2015春数学基础模块上册测试题

2014-2015学年山东省日照市莒县高三（上）模块数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≤0），N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤4）D．{x|﹣1≤x≤1}2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣74．已知等于（）A．135°B．90° C．45° D．30°5．已知函数，则f[f（﹣4）]（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．6．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．57．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．3010．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]11．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）A．[﹣2，10] B．[4，16] C．[4，10] D．[﹣2，16]12．已知函数①；②f（x）=sin；③f（x）=lnx+1，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）①命题p：f（x+1）是偶函数；②命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；③命题r：f（x）很恒过定点（1，1）；④命题．A．命题p，q B．命题q，r C．命题r，s D．命题s，p二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．. 13．= ．14．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心，则的最小值为．15．设x、y满足的约束条件，则的最大值是．16．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（1）求sin2α﹣tanα的值；（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的取值范围．18．用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．20．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．2014-2015学年山东省日照市莒县高三（上）模块数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设全集U=R，集合M={x|x2+2x﹣3≤0），N={x|﹣1≤x≤4}，则M∩N等于（）A．{x|1≤x≤4} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|﹣3≤x≤4）D．{x|﹣1≤x≤1}考点：一元二次不等式的解法；交集及其运算．专题：不等式的解法及应用．分析：利用一元二次不等式解法化简集合M，再利用交集运算即可得出M∩N．解答：解：M：由x2+2x﹣3≤0解得﹣3≤x≤1，∴M={x|﹣3≤x≤1}；∴M∩N={x|﹣1≤x≤1}．故选D．点评：熟练掌握一元二次不等式解法、交集运算扥公式解题的关键．2．设f（x）=3x+3x﹣8，用二分法求方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解的过程中得f （1）＜0，f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，则方程的根落在区间（）A．（1，1.25）B．（1.25，1.5） C．（1.5，2）D．不能确定考点：二分法求方程的近似解．专题：计算题．分析：由已知“方程3x+3x﹣8=0在x∈（1，2）内近似解”，且具体的函数值的符号也已确定，由f（1.5）＞0，f（1.25）＜0，它们异号．解答：解析：∵f（1.5）•f（1.25）＜0，由零点存在定理，得，∴方程的根落在区间（1.25，1.5）．故选B．点评：二分法是求方程根的一种算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点．3．已知α∈（π，π），cosα=﹣，则tan（﹣α）等于（）A．7 B．C．﹣D．﹣7考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数间的基本关系．专题：三角函数的求值．分析：由α的范围及cosα的值，确定出sinα的值，进而求出tanα的值，所求式子利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简后，将tanα的值代入计算即可求出值．解答：解：∵α∈（π，π），cosα=﹣，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，则tan（﹣α）===．故选B点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．4．已知等于（）A．135°B．90° C．45° D．30°考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：计算题．分析：由，，，知=0，由此能求出的夹角θ的大小．解答：解：∵，，，∴=0，∵的夹角为θ，∴1﹣1××cosθ=0，∴cosθ=，∴θ=45°．故选C．点评：本题考要数量积判断两个平面向量的垂直关系的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．已知函数，则f[f（﹣4）]（）A．﹣4 B．4 C．﹣D．考点：函数的值．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：由函数，知f（﹣4）=（）﹣4=16，由此能求出f[f（﹣4）]．解答：解：∵函数，∴f（﹣4）=（）﹣4=16，∴f[f（﹣4）]==16=4．故选B．点评：本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意分段函数的性质的应用．6．如图在程序框图中，若输入n=6，则输出k的值是（）A．2 B．3 C．4 D．5考点：程序框图．专题：算法和程序框图．分析：执行程序框图，写出每次循环得到的n，k的值，当n=111时，满足条件n＞100，输出k的值为3．解答：解：执行程序框图，有n=6，k=0n=13，不满足条件n＞100，k=1；n=27，不满足条件n＞100，k=2；n=55，不满足条件n＞100，k=3；n=111，满足条件n＞100，输出k的值为3．故选：B．点评：本题主要考查了程序框图中的直到型型循环结构，直到型循环结构是先执行在判断直到条件结束，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等，属于基本知识的考查．7．已知方程（x2﹣2x+m）（x2﹣2x+n）=0的四个根组成一个首项为的等差数列，则|m﹣n|等于（）A．1 B．C．D．考点：等差数列的性质；一元二次不等式的解法．专题：计算题．分析：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，进而可知x1+x2和x3+x4的值，进而根据等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列，进而求得m和n，则答案可得．解答：解：设4个根分别为x1、x2、x3、x4，则x1+x2=2，x3+x4=2，由等差数列的性质，当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q．设x1为第一项，x2必为第4项，可得数列为，，，，∴m=，n=．∴|m﹣n|=．故选C点评：本题主要考查了等差数列的性质．解题的关键是运用了等差数列当m+n=p+q时，a m+a n=a p+a q的性质．8．设a∈R，则“a=1”是“直线l1：ax+2y﹣1=0与直线l2：x+（a+1）y+4=0平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；直线的一般式方程与直线的平行关系．专题：简易逻辑．分析：运用两直线平行的充要条件得出l1与l2平行时a的值，而后运用充分必要条件的知识来解决即可．解答：解：∵当a=1时，直线l1：x+2y﹣1=0与直线l2：x+2y+4=0，两条直线的斜率都是﹣，截距不相等，得到两条直线平行，故前者是后者的充分条件，∵当两条直线平行时，得到，解得a=﹣2，a=1，∴后者不能推出前者，∴前者是后者的充分不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件充分条件和充要条件的问题，考查两条直线平行时要满足的条件，本题解题的关键是根据两条直线平行列出关系式，不要漏掉截距不等的条件，本题是一个基础题．9．已知三边长分别为3、4、5的△ABC的外接圆恰好是球O的一个大圆，P为球面上一点，若点P到△ABC的三个顶点的距离相等，则三棱锥P﹣ABC的体积为（）A．5 B．10 C．20 D．30考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由题意可知△ABC为直角三角形，则其外接圆的圆心在AB的中点上，再由P到三个顶点的距离相等可得P在面ABC上的射影为球的球心，然后直接利用棱锥的体积公式求解．解答：解：如图，在△ABC中，不妨设AB=5，AC=3，BC=4．则∠ACB=90°，∴△ABC的外接圆的圆心为AB的中点，即球的球心为AB的中点，又P到△ABC的三个顶点的距离相等，∴P在平面ABC上的射影到A、B、C的距离相等，∴O为P在平面ABC上的射影，则OP⊥面ABC，又P在球面上，∴OP为球的半径，∴OP=．∴=．故选：A．点评：本题考查了棱锥的体积，考查了空间想象能力和思维能力，正确作出图形对解答有很好的帮助作用，是基础题．10．已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，若在双曲线的右支上存在一点P，使得|PF1|=3|PF2|，则双曲线的离心率e的取值范围为（）A．[，+∞）B．[2，+∞）C．D．（1，2]考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：设P点的横坐标为x，根据|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a），利用双曲线的第二定义，可得x关于e的表达式，进而根据x的范围确定e的范围．解答：解：设P点的横坐标为x∵|PF1|=3|PF2|，P在双曲线右支（x≥a）根据双曲线的第二定义，可得3e（x﹣）=e（x+）∴ex=2a∵x≥a，∴ex≥ea∴2a≥ea，∴e≤2∵e＞1，∴1＜e≤2故选D．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于基础题．11．定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，若s，t满足不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），则当1≤s≤4时，3t+s的取值范围是（）A．[﹣2，10] B．[4，16] C．[4，10] D．[﹣2，16]考点：抽象函数及其应用；函数单调性的性质．专题：计算题．分析：由已知中定义在R上的函数y=f（x）是增函数，且函数y=f（x﹣3）的图象关于（3，0）成中心对称，易得函数y=f（x）是奇函数，根据函数单调性和奇偶性的性质可得s2﹣2s≥t2﹣2t，进而得到3t+s的取值范围．解答：解：y=f（x﹣3）的图象相当于y=f（x）函数图象向右移了3个单位．又由于y=f（x﹣3）图象关于（3，0）点对称，向左移回3个单位即表示y=f（x）函数图象关于（0，0）点对称．所以f（2t﹣t2）=﹣f（t2﹣2t）即f（s2﹣2s）≥f（t2﹣2t）因为y=f（x）函数是增函数，所以s2﹣2s≥t2﹣2t移项得：s2﹣2s﹣t2+2t≥0即：（s﹣t）（s+t﹣2）≥0得：s≥t且s+t≥2或s≤t且s+t≤2则，当s=4，t=﹣2时，有最小值是4﹣6=﹣2当s=4，t=4时，有最大值是4+12=16故3t+s范围是[﹣2，16]故选D点评：本题考查的知识点是抽象函数及其应用，函数单调性的性质，其中根据已知条件得到函数为奇函数，进而将不等式f（s2﹣2s）≥﹣f（2t﹣t2），转化为s2﹣2s≥t2﹣2t，是解答本题的关键．12．已知函数①；②f（x）=sin；③f（x）=lnx+1，则以下四个命题对已知的三个函数都能成立的是（）①命题p：f（x+1）是偶函数；②命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数；③命题r：f（x）很恒过定点（1，1）；④命题．