圆锥曲线的光学性质(2015)

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案实验目的通过本次实验，学生将学会利用圆锥曲线的光学性质，掌握利用反射定理求圆锥曲线的参数，了解圆锥曲线在工程中的应用。

实验器材1.光源2.白纸3.直线尺4.圆规实验过程实验一：确定焦点和直线方程1.在光源左侧，在适当距离上固定一张白纸，作为反射屏幕。

2.在反射屏幕正对光源方向上方一些距离处固定一根带尺子的直杆，作为基准直线。

将反射屏幕和基准直线的交点作为坐标原点O。

3.分别用圆规在反射屏幕上作两圆，与基准直线交于A、B两点，以这两点为中心，用直尺连接光源S，分别求出两条辅助直线的方程。

4.连接圆心与对应定点的直线，交于点F。

用直线连接S和F，此线即为反射出的光线。

观察并测量反射角和入射角，求得反射点O在反射屏幕上的坐标。

实验二：求曲线方程1.更改反射物，将其改为二次曲线。

根据反射定理，在光线S1经过反射后，光线S1’与光线S2重合，连接S和S2交于点M。

2.以S为中心，以OM为半径作一圆，与二次曲线交于点P、Q，分别以P、Q为顶点，OM为轴，作两个圆锥侧面3.求出此时的圆锥曲线方程。

实验结果分析1.实验一中，通过反射定律，求出反射点在反射屏幕上的坐标，并计算出反射点到坐标原点的距离。

2.实验二中，利用圆锥曲线的光学性质，求出二次曲线的方程。

实验思考1.如何在实际生活中应用圆锥曲线的光学性质？2.圆锥曲线方程在哪些工程应用中有重要作用？实验总结通过本次实验，我们学习了圆锥曲线的光学性质，利用反射定理求出反射点在反射屏幕上的坐标，并求得了二次曲线的方程。

我们进一步了解了圆锥曲线在工程中的应用。

橢圓的光學性質已知橢圓Γ：22a x ＋22by ＝1，其兩焦點為F(c,0)，F ’(－c,0)，則由一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波，經該橢圓反射後會經過另一焦點。

證明：設P(x 0,y 0)為Γ上一點則220a x ＋220b y ＝1 ⇒ y 02＝b 2(1－220a x )＝b 2－2202ax b 而過P 的切線為L ：20a x x ＋20byy ＝1 ⇒ b 2x 0x ＋a 2y 0y ＝a 2b 2直線PF 的方程式為y ＝c x y-00(x －c) ⇒ y 0x －(x 0－c)y －cy 0＝0直線PF ’的方程式為y ＝cx y+00(x ＋c) ⇒ y 0x －(x 0＋c)y ＋cy 0＝0⇒切線L 與直線PF 的銳夾角為其法線向量(b 2x 0，a 2y 0)與(y 0，－(x 0－c))之銳夾角1θ 切線L 與直線PF ’的銳夾角為其法線向量(b 2x 0，a 2y 0)與(y 0，－(x 0＋c))之銳夾角2θ ⇒cos 1θ＝202024204002002)()(c x y y a x b c x y a y x b -++--＝202202224204020022)( b －b )(c x a x y a x b cy a y x a b -+++-＝220202224204020022cx - )x b 1(c b ay a x b cy a y x c ++-++-＝202022242040202cx -x c )(a ay a x b cx a cy ++-＝2024204020a)- x c()(ay a x b cx a cy +-＝a- x c )(020420400ay a x b x ac a acy +-＝2042040y a x b acy +cos 2θ＝202024204002002)()(c x y y a x b c x y a y x b ++++-＝202202224204020022)( b －b )(c x a x y a x b cy a y x a b +++--＝22020222420420022cx )x b 1(c b ay a x b cy a y x c +++-+--＝202022242040202cx x c )(a a y a x b cx a cy +++--＝20204204020a)x c ()(+++ay a x b cx a cy ＝a x c )(020420400+++a y a xb x ac a acy ＝2042040y a x b acy +⇒cos 1θ＝cos 2θ ∵1θ，2θ均為銳角 ∴1θ＝2θ ⇒直線PF 、PF ’與過P 點的法線夾角相等故由橢圓一焦點射向橢圓上任一點的光波或聲波，經該橢圓反射後會經過另一焦點。

圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。

设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。

（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。

该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。

1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

如图1中。

事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。

所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。

也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。

2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。

如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。

椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。

3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。

仍可利用到角公式获证。

这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。

二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。

椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点.焦点顾名思义，就是光线的聚焦点，这说明圆锥曲线具有丰富的光学性质.抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.探照灯就是利用这个原理设计的.反之，也成立.太阳灶设计就是按照这个原理.如图1.虽然课本上给出了性质，但没有任何证明.讲课时可以借助GeoGebra软件的作图和轻松设置变量为滚动条功能来直观显示，并用几何方法和学生进行简单论证.如图2，对于抛物线y2=2px上任意一点A(y022p,y0)处切线称为镜面，A点不是原点（0，0）时切线镜面直线M″M′有斜率k(k≠0)，过A垂直镜面直线M″M′的直线N″N′称为法线.AF″垂直于准线x=-p2.F″(-p2，y0)，F(p2，0)，则k F″F=y0-0-p2-p2=y0-p，过A的切线方程为y-y0=k(x-y022p)，切线与抛物线联立方程ìíîïïy-y0=k(x-y022p)y2=2px,把x=y22p带入直线y-y0=k(x-y022p)，则y-y0=k(y22p-y022p)的Δ=0，得到k=py0.k M″M′∙k N″N′=-1，k∙k F″F= -1.∴F″F⊥M″M′.由抛物线定义，||AF″= ||AF.∠F″AM″=∠M″AF=∠M′AF′’，∴∠F″AM″和∠M′AF′为对顶角，F″、A、F′三点共线.AF″垂直于准线x=-p2.∴反射光线AF′平行x轴.当过A的直线无斜率时（即点A（0，0）时），结论显然成立.探究数学中圆锥曲线的光学性质河北省三河市第二中学张振富065201摘要：椭圆、双曲线、抛物线都有焦点，焦点使这些圆锥曲线有丰富的光学性质.生活中很多物品设计中利用了这些性质.数学教学中利用建模思想，从实物中抽象出数学问题，利用这些性质解决问题.关键词：光学性质；圆锥曲线；光学性质图1··30椭圆和双曲线的光学性质与抛物线不同.从椭圆的一个焦点出发的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上.从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样.依次如图3、4.胶片电影放映机的聚光灯内安装的椭球反射镜就是应用了这个原理.如图5.例1椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点是光线的聚集点，当一束光照到镜面时，光线依入射角等于反射角的规律反射．从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆面反射后通过椭圆的另一个焦点（如图6所示）．已知F 1，F 2是椭圆x 24+y 23=1的焦点，过椭圆上的点P (1,32)做椭圆的切线l ,M ,N 分别是F 1，F 2在该切线上的射影，则||F 1M ⋅||F 2N 的值为().A.2B.3C.4D .5解析：入射光线F 1P ，反射光线PF 2，过P 点椭圆x 24+y 23=1的切线方程为直线MN :1∙x 4+32∙y3=1（镜面），F 1M ⊥MN ，F 2N ⊥MN ，PE ⊥MN 交x 轴与E ，直线PE 方程y -32=2(x -1)（法线），E (14,0)，入射角∠F 1PE =反射角∠EPF 2=θ，sin∠F 1PM =||MF 1||PF 1=cos θ，sin∠F 2PN =||NF 2||PF 2=cos θ；||MF 1=||PF 1cos θ，||NF 2=||PF 2cos θ，椭圆x 24+y 23=1中c =1，点P (1,32)，∴PF 2⊥F 1F 2，||PF 2=32，||PF 1=52，cos ∠F 1PF 2=cos2θ=2(cos θ)2-1=||PF 2||PF 1=3252=35，||MF 1∙||NF 2=||PF 1⋅cos θ||PF 2∙cos θ=||PF 1||PF 2(cosθ)2=32∙52∙45=3,所以选B.