哈尔滨师大附中 东 北 师 大 附 中 辽宁省实验中学 2020年高三第一次联合模拟考试 语 文 试 卷word版

2011年东北三省三校第一次联合模拟考试理科数学参考答案二、填空题： 13、14-14、540- 15、1 16、8 三：解答题：18、(1)连接1AC 交1AC 于点O ，连OD1111111O AC 1OD//BC ,OD=BC 2 AB BC A CD ACC A D ⎫⇒⎬⎭⊄中,为中点为中点平面111BC //4' OD A CD ACD ⎫⎪⎪⇒⎬⎪⎪⊂⎭平面平面(2) 延长1A D 交1BB 延长线于E ，则111A D BBC C 平面=E取11B C 中点F ，连1,A F EF11111111111111ABC A B C A F B C A F BB C C6'A B C BB C C -⇒⊥⎫⇒⊥⎬⊥⎭在三棱柱中平面 平面平面111EF A E BB C C ⇒为在平面内的射影1111E A E BB C C 8'A F ∴∠为与平面成的角在正1111111A B C B C 1,A F=A 2BC ∆==中故： 17RT A EF EF=2∆在中1cos EF AEF A E ∠==111A D BB C C 12'故与平面19、(1)30位亲属中50岁以上的人多以食蔬菜为主2'50岁以下的人多以食肉为主4'8'2230(8-128)30120120K ===10>6.6351218201012182010⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯10'有99%的把握认为亲属的饮食习惯与年龄有关。

12'20、(1)设(2cos ,2sin ),(cos ,sin )P Q αααα由N PM QN PM=0QN PM PN PM λ=⋅⊥知在上，由知N (2c o s,s i n )αα∴{s i n y αα=x=2cos 即：2214'4x y ∴+=(2) 联立方程2222221(41)2436404(3)x y k x k x k y k x ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩2106'5k ∆>⇒<22212121212122224364, y y [3()9]8'4141k k x x x x k x x x x k k -+=-⋅==⋅+++++121212()1BE BF x x x x y y ⋅=⋅-+++222222227(1)4(91)(31)(24)699291(1)10'14144k k k k k k k -+-+--=++=+++由210< BE BF [3,6)12'5k ≤∴⋅∈-21、(1)()(),ln()ln()x x f x f x e a e a --=-∴+=-+-x -x x x1e (e e )0 01'e a a a a a∴+=⇒++=∴=+()g(x)=x+sinx [-1,1]f x x λ∴=，且在递减'()cos 0[1,1]2'g x x x λ∴=+≤∈-在上恒成立λ∴≤-cosx 1A =(--λ∴≤-∞即：，］ (2) max 1[1,1]()1t x g x t λλ≤++∈-⇔≤++22g(x)t 在恒成立t 恒成立2max ()(1) sin1 1 1g x g t t λλλ=-∴--≤++≤-对任意恒成立5'即： 2(t+1)+t 1sin10 1λλ++≥≤-对任意恒成立 故，{11st ≤⇒≤++2t +-1-t+t 7'(3) 222ln ln (2)()xx x x ex m x e m e x=-+⇔=-+- 令22ln () ()()xh x x x e m e xφ==-+-，21l n 1'() ()(0e )(e ,+) ()xh x h x h ex e-=∴∞∴==max 在，递增，递减h(x)9'2m i n ()(e ,+) (x )x m eφφ∞=-为二次函数在(0,e)递减，递增， 22222211, 11= =, 111< <, 2m e m e e e m e m e e e m e m e e e∴->>+-+-+即：无解即：解即：解12'22、解：(Ⅰ)︒=∠=∠90PKQ PHQ∴四点P 、K 、H 、Q 共圆.2'(Ⅱ) 四点P 、K 、H 、Q 共圆，HQP HKS ∠=∠∴①4'︒=∠90PSR ，PR 为圆的直径，90PQR ∴∠=︒，HQP QRH ∠=∠ ②6'由①②得，H Q S P ∠=∠，TKSK =∴8'又︒=∠90SKPTKQSQK ∠=∠，TS QT TK QT =∴=∴,.10'23、(1)直线l的方程：11(y x -=-+即：y=-x 1'240y x ρθ+-=2C:=4cos 即：x 2'40x -=2联立方程得： 2x7 A (0,0) ,B (2,-2)0,0),B (22,)4π∴极坐标5'22(2) 1 : :(2)431 08'4d l y x C x y k k ===--+=∴=∴==或{4x =-1-51()()1315t x tl t t y y t⎧⎪⎪=-+∴⎨=⎪=+⎪⎩：为参数或为参数10'24、 2121413x x x ≥⇒++≥⇒-≤≤2(1) |x+1|2|x|x 1[,1]3∴-解集为4'(2) 存在|x+1|2|x|+a x R |x+1|-2|x|a x R ∈≥∴∈≥使存在使 令6'1 0()3 1 -101 1x x x x x x x ϕ-≥⎧⎪=+≤<⎨-<-⎪⎩8'当0 1 -10-2y<1; x<-1x x ≥≤≤<≤时，；时，时，y<-2 综上可得：()1x ϕ≤ 1.a ∴≤10'。

绝密★启用前东北三省三校(哈师大附中 东北师大附中 辽宁省实验中学) 2020届高三毕业班上学期第一次联合高考模拟考试数学(理)试题(解析版)全卷满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合{}|22A x x =-<<，{|B x y ==，则A B =（ ） A. ()1,2-B. [1,2)-C. ()2,1--D. ()2,3 【答案】B【解析】【分析】化简集合B ,即可求出A B .【详解】由题意得，()2,2A =-，∵B 中，()()130x x +-≥，∴[]1,3B =-，∴[1,2)A B =-，故选B.【点睛】本题考查集合间的运算,属于基础题.2.设p ：30x x-<，q ：()()20x a x a --+≤，若p 是q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是（ ） A. ()1,0-B. []2,3C. ()2,3D. []1,0- 【答案】C【解析】【分析】解不等式，求出命题p ,q 成立的解集,把p 是q 的必要不充分条件转化为解集间的集合关系，即可求出实数a 的取值范围. 【详解】由不等式30x x-<，解得03x <<， 由()()20x a x a --+≤得2a x a -≤≤，p 是q 的必要不充分条件，可知203a a ->⎧⎨<⎩, 所以23a <<，故实数m 的取值范围是()2,3.故选C.【点睛】本题考查命题的必要不充分条件,转化为集合间真子集关系,属于基础题3.已知向量()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-= ，若()()a b c a λ+⊥-，则实数λ=（ ） A. 15 B. 5 C. 4 D. 14【答案】A【解析】【分析】先由题意，得到()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，再根据向量垂直，即可列出方程求解，得出结果.【详解】因为()()()3,2,2,1,4,3a b c ==-=，所以()32,21a b λλλ+=-+，(1,1)-=c a ，又()()a b c a λ+⊥-，所以()()0λ+⋅-=a b c a ，即32210λλ-++=， 解得：15λ=. 故选：A【点睛】本题主要考查由向量垂直求参数，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.4.若θ是三角形的一个内角，且4tan 3θ=-，则3sin cos 22ππθθ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（ ） A. 15 B. 15- C. 75 D. 75-。