A．命题p，q B．命题q，r C．命题r，s D．命题s，p考点：函数奇偶性的判断；函数单调性的判断与证明．专题：函数的性质及应用．分析：根据条件分别进行验证即可．解答：解：命题p：若f（x+1）是偶函数，则f（﹣x+1）=f（x+1），即函数的关于x=1对称，则命题p，对①不成立；排除A，D，命题q：f（x+1）在（0，1）上是增函数，即f（x）在（1，2）上是增函数，当1＜x＜2时，＜π，此时函数f（x）=sin为减函数，不满足条件．排除B，故选：C点评：本题主要考查函数性质的考查，要求熟练掌握函数的性质．二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在答题卷的横线上．.13．= ．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．解答：解：原式===，故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．14．已知直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）经过圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心，则的最小值为 4 ．考点：基本不等式；圆的标准方程．专题：计算题．分析：直线过圆心，先求圆心坐标，利用1的代换，以及基本不等式求最小值即可．解答：解：圆（x+1）2+（y﹣2）2=4的圆心（﹣1，2）在直线2ax﹣by+2=0上，所以﹣2a﹣2b+2=0，即 1=a+b代入，得（）（a+b）=2++≥4（a＞0，b＞0当且仅当a=b时取等号）故答案为：4点评：本题考查圆的标准方程，直线与圆的位置关系，基本不等式，是中档题．15．设x、y满足的约束条件，则的最大值是 5 ．考点：简单线性规划的应用．分析：本题考查的知识点是线性规划，处理的思路为：根据已知的约束条件，画出满足约束条件的可行域，分析表示的几何意义，结合图象即可给出的最大值．解答：解：约束条件，对应的平面区域如下图示：表示平面上一定点（﹣1，）与可行域内任一点连线斜率的2倍由图易得当该点为（0，4）时，的最大值是5故答案为：5点评：平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出答案．16．设函数．若f（x）+f′（x）是奇函数，则φ= ．考点：余弦函数的奇偶性；导数的运算．专题：计算题；压轴题．分析：对函数求导结合两角差的正弦公式，代入整理可得，，根据奇函数的性质可得x=0时函数值为0，代入可求φ的值解答：解：，则f（x）+f′（x）=，为奇函数，令g（x）=f（x）+f′（x），即函数g（x）为奇函数，g（0）=0⇒2sin（φ）=0，∵0＜φ＜π，∴φ=．故答案为：．点评：本题主要考查了两角差的正弦公式，函数的求导公式，奇函数的性质：若函数f（x）为R上奇函数，则f（0）=0，属于对基础知识的综合考查，试题较易．三、解答题：本大题共6小题，满分74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．已知角α的顶点在原点，始边与x轴的正半轴重合，终边经过点．（1）求sin2α﹣tanα的值；（2）若函数f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα，求函数在区间上的取值范围．考点：正弦函数的定义域和值域；三角函数的化简求值．专题：计算题．分析：（1）根据三角函数的定义，求出角α的正弦、余弦、正切，再结合二倍角公式，即可得到结论；（2）先将函数化简，确定角的范围，利用三角函数的性质，即可求得函数的值域．解答：解：（1）因为角α终边经过点，所以，，∴…（6分）（2）∵f（x）=cos（x﹣α）cosα﹣sin（x﹣α）sinα=cosx，x∈R∴∵，∴，∴∴，∴故函数在区间上的值域是[﹣2，1]…（12分）点评：本题考查三角函数的定义，考查辅助角公式的而运用，考查三角函数的性质，属于中档题．18．用2π平方米的材料制成一个有盖的圆锥形容器，如果在制作过程中材料无损耗，且材料的厚度忽略不计，底面半径长为x，圆锥母线的长为y（1）建立y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）圆锥的母线与底面所成的角大小为，求所制作的圆锥形容器容积多少立方米（精确到0.01m3）考点：函数模型的选择与应用．专题：计算题．分析：（1）由题意可知，制作该容器需要铁皮面积，就是圆锥的全面积，得到方程πx2+πxy=2π，分离出y即可，利用x＜y求出定义域．（2）利用母线与底面所成的角大小为求出母线长，进一步求出圆锥的高，利用圆锥的体积公式求出所制作的圆锥形容器容积．解答：解：（1）∵πx2+πxy=2π∴∵，∴0＜x＜1（6分）（2）依题意，作圆锥的高SO，∠SAO是母线与底面所成的线面角，（7分）设圆锥高h，∵，y=2x∴∴，（9分）≈0.99m3（11分）答：所制作的圆锥形容器容积0.99立方米（12分）点评：本题考查旋转体的侧面积、全面积、体积，是一道中档题．19．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=．（1）证明数列是等差数列；（2）求数列{a n}的通项公式；（3）设b n=n（n+1）a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列的求和；等差关系的确定；数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a n+1=，两边取倒数可得：即，即可证明出；（2）利用等差数列的通项公式即可得出；（3）由（2）可知，，利于“错位相减法”、等比数列的前n项和公式即可得出．解答：（1）证明：由已知可得，∴，即，∴数列是公差为1的等差数列．（2）由（1）可得，∴．（3）由（2）可知，，∴，，相减得=2n+1﹣2﹣n•2n+1，∴．点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．考点：二面角的平面角及求法；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．专题：计算题；探究型．分析：（1）要证明线面平行，在平面内找到一条可能与已知直线平行的直线，观察到平面BEF中三条已知直线中，EF可能与AB平行，故可以以此为切入点进行证明．（2）要求二面角的余弦，找出二面角的平面角，然后通过解三角形，求出这个平面角的余弦值，进而给出二面角的余弦值．（3）线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．解答：解：（1）AB∥平面DEF，理由如下如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．∴AB∥平面DEF．（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=，EN=，所以cos∠MNE=．∴tan∠MNE=，，∴cos∠MNE=．二面角E﹣DF﹣C的余弦值：．（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC，过P作PQ⊥CD于Q，∵AD⊥平面BCD∴PQ⊥平面ACD∴DQ=DC=，∴tan∠DAQ=═=，∴∠DAQ=30°在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∵PQ⊥平面ACD∴AP⊥DE．AQ∩AP=A∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE．此时BP=BC，∴=．点评：本题考查的知识点是空间中直线与平面之间的位置关系，直线与平面所成的角，其中熟练掌握线面平行的判定定理，线面垂直、线线垂直、面面垂直之间的相互转化及线面夹角的定义，是解答本题的关键．21．已知函数f（x）=a（x﹣）﹣2lnx（a∈R）．（1）若a=2，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（2）求函数f（x）的单调区间；（3）设函数g（x）=﹣．若至少存在一个x0∈[1，e]，使得f（x0）＞g（x0）成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的最值及其几何意义；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的综合应用．分析：（1）当a=2时求出f（1），切线斜率k=f′（1），利用点斜式即可求得切线方程；（2）求出函数定义域，分①当a≤0，②当a＞0两种情况讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0即可；（3）存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于，令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．利用导数易求其最小值．解答：解：函数的定义域为（0，+∞），．（1）当a=2时，函数，f′（x）=，因为f（1）=0，f'（1）=2．所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣0=2（x﹣1），即2x﹣y﹣2=0．（2）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．①当a≤0时，h（x）=ax2﹣2x+a＜0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递减．②当a＞0时，△=4﹣4a2，（ⅰ）若0＜a＜1，由f'（x）＞0，即h（x）＞0，得或；由f'（x）＜0，即h（x）＜0，得．所以函数f（x）的单调递增区间为和，单调递减区间为．（ⅱ）若a≥1，h（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，则f'（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，此时f（x）在（0，+∞）上单调递增．（3））因为存在一个x0∈[1，e]使得f（x0）＞g（x0），则ax0＞2lnx0，等价于．令，等价于“当x∈[1，e]时，a＞F（x）min”．对F（x）求导，得．因为当x∈[1，e]时，F'（x）≥0，所以F（x）在[1，e]上单调递增．所以F（x）min=F（1）=0，因此a＞0．点评：本题考查导数的几何意义、导数研究函数单调性及求函数的最值问题，考查学生分析问题解决问题的能力，对于“能成立”问题及“恒成立”问题往往转化为函数最值解决．22．已知椭圆的焦点坐标为F1（﹣1，0），F2（1，0），过F2垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q 两点，且|PQ|=3．（1）求椭圆的方程；（2）过F2的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△F1MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设椭圆方程，由焦点坐标可得c=1，由|PQ|=3，可得=3，又a2﹣b2=1，由此可求椭圆方程；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F 1M|+|F1N|）R=4R，因此最大，R就最大．设直线l的方程为x=my+1，与椭圆方程联立，从而可表示△F1MN的面积，利用换元法，借助于导数，即可求得结论．解答：解：（1）设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由焦点坐标可得c=1…（1分）由|PQ|=3，可得=3，…（2分）又a2﹣b2=1，解得a=2，b=，…（3分）故椭圆方程为=1…（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），不妨y1＞0，y2＜0，设△F1MN的内切圆的径R，则△F1MN的周长=4a=8，（|MN|+|F1M|+|F1N|）R=4R因此最大，R就最大，…（6分）由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，由得（3m2+4）y2+6my﹣9=0，…（8分）得，，则=，…（9分）令t=，则t≥1，则，…（10分）令f（t）=3t+，则f′（t）=3﹣，当t≥1时，f′（t）≥0，f（t）在[1，+∞）上单调递增，有f（t）≥f（1）=4，S△F1MN≤3，即当t=1，m=0时，S△F1MN≤3，S△F1MN=4R，∴R max=，这时所求内切圆面积的最大值为π．故直线l：x=1，△F1MN内切圆面积的最大值为π…（12分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，分析得出最大，R就最大是关键．。

