人教A版高中数学选修22课件完美版：第一章 导数及其应用 C模拟高考ppt
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高中数学 第一章 导数及其应用章末归纳总结课件 新人教A版选修22
[解析] (1)a＝－1 时，f(x)＝lnx＋x＋2x－1，x∈(0，
＋∞)．
f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)，
因此 f′(2)＝1，
即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1.
又 f(2)＝ln2＋2， 所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为 y－(ln2＋ 2)＝x－2，即 x－y＋ln2＝0. (2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a x∈(0， ＋∞)．
简捷．在解决问题的过程中主要处理好等 号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个 函数在某区间上递增(或递减)的充分不必 要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或 (f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解 决取值范围问题时可以有两个基本思路：
• 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒 成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分
• (2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数 s′(t)，就是速度v，即v＝ s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是 运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝ v′(t)．
• 3．利用导数的几何意义求切线方程
• 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清 所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一
③当 m>3 时，g(x)在[2,3]上是递增的，
g(x)max＝g(3)＝18m－36.
因此
g(x)max＝31m2m2－－921
(m<2) (2≤m≤3)
.
18m－36 (m>3)
• 已知函数的单调性求参数的取值范围时， 可以有两种方法，一是利用函数单调性的
＋∞)．
f′(x)＝x2＋xx2－2，x∈(0，＋∞)，
因此 f′(2)＝1，
即曲线 y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线斜率为 1.
又 f(2)＝ln2＋2， 所以 y＝f(x)在(2，f(2))处的切线方程应为 y－(ln2＋ 2)＝x－2，即 x－y＋ln2＝0. (2)因为 f(x)＝lnx－ax＋1－x a－1， 所以 f′(x)＝1x－a＋a－x2 1＝－ax2－xx＋2 1－a x∈(0， ＋∞)．
简捷．在解决问题的过程中主要处理好等 号的问题，因为f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是一个 函数在某区间上递增(或递减)的充分不必 要条件，而其充要条件是：f′(x)≥0或 (f′(x)≤0)，且f′(x)不恒为零．利用导数法解 决取值范围问题时可以有两个基本思路：
• 一是将问题转化为不等式在某区间上的恒 成立问题，即f′(x)≥0或f′(x)≤0恒成立，用分
• (2)物理意义：函数s＝s(t)在点t处的导数 s′(t)，就是速度v，即v＝ s′(t)．而函数v＝v(t)在t处的导数v′(t)，就是 运动物体在时刻t时的瞬时加速度a，即a＝ v′(t)．
• 3．利用导数的几何意义求切线方程
• 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清 所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一
③当 m>3 时，g(x)在[2,3]上是递增的，
g(x)max＝g(3)＝18m－36.
因此
g(x)max＝31m2m2－－921
(m<2) (2≤m≤3)
.
18m－36 (m>3)
• 已知函数的单调性求参数的取值范围时， 可以有两种方法，一是利用函数单调性的
人教A版高中数学选修2-2课件第一章导数及其应用章末专题整合
解得 a＝1.
综上所述，得 f(x)＝xsin x－3. 2
(2)f(x)在(x)＝xsin
x－3，从而有 2
f(0)＝－32＜0，fπ2＝π－2 3
＞0，
又 f(x)在0，π2上的图象是连续不断的，
所以 f(x)在0，π2内至少存在一个零点．
利用导数证明不等式或已知不等式恒成立，求参数的取值
范围，这两个问题通常转化为函数的最值问题解决．
例4 (2012·高考天津卷)已知函数 f(x)＝x－ln(x＋a)的 最小值为 0，其中 a＞0. (1)求 a 的值； (2)若对任意的 x∈[0，＋∞)，有 f(x)≤kx2 成立，求实数 k 的最小值；
当13<a<1 时，方程 g(x)＝2x2－3(1＋a)x＋6a＝0 的判别式 Δ
＝ 9a2－ 30a＋ 9<0，
∴ D＝ (0，＋∞ )．
综上所述：当 a≤0 时，
D＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
；
当 0<a≤13时，D＝0，31＋a－
9a2－ 4
30a＋
4 ＋a)x＋6a＝0 的解 x1，x2 满足
x1＝3 1＋ a－
9a2－ 30a＋ 9
4
<0<x2
＝31＋a＋ 9a2－30a＋9， 4
∴ D＝ (x2，＋∞)＝3 1＋ a＋
9a2－ 4
30a＋
9，＋∞
.
