向量语言在圆锥曲线问题中的有效解读及应用

巧用向量，妙化长度 ----- 浅谈圆锥曲线中的长度求解圆锥曲线是高三复习的重点内容之一，是拉开考生分数档次的关键题目。

解决该类问题的核心思想就是用代数的方法解决几何问题，主要方法是坐标法。

因此，将几何元素坐标化，是我们开始解题的关键。

而向量既能体现“形”的直观，又具有“数”的良好运算性质，是数形结合与转换的桥梁和纽带。

以下就向量在圆锥曲线长度问题中的一些应用，做一点讲解，一、利用向量的共线实现坐标化例1：椭圆的右焦点为，过点的直线与椭圆交于两点，求的最小值【思路分析】：在圆锥曲线中，对于直线上两点间的距离问题，我们常用的解题策略是采用化斜为直的思想，利用弦长公式，实现几何元素坐标化来加以求解，如下面的“方法一”。

对于直线上两点间的距离我们还可以从向量角度来实现坐标化，按照数量积的定义，我们有，当时，有，基于这点思考，我们可以将圆锥曲线中的长度问题进行向量化处理。

【解析一】：（化斜为直——弦长公式）设，直线联立方程：由韦达定理可得：时，【解析二】：（几何问题向量化）设，直线联立方程：由韦达定理可得：时，【点评】：本题利用三点共线，将长度问题转化为向量数量积问题，从而实现坐标化二、利用向量简化长度运算例2：（2017浙江高考改编）如图，已知抛物线，点A，，抛物线上的点 .过点B作直线AP的垂线，垂足为Q.求的最大值.【思路分析】：本题的变量应该是P点，问题的关键是如何表示的长度。

如果用弦长公式，则要通过设出直线方程，求出点坐标，运算量较大，我们可以引进向量这一工具来简化运算。

【解析】：设，则令：求导可得：【点评】：本题不仅利用共线将长度转化为向量，而且还利用向量的运算，将未知向量转化为已知向量，简化了运算过程。

三、利用向量的投影例3、（08浙江高考改编）已知直线过定点Q（-1,0），点M是抛物线（不在直线上），在上，轴，是否存在这样的直线，使是常数【思路分析】：本题的主变量应该是M点，点都是点的相关点，目可以将看做是在直线上标将用点表示。

向量方法在解析几何问题中的运用及其解题策略
向量方法是解析几何中非常重要的工具。

向量本身是一个有方向和大小的量，可以用来表示空间中的点，直线，平面等等。

在解析几何中，向量一般用箭头表示，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。

通过向量的定义和性质，我们可以很方便地解决解析几何中的各种问题。

在解析几何中，向量常常被用来表示空间中的点，直线，平面等等。

例如，在平面直角坐标系中，我们可以用向量表示点A和点B的坐标，然后通过向量的减法，计算出AB的向量，从而求出AB的中点，AB的长度等等。

此外，在解析几
何中，向量还可以表示直线的方向向量和法向量，从而可以求出两条直线的夹角，直线的距离等等。

对于平面与平面之间的相交问题，向量方法也比较简单直观，只需要求出两个平面的法向量，然后计算它们的夹角，就可以得出它们的交线。

在解析几何中，使用向量方法解题，需要注意一些策略。

首先要熟练掌握向量的基本定义和运算规律，理解向量的几何意义。

其次，要注意在选择坐标系的时候，应选择一个合适的坐标系，便于计算。

例如，一些问题可以通过建立三角形的重
心坐标系、中线坐标系等等来简化计算。

还要注意，在使用向量方法解决问题时，要善于联立方程，理清思路，从而得到正确的答案。

总之，向量方法在解析几何中具有重要的应用价值，通过掌握向量的定义和运算规律，以及注意解题策略，可以很方便地解决各种解析几何中的问题。

浅谈向量在高中阶段解题的应用[摘要]：向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。

通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。

[关键词]：向量；解题；应用；向量是近代数学中的重要和基本概念之一，由于向量本身具有数与形的双重性，而函数（包括三角函数、数列）、解析几何、空间几何都具有形的结构，因此可用向量作为载体来考查这方面的知识；又因为向量在计算长度、角度，判断平行、垂直等方面都非常直观，因此向量是一种简便的解题方法与思路。

通过全等和平行（平移）、相似、垂直、勾股定律可转化为向量的加（减）法、数乘向量、数量的积运算（运算律），从而把图形的基本性质转化为向量的运算体系，对解题可以简便化、准确化。