引申：任意椭圆x 2a 2+y 2b2=1，一般性规律||MF 1∙||MF 2=b 2，cos∠F 1PF 2=cos2θ=||PF 12+||PF 22-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(||PF 1+||PF 2)2-2||PF 1||PF 2-||F 1F 222||PF 1||PF 2=(2a )2-2||PF 1||PF 2-(2c )22||PF 1||PF 2=4b 2-2||PF 1||PF 22||PF 1||PF 2=4b 22||PF 1||PF 2-1=2(cos θ)2-1，∴(cos θ)2=b 2||PF 1||PF 2，||MF 1∙||NF 2=||PF 1cos θ⋅||PF 2·cos θ=||PF 1||PF 2(cos θ)2=||PF 1||PF 2∙b 2||PF 1||PF 2=b 2.拓展：求梯形面积S MF 1F 2N 的取值范围1510-5-10-15-510152025303540N ″M ′法线′’A28.02°64.98°28.02°M 镜面N ′’p =3.828.02°xy图2F F F F F F C A B影片门图3图4图5MN2F 1F 2E -2-101231-1-2θ=26.57图6··31.解：S MF 1F 2N =12(||MF 1+||NF 2)∙||MN =12(||PF 1∙cos θ+||PF 2cos θ)∙(||PF 1sin θ+||PF 2sin θ)=12(2a )cos θ⋅(2a )sin θ=a 2sin(2θ)，若b c ，∃P ，使∠F 1PF 2 π2，∴∠F 1PF 2=π2时，S MF 1F 2N最大值=a 2.若b ＞c ，∀P ，∠F 1PF 2<π2，当P 在椭圆短轴端点时∠F 1PF 2最大，此时sin(2θ)=2sin θcos θ=2∙c a ∙b a =2bca 2，故S MF 1F 2N 最大值=a 2∙2bc a 2=2bc .例2双曲线的光学性质为：如图7，从双曲线右焦点F 2发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点F 1.我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质，某“双曲线新闻灯”的轴截面是双曲线一部分，如图8，其方程为x 2a 2-y 2b2=1，F 1、F 2为其左、右焦点，若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射后，满足∠BAD =90°，tan∠ABC =-34，则该双曲线的离心率为（）.A. B.5C.D .10解析：若从右焦点F 2发出的光线经双曲线上的点A 和点B 反射，入射光线F 2A ,反射光线AD ，反向延长AD 过F 1，入射光线F 2B ，反射光线BC ，反向延长BC 过F 1，∠BAD =90°，∠BAF 1=90°.tan∠ABC =-34,tan∠ABF 1=34，cos∠ABF 1=45.令||AF 1=3k ，则||AB =4k ，||BF 1=5k .令||AF 2=x ，||BF 2=4k -x .由双曲线定义||AF 1-||AF 2=3k -x =2a =||BF 1-||BF 2=5k -(4k -x ).∴x =k ，2a =||AF 1-||AF 2=3k -x =2k .Rt△F 2AF 1中，||F 1F 22=||AF 12+||AF 22=(3k22=10k 2，∴|F 1F 2|=10k =2c ，则e =2c 2a =所以选C.应用：抛物线具有如下光学性质，从焦点发出的光线经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴.生活中的探照灯就是利用这个原理设计的.已知F 是抛物线C :y 2=4x 的焦点，从F 发出的光线经C 上的点M 反射后经过点（4,23)，则||FM =().A .2B .3C .4D .5解析：如图9，由抛物线光学性质，从F发出的光线经抛物线上的点M 反射后经过点P (4,23)，入射光线FM ，反射光线MP .∴MP 平行x 轴.则由M (x M ,23)在抛物线上得x M =3.由抛物线定义||FM =x M +p2=3+1=4.所以选C.高中数学教学中，应重视课本，在大量教辅资料面前回归教材.在教学中教师若能用灵活的教学方法，充分发挥课本的功能，就可以事半功倍，提高课堂教学效果.F 1F 2Oy x图742-2-4-6-4-2246FA DCBF 2图8yx4321-1-2-1123456M ″M P M ′FC ′(4,23)图9y x··32。

