数学知识点：向量共线的充要条件及坐标表示

向量三点共线的充要条件
零向量与任何向量共线。

非零向量共线条件是b=λa，其中
a≠0，λ是唯一实数。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

向量三点共线的充要条件 1
零向量与任何向量共线
以下考虑非零向量，三个方法
（1）方向相同或相反
（2）向量a=k向量b
（3）a=(x1，y1)，b=(x2，y2)
a//b等价于x1y2-x2y1=0
共线向量基本定理
如果a≠0，那么向量b与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

证明：
1）充分性：对于向量a(a≠0)、b，如果有一个实数λ，使b=λa，那么由实数与向量的积的定义知，向量a与b共线。

2）必要性：已知向量a与b共线，a≠0，且向量b的长度是向量a的长度的m倍，即∣b∣=m∣a∣。

那么当向量a与b 同方向时，令λ=m，有b=λa，当向量a与b反方向时，令λ=-m，有b=λa。

如果b=0，那么λ=0。

3）唯一性：如果b=λa=μa，那么(λ-μ)a=0。

但因a≠0，所以λ=μ。

第2课时 两向量共线的充要条件及应用问题导学预习教材P31－P33的内容，思考以下问题： 1．两向量共线的充要条件是什么？ 2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？两向量共线的充要条件设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b (b ≠0)共线的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0． ■名师点拨(1)两个向量共线的坐标表示还可以写成x 1x 2＝y 1y 2(x 2≠0，y 2≠0)，即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例．(2)当a ≠0，b ＝0时，a ∥b ，此时x 1y 2－x 2y 1＝0也成立，即对任意向量a ，b 都有x 1y 2－x 2y 1＝0⇔a ∥b .判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )(2)已知a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若a ∥b ，则必有x 1y 2＝x 2y 1.( ) 答案：(1)√ (2)√下列各组的两个向量共线的是( ) A ．a 1＝(－2，3)，b 1＝(4，6) B ．a 2＝(1，－2)，b 2＝(7，14) C ．a 3＝(2，3)，b 3＝(3，2) D ．a 4＝(－3，2)，b 4＝(6，－4) 答案：D已知两点A (2，－1)，B (3，1)，与AB →平行且方向相反的向量a 可能是( ) A ．a ＝(1，－2) B ．a ＝(9，3) C ．a ＝(－1，2) D ．a ＝(－4，－8)解析：选D.由题意得AB →＝(1，2)，结合选项可知a ＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB →，所以D 正确．已知a ＝(3，1)，b ＝(2，λ)，若a ∥b ，则实数λ的值为________． 答案：23向量共线的判定(1)已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(3，4)．若(3a －b )∥(a ＋k b )，则k ＝________． (2)已知A (－1，－1)，B (1，3)，C (2，5)，判断AB →与AC →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？【解】 (1)3a －b ＝(0，－10)，a ＋k b ＝(1＋3k ，－2＋4k )， 因为(3a －b )∥(a ＋k b )，所以0－(－10－30k )＝0， 所以k ＝－13.故填－13.(2)因为AB →＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)， AC →＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)， 因为2×6－3×4＝0，所以AB →∥AC →，所以AB →与AC →共线． 又AB →＝23AC →，所以AB →与AC →的方向相同．[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a －b )与(a ＋k b )是反向还是同向？ 解：由向量(3a －b )与(a ＋k b )共线，得k ＝－13，所以3a －b ＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)， a ＋k b ＝a －13b ＝(1，－2)－13(3，4)＝⎝⎛⎭⎫0，－103＝13(0，－10)， 所以向量(3a －b )与(a ＋k b )同向．向量共线的判定方法1．