机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2} 2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x xx -≠且 B.{}1x x - C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A.5- B.5 C.9- D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z.8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） A.10 B.20 C.60 D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图330x y -= 3230x y -= 3310x y --= D.310x -=11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ）A. p ,q 都是真命题B. p ,q 都是假命题C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.3.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）A.10B.210C.62D.5214.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线； ⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 .16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B CD17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A.29B.23C.14D.12.18.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.12C.1D.0 19.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αB.若m α⊂，n β⊂，αβ，则m nC.若αβ，m α⊂，则m βD.若m α⊂，n α⊂，m β，n β，则αβ 20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）C.2D.3卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 .22.在△ABC 中，105A ∠=,45C ∠=,AB =则BC = ..23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 . .24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . .25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MN S ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗= .三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. .27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求：（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===. (1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图答案1.【考查内容】集合的交集 【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】A【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x xx -≠且.4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z 8.【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x 轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x-=-，即10x -=.11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15.【考查内容】二项式定理【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142= 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sincos cos sin sin 1212121262a b πππππ=+== 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若m α⊥，m n ⊥，则n α或n 在α内；B. 若m α⊂，n β⊂，αβ，则m n 或m 与n 异面；D. 若m α⊂，n α⊂，m β，n β，且m 、n 相交才能判定αβ；根据两平面平行的性质可知C 正确. 20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A【解析】1F 的坐标为(,0)c -，设P 点坐标为0(,)c y -，22022()1y c a b--=，解得20b y a=，由1PF a =可得2b a a =，则a b=，该双曲线为等轴双曲线，离心21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理 【解析】由正弦定理可知，sin sin AB BCC A =,sin sin1056sin AB A BC C ===23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b == 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】{}x c xe bx d <<或【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c xe bx d <<或.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =.答：第一排应安排18名演员【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z . 所以222262k x k πππ-+π++π，解得36k xk ππ-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =. （2）因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -，即0122t<-，解得1122t -<，所以实数t 的取值范围是11[,)22-. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为AD BC ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD 中，2SA SD ==， 又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1，所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =， 所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，可解得交点A 、B的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② , 消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=. 由①式变形得31y k x k +-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=， 于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去. 当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.。

机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2} 2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x xx -≠且 B.{}1x x - C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A.5- B.5 C.9- D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z.8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） A.10 B.20 C.60 D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图330x y -= 3230x y -= 3310x y --= D.310x -=11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ）A. p ,q 都是真命题B. p ,q 都是假命题C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.3.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）A.10B.210C.62D.5214.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线； ⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 .16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B CD17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A.29B.23C.14D.12.18.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.12C.1D.0 19.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αB.若m α⊂，n β⊂，αβ，则m nC.若αβ，m α⊂，则m βD.若m α⊂，n α⊂，m β，n β，则αβ 20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）C.2D.3卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 .22.在△ABC 中，105A ∠=,45C ∠=,AB =则BC = ..23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 . .24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . .25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MN S ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗= .三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. .27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求：（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===. (1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图答案1.【考查内容】集合的交集 【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】A【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x xx -≠且.4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z 8.【考查内容】二次函数的图象和性质【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x 轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x-=-，即10x -=.11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15.【考查内容】二项式定理【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142= 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sincos cos sin sin 1212121262a b πππππ=+== 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若m α⊥，m n ⊥，则n α或n 在α内；B. 若m α⊂，n β⊂，αβ，则m n 或m 与n 异面；D. 若m α⊂，n α⊂，m β，n β，且m 、n 相交才能判定αβ；根据两平面平行的性质可知C 正确. 20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A【解析】1F 的坐标为(,0)c -，设P 点坐标为0(,)c y -，22022()1y c a b--=，解得20b y a=，由1PF a =可得2b a a =，则a b=，该双曲线为等轴双曲线，离心21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理 【解析】由正弦定理可知，sin sin AB BCC A =,sin sin1056sin AB A BC C ===23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b == 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】{}x c xe bx d <<或【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c xe bx d <<或.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =.答：第一排应安排18名演员【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z . 所以222262k x k πππ-+π++π，解得36k xk ππ-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =. （2）因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -，即0122t<-，解得1122t -<，所以实数t 的取值范围是11[,)22-. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质【解】（1）因为AD BC ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD 中，2SA SD ==， 又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系 【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1，所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =， 所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，2015山东春季高考数学试题真题可解得交点A 、B的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② , 消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=. 由①式变形得31y k x k +-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=， 于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去. 当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.。

