高中数学竞赛_直线 圆锥曲线 平面向量

高中数学向量向量的数学定义是线性代数常考的知识点，今年很有可能会考到，冲刺时间不多，我们要努力学习。

小编为大家精心准备了考研向量的数学定义的复习重点，欢迎大家前来阅读。

考研数学的重点预测：向量的数学定义首先回顾一下，在中学我们是如何表示向量的。

中学数学中主要讨论平面上的向量。

平面上的向量是可以平行移动的。

两个相互平行且长度相等的向量我们认为是相等的。

好，假设在平面直角坐标系中，对于平面上的任何一个向量，我们总是可以将其平移至起点坐标原点重合。

这时向量终点的坐标同时也是向量的坐标。

这样，我们就可以用一个实数对表示一个平面向量了。

一个实数对实际是我们线性代数中的一个二维行向量。

而线代中讨论的向量是任意n维的。

所以线性代数中的向量可视为中学向量的推广。

下面是向量的数学定义：由n个实数a1，a2，…，an构成的有序实数组(a1，a2，…，an)称为一个n 维行向量。

类似可定义列向量。

问个问题：向量和矩阵是什么关系向量可视为特殊的矩阵(行数或列数为1的矩阵)。

这是理解向量的一个很好的角度。

因为学习向量时，我们已把矩阵讨论得很清楚了，所以通过矩阵理解向量就能省不少事。

知道了什么是向量，那什么是向量组呢向量一般来说不是单独出现，而是成组出现的。

我们把多个向量放在一起考虑，就构成了向量组。

当然向量组的严格数学定义也不难理解：由若干个同型向量构成的集合称为一个向量组。

这里的“同型”可以理解成矩阵同型，也可以用向量的语言描述成：同为行向量或列向量且维数相同。

考研数学综合题解题的切入点一、做典型题，培养解题思路典型题可以理解为基础题以和常考题型。

做这种题时考生要积极主动思考，不能只是为了做题而做题。

要在做题的基础上更深入地理解、掌握知识，所学的知识才能变成自己的知识，这样才能使自己具有独立的解题能力。

例如线性代数的计算量比较大，但纯计算的题目比较少，一般都是证明中带有计算，抽象中夹带计算。

这就要求考生在做题时要注意证明题的逻辑严紧性，掌握知识点在证明结论时的基本使用方法，虽然线性代数的考试可以考的很灵活，但这些基本知识点的使用方法却比较固定，只要熟练掌握各种拼接方式即可。

高二数学平面向量试题答案及解析1.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”.设是公比为的无穷等比数列，下列的四组量中，一定能成为该数列“基本量”的是第组；①；②；③；④.【答案】①④【解析】由得，所以①唯一确定数列，由得，方程的解不定，所以②不能唯一确定数列，由得方程的解不定，所以③不能唯一确定数列，由得，所以④唯一确定数列.【考点】数列基本量运算2.下列各组向量中不平行的是（）A．a="(1,2,-2),b=(-2,-4,4)"B．c=(1,0,0),d=(-3,0,0)C．e="(2,3,0)," f="(0,0,0)"D．g=(-2,3,5),h=(16,-24,40)【答案】D【解析】略3.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则4.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．5.已知向量，，若，则__________________．【答案】或【解析】两向量平行，所以，解得：或．【考点】向量平行的坐标表示6.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算7.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．8.已知平面向量满足,且,则向量与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，由于平面向量满足,且,那么代入可知向量与的夹角的余弦值为，即可知向量与的夹角为，选C．【考点】向量的数量积公式．9.设，，且，则锐角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，得，即，由二倍角公式得，故选C．【考点】1、向量的坐标运算；2、向量共线的基本定理．【思路点晴】本题主要考查的向量的基本概念与简单运算、向量的坐标运算，属于容易题．本题通过向量共线，得，代入坐标运算的公式；再由二倍角公式，得到关于角的三角函数值，从而求得锐角的值．10.在平面直角坐标系中，为原点，，动点满足，则的最大值是．【答案】【解析】设，表示以为圆心，r=1为半径的圆，而，所以，，，故得最大值为【考点】1．圆的标准方程；2．向量模的运算11.若||=1，||=2，=+，且⊥，则与的夹角为________。

高中数学圆锥曲线知识点总结5篇高中数学圆锥曲线知识点总结5篇教育的现代化和大众化是推进知识普及和人才培养的重要策略。

科学科研的公正性和透明度是科研活动的重要保障。

下面就让小编给大家带来高中数学圆锥曲线知识点总结，希望大家喜欢!高中数学圆锥曲线知识点总结11、向量的加法向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。

AB+BC=AC。

a+b=(x+x ，y+y )。

a+0=0+a=a。

向量加法的运算律：交换律：a+b=b+a;结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。

2、向量的减法如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减”a=(x,y) b=(x ,y ) 则 a-b=(x-x ,y-y ).3、数乘向量实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，且∣λa∣=∣λ∣·∣a∣。

当λ 0时，λa与a同方向;当λ 0时，λa与a反方向;当λ=0时，λa=0，方向任意。

当a=0时，对于任意实数λ，都有λa=0。

注：按定义知，如果λa=0，那么λ=0或a=0。

实数λ叫做向量a的系数，乘数向量λa的几何意义就是将表示向量a的有向线段伸长或压缩。

当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上伸长为原来的∣λ∣倍;当∣λ∣ 1时，表示向量a的有向线段在原方向(λ 0)或反方向(λ 0)上缩短为原来的∣λ∣倍。

数与向量的乘法满足下面的运算律结合律：(λa)·b=λ(a·b)=(a·λb)。

向量对于数的分配律(第一分配律)：(λ+μ)a=λa+μa.数对于向量的分配律(第二分配律)：λ(a+b)=λa+λb.数乘向量的消去律：① 如果实数λ≠0且λa=λb，那么a=b。

