题型6：向量中的最值问题

向量中的最值问题处理向量最值问题的：基底、直角坐标、几何、函数1、已知点A ，B ，C 在圆221x y 上运动，且AB BC ，若点P 的坐标为（2,0），则PA PB PC 的最大值为2、在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB=2，BC=1，∠ABC=60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且1,9BE BC DF DC ，则AE AF 的最小值为3、已知向量,a b 是单位向量，若0a b ，且25c a c b ，则2c a 的取值范围为4、已知(2,0),(2,2),(2cos 2sin )OB OC CA ，，则OA 与OB 夹角的取值范围是5、已知,a b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c ，则c 的最大值是6、若,,a b c 均为单位向量，且0,()()0a b a c b c ，则a b c 的最大值为7、已知圆O 的半径为1，PA ，PB 为改圆的两条切线，A ，B 为两切点，那么PA PB 的最小值为8、已知平面向量,a b （0,a a b ）满足1b ，且a 与b a 的夹角为120°，则a的取值范围是9、已知,a b 是单位向量，0a b .若向量c 满足1c a b ，则c 的取值范围是10、在△ABC 中，O 是中线AM 上一个动点，若AM=4，则()OA OB OC 的最小值是11、已知圆M ：22(3)(3)4x y ，△ABC 为圆M 的内接正三角形，E 为边AB 的中点，当正△ABC 绕圆心M 转动，同时点F 在边AC 上运动时，ME OF 的最大值是12、已知O 为△ABC 内一点，若对任意k R ，恒有OA OB kBC AC ，则△ABC 一定是角三角形13、在正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任意一点，设向量AC DE AP ,则的最小值为14、在平面上，121212,1,AB AB OB OB AP AB AB ，若12OP ＜，则OA 的取值范围是15、在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，两定点A ，B 满足2OA OB OA OB ，则点集|,1,P OP OA OB R ，所表示的区域的面积是16、已知△ABC ，点D 是BC 的中点，过点D 的直线分别交直线AB,AC 与E 、F 两点，若(0)(0)AB AE AC AF ＞，＞，则14+的最小值是。

第06讲 平面向量中的范围与最值问题（高阶拓展、竞赛适用）（2类核心考点精讲精练）平面向量中的范围与最值范围问题是向量问题中的命题热点和重难点，综合性强，体现了高考在知识点交汇处命题的思想，常以选择填空题的形式出现，难度稍大，方法灵活。

基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，"比如向量的模、数量积、向量夹角、系数的范围的等，在复习过程中要注重对基本方法的训练，把握好类型题的一般解法。

由于数量积和系数的范围在前两节已学习，本讲主要围绕向量的模和夹角的范围与最值展开学习。

本讲内容难度较大，需要综合学习。

1. 模长的范围及最值与向量的模有关的问题, 一般都会用到 22||a a =r r，结合平面向量及最值范围等基本知识可求解。

2. 夹角的范围及最值结合平面向量的模长、夹角公式及最值范围等基本知识可求解。

．．v1．（2024·全国·模拟预测）已知,,a b c r r r为单位向量，且357a b -=r r ，则22a c b c -+-r r r r 的最小值为（ ）A ．2B ．C ．4D ．62．（23-24高二上·四川·阶段练习）已知平面向量,a b rr 满足112a b a b ==×=r r r r ，22||c b c =×r r r ，则22c c a b-+-r r r r 的最小值是.3．（2024·吉林长春·模拟预测）已知向量a r ，b r 为单位向量，且12a b ×=-r r ，向量c r 与3a b +r r共线，则||b c +r r 的最小值为 .4．（2024·上海长宁·二模）已知平面向量,,a b c r rr 满足：2a b ==r r ，若()()0c a c b -×-=r r r r ，则a b -r r 的最小值为 ．5．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习），1=r b ，0a b ×=rr ，4c a c a ++-=r r r r ，2430d b d -×+=r r r ，则c d -rr 的最大值为（ ）A 1+B ．4C 2+D ．3136．（21-22高一下·浙江·阶段练习）已知||||||1a b c ===r r r，12a b ×=r r ，,,3a c b c p áñ+áñ=r r r r ．若,R m n Î，则||||||ma nb ma c nb c -+-+-r r r r rr 的最小值为（ ）A ．0BC ．1D1．（2024·广东江门·二模）设向量(1,),(2,)OA x OB x ==uuu r uuu r ，则cos ,OA OB áñuuu r uuu r的最小值为 .2．（2022·上海奉贤·一模）设平面上的向量,,,a b x y r r r r满足关系(),2a y x b mx y m =-=-³r r r r r r ，又设a r 与b r 的模均为1且互相垂直，则x r 与y r的夹角取值范围为.3．（22-23高三上·江西·阶段练习）已知平面向量a OA =r uuu r ，b OB =r uuu r ，c OC =r uuu r，满足241OC AC OA ×=-uuu r uuu uuu r r ，241OB CB OC ×=-uuu r uuu uuu r r ，则向量4a b -r r 与2c b -r r所成夹角的最大值是（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π61．（2024·全国·模拟预测）已知非零向量a r 与b r的夹角为锐角，c r 为b r 在a r 方向上的投影向量，且||||2c a ==r r ，则a b c ++r r r 与b r的夹角的最大值是 ．2．（21-22高三上·浙江温州·期末）已知平面向量,a b r r 满足1a a b =+=r r r ，12a b ×=-r r ，向量p u r 满足()2p a b l l =-+u r r r ，当p u r 与p a -u r r的夹角余弦值取得最小值时，实数l 的值为 .3．（2021·浙江宁波·模拟预测）已知,a b r ur 是空间单位向量，0a b ×=r r ，若空间向量c r 满足：1,c a c b ×=×r r r r ，则a b c ++=r r r，对于任意,x y R Î，向量c r与向量xa yb +r r 所成角的最小值为．一、单选题1．（2023·江西九江·一模）已知m u r、n r 为单位向量，则向量2m n +u r r 与n r 夹角的最大值为（ ）A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π62．（2023·北京·模拟预测）平面向量a r ，b r 满足3a b =r r ，且4a b -=r r ，则a r 与a b -r r夹角的正弦值的最大值为（ ）A ．14B ．13C ．12D ．233．（2023·安徽安庆·二模）已知非零向量a r ，b r的夹角为q ，2a b +=r r ，且43a b ³r r ，则夹角q 的最小值为（ ）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π24．（2024·安徽六安·模拟预测）已知平面向量a r ，b r ，c r满足1a =r 32a b ×=-r r ，,30a c b c --°=r r r r ，则c r的最大值等于（ ）A ．BC ．D ．5．（2024·全国·模拟预测）已知a r ，b r 为非零向量，且||||(0)a b r r ==>r r ，π,3a b áñ=r r ，若||a tb +r r 的最小值为22r t +的值为（ ）．A ．52B ．94C ．4D ．1746．（2021·全国·模拟预测）已知向量a r ，b r 满足3a b +=r r ，0a b ×=r r ，若(1)()c a b l l l =+-ÎR r r r ，且c a c b ×=×r r r r，则c r 的最大值为（ ）A ．3B ．2C ．12D ．327．（2021·浙江·模拟预测）已知非零平面向量a r ，b r ，c r 满足2a =r ，1b c -=r r ，若a r 与b r 的夹角为π3，则a c-r r 的最小值为（ ）A 1B C 1D8．（2021·全国·模拟预测）设||=1a ®，||b ®=a b ®®^，若向量c ®满足2c a b a b ®®®®®--=-，则||c ®的最大值是（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8二、填空题9．（2023·安徽宣城·二模）已知向量,a b r r 满足22a b ==r r ，对任意的0,a b l l >-r r 的最小值为a r 与b r 的夹角为．10．（2023·河北·模拟预测）已知平面向量,a b r r 满足1a b -=r r 且a b ^r r ，当向量a b -r r 与向量3a b -r r 的夹角最大时，向量b r的模为 ．11．（2023·上海闵行·二模）已知单位向量,a b r r ，若对任意实数x ，xa b -³r r 恒成立，则向量,a b r r 的夹角的最小值为 .12．（2024·河北沧州·模拟预测）已知单位向量a r ，向量b r 与a r不共线，且5π,6a b b -=r r r ，则b r 的最大值为 ．13．（2023·上海杨浦·二模）已知非零平面向量a r 、b r 、c r满足5a =r ，2b c =r r ，且()()0b a c a -×-=r r r r ，则b r 的最小值是14．（22-23高一下·福建福州·期中）已知平面向量a r ，b r ，且满足||||2×===r rr r a b a b ，若e r 为平面单位向量，则×+×r r r ra eb e 的最大值15．（2023·贵州铜仁·模拟预测）已知向量a r ，b r ，c r 满足0a b c ++=r r r r ，()()0a b a c -×-=r r r r ，3b c -=r r ，则a b c ++r r r的最大值是.16．（2024·全国·模拟预测）已知非零且不垂直的平面向量a r ，b r 满足6a b +=r r ，若a r 在b r方向上的投影与br 在a r 方向上的投影之和等于()2a b ×r r ，则a r ，b r 夹角的余弦值的最小值为 ．17．（21-22高三上·浙江嘉兴·期末）已知非零平面向量a r ，b r ，c r满足4a b -=r r ，且()()1a c b c -×-=-r r r r ，若a r 与b r 的夹角为q ，且ππ,32q éùÎêúëû，则c r 的模取值范围是.18．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形ABCD 中，60ABC Ð=°，E 是CD 的中点，2AF FE =uuu r uuu r ，若设,BA a BC b ==uuu r r uuu r r ，则BF uuu r可用a r ，b r 表示为；若ADE V ，则BF uuu r 的最小值为 ．19．（2020·浙江温州·三模）已知向量a r ，b r满足||3a =r ，1b r ||=，若存在不同的实数()1212,0l l l l ¹，使得3i i i c a b l l =+u r r r ，且()()0(1,2),i i i c a c b -×-==u r r u r r则12c c -u r u u r 的取值范围是20．（2021·浙江金华·模拟预测）已知平面向量,,a b c r r r 满足74a b ×=r r ，3a b -=vv ,()()2a c b c -×-=-r r r r ,则c 的取值范围是 ；已知向量,a b r r 是单位向量，若0a b =r r g ，且2c a c b -+-=r r r r ，则2c a +r r 的取值范围是.。

微重点 平面向量的最值与范围问题平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要方法．考点一 求参数的最值(范围)例1 (1)(2022·沈阳质检)在正六边形ABCDEF 中，点G 为线段DF (含端点)上的动点，若CG →＝λCB →＋μCD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是________． 答案 [1,4]解析 根据题意，不妨设正六边形ABCDEF 的边长为23，以O 为原点建立平面直角坐标系，如图所示，则F (－23，0)，D (3，3)，C (23，0)，B (3，－3)， 设点G 的坐标为(m ，n )，则CG →＝(m －23，n )， CB →＝(－3，－3)，CD →＝(－3，3)， 由CG →＝λCB →＋μCD →可得，m －23＝－3λ－3μ，即λ＋μ＝－33m ＋2， 数形结合可知m ∈[－23，3]， 则－33m ＋2∈[1,4]，即λ＋μ的取值范围为[1,4]． (2)设非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |，且不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意θ恒成立，则实数λ的取值范围为( ) A ．[－1,3] B ．[－1,5] C ．[－7,3] D ．[5,7]答案 A解析 ∵非零向量a ，b 的夹角为θ，若|a |＝2|b |， a ·b ＝|a ||b |cos θ＝2|b |2cos θ，不等式|2a ＋b |≥|a ＋λb |对任意θ恒成立， ∴(2a ＋b )2≥(a ＋λb )2，∴4a 2＋4a ·b ＋b 2≥a 2＋2λa ·b ＋λ2b 2， 整理可得(13－λ2)＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立， ∵cos θ∈[－1,1]，∴⎩⎪⎨⎪⎧13－λ2＋8－4λ≥0，13－λ2－8＋4λ≥0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧－7≤λ≤3，－1≤λ≤5，∴－1≤λ≤3. 规律方法 利用共线向量定理及推论 (1)a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)．(2)OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，则A ，B ，C 三点共线⇔λ＋μ＝1.跟踪演练1 (2022·滨州模拟)在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0，13 B.⎣⎡⎦⎤13，12 C ．[0,1] D ．[1,2]答案 C解析 由题意，设AN →＝tAM →(0≤t ≤1)，如图．当t ＝0时，AN →＝0， 所以λAB →＋μAC →＝0，所以λ＝μ＝0，从而有λ＋μ＝0；当0<t ≤1时，因为AN →＝λAB →＋μAC →(λ，μ∈R )， 所以tAM →＝λAB →＋μAC →， 即AM →＝λt AB →＋μt AC →，因为M ，B ，C 三点共线，所以λt ＋μt ＝1，即λ＋μ＝t ∈(0,1]．