圆锥曲线光学性质的证明及应用初探
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圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用圆锥曲线是平面几何中的重要概念，它具有许多独特的光学性质和应用。
在本文中，我们将探讨圆锥曲线的光学性质以及其在现实生活中的应用。
一、圆锥曲线的基本概念圆锥曲线是由平面上的一根直线和一个点所决定的曲线。
根据直线和点的位置关系，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三种类型。
椭圆是一种闭合曲线，它的定义是到两个定点的距离之和等于常数的点的集合。
双曲线是一种开放曲线，它的定义是到两个定点的距离之差等于常数的点的集合。
而抛物线是一种开放曲线，它的定义是到一个定点的距离等于到一条直线的距离的点的集合。
二、圆锥曲线的光学性质1.焦点和直径椭圆和双曲线都有焦点和直径的概念。
焦点是曲线上所有点到定点的距离之和等于常数的点的集合，而直径则是通过焦点的直线段。
焦点和直径是圆锥曲线的重要特征，它们在光学系统中有着重要的作用。
2.反射性质圆锥曲线具有良好的反射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
椭圆和双曲线可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在椭圆和双曲线反射镜中。
而抛物线则具有将入射光线聚焦到焦点上的性质，这种性质在抛物面反射镜中有着广泛的应用。
3.折射性质圆锥曲线也具有良好的折射性质，它们可以将光线聚焦或者发散。
这种性质被应用在折射镜和透镜中，可以用来调节光线的聚焦和散射。
4.散焦性质圆锥曲线还具有散焦性质，这种性质在光学系统中有着重要的应用。
椭圆和双曲线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，这种性质被应用在望远镜和激光器中。
而抛物线反射镜可以将平行光线聚焦到焦点上，并使其散开成平行光线，这种性质被应用在卫星天线和抛物面反射镜中。
三、圆锥曲线在现实生活中的应用1.光学系统圆锥曲线在许多光学系统中有着重要的应用，例如望远镜、显微镜、相机镜头等。
这些光学系统都利用了圆锥曲线的焦距和聚焦性质，来实现光线的聚焦和成像。
2.通讯设备圆锥曲线也被广泛应用在通讯设备中，例如卫星天线和天线反射器。
这些设备利用了抛物线反射镜的散焦性质，来实现对信号的接收和发送。
一、圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的由来
历史上第一个考查圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公 元前375年—325年）；大约100年后，阿波罗尼奥更 详尽、系统地研究了圆锥曲线。他们两位对圆锥曲线 的研究是很实在的：考察不同倾斜角的平面截圆锥其 切口所得到的曲线，也就是说如果切口与底面所夹的 角小于母线与底面所夹的角，则切口呈现椭圆；若两 角相等，则切口呈现抛物线；若前者大于后者，则切 口呈现双曲线。并且阿波罗尼奥还进一步研究了这些 圆锥曲线的光学性质，比如椭圆，他发现如果把椭圆 焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭 圆镜反射的光线全部通过另一个焦点F。热也和光一 样发生反射，所以这时便会被烤焦，这也就是焦点名 称的由来。
圆锥曲线的由来
据说这一发现是他在研究椭圆的作法（也就是现行教 材中一开始介绍的作法）时得出的。