② 如果a≠0且λa=μa，那么λ=μ。

4、向量的的数量积定义：两个非零向量的夹角记为〈a，b〉，且〈a，b〉∈[0，π]。

高二数学模块三圆锥曲线3．1 椭圆【考点透视】一、考纲指要1．熟练掌握椭圆的定义、标准方程、简单的几何性质及参数方程．2．考查椭圆的离心率，直线的方程，平面向量的坐标表示，方程思想等数学思想方法和综合解题能力.二、命题落点圆锥曲线是解析几何的重点，也是高中数学的重点内容，高考中主要出现三种类型的试题：①考查圆锥曲线的概念与性质；②求曲线方程和轨迹；③关于直线与圆锥曲线的位置关系的问题，主要考查直线方程,平面向量及椭圆的几何性质等基本知识,考查综合运用数学知识解决问题以及推理能力.【典例精析】例1：（2020·全国1）已知椭圆的中心为坐标原点O ，焦点在x 轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F 的直线交椭圆于A 、B 两点，+与)1,3(-=共线．（1）求椭圆的离心率；（2）设M 为椭圆上任意一点，且),( R ∈+=μλμλ，证明22μλ+为定值．解析:（1）设椭圆方程为22221(0),(,0)x ya b F c a b +=>>,则直线AB 的方程y x c =-代入22221x y a b +=,化简得22222222()20a b x a cx a c a b +-+-=． 令1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222212122,a c a c a bx x x x a b a b-+==++． 由1212(,),(3,1),OA OB x x y y a OA OB +=++=-+u u u r u u u r r u u u r u u u r 与a r共线,得 12123()()0y y x x +++=,又1122,y x c y x c =-=-，12121233(2)()0,2c x x c x x x x ∴+-++=∴+=．即222232a c c a b=+,所以223a b = ，c ∴==故离心率6c e a ==． （2）由（１）知223a b =,所以椭圆22221x y a b+=可化为22233x y b +=设(,)OM x y =u u u u r,由已知得1122(,)(,)(,)x y x y x y λμ=+，1212,.x x x y y y λμλμ=+⎧⎪∴⎨=+⎪⎩(,)M x y Q 在椭圆上,2221212()3()3x x y y b λμλμ∴+++=，即222222211221212(3)(3)2(3)3x y x y x x y y b λμλμ+++++= ① 由（1）知222212331,,222x x c a c b c +===， 222222212121212123,833()()a c ab x xc a bx x y y x x x c x c -∴==+∴+=+--2121222243()3393220.x x x x c cc c c =-++=-+=又222222112233,33x y b x y b +=+=代入①，得221λμ+=．故22μλ+为定值,定值为1 ．例2：（2020·上海）如图，点A 、B 分别是椭圆2213620x y +=长轴的左、右端点，点F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且位于x 轴上方，PA PF ⊥． （1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于MB ，求椭圆上的点到点M 的距离d 的最小值．解析:（1）由已知可得点A （－6，0），F （4，0）x设点P 的坐标是},4{},,6{),,(y x FP y x AP y x -=+=则，由已知得.623,018920)4)(6(120362222-===-+⎪⎩⎪⎨⎧=+-+=+x x x x y x x y x 或则由于).325,23(,325,23,0的坐标是点于是只能P y x y ∴==> （2）直线AP 的方程是.063=+-y x 设点M 的坐标是（m ，0），则M 到直线AP 的距离是2|6|+m ， 于是,2,66|,6|2|6|=≤≤--=+m m m m 解得又椭圆上的点),(y x 到点M 的距离d ，有,1529(94952044)2(222222+-=-++-=+-=x x x x y x d由于.15,29,66取得最小值时当d x x =∴≤≤-例3：（2020·福建）已知方向向量为)3,1(=的直线l 过点（32,0-）和椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的焦点，且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.（1）求椭圆C 的方程；（2）是否存在过点E （－2，0）的直线m 交椭圆C满足OM ON ⋅=u u u u r u u u r ∠MON≠0（O 为原点）.求直线m 的方程；若不存在，请说明理由. 解析:（1）直线:l y =- ①过原点垂直l 的直线方程为x y 33-=， ② 解①②得.23=x ∵椭圆中心（0，0）关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上，.32322=⨯=∴c a∵直线l 过椭圆焦点，∴该焦点坐标为（2，0）..2,6,222===∴b a c 故椭圆C 的方程为.12622=+y x ③（2）设M （11,y x ），N （22,y x ）.当直线m 不垂直x 轴时，直线)2(:+=x k y m 代入③，整理得,061212)13(2222=-+++k x k x k,13612,131222212221+-=⋅+-=+∴k k x x k k x x ,13)1(62136124)1312(14)(1||22222222212212++=+-⋅-+-+=-++=k k k k k k kx x x x kMN点O 到直线MN 的距离21|2|k k d +=．,cot 634MON∠=⋅Θ||||cos 0,OM ON MON ⋅∠=≠u u u u r u u u r,634||.632,634sin ||||=⋅∴=∴=∠⋅∴∆d MN S MON OMN 即).13(6341||6422+=+k k k 整理得.33,312±=∴=k k 当直线m 垂直x 轴时，也满足632=∆OMN S .故直线m 的方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 经检验上述直线均满足0≠⋅ON OM .所以所求直线方程为,33233+=x y 或,33233--=x y 或.2-=x 【常见误区】解析几何问题，基本上都与方程思想相结合，因而要注意直线方程与曲线方程联立起来，结合根与系数的关系，或直接解出根，是高考常用的方法，要注意有关方法的练习、归纳，要注意运算的优化，要注意利用数形结合，挖掘隐含性质,这也是考生思维的一个障碍点.【基础演练】1．(2020·广东) 若焦点在x 轴上的椭圆1222=+m y x 的离心率为21，则m= （ ）A ．3B ．23C ．38 D ．32 2．(2020·福建) 设b a b a b a +=+∈则,62,,22R 的最小值是（ ）A ．22-B ．335-C ．－3D ．27-3．(2020·全国3) 设椭圆的两个焦点分别为F 1、、F 2，过F 2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P ，若△F 1PF 2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）A B C ．2 D 14．(2020·江苏) 点)1,3(-P 在椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左准线上，过点P 且方向为)5,2(-=的光线经直线2-=y 反射后通过椭圆的左焦点,则这个椭圆的离心率为（ ）A ．33 B ．31 C ．22 D ．21 5．（2020·重庆）已知B A ),0,21(-是圆221:()4(2F x y F -+=为圆心）上一动点，线段AB 的垂直平分线交BF 于P ，则动点P 的轨迹方程为 . 6．如图所示, 底面直径为12cm 的圆柱被与底面成30o的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长 ，短轴长 ，离心率为 ．7．(2020·辽宁) 已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左、右焦点分别是)0,(1c F -、)0,(2c F ，Q 是椭圆外的动点，满足a Q F ||1=，点Ｐ是线段Q F 1与该椭圆的交点，点Ｔ在线段Q F 2上，并且 满足0||,022≠=⋅TF TF PT ．（1）设x 为点Ｐ的横坐标，证明 x aca F +=||1； （2）求点Ｔ的轨迹Ｃ的方程；（3）试问：在点Ｔ的轨迹Ｃ上，是否存在点Ｍ，使△21MF F 的面积2b S =．若存在，求∠21MF F 的正切值；若不存在，请说明理由．8．(2020·湖南) ．已知椭圆C ：22a x ＋22by ＝1（a ＞b ＞0）的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为e. 直线l ：y ＝e x ＋a 与x 轴．y 轴分别交于点A 、B ，M 是直线l 与椭圆C 的一个公共点，P 是点F 1关于直线l 的对称点，设＝λ. （1）证明：λ＝1－e 2； （2）若43=λ，△PF 1F 2的周长为6，写出椭圆C 的方程； （3）确定λ的值，使得△PF 1F 2是等腰三角形.9．(2020·湖北) 设A 、B 是椭圆λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（1）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（2）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由.ＱyxO1F 2F P3．2 双曲线【考点透视】一、考纲指要熟练掌握双曲线的定义、标准方程、简单的几何性质． 二、命题落点1．考查了圆锥曲线中双曲线的渐近线方程与准线方程，以及标准方程中a,b,c 之间的关系,两渐近线间的夹角的求法，如例1.2．双曲线的第一、第二定义在解题中的灵活运用,如例2;3．考查等边三角形的性质，焦点三角形公式及离心率公式，灵活运用焦点三角形公式避免了繁琐的运算，突出观察研究能力的考查，如例3.【典例精析】例1： (2020·湖南) 已知双曲线22a x －22b y ＝1（a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，右准线与一条渐近线交于点A ，△OAF 的面积为22a （O 为原点），则两条渐近线的夹角（ ）A ．30ºB ．45ºC ．60ºD ．90º解析:双曲线的右焦点F(c,0)，右准线方程为x=c a 2,一条渐近线方程为y=a b x ，可得点A的坐标（c a 2，c ab ），△OAF 的面积S △OAF =21OF │Y A │=21c ab c ⋅=21ab,又题意已知S △OAF =21a 2,所以a=b,两条渐近线间的夹角为900 . 答案： D例2：(2020·全国3)已知双曲线2212y x-=的焦点为F 1、F 2，点M 在双曲线上且120,MF MF ⋅=u u u u r u u u u r则点M 到x 轴的距离为（ ）A ．43B ．53C．3D解析: 设M 到x 轴的距离为h，∵1,a b c ==∴=又∵222121212012(2)MF MF MF MF c MF MF ⋅=⇒⊥⇒+==u u u u r u u u u r ，由双曲线定义得22121212||224MF MF MF MF MFMF ⋅-=⇒+-=，再由1212121122MF F MF MF F Fh S ⋅∆=⨯=⨯⋅，∴h =答案： C例3：（2020·福建）已知F 1、F 2是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两焦点，以线段F 1F 2为边作正三角形MF 1F 2，若边MF 1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是( )A ．324+B ．13-C ．213+ D ．13+解析:令12(,0),(,0)F c F c -，边MF 1交双曲线于点N ，连结2F N 易知的边长，且点必在轴上，可得的坐标（0）又为正三角形由焦点三角形面积公式121122121290MF F F F C M y M MF F F N MF F NF =\\^\?\oV QV又又c又e=a12121222122222222cot211122222(1)21NF F NF F MF F F NF S b b S S C b b c a a c e Ð====鬃==-\=-\===+V V V Q Q Q答案： D例4.（2020·山东）设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，右准线l 与两条渐近线交于P 、Q 两点，如果PQF ∆是直角三角形，则双曲线的离心率___________e =.解析:如图所示，PF QF ⊥且PF QF =，2(,0)(,)a abF c Pc c ,在PFQ ∆中MF =，OF OM -=． ①PF =Q ② 2,a OF c OM c ==Q ③将②③代入①式化简得：2a ce c a===答案:【常见误区】1．对双曲线离心率、双曲线渐近线等基本知识考察时, 应想法利用已知曲线构造等式,从而解出,c a 的比值,即双曲线的离心率.这一点考生常不能注意到,致使离心率求解出错,如例3、例4.2．解题过程中,特别是客观题中,应注意双曲线第一第二定义的应用,此问题考生常会忽视,如例1、例2.【基础演练】1．（2020·广东）已知双曲线2239x y -=，则双曲线右支上的点P 到右焦点的距离与点P 到右准线的距离之比等于（ ）AB C ．2D ． 42． (2020·天津) 设双曲线以椭圆192522=+y x 长轴的两个端点为焦点，其准线过椭圆的焦点，则双曲线的渐近线的斜率为（ ）A ．2±B ．34±C ．21±D ．43±3．平面内有两个定点12,F F 和一动点M ，设命题甲，12||||||MF MF -是定值，命题乙：点M 的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（ ）A ．充分但不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．双曲线和它的共轭双曲线的离心率分别为12,e e ，则12,e e 应满足的关系是 （ ）A ．22121e e +=B ．