综上，λ＋μ的取值范围是[0,1]．考点二 求向量模、夹角的最值(范围)例2 (1)已知e 为单位向量，向量a 满足：(a －e )·(a －5e )＝0，则|a ＋e |的最大值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 答案 C解析 可设e ＝(1,0)，a ＝(x ，y )， 则(a －e )·(a －5e )＝(x －1，y )·(x －5，y ) ＝x 2－6x ＋5＋y 2＝0， 即(x －3)2＋y 2＝4， 则1≤x ≤5，－2≤y ≤2， |a ＋e |＝(x ＋1)2＋y 2＝8x －4， 当x ＝5时，8x －4取得最大值为6， 即|a ＋e |的最大值为6.(2)在平行四边形ABCD 中，AB →|AB →|＋2AD →|AD →|＝λAC→|AC →|，λ∈[2，2]，则cos ∠BAD 的取值范围是________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－34，－14 解析 因为AB →|AB →|＋2AD →|AD →|＝λAC→|AC →|，且AB →＋AD →＝AC →，所以|AB →|∶|AD →|∶|AC →|＝1∶2∶λ， 不妨设|AB →|＝1，则|AD →|＝2，|AC →|＝λ， 在等式AB →|AB →|＋2AD →|AD →|＝λAC→|AC →|两边同时平方可得5＋4cos ∠BAD ＝λ2，则cos ∠BAD ＝λ2－54，因为λ∈[2，2]，所以cos ∠BAD ＝λ2－54∈⎣⎡⎦⎤－34，－14.易错提醒 找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]； 若向量a ，b 的夹角为锐角，包括a ·b >0和a ，b 不共线，同理若向量a ，b 的夹角为钝角，包括a ·b <0和a ，b 不共线．跟踪演练2 (2022·马鞍山模拟)已知向量a ，b 满足|a －3b |＝|a ＋3b |，|a ＋b |＝4，若向量c ＝λa ＋μb (λ＋μ＝1，λ，μ∈R )，且a ·c ＝b ·c ，则|c |的最大值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 答案 B解析 由|a －3b |＝|a ＋3b |得a ·b ＝0， 所以a ⊥b .如图，设OA →＝a ，OB →＝b ，|OA →|＝m ，|OB →|＝n ， 由a ⊥b 可知OA ⊥OB ， 所以|AB →|＝|b －a |＝|a ＋b |＝4，即m 2＋n 2＝16，所以2mn ≤16，则mn ≤8，当且仅当m ＝n 时取得等号．设OC →＝c ， 由c ＝λa ＋μb (λ＋μ＝1)， 可知A ，B ，C 三点共线，由a ·c ＝b ·c 可知(a －b )·c ＝0，所以OC ⊥AB ， 由等面积法可得， 12|OA →|·|OB →|＝12|AB →|·|OC →|， 得|OC →|＝|OA →|·|OB →||AB →|＝mn 4≤2，所以|c |的最大值为2.考点三 求数量积的最值(范围)例3 (1)(2022·福州质检)已知平面向量a ，b ，c 均为单位向量，且|a －b |＝1，则(a －b )·(b －c )的最大值为( ) A.14 B.12 C ．1 D.32答案 B解析 ∵|a －b |2＝a 2－2a ·b ＋b 2 ＝2－2a ·b ＝1， ∴a ·b ＝12，∴(a －b )·(b －c )＝a ·b －a ·c －b 2＋b ·c ＝12－1－(a －b )·c ＝－12－|a －b |·|c |cos 〈a －b ，c 〉＝－12－cos 〈a －b ，c 〉，∵cos 〈a －b ，c 〉∈[－1,1]， ∴(a －b )·(b －c )∈⎣⎡⎦⎤－32，12， 即(a －b )·(b －c )的最大值为12.(2)(2022·广州模拟)已知菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°，点P 在BC 边上(包括端点)，则AD →·AP →的取值范围是________． 答案 [－2,2]解析 如图所示，以C 为原点，BC →为x 轴正方向，过点C 垂直向上的方向为y 轴，建立平面直角坐标系．因为菱形ABCD 的边长为2，∠ABC ＝60°， 则B (－2,0)，C (0,0)，D (1，3)，A (－1，3)． 因为点P 在BC 边上(包括端点)， 所以设P (t ，0)，其中t ∈[－2,0]． 所以AD →＝(2,0)，AP →＝(t ＋1，－3)， 所以AD →·AP →＝2t ＋2∈[－2,2]．规律方法 向量数量积最值(范围)问题的解题策略(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断．(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的有关知识来解决．跟踪演练3 已知AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，等腰△OCD 的顶点C ，D 在半圆弧AB ︵上运动，且∠COD ＝120°，点P 是半圆弧AB ︵上的动点，则PC →·PD →的取值范围为( ) A.⎣⎡⎦⎤－34，34 B.⎣⎡⎦⎤－34，1 C.⎣⎡⎦⎤－12，1 D.⎣⎡⎦⎤－12，12 答案 C解析 以点O 为原点，AB 为x 轴，垂直于AB 的直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，不妨取C (1,0)，则D ⎝⎛⎭⎫－12，32，设P (cos α，sin α)(α∈[0，π])， PC →·PD →＝(1－cos α，－sin α)·⎝⎛⎭⎫－12－cos α，32－sin α ＝12－32sin α－12cos α＝12－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6. 因为α∈[0，π]，所以α＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1， 所以12－sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6∈⎣⎡⎦⎤－12，1，即PC →·PD →的取值范围为⎣⎡⎦⎤－12，1. 专题强化练1．(2022·山东省实验中学诊断)设向量OA →＝(1，－2)，OB →＝(a ，－1)，OC →＝(－b ，0)，其中O 为坐标原点，a >0，b >0，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋2b 的最小值为( )A ．4B ．6C ．8D ．9 答案 C解析 由题意得，AB →＝OB →－OA →＝(a －1,1)， AC →＝OC →－OA →＝(－b －1,2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →＝λAC →且λ∈R ，则⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝－λ(b ＋1)，2λ＝1，可得2a ＋b ＝1， ∴1a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋2b (2a ＋b )＝4＋b a ＋4ab ≥4＋2b a ·4ab＝8， 当且仅当b ＝2a ＝12时，等号成立．∴1a ＋2b的最小值为8. 2．设A ，B ，C 是半径为1的圆O 上的三点，且OA →⊥OB →，则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)的最大值为( ) A ．1＋ 2 B ．1－ 2 C.2－1 D ．1答案 A解析 如图，作出OD →，使OA →＋OB →＝OD →， 则(OC →－OA →)·(OC →－OB →)＝OC →2－OA →·OC →－OB →·OC →＋OA →·OB → ＝1－(OA →＋OB →)·OC →＝1－OD →·OC → ＝1－2cos 〈OD →，OC →〉，当cos 〈OD →，OC →〉＝－1时，(OC →－OA →)·(OC →－OB →)取得最大值为1＋ 2.3．(2022·杭州模拟)平面向量a ，b 满足|a |＝1，⎪⎪⎪⎪b －32a ＝1，记〈a ，b 〉＝θ，则sin θ的最大值为( )A.23B.53C.12D.32 答案 A解析 因为|a |＝1，⎪⎪⎪⎪b －32a ＝1， 所以⎪⎪⎪⎪b －32a 2＝|b |2－3a ·b ＋94|a |2＝1， |b |2－3|a |·|b |cos θ＋94－1＝0，即|b |2－3|b |cos θ＋54＝0，所以cos θ＝|b |2＋543|b |＝|b |3＋512|b |≥2536＝53， 当且仅当|b |＝52时，等号成立， 因为〈a ，b 〉＝θ，θ∈[0，π]， 所以sin θ＝1－cos 2θ≤1－59＝23， 即sin θ的最大值为23.4.如图，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD ＝1，BC ＝2，P 是线段AB 上的动点，则|PC →＋4PD →|的最小值为( )A ．35B ．6C ．25D ．4答案 B解析 如图，以点B 为坐标原点，BC ，BA 所在直线为x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系，设AB ＝a ，BP ＝x (0≤x ≤a )，因为AD ＝1，BC ＝2，所以P (0，x )，C (2,0)，D (1，a )， 所以PC →＝(2，－x )，PD →＝(1，a －x )， 4PD →＝(4,4a －4x )，所以PC →＋4PD →＝(6,4a －5x )，所以|PC →＋4PD →|＝36＋(4a －5x )2≥6，所以当4a －5x ＝0，即x ＝45a 时，|PC →＋4PD →|的最小值为6.5．(多选)已知向量a ，b ，单位向量e ，若a ·e ＝1，b ·e ＝2，a ·b ＝3，则|a ＋b |的可能取值为( ) A ．3 B.10 C.13 D ．6答案 CD解析 设e ＝(1,0)，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)， 由a ·e ＝1得x 1＝1， 由b ·e ＝2得x 2＝2，由a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＝3，可得y 1y 2＝1， 则|a ＋b |＝(a ＋b )2＝(x 1＋x 2)2＋(y 1＋y 2)2＝11＋y 21＋y 22≥11＋2y 1y 2＝13，当且仅当y 1＝y 2＝1时取等号．6.(多选)(2022·武汉模拟)正方形ABCD 的边长为2，E 是BC 的中点，如图，点P 是以AB 为直径的半圆上任意一点，AP →＝λAD →＋μAE →(λ，μ∈R )，则( )A ．λ的最大值为12B ．μ的最大值为1 C.AP →·AD →的最大值为2 D.AP →·AE →的最大值为5＋2 答案 BCD解析 如图，以AB 的中点O 为原点建立平面直角坐标系，则A (－1,0)，D (－1,2)，E (1,1)， 连接OP ，设∠BOP ＝α(α∈[0，π])， 则P (cos α，sin α)， AP →＝(cos α＋1，sin α)， AD →＝(0,2)，AE →＝(2,1)， 由AP →＝λAD →＋μAE →，得2μ＝cos α＋1且2λ＋μ＝sin α，α∈[0，π]， 所以λ＝14(2sin α－cos α－1)＝54sin(α－θ)－14≤5－14，故A 错误； 当α＝0时，μmax ＝1，故B 正确； AP →·AD →＝2sin α≤2，故C 正确； AP →·AE →＝sin α＋2cos α＋2＝5sin(α＋φ)＋2≤5＋2，故D 正确．7．(2022·广东六校联考)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝60°，E 是边CD 的中点，连接AE 并延长至点F ，使得AE ＝2EF ，若H 为线段BC 上的动点，则FH →·AH →的取值范围为______________． 答案 ⎣⎡⎦⎤－17764，－32 解析 方法一 连接AC ，BD 交于点O ，以点O 为坐标原点，以BD 所在直线为x 轴，AC 所在直线为y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，3)，B (－1,0)，C (0，－3)，D (1,0)，E ⎝⎛⎭⎫12，－32. 设F (x 0，y 0)，因为AE →＝2EF →，所以⎝⎛⎭⎫12，－332＝2⎝⎛⎭⎫x 0－12，y 0＋32 ＝()2x 0－1，2y 0＋3， 所以2x 0－1＝12，2y 0＋3＝－332， 所以x 0＝34，y 0＝－534， 所以F ⎝⎛⎭⎫34，－534. 易知直线BC 的方程为y ＝－3x －3，设H (x ，－3x －3)(－1≤x ≤0)，则AH →＝(x ，－3x －23)，FH →＝⎝⎛⎭⎫x －34，－3x ＋34， 所以FH →·AH →＝⎝⎛⎭⎫x －34x ＋⎝⎛⎭⎫3x －34(3x ＋23)＝4x 2＋92x －32， 因为－1≤x ≤0，所以FH →·AH →∈⎣⎡⎦⎤－17764，－32.方法二 设BH →＝tBC →(0≤t ≤1)，则AH →＝AB →＋BH →＝AB →＋tBC →＝AB →＋tAD →. 连接AC (图略)，因为E 为CD 的中点， 所以AE →＝12(AC →＋AD →)＝12(AB →＋2AD →)， AF →＝AE →＋EF →＝32AE →＝34(AB →＋2AD →)， 所以FH →·AH →＝(AH →－AF →)·AH →＝AH →2－AF →·AH →＝(AB →＋tAD →)2－34(AB →＋2AD →)·(AB →＋tAD →)＝4＋4t 2＋4t －34(4＋2t ＋4＋8t ) ＝4＋4t 2＋4t －6－15t 2＝4t 2－72t －2. 设y ＝4t 2－72t －2,0≤t ≤1，根据二次函数的图象与性质可知，函数y ＝4t 2－72t －2,0≤t ≤1的最小值在t ＝716处取得，为－17764，最大值在t ＝1处取得，为－32， 所以FH →·AH →的取值范围是⎣⎡⎦⎤－17764，－32. 8．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝3，则|2a ＋b |＋|2a －b |的最小值是________，最大值是________．答案 6 213解析 ∵|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b ＋2a －b |＝4|a |＝4，且|2a ＋b |＋|2a －b |≥|2a ＋b －2a ＋b |＝2|b |＝6，∴|2a ＋b |＋|2a －b |≥6，当且仅当2a ＋b 与2a －b 反向时取等号．此时|2a ＋b |＋|2a －b |的最小值为6.∵|2a ＋b |＋|2a －b |2≤|2a ＋b |2＋|2a －b |22 ＝|2a |2＋|b |2＝13， ∴|2a ＋b |＋|2a －b |≤213，当且仅当|2a ＋b |＝|2a －b |时取等号， ∴|2a ＋b |＋|2a －b |的最大值为213.。