而圆锥曲线真正从后台走上前台，从学术的象牙塔中进 入现实生活的世界里，应归功于德国天文学家开普勒（公 元1571年—1630年），开普勒在长期的天文观察及对记录 的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第 一条是：“行星在包含太阳的平面内运动，划出以太阳为 焦点的椭圆”，就这样，梅纳库莫斯和阿波罗尼奥出于数 学爱好而研究的曲线在近2000年之后于天文学的舞台上登 场了。后来哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预 测到哈雷慧星与地球最近点的时刻，1758年在哈雷逝世16 年之后，哈雷慧星与地球如期而遇，
四个探究问题
1.抛物线有渐近线吗？为什么？
2.你能证明圆锥曲线的光学性质吗？
3.切口与底面所夹的角小于母线与底面所夹的角， 则切口呈现椭圆； 若两角相等，则切口呈现抛物线； 若前者大于后者，则切口呈现双曲线。 那么切口与底面所夹的角有没有方法确定出来吗？
4.为什么用平面截圆锥或圆柱会得到 截口图形是椭圆呢？ 提示：教材P42探究与发现
历史上第一个考查圆锥曲线的是梅纳库莫斯（公 元前375年—325年）；大约100年后，阿波罗尼奥更 详尽、系统地研究了圆锥曲线。他们两位对圆锥曲线 的研究是很实在的：考察不同倾斜角的平面截圆锥其 切口所得到的曲线，也就是说如果切口与底面所夹的 角小于母线与底面所夹的角，则切口呈现椭圆；若两 角相等，则切口呈现抛物线；若前者大于后者，则切 口呈现双曲线。并且阿波罗尼奥还进一步研究了这些 圆锥曲线的光学性质，比如椭圆，他发现如果把椭圆 焦点F一侧做成镜面，并在F处放置光源，那么经过椭 圆镜反射的光线全部通过另一个焦点F。热也和光一 样发生反射，所以这时便会被烤焦，这也就是焦点名 称的由来。
圆锥曲线的由来
据说这一发现是他在研究椭圆的作法（也就是现行教 材中一开始介绍的作法）时得出的。
而圆锥曲线真正从后台走上前台，从学术的象牙塔中进 入现实生活的世界里，应归功于德国天文学家开普勒（公 元1571年—1630年），开普勒在长期的天文观察及对记录 的数据分析中，发现了著名的“开普勒三定律”，其中第 一条是：“行星在包含太阳的平面内运动，划出以太阳为 焦点的椭圆”，就这样，梅纳库莫斯和阿波罗尼奥出于数 学爱好而研究的曲线在近2000年之后于天文学的舞台上登 场了。后来哈雷又利用圆锥曲线理论及计算方法准确地预 测到哈雷慧星与地球最近点的时刻，1758年在哈雷逝世16 年之后，哈雷慧星与地球如期而遇，
四个探究问题
1.抛物线有渐近线吗？为什么？
2.你能证明圆锥曲线的光学性质吗？
3.切口与底面所夹的角小于母线与底面所夹的角， 则切口呈现椭圆； 若两角相等，则切口呈现抛物线； 若前者大于后者，则切口呈现双曲线。 那么切口与底面所夹的角有没有方法确定出来吗？
4.为什么用平面截圆锥或圆柱会得到 截口图形是椭圆呢？ 提示：教材P42探究与发现
关于圆锥曲线光学性质的一些讨论(3)
向的射线l₃.
证明：根据定理3.2我们可以得到：
Kl1 = −
∂F ∂x
(x,
y)
∂F ∂y
(x,
y)
=
b2 x0 a2y0
因此，我们有：
（28）
Kl2
=
−
a2y0 b2x0
因此，l₂的点斜式方程为：
（29）
(y2
∫t1
[
1 2
m
(
d d
x t
2
)
−
m
g
x]
d
t
（10）
而令人诧异的是，我们取任何一条路径带入到上面的积分中，它的值都不会比一条抛物线轨迹更 加的小，换言之，我们平常生活中习以为常的抛物线轨迹是最小作用量原理严格控制的结果
但是我们发现，似乎我们在做的事情并不是平常的找寻“函数的极值”问题而是再找一条“极值函 数”，也就是说，我们要从众多的函数中选出一条特殊的函数，我们把这个问题称为泛函求极值问 题，而求解这个问题的方法我们称之为变分法，其基本方程为欧拉-拉格朗日方程：
①椭圆：从一个焦点发出的光，经反射后必经过另一焦点
如图所示，不妨作方程为 x2 a2
+
y2 b2
=
1的椭圆上任意一点A:(x₀,y₀)的切线l₁，它的垂直平分线l₂交x
轴于点Q；F₁，F₂为椭圆的两个焦点.