22121e e -=C ．1112221=-e e D ．1112221=+e e 5．(2020·浙江) 过双曲线22221x y a b-=(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M 、N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率等于_________． 6．(2020·江西) 以下几个关于圆锥曲线的命题中：①设A 、B 为两个定点，k 为非零常数，||||PA PB k -=u u u r u u u r，则动点P 的轨迹为双曲线；②设定圆C 上一定点A 作圆的动点弦AB ，O 为坐标原点，若1(),2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r 则动点P 的轨迹为椭圆；③方程22520x x -+=的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；④双曲线221259x y -=与椭圆22135x y +=有相同的焦点.其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）7．已知双曲线22125144x y -=的左右焦点分别为12,F F ，左准线为l ，能否在双曲线的左支上求一点P ，使1||PF 是P 到l 的距离d 与2||PF 的等比中项？若能，求出P 的坐标，若不能，说明理由．8．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作双曲线在第一、第三象限的渐近线的垂线l ，垂足为P ，l 与双曲线的左、右支的交点分别为,A B ． （1）求证：P 在双曲线的右准线上；（2）求双曲线离心率的取值范围．9．是否同时存在满足下列条件的双曲线，若存在，求出其方程，若不存在，说明理由． （1）渐近线方程为20,20x y x y +=-=，（2）点(5,0)A 到双曲线上动点P ．3．3 抛物线【考点透视】一、考纲指要掌握抛物线的定义、标准方程和简单的几何性质．二、命题落点1．考察抛物线过焦点的性质,如例1;2．抛物线上张直角问题的探究, 考察抛物线上互相垂直的弦的应用，如例2;3．定值及定点问题是解几问题研究的重点内容,此类问题在各类考试中是一个热点，如例3.【典例精析】例1：(2020·全国3) 设1122(,),(,)A x y B x y 两点在抛物线22y x =上，l 是AB 的垂直平分线，（1）当且仅当12x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论； （2）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上截距的取值范围. 解析:（1）∵抛物线22y x=，即22y x=，∴14p =， ∴焦点为1(0,)8F（i ）直线l 的斜率不存在时，显然有12x x+=0;（ii ）直线l 的斜率存在时，设为k ，截距为b, 即直线l ：y=kx+B ．由已知得：12121212221k bk y y x x y y x x ⎧++⎪=⋅+⎪⎨-⎪=-⎪-⎩2212122212122212222k b k x x x x x x x x ⎧++=⋅+⎪⎪⇒⎨-⎪=-⎪-⎩22121212212k b k x x x x x x +⎧+=⋅+⎪⎪⇒⎨⎪+=-⎪⎩ 2212104b x x ⇒+=-+≥14b ⇒≥即l 的斜率存在时，不可能经过焦点1(0,)8F 所以当且仅当12x x+=0时，直线l 经过抛物线的焦点F（2）设l 在y 轴上截距为b ，即直线l ：y=2x+b ，AB ：12y x m =-+．由2122y x m y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩得2420x m x +-=，∴1214x x +=-，且10,32m ∆>>-即， ∴121211222164b m b y y x x ++=⋅+⇒+=-+， ∴551916163232b m =+>-=． 所以l 在y 轴上截距的取值范围为9(,)32+∞例2：（2020·广东）在平面直角坐标系xoy 中，抛物线2y 同动点Ａ、Ｂ满足BO AO ⊥（如图所示）（1）求AOB ∆得重心G （即三角形三条中线的交点） 的轨迹方程；（2）AOB ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出 最小值；若不存在，请说明理由．解析: （1）∵直线AB 的斜率显然存在， ∴设直线AB 的方程为b kx y +=，),(),,(2211y x B y x A ，依题意得0,,22=--⎩⎨⎧=+=b kx x y xy b kx y 得消去由，①∴k x x =+21，② b x x -=21 ③∵OB OA ⊥，∴02121=+y y x x ，即 0222121=+x x x x ，④ 由③④得，02=+-b b ，∴)(01舍去或==b b∴设直线AB 的方程为1+=kx y∴①可化为 012=--kx x ，∴121-=x x ⑤， 设AOB ∆的重心G 为),(y x ，则33021k x x x =++= ⑥ ， 3232)(3022121+=++=++=k x x k y y y ⑦， 由⑥⑦得 32)3(2+=x y ，即3232+=x y ，这就是AOB ∆的重心G 的轨迹方程．（2）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=把②⑤代入上式，得 41||22+⋅+=k k AB ，设点O 到直线AB 的距离为d ，则112+=k d ，∴ 24||212+=⋅⋅=∆k d AB S AOB， ∴ 当0=k ，AOB S ∆有最小值，∴AOB ∆的面积存在最小值，最小值是1 ．例3：(2020·江西) M 是抛物线上y 2=x 上的一点，动弦ME 、MF 分别交x 轴于A 、B 两点，且MA=MB ．（1）若M 为定点，证明：直线EF 的斜率为定值； （2）若M 为动点，且∠EMF=90°，求△EMF 的重心G 的轨迹方程.解析：（1）设M （y 20,y 0），直线ME 的斜率为k(k>0)，则直线MF 的斜率为－k ，方程为200().y y k x y -=-∴由2002()y y k x y y x⎧-=-⎪⎨=⎪⎩，消200(1)0x ky y y ky -+-=得，解得20021(1),F F ky ky y x k k--=∴=，∴0022000022211214(1)(1)2E F EFE F ky ky y y k k k k ky ky ky x x y k k k -+---====---+--(定值)． 所以直线EF 的斜率为定值．（2）90,45,1,EMF MAB k ∠=∠==o o 当时所以直线ME 的方程为200()y y k x y -=-由2002y y x y y x ⎧-=-⎪⎨=⎪⎩得200((1),1)E y y --同理可得200((1),(1)).F y y +-+设重心G （x , y ），则有222200000000(1)(1)23,333(1)(1),333M E F M E F y y y y x x x x y y y y y y y y ⎧+-+++++===⎪⎪⎨+--+++⎪===-⎪⎩消去参数0y 得2122().9273y x x =-> 【常见误区】1．运算正确率太低, 这是考生在解解析几何问题中常出现的问题, 即会而不对. 2．抛物线中的焦点坐标与准线方程求解过程中常误求出二倍关系;3．定点与定值问题总体思路不能定位,引入参变量过多,没有求简意识,使问题复杂化.【基础演练】1．(2020·湖北) 双曲线)0(122≠=-mn ny m x 的离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ）A ．163B ．83 C ．316 D ．38 2． (2020·辽宁) 已知双曲线的中心在原点，离心率为3．若它的一条准线与抛物线x y 42=的准线重合，则该双曲线与抛物线x y 42=的交点到原点的距离是 （ ）A ．632+B ．21C ．21218+D ．213．（2020·全国1）已知双曲线)0( 1222>=-a y ax 的一条准线与抛物线x y 62-=的准线重合，则该双曲线的离心率为（ ）A ．23 B ．23 C ．26 D ．332 4．(2020·江苏) 抛物线24x y =上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是（ ）A ．1617B ．1615 C ．87 D ．05．（2020·上海）过抛物线x y 42=的焦点作一条直线与抛物线相交于A 、B 两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线 条. 6． (2020·重庆) 连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是 （填写所有正确选项的序号）. ①菱形 ②有3条边相等的四边形 ③梯形 ④平行四边形 ⑤有一组对角相等的四边形 7．抛物线以y 轴为准线，且过点(,)(0)M a b a ≠，证明：不论M 点在坐标平面内的位置如何变化，抛物线顶点的轨迹的离心率是定值．8. 已知抛物线22(0)y px p =>，过动点(,0)M a 且斜率为1的直线l 与该抛物线交于不同两点,A B ，||2AB p ≤， （1）求a 取值范围；（2）若线段AB 垂直平分线交x 轴于点N ，求NAB ∆面积的最大值9．(2020·北京春,理22)已知动圆过定点P(1,0),且与定直线:1l x =-相切,点C 在l 上. （1）求动圆圆心的轨迹M 的方程；（2）设过点P,M 相交于A,B 两点.(i)问：△ABC 能否为正三角形？若能,求点C 的坐标；若不能,说明理由； (ii)当△ABC 为钝角三角形时,求这种点C 的纵坐标的取值范围.3．4直线与圆锥曲线的位置关系【考点透视】一、考纲指要1．掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法，能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系的问题转化为研究方程组的解的问题；2．会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量，将交点问题转化为一元二次方程根的问题，结合根与系数关系及判别式解决问题;3．能利用弦长公式解决直线与圆锥曲线相交所得的弦长的有关问题，会运用圆锥曲线的第二定义求焦点弦长；4．体会“设而不求”、“方程思想”和“待定系数”等方法.二、命题落点1．考查直线与椭圆相切、直线方程、直线到直线的距离等知识，如例1;2．考查直线与圆、圆锥曲线的位置关系.处理直线与曲线的位置关系的一般方法是方程思想:由直线方程与曲线方程联立方程组,通过判别式△确定解的个数(交点个数),而直线与圆可以用圆心到直线距离与半径的大小关系进行判定,如例2;3．考查椭圆的几何性质、椭圆方程，两条直线的夹角、点的坐标等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力，如例3.【典例精析】例1：(2020·山东) 设直线:220l x y ++=关于原点对称的直线为l '，若l '与椭圆2214y x +=的交点为A 、B 、，点P 为椭圆上的动点，则使PAB ∆的面积为12的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解析:如右图,根据题意易得AB ='l Q 与l 关系O 对称':220l x y ∴+-=设过圆上一点且平行与'l 的直线方程为'':l 2y x b =-+22244y x b y x=-+⎧⎨=-⎩联立得：228440x bx b -+-= 若''l 与椭圆相切则0∆=可求得：b =±即'':20l y x +±=,''l 到'l<①x=''l 到'l >② 1122PAB S AB h ∆==⨯⨯Q ，（h 为P 到AB 的距离），AB =Q ，h ∴=． 由①②式可知满足条件的点有两个.答案: B 例2：(2020·北京春)若直线mx+ ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,则m,n 满足的关系式为_______;以(m,n )为点P 的坐标,过点P 的一条直线与椭圆x 27+y 23=1的公共点有____个.解析: ∵直线mx+ny -3=0与圆x 2+y 2=3没有公共点,∴3m 2+n2>3,解得0<m 2+n 2<3.∴m 27+n 23< m 23+n23<1,即点P(m ,n )在椭圆内部,故过P 的直线必与椭圆有两个交点. 答案: 0<m 2+n 2<3,2.例3.（2020·山东）已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（1）求动圆圆心C 的轨迹的方程；（2）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+=4π时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标. 解析：（1）如图，设M 为动圆圆心，记,02p ⎛⎫⎪⎝⎭为F ，过点M 作直线2p x =-的垂线，垂足为N ，由题意知：MF MN =即动点M 到定点F与定直线2px =-的距离相等由抛物线的定义知，点M 的轨迹为抛物线，其中,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭为焦点，2p x =-为准线∴轨迹方程为22(0)y px p =>； （2）如图，设()()1122,,,A x y B x y ，由题意得12,x x ≠又直线OA 、OB 的倾斜角α、β满足α+β=4π，故0<α，β<4π．∴直线AB 的斜率存在，否则OA 、OB 直线的倾斜角之和为π，从而设其方程为y kx b =+．显然221212,22y y x x p p==． 将y kx b =+与22(0)y px P =>联立消去x ，得2220ky py pb -+=． 由韦达定理知121222,p pby y y y k k+=⋅=． (*) 由4παβ+=，得tantan()4παβ=+=tan tan 1tan tan αβαβ+-=122122()4p y y y y p +-．将(*)式代入上式整理化简可得：22b p pk =+，此时，直线AB 的方程可表示为y kx =+22p pk +即()(2)20k x p y p +--=， ∴直线AB 恒过定点()2,2p p -．【常见误区】1．注意数形结合思想的应用,比如直线过定点时,要考虑定点与曲线的位置关系;2．考查直线和双曲线的概念和性质,平面向量的运算等解析几何的基本思想和综合解题能力.向量的知识考生常不能灵活应用。