(2019·河北衡水景县中学检测)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(λ，1)．若a ＋b 与a 平行，则λ＝( )A ．－5B ．52C ．7D ．－12解析：选D.a ＋b ＝(－1，2)＋(λ，1)＝(λ－1，3)，由a ＋b 与a 平行，可得－1×3－2×(λ－1)＝0，解得λ＝－12.2．已知A (2，1)，B (0，4)，C (1，3)，D (5，－3)．判断AB →与CD →是否共线？如果共线，它们的方向相同还是相反？解：AB →＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)， CD →＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0， 所以AB →与CD →共线且方向相反．法二：因为CD →＝－2AB →，所以AB →与CD →共线且方向相反．三点共线问题(1)已知OA →＝(3，4)，OB →＝(7，12)，OC →＝(9，16)，求证：点A ，B ，C 共线； (2)设向量OA →＝(k ，12)，OB →＝(4，5)，OC →＝(10，k )，求当k 为何值时，A ，B ，C 三点共线．【解】 (1)证明：由题意知AB →＝OB →－OA →＝(4，8)， AC →＝OC →－OA →＝(6，12)，所以AC →＝32AB →，即AB →与AC →共线．又因为AB →与AC →有公共点A ，所以点A ，B ，C 共线． (2)法一：因为A ，B ，C 三点共线，即AB →与AC →共线， 所以存在实数λ(λ∈R )，使得AB →＝λAC →.因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k ，－7)＝λ(10－k ，k －12)，即⎩⎪⎨⎪⎧4－k ＝λ（10－k ），－7＝λ（k －12），解得k ＝－2或k ＝11.所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线． 法二：由已知得AB →与AC →共线，因为AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(10－k ，k －12)， 所以(4－k )(k －12)＋7(10－k )＝0， 所以k 2－9k －22＝0，解得k ＝－2或k ＝11. 所以当k ＝－2或k ＝11时，A ，B ，C 三点共线．判断向量(或三点)共线的三个步骤1．已知A ，B ，C 三点共线，且A (－3，6)，B (－5，2)，若C 点的纵坐标为6，则C 点的横坐标为( )A ．－3B ．9C ．－9D ．3解析：选A.设C (x ，6)，因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →， 又AB →＝(－2，－4)，AC →＝(x ＋3，0)， 所以－2×0＋4(x ＋3)＝0.所以x ＝－3.2．设点A (x ，1)，B (2x ，2)，C (1，2x )，D (5，3x )，当x 为何值时，AB →与CD →共线且方向相同，此时A ，B ，C ，D 能否在同一条直线上？解：AB →＝(2x ，2)－(x ，1)＝(x ，1)， BC →＝(1，2x )－(2x ，2)＝(1－2x ，2x －2)， CD →＝(5，3x )－(1，2x )＝(4，x )． 由AB →与CD →共线，所以x 2＝1×4， 所以x ＝±2.又AB →与CD →方向相同，所以x ＝2.所以当x ＝2时，AB →与CD →共线且方向相同． 此时，AB →＝(2，1)，BC →＝(－3，2)， 而2×2≠－3×1，所以AB →与BC →不共线， 所以A ，B ，C 三点不在同一条直线上． 所以A ，B ，C ，D 不在同一条直线上．向量共线的应用如图所示，在△AOB 中，A (0，5)，O (0，0)，B (4，3)，OC →＝14OA →，OD →＝12OB →，AD 与BC 相交于点M ，求点M 的坐标．【解】 因为OC →＝14OA →＝14(0，5)＝⎝⎛⎭⎫0，54， 所以C ⎝⎛⎭⎫0，54. 因为OD →＝12OB →＝12(4，3)＝⎝⎛⎭⎫2，32， 所以D ⎝⎛⎭⎫2，32. 设M (x ，y )，则AM →＝(x ，y －5)，AD →＝⎝⎛⎭⎫2－0，32－5＝⎝⎛⎭⎫2，－72. 因为AM →∥AD →，所以－72x －2(y －5)＝0，即7x ＋4y ＝20.①又CM →＝⎝⎛⎭⎫x ，y －54，CB →＝⎝⎛⎭⎫4，74， 因为CM →∥CB →，所以74x －4⎝⎛⎭⎫y －54＝0， 即7x －16y ＝－20.②联立①②解得x ＝127，y ＝2，故点M 的坐标为⎝⎛⎭⎫127，2.应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤如图所示，已知△ABC ，A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，M ，N ，D 分别是AB ，AC ，BC 的中点，且MN 与AD 交于点F ，求DF →的坐标．