辽宁省实验中学、东北师大附中、哈师大附中高三第一次联合考试理科综合化学试卷第Ⅰ卷（选择题共130分）一、共12小题，每小题2分，共24分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项符合题意。

1.含有C、H、O、N四种化学元素的有机物是下列哪一组①甘氨酸②葡萄糖③胆固醇④核糖核酸A．①②③ B.②③④C．①②④ C.①③④2.和植物激素可能有关的一组是①棉花摘心②培育多倍体③枝条扦插④生产无籽番茄⑤培育单倍体A．①③④ B.①④⑤C.③④⑤D.①③⑤3.下列各元素中，在自然界存在游离态的是A．碘 B.硫C.磷D.锂4.在光滑斜面上下滑的物质受到的力是A.重力和斜面的支持力B.重力、斜面的支持力和加速力C.重力、下滑力和斜面的支持力D.重力、斜面支持力、下滑力和正压力5．一只小白鼠细胞中的DNA分子的一个片断，含有78个碱基对，它所决定的多肽链片断中至多含有的氨基酸是A.30个B.26个C.22个D.18个6.在下列哪个系统中，昆虫最有可能在长期的进化过程中形成警戒色的适应A.枯叶、无毒蛇和食谷鸟B.草地、无毒蛇和食虫鸟C.枯叶、有毒昆虫和食谷鸟D.草地、有毒昆虫和食虫鸟7．三个并联电阻的阻值之比是1∶2∶3，则通过它们的电流强度之比为A.1∶2∶3B.3∶2∶1C.6∶3∶2D.2∶3∶68．下列各组物质的混合物能用分液漏斗直接分离的是A.甘油和水B.溴和四氯化碳C.苯酚和乙醇D.溴苯和氢氧化钠溶液9．在光合作用实验里，如果所用的水中有0.35%的水分含18O，二氧化碳中有0.9%的二氧化碳分子含18O，那幺，植物进行光合作用释放的氧气中，含18O的比例为A.0.7%B.0.9%C.0.35%D.0.45%10.在进化的过程中有关生物类型出现顺序的几种描述，可能性最大的是A.自养、厌氧异养、需氧异养B.需氧异养、厌氧异养、自养C.厌氧异养、需氧异养、光能合成自养D.厌氧异养、光能合成自养、需氧异养11．有关胶体的说法中，正确的是A.胶体都是均匀透明的液体B.胶体溶液的电泳现象，证明胶体带有电荷C.胶体产生丁达尔现象是由胶体微粒的大小决定的D.胶体能透过半透膜，所以可用渗析法提纯胶体12.一束光线从空气射入水中，入射角是40°，在界面上光的一部分被反射，另一部分被折射，则反射光线与折射光线的夹角A.小于40°B.在40°和50°之间C.大于40°D.在100°和140°之间二、本题共17小题，每小题3分，共51分，在每小题给出的四个选项中另有一个选项符合题意。

2019年东北三省三校第一次模拟考试文综地理详解答案1.D2.C3.B4.C5.D6.A7.C8.A9.C 10.B 11.D1.D 【解析】A选项电子商务取代传统商业叙述过于绝对，电子商务只是部分取代了传统商业；B选项物流业先于电子商务产生，目前两者关系是相辅相成的。

C选项区域经济联系目前正在逐渐增强。

D选项商业布局区位因素，如市场、交通等因素对商业的影响正在减弱，所以影响商业布局的区位因素发生了变化。

2.C 【解析】电子商务发展依赖于信息、流通等部门，导致商业网络组织形式发生变化的主要因素是科技信息的发展。

3.B 【解析】 A选项云南全年的蔬菜总产量据图计算应为1880万吨左右，而广西为2780万吨左右，故云南产量小于广西。

B选项经计算海南省总蔬菜产量为600万吨左右，是三省区最低的省（区）。

C选项广西冬春菜产量占比高主要是北方消费市场的季节差的需求。

D选项海南与云南种植蔬菜的热量差异不大。

4.C 【解析】“南菜北运”可以促进生产地区与市场的融合，丰富农产品的种类，促进市场供应，提高人民生活水平，被称为“菜篮子”工程，但不可能促进全国各地均衡发展，故不属于选项为C选项。

5.D 【解析】从题干可知，河口地区是径流和潮流相互作用的区域，在径流势力比潮流势力强的河口，会导致泥沙大量堆积，则形成三角洲式河口；在河流势力比潮流势力弱时，会导致海水强烈冲刷河口地区，形成三角港式河口。

甲乙两河口都有可能出现咸潮现象，但乙河口为三角港式河口，则乙河口地区潮流势力更强，更易出现海水倒灌，形成咸潮，故A选项错误；甲河口径流势力比潮流势力强，更容易泥沙堆积，形成三角洲，B选项错误；试题中能反映出河口地区径流与潮流的相互作用关系，但无法判断河流输沙量的大小，C错误；乙河口为三角港式河口，受海水的侵蚀更严重，D选项正确。