证明：若l₂平分∠AF₁F₂，则由定理3.1可知，
必有：
| A F1 | | F1Q |
=
| A F2 | | F2Q |
在证明之前，我们先给出两个预备定理：
定理3.1: 在△AF₁F₂中，若AQ平分∠AF₁F₂，则有
| A F |1 | F1Q |
证明：根据定理3.2我们可以得到：
Kl1 = −
∂F ∂x
(x,
y)
∂F ∂y
(x,
y)
=
b2 x0 a2y0
因此，我们有：
（28）
Kl2
=
−
a2y0 b2x0
因此，l₂的点斜式方程为：
（29）
(y2
∫t1
[
1 2
m
(
d d
x t
2
)
−
m
g
x]
d
t
（10）
而令人诧异的是，我们取任何一条路径带入到上面的积分中，它的值都不会比一条抛物线轨迹更 加的小，换言之，我们平常生活中习以为常的抛物线轨迹是最小作用量原理严格控制的结果
但是我们发现，似乎我们在做的事情并不是平常的找寻“函数的极值”问题而是再找一条“极值函 数”，也就是说，我们要从众多的函数中选出一条特殊的函数，我们把这个问题称为泛函求极值问 题，而求解这个问题的方法我们称之为变分法，其基本方程为欧拉-拉格朗日方程：
①椭圆：从一个焦点发出的光，经反射后必经过另一焦点
如图所示，不妨作方程为 x2 a2
+
y2 b2
=
1的椭圆上任意一点A:(x₀,y₀)的切线l₁，它的垂直平分线l₂交x
轴于点Q；F₁，F₂为椭圆的两个焦点.
证明：若l₂平分∠AF₁F₂，则由定理3.1可知，
必有：
| A F1 | | F1Q |
=
| A F2 | | F2Q |
在证明之前，我们先给出两个预备定理：
定理3.1: 在△AF₁F₂中，若AQ平分∠AF₁F₂，则有
| A F |1 | F1Q |
圆锥曲线的光学性质及其应用
圆锥曲线的光学性质及其应用Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】圆锥曲线的光学性质及其应用尹建堂一、圆锥曲线的光学性质圆锥曲线的光学性质源于它的切线和法线的性质，因而为正确理解与掌握其光学性质，就要掌握其切线、法线方程的求法及性质。
设P（）为圆锥曲线（A、B、C不同时为零）上一定点，则在该点处的切线方程为：。
（该方程与已知曲线方程本身相比，得到的规律就是通常所说的“替换法则”，可直接用此法则写出切线方程）。
该方程的推导，原则上用“△法”求出在点P处的切线斜率，进而用点斜式写出切线方程，则在点P处的法线方程为。
1、抛物线的切线、法线性质经过抛物线上一点作一条直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
如图1中。
事实上，设为抛物线上一点，则切线MT的方程可由替换法则，得，即，斜率为，于是得在点M处的法线方程为令，得法线与x轴的交点N的坐标为，所以又焦半径所以，从而得即当点M与顶点O重合时，法线为x轴，结论仍成立。
所以过M的法线平分这条直线和这一点的焦半径的夹角。
也可以利用点M处的切线方程求出，则，又故，从而得也可以利用到角公式来证明抛物线的这个性质的光学意义是：“从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴”。
2、椭圆的切线、法线性质经过椭圆上一点的法线，平分这一点的两条焦点半径的夹角。
如图2中证明也不难，分别求出，然后用到角公式即可获证。
椭圆的这个性质的光学意义是：“从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上”。
3、双曲线的切线、法线性质经过双曲线上一点的切线，平分这一点的两条焦点半径的夹角，如图3中。
仍可利用到角公式获证。
这个性质的光学意义是：“从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们就好像是从另一个焦点射出的一样”。
二、圆锥曲线光学性质的应用光学性质在生产和科学技术上有着广泛地应用。
圆锥曲线光学性质的证明与应用