1、数学竞赛考纲二试1、平面几何根本要求：驾驭高中数学竞赛大纲所确定的全部内容。

补充要求：面积与面积方法。

几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。

几个重要的极值：到三角形三顶点间隔之与最小的点--费马点。

到三角形三顶点间隔的平方与最小的点--重心。

三角形内到三边间隔之积最大的点--重心。

几何不等式。

简洁的等周问题。

理解下述定理：在周长肯定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。

在周长肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的面积最大。

在面积肯定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。

在面积肯定的简洁闭曲线的集合中，圆的周长最小。

几何中的运动：反射、平移、旋转。

复数方法、向量方法。

平面凸集、凸包及应用。

2、代数在一试大纲的根底上另外要求的内容：周期函数与周期，带肯定值的函数的图像。

三倍角公式，三角形的一些简洁的恒等式，三角不等式。

第二数学归纳法。

递归，一阶、二阶递归，特征方程法。

函数迭代，求n次迭代，简洁的函数方程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。

复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。

圆排列，有重复的排列与组合，简洁的组合恒等式。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。

简洁的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。

3、立体几何多面角，多面角的性质。

三面角、直三面角的根本性质。

正多面体，欧拉定理。

体积证法。

截面，会作截面、外表绽开图。

4、平面解析几何直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。

二元一次不等式表示的区域。

三角形的面积公式。

圆锥曲线的切线与法线。

圆的幂与根轴。

5、其它抽屉原理。

容斥原理。

极端原理。

集合的划分。

覆盖。

梅涅劳斯定理托勒密定理西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。

赛瓦定理及其逆定理。

高二数学平面向量试题1.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为侧面BCC1B1的中心．若，则x＋y＋z的值为()A．1B．3/2C．2D．3/4【答案】C【解析】所以则故选C2.若向量，=(m，m+1)，且∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两向量平行，所以，所以，故选A．【考点】向量平行的充要条件的坐标表示3.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．4.已知，，且与夹角为，则等于A．B．C．D．【答案】B【解析】根据与夹角为，可知，所以，故选B．【考点】向量的数量积的定义式，向量数量积的运算法则．5.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．6.已知向量，若，则＝________．【答案】【解析】因为，所以，所以解得，＝【考点】向量模的运算．7.已知向量，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，若，则，解得．【考点】向量共线的坐标表示．8.已知方程x 2+y 2-2x-4y+m=0．（1）若此方程表示圆，求m的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线x+2y-4=0相交于M，N两点，且（其中O为坐标原点）求m的值；（3）在（2）的条件下，求以MN为直径的圆的方程．【答案】（1）m＜5；（2）；（3）【解析】（1）将x 2+y 2-2x-4y+m=0转化为：，由方程表示圆，则有5-m＞0．（2）由先将直线与圆方程的联立，由相交于两点，则有，又，得出，由韦达定理求解；（3）线段的中点为圆心，圆心到端点的距离为半径，从而求得结论试题解析：（1）x 2+y 2-2x-4y+m=0即（x-1）2+（y-2）2=5-m（2分）若此方程表示圆，则5-m＞0∴m＜5（2）x=4-2y代入得5y 2-16y+8+m="0"∵△=（-16）2-4×5×（8+m）＞0∴，∵得出：x1x2+y1y2=0而x1x2=（4-2y1）•（4-2y2）=16-8（y1+y2）+4y1y2∴5y1y2-8（y1+y2）+16=0，∴满足故的m值为．（3）设圆心为（a，b），且O点为以MN为直径的圆上的点,半径圆的方程【考点】1．直线与圆相交的性质；2．二元二次方程表示圆的条件9.△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知，．（1）求；（2）设·,求．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据条件，采取化角的策略，由正弦定理得：，又，所以，所以，展开两边同除以即可；（2）因为·，，所以，则，由余弦定理得，所以，．试题解析：（1）∴（2）∵·，∴，则∴∴，【考点】1、正弦定理；2、余弦定理；3、两角和正弦公式；4、数量积公式．10.已知单位向量两两的夹角均为，且），若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系O-xyz（O为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作。