6.A 【解析】近几年甲河口区“前缘急坡”后退明显，说明河口地区泥沙沉积减少，海水侵蚀速度大于河流沉积速度，中上游修水库会导致河流携带的泥沙在库区沉积，而入海泥沙减少，A选择正确；流域植被破坏会导致河流含沙量增加，河口地区泥沙沉积量增加，会使“前缘急坡”向海洋扩展，C选项错误；地壳运动和全球变暖导致的海平面上升，都是极其缓慢的过程，不会出现近几年“前缘急坡”的明显后退，B、D选项错误。

东北三省三校2020 年高三第一次联合模拟考试语文试卷（哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学）注意事项：1.答题前，务必先将自己的姓名、准考据号填写在答题卡上，仔细查对条形码上的姓名、准考据号，并将条形码粘贴在答题卡的指定地点上。

2.答题时使用 0.5 毫米黑色署名笔或碳素笔书写，字体工整，字迹清楚。

3.请依据题号在各题的答题地区 ( 黑色线框 ) 内作答，高出答题地区书写的答案无效。

4.保持卡面洁净，不折叠，不损坏。

( 一) 论述类文本阅读 ( 此题共 3 小题， 9 分)阅读下边的文字，达成1~3 题。

《韩非子》怎样取法老子周苇风法家代表人物韩非是荀子的学生，因为口吃，不喜言谈。

曾数次上书进谏韩王，却不被采用。

但他的文章传入秦国后大受欢迎，秦王甚至叹息“嗟乎，寡人得见这人与之游，死不恨矣”。

《史记》中，韩非与老子合传，同传中还有庄子和申不害。

庄子和老子是道家人物，韩非和申不害为法家人物。

司马迁说，韩非“喜刑名法术之学，而其归本于黄老”。

黄老学派形成于战国期间，最先流行于齐国稷放学宫。

它既讲道德又主刑名，既还没有为又崇法治，既认为“法律滋彰，响马多有”又重申“道生法”，要求统治者“虚静谨听，以法为符”。

作为儒家学派的一员，荀子曾在稷放学宫三为祭酒，思想不免遇到黄老思想的影响。

他清醒地认识到，礼的实行没法完好依赖“克己”来实现。

于是，便提出了礼制并举的思想。

理解了这个学术背景，司马迁说韩非“其归本于黄老”也就不奇异了。

《韩非子》有《解老》《喻老》两篇，顾名思义是解读《老子》的专著。

从这个角度来看，韩非能够说是初期研究《老子》的专家。

老子思想的核心是道，道是客观自然规律。

韩非接受了老子对道的论述，认可道决定宇宙万物的演变。

同时，老子认为道拥有“独立而不改，周行而不殆”的永久意义。

对此，韩非则进一步发挥，重申道是变化的，天地也是变化的，人也在不停变化中，整个社会都在变化。

由此，治理社会的方式和方法自然也应当变化。

哈尔滨师大附中2020年高三第一次联合模拟考试东北师大附中卄、、、、辽宁省实验中学英语试卷本试卷分第I卷（选择题）和第11卷（非选择题）两部分。

考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：1.答第I卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位質上。

2.选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号，不能答在本试卷上，否则无效。

第二部分阅读理解（共两节，满分40分）第一节（共15小题；每小题2分，满分30分）阅读下列短文，从每题所给的A、B、C和D四个选项中，选出最佳选项,并在答题卡上将该项涂黑。