当－1<a≤0 时，x＝3(1＋a)>0，g(0)＝6a≤0， 4
1)≤
2 2i－
12<
2i－
2 32i－
1(i∈
N*，
i≥
2)，
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.2 1.2.2(二)
2．做一做
(1)若 f(x)＝2x＋3，则 f′(x)＝________.
(2)函数 f(x)＝2sinx－cosx，则 f′(x)＝________.
(3)函数 f(x)＝－x＋2 1，则 f′(x)＝________.
答案
(1)2
(2)2cosx＋sinx
2 (3)x＋12
答案
课堂互动探究
层求导．
使用复合函数求导法则的注意事项 (1)分清复合函数的复合关系是由哪些基本函数复合而成的，选择适当的 中间变量． (2)分步计算的每一步都要明确是对哪个变量求导，而其中特别要注意的 是中间变量的导数，如(sin2x)′＝2cos2x，不能得出(sin2x)′＝cos2x.
(3)根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求出各函数的导
u)′·(3x＋5)′＝2 3
＝ u2
3 3x＋5 .
答案
拓展提升
复合函数求导的步骤
【跟踪训练 1】 求下列函数的导数．
(1)y＝ 1－2x2；(2)y＝esinx；
(3)y＝sin2x＋3π；(4)y＝5log2(2x＋1)．
1
解 (1)设 y＝u 2 ，u＝1－2x2，
则
y′＝(u
数，并把中间变量转换成自变量的函数，如求 y＝sin2x＋3π的导数，设 y＝sinu， u＝2x＋π3，则 yx′＝yu′·ux′＝cosu·2＝2cos2x＋3π.
(4)熟练掌握复合函数的求导后，中间步骤可省略不写．
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f′(x)＝2x，则 f(x)＝x2.( × ) (2)函数 f(x)＝xex 的导数是 f′(x)＝ex(x＋1)．( √ ) (3)函数 f(x)＝sin(－x)的导数为 f′(x)＝cosx.( × )
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章导数及其应用1.1.1、2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
合作探究 课堂互动
高效测评 知能提升
(4)在公式ΔΔxy＝fxx22－－fx1x1＝fx1＋ΔΔxx－fx1中，当 x1 取定 值，Δx 取不同的数值时，函数的平均变化率是不同的；当 Δx 取定值，x1 取不同的数值时，函数的平均变化率也是不同的．特 别地，当函数 f(x)为常数函数时，Δy＝0，则ΔΔyx＝0.
平均变化率为
fx2－fx1
___x_2_－__x1___
②曲线割线的 斜率
刻画函数值在
区间 [x_1_，__x_2_]_
上变化的快慢
函数 y＝f(x)在 x＝x0 处 ①瞬时速度：物
刻画函数值在
的瞬时变化率是 lim
体在某一时刻
ΔΔyx＝Δ_lix_m→_0_f__x_0＋__Δ_ΔΔ_xxx_→－_0_f_x_0
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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高效测评 知能提升
(3)在 x＝2 处取自变量的增量 Δx，得一区间[2,2＋Δx]． ∴Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2·22＋1)＝2(Δx)2＋ 8Δx. ∴ΔΔyx＝2Δx＋8，当 Δx→0 时，ΔΔxy→8.
为 g×2＋12g×0.1＝4210g.