高二数学圆锥曲线与方程试题答案及解析1.若动点与定点和直线的距离相等，则动点的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．直线【答案】D【解析】因为定点F（1，1）在直线上，所以到定点F的距离和到定直线l的距离相等的点的轨迹是直线，就是经过定点A与直线，垂直的直线．故选D．【考点】1．抛物线的定义；2．轨迹方程．2. F1、F2是定点，|F1F2|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，则点M的轨迹是（）A．椭圆B．直线C．线段D．圆【答案】C【解析】主要考查椭圆的定义、椭圆的标准方程。

解：因为|MF1|+|MF2|=6=|F1F2|，所以点M的轨迹是线段，故选C。

3.椭圆内有一点P（3，2）过点P的弦恰好以P为中点，那么这弦所在直线的方程为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】主要考查椭圆的定义、直线与椭圆的位置关系。

利用“点差法”求弦的斜率，由点斜式写出方程。

故选B。

4.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1，那么它的焦点坐标为（）A．（1, 0）B．（2, 0）C．（3, 0）D．（－1, 0）【答案】A【解析】由已知，所以=4，抛物线的焦点坐标为（1, 0），故选A。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质。

点评：熟记抛物线的标准方程及几何性质。

5.圆心在抛物线y 2=2x上，且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（）A．x2+ y 2-x-2 y -=0B．x2+ y 2+x-2 y +1="0"C．x2+ y 2-x-2 y +1=0D．x2+ y 2-x-2 y +=0【答案】D【解析】由抛物线定义知，此圆心到焦点距离等于到准线距离，因此圆心横坐标为焦点横坐标，代入抛物线方程的圆心纵坐标,1，且半径为1，故选D。

【考点】本题主要考查抛物线的定义、标准方程、几何性质，同时考查了圆的切线问题。

点评：抛物线问题与圆的切线问题有机结合，利用抛物线定义，简化了解答过程。

高三数学圆锥曲线试题1.过抛物线的焦点且倾斜角为的直线与抛物线在第一、四象限分别交于两点，则等于（）A．5B．4C．3D． 2【答案】C【解析】如图，过作准线的垂线，垂足分别为，过作于，由垂直及抛物线的定义可知，所以，所以,所以.【考点】抛物线的定义.2.已知椭圆的右焦点为,过点的直线交椭圆于两点.若的中点坐标为,则的方程为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意知，，利用点差法，设过点的直线（显然，斜率存在）为，交点联立椭圆方程得：，则，又的中点坐标为，即，，故，又，所以，，联立得，所以椭圆方程为，选D.【考点】直线点斜式方程、椭圆方程.3.抛物线的准线截圆所得弦长为2，则= .【答案】2【解析】抛物线的准线为，而圆化成标准方程为，圆心，，圆心到准线的距离为，所以，即.【考点】1.抛物线的准线方程；2.勾股定理.4.如图, 在等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB="2CD," 设∠DAB=, ∈（0, ）, 以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2, 设的大致图像是（）【答案】D【解析】根据题意，由于等腰梯形ABCD中, AB//CD, 且AB="2CD," 设∠DAB=, ∈（0, ）,那么结合双曲线的定义，以A, B为焦点且过点D的双曲线的离心率为e1, 以C, D为焦点且过点A的椭圆的离心率为e2,BD-DA=2a,AB=2c,AD+DC=2a’,且，因为a在增大，c不变可知离心率e1增大，而对于离心率e2，不变，那么可知正确的图象为D。

【考点】双曲线的性质，椭圆的性质点评：主要是考查了双曲线以及椭圆性质的运用，属于中档题。

5.在平面直角坐标系中，设点为圆：上的任意一点，点(2，) ()，则线段长度的最小值为．【答案】【解析】根据题意，由于点为圆：上的任意一点，由于圆心（1,0），且点(2，) ()，则线段长度的最小值为圆心到Q的距离减去圆的半径2，那么可知，故可知答案为。

高中数学直线和圆锥曲线常考题型汇总及例题解析题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点的问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围问题（本质是函数问题）题型十一：存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）【题型一】数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系【题型二】弦的垂直平分线问题【题型三】动弦过定点的问题【题型四】过已知曲线上定点的弦的问题【题型五】共线向量问题【题型六】面积问题【题型七】弦或弦长为定值问题【题型八】角度问题【题型九】四点共线问题【题型十】范围问题（本质是函数问题）【题型十一】存在性问题（存在点、直线y=kx+b、实数、圆形、三角形、四边形等）例题&解析集合例1：例2：例3：例4：例5：例6：刷有所得：确定圆的方程方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程．(2)待定系数法①若已知条件与圆心和半径有关，则设圆的标准方程依据已知条件列出关于的方程组，从而求出的值；②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D、E、F的方程组，进而求出D、E、F的值．例7：答案：解析：刷有所得：该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.例8：解析：定点问题例9：解析：例10：例11：解析：例12：例13：答案：例14：例15：解析：离心率问题例16：答案：D解析：刷有所得：椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判断平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆，二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、椭圆的弦长及最值和离心率问题等；“焦点三角形”是椭圆问题中的常考知识点，在解决这类问题时经常会用到正弦定理，余弦定理以及椭圆的定义. 例17：答案：C 解析：例18：答案：C解析：刷有所得：求离心率的值或范围就是找的值或关系。

高二数学平面向量试题答案及解析1.若P为△OAB的边AB上一点，且的面积与的面积之比为1:3，则有（）A．B．C．D．【答案】C【解析】得,所以,应选C.2.已知，向量的夹角为120°，且，则实数t的值为（）A．-2B．-1C．1D．2【答案】B【解析】【考点】向量的数量积运算3.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．4.平面上三点，向量=3，=2，设P是线段AB 垂直平分线上一点，则的值为__________．【答案】【解析】取为中点，【考点】向量的数量积运算5.在矩形中中，，为动点，的延长线与（或其延长线）分别交于点，若（1）若以线段所在的直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，试求动点的轨迹方程；（2）不过原点的直线与（1）中轨迹交于两点，若的中点在抛物线上，求直线的斜率的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】第一问根据题意，建立相应的坐标系，确定出点的坐标，根据点及三点共线，求得两点的横坐标，从而求得向量的坐标，利用向量的数量积的坐标公式，得到点的轨迹方程，第二问设出直线的方程，与椭圆方程联立，消元得到关于的一元二次方程，根据方程有两个不等实根，得到判别式大于零，得到，根据韦达定理和中点坐标公式，确定出点的坐标，根据点在曲线上，得到关于的关系式，代入判别式整理出的不等式，从而求得结果．试题解析：（1）设，由已知得，，，由及三点共线得，代入得(2)设直线，．由得即又故将代入得将（2）代入（1）得：解得且．即．--12分【考点】动点的轨迹方程的求解，直线与曲线的位置关系的综合问题．6.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】解决该题的关键是要明确向量的数量积的坐标运算式，注意三角函数的和角公式的应用和辅助角公式的应用，注意函数的最小正周期的确定方法，第二问注意其单调区间的求解方法，注意整体角的思维的运用．试题解析：（Ⅰ）2分4分所以，的最小正周期为． 6分（Ⅱ）由 8分得 10分所以，的单调递增区间为． 12分【考点】向量的数量积的坐标运算式，三角函数的和角公式，辅助角公式，单调区间的求解方法．7.设，向量，且，则（）A．﹣2B．4C．﹣1D．0【答案】D【解析】向量，且，可得，解得或（舍去，因为）．则．故选：D．【考点】平面向量数量积的运算8.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．9.已知平面向量，且，则实数的值为（）A．1B．4C．D．【答案】D【解析】因为，所以．故选D．【考点】向量平行的充要条件．10.（12分）已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．【答案】（1）f（）=﹣1；（2）cos（α﹣β）=．【解析】（1）由向量的数量积公式得出函数f（x）的解析式，再由对称轴方程求出,从而得出函数f（x）的解析式，最后将代入解析式求值即可；（2）利用已知条件可求出的正弦、余弦值，然后利用两角差的余弦公式即可求出cos（α﹣β）的值．试题解析：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x = ．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，【考点】由三角函数的性质求其解析式并运用其求三角函数值、利用两角差的余弦公式求值．11.已知点）、、、，则向量在方向上的投影（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，，所以向量在方向上的投影为【考点】1．向量的坐标运算；2．向量的投影12.ABCD是梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M、N分别是DC和AB的中点，已知＝，＝，试用、表示。