上海市2015年春季高考模拟试卷一、填空题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1、函数()f x x =的定义域是 ．2、已知全集{}21,0,1,2U =--，集合2|1A x x x n Z n ⎧⎫==∈⎨⎬-⎩⎭，、，则U C A = ． 3、已知函数1()y f x -=是函数1()2(1)x f x x -=≥的反函数，则1()f x -= (要求写明自变量的取值范围)．4、双曲线22231x y -=的渐近线方程是 ． 5、若函数()2cos(4)17f x x π=+-与函数()5tan(1)2g x ax =-+的最小正周期相同，则实数a= ．6、已知数列{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，*()n S n N ∈是数列的前n 项和，则2lim1nn S n →∞-= ．7、直线110l y -+=，250l x +=：，则直线1l 与2l 的夹角为= ．8、已知01()m m R <<∈，α是方程210x mx ++=的根，则||α= ．9、2151()x x -的二项展开式中的常数项是 (用数值作答) ． 10、已知12e e u r u u r 、是平面上两个不共线的向量，向量122a e e =-r u r u u r ，123b me e =+r u r u u r ．若a b r r P ，则实数m= ．11、已知圆柱M 的底面圆的半径与球O 的半径相同，若圆柱M 与球O 的表面积相等，则它们的体积之比V V 圆柱球：= (用数值作答)．12、已知角αβ、的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，(0)αβπ∈、，，角β的终边与单位圆交点的横坐标是13-，角αβ+的终边与单位圆交点的纵坐标是45，则cos α= ．二、选择题：（本大题共12小题，每小题3分，共36分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．） 13、已知x a α≥：，1|1x β-<：|．若α是β的必要非充分条件，则实数a 的取值范围是( ) A ．0a ≥B ．0a ≤C ．2a ≥D ．2a ≤．14、已知直线1l ax by +=：，点()P a b ，在圆C ：221x y +=外，则直线l 与圆C 的位置关系是 ( )A .相交 B.相切 C.相离 D.不能确定15、现给出如下命题：①若直线l 与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l α⊥平面；②空间三点确定一个平面；③先后抛两枚硬币，用事件A 表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B 表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A 和B 相互独立且()P AB =111()()224P A P B =⨯=； ④样本数据11011--，，，，的标准差是1．则其中正确命题的序号是 ( )A ．①④B ．①③C ．②③④D ．③④16、在关于x 的方程240x ax -+=，()21160x a x +-+=，223100x ax a +++=中，已知至少有一个方程有实数根，则实数a 的取值范围为（ ） A. 44a -≤≤B. 9a ≥或7a ≤-C. 2a ≤-或4a ≥D. 24a -<<17、不等式1|2|≤-x 的解集是（ ）A ．[3,1]--B ．[1,3]C ．[3,1]-D ．[1,3]- 18、已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则""βα⊥是""β⊥m 的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件19、已知21,F F 是椭圆192522=+y x 的两个焦点，P 是椭圆上的任意一点，则||||21PF PF ⋅的最大值是（ ）ADC 1D 1 A 1B 1A.、9B.16C.25D.22520、函数||y m x =与21y x =+ ） A.2m > B.2m ≥ C.1m ≥ D.1m >21、设函数)12(l 2)(-=x g x f ，则)0(1-f 的值为（ ）A ．0B ．1C ．10D ．不存在22、已知mx =-)6cos(π，则=-+)3cos(cos πx x （ ） A ．m2B ．m 2±C ．m 3D ．m 3±23、将正三棱柱截去三个角（如图1所示A 、B 、C 分别是GHI ∆三边的中点）得到的几何体如图2，则按图2所示方向侧视该几何体所呈现的平面图形为（ ）24、已知方程)0(0)]([222222>>=---a b b a b x k a x b 的根大于a ，则实数k 满足（ ）A ．a b k >||B ．a b k <|| C ．b ak >||D ．b ak <||三、解答题 25、（本题满分7分）在ABC ∆中，记BAC x ∠=(角的单位是弧度制)，ABC ∆的面积为S ，且8AB AC ⋅=u u u r u u u r，43S ≤≤22()23()2cos 34f x x x π=++的最大值、最小值．26、（本题满分7分） 已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为a ．求点1C 到平面11AB D 的距离.27、（本题满分8分）用行列式讨论关于,x y 的二元一次方程组42mx y m x my m +=+⎧⎨+=⎩的解的情况，并说明各自的几何意义.28、（本题满分13分）已知函数21()log (01)1am mxf x a a x --=>≠+，是奇函数，定义域为区间D(使表达式有意义的实数x 的集合)．（1）求实数m 的值，并写出区间D ；（2）若底数1a >，试判断函数()y f x =在定义域D 内的单调性，并说明理由；（3）当[)x A a b ∈=，(A D⊂≠，a 是底数)时，函数值组成的集合为[1)+∞，，求实数a b 、的值．29、（本题满分13分）已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个焦点是2(2,0)F ，且a b 3=．（1）求双曲线C 的方程；（2）设经过焦点2F 的直线l 的一个法向量为)1,(m ，当直线l 与双曲线C 的右支相交于BA ,不同的两点时，求实数m 的取值范围；并证明AB 中点M 在曲线3)1(322=--y x 上． （3）设（2）中直线l 与双曲线C 的右支相交于B A ,两点，问是否存在实数m ，使得AOB ∠为锐角？若存在，请求出m 的范围；若不存在，请说明理由．附加题 30、（本题满分8分）某公司生产某种消防安全产品，年产量x 台(0100,)x x N ≤≤∈时，销售收入函数2()300020R x x x =-（单位：百元），其成本函数满足()500C x x b =+（单位：百元）．已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000（百元）．（1）问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？（2）在经济学中，对于函数()f x ，我们把函数(1)()f x f x +-称为函数()f x 的边际函数，记作()Mf x ．对于（1）求得的利润函数()P x ，求边际函数()MP x ；并利用边际函数()MP x 的性质解释公司生产利润情况．（本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零点等）31、（本题满分8分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足223()n n S a n N *+=∈.数列1112n n n b a n n -=⎧⎪=⎨≥⎪⎩.（1）求证：数列{}n a 为等比数列；（2）若对于任意n N *∈，不等式(1)n b n λ≥+恒成立，求实数λ的最大值.31、（本题满分14分）已知点P 是直角坐标平面内的动点，点P 到直线12l x =-：的距离为1d ，到点(10)F -，的距离为2d，且212d d =． （1）求动点P 所在曲线C 的方程；（2）直线l 过点F 且与曲线C 交于不同两点A 、B(点A 或B 不在x 轴上)，分别过A 、B 点作直线1:2l x =-的垂线，对应的垂足分别为M N 、，试判断点F 与以线段MN 为直径的圆的位置关系(指在圆内、圆上、圆外等情况)； （3）记1FAMS S ∆=，2FMNS S ∆=，3FBNS S ∆=(A 、B 、M N 、是(2)中的点)，问是否存在实数λ，使2213S S S =λ成立．若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．进一步思考问题：若上述问题中直线21:a l x c =-、点(0)F c -，、曲线C：22221(0x y a b c a b +=>>=，，则使等式2213S S S =λ成立的λ的值仍保持不变．请给出你的判断 (填写“不正确”或“正确”)(限于时间，这里不需要举反例，或证明)．2015年春季高考模拟 一参考答案1、[10)(0)，，-??；2、{}0；3、21log (1)y x x =+?； 4、3y x=?；5、2a =?；6、1；7、6p ；8、1；9、3003；10、6-；11、34；12、315+；13-16BADC ；17-20BBCD ；21-24BCAA25、∵8BAC x AC AB ∠=⋅=u u u r u u u r ，，4S ≤≤，又1sin 2S bc x=，∴cos 8bc x =，4tan S x =即1tan x ≤≤x 的取值范围是43x ππ≤≤.∵43x ππ≤≤，22()()2cos 4f x x x π=++2cos 212sin(2)16x x x π=++=++，∴252366x πππ≤+≤，1sin(2)262x π≤+≤.∴min max ()()2()()134f x f f x f ππ====，. 26、建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为(000)A ，，、1(0,,)D a a 、1(,0,)B a a 、1(,,)C a a a ，向量1()C A a a a =---u u u r ，，，1(0)AD a a =u u u u r，，，1(,0,)AB a a =u u u r ．设()n x y z =r ，，是平面11AB D 的法向量，于是，有1100n AD n AB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r u u u u rr u u u r ，即00ay az ax az +=⎧⎨+=⎩． 令1z =-，得11x y ==，．于是平面11AB D 的一个法向量是(1)n =r，1，-1． 因此，1C 到平面11AB D的距离1||||C A n d n ⋅==u u u r rr ．(也可用等积法求得) 27、()()4221m D m m m==-+，()242x m D m m m m +==-，()()2211y m m D m m m+==-+（1）当2m ≠±时，0D ≠方程组有唯一解，此时x y D x D D y D ⎧=⎪⎨⎪=⎩，即212m x m m y m ⎧=⎪+⎨+⎪=⎩+； （2）当2m =时，0x y D D D ===，方程组有无穷多组解，通解可表示为()2R 2x t tt y =⎧⎪-∈⎨=⎪⎩；（3）当2m =-时，0D =，0x D ≠，0y D ≠，此时方程组无解.几何意义：设1:42l mx y m +=+，2:l x my m += 当2m ≠±时，方程组唯一解，则直线1l 与2l 相交； 当2m =-时，方程组无解，则直线1l 与2l 平行； 当2m =时，方程组无穷多解，则直线1l 与2l 重合.28、（1）∵()y f x =是奇函数，∴对任意x D ∈，有()()0f x f x +-=，即2121log log 011aa m mx m mxx x ---++=+-．化简此式，得222(1)(21)10m x m ---+=．又此方程有无穷多解(D 是区间)，必有 2210(21)10m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得1m =．∴1()log (11)1a x f x D x -==-+，，．（2）当1a >时，函数1()log (11)1axf x D x -==-+在，上是单调减函数．理由：令12111x t x x -==-+++．易知1x +在(11)D =-，上是随x 增大而增大，21x +在(11)D =-，上是随x 增大而减小， 故12111x t x x -==-+++在(11)D =-，上是随x 增大而减小． 于是，当1a >时，函数1()log (11)1axf x D x -==-+在，上是单调减函数（3） ∵[)A a b D⊂=≠，，∴011a a b <<<≤，． ∴依据(2)的道理，当01a <<时，函数1()log 1axf x A x -=+在上是增函数，即1()1log 11aaf a a -==+，，解得1(1)a a ==舍去．若1b <，则()f x 在A 上的函数值组成的集合为1[1log )1abb -+，，不满足函数值组成的集合是[1)+∞，的要求．(也可利用函数的变化趋势分析，得出b=1)∴必有1b =． 因此，所求实数a b 、的值是11a b ==、．29、（1）2=c 222b a c +=2234a a +=∴ 3,122==∴b a 1322=-∴y x 双曲线为．（2）:l 0)2(=+-y x m 由⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=13222y x mmx y 得0344)3(2222=--+-m x m x m 由0>∆，得0)34)(3(4224>+-+m m m ，0391222>-+m m ，恒成立即012>+m 121200x x x x +>⎧⎨⋅>⎩又 ，03340342222>-+>-m m m m ，32>∴m(,)m ∴∈-∞+∞设),(),,(2211y x B y x A ，则3222221-=+m m x x 36232222321--=+--=+m mm m m y y )36,32(222---∴m mm m M AB 中点3)3(12963)3(36)3()3(3)3(36)132(3222242222222222222=--++⋅=---+⨯=----m m m m m m m m m m m m Θ上在曲线3)1(322=--∴y x M ．（3）),(),,(2211y x B y x A , 为锐角使设存在实数AOB m ∠,,0>⋅则02121>+∴y y x x因为221221221214)(2)2)(2(m x x m x x m m mx m mx y y ++-=+-+-=04)(2)1(2212212>++-+∴m x x m x x m0)3(48)34)(1(22422>-+-++∴m m m m m 即0123722>-+m m532<∴m ， 矛盾与32>m ，不存在∴30、（1）由题意，0,4000x b ==，所以()5004000C x x =+22()()()30002050040002025004000,0100P x R x C x x x x x x x =-=---=-+-≤≤2125()20()741252P x x =--+（0100x ≤≤，x N ∈），所以62x =或63x =max ()(62)63)74120P x P P ===（百元）（2）()(1)()402480MP x P x P x x =+-=-+（099x ≤≤，x N ∈）边际函数为减函数，说明随着产量的增加，每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少；当0x =时，边际函数取得最大值为2480，说明生产第一台的利润差最大；当62x =时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大 31、（1）12a =，223n nS a +=11223n n S a +++=()n N *∈ 所以11233n n na a a ++=-即：13()n na n N a *+=∈恒成立 所以，{}n a 为以2为首项，公比为3的等比数列。