圆锥曲线光学性质的证明与应用圆锥曲线光学性质是从小学到研究生乃至博士研究生涉及到的一个重要光学中的重要分支，在物理学家和光学科学家的眼中，它是实验及理论上的一个难题，探究其特定的形式及性质是比较重要的一个研究内容。
圆锥曲线光学性质又称为非球型曲线光学性质，它是指圆锥曲线光学特征下产生的未经处理或未经任何折射及反射的光学性质，其特点是光线在进入圆锥曲线（折射介质）以后，根据入射角和折射指数的不同，发生不同的折射及反射现象，这种现象是其他曲线光学特征（折射平面镜及球面镜）下所不具备的特性。
圆锥曲线的光学特性不仅仅表现在入射角的变化上，它也具有折射指数的变化，也就是说，当折射现象发生时，光线不仅仅受到入射角的作用，而且还受到折射指数的作用，这会导致光线在所经过的介质中会发生折射，从而导致圆锥曲线光学特征的变化。
圆锥曲线经过折射以后，光线会发生变换，从而产生一些新的特性，比如入射角发生了变化，折射指数也发生了变化，而且圆锥曲线即使经过折射以后，仍然能够以正确的方向折射出去，这是和球面镜最大的不同之处。
圆锥曲线光学特征的应用很广泛。
在医学领域，它可以用来检测小的病变，例如圆锥曲线的折射指数变大，能够帮助检测出细胞变化；在光照学领域，它可以应用于把光照射到某个特定的区域，从而达到良好的光照效果；在望远镜上，使用圆锥曲线也能够快速准确的聚焦；在日晷中也有对圆锥曲线的应用，以有效的观测太阳方位。
圆锥曲线光学性质的研究也被科学家普遍认为是一项重要的研究工作，它也有着丰富多彩的应用，从而推动了现代科学的发展。
目前，学者们已经出现了数学模型的提出，以此证明圆锥曲线光学性质的正确性，并且他们还建立了精密的参数模型，用来描述圆锥曲线光学特性，从而准确高效地预测光线在折射介质中会出现的折射和反射现象，这是光学研究的一项重大创新。
圆锥曲线光学性质的证明与应用的发展为光学理论的发展搭建了一个坚实的基础，而它在日常生活中也有着丰富多彩的应用，无论是在医学、通讯、航空宇航、观测等领域，圆锥曲线光学性质已经发挥着极其重要的作用。
圆锥曲线光学性质的数学原理及应用(说课)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
外一个焦点上，给观众带来视觉和听觉的极致.
2.汽车的内反光镜的镜面是双曲线面形，为什么镜
内的视野会更开阔？
司机的眼睛位于双曲线的焦点处，远处的光经双曲线反射
后汇集在焦点处，因此增加视觉范围.
3.为什么卫星信号接收器的曲与抛物线对称轴平行的信号
经抛物线反射后会汇集在抛物线的焦点处，以此来增加接收
的轨迹是以、两点为焦点的椭圆
你还发现了什么？
的垂直平分线与椭圆相切，是切点.
证明过程：如图所示，设为上任意一点，
由于为线段的垂直平分线，则有 +
= + ≥ = ，当且仅当
与重合时等号等成立.即点是与椭圆的
唯一交点，的垂直平分线与椭圆相切，
器的接收信息能力.
教学阐述部分
教学内容及解析
学情分析
教学目标
教学过程设计
重难点的突破
【教学内容及解析】
(一)教学内容
圆锥曲线光学性质的数学原理及应用
(二)教学内容解析
圆锥曲线的光学性质在生活中应用广泛，教材把这个内容作为阅读
材料融入高中数学学习之中，旨在提升学生数学学科素养，帮助学生了
解数学在实际生活中的应用，提升学生学习数学，探究数学的兴趣.
是切点.
若过点作的垂线，该垂线是否平分∠?
由于∠ = ∠ = ∠,故可得的垂线平分∠.
由此你得到了一个关于椭圆的什么性质？
性质1设1 ,2 为椭圆的两个焦点，点为椭圆上
的任意一点，为过点且与椭圆相切的直线，则
过点且与垂直的直线平分∠1 1 .
的概念、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，了解光的反射原理.
【教学目标】
1.通过探究，能发现并证明圆锥曲线的光学性质，发展学生的直观想
2.汽车的内反光镜的镜面是双曲线面形，为什么镜
内的视野会更开阔？
司机的眼睛位于双曲线的焦点处，远处的光经双曲线反射
后汇集在焦点处，因此增加视觉范围.