解：因为A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)，所以AB →＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，AC →＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又因为D 是BC 的中点，所以AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(－4－3，－3－5)＝12(－7，－8)＝⎝⎛⎭⎫－72，－4.因为M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点，所以DF →＝－FD →＝－12AD →＝－12⎝⎛⎭⎫－72，－4＝⎝⎛⎭⎫74，2.1．已知向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，那么2a －b ＝( ) A ．(4，0) B ．(0，4) C ．(4，－8)D ．(－4，8)解析：选C.因为向量a ＝(1，－2)，b ＝(m ，4)，且a ∥b ，所以1×4＝(－2)×m ，所以m ＝－2，所以2a －b ＝(2－m ，－4－4)＝(4，－8)．2．若三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，则下列式子一定正确的是( ) A ．2m －n ＝3 B ．n －m ＝1 C ．m ＝3，n ＝5D ．m －2n ＝3解析：选A.因为三点A (4，3)，B (5，m )，C (6，n )在一条直线上，所以AB →＝λAC →，所以(1，m －3)＝λ(2，n －3)，所以λ＝12，所以m －3＝12(n －3)，即2m －n ＝3.3．平面内给定三个向量a ＝(3，2)，b ＝(－1，2)，c ＝(4，1)． (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n 的值； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k 的值．解：(1)因为a ＝m b ＋n c ，所以(3，2)＝m (－1，2)＋n (4，1)＝(－m ＋4n ，2m ＋n )．所以⎩⎪⎨⎪⎧－m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2，解得⎩⎨⎧m ＝59，n ＝89.(2)因为(a ＋k c )∥(2b －a )，又a ＋k c ＝(3＋4k ，2＋k )，2b －a ＝(－5，2)， 所以2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0. 所以k ＝－1613.[A 基础达标]1．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝( ) A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)解析：选B.因为平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，所以1×m －(－2)×2＝0，解得m ＝－4，所以2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．2．已知a ＝(sin α，1)，b ＝(cos α，2)，若b ∥a ，则tan α＝( ) A.12 B ．2 C ．－12D ．－2解析：选A.因为b ∥a ，所以2sin α＝cos α，所以sin αcos α＝12，所以tan α＝12.3．已知向量a ＝(1，2)，b ＝(0，1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值是( )A ．－72B ．－12C ．－43D ．－83解析：选B.v ＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u ＝(1，2)＋k (0，1)＝(1，2＋k )．因为u ∥v ，所以2(2＋k )－1×3＝0，解得k ＝－12.4．若AB →＝i ＋2j ，DC →＝(3－x )i ＋(4－y )j (其中i ，j 的方向分别与x ，y 轴正方向相同且为单位向量).AB →与DC →共线，则x ，y 的值可能分别为( )A ．1，2B ．2，2C ．3，2D ．2，4解析：选B.由题意知，AB →＝(1，2)，DC →＝(3－x ，4－y )． 因为AB →∥DC →，所以4－y －2(3－x )＝0，即2x －y －2＝0.只有B 选项，x ＝2，y ＝2代入满足．故选B.5．已知A (1，－3)，B ⎝⎛⎭⎫8，12，且A ，B ，C 三点共线，则点C 的坐标可以是( ) A ．(－9，1) B ．(9，－1) C ．(9，1)D ．(－9，－1)解析：选C.设点C 的坐标是(x ，y )， 因为A ，B ，C 三点共线，所以AB →∥AC →.因为AB →＝⎝⎛⎭⎫8，12－(1，－3)＝⎝⎛⎭⎫7，72， AC →＝(x ，y )－(1，－3)＝(x －1，y ＋3)， 所以7(y ＋3)－72(x －1)＝0，整理得x －2y ＝7，经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.6．