近年来向量更成为高考所考查的内容这一，占分比例也不小。

纵观近几年的高考，有关向量的部分突出考查了向量的基本运算，对向量的应用也日渐加大考查的力量。

下面浅谈向量在高中阶段解题的应用:(一) 向量对圆锥曲线的应用.圆锥曲线是高考重点考查的内容。

考查的内容包括圆锥曲线的概念和性质。

但直线与圆锥曲线的位置关系等，很多时也要结合向量的知识来简便解题。

例1：证明：等轴双曲线上任一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项。

证明：设P （x ₀，y ₀）是等轴双曲线x ²-y ²=a ²右支上任一点∴x ₀²-y ₀²=a ²则|PO |²=x ₀²+y ₀²=x ₀²+x ₀²-a ²=2x ₀²-a ² | 1PF |²=2x ₀+a ,| 2PF |=2x ₀-a∴|1PF |·|2PF |=(2x ₀+a )(2x ₀-a )=2x ₀²-a ²∴|PO |²=|1PF |·|2PF |同理,当P (x ₀,y ₀)是左支点上也成立.(二)向量对立体几何题的应用.由于立体几何涉及空间几何图形，许多考生望而生畏，认为这很抽象，但只要掌握好向量的相关知识，把立体几何图形的各线段转换成向量,那解题便简便得多了.例1：如图,在正方体A BCD --A ₁B ₁C ₁D ₁中，E 、F 、G 、分别是AB ，B B ₁，BC 的中点。

圆锥曲线解三角形向量点乘
圆锥曲线解三角形向量点乘是指通过计算两个向量的数量积，来确定它们之间的关系和性质。

向量的数量积（也称为点积或内积）定义为两个向量的对应分量相乘后相加的结果。

对于向量A=(a1,a2,a3)和向量B=(b1,b2,b3)，它们的数量积定义为：
A·B = a1b1 + a2b2 + a3b3
圆锥曲线解三角形时，我们可以利用向量的点乘来推导三角形的性质。

例如，给定三角形的三个顶点A、B和C，我们可以用向量表示它们的位置：
向量AB = B - A
向量BC = C - B
向量CA = A - C
然后，我们可以计算向量AB和向量BC的点积，得到：
AB·BC = (B - A)·(C - B) = AB·BC = (a1b1 + a2b2 +
a3b3)·(b1c1 + b2c2 + b3c3)
这个点积的值可以告诉我们AB和BC两个向量之间的夹角以及它们的关系。

例如，如果点积为正数，则两个向量之间夹角为锐角；如果点积为负数，则夹角为钝角；如果点积为零，则夹角为直角。

通过计算向量的点乘，我们可以进一步推导三角形的性质，如判
断是否为锐角三角形、钝角三角形或直角三角形，以及计算三角形的面积等。

这就是圆锥曲线解三角形向量点乘的基本概念和应用。

向量在圆锥曲线中的应用赵春祥由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介。

因此，向量的引入大大拓宽了解题的思路，使它在研究许多问题时获得广泛的应用。

利用平面向量这一工具解题，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题。

下面介绍向量在圆锥曲线中的应用。

一、在椭圆中的应用例1. 椭圆的焦点为F1，F2，点P为椭圆上的动点，当∠F1PF2为钝角时，点P横坐标的取值范围是___________。

解：由题意，设三点坐标分别为：P（x0，y）、F1（）、F2（），则。

由∠F1PF2为钝角，得，即。

①又点P（x0，y）在椭圆上，所以。

②联合①、②不难求得。

二、在双曲线中的应用例2. 双曲线的两个焦点为F1、F2，点P在双曲线上，若PF1⊥PF2，则点P到x轴的距离为_________。

解：由已知可得双曲线的两焦点坐标F1(－5，0)、F2（5，0）。

设P（x，y），则。

因为，即，所以。

又因为P（x，y）在双曲线上，所以从而y=±。

因此，点P到x轴的距离为。

三、在抛物线中的应用例3. 设抛物线的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明直线AC经过原点。

证明：如图，抛物线，焦点是，准线为。

设，A、F、B共线，则设，所以有，由BC∥x轴，可得。

又由点A在抛物线上，得。

化简后，得。

则，从而。

而，即共线，也就是直线AC经过原点。

巧用平面向量的数量积，妙解圆锥曲线问题雷文阁两个非零向量的数量积的定义式含有“角”和“长度”；而该式又可变形为，此式与三角形正弦面积有关；数量积还有坐标形式。

因此，通过数量积可沟通长度、角、坐标及三角形面积之间的关系。

利用数量积解题，可以避繁就简。

以下列举其在圆锥曲线中的应用。

一、证明问题例1. （二册上P82）已知一个圆的直径的端点是，求证圆的方程是证明：设是圆上不同于A、B的任意一点，由圆的性质知又所以当M与A或B重合时，仍满足上式，故得证。