2015年上海市春季高考数学试卷（学业水平考试）2015.01一、填空题（每小题3分，满分36分）1.设全集为{}1,2,3U =，{}1,2A =，若集合则U A =ð________.2.计算：1ii+=________（其中i 为虚数单位）. 3.函数sin 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为_______.4.计算：223lim 2n n n n→∞-=+_______.5.以()2,6为圆心，1为半径的圆的标准方程为_______.6.已知向量()1,3a = ，(),1b m =-，若a b ⊥ ，则m =_______.7.函数[]224,0,2y x x x =-+∈的值域为_______.8.若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b +=_______. 9.方程()lg 21lg 1x x ++=的解集为_______.10.在921x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中，常数项的值为_______.11.用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为_______（结果用数值表示）.12.已知点()1,0A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，若动点M 满足22122C M C C C A =+，则M 的轨迹方程为_______. 二、选择题（每小题3分，满分36分）13.若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A.11a b> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b <14. 函数()21y x x =≥的反函数为（ ） A.()1y x x =≥ B. ()1y x x =-≤- C. ()0y x x =≥ D. ()0y x x =-≤15.不等式2301xx ->-的解集为（ ） A. 3,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. 2,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. ()2,1,3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭D. 2,13⎛⎫⎪⎝⎭16.下列函数中，是奇函数且在()0,+∞上单调递增的为（ ） A. 2y x = B. 13y x =C. 1y x -=D. 12y x -=17.直线3450x y --=的倾斜角为（ ） A.3arctan4B. 3arctan 4π-C. 4arctan3 D. 4arctan 3π-18.底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ） A. 2πB. 3πC.23π D.33π 19.以()3,0-和()3,0为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）A.2211625x y +=B. 221167x y +=C. 2212516x y +=D. 221716x y +=20.在复平面上，满足1i z z -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A.椭圆B.圆C.线段D.直线21.若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减 B. n S 单调递增C. n S 有最大值D. n S 有最小值22.已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ） A.22a b +有最小值B. ab 有最小值C.11a b+有最大值 D.1a b+有最大值23. 组合数()12*22,,N m m m n n n C C C n m m n --++≥≥∈恒等于（ ）A. 2m n C +B. 12m n C ++C. 1mn C + D. 11m n C ++24.设集合{}2110P x x ax =++>，{}2220P x x ax =++>，{}210Q x x x b =++>，{}2220Q x x x b =++>其中,R a b ∈，下列说法正确的是（ ）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（共5大题，满分48分） 25. （本题满分8分）如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大小为32arctan 4，求该四棱柱的表面积.26.（本题满分8分）已知a 为实数，函数()24x ax f x x++=是奇函数，求()f x 在()0,+∞上的最小值及取到最小值时所对应的x 的值.27.（本题满分8分）某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30 方向，与A 相距6.0海里.船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1 ）？ ABCD1A 1B 1C 1D28. （本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.已知点1F 、2F 依次为双曲线()2222:1,0x y C a b a b-=>的左右焦点，126F F =，()10,B b -，()20,B b（1）若5a =，以()3,4d =-为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ⋅=-，求实数b 的取值范围.29.（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 已知函数()()222R x f x x -=-∈ （1）解不等式()2f x <；（2）数列{}n a 满足()()*N n a f n n =∈，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式12n n S ka +≥恒成立，求实数k 的取值范围.2015年上海市普通高中学业水平考试 数学卷（附加题）1.对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B ⊂≠⋂⋃”的( )(A)充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 (C)充要条件 （D ）既非充分又非必要条件 2．对于任意实数a 、b ，2()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ）(A) {}4,0- （B ）[]-4，0 (C) ](0-∞， （D ）][(40-∞-∞ ，,+)3．已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+（n N *∈），那么（ ）(A) {}n a 是等差数列 （B ）{}21n a -是等差数列 (C) {}2n a 是等差数列 （D ）{}3n a 是等差数列 二、填空题（本大题满分9分）本大题共有3小题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得0分．4．关于x 的实系数一元二次方程220x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ．5．已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=，则BC = ．6．函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数的解析式可以为 ．三、解答题（满分12分）解答本题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =⋅，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”。