已知向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，则实数x 的值为________．解析：因为向量a ＝(3x －1，4)与b ＝(1，2)共线，所以2(3x －1)－4×1＝0，解得x ＝1. 答案：17．已知A (2，1)，B (0，2)，C (－2，1)，O (0，0)，给出下列结论： ①直线OC 与直线BA 平行； ②AB →＋BC →＝CA →； ③OA →＋OC →＝OB →； ④AC →＝OB →－2OA →.其中，正确结论的序号为________．解析：①因为OC →＝(－2，1)，BA →＝(2，－1)，所以OC →＝－BA →，又直线OC ，BA 不重合，所以直线OC ∥BA ，所以①正确；②因为AB →＋BC →＝AC →≠CA →，所以②错误；③因为OA →＋OC →＝(0，2)＝OB →，所以③正确；④因为AC →＝(－4，0)，OB →－2OA →＝(0，2)－2(2，1)＝(－4，0)，所以④正确．答案：①③④8．对于任意的两个向量m ＝(a ，b )，n ＝(c ，d )，规定运算“⊗”为m ⊗n ＝(ac －bd ，bc ＋ad )，运算“⊕”为m ⊕n ＝(a ＋c ，b ＋d )．设m ＝(p ，q )，若(1，2)⊗m ＝(5，0)，则(1，2)⊕m 等于________．解析：由(1，2)⊗m ＝(5，0)，可得⎩⎪⎨⎪⎧p －2q ＝5，2p ＋q ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝1，q ＝－2，所以(1，2)⊕m ＝(1，2)⊕(1，－2)＝(2，0)．答案：(2，0)9．已知a ＝(1，0)，b ＝(2，1)． (1)当k 为何值时，k a －b 与a ＋2b 共线？(2)若AB →＝2a ＋3b ，BC →＝a ＋m b 且A ，B ，C 三点共线，求m 的值． 解：(1)k a －b ＝k (1，0)－(2，1)＝(k －2，－1)， a ＋2b ＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)． 因为k a －b 与a ＋2b 共线，所以2(k －2)－(－1)×5＝0，得k ＝－12.所以当k ＝－12时，k a －b 与a ＋2b 共线．(2)因为A ，B ，C 三点共线， 所以AB →＝λBC →，λ∈R ， 即2a ＋3b ＝λ(a ＋m b )，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ，3＝mλ，解得m ＝32.10．(1)已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，且CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，求M ，N 及MN →的坐标；(2)已知P 1(2，－1)，P 2(－1，3)，P 在直线P 1P 2上，且|P 1P →|＝23|PP 2→|.求点P 的坐标．解：(1)法一：由A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)，可得CA →＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，CB →＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM →＝3CA →＝3(1，8)＝(3，24)，CN →＝2CB →＝2(6，3)＝(12，6)．设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．则CM →＝(x 1＋3，y 1＋4)＝(3，24)，CN →＝(x 2＋3，y 2＋4)＝(12，6)， 所以x 1＝0，y 1＝20，x 2＝9，y 2＝2，即M (0，20)，N (9，2)， 所以MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)． 法二：设点O 为坐标原点，则由CM →＝3CA →，CN →＝2CB →，可得OM →－OC →＝3(OA →－OC →)，ON →－OC →＝2(OB →－OC →)，从而OM →＝3OA →－2OC →，ON →＝2OB →－OC →，所以OM →＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，ON →＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，即点M (0，20)，N (9，2)，故MN →＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．(2)①当点P 在线段P 1P 2上时，如图a ：则有P 1P →＝23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝23（－1－x ），y ＋1＝23（3－y ），解得⎩⎨⎧x ＝45，y ＝35.