浅谈向量在解决圆锥曲线问题中的作用在高中数学中向量是一个新增内容,它只是一种方法,高考不会单独出题,所以它一定是依附于其他知识点——比如圆锥曲线问题——中出现。

解析几何就是利用代数方法解决几何问题;而在坐标法中,向量是和几何问题结合最紧密的方法,因此如果涉及角度等一些问题,就可以用向量去做。

由于点的坐标也可视为向量的坐标,因此许多解析几何问题均可与向量知识进行综合。

高考对解析几何与向量综合考查,新旧结合,以旧带新,使新旧内容有机地结合在一起,就形成了新的高考命题的热点。

1 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题利用向量的数量积构造出等式或函数关系,再利用函数求最值的方法求最值,要比只利用解析几何知识建立等量关系容易。

例1.设椭圆E的中心在坐标原点O,焦点在x轴上,离心率为,过点C(-1,0)的直线交椭圆E于A、B两点,且=2 ,求当△AOB的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程。

解答过程:因为椭圆的离心率为,故可设椭圆方程为2x2+3y2=t(t>0),直线方程为my=x+1,由2x2+3y2=tmy=x+1得:(2m2+3)y2-4my+2-t=0,设A(x1,y1)B(x2,y2),则y1+y2= …………①,又=2 ,故(x1+1,y1)=2(-1-x2,-y2),即y1=-2y2…………②;由①②得:y1= ,y2= ,则S△AOB= y1-y2=6 =6 ≤ ,当m2= ,即m=±时,△AOB面积取最大值,此时y1y2= = ,即t=10,所以,直线方程为x±y+1=0,椭圆方程为2x2+3y2=10.小结:利用向量的数量积构造等量关系要比利用圆锥曲线的性质构造等量关系容易。

2 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题解析几何中求变量的范围,一般情况下最终都转化成方程是否有解或转化成求函数的值域问题。

例2.已知双曲线C: - =1(a>0,b>0) ,B是右顶点,F是右焦点,点A在x轴正半轴上,且满足, , 成等比数列,过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为P,①求证: · = · ;②若l与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E,求双曲线C的离心率e的取值范围。

向量法解圆锥曲线中的最值、定值问题的假设干范例江西省高安市石脑二中 王典辉 （330818）圆锥曲线中的最值、定值问题是高考中的热点题型，而以向量为载体的圆锥曲线中的最值、定值问题又是最近几年来高考中显现的新题型。

由于这种题型在解题之前不明白最值、定值的结果，因此对解题增加了必然难度。

但利用向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性这一特点，能有效地探讨到结果。

本文通过具体的例子来讲明用向量方式对这种问题的求解。

一、最值问题例1．已知点A （0，1），B （0，－1），P 为一个动点，且直线PA 、PB 的斜率之积为－21。

⑴求动点P 的轨迹C 的方程；(⑵设Q （2,0），过点（－1,0）的直线l 交C 于M 、N 两点，△QMN 的面积记为S ，对知足条件的任意直线l ，不等式S ≤λtan ∠MQN 成立，求λ最小值。

解：⑴如图1，设P （x ，y ），k PA =x y -1，k PB ＝x y 1+，由k PA ·k PB ＝－21＝>221x y -＝－21＝>22x ＋y 2＝1。

⑵要由不等式S ≤λtan ∠MQN ，求λ最小值一时难以分析清几个量之间的内在联系，于是先从特殊情形进行分析。

当MN ⊥轴时，由上述椭圆方程知，点（－1,0）即为左核心F 1。

现在｜F 1Q ｜＝3，又因为x ＝－1时，y=±22，因此｜NM ｜＝2，S △QMN ＝223。

又因为tan ∠NQF 1＝62，tan ∠NQN ＝tan2∠NQF 1＝121tan 1tan 2NQF NQF ∠-∠＝1816212-⨯＝1726。

由S≤λtan ∠MQN 得λ≥417。

现在易猜想，当NM 不垂直于x 轴时，该结论或许还成立。

可考虑在一样情形下转化的方式，先对关系式S ≤λtan ∠MQN 利用向量进行分析。

由三角形面积公式，得2|||?|QN OM •sin ∠MQN ≤λMQ N MQ N ∠∠cos sin ， λ≥21｜QM｜·｜Q N ｜cos ∠MQN ＝21Q M ·Q N 。