平面向量中的最值(范围)问题【专题解读】平面向量中的最值(范围)问题的类型(1)向量数量积投影、向量的模、夹角的最值(或范围)；(2)向量表达式中字母参数的最值(或范围).微点1利用函数型【例1】(1)设θ为两个非零向量a，b的夹角，对任意实数t，|b－t a|的最小值为1，那么()A.假设θ确定，那么|a|唯一确定B.假设θ确定，那么|b|唯一确定C.假设|a|确定，那么θ唯一确定D.假设|b|确定，那么θ唯一确定(2)m，n是两个非零向量，且|m|＝1，|m＋2n|＝3，那么|m＋n|＋|n|的最大值为()A. 5B.10C.4D.5解析(1)由|b－t a|的最小值为1知(b－t a)2的最小值为1，令f(t)＝(b －t a)2，即f(t)＝b2－2t a·b＋t2a2，那么对于任意实数t，f(t)的最小值为4a2·b2－〔2a·b〕24a2＝4a2b2－〔2|a||b|cos θ〕24a2＝1，化简得b2(1－cos2θ)＝1，观察此式可知，当θ确定时，|b|唯一确定，选B.(2)因为(m＋2n)2＝4n2＋4m·n＋1＝9，所以n2＋m·n＝2，所以(m＋n)2＝m2＋2m·n＋n2＝5－n2，所以|m＋n|＋|n|＝5－|n|2＋|n|.令|n|＝x(0<x≤5)，f(x)＝5－x2＋x，那么f′(x)＝－2x25－x2＋1.由f′(x)＝0，得x＝102，所以当0<x<102时，f′(x)>0时，当102<x≤5时，f′(x)<0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，102上单调递增，在⎝ ⎛⎦⎥⎤102，5上单调递减，所以f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫102＝10，应选B. 答案 (1)B (2)B【训练1】 (1)(2021·浙江卷)向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，那么|a ＋b |＋|a －b |的最小值是________，最大值是________.(2)如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 为AB 的中点，P 为以A 为圆心，AB 为半径的圆弧(在正方形内，包括边界点)上的任意一点，那么AP →·BP→的取值范围是________；假设向量AC →＝λDE →＋μAP →，那么λ＋μ的最小值为________.解析 (1)由题意，不妨设b ＝(2，0)，a ＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))， 那么a ＋b ＝(2＋cos θ，sin θ)，a －b ＝(cos θ－2，sin θ).令y ＝|a ＋b |＋|a －b |＝〔2＋cos θ〕2＋sin 2θ＋〔cos θ－2〕2＋sin 2θ＝5＋4cos θ＋5－4cos θ，那么y 2＝10＋225－16cos 2θ∈[16，20].由此可得(|a ＋b |＋|a －b |)max ＝20＝25，(|a ＋b |＋|a －b |)min ＝16＝4，即|a ＋b |＋|a －b |的最小值是4，最大值是2 5.(2)以点A 为坐标原点，分别以AB ，AD 所在的直线为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系，那么易得A (0，0)，B (1，0)，C (1，1)，D (0，1)，E ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，P (cos θ，sin θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π2，那么AP →·BP →＝(cos θ，sin θ)·(cos θ－1，sin θ)＝cos 2θ－cos θ＋sin 2θ＝1－cos θ，又因为0≤θ≤π2，所以AP →·BP→＝1－cos θ∈[0，1].由AC →＝λDE →＋μAP →得(1，1)＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－1＋μ(cos θ，sin θ)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μcos θ，－λ＋μsin θ，所以⎩⎨⎧12λ＋μcos θ＝1，－λ＋μsin θ＝1，解得⎩⎨⎧λ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ，μ＝32cos θ＋sin θ，那么λ＋μ＝2sin θ－2cos θ2cos θ＋sin θ＋32cos θ＋sin θ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ，当θ＝π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝5，当θ≠π2时，λ＋μ＝2sin θ－2cos θ＋32cos θ＋sin θ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ，设f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x(x ≥0)，那么 f ′(x )＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋3x x 2＋1〔2＋x 〕－〔2x －2＋3x 2＋1〕〔2＋x 〕2＝6x 2＋1＋6x －3〔2＋x 〕2x 2＋1>0(x ≥0)，所以函数f (x )＝2x －2＋3x 2＋12＋x 在[0，＋∞)上单调递增，那么当tan θ＝0时，λ＋μ＝2tan θ－2＋3tan 2θ＋12＋tan θ取得最小值12.综上所述，λ＋μ的最小值为12.答案 (1)4 25 (2)[0，1] 12微点2 利用不等式型【例2】 (1)(2021·浙江名校新高考研究联盟三联)边长为1的正方形ABCD ，E ，F 分别是边BC ，DC 上的两个动点，AE→＋AF →＝xAB →＋yAD →，假设x ＋y ＝3，那么|EF→|的最小值为________. (2)(一题多解)(2021·七彩阳光联盟三联)平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，a ·b ＝0，那么|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b 的最小值为( ) A.172B.2C.52D. 5(3)(2021·浙江卷)向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.假设对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，那么a ·b 的最大值是________.解析 (1)因为四边形ABCD 是正方形，以C 为坐标原点建立平面直角坐标系，那么A (1，1)，B (1，0)，C (0，0).设E (a ，0)，F (0，b )，那么0≤a ，b ≤1.所以AE→＝(a －1，－1)，AF →＝(－1，b －1)，因为AE →＋AF→＝xAB →＋yAD →，所以有y ＝2－a ，x ＝2－b .因为x ＋y ＝3，所以a ＋b ＝1.所以|EF→|＝a 2＋b 2≥〔a ＋b 〕22＝22，所以|EF →|min ＝22，当且仅当a ＝b ＝12时取到最小值.(2)法一 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b .所以通过计算有|2c －a |＝|c －2a |，⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝|c －2a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪c －12b ≥⎪⎪⎪⎪⎪⎪2a －12b ＝172，应选A. 法二 因为|a |＝|b |＝|c |＝1，且a ⊥b ，所以可设a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝(x ，y )，那么有x 2＋y 2＝1，所以|2c －a |＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪12c －b ＝〔2x －1〕2＋4y 2＋14x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12y －12＝4x 2－4x ＋1＋4y 2＋14x 2＋14y 2－y ＋1＝x 2－4x ＋4＋y 2＋x 2＋y 2－y ＋14＝〔x －2〕2＋y 2＋x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122≥22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝172，应选A. (3)由可得6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e |由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12. 答案 (1)22 (2)A (3)12【训练2】 (1)(2021·杭州四中仿真)假设非零向量a ，b 满足a 2＝(5a －4b )·b ，那么cos 〈a ，b 〉的最小值为________.(2)(2021·浙江名师预测卷一)向量a ，b 满足|b |＝1，|a ＋b |＝2|a －b |，那么|a |2－|b |2的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，8 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，19 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－19，19 (3)(2021·温州适应性测试)平面向量a ，b ，c 满足：a ·b ＝0，|c |＝1，|a －c |＝|b －c |＝5，那么|a －b |的最小值为( )A.5B.6C.7D.8解析 (1)由a 2＝(5a －4b )·b 得a ·b ＝15(a 2＋4b 2)≥15×2|a |2·4|b |2＝45|a |·|b |，那么cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a |·|b |≥45|a |·|b ||a |·|b |＝45，当且仅当|a |＝2|b |时等号成立，所以cos 〈a ，b 〉的最小值为45.(2)因为|b |＝1，所以|(a ＋b )－(a －b )|＝2|b |＝2.两边平方得|a ＋b |2＋|a －b |2－2(|a |2－|b |2)＝4，又|a ＋b |＝2|a －b |，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42，又因为|a ＋b |－|a －b |≤|(a ＋b )－(a －b )|≤|a ＋b |＋|a －b |，即|a －b |≤2≤3|a －b |，故23≤|a －b |≤2，所以|a |2－|b |2＝5|a －b |2－42的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－89，8，应选A. (3)|a －b |2＝|(a －c )－(b －c )|2＝(a －c )2－2(a －c )(b －c )＋(b －c )2＝50－2(a ·b －a ·c －b ·c ＋1)＝48＋2(a ＋b )·c ＝48＋2|a ＋b |cos θ(其中θ为a ＋b 与c 的夹角)，因为|a －b |＝|a ＋b |，所以|a －b |2＝48＋2|a －b |cos θ，那么由cos θ∈[－1，1]，得48－2|a －b |≤|a －b |2≤48＋2|a －b |，解得6≤|a －b |≤8，即|a －b |的最小值为6，此时向量a －b 的方向与向量c 的方向相反，应选B.答案 (1)45 (2)A (3)B微点3 利用向量平行(垂直)、向量的投影型【例3】 (1)如图是蜂巢结构图的一局部，正六边形的边长均为1，正六边形的顶点称为“晶格点〞.假设A ，B ，C ，D 四点均位于图中的“晶格点〞处，且A ，B 的位置如下图，那么AB →·CD→的最大值为________.(2)|a |＝2，|b |＝|c |＝1，那么(a －b )·(c －b )的最大值为________，最小值为________.解析 (1)先建立平面直角坐标系如图，因为正六边形的边长均为1，所以B (0，0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，92，当CD →在AB →方向上的投影最大时，AB →·CD →最大，此时取C (0，5)，D (－3，0)，即(AB →·CD →)max ＝⎝⎛⎭⎪⎫－32，－92·(－3，－5)＝32＋452＝24.(2)设M ＝a ·c －a ·b －b ·c ，那么(a －b )(c －b )＝a ·c －a ·b －b ·c ＋b 2＝1＋a ·c －a ·b －b ·c ＝1＋M .而(b －a －c )2＝6＋2M ，M ＝－3＋12(b －a －c )2，∴当(b －a －c )2＝0时，M min ＝－3，∴[(a －b )(c －b )]min ＝1－3＝－2；当b ，－a ，－c 共线且同向时，M max ＝－3＋12(1＋2＋1)2＝5，∴[(a－b )·(c －b )]max ＝1＋5＝6.答案 (1)24 (2)6 －2【训练3】 (1)向量a ，b ，c 满足|b |＝|c |＝2|a |＝1，那么(c －a )·(c －b )的最大值是________，最小值是________.(2)|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝2，|OP →|＝1，且OA →＝BO →，记P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →的最大值为M ，最小值为m ，那么M ＋m ＝( )A.6B.4C.－2D.－4解析 (1)由题意得|a |＝12，|b |＝|c |＝1，那么(c －a )·(c －b )＝|c |2－c ·b －c ·a ＋a ·b ＝|c |2＋12(－a －b ＋c )2－12(|a |2＋|b |2＋|c |2)＝－18＋12(－a －b ＋c )2，那么当向量－a ，－b ，c 同向共线时，(c －a )·(c －b )取得最大值－18＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1＋12＝3，当－a －b ＋c ＝0时，(c －a )·(c －b )取得最小值－18.(2)因为P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝(OA →－OP →)·(OB→－OP →)＋(OB →－OP →)·(OC →－OP →)＋(OC →－OP →)·(OA →－OP →)＝3OP →2－2OP →·OC→－4，令3OP →＝OQ →，2OC →＝OM →，P A →·PB →＋PB →·PC →＋PC →·P A →＝OP →·MQ→－4，如图，设OC →与OP →夹角为θ(θ∈[0，π]).因为MQ →＝OQ →－OM →.所以MQ →·OP →|OP→|＝OP →(3OP→－2OC →)＝3－4cos θ，又因为cos θ∈[－1，1]，所以MQ →在OP →方向上的投影d ∈[－1，7]，即M ＝3，m ＝－5，所以M ＋m ＝－2，应选C.答案 (1)3 －18 (2)C微点4 利用轨迹图形性质(数形结合)型【例4】 (1)(一题多解)(2021·浙江卷)a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.