2015年山东春季高考数学试题及详解答案山东省2015年普通高校招生（春季）数学试题注意事项：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分。

在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母选出，填涂在答题卡上）1.若集合A={1,2,3}，B={1,3}，则A∩B等于（）B）{1,3}2.|x-1|<5的解集是（）B）(-4,6)3.函数y=x+1/x的定义域为（）A）{x|x≥-1且x≠0}4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的C）充要条件5.在等比数列{an}中，a2=1，a4=3，则a6等于（）D）96.如图所示，M是线段OB的中点，设向量OA=a，OB=b，则AM可以表示为（）A）a+b/27.终边在y轴的正半轴上的角的集合是（）B）{x|x=kπ}8.关于函数y=-x^2+2x，下列叙述错误的是（）A）函数的最大值是19.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（）C）6010.如图所示，直线l的方程是（）A）3x-y-3=0删除明显有问题的段落）线上的一个点Q到焦点F的距离为1，且到y轴的距离是8.现在需要求出这个抛物线的标准方程，并且如果一条直线l 经过点M（3，1），与抛物线相交于A，B两点，且OA⊥OB，需要求出直线l的方程。

如果点Q到焦点F的距离为1，那么根据抛物线的定义，点Q到抛物线的顶点的距离也是1.因此，抛物线的顶点的坐标为（0，1）。

因为抛物线关于y轴对称，所以焦点F的坐标为（0，-1）。

因此，抛物线的标准方程为y = a*x^2 + 1，其中a为待定系数。

威宁县中等职业学校2015—2016学年度第一学期期末考试《数 学》考试试卷一 填空（每空2分，共34分）1、属于用符号_________表示，真包含用符号_________表示，空集用 符号_________表示。

2、2、如果集合{2,3,4}={2,x,3},则x=_________。

3、设{|12},{|31}A x x B x x =-<≤=-≤<，则_____________A B =。

4、用列举法表示集合{}=<<-∈42x Z x ________________。

5、集合{}b a N ,=子集有_________个，真子集有_________个。

6、｛m,n ｝的真子集共3个，它们分别是_______________________。

7、(x+2)(x-2)=0是x +2=0的________________条件。

8、设a b <，则2+a _______2+b ，a 2______b 2。

9、不等式231>-x 的解集为________________。

10、已知集合)4,0(=A ，集合(]2,2-=B ，则=B A ____________，=B A ____________。

11、不等式组⎩⎨⎧<->+4453x x 的解集用区间表示为_______________。

12、不等式31x +≤的解集用区间表示为__________________。

二 选择题（每题3分，共36分） 1、下列选项能组成集合的是（ ）。

A 、著名的运动健儿B 、英文26个字母C 、非常接近0的数D 、勇敢的人2、给出下列四个结论：①｛1，2，3，1｝是由4个元素组成的集合； ② 集合｛1｝表示仅由一个元素“1”组成的集合； ③｛2，4，6｝与｛6，4，2｝是两个不同的集合； ④ 集合｛大于3的无理数｝是一个有限集； 四个结论中，正确的是( )。

A.只有③④B.只有①②③C.只有①②D.只有② 3、A =｛0,3｝,B =｛0,3,4｝,C =｛1,2,3｝则=A C B )(( )。

山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题一、选择题1、集合A =｛1，2，3｝，B =｛1，3｝,则A ∩B 等于（ ） A ｛1，2，3｝ B ｛1，3｝ C ｛1，2｝ D ｛2｝2、不等式51-x <的解集是（ ）A （-6,4）B （-4,6）C （-∞,-6）∪（4，+∞）D （-∞,-4）∪（6，+∞）3、函数xx y 11++=的定义域是（ ）A {}0且1|≠-≥x x xB {}1|-≥x xC {}0且1|≠->x x xD {}1|->x x 4、“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的（ ） A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要 5、在等比数列｛a n ｝中，a 2=1, a 4=3,则a 6的值是（ ） A -5 B 5 C -9 D 96、如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量→OA = →a ，→OB = →b ，则→AM 可以表示为A →a + 12→bB -→a + 12→b C →a -12→b D -→a - 12→b7、终边在Y 轴的正半轴的角的集合是（ ）A ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x ,22|ππB ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+=z k k x x ,2|ππC ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=z k k x x ,22|ππD ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+-=z k k x x ,2|ππO AB8、关于函数x x y 22+-=，下列叙述错误的是（ ）A 函数的最大值是1B 函数图像的对称轴是直线x=1C 函数的单调递减区间是［－１， +∞）D 函数的图像经过（２，０）9、某值日小组共有5名学生，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教室外的走廊卫生，则不同的安排方法种类是（ ）A 10B 20C 60D 10010、如图所示，直线l 的方程是（ ）A 033=--y xB 0323=--y xC 0133=--y xD 013=--y x11、对于命题p,q ，若p ∧q 是假命题，p ∨q 是真命题，则A p,q 都是真命题B p,q 都是假命题C p,q 一个是真命题一个是假命题D 无法判断12、已知函数f(x)是奇函数，当x>0时，2)(2+=x x f ,则f(-1)的值是（ ） A －３ B －１ C １ D ３13、已知点P （m,-2）在函数x y 31log =的图像上，点A 的坐标是（4，3），则|→AP |的值是（ ）A 10B 102C 26D 25 14、关于x,y 的方程122=+my x ，给出下列命题：①当m<0时，方程表示双曲线；②当m=0时，方程表示抛物线；③当0<m<1时，方程表示椭圆；④当m=1时，方程表示等轴双曲线；⑤当m>1时，方程表示椭圆；其中，真命题的个数是A 2B 3C 4D 515、5）-1（x 的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ）A 0B -1C -32D 3216、不等式组01y -x 03-y x {>+<+表示的区域（阴影部分）是（ ）yx17、甲乙丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A 29B 23C 14D 12 18、已知向量→a =（cos 5π12，sin 5π12）, →b =（cos π12，sin π12），则→a ●→b 的值等于（） A 12 B 32 C 1 D 0 19、已知α，β表示平面，m,n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A 若,,n m m ⊥⊥α 则α//nB 若βαβα//,,⊂⊂n m 则n m //C 若αβα⊂m ,// 则β//mD 若βαα//,,m n m ⊂⊂ 则βα//20、已知F 1是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点P 在双曲线上，直线PF 1与x 轴垂直，且|PF 1|=a,则双曲线的离心率是（ ）A 2B 3C 2D 3二、填空题：21、直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 22、在△ABC 中，∠A=1050，∠C=450，AB=2 2，则BC=23、计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2，则从第五个号码段中抽出的号码应是24、已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆07622=--+x y x 的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 25、集合Ｍ，Ｓ，Ｎ都是非空集合，现规定如下运算：Ｍ⊕Ｓ⊕Ｎ＝{x|x )}s N M (且),()()(⋂⋂∉⋂⋂⋂∈x M S S N N M Y Y 若集合A=b}x a |{x <<,B=d}x c |{x <<,C=f}x e |{x <<,其中a ，b ，c ，d ，e ，f 满足：①ab<0,cd<0,ef<0②a-b=c-d=e-f ；③ a+b<c+d<e+f ；则A ⊕B ⊕C= 三、解答题：26、某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每一排比前一排多3名，求第一排应该安排多少名演员。