(4)由(2)得物体在 t＝2 s 时的瞬时速度为 g×2＝2g.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
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求函数f(x)在某点处的导数
已知f(x)＝x2＋3. (1)求f(x)在x＝1处的导数； (2)求f(x)在x＝a处的导数．
人教A版高中数学选修22变化率与导数PPT课件
问题二：高台跳水
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
21
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
在高台跳水运动中，运动 员相对于水面的高度h(单位： m)与起跳后的时间t(单位：s) 存在函数关系
h(t) 4.9t 2 6.5t 10
V 如果用运动员在某段时间内的平均速度
描述其运动状态，那么：
(1)在0t0.5 这段时间里，V = h(0.5) h(0) 4.05(m / s)
微积分的创立
到了十七世纪，有许多科学问题需要解决，这些 问题也就成了促使微积分产生的因素。归结起来，大 约有四种主要类型的问题：第一类是研究运动的时候 直接出现的，也就是求即时速度的问题。第二类问题 是求曲线的切线的问题。第三类问题是求函数的最大 值和最小值问题。第四类问题是求曲线长、曲线围成 的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相 当大的物体作用于另一物体上的引力。
0.5 0
(2)在1t2 这段时间里， V = h(2) h(1) -8.2(m / s)
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人教A版高中数学选修22变化率与导数 PPT课 件
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探究
计算运动员在
0 t 65 49
这段时间
里的平均速度，并思考以下问题：
(1)运动员在这段时间是静止的吗？
lim x0 x x0 lim
x
x 0
x
x0 x( x0 x x0 )
lim
1
1
x0 x0 x x0 2 x0
例3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品, 需要对原油进行冷却和加热. 如果在第 x h时, 原油的温 度为 y=f (x) = x2–7x+15 (0≤x≤8) . 计算第2h与第6h时, 原 油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.7.2
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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高效测评 知能提升
1．A，B两站相距7.2 km，一辆电车从A站开往B站，电车 开出t s后到达途中C点，这一段速度为1.2t(m/s)，到C点速度达 24 m/s，从C点到B站前的D点以等速行驶，从D点开始刹车， 速度为(24－1.2t) m/s，在B站恰好停车．试求：
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1．一辆汽车以 v＝3t2 的速度行驶，这辆汽车从 t＝0 到 t ＝3 这段时间内所行驶的路程为( )
A．13
B．1
C．3
D．27
3
解析：
s＝ 3t2dt＝t3| 0
30＝27，故选D.
答案： D
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
自主学习 新知突破
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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5
(2)当t＝5时，点P离开原点的位移s2＝0(8t－2t2)dt
＝4t2－23t3| 50＝530.
∴点P在x轴正方向上距原点530处．
(3)从t＝0到t＝5时，点P经过的路程
4
5
s3＝0(8t－2t2)dt－4(8t－2t2)dt
合作探究 课堂互动
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2．做直线运动的质点在任意位置x处，所受的力F(x)＝1＋
ex，则质点沿着与F(x)相同的方向，从点x1＝0处运动到点x2＝1 处，力F(x)所做的功是( )
A．1＋e
B．e
C．
D．e－1
1
1
2018版数学人教A版选修2-2课件：第一章 导数及其应用
例1 求下列函数的导数.
2x3－3x＋ x＋1 (1)y＝ ； x x
解 ∵y＝2 x －3 x ＋x ＋ x ，
－1
1 2 3 2 1 2
3 2
3 5 3 2 3 ∴y′＝3 x ＋ x －x－2－ x 2 . 2 2
解答
x2＋1 (2)y＝ 2 ； x ＋3
解 方法一
x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′ y′ ＝ x2＋32
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导
数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
和、差的导数
1 已知f(x)＝x，g(x)＝ . x
解答
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
1 sin 2 x ＋ x sin 2x＋2x 2 ＝ cos2x ＝ 2cos2x .
解答
类型二 导数运算法则的综合应用
命题角度1 利用导数求函数解析式 ln x 例 2 (1)已知函数 f(x)＝ x ＋2xf′(1)， 试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； 1－ln x 解 由题意得 f′(x)＝ x2 ＋2f′(1)， 1－ln 1 令 x＝1，得 f′(1)＝ 1 ＋2f′(1)，即 f′(1)＝－1. ln x ∴f(x)＝ x －2x. ln e 1 ∴f(e)＝ e －2e＝ e－2e，f(1)＝－2， 1 由 f(e)－f(1)＝e －2e＋2<0，得 f(e)<f(1).
2x3－3x＋ x＋1 (1)y＝ ； x x
解 ∵y＝2 x －3 x ＋x ＋ x ，
－1
1 2 3 2 1 2
3 2
3 5 3 2 3 ∴y′＝3 x ＋ x －x－2－ x 2 . 2 2
解答
x2＋1 (2)y＝ 2 ； x ＋3
解 方法一
x2＋1′x2＋3－x2＋1x2＋3′ y′ ＝ x2＋32
第一章 §1.2 导数的计算
1.2.2
基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)
学习目标
1.理解函数的和、差、积、商的求导法则.