1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P 处的外角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的外角,那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.4 .以焦点半径PF i为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.2 25 .假设P o(X o, y o)在椭圆与yY 1上,那么过P0 a b的椭圆的切线方程是警缪1. a b2 26 .假设P0(X o, y o)在椭圆占4 1外,那么过a bP0作椭圆的两条切线切点为P1、P2, 那么切点弦P1P2的直线方程是x o x y o y-2~ ~2~1.a b2 27.椭圆\ 4 1 (a>b>0)的左右焦点a b分别为F1, F2,点P为椭圆上任意一点F1PF2 ,那么椭圆的焦点角形的面积为S F PF b2 tan-. 1 222 28 .椭圆=yr 1 (a>b>0)的焦半径公a b式：IMF I | a ex0,|MF2 | a e%(F1( c,0),F2(C,0) M(x0,y.)).9 .设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点,A为椭圆长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别交相应于焦点F的椭圆准线于M、N 两点,那么MF XNF.10 .过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A I、A2为椭圆长轴上的顶点,A I P和A2Q交于点M, A2P和A I Q交于点N,那么MFXNF.2 211. AB是椭圆与当1的不平行于对称轴a b的弦,M(x°,y°)为AB的中点,那么b2k OM k AB _2,a即K AB整.a V.双曲线1 .点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.2 . PT平分△PF1F2在点P处的内角, 那么焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆,除去长轴的两个端点.3 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.4 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.(内切：P在右支；外切：P在左支)2 25 .假设P o(%,y.)在双曲线与3 1 (a>a b0,b>0〕上,那么过B的双曲线的切为AB 的中点,那么K OM K AB 线方程是粤.当1.a b2 26.假设R〔X°,y.〕在双曲线与匕ab 1 (a>0,b>0〕外,那么过Po作双曲线的两条切线切点为P「P2,那么切点弦P1P2的直线方程是X0X y0 y 1.即K ABb2X.-20a y.212.右P Q〔X.,y.〕在双曲线—2ab2X.-2 )a y.1 (a>0,b>0〕内,那么被Po所平分的中点弦的方程是2 2X Q X y°y X0 y2 27.双曲线 : 〕a b 右焦点分别为线上任意一点1 〔a>0,b>o〕的左F 2,点P为双曲F1PF2 ,那么双曲线2 . 2 2aba213.假设P0(x0,y0)在双曲线—ab2 yb7 1(a>的焦点角形的面积为S2 2 F1PF2b2cot—.20,b>0〕内,那么过Po的弦中点的轨2 2迹方程是3线誓岑.a2b2a2b28 .双曲线: I 1 〔a>0,b>o〕的焦a b半径公式：〔F1〔 c,0〕, F2〔c,0〕当M〔X0,y°〕在右支上时,|MF1| ex0 a ,| MF2 | ex0 a.当M〔X0, y°〕在左支上时,|MF1| eX0 a,|MF2| eX0 a9 .设过双曲线焦点F作直线与双曲线椭圆与双曲线的对偶性质-椭1.相交P、Q两点,A为双曲线长轴上一个顶点,连结AP和AQ分别2.交相应于焦点F的双曲线准线于M、N 两点,那么MFXNF.10.过双曲线一个焦点F的直线与双曲3.线交于两点P、Q, A「A2为双曲线2 2椭圆三-yy 1 〔a>b>o〕的两个顶 a b 点为A〔 a,0〕,A2〔a,0〕,与y轴平行的直线交椭圆于P r P2时A1P1与A2P22 2交点的轨迹方程是3多1. a b2 2过椭圆与与1 〔a> 0, b>0〕上任 a b 一点A〔X0,y.〕任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc骆〔常数〕.a y.2 2假设P为椭圆33 1 〔a>b>0〕上 a b实轴上的顶点,A1P和A2Q交于点异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦M, A2P和A1Q交于点N,那么MF点, PFE PF2F1±NF.tan — cot —.2 11. AB是双曲线三a2纭 1 (a> 0,b> 0) b 4. 设椭圆得a24 1 (a>b>0)的两个b2的不平行于对称轴的弦,M 〔X., y°〕焦点为F I、F2,P 〔异于长轴端点〕为椭圆上任意一点,在△ PF1F2中, 记F1PF2 ,PF1F2 , F i F2P ,那么有点F作直线交该椭圆右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,贝E|MN |210.椭圆与ae.22yb21 ( a> b>0)sin c --- ----- e.sin sin a ,A、B、是椭圆上的两点,线段AB的垂直平分线与x轴相交于点25.假设椭圆与a 2 y_b21 (a> b>0)的左、右焦点分别为F i、F2,左准线为L,2 .2P(x°,0),那么a211.设P点是椭圆三aX2 ,2a baa> b>0)那么当0<e<点1时,可在椭圆上求一点P,使得PF i是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.2 26. P为椭圆二与1 (a>b>0)上任a b 上异于长轴端点的任一点,F i、F2 为其焦点记F1PF2 ,那么八2b21) 1P削0、一点,F i,F2为二焦点,A为椭圆内一定点,那么2) S PF1F2 b2tan-.1 2 2212.设A、B是椭圆与a 1 ( a> b2a |AF2 11PA | | PF i | 2a |AF1 |,当且仅当A,F2,P三点共线时,等号成立>0)的长轴两端点,P是椭圆上的一点, PAB ,PBA , BPA , c、e分别是椭圆的半焦距离心率,那么有2 27.椭圆区舁1与直线a bAx By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2(Ax0 By0 C)2.2 28.椭圆一4 1 (a>b>0), O a b为坐标原点,P、Q为椭圆上两动点, 且OP OQ .(1)|PA|tan tanS PAB2 . .2ab |cos |2a2bb213.椭圆9. 1)2)3)2 2c cos1 e2.(3)2.(2)2a2xacot2yb21 ( a>b>0)的右准线l与X轴相交于点E ,过椭圆1 1 1 1 .| OP |2|OQ |2a2b2;|OP2+|OQ|2的最大值为2 2S OPQ的最小值是告红a b右焦点F的直线与椭圆相交于A、B2 24a2b2 .~~2 ,a b2冬i (a>b>0)的右焦b两点,点C在右准线l上,且BC x轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).(注：在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.)17 .椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中央的比例中项.椭圆与双曲线的对偶性质一双曲线2 21 .双曲线二4 1 (a>0,b>0) a b的两个顶点为A( a,0) , A2(a,0), 与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹2 2方程是x2 4 1.a b2 22 .过双曲线与4 1 (a>0,b>o)a b上任一点A(x0,y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,那么直线BC有定向且k Bc 辂(常数).a V.23 .假设P为双曲线与a>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2是焦点,PF1F2 , PF2F1,那么c-a tan—cot—(或c a 2 2c a x----- tan—cot —7.c a 2 22 24.设双曲线与与1 (a>0,b>0) a b的两个焦点为F「F2,P (异于长轴端点)为双曲线上任意一点,在△PF1F2 中,记F1PF2 ,PF1F2 , \F2P ,那么有sin c--------------------- --- e.(sin sin ) a2 25 .假设双曲线-2 -V2- 1 (a>0,b>0) a b的左、右焦点分别为F「F2,左准线为L,那么当1<ew V2 1时,可在双曲线上求一点巳使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项. 2 26 . P为双曲线与4 1 (a>0,b> a b2£ 1( a> 0,b0)上任一点,F I,F2为二焦点,A 为双曲线内一定点,那么2 ,SPF1F2b COt二.22 212.