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材料力学-第七章弯曲变形 上课例题

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秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力

秦飞编著《材料力学》第7章 弯曲应力
危险点发 生在什么 位置？
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
14
7.1 弯曲正应力
弯曲正应力公式
各种型钢的Iz、Wz值均可以从附录的型钢规格表中查到。
常用截面：矩形截面
bh 3 Iz 12
y max
h 2
bh 2 Wz 6
h
b
对于直径为D的实心圆形截面
πD Iz 64
4
ymax
C
拉
z
M
z
C
压
拉 y y
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 8
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（2）静力平衡关系 由平面假设，横截面上只有正应力σ。纯弯曲情况下，梁横 截面上的内力只有Mz=M，轴力和 My等其他内力均为零，则
dA 0
A
中性轴
z dA 0
A
由这3个静力平衡方

y

与y成正比，沿截面高
度线性变化。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力
ρ为中性层曲率半径
10
7.1 弯曲正应力
纯弯曲时梁横截面上的正应力
（4）物性关系
y 将 代入物性关系，得： y E E
可见，梁横截面上的弯曲正应力 (normal stress in bending) 与y成正比， 即 （1）沿截面高度线性分布； （2）在中性层处为零，在上、下表面 处最大。

My Iz
—弯曲正应力公式
此公式适用于所有横截面具有纵向对称轴的梁，如圆形截 面、工字形截面和T形截面。 由公式： 正比于y。 沿高度线性分布。 中性轴处=0。
秦飞 编著《材料力学》 第7章 弯曲应力 13

工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解

工程力学---材料力学(第七章- 梁弯曲时位移计算与刚度设计)经典例题及详解

得： D 0
Pl 2 得： C 16
AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
P 2 2 (4 x l ) 16 EI Px y (4 x 2 3 l 2 ) 48 EI
y
P
B
A
x
l 2
C
l 2
x
最大转角和最大挠度分别为：
max A B
ymax y
q 7qa 8k 384 EI
3
q/2
B C
q/2
A B C
顺时针
q/2
例16：图示梁Ｂ处为弹性支座，弹簧刚 度
EI k 求C端挠度fC。 2a 3
q
A
EI k
B
C
2a
a
解：(1)梁不变形，仅弹簧变形引起的C点挠度为 4 3 qa 3qa B处反力=qa fC 1 2 k EI
q
B
x
l
由边界条件： x 0时，y 0
x l时，y 0
得：
ql 3 C , D0 24
梁的转角方程和挠曲线方程分别为：
y
q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI
q
x
A qx y (2lx 2 x 3 l 3 ) 24 EI
ql 3 24 EI
A a a
q
B C
a
qa 12 EI
顺时针
3 3
P=qa
A B
P=qa
m=qɑ²/2
qa qa C B 6 EI 4 EI
4
顺时针
B
q
C
qa 5qa fC B a 8EI 24 EI

材料力学第7章 弯曲变形[精]

材料力学第7章 弯曲变形[精]
tandwfx
dx
小变形梁可近似为
wfx 转角方程 2
材料力学
7.2 梁的挠曲线近似微分方程
由纯弯曲梁的曲率与弯矩的关系：
1M
EI
1
x

M x
EI
曲线曲率 计算公式
1
w
x

3
1w2 2
由曲率-弯矩 的符号关系：
小变形梁的近 似微分方程：
C、D积分常数，由梁上已知的挠度或转角确定，这些
已知的挠度或转角称为边界条件。
4
材料力学
以图示简支梁为例
x0, wA w00 xl, wB wl0
以图示悬臂梁为例
x0, wA w00 A w00
出版社 科技分社 5
材料力学
出版社 科技分社
材料力学
出版社 科技分社
22
8
材料力学
两次积 分得：
EIw1qx31qlx2C 64
EIw 1 qx41qlx3CxD 24 12
由简支梁的边界条件：
出版社 科技分社
(3) (4)
w 0， w 0
x0
xl
得积分常数
C 1 ql3，D0 24
9
材料力学
梁的转角方程
w q(4 x 3 6 lx 2 l3 ) 2 4 E I
当 a>b 时，B支座处截面的转角绝对值为最大
maxB=Fab 6lE lIa
简支梁的最大挠度应在dw/dx=0处，由 w1 0 得
x1
l2b2 3