Dream Big with Caledonian SleeperCaledonian Sleeper is a gateway to a world of possibilities with our overnight rail service bringing a touch of the extraordinary to travel between London and Edinburgh.Taste the local food, have the ultimate sleep on our comfortable bed and enjoy a private room with toilet and shower. And above all9 wake up refreshed? ready to start an adventure at yourWe offer two categories of rail tickets to travel on our service：Caledonian Sleeper Fixed Advance: Our Fixed Advance tickets offer our best value fares. No changes? refunds or upgrades are allowed. Available for Club rooms ( £150/passenger) and Classic rooms ( £ 100/passenger). Book at least 2 months in advance.Caledonian Sleeper Flexible：Our Flexible tickets are fully refundable. Available for Caledonian Double( £200/passenger) , Club rooms ( £170/passenger) , Classic rooms ( £120/passenger) and Comfort seats(£50/passenger). Book anytime if available.* Notice: These are single (one-way) tickets； to make a return journey, just buy two single tickets.Oops! A family getaway can often feel like someone is missing if your furry friend is left behind. If you are travelling in a Caledonian Double or Club room, you're welcome to bring up to 2 pets with an additional fare as low as £30 per room.21.What is promoted in this text?A. A travel package.B. A train service.C. A family plan.D. An accommodation service.22.All ticket holders can enjoy without extra charge.A. Wi-Fi signalsB. priority boardingC. on-board breakfastD. charging points23.What is the lowest round-trip fare for a married couple with their two pet dogs?A. £230.B. £330.C. £660.D. £740.BLast month, my husband and I completed what some of our friends considered a foolish task: a 32-day, 5,232-mile camping trip with children in our Volkswagen van, without “high-tech" to occupy the children.It was the screenless journey that showered me with doubts. But is "boredom" senseless? My friend Renee, who has driven cross-country with her three kids eight times, calls boredom the mother of creativity. She's not the only one who sees virtue in blank time. In a recently published paper, researchers at East Anglia University in England concluded that the trancelike (发呆的) state helps recharge the mind and is “central to learning and creativity". I wasn't trying to make my kids smarter. Neither do I dislike high-tech. But I understand too well the power of mini screens to transform our kids into zombies (木讷的人).On Day 1, our 7-year-old son announced “Texas is so boring!The next day, struggling against his seat belt, he yelled he couldn? t take much more of this. His 5-year-old sister was better at the long hours playing make-believe with the stuffed animals. On Day 3 he began to count mountains and see pandas and dolphins in distant clouds in the Texas sky. I often joined the kids in the back, where we did thumb-and-toe wrestle. With well-known mountains ahead, my husband told the children the past legends of them. u Arizona is not as boring as Texas," our son declared.I hope the trip gave kids some lazy, unstructured time to learn something about valuing the trip instead of looking for the fastest way to burn it up. I don't always make the right call as a parent but I know that in banning the small screen we made the right choice this time.24.Why did the author choose a high-tech free journey?A.Her friends are highly against it.B.She disliked advanced technology.C.She feared the passive influence of mini-screens.D.The researchers proved the harm of modern technology.25.What happened during the cross-country drive?A.Their son got worse at boredom.B.Her kids had a tough time riding in the vehicle.C.Their son relieved himself by watching animals outside.D.The time spent without screens strengthened the family bond.26.The underlined part "the fastest way" in the last paragraph refers to .A.the speediest route to finish the journeyB.the ability to observe the surroundingsC.the interest of playing games with othersD.the choice of killing time by playing digital devices27.Which is the best title for the text?A.Is Driving Long Distances Good for Children?B. A Touching Cross-country Trip of My FamilyC.What's Wrong with Boredom without High-tech?D.Creative Kids out of Parents' Reasonable ChoiceCMaybe you pop vitamins supporting brainpower, or stock up on these foods that boost brain health. But new guidelines from the American Academy of Neurology suggest there's something better you can do to keep your mind sharp.A quarter of adults aged 80 to 84 experience mild cognitive （认知的）impairment, according to AAN. To address the widespread problem, a group of neurologists and Alzheimer?s （6可尔兹海默氏症的）specialists went through existing studies to define the best ways to prevent and treat cognitive decline 一 and you might be surprised by what they included and what they didn't.Surprisingly, the AAN guidelines don ' t include any medication （药物）or dietary recommendations. The authors stress that there haven?t been any high-quality, long-term studies finding foods or medication can help cognitive decline. The guidelines also say doctors can consider suggesting cognitive training to patients with memory loss but not to rely on it. So far, the report authors say the evidence is too inconclusive to say for sure if brain exercises? like memory and attention training or problem-solving for everyday issues associated with memory loss, are beneficial. Still, these morning brain exercises can't do any harm.But there was one big discovery from the new guidelines: Exercising just twice a week could improve cognitive decline. One study showed adults with mild cognitive impairment who did resistance training twice a week scored better on executive function and associative （联想的） memory tests than a group that worked on balancing, stretching, and relaxing.What's more, another study had older adults attend either biweekly health classes or sessions of aerobics? strength training, balance exercises? and multitasking training. Six months later, the ones who'd exercised regularly scored better on cognitive health and memory tests, plus had less brain shrinkage.AAN now recommends doctors tell patients with memory loss to exercise twice a week to keep their minds sharp. This is the best time to exercise if you want to improve your memory. It looks like you've got just one more reason to clear time in your schedule for a workout —even if it's only on the weekends.28.What does the underlined word “impairment" in paragraph 2 refer to?A. Error.B. Decline.C. Development.D. Presence.29.ANN may be uncertain about .A. strength trainingB. resistance trainingC. exercises twice a weekD. morning brain exercise30.Which of the following may the author agree with?A.Daily exercises are beneficial to Alzheimer.B.The AAN guidelines attach importance to workout.C.Medication is of significance in the ANN guidelines.D.Stocking up on vitamins supporting brainpower means nothing.31.In which section of a newspaper may this text appear?A. Exercise.B. Entertainment.C. Science.D. Health.DClothing rental is a hot new industry and retailers （零售商）are demanding to get on board in hopes of attracting green shoppers.But is renting fashion actually more environmentally-friendly than buying it, and if so, how much more? Journalist and author Elizabeth Cline investigated （调查）this question and concluded that it's not as sustainable as it seems.Take shipping, for example 9 which has to go two ways if an item is rented 一- receiving and returning. Cline writes that consumer transportation has the second largest carbon footprint of our collective fashion habit after manufacturing.She writes, “An item ordered online and then returned can send out 20 kilograms of carbon each way, and increases up to 50 kilograms for rush shipping. By comparison, the carbon impact of a pair of jeans purchased from a physical store and washed and worn at home is 33. 4 kilograms, according to a 2015 study by Levi's."Then there?s the burden of washing, which has to happen for every item when it's returned, regardless of whether or not it was worn. For most rental services? this usually means drycleaning ,a high-impact and polluting process. All the rental services that Cline looked into have replaced perchloroethylene （氯乙烯），a carcinogenic （致癌的）air pollutant, still used by 70 percent of US dry cleaners, with alternatives? although these aren't great either.Lastly, Cline fears that rental services will increase our appedte for fast fashion, simply because it's so easily accessible. There?s something called “share-washing" that makes people waste more precisely because a product or service is shared and thus is regarded as more eco- friendly. Uber is one example of this, advertised as "a way to share rides and limit car ownership,,,and yet "it has been proven to discourage walking, bicycling, and public transportation use."Renting clothes is still preferable to buying them cheap and throwing them in the dustbin after a few wears, but we shouldn't let the availability of these services make us too satisfied. There's an even better step — that's wearing what is already in the closet.32.What is Elizabeth Cline?s attitude toward clothing rental?A. Approving.B. Unfavorable.C. Objective.D. Enthusiastic.33.The Uber example in Paragraph 6 indicates that .A. rental services are on the riseA.clothing rental will be as successful as UberB.renting clothes might waste more than expectedC.renting clothes might make people lose interest in fast fashion34.The author suggests that we should .A.give up renting any clothingB.purchase inexpensive clothesC.rent clothes rather than buy themD.make full use of clothes we've possessed35.What is the passage mainly about?A.Clothing rental is a new fashion.B.Clothing rental is retailers? preference.C.Renting clothes is not that eco-friendly.D.Renting-clothes business is in a dilemma. 第二节（共5小题；每小题2分，满分10分）根据短文内容，从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。

哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i-+ B.1i-- C.1i - D.1i+3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A .3- B.3C.13D.13-4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.235.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55B.70- C.30D.25-6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A.9πB.36πC.4πD.4π37.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C .若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP=D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是311.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC 中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.14.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.18.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.哈尔滨师大附中东北师大附中辽宁省实验中学2024年高三第一次联合模拟考试数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，定在.本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1,2M =，(){}2log 212N x x =∈-≤R ，则M N ⋂=（）A.{}1 B.{}2 C.{}1,2 D.∅【答案】C 【解析】【分析】先由对数函数的性质，求出对数不等式的解集，再求M N ⋂即可.【详解】由对数函数的性质可得：不等式()2log 212x -≤成立，需要满足202124x <-≤=，解得1522x <≤，即15(,]22N =，且{}1,2M =，则M N ⋂={}1,2M =，故选：C.2.已知复数z 的共轭复数是z ，若i 1i z ⋅=-，则z =（）A.1i -+B.1i --C.1i- D.1i+【答案】A 【解析】【分析】先由i 1i z ⋅=-，得到1iiz -=，利用复数的除法运算法则求出z ，进而求出复数z 即可.【详解】由于i 1i z ⋅=-，得1i (1i)(i)1i i i (i)z --⋅-===--⋅-，则1i z =-+，故选：A.3.已知函数()y f x =是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2af x x x=+，若()38f =-，则=a （）A.3- B.3C.13D.13-【答案】B 【解析】【分析】借助奇函数的性质计算即可得.【详解】()()383f f =-=--，故()38f -=，故()()23383af -=-+=-，解得3a =.故选：B.4.已知平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：22221x ya b+=（0a b >>）的左顶点和上顶点分别为,A B ，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线交y 轴于点D .若2OD DB =，则椭圆C 的离心率为（） A.12B.32C.13D.23【答案】D 【解析】【分析】先求直线AB 的斜率，再求过左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程，求出点D 的坐标后，由关系式2OD DB =得出关于,,a b c 的方程，化简即可.【详解】由椭圆C ：22221x y a b +=的方程可得：(,0),(0,),(,0)A a B b F c --，其中c =则00()AB b b k a a-==--，过椭圆C 左焦点F 且平行于直线AB 的直线方程为：()by x c a=+，将0x =代入该直线方程，可得点D 的坐标为(0,bca，若2OD DB = ，则23bc b a =，得23c a =.故选：D.5.()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为（）A.55 B.70- C.30D.25-【答案】C 【解析】【分析】借助二项式展开式的通项公式计算即可得.【详解】对()5x y -，有()()55155C 1C k kk k k k kk T x y x y --+=-=-，令2k =，有()2252232351C 10T x y x y -=-=，令3k =，有()3353323451C 10T x y x y -=-=-，则()32233221101030x x y x y x y y ⎛⎫⨯+-⨯-= ⎪⎝⎭，故()521x x y y ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中32x y 的系数为30.故选：C .6.已知正四棱锥P ABCD -各顶点都在同一球面上，且正四棱锥底面边长为4，体积为643，则该球表面积为（）A .9πB.36πC.4πD.4π3【答案】B【解析】【分析】根据体积可求正四棱锥的高，再结合外接球球心的性质可求其半径，故可求外接球的表面积.【详解】如图，设P 在底面ABCD 的射影为H ，则PH ⊥平面ABCD ，且H 为,AC BD 的交点.因为正四棱锥底面边长为4，故底面正方形的面积可为16，且12AH =⨯=，故1641633PH ⨯⨯=，故4PH =.由正四棱锥的对称性可知O 在直线PH 上，设外接球的半径为R ，则4OH R =-，故()2284R R =+-，故3R =，故正四棱锥P ABCD -的外接球的表面积为4π936π⨯⨯=，故选：B.7.已知函数()22e e xx f x ax -=--，若0x ≥时，恒有()0f x ≥，则a 的取值范围是（）A.(],2-∞ B.(],4∞- C.[)2,+∞ D.[)4,+∞【答案】B 【解析】【分析】求导()222e2e xx f x a -'=+-，令()()222e 2e 0x x g x a x -=+-≥，利用导数判断函数()g x 的单调性，再由a 分类讨论即可得解.【详解】由()22e e xx f x ax -=--，得()222e 2e x x f x a -'=+-，令()()222e2e 0xx g x a x -=+-≥，则()224e4e xx g x -'=-，因为函数224e ,4e x x y y -==-在[)0,∞+上都是增函数，所以函数()224e4e xx g x -'=-在[)0,∞+上是增函数，所以()()00g x g ''≥=，所以函数()222e2e xx g x a -=+-在[)0,∞+上是增函数，所以()()min 04f x f a ''==-，当4a ≤时，()222e2e 40xx f x a a -'=+-≥-≥，所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增，所以()()00f x f ≥=，满足题意；当4a >时，则存在()00,x ∈+∞，使得()00f '=，且当[)00,x x ∈，()0f x '<，函数()f x 单调递减，所以()()000f x f <=，故()0f x ≥不恒成立，综上所述，a 的取值范围是(],4∞-.故选：B.8.设1033e a =，11ln 10b =，ln 2.210c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.b<c<aD.a c b<<【答案】B 【解析】【分析】由题意可得1a >，1b <，1c <，即可得a b >，a c >，再比较b 与c 的大小关系，借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，结合放缩计算即可得.【详解】10331ee a >==，11ln110b =<，ln 2.2110c =<，故a b >，a c >，要比较11ln 10与ln 2.210的大小，即比较1011ln 10⎛⎫ ⎪⎝⎭与ln 2.2的大小，等价于比较()101.1与2.2的大小，等价于比较()91.1与2的大小，又()()()()98441.1 1.1 1.1 1.1 1.21 1.1 1.2=⨯=⨯>⨯()()221.1 1.44 1.1 1.4 1.11.962=⨯>⨯=⨯>，故()91.12>，即11ln2.2ln 1010>，即b c >，故c b a <<.