3.为什么卫星信号接收器的曲与抛物线对称轴平行的信号
经抛物线反射后会汇集在抛物线的焦点处，以此来增加接收
的轨迹是以、两点为焦点的椭圆
你还发现了什么？
的垂直平分线与椭圆相切，是切点.
证明过程：如图所示，设为上任意一点，
由于为线段的垂直平分线，则有 +
= + ≥ = ，当且仅当
与重合时等号等成立.即点是与椭圆的
唯一交点，的垂直平分线与椭圆相切，
器的接收信息能力.
教学阐述部分
教学内容及解析
学情分析
教学目标
教学过程设计
重难点的突破
【教学内容及解析】
(一)教学内容
圆锥曲线光学性质的数学原理及应用
(二)教学内容解析
圆锥曲线的光学性质在生活中应用广泛，教材把这个内容作为阅读
材料融入高中数学学习之中，旨在提升学生数学学科素养，帮助学生了
解数学在实际生活中的应用，提升学生学习数学，探究数学的兴趣.
是切点.
若过点作的垂线，该垂线是否平分∠?
由于∠ = ∠ = ∠,故可得的垂线平分∠.
由此你得到了一个关于椭圆的什么性质？
性质1设1 ,2 为椭圆的两个焦点，点为椭圆上
的任意一点，为过点且与椭圆相切的直线，则
过点且与垂直的直线平分∠1 1 .
的概念、几何性质及直线与圆锥曲线的位置关系，了解光的反射原理.
【教学目标】
1.通过探究，能发现并证明圆锥曲线的光学性质，发展学生的直观想
一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学性质及其应用
一个探究型教学案例——圆锥曲线的光学
性质及其应用
圆锥曲线是一种很常见的几何形状，它以圆弧作为两个一次曲线的连接，可以将一个圆的面积划分成两个部分。
圆锥曲线的光学性质是指它的特殊的光学特性，这些特性可以用来提高光学系统的性能。
圆锥曲线的光学性质有以下几点：
一、圆锥曲线能够减少反射：圆锥曲线的特殊几何形状可以有效减少光的反射，减少光线的反射和衍射，从而提高光学系统的性能。
二、圆锥曲线能够改变光线的传播方向：圆锥曲线可以改变光线的传播方向和轴向度，使光线在一个方向上传播，从而提高光学系统的性能。
三、圆锥曲线能够提高视觉效果：圆锥曲线可以改变光线的传播方向，使光线能够有效地照射到视网膜，从而提高视觉效果。
四、圆锥曲线能够提高照明效果：圆锥曲线可以改变光线的轴向度，使光线能够有效地照射到物体，从而提高照明效果。
综上所述，圆锥曲线的光学性质可以提高光学系统的性能，改善视觉效果和照明效果，因此圆锥曲线在光学系统中有着广
泛的应用。
如手机摄像头的镜头，电视机的投射镜头等，都是利用圆锥曲线的特性来提高光学系统的性能。
圆锥曲线的光学性质及其应用是一个很有趣的探究课题，可以让学生对光学有一个更深刻的认识，更加了解其光学性质及其应用，从而提高学生对光学的理解和把握。
本课题可以采用问题导向式教学模式，让学生根据问题提出的线索，进行逻辑思维、分析思维和探究过程，从而有效地掌握和研究圆锥曲线的光学性质及其应用。
一、圆锥曲线的光学性质及其应用-人教A版选修2-1教案
一、圆锥曲线的光学性质及其应用-人教A版选修2-1教案一、圆锥曲线的定义圆锥曲线是指在平面直角坐标系中，一个圆锥侧面被一个平面所截得的曲线，它包括三种类型：椭圆、双曲线和抛物线。
二、圆锥曲线的光学性质1. 椭圆的光学性质椭圆是对光线最有用的，因为它的平面镜像完美呈现。
这的确使它成为一种有用的光学形状，能够聚焦平行的光线。
椭圆形可以将光线聚到一个焦点上，焦点也可以在椭圆的另一侧。
光线与椭圆的长轴平行，则经过椭圆后聚焦到焦点上。
光线与椭圆的短轴平行，则经过椭圆后聚焦到焦点的对侧。
2. 双曲线的光学性质可以利用双曲线将光线聚焦到一点上。
这是一个非常重要的特性，因为这在许多光学设备中都得到应用，如天文望远镜和摄影望远镜等。
双曲线的光学性质是焦点成对出现，其中一个为真实焦点，另一个为虚点。
当光线平行于双曲线的一条渐近线时，经过双曲线后就会聚焦到真实焦点上；当光线穿过双曲线的另一条渐近线时，经过双曲线后就会发散。