2.理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导
数运算法则求函数的导数.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一
和、差的导数
1 已知f(x)＝x，g(x)＝ . x
解答
(3)y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)； 解 方法一 y′＝[(x＋1)(x＋3)]′(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)(x＋5)′
＝[(x＋1)′(x＋3)＋(x＋1)(x＋3)′](x＋5)＋(x＋1)(x＋3) ＝(2x＋4)(x＋5)＋(x＋1)(x＋3)＝3x2＋18x＋23. 方法二 ∵y＝(x＋1)(x＋3)(x＋5)＝(x2＋4x＋3)(x＋5) ＝x3＋9x2＋23x＋15， ∴y′＝(x3＋9x2＋23x＋15)′＝3x2＋18x＋23.
1 sin 2 x ＋ x sin 2x＋2x 2 ＝ cos2x ＝ 2cos2x .
解答
类型二 导数运算法则的综合应用
命题角度1 利用导数求函数解析式 ln x 例 2 (1)已知函数 f(x)＝ x ＋2xf′(1)， 试比较 f(e)与 f(1)的大小关系； 1－ln x 解 由题意得 f′(x)＝ x2 ＋2f′(1)， 1－ln 1 令 x＝1，得 f′(1)＝ 1 ＋2f′(1)，即 f′(1)＝－1. ln x ∴f(x)＝ x －2x. ln e 1 ∴f(e)＝ e －2e＝ e－2e，f(1)＝－2， 1 由 f(e)－f(1)＝e －2e＋2<0，得 f(e)<f(1).
人教A版高中数学选修2-2课件：第一章 导数及应用 C模拟高考(共46张PPT)
7.[2018江苏苏州质检]已知函数f(x)=1+e������������������2(a>0),若f(x)为R上的单调函数,则实数a的取值范围是
.
答案
7.(0,1]
【解析】
f
'(x)=e������
(1+������������2)−2������������e������ (1+������������2)2
=
e������((11++���������������������2���2−)22������������),因为f(x)为R上的单调函数,所以f
'(x)≥0或f
'(x)≤0在R上恒
答案
3.A 【解析】 分析知a≥2.由于f '(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,所以当0<x<1时,f '(x)>0,即函数f(x)在[0,1]上单 调递增,则当x∈[0,1]时,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以f(x)max-f(x)min=a-ln a,因为对任意的 x1,x2∈[0,1],|f(x1)-f(x2)|≤ a-2恒成立,所以a-2≥a-ln a,即ln a≥2,解得a≥e2,所以实数a的取值范围为[e2,+∞).故选A.
6.[2019吉林长春高二(下)期末联考]设函数f(x)=e2���������2��� +1,g(x)=ee2������������.若对任意的x1,x2∈(0,+∞),不等式������(������������1)≤���������(���+������21)恒成立, 则正数k的取值范围是 ( )
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.2(2)
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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4．求下列函数的导数： (1)y＝xx2＋1x＋x13； (2)y＝1＋xc2os x； (3)y＝(4x－x)(ex＋1)．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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[思路点拨] 选取中间变量 → 分解 → 求导 → 转化
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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解析： (1)引入中间变量 u＝φ(x)＝3－4x. 则函数 y＝3－14x4是由函数 f(u)＝u14＝u－4 与 u＝φ(x)＝3－4x 复合而成的． 查导数公式表可得 f′(u)＝－4u－5＝－u45，φ′(x)＝－4. 根据复合函数求导法则可得3－14x4′＝f′(u)φ′(x) ＝－u45·(－4)＝1u65 ＝3－164x5.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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2．复合函数求导应注意的问题 (1)简单复合函数均是由基本初等函数复合而成的，对于常 用的基本函数要熟悉． (2)求复合函数的导数，关键要分清函数的复合关系，特别 要注意中间变量． (3)要注意复合函数的求导法则与四则运算求导法则的综合 运用．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(3)令 u＝8x，y＝ln u， 则 yx′＝yu′·ux′ ＝(ln u)′·(8x)′ ＝8·1u＝1x.
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(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.6
＝(0－1)－[0－(－1)]
＝－1－1＝－2.
