AC 交于E ，
求BF ：FE 。
证明：作FP ∥AC 交BC 于P 。
先证
31CD CP =，则有11,65
CP PC BC PB == 即
5
1BF BP EF PC ==。 [思考]：将“DF=2AF ”改为“AF=2DF ”，其它条件不变，求BF ：FE 。（BF ：FE=2）
G
N M
F
E
D
C
B A P
F
E
D C
B
A