3. 抛物线的光学性质抛物线形可以将光线聚到一个焦点上，这种光学性质在从点光源发出的光线聚焦到一个点上的情况下被广泛应用。
抛物线的焦点在抛物线的对称轴上，与焦点距离为顶点到焦点的距离，这个距离被称为焦距。
对于发散光线，抛物线会使光线变得平行；对于汇聚光线，则在焦点处到达聚焦状态。
三、圆锥曲线的应用1. 圆锥曲线在望远镜中的应用望远镜是一种典型的利用圆锥曲线的光学仪器。
在折射望远镜中，主反射面和次反射面通常以椭圆、抛物线和双曲线的形状构成，并且采用这些曲线会使聚焦更加精确。
椭圆和双曲线曲面反射镜因具有纵、横焦距而具对焦范围更广，因此常用于望远镜的主反射面中。
抛物面镜更具有高度的球面照准精确度标准，因此常用于摄影望远镜中。
2. 圆锥曲线在卫星通信中的应用圆锥曲线也可用于卫星通信中，这是因为这些曲线可以用来描述无线电波的广角和狭窄角信号。
抛物线反射面可以用来聚集天线所发出的光，以便将其收集到接收器中。
3. 圆锥曲线在太阳能热能利用中的应用太阳能热能利用是一种有效的太阳能利用方式，可以充分利用可再生的太阳能资源。
§1 圆锥曲线及其应用
§1圆锥曲线及其应用在生产实践和日常生活中，圆锥曲线有着广泛的应用。
例如，人造地球卫星的运行轨道，某些机械的轮廓线、、光学仪器的设计，桥梁和隧道的修建、材料力学、国防工程技术等方面都要用到它们。
下面我们主要介绍它们在中学物理两方面的应用。
1．光学性质圆锥曲线的光学性质是圆锥曲线在光学仪器、雷达、射电天文望远镜等方面的应用的根据，也是焦点命名的由来。
圆锥曲线的切线和法线性质是研究圆锥曲线的光学性质的基础。
（1）椭圆的法线性质：经过椭圆上的一点的法线，平分这一点的两条焦半径的夹角。
证明：设P（x,y）是椭圆22221x ya b+=上任意一点，PT和PN分别是过P点的切线和法线，PF1和PF2是两条焦半径（图6－1），切线PT的方程是：11 221x x y ya b+=，它的斜率是：2121PTb xKb y=-法线PN的斜率是：21211PNPTa yKK b x=-=又F1和FeBr2的坐标分别是（－C，0）和（C，0）∴111211,PTF PTFy yK Kx c x c==+-()21121111211121122211122222111tan11PN PFPN PTFa y yK K b x x cF PNa y yK Kb x x ca b x y a cyb x a y b cx--+∠==++⋅+-+=++因为P点在椭圆上，满足：2211221x ya b+=即：222222b x a y a b+=∵222a b c-=∴()()222111111122222211tancy cx ac x y a cy cyF PNa b b cx bb a cx++∠===++x同理可得：()()()21122222111111112222222222111111211tan 1y a y a cy a b x y cy a cx x c b x cy NPF y a y b x a y b cx b b a cx x c b x -----∠====+--+⋅- ∴12tan tan .F PN NPF ∠=∠ 12F PN NPF ∠=∠（因为都在0与π之间） （2）抛物线上的性质：经过抛物线上的一点，作一直线平行于抛物线的轴，那么经过这一点的法线平分这条直线和这点的焦半径（曲线上一点和焦点的连线叫做这一点的焦点半径）的夹角。
高中数学圆锥曲线的光学性质
圆锥曲线光学性质的证明及应用初探学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有一则阅读材料引起了同学们的兴趣，在老师的指导下，我们不仅了解了圆锥曲线的光学性质这一常见现象，而且进一步对它进行了证明和探究，并对它在数学解题和生产科技等方面的应用有了一定的认识。
课后我经过反思与整理，写成此文。