aa2b
3
当 a>b 时，则有x1< a，由此可知最大挠度位于AC之间1。5
材料力学
出版社 科技分社

材料力学-第7章 弯曲变形

材料力学-第7章 弯曲变形
引言
梁弯曲问题的近似和简化
q( x)
M0
ML
Q0
QL
弯曲问题中，不考虑轴向拉伸。因此，梁内力只有弯矩和剪力 下面，我们分别考虑弯矩和剪力引起的弯曲变形效果
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线 垂直于轴线的横截面弯曲后仍为平面，仍 垂直于轴线，只是相互间转动一个角度
M
弯矩引起的弯曲变形
M
剪力引起的弯曲变形
例题
2
已知：简支梁受力如 图所示。FP、EI、l均为已 知。 求：加力点B的挠度和 支承A、C处的转角。
材料力学－第7章 弯曲变形
§7- 3 计算梁位移的积分法
解：1． 确定梁约束力 首先，应用静力学方法求得 梁在支承A、C二处的约束力分别 如图中所示。 解：2． 分段建立梁的弯矩方程 因为B处作用有集中力FP，所以需要分为AB和BC两段 建立弯矩方程。 在图示坐标系中，为确定梁在0～l/4范围内各截面上的 弯矩，只需要考虑左端A处的约束力3FP/4；而确定梁在l/4～ l范围内各截面上的弯矩，则需要考虑左端A处的约束力 3FP/4和荷载FP。
Q
垂直于轴线的横截面弯曲后不垂直于轴线
Q
材料力学中一般考虑细长梁，顾而可以忽略剪力引起的变形，只 考虑弯矩引起的变形。因为所有横截面始终与轴线垂直，所以，梁的 弯曲变形可以仅用轴线来表征。空间的梁简化成一轴线。
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
问题1： 如何表征梁的弯曲变形
－用什么物理量来描述梁的变形
( x)
w
x
x
( x)
w( x)
材料力学－第7章 弯曲变形
挠度曲线
* 弯曲变形的表征
梁在弯曲变形后，横截面的位置将发生改变，这种位置 的改变称为位移 (displacement) 。梁的位移包括三部分：

北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形

北京航空航天大学-材料力学课件ppt-14+第七章+弯曲变形

3. 求 wC
17 Fa 3
A
Fa
C
B
wC 2
wC1
wB
wC
wC1 wC 2
48EI
4EA
D
a
H
4. 比较弯曲与拉压位移 A bh, I bh3 12
设b×h矩形截面
17 Fa 3 48EI
Fa 4EA
17
a h
2
结论: (如果题意没有要求)，拉压与弯曲共同
作用时，拉压引起的位移可以忽略。
18
第七章 弯曲变形
§7-6 简单静不定梁
• 静不定度与多余约束
q(x)
M
5-3=2 度静不定
q(x)
F
6-3 = 3 度静不定
静不定度 ＝支反力（力偶）数－有效平衡方程数 多余约束 多于维持平衡所必须的约束
静不定度＝多余约束数 多余反力 与多余约束相应的支反力或支力偶矩
19
第七章 弯曲变形
静定基与相当系统
例: 求图示外伸梁C点 的挠度和转角
q
C B
l
a
q
仅考虑BC段变形(刚化AB,可
A
视BC为悬臂梁)
qa4 wC1 8EI ()
C1
qa 3 6EI
()
B
l
qa
仅考虑AB段变形(刚化BC)
A
B
C2
B2
qa2l 6EI
()
总挠度和转角
wC 2
B2a
qa3l 6EI
()
l
qa 3 wC wC1 wC 2 24EI (3a 4l ) ()
0
0
wB 0, B 0
A
B
25

材料力学经典习题册 弯曲变形

材料力学经典习题册 弯曲变形

弯曲变形1. 已知梁的弯曲刚度EI为常数，今欲使梁的挠曲线在x=l/3处出现一拐点，则比值M e1/M e2为：(A) M e1/M e2=2；(B) M e1/M e2=3；(C) M e1/M e2=1/2；(D) M e1/M e2=1/3。

答：C2. 外伸梁受载荷如图示，其挠曲线的大致形状有下列(A)、(B)、(C)，(D)四种：答：B3. 简支梁受载荷并取坐标系如图示，则弯矩M、剪力F S与分布载荷q之间的关系以及挠曲线近似微分方程为：(A)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI===；(B)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-=-=；(C)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI=-==-；(D)2SS2dd d(),,d d dFM w M xF qx x x EI==-=-。

答：B4. 弯曲刚度为EI的悬臂梁受载荷如图示，自由端的挠度23e32BM lFlwEI EI=+（↓）则截面C处挠度为：(A)32e223323MFl lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(B)322/323323F Fll lEI EI⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(C)32e(/3)223323M FlFl lEI EI+⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）；(D)32e(/3)223323M FlFl lEI EI-⎛⎫⎛⎫+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（↓）。

