注 可利用这条性质简化一些极限的计算:求极限时 ,分子、分母中的因子可用等价无穷小替换(替换后 极限情况不变)。
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例5 解
(2 x ) 原 式 l i m x 0 1 x2 2
1 2 当x 0时, 1 cos x ~ x , tan 2 x ~ 2 x . 2 2
tan2 2 x 求 lim . x 0 1 cos x
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二、等价无穷小代换
定理2(等价无穷小代换定理)
设 ~ , ~ , 则 lim lim . 证 lim lim( ) lim lim lim lim . 证毕
1 cos x ~ 1 x2 2
x 1 lim 2 x 0 x lim( 1 cos x )
x 0
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例7
错 解 当x 0时, tan x ~ x, xx 原 式 lim 0. 3 x 0 (2 x )
x
当 x 0 时, ln( 1 x ) ~ x, e 1 ~ x.
x
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常用等价无穷小:
当 x 0时,
sinx ~ tan x ~ arcsinx ~ arctanx ~ ln( 1 x ) ~ x,
1 2 e 1 ~ x , 1 cos x ~ x , (1 x )a 1 ~ ax (a 0) 2
tan x sin x为x的三阶无穷小 . 证毕
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定理1 与 是 等价 无 穷 小 o( ) (称 是 的主要部分). 证 ~ lim 1 1 o(1) o( ). 证毕