一、圆锥曲线的光学性质1．1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上；(见图1.1)椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．1．2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种反向虚聚焦性质，在天文望远镜的设计等方面，也能找到实际应用．1．3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．要探究圆锥曲线的光学性质，首先必须将这样一个光学实际问题，转化为数学问题，进行解释论证。
二、问题转化及证明2．1圆锥曲线的切线与法线的定义设直线l 与曲线c 交于P ，Q 两点，当直线l 连续变动时，P ，Q 两点沿着曲线渐渐靠近，一直到P ，Q 重合为一点M ,此时直线l 称为曲线c 在点M 处的切线，过M 与直线l 垂直的直线称为曲线c 在点M 处的法线。
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圆锥曲线光学性质及生活中的应用
杭州高级中学高二（12）：汪愈超、汤凯楠、王小川学习完圆锥曲线的方程和性质后，课本上有几条未证明的性质引起了我们的兴趣，在反复查找资料，推理演算下，总算是确定了三条待证命题，大致地完成了其证明，并且找到了一些圆锥曲线在实际中的神奇应用。
一、圆锥曲线的光学性质
首先说明一下我们要证明的东西，总共有三样：
1 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上； (见图1.1)
椭圆的这种光学特性，常被用来设计一些照明设备或聚热装置．例如在F1处放置一个热源，那么红外线也能聚焦于F2处，对F2处的物体加热．
2双曲线的光学性质：从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上；(见图1.2)．双曲线这种性质，在天文望远镜的设计等方面，有重大的贡献
3 抛物线的光学性质：从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的轴（如图1.3）
抛物线这种聚焦特性，成为聚能装置或定向发射装置的最佳选择．例如探照灯、汽车大灯等反射镜面的纵剖线是抛物线，把光源置于它的焦点处，经镜面反射后能成为平行光束，使照射距离加大，并可通过转动抛物线的对称轴方向，控制照射方向．卫星通讯像碗一样接收或发射天线，一般也是以抛物线绕对称轴旋转得到的，把接收器置于其焦点，抛物线的对
称轴跟踪对准卫星，这样可以把卫星发射的微弱电磁波讯号射线，最大限度地集中到接收器上，保证接收效果；反之，把发射装置安装在焦点，把对称轴跟踪对准卫星，则可以使发射的电磁波讯号射线能平行地到达卫星的接收装置，同样保证接收效果．最常见的太阳能热水器，它也是以抛物线镜面聚集太阳光，以加热焦点处的贮水器的．
当然，在证明之前，需要把这个物理问题转化为数学问题才行。
二、问题转化及证明
在证明前，如果不知道这三点，是很麻烦的
因为其光学性质的证明都与圆锥曲线上某一点的切线方程有关，所以这三个公式先提前列出
1若点00(,)P x y 是椭圆22
221x y a b
+=上任一点，则椭圆过该点的切线方程为：
00221x x y y
a b
+=。
2若点00(,)P x y 是双曲线22
221x y a b
-=上任一点，则双曲线过该点的切线方
程为：00221x x y y
a b
-=
图1.3
图1.2 图1.1
3若点00(,)P x y 是抛物线22y px =上任一点，则抛物线过该点的切线方程是00()y y p x x =+
1. 椭圆上一个点P 的两条焦半径的夹角被椭圆在点P 处的法线平分（图
2.1）
已知：如图，设椭圆C 的方程为22
221x y a b
+=，12,F F 分别是其左、右焦点，l 是
过椭圆上一点00(,)P x y 的切线，'l 为垂直于l 且过点P 的椭圆的法线，交x 轴
于D
设21,F PD F PD αβ∠=∠=， 求证：αβ=.