假设非零向量a 与e 的夹角为π3，向量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，那么|a －b |的最小值是( )A.3－1B.3＋1C.2D.2－ 3(2)向量|a |＝3，|b |＝6，a ·b ＝9，那么|a ＋t (b －a )|＋|(1－t )(b －a )－13b |(其中t ∈[0，1])的最小值是________.解析 (1)法一 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min ＝|CA→|－|CB →|＝3－1.应选A.法二 由b 2－4e ·b ＋3＝0得b 2－4e ·b ＋3e 2＝(b －e )·(b －3e )＝0.设b ＝OB →，e ＝OE →，3e ＝OF →，所以b －e ＝EB →，b －3e ＝FB →，所以EB →·FB →＝0，取EF 的中点为C ，那么B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图，设a ＝OA →，作射线OA ，使得∠AOE ＝π3，所以|a －b |＝|(a －2e )＋(2e －b )|≥|a －2e |－|2e －b |＝|CA→|－|BC →|≥3－1.应选A.(2)由cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝12得a ，b 的夹角为60°，又因为|a |＝3，|b |＝6，所以△OAB 为直角三角形，B ＝30°.如图，令a ＝OA →，b ＝OB →，∠BOA ＝60°，AC→＝tAB →，DB →＝13OB →，那么|OA →＋tAB →|＝|OC →|，⎪⎪⎪⎪⎪⎪(1－t )AB →－13OB →＝|CD →|，问题转化为当点C 在线段AB 上运动时，求|OC→|＋|CD →|的最小值.作点D 关于线段AB 对称的点G ，连接OG ，那么OG 即为所求的最小值.在Rt △BDE 中，∠BED ＝90°，BD ＝2，B ＝30°，那么DE ＝1，DG ＝2DE ＝2，在△ODG 中，OD ＝4，∠ODG ＝120°，DG ＝2，由余弦定理得OG ＝OD 2＋DG 2－2OD ·DG cos ∠ODG ＝27. 答案 (1)A (2)27【训练4】 (1)|a |＝|b |＝1，向量c 满足|c －(a ＋b )|＝|a －b |，那么|c |的最大值为________.(2)(一题多解)(2021·宁波模拟)向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －b |＝1，那么|a ＋c |的取值范围为________.解析 (1)由|c －(a ＋b )|＝|a －b |得向量c 的终点的轨迹为以向量a ＋b 的终点为圆心，|a －b |为半径的圆，那么|c |的最大值为|a ＋b |＋|a －b |， 又因为|a ＋b |＋|a －b |≤2[〔a ＋b 〕2＋〔a －b 〕2]＝2〔|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|a |2－2a ·b ＋|b |2〕＝22，当且仅当|a ＋b |＝|a －b |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2.(2)法一 令m ＝a ＋c ，那么问题转化为|m |的取值范围.由三角不等式有||m |－|a ＋b ||≤|m －(a ＋b )|，那么|a ＋b |－1≤|m |≤1＋|a ＋b |，又||a |－|b ||≤|a ＋b |≤|a |＋|b |，即1≤|a ＋b |≤3，故0≤|m |≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].法二 如图，由，作OB→＝b ，分别以点O ，B 为圆心作单位圆，那么－a 的终点A 在圆O 上，c 的终点C 在圆B 上，那么AC→＝c －(－a )＝c ＋a ，故|a ＋c |＝|AC→|表示两圆上两点连线的长，因此，由圆的性质得0≤|AC→|≤4，即|a ＋c |的取值范围为[0，4].答案 (1)22 (2)[0，4] 【专题集训】1.如图，在△ABC 中，点D ，E 是线段BC 上两个动点，且AD →＋AE →＝xAB →＋yAC →，那么1x ＋4y 的最小值为( )A.32 B.2 C.52D.92解析 由图可设AD→＝λAB →＋(1－λ)AC →，AE →＝μAB →＋(1－μ)AC →，其中λ，μ∈(0，1)，那么AD→＋AE →＝(λ＋μ)AB →＋(2－λ－μ)AC →.由题知，x ＝λ＋μ，y ＝2－λ－μ，所以有x ＋y ＝2，所以1x ＋4y ＝12⎝⎛⎭⎪⎫1x ＋4y (x ＋y )＝12⎝⎛⎭⎪⎫5＋y x ＋4x y≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋2y x ×4x y ＝92，当且仅当y ＝2x ，即x ＝23，y ＝43时，取等号，应选D. 答案 D2.在△ABC 中，BC ＝2，A ＝45°，B 为锐角，点O 是△ABC 外接圆的圆心，那么OA →·BC →的取值范围是( ) A.(]－2，22 B.(]－22，2 C.[]－22，22D.()－2，2解析 依题意得△ABC 的外接圆半径R ＝12·BCsin 45°＝2，|OA→|＝2， 如下图，A 在弧A 1C 上(端点除外)， OA 2→与BC →同向，此时OA →·BC →有最大值22， 又OA 1→·BC →＝－2，故OA →·BC →∈(]－2，22.应选A. 答案 A3.记max{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b .在△AOB 中，∠AOB ＝90°，P 为斜边AB 上一动点.设M ＝max{OP →·OA →，OP →·OB →}，那么当M 取最小值时，APPB ＝( )A.OA OBB.OA OBC.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 3解析 M 取最小值时，OP →·OA →＝OP →·OB →，即OP →·AB →＝0，亦即OP ⊥AB .根据直角三角形的射影定理可得|AP ||PB |＝AP ·PB PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OP PB 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫OA OB 2，应选C. 答案 C4.(2021·浙江名师预测卷四)a ，b 是单位向量，向量c 满足|c －b ＋a |＝|a ＋b |，那么|c |的最大值为( ) A.2 B.2 2 C.3D.3 2解析 由|c －(b －a )|＝|a ＋b |得向量c 的终点的轨迹为以向量b －a 的终点为圆心，|a ＋b |为半径的圆，那么|c |的最大值为|a ＋b |＋|b －a |. 又因为|a ＋b |＋|b －a |≤2[〔a ＋b 〕2＋〔b －a 〕2]＝2〔|a |2＋2a ·b ＋|b |2＋|b |2－2a ·b ＋|a |2〕＝2 2.当且仅当|a ＋b |＝|b －a |，即a ⊥b 时等号成立，所以|c |的最大值为2 2. 答案 B5.(2021·浙江教育绿色评价联盟适考)在矩形ABCD 中，AB ＝1，AD ＝2，动点P 在以C 为圆心且与BD 相切的圆上，假设BP →＝λBA →＋μBC →，设λ＋2μ的最大值为M ，最小值为N ，那么M －N 的值为( )A.2105B.3105C.4105D.10解析 如图，以C 为坐标原点，分别以直线BC ，CD 为x ，y 轴建立平面直角坐标系，那么B (－2，0)，A (－2，1)，由，圆C 的方程为x 2＋y 2＝45，设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫25cos θ，25sin θ，又BP →＝λBA →＋μBC →，那么⎩⎨⎧25cos θ＋2＝2μ， 25sin θ＝λ，即λ＋2μ＝25(sin θ＋cos θ)＋2＝225sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋2，故M －N ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫225＋2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－225＋2＝4105，应选C.答案 C6.(2021·天津卷)如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1.假设点E 为边CD 上的动点，那么AE →·BE →的最小值为( )A.2116 B.32 C.2516D.3解析 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，建立如图的平面直角坐标系，因为在平面四边形ABCD 中，AB ＝AD ＝1，∠BAD ＝120°，所以A (0，0)，B (1，0)，D ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32.设C (1，m )，E (x ，y )，所以DC → ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32，AD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32，因为AD ⊥CD ，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫32，m －32·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，32＝0，那么32×(－12)＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫m －32＝0，解得m ＝3，即C (1，3).因为E 在CD 上，所以32≤y ≤3，由k CE ＝k CD ，得3－y 1－x＝3－321＋12，即x ＝3y －2，因为AE →＝(x ，y )，BE →＝(x －1，y )，所以AE →·BE →＝(x ，y )·(x －1，y )＝x 2－x ＋y 2＝(3y －2)2－3y ＋2＋y 2＝4y 2－53y ＋6，令f (y )＝4y 2－53y ＋6，y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3.因为函数f (y )＝4y 2－53y ＋6在⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，538上单调递减，在⎝ ⎛⎦⎥⎤538，3上单调递增，所以f (y )min ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫538 2－53×538＋6＝2116.所以AE →·BE →的最小值为2116，应选A. 答案 A7.(2021·浙江新高考仿真卷二)在△ABC 中，A ＝120°，BC ＝213，AC ＝2，那么AB ＝________；当|CB →＋λCA →|取到最小值时，那么λ＝________.解析 在△ABC 中，由余弦定理得BC 2＝AC 2＋AB 2－2AC ·AB cos A ，即(213)2＝22＋AB 2－2×2AB cos 120°，解得AB ＝6，那么cos C ＝BC 2＋AC 2－AB 22BC ·AC ＝〔213〕2＋22－622×213×2＝51326，那么|CB →＋λCA →|2＝|CB →|2＋λ2|CA →|2＋2λCB →·CA →＝(213)2＋λ2×22＋2λ×213×2×51326＝4λ2＋20λ＋52，那么当λ＝－202×4＝－52时，|CB →＋λCA →|取得最小值. 答案 6 －528.假设非零向量a 和b 满足|a ＋b |＝|b |＝2，那么|a |的取值范围是________，|a －b |的取值范围是________.解析 因为||a ＋b |－|b ||≤|a |＝|a ＋b －b |≤|a ＋b |＋|b |＝4，又a 是非零向量，所以|a |的取值范围是(0，4]，因为|a －b |＋|a ＋b |≥2|b |＝|(a ＋b )－(a －b )|≥||a －b |－|a ＋b ||，所以－4≤|a －b |－|a ＋b |≤4，|a －b |＋|a ＋b |≥4，又|a ＋b |＝2，解得|a －b |的取值范围是[2，6]. 答案 (0，4) [2，6]9.(2021·杭州三校三联)如图，圆O 是半径为1的圆，OA ＝12，设B ，C 为圆上的任意2个点，那么AC →·BC→的取值范围是________.解析 设a ＝OA →，b ＝OB →，c ＝OC →，那么有|a |＝12，|b |＝|c |＝1，那么AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≤|c －a |·|c －b |≤(|c |＋|a |)·(|c |＋|b |)＝32×2＝3，当且仅当a ，b 同向共线，且与c 反向共线时，等号成立，所以AC →·BC →的最大值为 3.AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )＝1－c ·(a ＋b )＋a ·b ≥1－|c |·|a ＋b |＋a ·b ＝1－|a ＋b |＋a ·b ＝1－54＋2a ·b ＋a ·b ，令a ·b ＝t ，那么易得t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12，AC →·BC →＝(c －a )·(c －b )≥1－54＋2t ＋t ，设f (t )＝1－54＋2t ＋t ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12≤t ≤12，那么f ′(t )＝1－154＋2t.易得当t ＝－18时，f (t )＝1－54＋2t ＋t 取得最小值－18.综上所述，AC →·BC →的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，310.平面向量a ，b ，c 满足|a |＝1，|b |＝2，|c －a |＝|c －b |，那么|c |的最小值为________，此时a ·b ＝________.解析 由|c －a |＝|c －b |，得c 2－2a ·c ＋a 2＝c 2－2b ·c ＋b 2，即2b ·c －2a ·c ＝b 2－a 2＝3，那么(b －a )·c ＝32≤|b －a |·|c |≤(|b |＋|a |)·|c |＝3|c |，所以|c |≥12，当且仅当a 与b 方向相反且a ，b ，c 共线时等号成立，所以|c |的最小值为12，此时a ·b ＝|a ||b |cos π＝－2. 答案 12 －211.正三角形ABC 的边长为4，O 是平面ABC 内的动点，且∠AOB ＝π3，那么OC →·AB→的最大值为________. 解析 如图，圆E 2为△ABC 的外接圆，圆E 1与圆E 2关于直线AB 对称，由题意知O 在圆E 1，E 2的优弧AB ︵上(圆E 1，E 2半径相等)，设AB 的中点为D ，OC →·AB →＝(DC →－DO →)·AB →＝BA →·DO →＝|BA →|·|DO →|·cos ∠ADO ，易知当∠ADO 为锐角，且DO →在BA →方向上的射影最大时，OC →·AB→取得最大值，易知DO→在BA →方向上射影的最大值为△ABO 外接圆的半径，故所求最大值为4×42sin π3＝1633.答案 163312.(2021·浙江卷)正方形ABCD 的边长为1，当每个λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最小值是________，最大值是________.解析 如图，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，那么AB→＝(1，0)，AD →＝(0，1). 设a ＝λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD → ＝λ1AB →＋λ2AD →－λ3AB →－λ4AD →＋λ5(AB →＋AD →)＋λ6(AD →－AB →) ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB →＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD → ＝(λ1－λ3＋λ5－λ6，λ2－λ4＋λ5＋λ6).故|a|＝〔λ1－λ3＋λ5－λ6〕2＋〔λ2－λ4＋λ5＋λ6〕2. ∵λi (i ＝1，2，3，4，5，6)取遍±1，∴当λ1－λ3＋λ5－λ6＝0，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝0时，|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|取得最小值0. 考虑到λ5－λ6，λ5＋λ6有相关性，要确保所求模最大，只需使|λ1－λ3＋λ5－λ6|，|λ2－λ4＋λ5＋λ6|尽可能取到最大值，即当λ1－λ3＋λ5－λ6＝2，λ2－λ4＋λ5＋λ6＝4时可取到最大值，∴|λ1AB →＋λ2BC →＋λ3CD →＋λ4DA →＋λ5AC →＋λ6BD →|的最大值为4＋16＝2 5.答案 0 25。