机密★启用前山东省2015年普通高校招生（春季）考试数学试题注意事项：1.本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分,满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01.卷一（选择题，共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上）1.集合{}1,2,3A =，{}1,3B =，则A B 等于（ ）A.{1,2,3}B.{1,3}C.{1,2}D.{2} 2.不等式15x -<的解集是（ ） A.(6-,4) B.(4-,6) C.(,6)(4,)--+∞∞ D.(,4)(6,)--+∞∞3.函数1y x=的定义域是（ ） A.{}10x xx -≠且 B.{}1x x - C.{}>10x x x -≠且D.{}>1x x -4.“圆心到直线的距离等于圆的半径”是“直线与圆相切”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.在等比数列{}n a 中，241,3a a ==，则6a 的值是（ ） A.5- B.5 C.9- D.96.如图所示，M 是线段OB 的中点，设向量,OA a OB b ==，则AM 可以表示为（ ）第6题图A.12a b +B.12a b -+C.12a b -D.12a b --7.终边在y 轴的正半轴上的角的集合是（ ）A.2,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z B.,2x x k k ⎧π⎫=+π∈⎨⎬⎩⎭Z C.2,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z D.,2x x k k ⎧π⎫=-+π∈⎨⎬⎩⎭Z.8.关于函数22y x x =-+，下列叙述错误的是（ ）A.函数的最大值是1B.函数图象的对称轴是直线1x =C.函数的单调递减区间是[1,)-+∞D.函数的图象经过点（2,0）9.某值日小组共有5名同学，若任意安排3名同学负责教室内的地面卫生，其余2名同学负责教师外的走廊卫生，则不同的安排方法种数是（ ） A.10 B.20 C.60 D.10010.如图所示，直线l 的方程是（ ）第10题图330x y -3230x y -= 3310x y --= D.310x -=11.对于命题p ,q ,若p q ∧是假命题，p q ∨是真命题，则（ ） A. p ,q 都是真命题 B. p ,q 都是假命题 C. p ,q 一个是真命题一个是假命题D.无法判断.12.已知函数()f x 是奇函数，当0x >时，2()2f x x =+，则(1)f -的值是（ ）A.3-B.1-C.1D.3.13.已知点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，点A 的坐标是（4,3），则AP的值是（ ）A.10B.210C.62D.5214.关于x ，y 的方程221x my +=，给出下列命题：①当0m <时，方程表示双曲线； ②当0m =时，方程表示抛物线；③当01m <<时，方程表示椭圆； ④当1m =时，方程表示等轴双曲线； ⑤当1m >时，方程表示椭圆. 其中，真命题的个数是（ ） A.2 B.3 C.4 D.515.5(1)x -的二项展开式中，所有项的二项式系数之和是（ ） A.0 B.1- C.32- D.32 .16.不等式组1030x y x y -+>⎧⎨+-<⎩表示的区域（阴影部分）是（ ）A B C D17.甲、乙、丙三位同学计划利用假期外出游览，约定每人从泰山、孔府这两处景点中任选一处，则甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的概率是（ ）A.29B.23C.14D.12.18.已知向量(cos ,sin ),(cos ,sin ),12121212a b 5π5πππ==则a b 的值等于（ ）A.1219.已知,αβ表示平面，m ，n 表示直线，下列命题中正确的是（ ）A.若m α⊥，m n ⊥，则n αB.若m α⊂，n β⊂，αβ，则m nC.若αβ，m α⊂，则m βD.若m α⊂，n α⊂，m β，n β，则αβ 20.已知1F 是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，点P 在双曲线上，直线1PF 与x 轴垂直，且1PF a =，则双曲线的离心率是（ ）C.2D.3卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21.直棱柱的底面是边长为a 的菱形，侧棱长为h ，则直棱柱的侧面积是 .22.在△ABC 中，105A ∠=,45C ∠=,AB =则BC = ..23.计划从500名学生中抽取50名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为此将他们逐一编号为1-500，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽出的号码是2 ，则从第五个号码段中抽取的号码应是 . .24.已知椭圆的中心在坐标原点，右焦点与圆22670x y x +--=的圆心重合，长轴长等于圆的直径，则短轴长等于 . .25.集合,,M N S 都是非空集合，现规定如下运算：{}()()()M N S x x MN NS SM ⊗⊗=∈.且()x MN S ∉.若集合{}{},A x a x b B x c x d =<<=<<，{}C x e x f =<<，其中实数a ，b ，c ，d ，e ，f ，满足：①0,0,0ab cd ef <<<；②a b c d e f -=-=-；③a b c d e f +<+<+.则A B C ⊗⊗= .三、解答题（本大题共5小题，共40分.请在答题卡相应的题号处写出解答过程）26.（本小题6分）某学校合唱团参加演出，需要把120名演员排成5排，并且从第二排起，每排比前一排多3名，求第一排应安排多少名演员. .27.（本小题8分）已知函数2sin(2),y x x ϕ=+∈R ，02ϕπ<<.函数的部分图象如图所示.求：（1）函数的最小正周期T 及ϕ的值； （2）函数的单调递增区间.15SD7 第27题图.28.(本小题8分)已知函数()x f x a =（0a >且1a ≠）在区间[2,4]-上的最大值是16.(1)求实数a 的值;(2)若函数22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,求满足不等式log (12)1a t -的实数t 的取值范围.29.(本小题9分)如图所示，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，平面SAD ⊥平面ABCD ，2,3SA SD AB ===. (1)求SA 与BC 所成角的余弦值； （2）求证：AB SD ⊥.15SD8 第29题图30.(本小题9分)已知抛物线的顶点是坐标原点O ,焦点F 在x 轴的正半轴上，Q 是抛物线上的点，点Q 到焦点F 的距离是1，且到y 轴的距离是38.（1）求抛物线的标准方程；（2）若直线l 经过点M (3，1),与抛物线相交于A ，B 两点，且OA OB ⊥,求直线l 的方程.15SD10 第30题图答案1.【考查内容】集合的交集 【答案】B2.【考查内容】绝对值不等式的解法 【答案】B【解析】1551546x x x -<⇒-<-<⇒-<<. 3.【考查内容】函数的定义域 【答案】A【解析】10x +且0x ≠得该函数的定义域是{}10x xx -≠且.4.【考查内容】充分、必要条件 【答案】C 【解析】“圆心到直线的距离等于圆的半径”⇒“直线与圆相切”，“直线与圆相切” ⇒“圆心到直线的距离等于圆的半径”.5.【考查内容】等比数列的性质 【答案】D 【解析】2423a q a ==，2649a a q ==. 6. 【考查内容】向量的线性运算 【答案】B【解析】12AM OM OA b a =-=-. 7.【考查内容】终边相同的角的集合 【答案】A【解析】终边在y 轴正半轴上的角的集合是2,2x k k ⎧π⎫+π∈⎨⎬⎩⎭Z 8.