设A、B是双曲线与与a b 1 (aIAF2I 2a |PA| |PF i|,当且仅当>0,b>0)的长轴两端点,P是双曲线上的一点,PABA,F2,P三点共线且P和A, F2在y PBA , BPA , C、e 分别是轴同侧时,等号成立双曲线的半焦距离心率,那么有2 7.双曲线x2 a与直线Ax2y2 1 (a> 0,b> 0) b By C 0有公共点的充要条件是A2a2B2b2C2.2 28.双曲线tI 1 (b>a >a b0), O为坐标原点,P、Q为双曲线上两动点,且OP OQ .1)2)3)2 . .2ab | cos ||PA|「2-N | a c cos |2tan tan 1 e .SPAB2, 22a b ,2一 2 cotb a 213.双曲线占a2j 1 (a> 0,b>(1)| OP |2|OQ I2(2) |OP2+|OQ|2的最小值为2,2(3) S OPQ的最小值是-2巴b2a2 2 4a b . ~22 ；b a2 29.过双曲线与匕1 (a>0,b>0)a b的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点,弦MN的垂直平分线交x轴于P,那么|PF | e .|MN | 22 210.双曲线 \ 4 1 (a>0,b>a b0) ,A、B是双曲线上的两点, 线段AB的垂直平分线与x轴相2 .2交于点P(x°,0),那么x.a~^或 a2 ,2a b x-- .a2 211.设P点是双曲线与与1 (a>a2b20,b> 0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记F1PF2 ,那么⑴|PF1||PF2|产一.⑵1 cos0)的右准线l与x轴相交于点E , 过双曲线右焦点F的直线与双曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上,且BCx轴,那么直线AC经过线段EF的中点.14.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,那么相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.15 .过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,那么该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.16 .双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).〔注：在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点〕.17 .双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.18 .双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中央的比例中项.圆锥曲线问题解题方法圆锥曲线中的知识综合性较强,因而解题时就需要运用多种根底知识、采用多种数学手段来处理问题.熟记各种定义、根本公式、法那么固然重要,但要做到迅速、准确解题,还须掌握一些方法和技巧.一.紧扣定义,灵活解题灵活运用定义,方法往往直接又明了.例1.点A (3, 2), F (2, 0),双曲线2X2匕1,P为双曲线上一点.31求|PA| 1|PF|的最小值.2解析：如下图,双曲线离心率为2, F为右焦点,由第1二定彳t知1|PF|即点P到准线距离.1 5|PA| |PF| |PA| |PE| AM -2 2二.引入参数,简捷明快参数的引入,尤如化学中的催化剂,能简化和加快问题的解决.例2.求共焦点F、共准线l的椭圆短轴端点的轨迹方程.解：取如下图的坐标系,设点F到准线l的距离为p (定值),椭圆中央坐标为M (t, 0) (t为参数) ,叫.2 .b pc pt再设椭圆短轴端点坐标为P (x, y),那么X c ty b ..pt消去t,得轨迹方程y2 px三 .数形结合,直观显示将“数〞与“形〞两者结合起来,充分发挥“数〞的严密性和“形〞的直观性,以数促形,用形助数,结合使用,能使复杂问题简单化,抽象问题形象化.熟练的使用它,常能巧妙地解决许多貌似困难和麻烦的问题.例3.x,y R,且满足方程x2 y2 3(y 0),又m --3 ,求m 范围.解析：m —-的几何意义为,曲线x 3x2 y2 3(y 0)上的点与点(—3, — 3)连线的斜率,如下图四.应用平几,一目了然用代数研究几何问题是解析几何的本质特征,因此,很多“解几〞题中的一些图形性质就和“平几〞知识相关联,要抓住关键,适时引用,问题就会迎刃而解.例4.圆(x 3)2 y2 4和直线y mx的交点为P、Q,那么|OP||OQ|的值为.解：OMP ~ OQN|OP||OQ| |OM||ON| 5五.应用平面向量,简化解题向量的坐标形式与解析几何有机融为一体,因此,平面向量成为解决解析几何知识的有力工具.例5.椭圆：工y- 1 ,直线l :24 16y12 81, P是l上一点,射线OP交椭圆于六.应用曲线系,事半功倍利用曲线系解题,往往简捷明快,收到事半功 倍之效.所以灵活运用曲线系是解析几何中重要 的解题方法和技巧之一.例6.求经过两圆x 2 y 2 6x 4 0和 22x y 6y 28 0的父点,且圆心在直线x y 4 0上的圆的方程.点R,点Q 在OP 上且满足|OQ||OP| |OR|2 ,当 点P 在l 上移动时,求点Q 的轨迹方程.解：设所求圆的方程为：22_22_x 2y 26x 4 (x 2y 26y 28) 0 (1 )x 2 (1)y 2 6x 6 y (284) 0分析：考生见到此题根本上用的都是解析 几何法,给解题带来了很大的难度,而如果用向 量共线的条件便可简便地解出. 解：如图,OQ, OR, OP 共线,设 OR OQ , OP OQ , OQ (x, y),贝U 那么圆心为(」_ , _J_),在直线11x y 4 0 上解得 7故所求的方程为x 2 y 2 x 7y 32 0OR ( x, y) , OP ( x, y) 2七.巧用点差,简捷易行在圆锥曲线中求线段中点轨迹方程,往往采用 点差法,此法比其它方法更简捷一些.例7.过点A (2, 1)的直线与双曲线2x 2 — 1相交于两点P 1、P 2,求线段P 1P 2中点2的轨迹方程.解：设 P ,(x1,Y I ) , P 2(x 2, y 2),那么2X I 2 X22 Y I2 2Y 2 2|OQ||OP| |OR| <2> —<1> 得(X 2 X I )(X I X 2)1 2(Y 2 Y I )(Y I2Y 2)2 22 |OQ|2 2|OQ|22点R 在椭圆上,P 点在直线l 上 2 222———匕1,三△ 12416 12 8 2 2即士 L 二y241612 8化简整理得点Q 的轨迹方程为： 22 _(x 1) (y 1) 2 … -—广1(直线y — x 上万 5 5 323局部) 即 Y 2 Y I2( X I X 2) X 2 X IY I Y 2设P 1P 2的中点为M(X O , y 0),那么kP 1P 2Y 2 Y Ix 2 X 12xY O又,而P I 、A 、M 、P 2共线k P 1P2k AM,即^X O 2Y O的轨迹方程是2x 2 y 2 4x y 0P 1P 2中点M解析几何题怎么解高考解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解做题),共计30分左右,考查的 知识点约为20个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线,圆, 圆锥曲线,参数方程和极坐标系中的根底知识.解做题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识 的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆车t 曲线的位置关系,求解有时还要用到平几的基 本知识,这点值得考生在复课时强化.例1点T 是半圆O 的直径AB 上一点,AB=2、OT=t (0<t<1),以AB 为直腰作直角梯形 AA B B ,使AA 垂直且等于AT,使BB 垂直且等于BT , A B 交半圆于P 、Q 两点,建立如图所 示的直角坐标系.⑴写出直线A B 的方程； (2)计算出点P 、Q 的坐标;(3)证实：由点P 发出的光线,经AB 反射后,反射光线 通过点Q.饼斛：通过I 卖图,看出A , B 点的坐标. 一…' ' .'一 ,.…(1 )显然A 1,1 t , B 1,1 t ,于是直线A B 的方程为ytx 1 ;222(2)由方程组 x y 1,解出 P(0,1)、Q(1/,」^)； y tx 1, 1 t 1 t由直线PT 的斜率和直线QT 的斜率互为相反数知,由点 P 发出的光线经点T 反射,反射光线通 过点Q.需要注意的是,Q 点的坐标本质上是三角中的万能公式,有趣吗？22例2直线l 与椭圆\ J 1(a b 0)有且仅有一个交点Q,且与x 轴、y 轴分别交于R 、S, a b 求以线段SR 为对角线的矩形ORPS 的一个顶点P 的轨迹方程.讲解：从直线l 所处的位置,设出直线l 的方程,由,直线l 不过椭圆的四个顶点,所以设直线l 的方程为y kx m(k 0). 代入椭圆方程 b 2x 2 a 2y 2 a 2b 2,得 b 2x 2 a 2(k 2x 2 2kmx m 2)a 2b 2.化简后,得关于x 的一■兀二次方程 (a 2k 2b 2)x 2 2ka 2mxa 2m 2 a 2b 20.于是其判别式(2ka 2m)2 4(a 2k 2 b 2)(a 2m 2 a 2b 2) 4a 2b 2(a 2k 2 b 2 m 2).由,得^ 二0 .即a 2k 2 b 2 m 2.