最全归纳平面向量中的范围与最值问题目录题型一：三角不等式题型二：定义法题型三：基底法题型四：几何意义法题型五：坐标法题型六：极化恒等式题型七：矩形大法题型八：等和线题型九：平行四边形大法题型十：向量对角线定理方法技巧总结技巧一．平面向量范围与最值问题常用方法：(1)定义法第一步：利用向量的概念及其基本运算将所求问题转化为相应的等式关系第二步：运用基木不等式求其最值问题第三步：得出结论(2)坐标法第一步：根据题意建立适当的直角坐标系并写出相应点的坐标第二步：将平面向量的运算坐标化第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等求解(3)基底法第一步：利用其底转化向量第二步：根据向量运算律化简目标第三步：运用适当的数学方法如二次函数的思想、基本不等式的思想、三角函数思想等得出结论(4)几何意义法第一步：先确定向量所表达的点的轨迹第二步：根据直线与曲线位置关系列式第三步：解得结果技巧二．极化恒等式(1)平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：|a +b |2+|a -b |2=2(|a|2+|b |2)证明：不妨设AB =a ,AD =b ，则AC =a +b ，DB =a -bAC 2=AC 2=a +b 2=a 2+2a ⋅b +b 2①DB 2=DB 2=a -b 2=a 2-2a ⋅b +b 2②①②两式相加得：AC 2+DB 2=2a 2+b 2=2AB 2+AD 2 (2)极化恒等式：上面两式相减，得：14a +b 2-a -b 2----极化恒等式①平行四边形模式：a ⋅b =14AC 2-DB 2几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的14．②三角形模式：a ⋅b =AM 2-14DB 2(M 为BD 的中点)技巧三．矩形大法矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等已知点O 是矩形ABCD 与所在平面内任一点，证明：OA 2+OC 2=OB 2+OD 2．【证明】(坐标法)设AB =a ,AD =b ，以AB 所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy ，则B (a ,0),D (0,b ),C (a ,b )，设O (x ,y )，则OA 2+OC 2=(x 2+y 2)+[(x -a )2+(y -b )2]OB 2+OD 2=[(x -a )2+y 2]+[x 2+(y -b )2]∴OA 2+OC 2=OB 2+OD 2技巧四．等和线(1)平面向量共线定理已知OA =λOB +μOC ，若λ+μ=1，则A ,B ,C 三点共线；反之亦然．(2)等和线平面内一组基底OA ,OB 及任一向量OP ，OP =λOA +μOB(λ,μ∈R )，若点P 在直线AB 上或者在平行于AB 的直线上，则λ+μ=k (定值)，反之也成立，我们把直线AB 以及与直线AB 平行的直线称为等和线．①当等和线恰为直线AB 时，k =1；②当等和线在O 点和直线AB 之间时，k ∈(0,1)；③当直线AB 在点O 和等和线之间时，k ∈(1,+∞)；④当等和线过O 点时，k =0；⑤若两等和线关于O 点对称，则定值k 互为相反数；技巧五．平行四边形大法1.中线长定理2AO 2=AB 2+AD 2-12DB 22.P 为空间中任意一点，由中线长定理得：2PO 2=PA 2+PC 2-12AC 22PO 2=PD 2+PB 2-12DB 2两式相减：PA 2+PC 2-PD 2+PB 2=AC2-BD 22=2AB ⋅AD技巧六．向量对角线定理AC ⋅BD =(AD 2+BC 2)-(AB 2+CD2)2必考题型归纳题型一:三角不等式1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ,b ,c 满足|a |=2,|b |=1,|c -a -b |=1，若对任意c ，(c -a )2+(c-b )2≤11恒成立，则a ⋅b 的取值范围是.2(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：|a|=1,b ⋅a =-1，若对满足条件的任意向量b ，|c -b |≥|c -a |恒成立，则cos c +a ,a 的最小值是．3已知向量a ,b ,c 满足a =b =c =2，a ⋅b =0，若关于t 的方程ta +b2-c=12有解，记向量a ,c 的夹角为θ，则sin θ的取值范围是.1.已知e 1 ,e 2 ,e 3 是平面向量，且e 1 ,e 2 是互相垂直的单位向量，若对任意λ∈R 均有e 3 +λe 1的最小值为e 3 -e 2 ，则e 1 +3e 2 -e 3 +e 3-e 2 的最小值为．2.已知平面向量e 1 ,e 2 满足2e 2 -e 1 =2，设a =e 1 +4e 2 ,b =e 1 +e 2 ，若1≤a ⋅b ≤2，则|a|的取值范围为．3.(2023·浙江金华·统考一模)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =74，|a -b|=3，(a -c )(b -c )=-2，则c的取值范围是．1已知向量a ，b 的夹角为π3，且a ⋅b =3，向量c 满足c =λa +1-λ b 0<λ<1 ，且a ⋅c =b ⋅c ，记x =c ⋅aa ，y =c ⋅b b，则x 2+y 2-xy 的最大值为.2(2023·四川成都·高二校联考期中)已知向量a ，b ，c 满足a =1，b=2，a ⋅b=-1，向量c -a 与向量c -b 的夹角为π4，则c 的最大值为．3(2023·浙江绍兴·高二校考学业考试)已知向量a ，b 满足a =1，b=3，且a ⊥b ，若向量c 满足c -a -b =2a -b ，则c的最大值是．1.已知向量a ，b 满足a =1，b =3，且a ⋅b =-32，若向量a -c 与b -c 的夹角为30°，则|c |的最大值是. 2.已知向量a ，b ，满足a =2b =3c =6，若以向量a ，b 为基底，将向量c 表示成c =λa+μb (λ，μ为实数)，都有λ+μ ≤1，则a ⋅b的最小值为 3.已知向量a 、b 满足：a -b=4，a =2b .设a -b 与a +b 的夹角为θ，则sin θ的最大值为.1.已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E ，F 分在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF=μDC ．若λ+μ=23，则AE ⋅AF 的最小值为．2.(2023·天津·高三校联考阶段练习)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD =120°，点E 、F 分别在边BC ，CD 上，BE =λBC ，DF =μDC ，若2λ+μ=52，则AE ⋅AF 的最小值．3.如图，菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为．4.菱形ABCD 的边长为4，∠BAD =30°，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AB ⋅AN的最大值为．5.如图，菱形ABCD 的边长为4,∠BAD =60°,M 为DC 的中点，若N 为菱形内任意一点(含边界)，则AM ⋅AN的最大值为.6.平面四边形ABCD 是边长为2的菱形，且∠A =120°，点N 是DC 边上的点，且DN =3NC，点M 是四边形ABCD 内或边界上的一个动点，则AM ⋅AN的最大值为.7.(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足a +b =3，a ⋅b =0．若c =λa+1-λ b ，且c ⋅a =c ⋅b，则c 的最大值为．8.已知平面向量a ，b ，c 满足a =2，b =1，a ⋅b =-1，且a -c 与b -c 的夹角为π4，则c 的最大值为．9.已知平面向量a 、b 、c 满足a=4，b =3，c =2，b ⋅c =3，则a -b 2a -c 2-a -b⋅a -c 2最大值为.10.在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，且满足AN =λAB +μAC，则λ2+μ2的最小值为.题型四:几何意义法1(2023·全国·模拟预测)已知a ，b ，c 是平面向量，满足a -b =a +b ，a =2b =2，c +a -b=5，则向量c 在向量a上的投影的数量的最小值是.2(2023·上海浦东新·上海市建平中学校考三模)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π4，c -a与c -b 的夹角为3π4，a -b=2，c -b =1，则b ⋅c 的取值范围是.3(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b 夹角为π3，且平面向量c 满足c -a =c -b =1,c -a ⋅c -b =-12,记m 为f t =ta +1-t b (t ∈R )的最小值，则m 的最大值是． 1.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c 满足a ⋅b =-3，a -b=4，c -a 与c -b 的夹角为π3，则c -a -b 的最大值为． 2.(2023·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考开学考试)已知非零平面向量a ，b ，c 满足：a ，b 的夹角为π3，c -a 与c -b的夹角为2π3，a -b =23，c -b =2，则b ⋅c 的取值范围是．3.已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =2，且(c -a )⋅(c -b )=0，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π6,π3，则|c |的最大值是.4.(2023·全国·高三专题练习)平面向量a ,b ,c 满足：a ,b 的夹角为π3，|a -b|=|b -c |=|a -c |=23，则b ⋅c的最大值为. 5.(2023·广东阳江·高二统考期中)已知非零平面向量a ，b ，c 满足a -b =4，且a -c⋅b -c =-1，若a 与b 的夹角为θ，且θ∈π3,π2，则c 的模取值范围是. 6.(2023·浙江·高三专题练习)已知平面向量a ，b ，c ，若a =b =a -b =1，且2a -c+2b +c =23，则a -c的取值范围是.7.(2023·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校考期末)已知向量a ，b 满足a =b =1，且a ⋅b=0，若向量c 满足c +a +b=1，则c 的最大值为.8.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b ，c 满足a -b +c=2b =2，b -a 与a 的夹角为3π4，则c 的最大值为．9.(2023·全国·高三专题练习)已知平面向量a ,b ,c 满足：a -b =5，向量a与向量b 的夹角为π3，a -c=23，向量a -c 与向量b -c 的夹角为2π3，则a 2+c 2的最大值为.题型五:坐标法1(2023·全国·高三专题练习)已知向量a ，b 满足2a +b=3，b =1，则a +2a +b 的最大值为.2(2023·江苏常州·高三统考期中)已知平面向量a ,b ,c 满足|a |=2，|b |=4，a ，b 的夹角为π3，且(a -c )⋅(b -c )=2，则|c |的最大值是.3设平面向量a ，b ，c 满足a =b =2，a 与b 的夹角为2π3，a -c ⋅b -c =0则c 的最大值为．1.(2023·安徽滁州·校考三模)已知平面向量a ，b ，c 满足|a|=1，|b |=3，a ⋅b =0，c -a 与c -b 的夹角是π6，则c ⋅b -a 的最大值为.2.(2023·河北·统考模拟预测)如图，在边长为2的正方形ABCD 中．以C 为圆心，1为半径的圆分别交CD ，BC 于点E ，F ．当点P 在劣弧EF 上运动时，BP ⋅DP的最小值为．3.(2023·山东·山东省实验中学校考一模)若平面向量a ，b ，c 满足a =1，b ⋅c =0，a ⋅b =1，a⋅c=-1，则b +c 的最小值为．4.(2023·四川眉山·仁寿一中校考一模)如图，在平面四边形ABCD 中，∠CDA =∠CBA =90°，∠BAD =120°，AB =AD =1，若点E 为CD 边上的动点，则AE ⋅BE的最小值为．5.(2023·安徽滁州·校考模拟预测)已知a=1，b +a +b -a =4，则b -14a 的最小值是.6.(2023·浙江·模拟预测)已知向量a ，b 满足a=3，且b -λa 的最小值为1(λ为实数)，记a,b =α，a ,a -b=β，则b ⋅b -a cos α+β最大值为.7.在矩形ABCD 中，AB =4，AD =3，M ，N 分别是AB ，AD 上的动点，且满足2AM +AN =1，设AC =xAM +yAN ，则2x +3y 的最小值为()A.48B.49C.50D.51题型六:极化恒等式1(2023·山东师范大学附中模拟预测)边长为1的正方形内有一内切圆，MN 是内切圆的一条弦，点P 为正方形四条边上的动点，当弦MN 的长度最大时，PM ⋅PN的取值范围是．2(2023·湖北省仙桃中学模拟预测)如图直角梯形ABCD 中，EF 是CD 边上长为6的可移动的线段，AD =4，AB =83，BC =12，则BE ⋅BF的取值范围为． 