故点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35.②当点P 在线段P 2P 1的延长线上时，如图b ：则有P 1P →＝－23PP 2→，设点P 的坐标为(x ，y )，所以(x －2，y ＋1)＝－23(－1－x ，3－y )，所以⎩⎨⎧x －2＝－23（－1－x），y ＋1＝－23（3－y ），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝8，y ＝－9.故点P 的坐标为(8，－9)．综上可得点P 的坐标为⎝⎛⎭⎫45，35或(8，－9)．[B 能力提升]11．已知向量a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，c ＝k a ＋b (k ∈R )，d ＝a －b ，如果c ∥d ，那么() A ．k ＝1且c 与d 同向B ．k ＝1且c 与d 反向C ．k ＝－1且c 与d 同向D ．k ＝－1且c 与d 反向解析：选D.因为a ＝(1，0)，b ＝(0，1)，若k ＝1，则c ＝a ＋b ＝(1，1)，d ＝a －b ＝(1，－1)，显然，c 与d 不平行，排除A 、B.若k ＝－1，则c ＝－a ＋b ＝(－1，1)，d ＝a －b ＝－(－1，1)，即c ∥d 且c 与d 反向．12．已知向量a ＝(－2，3)，b ∥a ，向量b 的起点为A (1，2)，终点B 在坐标轴上，则点B 的坐标为________．解析：由b ∥a ，可设b ＝λa ＝(－2λ，3λ)．设B (x ，y )，则AB →＝(x －1，y －2)＝b .由⎩⎪⎨⎪⎧－2λ＝x －1，3λ＝y －2⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2λ，y ＝3λ＋2.又B 点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，所以B ⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0. 答案：⎝⎛⎭⎫0，72或⎝⎛⎭⎫73，0 13.如图所示，在四边形ABCD 中，已知A (2，6)，B (6，4)，C (5，0)，D (1，0)，则直线AC 与BD 交点P 的坐标为______．解析：设P (x ，y )，则DP →＝(x －1，y )，DB →＝(5，4)，CA →＝(－3，6)，DC→＝(4，0)．由B ，P ，D 三点共线可得DP →＝λDB →＝(5λ，4λ)．又因为CP →＝DP →－DC →＝(5λ－4，4λ)，由CP →与CA →共线得，(5λ－4)×6＋12λ＝0.解得λ＝47， 所以DP →＝47DB →＝⎝⎛⎭⎫207，167， 所以P 的坐标为⎝⎛⎭⎫277，167.答案：⎝⎛⎭⎫277，16714．(2019·江苏扬州中学第一学期阶段性测试)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3，0)，OC →＝(m ，3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示；(2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．解：(1)当m ＝8时，OC →＝(8，3)，设OC →＝xOA →＋yOB →，则x (2，－1)＋y (3，0)＝(2x ＋3y ，－x )＝(8，3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3y ＝8，－x ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝143，所以OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)因为A ，B ，C 三点能构成三角形，所以AB →，AC →不共线，又AB →＝(1，1)，AC →＝(m －2，4)，所以1×4－1×(m －2)≠0，所以m ≠6.[C 拓展探究]15．已知平面上有A (－2，1)，B (1，4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC ，点E 在CD 上，且CE →＝14ED →，求E 点的坐标． 解：因为AC →＝12BC →，所以2AC →＝BC →， 所以2AC →＋CA →＝BC →＋CA →，所以AC →＝BA →.设C 点坐标为(x ，y )，则(x ＋2，y －1)＝(－3，－3)，所以x ＝－5，y ＝－2，所以C (－5，－2)．因为CE →＝14ED →， 所以4CE →＝ED →，所以4CE →＋4ED →＝5ED →，所以4CD →＝5ED →.设E 点坐标为(x ′，y ′)，则4(9，－1)＝5(4－x ′，－3－y ′)．所以⎩⎪⎨⎪⎧20－5x ′＝36，－15－5y ′＝－4，解得⎩⎨⎧x ′＝－165，y ′＝－115. 所以E 点的坐标为⎝⎛⎭⎫－165，－115.。