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第一章 导数及其应用
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(3)∵(ex－sin x)′＝ex－cos x，
0
∴ －π
(ex－cos
x)dx＝(ex－sin
x)|
0 －π
＝(e0－sin 0)－[e－π－sin(－π)]
＝1－e－π.
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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求简单的定积分关键注意两点： (1)掌握基本函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被 积函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形 后再求解； (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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定积分的应用
已知 f(x)＝21x＋＋x12，，xx∈∈[2－，24，]，2]，
3
求
使
k
f(x)dx
＝
430恒成立的 k 值．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
[思路点拨]
自主学习 新知突破
0
(3)
(ex－cos x)dx.
－π
[思路点拨] 先求被积函数的原函数，然后利用微积分基
本定理求解．
数学 选修2-2
第一章 导数及其应用
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(1)∵x3＋12x2－x′＝3x2＋x－1，
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：第一章导数及其应用1.2 1.2.1 1.2.2(一)
的导数公式可以求出结果，但不如先化简为
y＝x·
x＝x
3 2
，再求
y′＝32x
1 2
简
单.
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3.三次函数的导数为二次函数，当涉及与二次函数最值有关的问题时， 常需要讨论，而讨论的立足点是二次函数的图象的对称轴与区间的位置关系.
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(3)第三类为指数函数，y′＝(ax)′＝ax·ln a，当 a＝e 时，ex 的导数是(ax)′
的一个特例．
(4)
第
四
类
为
对
数
函
数
，
y′
＝
(logax)′
＝
1 x·ln
a
，
也
可
记
为
(logax)′
＝
1x·logae，当 a＝e 时，ln x 的导数也是(logax)′的一个特例．
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若 y＝ 2，则 y′＝12×2＝1.( × )
(2)若 f′(x)＝sinx，则 f(x)＝cosx.( × )
(3)若 f(x)＝－
1 ，则 x
f′(x)＝2x1
x
.(
√
)
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【跟踪训练 2】 已知点 P(－1,1)，点 Q(2,4)是曲线 y＝x2 上的两点，求 与直线 PQ 平行的曲线 y＝x2 的切线方程．
(人教版)高中数学选修2-2课件：第1章 导数及其应用1.2.1、2(1)
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第一章 导数及其应用
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(1)y′＝－3x－4.(2)y′＝3xln 3.
(4)y′＝xln1 5.(5)y＝sin x，y′＝cos x. (6)y′＝0.(7)y′＝1x.(8)y′＝ex.
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第一章 导数及其应用
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1．掌握几个常用函数的导数，并能进行简单的应用． 2．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应 用．
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[问题1] 函数y＝f(x)＝x的导数是什么？
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【正解】 (1)∵y＝(－x)8＝x8， ∴y′＝(x8)′＝8x7. (2)∵y＝(ax)5＝a5x5， ∴y′＝(a5x5)′＝a5(x5)′＝5a5x4.
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几个常用函数的导数
函数 f(x)＝c(c 为常数)
f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝1x
f(x)＝ x
人教a版数学【选修2-2】1.1.3《导数的概念》ppt课件
重点：导数的几何意义及曲线的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
导数的几何意义
新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ，当
Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定的 直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 __________．
[解析] (1)将x＝2代入曲线C的方程得y＝4，
∴切点P(2,4)．
y′|x＝2＝Δlixm→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
132＋Δx3＋43－13×23－43 Δx
＝Δlixm→0[4＋2·Δx＋13(Δx)2]＝4. ∴k＝y′|x＝2＝4. ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y
)
A．1
B．π4
C．54π
D．－π4
[答案] B
[解析] ∵y＝12x2－2，
∴y′＝ lim Δx→0
12x＋Δx2－2－12x2－2 Δx
＝ lim Δx→0
12ΔxΔ2＋x x·Δx＝Δlixm→0
x＋12Δx＝x.
∴y′|x＝1＝1.
∴点P1，－32处切线的斜率为1，则切线的倾斜角为45°.