3(2023·陕西榆林·三模)四边形ABCD 为菱形，∠BAC =30°，AB =6，P 是菱形ABCD 所在平面的任意一点，则PA ⋅PC的最小值为． 1.(2023·福建莆田·模拟预测)已知P 是边长为4的正三角形ABC 所在平面内一点，且AP=λAB +(2-2λ)AC (λ∈R )，则PA ⋅PC 的最小值为()A.16B.12C.5D.42.(2023·重庆八中模拟预测)△ABC 中，AB =3，BC =4，AC =5，PQ 为△ABC 内切圆的一条直径，M 为△ABC 边上的动点，则MP ⋅MQ的取值范围为()A.0,4B.1,4C.0,9D.1,9题型七:矩形大法1已知圆C 1:x 2+y 2=9与C 2:x 2+y 2=36，定点P (2,0)，A 、B 分别在圆C 1和圆C 2上，满足PA ⊥PB ，则线段AB 的取值范围是．2在平面内，已知AB 1 ⊥AB 2 ，OB 1 =OB 2 =1，AP =AB 1 +AB 2 ，若|OP |<12，则|OA |的取值范围是()A.0,52B.52,72C.52,2D.72,23(2023·全国·高三专题练习)已知圆Q :x 2+y 2=16，点P 1,2 ，M 、N 为圆O 上两个不同的点，且PM⋅PN =0若PQ =PM +PN ，则PQ的最小值为．1.设向量a ，b ，c满足|a |=|b |=1，a ⋅b =12，(a -c )⋅(b -c )=0，则|c |的最小值是()A.3+12B.3-12C.3D.1题型八:等和线1如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆O ，P 为圆O 上任一点，若AP =xAB +yAC，则2x +2y 的最大值为()A.83B.2C.43D.12在△ABC 中，M 为BC 边上任意一点，N 为线段AM 上任意一点，若AN =λAB +μAC(λ，μ∈R )，则λ+μ的取值范围是()A.0,13B.13,12C.[0,1]D.[1,2]3(2023·全国·高三专题练习)如图,OM ∥AB ，点P 在由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的区域内(不含边界)运动,且OP =xOA +yOB .当x =-12时，y 的取值范围是()A.0，+∞ B.12，32C.12，+∞ D.-12，321.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一动点，若OC=xOA +yOB，则3x +y 的取值范围是．2.(2023·江西上饶·统考三模)在扇形OAB 中，∠AOB =60°，C 为弧AB 上的一个动点.若OC=xOA +yOB ，则2x +y 的取值范围是.3.(2023·全国·高三专题练习)在扇形OAB 中，OA =1，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB ，则x +3y 的取值范围是.4.(2023·福建三明·高二三明一中校考开学考试)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =π3，C 为弧AB 上的一个动点，若OC =xOA +yOB，则x +4y 的取值范围是.5.(2023·全国·高三专题练习)如图，OM ⎳AB ，点P 由射线OM 、线段OB 及AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界).且OP =xOA +yOB，则实数对x ,y 可以是()A.-14,34B.-15,75C.14,-12D.-23,236.如图，B 是AC 的中点，BE =2OB ，P 是平行四边形BCDE 内(含边界)的一点，且OP=xOA +yOBx ,y ∈R ，则下列结论正确的个数为()①当x =0时，y ∈2,3②当P 是线段CE 的中点时，x =-12，y =52③若x +y 为定值1，则在平面直角坐标系中，点P 的轨迹是一条线段④x -y 的最大值为-1A.1B.2C.3D.47.(2023·全国·高三专题练习)在△ABC 中，AB =AC=AB ⋅AC=2，点Q 在线段BC (含端点)上运动，点P 是以Q 为圆心，1为半径的圆及内部一动点，若AP =λAB +μAC，则λ+μ的最大值为()A.1B.33C.3+33D.328.在△ABC 中，AD 为BC 上的中线，G 为AD 的中点，M ，N 分别为线段AB ，AC 上的动点(不包括端点A ，B ，C )，且M ，N ，G 三点共线，若AM =λAB ，AN =μAC，则λ+4μ的最小值为()A.32 B.52C.2D.949.(2023·全国·高三专题练习)在ΔABC 中，AC =2,AB =2,∠BAC =120°,AE =λAB ,AF=μAC ，M 为线段EF 的中点，若AM=1，则λ+μ的最大值为()A.73B.273C.2D.21310.在扇形OAB 中，∠AOB =60o ，OA =1，C 为弧AB 上的一个动点，且OC =xOA +yOB．则x +4y 的取值范围为()A.[1,4)B.[1,4]C.[2,3)D.[2,3]11.(2023·全国·高三专题练习)如图，在扇形OAB 中，∠AOB =600，C 为弧AB 上且与A ,B 不重合的一个动点，且OC =xOA +yOB，若u =x +λy (λ>0)存在最大值，则λ的取值范围为()A.(1,3)B.13,3C.12,1D.12,2题型九:平行四边形大法1如图，圆O 是半径为1的圆，OA =12，设B ，C 为圆上的任意2个点，则AC ⋅BC 的取值范围是.2如图，C ，D 在半径为1的⊙O 上，线段AB 是⊙O 的直径，则AC ⋅BD的取值范围是.3(2023·浙江·模拟预测)已知e 为单位向量，平面向量a ，b 满足|a +e |=|b -e |=1，a ⋅b的取值范围是.1.(2023·江西宜春·校联考模拟预测)半径为1的两圆M 和圆O 外切于点P ，点C 是圆M 上一点，点B 是圆O 上一点，则PC ⋅PB的取值范围为.2.(2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习)设圆M ，圆N 的半径分别为1，2，且两圆外切于点P ，点A ，B 分别是圆M ，圆N 上的两动点，则PA ⋅PB的取值范围是()A.-8,12B.-16,34C.-8,1D.-16,1题型十:向量对角线定理1已知平行四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB =BC =AD =2，CD =3，AC 与BD 交于点O ，若记a =OA⋅OB ，b =OB ⋅OC ，c =OC ⋅OD ，则()A.a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <a <c2如图，在圆O 中，若弦AB =3，弦AC =5，则AO ⋅BC的值是()A.-8B ．-1C ．1D ．83如图，在四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥BC 若，AB =a ，AD =b ，则AC ⋅BD 等于()A.b 2-a 2B.a 2-b 2C.a 2+b 2D.a 2⋅b 2。

一、选择题1．实数m ，n ，x ，y 满足22m n a +=，22()x y b a b +=≠，那么mx ny +的最大值为（ ）．A ．2a b +BCD．22．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n ana b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（ ） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．若正实数a b c 、、满足22ab bc ac a ++=-，则2a b c ++的最小值为（ ） A ．2 B ．1CD ．4．函数y =的最大值是( )ABC ．3D ．55．函数y＝的最大值为（ ） A ．5B ．8C ．10D ．126．已知a ，b ，c 均为正数，若1a b c ++=，则111a b c++的最小值为 A ．9 B ．8 C ．3D ．137．已知空间向量(1,0,0),(1,1,0),(0,0,1),OA OB OC === 向量,OP xOA yOB zOC =++且424x y z ++=,则OP 不可能是 A ．12B ．1C ．32D ．48．下列不等式成立的有①a b a b -≤-，②a b c ++≥，③22222()()()a b c d ac bd ++≤+ A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个9．证明：2111111(1)22342n n n n+<++++++，当2n =时，中间式子等于（ ） A ．1B ．112+C ．11123++ D ．1111234+++ 10．已知函数1212)(+=x x －x f ，则不等式12log (1)(2)f x f x ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭＞0的解集为（ ）A ．（2，3）B ．（1，3）C ．（0，2）D ．（1，2）11．已知x, y, ∈z R ，且522=+-z y x ，则222)3()1()5(++-++z y x 的最小值是 A ．20 B ．25 C ．36 D ．47 12．设是正数，且，，，则A ．B ．C ．D ．二、填空题13．已知平面向量,,a b c 满足0a b ⋅=，1c =，5a c b c -=-=，则a b -的最大值为__________．14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．若x y z R ∈、、，且226x y z ++=，则222x y z ++的最小值为______. 16．函数4337y x x =-+-的最大值为________．17．已知,,a b c ∈R 且222234a b c ++=，则23a b c ++的最大值为________． 18．已知正实数,,a b c ，且1a b c ++=，则()222149a b c +++的最小值为______． 19．已知,,a b c ∈R,2229a b c ++=，23M a b c =++，则M 的最大值是___． 20．设向量(,)a b α=，(,)m n β=，其中,,,a b m n R ∈，由不等式αβαβ⋅≤⋅恒成立，可以证明（柯西）不等式()()22222()am bn a bmn +≤++（当且仅当α∥β，即an bm =时等号成立），已知,x y R +∈3x y x y +恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是____三、解答题21．已知函数()31f x x x =+++. （1）求不等式()4f x ≤的解集；（2）设函数()f x 的最小值为n ，若正实数,,a b c ，满足a b c n ++=，证明4118a b c++≥. 22．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求111323232a b c +++++的最小值. 23．已知a ，b ，c 为正实数，求2a b c b c c a a b+++++的最小值. 24．已知a ，b ，c 为正实数，且a+b+c=1.（Ⅰ）证明：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；（Ⅱ）证明：32++≥+++a b c b c a c a b . 25．已知a b c ∈R 、、，且22224a b c ++=，求实数a b c ++的最大值. 26．已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】根据柯西不得式()()()22222mx ny m nxy +≤++，直接计算结果.【详解】由柯西不等式()()()22222mx ny m nx y ab +≤++=等号成立的条件是my nx = ，所以mx ny + 故选：B 【点睛】本题考查柯西不等式，考查计算能力，属于基础题型.2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈即得解. 【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n anb n =-，所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立， （2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴<，∴< 假设当n k =时，原式成立，即1121232k k -⨯⨯⋯⨯<，那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++，即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．D解析：D 【解析】分析：根据基本不等式的性质求出2a+b+c 的最小值即可． 详解：由题得：因为a 2+ac+ab+bc=2， ∴（a+b ）（a+c ）=2，又a ，b ，c 均为正实数，∴2a+b+c=（a+b ）+（a+c ）， 当且仅当a+b=a+c 时，即b=c 取等号． 故选D.点睛：本题考查了绝对值的意义，考查基本不等式的性质，是一道基础题．4．B解析：B 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】因为y =≤=2=，即265x =时，取等号.故选：B 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】利用向量的关系a b a b ⋅≤⋅，可设向量()4,3a =，(3,b x =-，然后进行求解即可 【详解】由已知得，函数的定义域为37x ≤≤，设向量()4,3a =，(3,b x =-，则5a =，2b =，10a b a b ⋅≤⋅=，当且仅当a b 时，即0=时，等号成立，解得13925x =，属于定义域范围， 所以，该函数y 可以取得最大值为10 答案选C 【点睛】本题考查向量中的最值问题，属于中档题6．A解析：A 【分析】利用柯西不等式可得最小值． 【详解】 因为()111111a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭()()()222222111abc a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤⎢⎥=++++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 21119a b c a b c ⎛⎫≥⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝ 当且仅当13a b c ===时等号成立，故所求最小值为9，故选A ． 【点睛】 一般地，如果12,,,n a a a ，12,,,n b b b 是实数，那么()()()222222212121111n n n n aa ab b b a b a b a b ++++++≥+++，进一步地，（1）如果1111n n a b a b a b M +++=，那么()()2222221212n n a a a b b b ++++++有最小值2M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最小值； （1）如果()()2222221212n n a a a b b b M ++++++=，那么1111n n a b a b a b +++有最大值M ，当且仅当1111nna a ab b b ===时取最大值． 