解：在22
22:1x y C a b
+=上，00(,)P x y C ∈，
则过点P 的切线方程为：00221x x y y
a b
+=
'l 是通过点P 且与切线l 垂直的法线， 则
0000222211':(
)()()y x l x x y b a b a -=-
∴法线'l 与x 轴交于20((),0)c
D x a
∴22
102022||,||c c F D x c F D c x a a
=+=-
∴2012
20
||||a cx F D F D a cx +=- 又由焦半径公式得：1020||,||PF a ex PF a ex =+=- ∴
1122||||
||||
F D PF F D PF = ∴PD 是12F PF ∠的平分线 ∴αβ=
∵ββαα'+=︒='+90，故可得βαβα'='⇔=
L
2.双曲线上一个点P 的两条焦半径的夹角被双曲线在点P 处的切线平分（图2.2）；
已知：如图，双曲线C 的方程为22
221x y a b
-=，1F ，2F 分别是其左、右焦点，l 是
过双曲线C 上的一点00(,)P x y 的切线，交x 轴于点D ，设1F PD α∠=，2F PD β∠= 求证：αβ=
解：22
22:1x y C a b
-=
两焦点为1(,0)F c -，2(,0)F c )(2
2
2
b a
c +=
00(,)P x y 在双曲线上
则过点P 的切线
00221x x y y
a b
-= 切线l 与x 轴交于2
(,0)a D x 。
由双曲线的焦半径公式得
1020|||
|,||||c c
PF x a PF x a a a
=+=- 双曲线的两焦点坐标为)0,(c F ，)0,(c F -'
故011102000220|
|
||||||||||,||||||,||||
||c
x a PF DF a c a c a DF x a DF x a c x a x a PF DF x a a
+=+=-==
- 故βαβα'='⇔= ， ∴切线l 为F FP '∠之角分线。
图2.2
定理3 抛物线上一个点P 的焦半径与过点P 且平行于轴的直线的夹角被抛物线在点P 处法线平分（图2.3）。
已知：如图，抛物线C 的方程为为24y cx =， 直线l 是过抛物线上一点00(,)P x y 的切线， 交x 轴于D ，,DPF PDF αγ∠=∠=， 反射线PQ 与l 所成角记为β， 求证：αβ=
证明： 如图 ，抛物线C 的方程为
2:4C y cx =，点00(,)P x y 在该抛物线上，
则过点P 的切线为00()y y p x x =+ 切线l 与x 轴交于0(,0)D x - 焦点为)0,(c F ，γβ= (同位角)
∵00||||,||||PF x c DF x c ==+=+ ∴||||PF DF = ∴γαβα=⇔=
通过以上问题转化可知，圆锥曲线的光学性质是可以用我们学过的知识证明的(very difficult )。
那么它在生活中有何应用呢？
图2.3
三．圆锥曲线的应用
圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。
圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。
虽然我不知道为什么，天体分别按照椭圆，双曲线，抛物线运行时，其总能量与离心率有很奇妙的关系，天体总能量椭圆<0,双曲线>0,抛物线=0，（椭圆e<1,双曲线e>1,抛物线e=1）。
相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。
因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。
我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨
迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的
一个焦点上。
如果这些行星运行速度增大到某种程度，
它们就会沿抛物线或双曲线运行。
人类发射人造地球卫
星或人造行星就要遵照这个原理。
由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。
它也有一条轴，即抛物线的轴。
在这个轴上有
一个具有奇妙性质的焦点，任何一
条过焦点的直线由抛物面反射出
来以后，都成为平行于轴的直线。
这就是我们为什么要把探照灯反
光镜做成旋转抛物面的道理。
由双曲线的一支绕其虚轴旋转，可以得到双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相
交，而与另一组母直线却相交。
人们在设计高
大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻
巧又坚固（比如教材当中的冷却塔）
由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。
圆锥曲线的光学性质是奇妙的，奇妙的背后蕴含着奇妙的数学关系。
我们只有善于观察，勤于钻研，及时总结，才能闪现更多的灵感，才能在奥妙的数学世界畅游。
参考文献（1）张奠宙主编《数学教育研究导引》
（2）《圆锥曲线的光学性质及其应用》。