数f(x)的导函数__________．
(3)函数y＝f(x)在点x0处的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在点x＝x0 处的函数值，f即′(xf)′(x0)＝__________.
f′(x)|x＝x0
牛刀小试
1．(2014·三峡名校联盟联考)曲线y＝x2在点P(1,1)处的切线 方程为( )
A．y＝2x
B．y＝2x－1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x
[答案] B
人教新课标A版高中数学选修22可编辑 第一章 导数及其应用 112 导数的概念PPT课件
[例 3] 若函数 f(x)在 x＝a 处的导数为 A，求：
(1)liΔmx→0 f(a＋Δx)Δ－xf(a－Δx)；
f(a＋4t)－f(a＋5t)
(2)litm→0
t
.
❖ [分析] 已知函数f(x)在x＝a处的导数为A，
要求所给的极限值，必须将已给极限式转
化为导数的意义．
[解析] (1)∵liΔmx→0 f(a＋ΔΔxx)－f(a)＝A，
限．如果ΔΔyx不存在极限，就说函数在点 x0 处不可导，或说
无导数；
第四：f′(x0)的不同表达方式：
y′|x ＝ x0 ＝ f′(x0) ＝ li x→mx0
f(x)－f(x0) x－x0
＝
li
Δmx→0
f(x0＋ΔΔxx)－f(x0).
❖ [例1] 已知自由落体的运动方程为s＝gt2 ， 求：
❖ (1)落体在t0到t0＋Δt这段时间内的平均速度； ❖ (2)落体在t0时的瞬时速度； ❖ (平3)[均落分析速体]度在平；t均0＝速2度秒v 即到平t1均＝变2化.1率秒，而这瞬段时时速度间即内是的平
❖均(速4)度落v体在在Δt→t＝0 2时秒的时极限的值瞬，时为此速，度要．求瞬时速度，应
先求出平均速度，再求 v 当 Δt→0 时的极限值．
g×2≈9.8×2＝19.6(米/秒)．
❖ [点评] 应注意区分平均速度与瞬时速度的概 念、瞬时速度是运动物体在t0到t0＋Δt这一段 时间内的平均速度当Δt→0时的极限，即运动 方程s＝f(t)在t＝t0时对时间t的导数．
❖ 以初[解速析度] v∵0(vΔs0＝＞v00)(竖t0＋直Δt)上－12抛g(t的0＋物Δt)体2－，v0tt秒0－时12gt的20 高时＝(度速v0－为度gt0．s)(Δtt)－＝12gv(0Δtt－)2， gt2，求物体在t0时刻的瞬
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3.[2017山东卷文·10,5分]若函数exf(x)(e=2.718 28…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具
有M性质.下列函数中具有M性质的是 ( )
A.f(x)=2-x
B.f(x)=x2
C.f(x)=3-x
D.f(x)=cos x
答案
4.[2017全国卷Ⅱ理·11,5分]若x=-2是函数f(x)=(x2+ax-1)ex-1的极值点,则 f(x)的极小值为 ( )
答案
6.[2019北京卷理·13,5分]设函数f(x)=ex+ae-x(a为常数).若f(x)为奇函数,则a=
取值范围是
.
;若f(x)是R上的增函数,则a的
答案
7.[2019全国Ⅰ卷文·13,5分]曲线y=3(x2+x)ex在点(0,0)处的切线方程为
.
答案
8.[2019江苏卷·11,5分]在平面直角坐标系xOy中,点A在曲线y=ln x上,且该曲线在点A处的切线经过点(-e,-1)(e为自
答案
答案
答案
答案
当x变化时,g'(x),g(x)的变化情况如下表:
x
-2
(-2,0)
0
g'(x)
+
-
g(x)
-6
↗
0
↘
所以g(x)的最小值为-6,最大值为0. (9分) 故-6≤g(x)≤0,即x-6≤f(x)≤x. (10分) (3)由(2)知, 当a<-3时,M(a)≥F(0)=|g(0)-a|=-a>3; 当a>-3时,M(a)≥F(-2)=|g(-2)-a|=6+a>3; 当a=-3时,M(a)=3. 综上,当M(a)最小时,a=-3. (13分)
然对数的底数),则点A的坐标是
.
答案
9.[2018全国Ⅰ卷理·16,5分]已知函数f(x)=2sin x+sin 2x,则f(x)的最小值是
.
答案
答案
10.[2018全国Ⅲ卷理·14,5分]曲线y=(ax+1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为-2,则a=
.