故选：B.【点睛】关键点点睛：本题关键在于比较b 与c 的大小关系，可借助对数运算转化为比较()91.1与2的大小关系，再借助放缩帮助运算即可得.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.等差数列{}n a 中，10a >，则下列命题正确的是（）A.若374a a +=，则918S =B.若150S >，160S <，则2289a a >C.若121a a +=，349a a +=，则7825a a +=D.若810a S =，则90S >，100S <【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，结合等差数列的性质、前n 项和公式逐项分析判断即得.【详解】等差数列{}n a 中，10a >，对于A ，374a a +=，1937989(1)9()22S a a a a ++===，A 正确；对于B ，11515815()1502a a S a +=>=，则80a >，116168916()8()02a a S a a +==+<，则890a a +<，980a a <-<，因此22898989()()0a a a a a a -=+-<，即2289a a <，B 错误；对于C ，5634122()()17a a a a a a +=+-+=，则675483252()()a a a a a a +=++=-，C 正确；对于D ，设{}n a 的公差为d ，由810a S =，得1171045a d a d +=+，解得1938d a =-，则9111189369()019S a d a a =+=->，1011815(2)038S a a =-<，D 正确.故选：ACD10.在平面直角坐标系xOy 中，抛物线C ：24y x =的焦点为F ，点P 在抛物线C 上，点Q 在抛物线C 的准线上，则以下命题正确的是（）A.PQ PF +的最小值是2B.PQ PF≥C.当点P 的纵坐标为4时，存在点Q ，使得3QF FP= D.若PQF △是等边三角形，则点P 的横坐标是3【答案】ABD 【解析】【分析】A 选项，求出()1,0F 及准线方程，由抛物线定义得到PF PA =，当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，得到答案；B 选项，在A 选项基础上得到PQ PF ≥；C 选项，求出()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，求出直线PF 的方程，得到81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，求出23QF FP = ；D 选项，得到PF PQ =，由抛物线定义得到点Q 与点A重合，由等边三角形的性质结合2WF =得到4PQ PF ==，从而求出点P 的横坐标.【详解】A 选项，由题意得()1,0F ，准线方程为=1x -，设准线与x 轴交点为W ，过点P 作PA ⊥抛物线C 的准线，垂足为A ，由抛物线定义可知，PF PA =，则PQ PF PQ PA +=+，故当Q 与点A 重合时，2PQ PF PA +=取的最小值，显然，当P 与点O 重合时，PA 取得最小值，最小值为1OW =，故2PQ PF PA +=的最小值为2，A 正确；B 选项，由A 选项知PQ PA PF ≥=，当点Q 与点A 重合时，等号成立，故B 正确；C 选项，当点P 的纵坐标为4时，令24y x =中的4y =得，4x =，故()4,4P ，假设存在点Q ，使得3QF FP =，则点Q 为直线PF 与准线=1x -的交点，直线PF 的方程为014041y x --=--，即4340x y --=，4340x y --=中，令=1x -得83y =-，故点81,3Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，此时()82,,3,43QF FP ⎛⎫== ⎪⎝⎭，此时23QF FP =，C 错误；D 选项，若PQF △是等边三角形，则PF PQ =，因为PF PA =，所以PA PQ =，即点Q 与点A 重合，则PQ ⊥y 轴，则π3PQF QFW ∠=∠=，又2WF =，则224πcos3WFQF ==⨯=，所以4PQ PF ==，故点P 的横坐标是413-=，D 正确；故选：ABD11.在一个只有一条环形道路的小镇上，有一家酒馆A ，一个酒鬼家住在D ，其相对位置关系如图所示.小镇的环形道路可以视为8段小路，每段小路需要步行3分钟时间.某天晚上酒鬼从酒馆喝完酒后离开，因为醉酒，所以酒鬼在每段小路的起点都等可能的选择顺时针或者逆时针的走完这段小路.下述结论正确的是（）A.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为18B.若酒鬼经过家门口时认得家门，那么酒鬼在15分钟或15分钟以内到家的概率为14C.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行15分钟后恰好停在家门口的概率为532D.若酒鬼经过家门口也不会停下来，那么酒鬼步行21分钟后恰好停在家门口的概率为732【答案】ABD 【解析】【分析】根据分类计数原理和分布计数原理可逐个判定选项得结果.【详解】选项A ：10分钟或10分钟以内到家只能是A B C D →→→，所以酒鬼在10分钟或10分钟以内到家的概率为11112228⨯⨯=，故A 正确；选项B ：15分钟或15分钟以内到家,即共走小于或等于1553=步，可能顺时针A D →走5步概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可能逆时针A D →走3步概率为31128⎛⎫= ⎪⎝⎭，或者逆时针A D →走5步，即概率为31313C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率概率为1131832324++=，故B 正确；选项C ：经过家门口不停，15分钟后恰好停在家门口，共走5步，可以顺时针走5步,即A H G F E D →→→→→，概率为511232⎛⎫= ⎪⎝⎭，可以逆时针走5步，概率为51515C 232⎛⎫= ⎪⎝⎭，故其概率为153532321632+=≠，故C 错误；选项D ：经过家门口不停，21分钟后恰好停在家门口，共走7步，可以逆时针走5步返回2步，可以顺时针走6步返回1步，所以其概率为2116677C C C 7232++=，故D 正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.在ABC中，BC =22ABC S AB AC =⋅△，则ABC 外接圆半径为______.【答案】3【解析】【分析】根据面积公式和数量积的定义可求tan A =，根据同角的三角函数基本关系式和正弦定理可求外接圆的半径.【详解】因为22ABC S AB AC=⋅△，故1sin cos 2AB AC A AC A = ,故tan A =，故A为锐角，故sin 3A =，132=，故答案为：3.13.如图，四边形ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，且2PA AB ==，M 是线段PB 的中点，则异面直线DM 与PA 所成角的正切值为______.【答案】5【解析】【分析】根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果.【详解】因为PA ⊥平面ABCD ，则PA AD ⊥，PA AB ⊥，又四边形ABCD 是正方形，则AB AD ⊥，以A 为坐标原点，,,AP AB AD分别为,,x y z 轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系，且2PA AB ==，则()0,0,2D ，()2,0,0P ，()0,2,0B ，又M 是线段PB 的中点，则()1,1,0M ，则()1,1,2DM =- ，()2,0,0AP = ，则6cos ,626AP DM AP DM AP DM ⋅==⋅，设异面直线DM 与PA 所成角为θ，即6cos cos ,6AP DM θ=<>=，则230sin 1cos 6θθ=-=，所以sin tan 5cos θθθ==，即异面直线DM 与PA 5.514.已知圆M ：()2249x y -+=，直线y kx =交圆M 于A 、B 两点，点()6,0C，则三角形ABC 面积的最大值为______.