7．A解析：A 【分析】由题求得OP 的坐标，求得OP ，结合424x y z ++=可得答案. 【详解】(),,x y y z =+ ，()222OP x y y z =+++利用柯西不等式可得()()()22222224214216x y y z x y z ⎡⎤⎡⎤+-++++≥++=⎣⎦⎣⎦21621OP ∴≥. 故选A. 【点睛】本题考查空间向量的线性坐标运算及空间向量向量模的求法，属基础题.8．B解析：B 【分析】对不等式逐一分析即可. 【详解】对①，两边同时平方可得222222a a b b a ab b -+≤-+，化简可得a b ab ≥，显然成立，所以①正确；对②，三个正数的算术-几何平均不等式：如果,,a b c R +∈，那么a b c ++≥且仅当a b c ==时，等号成立，前提必须是三个正数，故②错误； 对③，由柯西不等式的最简形式可知：()()()22222a b c d ac bd ++≥+，故③错误.故选：B. 【点睛】本题考查不等式的相关知识，考查了绝对值三角不等式、三个正数的算术-几何平均不等式、柯西不等式，属于基础题.9．D解析：D 【详解】试题分析：2n =时中间式子的最后一项为14，中间式子为1111234+++ 考点：数学归纳法10．D解析：D 【解析】试题分析：由已知2112()()2112x x xxf x f x -----===-++，所以()f x 是奇函数，又2()121xf x =-+，2xy =是增函数，因此()f x 也是增函数，不等式12log (1)(2)0f x f x ⎛⎫-+-> ⎪⎝⎭可变为12(log (1)(2)(2)f x f x f x ->--=-，而()f x 为增函数，所以12log (1)2x x ->-，在(1,)+∞上，函数12log (1)y x =-是减函数，函数2y x =-是增函数，且2x =时两者相等，因此不等式12log (1)2x x ->-的解为12x <<．故选D ．考点：函数的奇偶性、单调性，解函数不等式．【名师点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性．解函数不等式，即使有函数解析式已知的情况下，也不一定要把函数式代入（而且一般不能代入），而是要利用奇偶性化为()()f a f b <的形式，再由单调性化为()a b a b <>或形式，最终不等式12log (1)2x x ->-是不可用代数法来解的，必须借助函数图象，利用函数的性质解题．11．C解析：C 【解析】试题分析：由于()()()()()()324)]3(21)2(5[)]221][(315[2222222=++--++≥+-+++-++z y x z y x则()()()222315++-++z y x （当且仅当232115+=--=+z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-=133z y x 时取等号.故选C 考点：柯西不等式.12．C解析：C 【解析】本题主要考察了柯西不等式的使用以及其取等条件. 由于等号成立当且仅当则a="t" x b="t" y c="t" z ，所以由题知又，答案选C 。

第11讲 平面向量中的最值范围问题题型一 利用平面向量基本定理确定参数的值、取值范围问题平面向量基本定理是向量坐标的理论基础,通过建立平面直角坐标系,将点用坐标表示,利用坐标相等列方程,寻找变量的等量关系,进而表示目标函数,转化为函数的最值问题． 【例1】已知1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,其中实数,λμ满足12λμ≤+≤,0,0λμ≥≥,则点C 所形成的平面区域的面积为( )A B C ．D 【答案】B 【解析】 由题：1,60,OA OB AOB OC OA OB λμ==∠=︒=+,作2,2OP OA OQ OB ==，OC 与线段AB 交于D ，设OCxOD =，如图：OC OA OB λμ=+，0,0λμ≥≥，所以点C 在图形QOP ∠内部区域，根据平面向量共线定理有,1ODmOA nOB m n =++=，,1OC xOD xmOA xnOB m n ==++=，OC OA OB λμ=+，所以,xm u xn λ==，12λμ≤+≤，即12xm xn ≤+≤，即12x ≤≤，OC xOD =，所以点C 所在区域为梯形APQB 区域，其面积1122sin 6011sin 6022APQB OPQ OAB S S S ︒︒∆∆=-=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=，故选：B 【玩转跟踪】1.已知RtABC ，3AB =，4BC =，5CA =，P 为ABC △外接圆上的一动点，且AP xAB y AC =+，则x y+的最大值是（ ）A ．54B ．43C ．D ．53【答案】B 【解析】解：以AC 的中点为原点，以AC 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则ABC △外接圆的方程为2225()2xy +=，设P 的坐标为55cos ,sin 22θθ⎛⎫⎪⎝⎭，过点B 作BD 垂直x 轴，∵4sin 5A =，3AB = ∴12sin 5BD AB A ==，39cos 355AD AB A =⋅=⨯=，∴5972510OD AO AD =-=-=，∴712,105B ⎛⎫-⎪⎝⎭，∵5,02A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，5,02C ⎛⎫⎪⎝⎭∴912,55AB ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()5,0AC =，555cos ,sin 222AP θθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵AP xAB y AC =+∴555912cos ,sin ,22255x θθ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()9125,05,55y x y x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭∴559cos 5225x y θ+=+，512sin 25x θ=，∴131cos sin 282y θθ=-+，25sin 24x θ=， ∴()12151cos sin sin 23262x y θθθϕ+=++=++，其中3sin 5ϕ=，4cos 5ϕ=，当()sin 1θϕ+=时，x y +有最大值，最大值为514623+=，故选：B ．2.在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若AP =λ AB +μAD ，则λ+μ的最大值为 A ．3 B ．2CD ．2【答案】A【解析】,如图所示，建立平面直角坐标系.设()()()()()0,1,0,0,2,0,2,1,,A B C D P x y ,易得圆的半径r=，即圆C 的方程是()22425x y -+=， ()()(),1,0,1,2,0AP x y AB AD =-=-=，若满足AP AB AD λμ=+，则21x y μλ=⎧⎨-=-⎩ ，,12x y μλ==-，所以12xy λμ+=-+，设12x zy =-+，即102x y z -+-=，点(),P x y 在圆()22425x y -+=上， 所以圆心(2,0)到直线102xy z -+-=的距离d r ≤≤，解得13z ≤≤，所以z 的最大值是3，即λμ+的最大值是3，故选A.3.如图，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，0OA OB ⋅=，1OA OB ==，若OC OA OB x y =+，则2x y+的最小值是（ ）A．B ．1 C ．2D【答案】B 【解析】 由题：OC OA OB x y =+，点C 是半径为1的扇形圆弧AB 上一点，则0,0x y >>，则()22OC xOA yOB=+，即()()2222OC xOA yOBxyOA OB =++⋅，0OA OB ⋅=，1OA OB ==化简得：221xy +=，令cos ,sin ,[0,]2x y θθθπ==∈，2sin 2cos ),sin [0,]2x y θθθϕϕϕϕπ+=+=+==∈因为[0,]2πθ∈，[0,]2πϕ∈，2πϕθϕϕ≤+≤+，sin()θϕ+先增大后减小，所以sin()θϕ+的最小值为sin ,sin()2πϕϕ+较小值，sin()cos 2πϕϕ+==即sin()θϕ+，所以2)x y θϕ+=+的最小值为1.故选：B题型二 平面向量数量积的范围问题已知两个非零向量a 和b ,它们的夹角为θ,把数量cos a b θ⋅⋅叫做a 和b 的数量积(或内积),记作a b ⋅.即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅,规定00a ⋅=,数量积的表示一般有三种方法：(1)当已知向量的模和夹角时,可利用定义法求解,即a b ⋅=cos a b θ⋅⋅；(2)当已知向量的坐标时,可利用坐标法求解,即若a ＝(x 1,y 1),b ＝(x 2,y 2),则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；（3）运用平面向量基本定理,将数量积的两个向量用基底表示后,再运算．【例2】【2018年天津理科08】如图，在平面四边形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ⊥CD ，∠BAD ＝120°，AB ＝AD ＝1．若点E为边CD 上的动点，则的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．3【解答】解：如图所示，以D为原点，以DA所在的直线为x轴，以DC所在的直线为y轴，过点B做BN⊥x轴，过点B做BM⊥y轴，∵AB⊥BC，AD⊥CD，∠BAD＝120°，AB＝AD＝1，∴AN＝AB cos60°，BN＝AB sin60°，∴DN＝1，∴BM，∴CM＝MB tan30°，∴DC＝DM+MC，∴A（1，0），B（，），C（0，），设E（0，m），∴（﹣1，m），（，m），0≤m，∴m2m＝（m）2（m）2，当m时，取得最小值为．故选：A．【玩转跟踪】1.【2017年新课标2理科12】已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（）的最小值是（）A．﹣2 B．C．D．﹣1【解答】解：建立如图所示的坐标系，以BC中点为坐标原点，则A（0，），B（﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则（﹣x ，y ），（﹣1﹣x ，﹣y ），（1﹣x ，﹣y ），则•（）＝2x 2﹣2y +2y 2＝2[x 2+（y ）2]∴当x ＝0，y 时，取得最小值2×（），故选：B ．2.已知腰长为2的等腰直角ΔABC 中，M 为斜边AB 的中点，点P 为该平面内一动点，若2PC =，则()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅的最小值为（ ）A ．24-B ．24+C ．48-D ．48+【答案】C【解析】以,CA CB 为,x y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0),(2,0),(0,2),(1,1)C A B M ，设(,)P x y ，则(2,),(,2)PA x y PB x y =--=--，(,),(1,1)PC x y PM x y =--=--，(2)(2)PA PB x x y y ⋅=----2222x x y y =-+-，PC PM ⋅=22(1)(1)x x y y x x y y ----=-+-，∵2PC =，∴224x y +=，设2cos ,2sin xy θθ==，则2cos 2sin )4x y πθθθ+=+=+，∴x y -≤+≤()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅2(4224)(4)2(4)x y x y x y =--+--=+-，∴x y +=()()4PA PB PC PM ⋅+⋅⋅取得最小值24)48=-故选：C 。

平面向量中的最值与范围问题高中数学　会利用向量的定义及运算求解最值与范围问题．导语　平面向量中的范围、最值问题是热点问题，也是难点问题，此类问题综合性强，体现了知识的交汇组合，其基本题型是根据已知条件求某个变量的范围、最值，比如向量的模、数量积、向量的夹角、系数的范围等等，解题思路是建立目标函数的函数解析式，转化为求函数的最值，同时向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决平面向量的范围、最值问题的另外一种思路是数形结合．一、向量线性运算中的最值与范围问题例1　如图，在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，动点P 在边BC 上，且满足＝m ＋n (m ，n 均为正实数)，求＋的最小值．AP → AB → AD→ 1m 1n解　因为在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠DAB ＝90°，AD ＝AB ＝4，CD ＝1，所以＝＋＝－，AD → AC → CD → AC → 14AB → 所以＝m ＋n AP → AB → AD → ＝m ＋n AB→ (AC → －14AB →)＝＋n ，(m －14n )AB → AC → 由P ，B ，C 三点共线得，m －n ＋n ＝m ＋n ＝1(m ，n >0)，1434所以＋＝1m 1n (1m ＋1n )(m ＋34n )＝＋＋≥＋2743n4m mn 743n 4m ·mn＝＋＝(当且仅当3n 2＝4m 2时取等号)，7437＋434即＋的最小值为.1m 1n 7＋434反思感悟　利用向量的概念及基本运算，将所求问题转化为相应的等式关系，然后用基本不等式求最值．跟踪训练1　如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外一点D .若＝m ＋n ，则m ＋n 的取值范围是________．OC → OA → OB→答案　(－1,0)解析　由点D 是圆O 外一点，可设＝λ(λ>1)，BD → BA→ 则＝＋λ＝λ＋(1－λ).OD → OB → BA → OA → OB → 又因为C ，O ，D 三点共线，令＝－μ(μ>1)，OD → OC→ 则＝－－(λ>1，μ>1)，所以m ＝－，n ＝－，OC → λμOA → 1－λμOB→ λμ1－λμ则m ＋n ＝－－＝－∈(－1,0)．λμ1－λμ1μ二、向量数量积的最值与范围问题例2　在边长为1的正方形ABCD 中，M 为边BC 的中点，点E 在线段AB 上运动，则·EC→ 的取值范围是( )EM→ A. B.[12，2][0，32]C.D ．[0,1][12，32]答案　C解析　将正方形放入如图所示的平面直角坐标系中，设E (x ，0)，0≤x ≤1.则M，C (1,1)，(1，12)所以＝，＝(1－x ，1)，EM → (1－x ，12)EC → 所以·＝·(1－x ，1)＝(1－x )2＋.EM → EC → (1－x ，12)12因为0≤x ≤1，所以≤(1－x )2＋≤，121232即·的取值范围是.EC → EM → [12，32]反思感悟　建立适当的坐标系，将平面向量数量积的运算坐标化，然后利用二次函数，基本不等式等求最值或范围．