答案
10.-3 【解析】 y'=(ax+1+a)ex,由曲线在点(0,1)处的切线的斜率为-2,得y'│x=0=(ax+1+a)ex│x=0=1+a=-2,所以a=-3.
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
答案
1.[2019全国Ⅲ卷文·7,5分]已知曲线y=aex+xln x在点(1,ae)处的切线方程为y=2x+b,则 ( )
A.a=e,b=-1
B.a=e,b=1
C.a=e-1,b=1
D.a=e-1,b=-1
答案
2.[2017浙江卷·7,4分]函数y=f(x)的导函数y=f '(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)的图象可 能是 ( )
11.[2017天津卷文·10,5分]已知a∈R,设函数f(x)=ax-ln x的图象在点(1,f(1))处的切线为l,则l在y轴上的截距
为
.
答案
12.[2019全国卷Ⅱ文·21,12分]已知函数f(x)=(x-1)ln x-x-1.证明: (1)f(x)存在唯一的极值点; (2)f(x)=0有且仅有两个实根,且两个实根互为倒数.
A.-1
B.-2e-3
C.5e-3
D.1
答案
4.A 【解析】 因为f(x)=(x2+ax-1)ex-1,所以f '(x)=(2x+a)ex-1+(x2+ax-1)ex-1=[x2+(a+2)x+a-1]ex-1.因为x=-2是函数 f(x)= (x2+ax-1)ex-1的极值点,所以x=-2是x2+(a+2)x+a-1=0的根,所以a=-1,所以f '(x)=(x2+x-2)ex-1=(x+2)(x-1)ex-1.令f '(x)>0,解得x<-2或x>1,令f '(x)<0,解得-2<x<1,所以f(x)在(-∞,-2)上单调递增,在(-2,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增, 所以当x=1时,f(x)取得极小值,且f(x)极小值=f(1)=-1,故选A.
A
B
C
D
答案
2.D 【解析】 根据题意,已知导函数的图象有三个零点,且每个零点的两边导函数值的符号相反,因此函数f(x)在 这些零点处取得极值,排除A,B;记导函数 f '(x)的零点从左到右分别为x1,x2,x3,又在(-∞,x1)上f '(x)<0,所以函数f(x)在(∞,x1)上单调递减,排除C,故选D.
第一章 导数及其应用
数学·选修2-2·RJA
1.函数f(x)=exln x的图象在点(1,f(1))处的切线方程是 ( )
A.y=2e(x-1)
B.y=ex-1
C.y=e(x-1)
D.y=x-e
答案
答案
3.已知函数f(x)=ax+x2-xln a,对任意的x1,x2∈[0,1],不等式|f(x1)-f(x2)|≤a-2恒成立,则实数a的取值范围为 ( )
答案
5.已知f(x)=x3-3x,过点A(1,m)(m≠-2)可作曲线y=f(x)的三条切线,则实数m的取值范围是( )
.(-3,-2)
答案
5.D 【解析】 设切点为(t,t3-3t),f '(x)=3x2-3,则切线方程为y=(3t2-3)(x-t)+t3-3t,整理得y=(3t2-3)x-2t3.把A(1,m)代入 整理,得2t3-3t2+m+3=0 ①.因为过点A可作三条切线,所以①有三个解.记g(t)=2t3-3t2+m+3,则g'(t)=6t2-6t=6t(t-1),所 以当t=0时,极大值g(0)=m+3,当t=1时,极小值g(1)=m+2.要使g(t)有三个零点,只需m+3>0且m+2<0,即-3<m<-2.
A.[e2,+∞)
B.[e,+∞)
C.[2,e]
D.[e,e2]
答案
3.A 【解析】 分析知a≥2.由于f '(x)=axln a+2x-ln a=(ax-1)ln a+2x,所以当0<x<1时,f '(x)>0,即函数f(x)在[0,1]上单 调递增,则当x∈[0,1]时,f(x)max=f(1)=a+1-ln a,f(x)min=f(0)=1,所以f(x)max-f(x)min=a-ln a,因为对任意的 x1,x2∈[0,1],|f(x1)-f(x2)|≤ a-2恒成立,所以a-2≥a-ln a,即ln a≥2,解得a≥e2,所以实数a的取值范围为[e2,+∞).故选A.