答：C5. 画出(a)、(b)、(c)三种梁的挠曲线大致形状。

答：6. 试画出图示梁的挠曲线大致形状。

答：7. 正方形截面梁分别按(a)、(b)两种形式放置，则两者间的弯曲刚度关系为下列中的哪一种： (A) (a)＞(b)； (B) (a)＜(b)； (C) (a)=(b)； (D) 不一定。

答：C8. 试写出图示等截面梁的位移边界条件，并定性地画出梁的挠曲线大致形状。

材料力学习题弯曲变形

弯曲变形基本概念题一、选择题1.梁的受力情况如图所示，该梁变形后的挠曲线如图（）所示(图中挠曲线的虚线部分表示直线，实线部分表示曲线)。

2. 如图所示悬臂梁，若分别采用两种坐标系，则由积分法求得的挠度和转角的正负号为（）。

题2图题1图A．两组结果的正负号完全一致B．两组结果的正负号完全相反C．挠度的正负号相反，转角正负号一致D．挠度正负号一致，转角的正负号相反3.已知挠曲线方程y = q0x(l3 - 3lx2 +2 x3)∕(48EI)，如图所示，则两端点的约束可能为下列约束中的（）。

题3图4. 等截面梁如图所示，若用积分法求解梁的转角、挠度，则以下结论中（）是错误的。

A．该梁应分为AB、BC两段进行积分B．挠度积分表达式中，会出现4个积分常数-26-题4图 题5图C ．积分常数由边界条件和连续条件来确定D ．边界条件和连续条件表达式为x = 0，y = 0；x = l ，0==右左y y ，0='y5. 用积分法计算图所示梁的位移，边界条件和连续条件为( ) A ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0；x = a ，右左y y =，右左y y '=' B ．x = 0，y = 0；x = a + l ，0='y ；x = a ，右左y y =，右左y y '=' C ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y =D ．x = 0，y = 0；x = a + l ，y = 0，0='y ；x = a ，右左y y '=' 6. 材料相同的悬臂梁I 、Ⅱ，所受荷载及截面尺寸如图所示。

关于它们的最大挠度有如下结论，正确的是（ ）。

A ． I 梁最大挠度是Ⅱ梁的41倍B ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的21倍 C ． I 梁最大挠度与Ⅱ梁的相等 D ．I 梁最大挠度是Ⅱ梁的2倍题6图 题7图7. 如图所示等截面梁，用叠加法求得外伸端C 截面的挠度为（ ）。

弯曲内力—弯曲变形概述(材料力学)

弯曲内力
平面弯曲及梁的分类 剪力和弯矩的定义及正负号规定 截面法和代数和法求剪力和弯矩 单一荷载下静定梁的内力图 分布荷载集度、剪力与弯矩之间的微分关系 利用内力图规律绘制剪力图和弯矩图 叠加原ห้องสมุดไป่ตู้绘制梁的弯矩图
弯曲变形实例 1 桥式吊车梁
弯曲变形概述
弯曲变形概述
弯曲变形实例 2 火车轮轴
弯曲变形概述
梁上所有横截面的竖向对称 轴形成了梁的纵向对称面
3. 梁的计算简图及梁的分类
弯曲变形概述
（1）简支梁：梁的一端是固定铰支座，另一端是可动铰支座。
（2）外伸梁：一端或两端伸出支座外的梁。
（3）悬臂梁：一端固定，另一端自由的梁。
Fq
FAx
A
FAy
Me B
FB
FAx A
FAy
q B FB
支座
固定铰支座 可动铰支座 固定端支座
1. 弯曲变形
受力特征
当杆件受到垂直于杆件轴线的横向力或位于杆轴平面内的外力偶时，杆件的轴线
将由直线变成曲线，这种变形称为弯曲，以弯曲为主要变形的构件，通常称为梁。
变形特征
弯曲变形概述
2.平面弯曲
若梁上所有外力都作用在纵向对称面内，则梁的轴线将在纵向对称面内由直线变 成曲线,这种弯曲称为平面弯曲。
FAx
A
MA
FAy
F
B
Me
弯曲变形概述
3.弯曲构件---梁
（1）可简化为简支梁的吊车大梁
（2）可简化为外伸梁的火车轮轴 （3）可简化为悬臂梁的化工反应塔
qF
A
B
F
A
F
B