专题15 圆锥曲线与其它知识的交汇问题【压轴综述】纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，出现一些与其它知识交汇的题目，如与平面向量交汇、与三角函数交汇、与不等式交汇、与导数交汇等等本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解此类问题的方法规律.一、与平面向量交汇问题主要体现在以下两个方面：一是用向量的数量积解决有关角的问题；二是用向量的坐标表示解决共线问题．(1)用向量的数量积解决有关角的问题，其步骤是：先写出向量坐标式a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，再用向量数量积的坐标公式cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22求角． (2)当a ，b 不共线时，有〈a ，b 〉为：直角⇔a ·b ＝0；钝角⇔a ·b <0(且a ，b 不反向)；锐角⇔a ·b >0(且a ，b 不同向)．(3)解题时，利用向量关系列出点之间的方程是关键．二、在涉及最值、范围问题时，往往与不等式、函数、导数等相结合.基本解题思路是构建不等式，创造应用基本不等式的条件；构建函数关系，应用导数研究函数的单调性、极（最）值等.【压轴典例】例1．（2020·上海高三专题练习）设，为曲线的焦点，是曲线与的一个交点，则的值为( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【详解】设点为曲线与在第一象限内的交点，由曲线的方程可得、()220F ，，再由椭圆的定义可得：，又因曲线的焦点和曲线 的焦点相同，再由双曲线的定义可得：，∴，，中，由余弦定理可得： ，所以121212cos |||13|PF PF F PF PF PF ⋅=∠=.例2．（2020·江苏南京市·高三）光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的光线等效于从另一个焦点射出.如图，一个光学装置由有公共焦点的椭圆Γ与双曲线构成，现一光线从左焦点发出，依次经过与Γ反射，又回到了点历时秒；若将装置中的去掉，此光线从点发出，经Γ两次反射后又回到了点历时秒；若则Γ与的离心率之比为（ ） A ． B ．1：2C ．2：3D ．3：4【答案】C【详解】设椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为，在左图中，由椭圆定义可得：1212BF BF a +=①，由双曲线定义可得：2122AF AF a -=②，①②得：111222AF AB BF a a ++=-，1ABF ∴的周长为：；在右图中，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后经过椭圆的另一个焦点，即直线过，1CDF ∴的周长为，又两次时间分别为，，且，光线速度相同，，，椭圆与双曲线焦点相同，，．例3.（2020浙江温州中学高三）设点是长方体的棱的中点，14AA AD ==，，点在面上，若平面分别与平面ABCD 和平面所成的锐二面角相等，则点的轨迹为（ ）A.椭圆的一部分B.抛物线的一部分C.一条线段D.一段圆弧【答案】C【解析】设在平面ABCD 的投影为，平面与平面ABCD 所成的锐二面角为 则，在平面的投影为中点，平面与面所成的锐二面角为 ，则11cos CPM D PMS S β∆∆=，故即得到111125,22C M h h ⨯⨯=⨯⨯=，即到直线的距离为定值，故在与平行的直线上，又点在面上，故轨迹为一条线段.例4.（2020·广州市天河中学）(多选)已知椭圆，双曲线若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，下列结论正确的是（ ） 参考数据（） A ．椭圆的离心率 B ．双曲线的离心率C ．椭圆上不存在点A 使得120AF AF ⋅< D ．双曲线上存在不同的四个点B i (i =1,2,3,4),使得12i i B F B F ⊥ 【答案】ABD【详解】如图，不妨设，双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 在第一象限的交点坐标为，由正六边形的性质，可得12PF PF ⊥，2160PF F ∠=︒,211,||PF PF ∴==椭圆M 的长轴长,∴,,∴当为椭圆的上顶点时为钝角，120AF AF ⋅<,故C 错误；椭圆M 离心率，故A 正确；双曲线N 的渐近线方程为,∴，又∵2224m n c +==,,双曲线N 的离心率为,故B 正确；以为直径作圆，显然与双曲线N 有四个不同的交点，这四个点关于所张的角为直角，故D 正确.例5.（2020·四川石室中学高三）设双曲线的左，右顶点为是双曲线上不同于的一点，设直线的斜率分别为，则当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，双曲线C 的离心率为（ ） A. B.C.D.【答案】D【解析】由双曲线，则(,0),(,0)A a B a -，设，则，可得，则0000,y y m n x a x a==+-，所以， 所以，设，则322()326ln 3f t t t t t =+--， 则，当(0,2)t ∈时，()0f t '<，单调递减；当(2,)t ∈+∞时，()0f t '>，单调递增，所以当时，函数取得最小值，即当()2323ln ln 3b mn mn m n a ⎛⎫+--+ ⎪⎝⎭取得最小值时，，所以双曲线的离心率为c e a ====，故选D ． 例6．（2020·全国高三专题练习）已知点P 在曲线C ：上，曲线C 在点P 处的切线为，过点P 且与直线垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，O 为坐标原点，若OP ⊥OQ ，则点P 的纵坐标为_______． 【答案】1【详解】依据题意直作出图象，如下：设，,则：，.因为，所以曲线C 在点P 处的切线斜率为：，又过点P 且与直线垂直的直线与曲线C 的另一交点为Q ，所以且，所以，所以直线的方程为：()0001y y x x x -=--联立直线与抛物线方程可得：，整理得：22001111022x x x x +--=.所以，又因为OP ⊥OQ ，所以1OP OQ k k ⋅=-,即：，整理得：.所以，解得： 所以，所以点P 的纵坐标为。