跟踪训练2　在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且＝λ，＝，则·的最小值为________．BE → BC → DF → 19λDC → AE→ AF → 答案　2918解析　根据题意，可知DC ＝1，·＝(＋)·(＋)＝(＋λ)·＝AE → AF → AB → BE → AD → DF → AB → BC→ (AD → ＋19λDC → )·＋·＋λ·＋·＝1＋＋－≥1＋2－＝，当且仅当λ＝时，AB → AD → 19λAB → DC → BC → AD → 19BC → DC→ 29λλ211819118291823等号成立．三、向量模的最值问题例3　向量a ，b 满足|a |＝1，a 与b 的夹角为，则|a －b |的最小值为________．π3答案　32解析　|a －b|2＝(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2＝1－2×1×|b|cos ＋|b|2π3＝|b|2－|b|＋1＝2＋≥，(|b |－12)3434所以|a －b|≥，当|b|＝时取得最小值．3212跟踪训练3　已知|a ＋b |＝2，向量a ，b 的夹角为，则|a |＋|b |的最大值为________．π3答案　433解析　将|a ＋b |＝2两边平方并化简得(|a |＋|b |)2－|a ||b |＝4，由基本不等式得|a ||b |≤2＝(|a |＋|b |2)，故(|a |＋|b |)2≤4，即(|a |＋|b |)2≤，即|a |＋|b |≤，当且仅当|a |＝|b |＝时，(|a |＋|b |)2434163433233等号成立，所以|a |＋|b |的最大值为.433四、向量夹角的最值问题例4　已知|a |＝1，向量b 满足2|b －a |＝b ·a ，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ的最小值为________．答案　255解析　∵|a |＝1，∴设a ＝(1,0)，b ＝(x ，y )，∴b －a ＝(x －1，y )，由2|b －a |＝b ·a 得，2＝x ，则x >0，(x －1)2＋y 2∴4(x －1)2＋4y 2＝x 2，∴y 2＝－x 2＋2x －1，34∴cos θ＝＝＝＝＝a ·b|a ||b |xx 2＋y 2xx 2－34x 2＋2x －1x14x 2＋2x －11－(1x )2＋2x ＋14＝，1－(1x －1)2＋54∴当＝1即x ＝1时，cos θ取最小值.1x 255反思感悟　将向量夹角的大小问题转化为夹角余弦值的大小，利用函数求最值或范围．跟踪训练4　已知向量a ，b 满足a ＝(t ，2－t )，|b |＝1，且(a －b )⊥b ，则a ，b 的夹角的最2小值为( )A.B.π6π4C. D.π3π2答案　C解析　因为(a －b )⊥b ，所以(a －b )·b ＝0，a ·b ＝b 2，cos 〈a ，b 〉＝＝＝＝a ·b |a ||b ||b |2|a ||b ||b ||a |1|a |＝，12t 2－42t ＋8又因为2t 2－4t ＋8＝2[(t －)2＋2]≥2[(－)2＋2]＝4，2222所以0<cos 〈a ，b 〉≤，所以a ，b 的夹角的最小值为.12π3课时对点练1．已知向量m ＝(a －1,1)，n ＝(2－b ，2)(a >0，b >0)，若m ∥n ，则m ·n 的取值范围是( )A ．[2，＋∞) B ．(0，＋∞)C ．[2,4) D ．(2,4)答案　C解析　因为m ∥n ，所以2a －2＝2－b ，所以2a ＋b ＝4，所以b ＝4－2a >0，所以0<a <2，所以m ·n ＝2a ＋b －ab ＝4－ab ＝4－a (4－2a )＝2a 2－4a ＋4＝2(a －1)2＋2∈[2,4)．2．如图，在△ABC 中，点D 是线段BC 上的动点，且＝x＋y ，则＋的最小值为( )AD → AB → AC→ 1x 4y A ．3 B ．4 C ．5 D ．9答案　D解析　由图可知x ，y 均为正，且x ＋y ＝1，∴＋＝(x ＋y )＝5＋＋1x 4y (1x ＋4y )y x 4xy≥5＋2＝9，当且仅当＝，y x ·4x y y x 4x y 即x ＝，y ＝时等号成立，1323则＋的最小值为9.1x 4y3．在△ABC 中，AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，点D 是AC 边上的一点(包括端点)，点M 3是AC 的中点，则·的取值范围是( )BM→ BD → A. B. C. D ．[0,1](0，12)[0，12][12，1]答案　B解析　因为点M 是AC 的中点，所以＝＋，BM → 12BA → 12BC → 因为点D 是AC 边上的一点(包括端点)，所以＝λ，λ∈[0,1]，CD → CA→ －＝λ－λ，＝λ＋(1－λ)，BD → BC → BA → BC → BD → BA → BC → 则·＝·[λ＋(1－λ)]BM → BD → (12BA → ＋12BC →)BA → BC → ＝λ2＋·＋(1－λ)2.12BA → 12BA → BC → 12BC → 因为AB ＝，BC ＝2，∠B ＝150°，3所以2＝3，·＝－3，2＝4，BA → BA → BC → BC → 所以·＝－λ.BM → BD→ 1212因为0≤λ≤1，则0≤－λ≤.121212故·的取值范围是.BM → BD→ [0，12]4．设O (0,0)，A (1,0)，B (0,1)，点P 是线段AB 上的一个动点，＝λ，AP → AB→ 若·≥·，则实数λ的取值范围是( )OP→ AB → PA → PB → A.≤λ≤1 B ．1－≤λ≤11222C.≤λ≤1＋ D ．1－≤λ≤1＋12222222答案　B解析　∵＝λ，＝(1－λ)＋λ＝(1－λ，λ)，＝λ＝(－λ，λ)，·≥·AP → AB → OP → OA → OB → AP → AB → OP→ AB → PA → ，PB →∴(1－λ，λ)·(－1,1)≥(λ，－λ)·(λ－1,1－λ)，∴2λ2－4λ＋1≤0，解得1－≤λ≤1＋，因为点P 是线段AB 上的一个动点，所以22220≤λ≤1，即满足条件的实数λ的取值范围是1－≤λ≤1.225.如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝，AB ＝2，AD ＝1，若M ，N 分别是边AD ，CD π3上的点，且满足＝＝λ，其中λ∈[0,1]，则·的取值范围是( )MDAD NCDC AN→ BM→ A ．[－3，－1] B ．[－3,1]C ．[－1,1] D ．[1,3]答案　A解析　以A 为原点，AB ，垂直于AB 所在的直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，则B (2,0)，A (0,0)，D .(12，32)∵满足＝＝λ，λ∈[0,1]，MDAD NCDC ∴＝＋＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)＝＋(1－λ)(2,0)＝，AN → AD → DN → AD → DC → AD → AB → (12，32)(52－2λ，32)＝＋＝－＋(1－λ)＝(－2,0)＋(1－λ)＝，BM → BA → AM → AB → AD → (12，32)(－32－12λ，32(1－λ))·＝·AN → BM → (52－2λ，32)(－32－12λ，32(1－λ))＝＋×(1－λ)(52－2λ)(－32－12λ)3232＝λ2＋λ－3＝2－.(λ＋12)134∵λ∈[0,1]，二次函数的对称轴为λ＝－，12则函数在[0,1]上单调递增，故当λ∈[0,1]时，λ2＋λ－3∈[－3，－1]．6．设0≤θ<2π，已知两个向量＝(cos θ，sin θ)，＝(2＋sin θ，2－cos θ)，则向量OP 1→ OP2→长度的最大值是( )P 1P 2——→ A. B. C ．3 D ．22323答案　C解析　∵＝－＝(2＋sin θ－cos θ，2－cos θ－sin θ)，P 1P 2——→ OP2→ OP 1→ ∴||＝＝≤3.P 1P 2——→ (2＋sin θ－cos θ)2＋(2－cos θ－sin θ)210－8cos θ2当cos θ＝－1时，||有最大值3.P 1P 2——→ 27．已知△ABC 的三边长AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，P 为AB 边上任意一点，则·(－)CP→ BA → BC → 的最大值为________．答案　9解析　根据题意，建立直角坐标系，如图，∴A (0,3)，B (4,0)，C (0,0)，∴＝(4，－3)，AB→ ＝＋＝＋λ＝(0,3)＋(4λ，－3λ)＝(4λ，3－3λ)，λ∈[0,1]，CP → CA → AP → CA → AB→ ∴·(－)＝·＝(4λ，3－3λ)·(0,3)＝9－9λ∈[0,9]，CP→ BA → BC → CP → CA → ∴·(－)的最大值为9.CP→ BA → BC → 8．若a ＝(2,2)，|b |＝1，则|a ＋b |的最大值为________．答案　2＋12解析　因为|b |＝1，设b ＝(cos θ，sin θ)，则a ＋b ＝(2＋cos θ，2＋sin θ)，则|a ＋b|＝＝＝(2＋cos θ)2＋(2＋sin θ)24(cos θ＋sin θ)＋9≤＝＝2＋1，当且仅当sin＝1时取等号．42sin (θ＋π4)＋99＋42(22＋1)22(θ＋π4)9．已知向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a ·(a ＋b )＝2.求|a －λb |的最小值．解　由|a |＝1，a ·(a ＋b )＝2，可知a ·b ＝1，根据向量求模公式得|a －λb |＝，4λ2－2λ＋1易知，当λ＝时，|a －λb |取得最小值为.143210．△ABC 中，AB ＝2，AC ＝2，∠BAC ＝45°，P 为线段AC 上任意一点，求·的取2PB→ PC → 值范围．解　设＝t (0≤t ≤1)，PC→ AC → 则＝(1－t )，AP → AC → 因为＝－＝－(1－t )，PB → AB → AP → AB → AC → 所以·＝[－(1－t )]·t PB → PC → AB → AC → AC → ＝t ·－t (1－t )2AB → AC → AC → ＝2×2t ·cos 45°－t (1－t )×(2)222＝8t 2－4t ＝82－.(t －14)12因为0≤t ≤1，所以－≤·≤4，12PB→ PC → 所以·的取值范围为.PB → PC→ [－12，4]11．如图，在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，∠BAC ＝θ，点D 为BC 的三等分点．则·AD→ 的取值范围为( )BC→A. B.(－113，133)(13，73)C.D.(－53，73)(－53，553)答案　C解析　∵＝＋＝＋AD → AB → BD → AB → 13BC→＝＋(－)＝＋，AB → 13AC → AB → 23AB → 13AC → ∴·＝·(－)AD → BC → (23AB → ＋13AC →)AC → AB → ＝－||2＋||2＋·23AB → 13AC → 13AB → AC →＝－×4＋×9＋×2×3cos θ＝2cos θ＋.23131313∵－1<cos θ<1，∴－<2cos θ＋<.531373∴·∈.AD → BC → (－53，73)12.如图，延长线段AB 到点C ，使得＝2，D 点在线段BC 上运动，点O ∉直线AB ，满AB → BC→ 足＝λ＋μ，则λμ的取值范围是( )OD → OA → OB→A.B.[－32，0][－2，23]C.D ．[－1,1][－34，0]答案　C解析　不妨设AB ＝2BC ＝2，BD ＝x ，x ∈[0,1]，由平面向量三点共线可知，＝ ＋ ，OB → 22＋x OD → x2＋x OA→ ∴＝－，OD → 2＋x 2OB → x 2OA → ∴λ＝－，μ＝，x ∈[0,1]，x22＋x2则λμ＝－＝－(x 2＋2x )，(2＋x )x414∴λμ∈.[－34，0]13．已知平面向量a ，b ，c 满足|a |＝|b |＝|c |＝1，若a ·b ＝，则(a ＋b )·(2b －c )的取值范围是( )12A ．[1,2＋]B ．[1,3＋]33C ．[3－，2＋]D ．[3－，3＋]3333答案　D解析　因为a ·b ＝，设a 与b 的夹角为θ，12则a·b ＝|a|·|b|cos θ＝，解得θ＝，而|a|＝|b|＝|c|＝1，则可设a ＝(1,0)，由θ＝可得b ＝12π3π3.(12，32)由|c |＝1，设c ＝(sin α，cos α)，则(a ＋b )·(2b －c )＝2a·b ＋2b 2－a·c －b·c＝1＋2－sin α－(12sin α＋32cos α)＝3－＝3－sin.(32sin α＋32cos α)3(α＋π6)所以当α＝时取得最大值为3＋，当α＝时取得最小值为3－，所以(a ＋b )·(2b －c )的4π33π33取值范围为[3－，3＋]．3314．已知|a |＝|b |＝a ·b ＝2，c ＝(2－4λ)a ＋λb ，则(c －a )·(c －b )的最小值为________．答案　－4952解析　∵c －a ＝(1－4λ)a ＋λb ，c －b ＝(2－4λ)a ＋(λ－1)b ，∴(c －a )·(c －b )＝[(1－4λ)a ＋λb ]·[(2－4λ)a ＋(λ－1)b ]＝(16λ2－12λ＋2)a 2＋(－8λ2＋7λ－1)a ·b ＋(λ2－λ)b 2，代入|a |＝|b |＝a ·b ＝2，原式＝52λ2－38λ＋6，∴当λ＝时，原式取得最小值，为－.1952495215．已知正三角形ABC 按如图所示的方式放置，AB ＝4，点A ，B 分别在x 轴的正半轴和y轴的正半轴上滑动，则·的最大值是________．OA → OC →答案　12解析　设∠OAB ＝θ，θ∈，(0，π2)则A (4cos θ，0)，C ，(4cos θ＋4cos (2π3－θ)，4sin (2π3－θ))所以·＝4cos θ·OA → OC → [4cos θ＋4cos (2π3－θ)]＝4cos θ(2cos θ＋2sin θ)3＝4cos 2θ＋4＋4sin 2θ3＝8sin ＋4，θ∈，(2θ＋π6)(0，π2)故当2θ＋＝，即θ＝时，·有最大值12.π6π2π6OA → OC → 16．已知向量a ＝(，－1)，b ＝.3(12，32)(1)求与a 平行的单位向量c ；(2)设x ＝a ＋(t 3＋3)b ，y ＝－k ·t a ＋b ，若存在t ∈[0,2]，使得x ⊥y 成立，求k 的取值范围．解　(1)设c ＝(x ，y )，根据题意得Error!解得Error!或Error!∴c ＝或c ＝.(32，－12)(－32，12)(2)∵a ＝(，－1)，b ＝，3(12，32)∴a·b ＝0.∵x ⊥y ，∴－kt |a |2＋(t 2＋3)|b |2＝0.∵|a |＝2，|b |＝1，∴t 2－4kt ＋3＝0.问题转化为关于t 的二次方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内有解．令f (t )＝t 2－4kt ＋3，则当2k ≤0，即k ≤0时，∵f (0)＝3，∴方程t 2－4kt ＋3＝0在[0,2]内无解．当0<2k ≤2，即0<k ≤1时，由Δ＝16k 2－12≥0，解得k ≤－或k ≥，∴≤k ≤1.323232当2k >2，即k >1时，由f (2)≤0得4－8k ＋3≤0，解得k ≥，∴k >1.78综上，实数k 的取值范围为.[32，＋∞)。