材料力学第7章弯曲变形

图78出版社理工分社材料力学退出解1求支座反力由静力平衡方程可求得2列弯矩方程建立如图78所示坐标系则弯矩方程为出版社理工分社材料力学退出3建立挠曲线近似微分方程并积分由式75得挠曲线近似微分方程积分两次后得出版社理工分社材料力学退出4确定积分常数因左端为固定端所以有边界条件代入式c和式d得c0d0出版社理工分社材料力学退出5挠曲线方程及转角方程将cd代入式c和式d得6求指定截面挠度和转角自由端处xl代入以上两式即得自由端b处的转角与挠度分别为出版社理工分社材料力学退出例72简支梁在左端支座处承受集中力偶作用如图79所示
(3)建立挠曲线近似微分方程并积分
AC段
CB段
页
退出
材料力学
出版社 理工分社
(4)确定积分常数 在AC，CB段的交界点C处，应满足连续性条件，即
代入式(i)，(j)，(k)，(l)，得
在A，B两铰支座处，有边界条件
代入式(j)，(l)，得
页
退出
材料力学
出版社 理工分社
(5)挠曲线方程及转角方程 将C1、C2、D1、D2 代入式(i)，(j)，(k)，(l)，得 AC段
图7.5
页
退出
材料力学
出版社 理工分社
图7.6
页
退出
材料力学
出版社 理工分社
现以图7.7所示的连续梁ACBD为例说明积分常数的确定。AC，CB，BD 3段弯 矩各不相同，应分3段建立挠曲线近似微分方程并分别积分，运算中共有6个 积分常数。在固定端A处，挠度和转角为零；在可动铰支座B处，挠度为零,即 共有3个边界条件。在AC，CB段，挠曲线应连续，在C点处有相同的挠度；在CB， BD段，挠曲线应光滑、连续，在B点处有相同的挠度及转角。即共有3个连续性条 件。因此，利用边界条件、连续性条件即可确定所有的积分常数。

材料力学-弯曲变形


二、叠加法求梁的变形 梁的刚度校核
1. 叠加法求梁的变形
当梁上同时受几种荷载作用时，我们可用叠加法来计算 梁的变形。其方法是：先分别计算每一种荷载单独作用时所 引起的 梁的变形（挠度或转角），然后求出各种荷载作用下 变形的代数和，即得到这些荷载共同作用下的变形。一般工 程中要找的是特定截面的变形（最大挠度和最大转角）。我 们将一些简单荷载作用下梁变形的计算公式列成教材中表81，以供选用。
2
式(8-2)再积分一次得：
y
1 EI
M( x)dxdx
Cx
D 8
3
式(8-2)、(8-3)为转角方程和挠曲线方程。式中常数C、D
可由边界条件确定。
图8-1a 图8-1b
（图8-1a）的边界条件为：
x 0, yA 0; x l, yB 0
（图8-1b）的边界条件为：
x 0, yA 0;
ql 3 24EI
, B
ql 3 24EI
转角 A 为负值，表明A截面绕中性轴作顺时针方向转动； 转角 B 为负值，表明B截面绕中性轴作逆时针方向转动。
例2：试计算图示梁的转角方程和挠曲线方程，并求 ymax
例2图
设：a>b
解：（一）分段建立弯矩方程和挠曲线近似微分方程并积分二次
AC 段 (0 x1 a)
C1a D1 C2a D2 将 C1 C2, D1 0 代入上式得：D1 D2 0
将 D2
0 代入式e得：C2
Pbl 6
P(l a)3 6l
化简后得：
C1
C2
Pb 6l
(l 2
b
2)
（三） 列出转角方程和挠曲线方程：将C1,C2, D1, D2代入式 a,b,c,d得：
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A

1
|x0

Fab(l 6lEI
b)
B
2
|xl

Fab(l 6lEI
a)
当 a > b 时, 右支座处截面的转角绝对值为最大
max
B

Fab(l 6lEI
a)
14
简支梁的最大挠度应在 w' 0处
先研究第一段梁,令 w1 0 得

1

w1'

Fb 6lEI
(3l 2
4b2 )

0.0625 Fbl 2 EI
wmax
y |xx1 9
Fb 3lEI
(l 2
b2 )3

Fbl 2 0.0642
EI
结论:在简支梁中, 不论它受什么荷载作用, 只要挠曲线上无 拐点, 其最大挠度值都可用梁跨中点处的挠度值来代替, 其精确度 是能满足工程要求的.
2
(4)
边界条件 x 0, w 0
x 0, w 0
将边界条件代入（3）（4）两式中,可得 C1 0 C2 0
梁的转角方程和挠曲线方程分别为
EIw Flx Fx2 EIw Flx2 Fx3
2
26
3
y
F
A
l
Bx
wmax
max
max 和 wmax都发生在自由端截面处
max