【考查内容】二次函数的图象和性质 【答案】C【解析】222(1)1y x x x =-+=--+，最大值是1，对称轴是直线1x =，单调递减区间是[1,)+∞，（2,0）在函数图象上. 9.【考查内容】组合数的应用 【答案】A【解析】从5人中选取3人负责教室内的地面卫生，共有35C 10=种安排方法.（选取3人后剩下2名同学干的活就定了） 10【考查内容】直线的倾斜角，直线的点斜式方程 【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，斜率3tan 30k ==，直线l 与x轴的交点为（1,0），由直线的点斜式方程可得l ：01)y x -=-，即10x -=.11. 【考查内容】逻辑联结词 【答案】C 【解析】由p q ∧是假命题可知p ,q 至少有一个假命题，由p q ∨是真命题可知p ,q 至少有一个真命题，∴p ,q 一个是真命题一个是假命题 12.【考查内容】奇函数的性质 【答案】A【解析】2(1)(1)(12)3f f -=-=-+=-13.【考查内容】对数的运算，向量的坐标运算，向量的模 【答案】D【解析】∵点(,2)P m -在函数13log y x =的图象上，∴2131log 2,()93m m -=-==，∴P 点坐标为(9,2)-，(5,5),52AP AP =-=.14.【考查内容】椭圆、双曲线和抛物线的标准方程，等轴双曲线的概念【答案】B【解析】当0m <时，方程表示双曲线；当0m =时，方程表示两条垂直于x 轴的直线；当01m <<时，方程表示焦点在y 轴上的椭圆；当1m =时，方程表示圆；当1m >时，方程表示焦点在x 轴上的椭圆.①③⑤正确. 15.【考查内容】二项式定理 【答案】D【解析】所有项的二项式系数之和为012345555555C C C C C C 32+++++=16【考查内容】不等式组表示的区域 【答案】C【解析】可以用特殊点（0,0）进行验证：0010-+>，0030+-<，非严格不等式的边界用虚线表示，∴该不等式组表示的区域如C 选项中所示. 17.【考查内容】古典概率 【答案】D【解析】甲、乙两位同学选取景点的不同种数为224⨯=，其中甲、乙两位同学恰好选取同一处景点的种数为2，故所求概率为2142= 18.【考查内容】余弦函数的两角差公式，向量的内积的坐标运算 【答案】A 【解析】1sincos cos sin sin 1212121262a b πππππ=+== 19.【考查内容】空间直线、平面的位置关系【答案】C【解析】A. 若m α⊥，m n ⊥，则n α或n 在α内；B. 若m α⊂，n β⊂，αβ，则m n 或m 与n 异面；D. 若m α⊂，n α⊂，m β，n β，且m 、n 相交才能判定αβ；根据两平面平行的性质可知C 正确.20.【考查内容】双曲线的简单几何性质 【答案】A【解析】1F 的坐标为(,0)c -，设P 点坐标为0(,)c y -，22022()1y c a b--=，解得20b y a=，由1PF a =可得2b a a =，则a b =，该双曲线为等轴双曲线，离心21. 【考查内容】直棱柱的侧面积 【答案】4ah22.【考查内容】正弦定理【解析】由正弦定理可知，sin sin AB BCC A =,sin sin1056sin AB A BC C ===23.【考查内容】系统抽样【答案】42【解析】从500名学生中抽取50名，则每两相邻号码之间的间隔是10，第一个号码是2，则第五个号码段中抽取的号码应是241042+⨯= 24.【考查内容】椭圆的简单几何性质 【答案】【解析】圆22670x y x +--=的圆心为（3,0），半径为4，则椭圆的长轴长为8，即3,4c a ==，b == 25.【考查内容】不等式的基本性质，集合的交集和并集 【答案】{}x c xe bx d <<或【解析】∵a b c d +<+，∴a c d b -<-；∵a b c d -=-，∴a c b d -=-；∴b d d b -<-，b d <；同理可得d f <，∴b d f <<.由①③可得0a c e b d f <<<<<<.则{}A B x c x b =<<，{}B C x e x d =<<，{}CA x e x b =<<.ABC ⊗⊗={}x c xe bx d <<或.26. 【考查内容】等差数列的实际应用【解】由题意知各排人数构成等差数列{}n a ，设第一排人数是1a ，则公差3d =，前5项和5120S =,因为1(1)2n n n S na d -=+，所以154120532a ⨯=+⨯，解得118a =.答：第一排应安排18名演员【考查内容】正弦型函数的图象和性质 【解】（1）函数的最小正周期22T π==π,因为函数的图象过点（0,1），所以2sin 1ϕ=，即1sin 2ϕ=，又因为02ϕπ<<，所以6ϕπ=. (2)因为函数sin y x =的单调递增区间是[2,2],22k k k ππ-+π+π∈Z . 所以222262k x k πππ-+π++π，解得36k xk ππ-+π+π， 所以函数的单调递增区间是[,],36k k k ππ-+π+π∈Z【考查内容】指数函数的单调性【解】（1）当01a <<时，函数()f x 在区间[2,4]-上是减函数， 所以当2x =-时，函数()f x 取得最大值16，即216a -=，所以14a =. 当1a >时，函数()f x 在区间[2,4]-上是增函数，所以当4x =时，函数()f x 取得最大值16，即416a =，所以2a =. （2）因为22()log (32)g x x x a =-+的定义域是R ,即2320x x a -+>恒成立.所以方程2320x x a -+=的判别式0∆<，即2(3)420a --⨯<，解得98a >，又因为14a =或2a =，所以2a =.代入不等式得2log (12)1t -，即0122t<-，解得1122t -<，所以实数t 的取值范围是11[,)22-. 【考查内容】异面直线所成的角，直线与平面垂直的判定和性质 【解】（1）因为AD BC ,所以SAD ∠即为SA 与BC 所成的角，在△SAD中，2SA SD ==，又在正方形ABCD 中3AD AB ==,所以222222232cos 2223SA AD SD SAD SA AD +-+-∠==⨯⨯34=,所以SA 与BC 所成角的余弦值是34.(2)因为平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCD AD =,在正方形ABCD 中，AB AD ⊥,所以AB ⊥平面SAD ,又因为SD ⊂平面SAD ,所以AB SD ⊥.【考查内容】抛物线的定义、标准方程和性质，直线与抛物线的位置关系【解】（1）由已知条件，可设抛物线的方程为22y px =，因为点Q 到焦点F 的距离是1，所以点Q 到准线的距离是1，又因为点Q 到y 轴的距离是38，所以3128p =-，解得54p =， 所以抛物线方程是252y x =. （2）假设直线l 的斜率不存在，则直线l 的方程为3x =，与252y x =联立，可解得交点A 、B 的坐标分别为，易得32OA OB =，可知直线OA 与直线OB 不垂直，不满足题意，故假设不成立，从而，直线l 的斜率存在.设直线l 的斜率为k ，则方程为1(3)y k x -=-，整理得31y kx k =-+，设1122(,),(,),A x y B x y 联立直线l 与抛物线的方程得23152y kx k y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩①② , 消去y ，并整理得22225(62)96102k x k k x k k --++-+=，于是2122961k k x x k -+=. 由①式变形得31y k x k+-=，代入②式并整理得2251550ky y k --+=，于是121552k y y k-+=，又因为OA OB ⊥，所以0OA OB =，即12120x x y y +=， 2296115502k k k k k -+-++=，解得13k =或2k =. 当13k =时，直线l 的方程是13y x =，不满足OA OB ⊥，舍去. 当2k =时，直线l 的方程是12(3)y x -=-，即250x y --=，所以直线l 的方程是250x y --=.（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。