一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学
性质及其应用
圆锥曲线是一种很常见的几何形状，它以圆弧作为两个一次曲线的连接，可以将一个圆的面积划分成两个部分。

圆锥曲线的光学性质是指它的特殊的光学特性，这些特性可以用来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质有以下几点：
一、圆锥曲线能够减少反射：圆锥曲线的特殊几何形状可以有效减少光的反射，减少光线的反射和衍射，从而提高光学系统的性能。

二、圆锥曲线能够改变光线的传播方向：圆锥曲线可以改变光线的传播方向和轴向度，使光线在一个方向上传播，从而提高光学系统的性能。

三、圆锥曲线能够提高视觉效果：圆锥曲线可以改变光线的传播方向，使光线能够有效地照射到视网膜，从而提高视觉效果。

四、圆锥曲线能够提高照明效果：圆锥曲线可以改变光线的轴向度，使光线能够有效地照射到物体，从而提高照明效果。

综上所述，圆锥曲线的光学性质可以提高光学系统的性能，改善视觉效果和照明效果，因此圆锥曲线在光学系统中有着广
泛的应用。

如手机摄像头的镜头，电视机的投射镜头等，都是利用圆锥曲线的特性来提高光学系统的性能。

圆锥曲线的光学性质及其应用是一个很有趣的探究课题，可以让学生对光学有一个更深刻的认识，更加了解其光学性质及其应用，从而提高学生对光学的理解和把握。

本课题可以采用问题导向式教学模式，让学生根据问题提出的线索，进行逻辑思维、分析思维和探究过程，从而有效地掌握和研究圆锥曲线的光学性质及其应用。

数学实验圆锥曲线的光学性质-湘教版选修2-1教案一、实验目的了解圆锥曲线的光学性质，掌握反射定律和折射定律的基本原理，了解光的全反射。

通过实验加深对圆锥曲线的理解，提高学生的实验能力。

二、实验原理1.圆锥曲线的定义在平面直角坐标系上，圆锥曲线的定义如下：•椭圆：在平面直角坐标系上，以两焦点为中心，以两焦点到点的距离之和为长轴，以两焦点到点的距离之差为短轴的点的集合。

•双曲线：在平面直角坐标系上，以两焦点为中心，以两焦点到点的距离之差为长轴的一半，以两焦点到点的距离之差为短轴的一半的点的集合。

•抛物线：在平面直角坐标系上，以一个点（焦点）为定点，以一条直线（准线）为直线，任意一点到定点的距离等于该点到准线的距离的点的集合。

2.光的反射当光线经过介质的边界时遇到另一个介质时，其方向发生改变的现象叫做光的反射现象。

3.光的折射光线从一种介质进入另一种介质时，经过介面后方向改变的现象，叫做光的折射现象。

4.全反射当光线从光密介质入射到光疏介质中，在一定的入射角的条件下，出射角为90°，此时反射角为临界角，大于临界角时，光线折射条件无解，光线全部反射回原介质中的现象称为全反射。

三、实验器材凸透镜，紫外灯，三角板，双面胶。

四、实验步骤1.制作实验用光路将凸透镜竖立起来，以凸透镜为界线，使用双面胶粘上一块三角形的板子，这样就做成了一个半圆柱状的器具，这个器具就是反射和折射现象的实验器具。

2.观察光线的反射现象在实验器具的一侧放置紫外灯，从另一侧向实验器具投射一束光线，并将内侧的凸透镜移动，观察光线的反射现象。

在观察过程中，可以将实验器具旋转180°来观察光线反射的变化。

3.观察光线的折射现象在实验器具的一侧放置紫外灯，从另一侧向实验器具投射一束光线，将内侧的凸透镜移动，观察光线的折射现象。

同样可以将实验器具旋转180°来观察光线折射的变化。

4.观察光的全反射现象将光线从中央垂直投射到实验器具，将内侧的凸透镜慢慢移开，观察光线的折射现象。

圆锥曲线光学性质的证明及应用初探学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。

课后我经过反思与整理，写成此文。

一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。

二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。