【答案】274【解析】【分析】求出圆心()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，和()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，利用垂径定理得到AB =，表达出ABC S =，换元后得到面积的最大值.【详解】()2249x y -+=的圆心()4,0M ，半径为3，则()4,0M 到直线y kx =的距离为3d =<，解得297k <，()6,0C 到直线y kx =的距离为h =，AB =，故12ABCS AB h =⋅==t =，由于3d =<，故34t <，则6ABCS === ，当328t =时，ABC S取得最大值，最大值为274=.故答案为：274四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.已知()sin 22cos f x x x =+.（1）求()f x 在0x =处的切线方程；（2）求()f x 的单调递减区间.【答案】（1）22y x =+（2）单调递减区间为π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z 【解析】【分析】（1）先求原函数的导函数，再求出0x =处的导数值即切线的斜率，写出切线方程即可；（2）求()f x 的单调递减区间，只需求出其导函数满足不等式()0f x '≤的解集即可.【小问1详解】由于()sin 22cos f x x x =+，其导函数为：()2cos 22sin f x x x =-'，得：()02f '=，()02f =，所以()f x 在0x =处的切线方程为：()220y x -=-，即22y x =+；【小问2详解】由于()2cos 22sin f x x x =-'，得：()()()22212sin 2sin 22sin sin 1f x x x x x =--=-+-'，若()0f x '≤，则()222sin sin 10x x -+-≤，即()()22sin 1sin 10x x --+≤，由于1sin 1x -≤≤，则sin 10x +≥，只需1sin 2x ≥即可，解得π5π[2π,2π66x k k ∈++，k ∈Z ，故()f x 的单调递减区间为：π5π[2π,2π]66k k ++，k ∈Z .16.如图，在四棱台1111ABCD A B C D -中，底而ABCD 为平行四边形，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，114DA A B ==，8AB =，120ADC ∠=︒.（1）证明：1BD A A ⊥；（2）若四棱台1111ABCD A B C D -的体积为2833，求平面11ADD A 与平面11BCC B 所成的锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1313【解析】【分析】（1）利用余弦定理求出DB =，再利用线面垂直的判定与性质即可证明；（2）利用台体体积公式求出11DD =，再建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量法求出面面角余弦值即可.【小问1详解】底面ABCD 为平行四边形，120ADC ∠=︒ ，60DAB ∴∠=︒.4DA = ，8AB =，由余弦定理可得：2222cos 6048DB AB AD AB AD =+-⨯︒=，DB ∴=则222DA DB AB +=，DA DB ∴⊥，侧棱1DD ⊥平面ABCD ，DB ⊂平面ABCD ，1DD DB ∴⊥，又DA ⊂ 平面11ADD A ，1DD ⊂平面11ADD A ，且1DA DD D = ，DB ∴⊥平面11ADD A ，又1AA ⊂ 平面11ADD A ，1DB AA ∴⊥.【小问2详解】四棱台中1111ABCD A B C D -的体积为2833，(111113ABCD A B C D V S S ∴=++，(11111283133DD AD DB A D D B ∴=⋅⋅⋅+⋅+，1133DD ∴=⋅⋅11DD =.如图，以点D 为原点，DA ，DB ，1DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴，建立如图的空间直角坐标系，则()4,0,0A，()0,B，()4,C -，()10,B ，()4,0,0BC ∴=-，()10,BB =- ，设平面11BCC B 的法向量为(),,n x y z =，则有140n BC x n BB z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，所以(0,1,n = 平面11ADD A 的法向量为()0,1,0m =，设平面11ADD A 与平面11BCC B 所成锐二面角为θ，则cos cos ,13m nm n m n θ⋅====.17.在统计学的实际应用中，除了中位数外，经常使用的是25%分位数（简称为第一四分位数）与75%分位数（简称为第三四分位数），四分位数应用于统计学的箱型图绘制，是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列，并分成四等份，处于三个分割点的数值就是四分位数，箱型图中“箱体”的下底边对应数据为第一四分位数，上底边对应数据为第三四分位数，中间的线对应中位数，已知甲、乙两班人数相同，在一次测试中两班成绩箱型图如图所示.（1）由此图估计甲、乙两班平均分较高的班级是哪个？（直接给出结论即可，不用说明理由）（2）若在两班中随机抽取一人，发现他的分数小于128分，则求该同学来自甲班和乙班的概率分别是多少？（3）据统计两班中高于140分共10人，其中甲班6人，乙班4人，从中抽取了3人作学习经验交流，3人中来自乙班的人数为X ，求X 的分布列.【答案】（1）甲班（2）25，35（3）分布列见解析【解析】【分析】（1）根据甲乙两班成绩箱型图中的中位数，第三四分位数和第一四分位数的位置可以判断结果；（2）依题知这是条件概率问题，分别设出从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则需要求()P A B 和()P A B ，而这需要先求()P B A 和()P B A ，再根据全概率公式求出()P B ，最后用贝叶斯公式求解即得；（3）先求出X 的所有可能的值，再利用古典概型概率公式求出每个值对应的概率，即得X 的分布列.【小问1详解】由两班成绩箱型图可以看出，甲班成绩得中位数为128，而乙班的第三四分位数使128，同时，甲班的第一四分位数明显高于乙班，由此估计甲班平均分较高.【小问2详解】由图可知，甲班中有12的学生分数低于128分；乙班中有34的学生分数低于128分设从两班中随机抽取一人，“该同学来自甲班为事件A ”，“该同学分数低于128分为事件B ”，则()12P A =，()12P A =，()12P B A =，()34P B A =，()()()()()()()1131522428P B P AB P AB P B A P A P B A P A ∴=+=⋅+⋅=⨯+⨯=()()()()()()11222558P A P B A P AB P A B P B P B ⨯====()()()()()()13324558P A P B A P AB P A B P B ⨯====所以，该同学来自甲乙两班的概率分别为25，35.【小问3详解】依题X 的所有可能取值为0，1，2，3()3064310C C 10C 6P X ===，()2164310C C 11C 2P X ===()1264310C C 32C 10P X ===，()0364310C C 14C 30P X ===所以X 的分布列为：X123P161231013018.已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的右顶点()1,0E ，斜率为1的直线交C于M 、N 两点，且MN 中点()1,3Q .（1）求双曲线C 的方程；（2）证明：MEN 为直角三角形；（3）若过曲线C 上一点P 作直线与两条渐近线相交，交点为A ，B ，且分别在第一象限和第四象限，若AP PB λ=，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，求AOB 面积的取值范围.