Fl 2 |xl EI

Fl 2 2EI

Fl 2 （ 2EI
）
Pl 3
wmax w |xl 3EI （ ）
4
例题2 图示一抗弯刚度为 EI 的简支梁,在全梁上受集度为q 的
均布荷载作用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其 max
和 wmax
q
Aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
B
l
5
q
解:由对称性可知,梁的两
个支反力为
A
B
FRA

FRB

ql 2
x
l
FRA
FRB
此梁的弯矩方程及挠曲线微分方程分别为
M ( x) ql x q x2 22
EIw ql x q x2 22
EIw ql x2 q x3 C 46
EIw ql x3 q x4 Cx D 12 24

F
b l
FRA
A
FRB

F
a l
两段梁的弯矩方程分别为
x
1 a
x
F
D
2
FRB
B
b l
M1

FRA x

F
b l
x
(0 x a)
M2

F
b l
x

F(x

a)
(a x l )
9
两段梁的挠曲线方程分别为 （a）（0 x a）
挠曲线方程 转角方程 挠度方程
EIw1

M1

F
b l
18
例题5 试利用叠加法,求图

C 2x

D2
11
D点的连续条件
在 x = a 处 w1 w2
FRA
1
w1 w2
A
边界条件
a
F
D
2 FRB
B
b
在 x = 0 处, w1 0
l
在 x = l 处, w2 0
代入方程可解得:
D1 D2 0
C
1

C
2


Fb 6l
(
l
2

b
2)
12
（a）（0 x a）
第七章 弯曲变形 上课例题
例题1 图示一抗弯刚度为 EI 的悬臂梁, 在自由端受一集中力 F
作用.试求梁的挠曲线方程和转角方程, 并确定其最大挠度 wmax
和最大转角 max
F w
A
Bx
l
1
解： （1） 弯矩方程为
w A
M( x) F (l x) (1)
（2） 挠曲线的近似微分方程为
16
例题4 一抗弯刚度为EI的简支梁受荷载如图所示.试按叠加原理
求梁跨中点的挠度 wC和支座处横截面的转角A , B 。
Me
q
A
B
C
l
17
解:将梁上荷载分为两
Me
项简单的荷载,如图所示
A
wC (wC)q (wC)Me
(a)
5ql 4 Mel 2 384EI 16EI
(
)
θ A (θ A)q (θ A)Me
(l 2

b2

3x2)

0
x1
l2 b2 3
a(a 2b) 3
当 a > b时, x1 < a 最大挠度确实在第一段梁中
wmax w |xx1 9
Fb 3lEI
(l 2 b2 )3 0.0642 Pbl 2 EI
15
梁中点 C 处的挠度为
wC

Fb 48EI
x
EIw1

F
b l

x2 2

C1
EIw1

F
b l

x3 6
C1x

D1
10
（b）（ a x l ）
挠曲线方程
EIw 2

M
2

F
b l
x

F
(
x

a)
转角方程 挠度方程
EIw 2

F
b l

x2 2

F
(
x 2
a)2

C
2
EIw 2

F
b l

x3 6

F
(
x 6
a)3

1

w1

Fb 6lEI
(l 2

b2

3x2)
w1

Fbx 6lEI
[l 2

b2

x2]
（b）（ a x l ）

2

w 2'


Fb 2lEI
[l b
(
x

a)2

x2

1 3
(l 2

b2)]
w
2


Fb 6lEI
[
l b
(
x

a
)3

x
3

(l
2

b
2
)
x]
13
将 x = 0 和 x = l 分别代入转角方程左右两支座处截面的转角
(b) A
( ql 3 Mel ) ( )
24EI 3EI
Me
θ B (θ B)q (θ B)Me
(c) A
ql 3 Mel ( )
24EI 6EI
q C l q
( A)q C (wC )q
l
( A ) C Me (wC )Me
l
B B ( B)q
B (B )Me
6
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
q
wmax
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为
q (6lx2 4x3 l 3 )
24EI w qx (2lx2 x3 l 3 )
24EI
A
x
FRA
B
B
l
FRB
最大转角和最大挠度分别为
在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
x
l
EIw M( x) Fl Fx (2)
对挠曲线近似微分方程进行积分
EIw

Flx

Fx 2 2

C1
(3)
EIw


Flx 2 2

Fx 3 6

C 1x

C2
(4)
F
Bx
2
EIw

Flx

Fx 2 2

C1
(3)
EIw


Flx 2 2

Fx 3 6

C 1x

C
max

A
B

ql 3 24EI
在梁跨中点处有最大挠度值
wmax

w
x l 2
5ql4 384EI
7
例题3 图示一抗弯刚度为EI的简支梁, 在D点处受一集中力F的作 用.试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并求其最大挠度和最大转 角.
F
A a
D
B
b
l
8
解: 梁的两个支反力为
FRA