两个向量共线的充要条件证明坐标证明两个向量共线的充要条件，这个话题听起来可能有点高深，其实就像生活中的很多事情，有时候看似复杂，实际上却简单得令人惊讶。

我们先来聊聊什么是共线。

想象一下，两条路，交错在一起，这就是共线，向量也是如此。

当我们说两个向量共线，实际上是说它们在同一条直线上，方向一致，或者说是背道而驰。

好啦，咱们先把这些专业术语放一边，来点轻松的。

想象你和朋友一起走路，你们的步伐完全一致，走得慢的慢，走得快的快，简直就像双胞胎一样。

这时候，你们的步伐就是共线的。

再想象一下，如果你和朋友的步伐完全相反，就像在演一场“反向走”的戏剧，那也是共线，虽然方向不同。

这个时候，我们就得引入一个很重要的概念，比例。

简单来说，如果一个向量可以被另一个向量缩放，就像把一条橡皮筋拉长或者缩短，那这两个向量就一定是共线的。

为了更直观地理解这个，咱们来个例子。

假设你有一个向量A，它的坐标是（2, 4），你有另一个向量B，坐标是（1, 2）。

当你把向量A的每一个坐标都乘以1/2，嘿，神奇的事情发生了，你得到了向量B。

是不是感觉很神奇？这就是共线的直接体现。

好比你把一个大西瓜切成小块，虽然块变小了，但本质上还是西瓜。

就这么简单，两个向量，只要能互相变换，就能说它们是共线的。

让我们深入探讨一下坐标系统。

想象一个坐标轴，就像是一个巨大的棋盘，x轴是横着的，y轴是竖着的。

每个向量都在这个棋盘上占有一席之地。

举个例子，向量A （3, 6）在这个棋盘上可能正好坐落在一个特别的方格里。

假如有一个向量B（k, 2k），我们可以发现只要k是个正数，B就可以沿着A的方向移动。

再举个例子，如果k=3，那向量B就变成了（3, 6），这俩家伙现在真的是一模一样。

说到这里，可能有人会问，为什么要这么复杂呢？其实啊，生活中很多事情都是这样，有时候看上去特别复杂，实际上就是几个简单的原则在起作用。

想想看，当你和朋友一起去旅行，沿着同一条路走，无论你们走得多快，只要保持方向一致，那你们的旅程就是共线的。

共线向量基本定理三点共线
三点共线定理：若OC=λOA+μOB，且λ+μ=1，则A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上，所以称为共线向量。

证明过程：
AC=OC-OA=λOA+μOB-OA=μOB+（λ-1）OA=μ（OB-OA）。

而AB=OB-OA，即AB=μAC，故A、B、C三点共线。

共线向量也就是平行向量，方向相同或相反的非零向量叫平行向量，表示为a∥b，任意一组平行向量都可移到同一直线上。

所以称为共线向量。

共线向量基本定理为如果a≠0，那么向量b 与a共线的充要条件是：存在唯一实数λ，使得b=λa。

高中数学向量知识点向量共线的重要条件如果B≠ 0，a//B的重要条件是存在唯一实数λ，使a=λBa//b的重要条件是xy'-x'y=0。

零向量0与任何向量平行。

[编辑本段]向量垂直的充要条件a的充要条件⊥ B是ab=0。

a⊥b的充要条件是xx'+yy'=0。

零向量0垂直于任何向量设a=x，y，b=x'，y'。

1.矢量加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

ab+bc=aca+b=x+x'，y+y'。

a+0=0+a=a向量加法的运算律：交换律：a+B=B+a；结合律：a+b+c=a+b+c。

2.矢量减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0.0的反向量为0ab ac=cb。

也就是说，“共同的起点，指向被减法”a=x,yb=x',y'则a-b=x-x',y-y'.4.数字乘法向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣∣a∣。

当λ>为0时，λA与A的方向相同；当λ<0时，λa与a反方向;当λ=0，λA=0时，任意方向。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：根据定义，如果λA=0，则λ=0或A=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

什么时候∣ λ∣ > 1表示向量a的有向线段在原始方向λ>0或反向λ<0延伸到原始方向∣ λ∣ 时代；当∣λ∣<1时，表示向量a的有向线段在原方向λ>0或反方向λ<0上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下列运算法则结合律：λab=λab=aλb。

向量对数第一分布律：λ+μa=λa+μa。

数对于向量的分配律第二分配律：λa+b=λa+λb.数乘向量消去律：① 如果实数λ≠ 0和λa=λb，然后a=b。

② 如果≠ 0和λa=μa。