【答案】（1）2213y x -=（2）证明见解析（3）3⎤⎥⎦【解析】【分析】（1）设出M 、N 两点坐标，借助点差法计算即可得；（2）联立直线与双曲线方程，可得与M 、N 两点坐标有关韦达定理，通过计算0EM EN ⋅=即可得MEN 为直角三角形；（3）设直线AB 方程为：x my n =+，()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，结合题意计算可得()()()()22222244554545332331x y xy x x y y λλλ-+-+-=+，又224430x y -= ，225530x y -=，可得()245453132x x y y λλ+-=，联立直线AB 与渐近线方程，可得与两点坐标有关韦达定理，代入化简可得()222316312n m λλ+-=-，结合面积公式计算即可用λ表示该三角形面积，构造相应函数借助对勾函数性质可得函数单调性即可得面积范围.【小问1详解】设()11,M x y ，()22,N x y ，则122x x +=，126y y +=，M ，N 两点在双曲线C 上，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪-=⎪⎩①②，由①－②得22221212220x x y y a b ---=，即2221222212y y b x x a -=-，()()()()2121221212y y y y b x x x x a+-∴=+-，22OQ MNb k k a ∴⋅=，即2213b a∴⋅=，223b a ∴=，又1a = ，23b ∴=，∴双曲线C 的方程为：2213yx -=；【小问2详解】由已知可得，直线MN 的方程为：()311y x -=⋅-，即2y x =+，联立22222470330y x x x x y =+⎧⇒--=⎨--=⎩，1656720∆=+=>，则122x x +=，1272x x =-，()()()()112212121,1,11EM EN x y x y x x y y ⋅=-⋅-=--+()()()()()12121212112225x x x x x x x x =--+++=+++722502⎛⎫=⨯-++= ⎪⎝⎭，EM EN ∴⊥，EMN ∴△为直角三角形；【小问3详解】由题意可知，若直线AB 有斜率则斜率不为0，故设直线AB 方程为：x my n =+，设()33,P x y ，()44,A x y ，()55,B x y ，AP PB λ=，()()34345353,,x x y y x x y y λ∴--=--，()()4533453345345311x x x x x x x y y y y y y y λλλλλλ⎧+⎧=⎪⎪-=-⎪⎪+∴⇒⎨⎨-=-+⎪⎪=⎪⎪+⎩⎩，点P 在双曲线C 上，22454511113x x y y λλλλ++⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭∴-=，()()()2224545331x x y y λλλ∴+-+=+，()()()()22222244554545332331x y x y x x y y λλλ∴-+-+-=+③，又224430x y -= ，225530x y -=，()()245452331x x y y λλ∴-=+，()245453132x x y y λλ+∴-=④，联立()222223031630x y m y mny n x my n⎧-=⇒-++=⎨=+⎩，()2222231033Δ3612310m m m n n m ⎧-≠⎪⇒≠±⎨=-->⎪⎩，452631mn y y m -+=-⑤，2452331n y y m =-⑥，A ，B 分别在第一象限和第四象限，450y y ∴<，2310m ∴-<，由④式得：()()()245453132my n my n y y λλ+++-=，()()()22245453131332m y y mn y y n λλ+∴-+++=⑦，将⑤⑥代入⑦得：()()2222223136313331312n mn m mn n m m λλ+--++=--，()222316312n m λλ+-∴=-，12132323sin 2433AOB S OA OB AOB y y ∴=⋅⋅∠=⋅⋅⋅⋅△212231n y y m ===-()231122λλλλ+⎫==++⎪⎭令()1h λλλ=+，1,23λ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，由对勾函数性质可得()h λ在1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在(]1,2上单调递增，()102,3h λ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，433AOB S ∴∈⎦△.【点睛】关键点点睛：本题第（3）小问关键点在于借助向量的线性关系，结合点在对应曲线及直线上，通过计算用λ表示出该三角形面积，难点在于计算.19.十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人，用二进制记数只需数字0和1，对于整数可理解为逢二进一，例如：自然数1在二进制中就表示为()21，2表示为()210，3表示为()211，5表示为()2101，发现若N n +∈可表示为二进制表达式()01212k k a a a a a -⋅⋅⋅，则11011222kk k k n a a a a --=⋅++⋅⋅⋅⋅⋅++，其中01a =，0i a =或1（1,2,i k =⋅⋅⋅）.（1）记()011k k S n a a a a -=++⋅⋅⋅++，求证：()()8343S n S n +=+；（2）记()I n 为整数n 的二进制表达式中的0的个数，如()21I =，()30I =.（ⅰ）求()60I ；（ⅱ）求()51112I n n =∑（用数字作答）.【答案】（1）证明见解析（2）（ⅰ）2；（ⅱ）9841【解析】【分析】（1）借助二进制的定义计算可得()()832S n S n +=+，()()432S n S n +=+，即可得证；（2）（ⅰ）借助二进制的定义可计算出()260111100=，即可得表达式中的0的个数；（ⅱ）计算出从1n =到511n =中，()0I n =、()1I n =、L ，()9I n =的个数，即可得()51112I n n =∑.【小问1详解】32310183222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0183112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，21210143222121k k k n a a a +++=⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+⋅+，()()0143112k S n a a a S n ∴+=++⋅⋅⋅+++=+，()()8343S n S n ∴+=+；【小问2详解】（ⅰ）()54321260321684121212120202111100=+++=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，()602I ∴=，（ⅱ）()021121=⨯=，()8765432102511121212121212121212111111111=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，故从1n =到511n =中，()0I n =有()21、()211、L 、()2111111111共9个，()1I n =有111128C C C ++⋅⋅⋅+个，由11121289C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有29C 个()2I n =有222238C C C ++⋅⋅⋅+个，由22232389C C C C ++⋅⋅⋅+=，即共有39C 个……，()9I n =有89891C C ==个，()511021329899912922C 2C 2C I n n ==⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯∑11223399999922222C C C C ⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯=001122339999999C C C C C 2222212⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-=()912198412+-==.【点睛】关键点点睛：本体最后一小问关键点在于结合二进制的定义，得到()021121=⨯=，()2511111111111=，通过组合数的计算得到()0I n =、()1I n =、L 、()9I n =的个数，再结合组合数的性质计算得到结果.。