①在直线方程y kx m 中,分别令y=0, x=0,求得R ( —,0),S(0,m). k(3) k PTk QT2t1t(it 2昌m I, y x—, k — 令顶点P 的坐标为(x, y), 由,得 k解得 xym.m y.2, 2代入①式并整理,得 a 2 b 2 1,即为所求顶点P 的轨迹方程.x 2 3 y 22. 2方程土上1形似椭圆的标准方程,你能画出它的图形吗？22x y例3双曲线x 2 4 1的离心率e .,过A (a,0),B(0, b)的直线到原点的距离是 —.a 2b 2 32(1)求双曲线的方程；的值.设C(x i ,y i ),D(x 2,y 2),CD 的中点是 E(x o ,y o ),那么2(2)考虑直线l 的斜率的存在性,可分两种情况:解出 e i)当k 存在时,设l 的方程为y k(x c)于是椭圆方程可转化为x 2 2y 2 2c 2 0 ................................. ②(2)直线y kx5(k 0)交双曲线于不同的点 C, D 且C, D 都在以B 为圆心的圆上,求k讲解：:( 1) £ a2卡原点到直线AB:二 1的距离dab ■..a 2 1, ab 2■、.ab c、3~2~故所求双曲线方程为x 2 2V y 1.(2)把y kx 5代入x 23y 23中消去y,整理得(12 23k 2)x 230kx 78x .x 1x 22 15 k U y 0kx 05； : । 2 , kBE1 3ky 01x 0x 0 ky 0 k0,即15 k 3k 25 k---------- - k 0,又 k 1 3k 20, k故所求k= ± a.为了求出 k 的值,需要通过消元,想法设法建构k 的方程.例4椭圆 C 的中央在原点,焦点F I 、F 2在x 轴上,点P 为椭圆上的一个动点, 的最大值为90° ,直线l 过左焦点F I 与椭圆交于A 、B 两点,4ABF 2的面积最大值为 且/ 12.F 1PF 2(1)求椭圆C 的离心率; (2)求椭圆C 的方程. 讲解: (D 设IPF I I「I ,|PF 2| "F I F 2|2c ,对PF I F 2,由余弦定理,得cos F 1PF 21 22r 1 r 2 4c2rj 2(.L)22r 1r 2 4c 2 2rj 24a 4c 1------------- 1 1 r 1 r 2 2 2(七壬卜面给出此题的另一解法,请读者比拟二者的优劣: 设过左焦点的直线方程为：x my c (这样设直线方程的好处是什么？还请读者进一步反思反思 2 2椭圆的方程为：x ^ \ 1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2) a b 由e 字得：a 2 2c 2,b 2 c 2,于是椭圆方程可化为: 把①代入②并整理得：(m 2 2)y 2 2mcy c 2 于是y 〞y 2是上述方程的两根. AB 边上的高h 一c1 m 2当且仅当m=0取等号,即S max 收02. 由题意知v2c 2 12,于是b 2 c 2 66,a 2 12V2 .故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上 工12. 262将①代入②,消去y 得 x 2 2k 2(x c)2 2c 20,整理为x 的一元二次方程,得._2、22_2.2、 一(1 2k )x 4ck x 2c (k 1) 0.那么x i 、x 2是上述方程的两根.且 | x 2 x i | 2 .. 2c1 k AB 边上的高 h | FR | sin BF 1 F 21 2c |k|,2,1 k2kk 2| x 2 x i |2 2c(1 k 2)；~2,1 2k厂也可这样求解:2c 1cc/1 k 2、 |k | c S -2 2c( 2) |—| 22c212k1 k 212产区| M y 2|2.2c 2.rviki 1 2k 2k 2k 4k 24k 42'2"1 1 42k k,2c 2.c | k | | x ix 2 |ii)当k 不存在时,把直线x c 代入椭圆方程得 y£c ,|AB|由①②知S 的最大值为V2c 2由题意得2c 2 = 12所以c 2 6 2 b 212 2故当△ ABF 2面积最大时椭圆的方程为： 上12. 2 2V 1.6 2x 2 2y 2 2c 2 0 .................. (2|AB| \(x 1、2 z、2x ) (y1 m2 | y 2 y 1|1 m2 4m2 2, 2,2c 4c (m 2)2m 2-22 2c(1 m 2)从而 S l|AB|h 二2 2c(1m2)22 m 2 22c221 m22 2c 21m2c(m 2)22 2c 2■ m1 1 122m 212c 2. 1.2 2例5直线y x 1与椭圆之与1〔a b 0〕相交于A、B两点,且线段AB的中点在直 a b 线l :x 2y 0上.〔1〕求此椭圆的离心率；〔2 〕假设椭圆的右焦点关于直线l的对称点的在圆x2y24上,求此椭圆的方程.y 讲解：〔1〕设A、B两点的坐标分别为A〔x1,y〕 BM, y?〕.那么由x2-2 a2 2、 2 2 2 2(a b )x 2a x a a,- 4.2如果| AB | ——,求直线MQ的万程；〔2〕求动弦AB的3中点P的轨迹方程.、… r 4、2讲解：〔1〕由1A Bi可,可得|MP| J MA |2 (LA%2J12(迪)2 1,由射影定理,得2 . 3 3|MB |2|MP | |MQ |,得|MQ | 3,在RtAMOQ 中,|OQ | <| MQ |2 |MO |2、32 2 2 M5 ,故a 盘或a <5 ,所以直线AB方程是2x J5y 2运 0或2x 岛2匹 0; x 1, y2行2_ 1 b2根据韦达定理,得x1 x2与,,y2函 a bX2)2b 2a2b2「•线段AB的中点坐标为〔2 .2a b~2 -2 , -2 ~2 a b a b2由得二J a2b22b-2 a 厂0, a2 2b2 2(a2 c2) 2c2,故椭圆的离心率为〔2〕由〔1〕知 b c,从而椭圆的右焦点坐标为F〔b,0〕,设F〔b,0〕关于直线l:x 2y 0的对称点为(x°, y°),那么也x0 b 2 f 0,解得X. 3 b且y°2 b 55由得4,3 2(b)52 2(-b)2 4, b24,故所求的椭圆方程为—1 .5 8 4.M:x2(y 2〕2 1,Q是x轴上的动点,QA, QB分别切.M于A, B两点, (DC............ I _ z — I 1............................... ~~z 2 y_2(2)连接MB, MQ,设P(x,y),Q(a,0),由点M, P, Q 在一直线上,得一 -一,(*) a x由射影定理得| MB |2 |MP | | MQ |,即 &一(y 2)2 商—4 1,(**)7 c 1把(*)及(**)洎去a,并注意到y 2,可得x2(y -)2—(y 2).4 16适时应用平面几何知识,这是快速解答此题的要害所在,还请读者反思其中的微妙a—例- 如图,在Rt^ABC 中,/CBA=90° , AB=2 , AC=旧.2DO=2 ,曲线E过C点,动点P在E上运动,且保持| PA |+| PB |的值不变.(1)建立适当的坐标系,求曲线E的方程；(2)过D点的直线L与曲线E相交于不同的两点M、N且M在D、N之间,设-DM ,试确定DNDO LAB 于.点,OA=OB ,实数讲解: 的取值范围.(1)建立平面直角坐标系,如下图 : | PA |+| PB |=| CA |+|CB | V=得 22 ( 22)22V2「•动点P的轨迹是椭圆;、区b 1,c 1；曲线E的方程是(2)设直线L的方程为y kx 2,代入曲线E的方程x i 2y2 2,得(2k22(8k)2 4(2k 1)8k x2x〔x22 ,2k2 162 .2k 1i) L与y轴重合时, ii) L与y轴不重合时, x2x1 0,.(x〔x2)2x1 x2xx2x2x i1)x2 8kx 0设M1 ( 〞乂), N(x2, y),0,| DM |rDNu由①得DMDNxD X MX D X Nx1x2 x1 0, .,.0< < 1 ,1 2-.(x x2)2x1 x264k226(2k2 1)3213(2 -7)k那抛物线有两个不同的交点,因此l 与l 不重合,l 不是CD 的垂直平分线.此题是课此题的深化,你能够找到它的原形吗？知识在记忆中积累,水平在联想中提升 .课本是 高测试题的生长点,复课切忌忘掉课本!1,A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)由 e / 得 a 2 2c 2,b21 .,・•・ 6 3(2-2) 8.■ ■ 432V~ 3(2 -r) k16 ・二 4 16 31,10 32, 1.的取值范围是10 3值得读者注意的是,直线 L 与y 轴重合的情况易于遗漏,应当引起警惕.例8直线l 过抛物线y 22 Px(p 0)的焦点,且与抛物线相交于 A (x 1, y 1)和B(x 2, y 2)两点.(1)求证：4x 1x 2p 2; (2)求证:对于抛物线的任意给定的一条弦 CD,直线l 不是CD 的垂直平分线.讲解：(1)易求得抛物线的焦点F (£°). 2,2 …・右l ,x 轴,那么l 的方程为x P 显然x 1x 2 —.右l 不垂直于x2,八〞 4 轴,可设y k(x P),代入抛物线方程整理得 2__ _ 2x 2P(1 ,)x — k 4 0,那么x 1x 2—.综上可知 4X I X 24.2. 2(2)设C(J c) D(L d)且c d ,那么CD 的垂直平分线l 的万程为y Jd 2p' ' 2p' 2c d——(x 2P2 2〞) 4P假设l 过F,那么0,2, 2一3(R c d )整理得 (c d)(2p 2 c 2 d 2) 2p 2 4p2p 2 c 2 d 2 0 ,d 0.这时l 的方程为y=0,从而l 与抛物线y 2 Px 只相交于原点.而l 与。

高二数学平面向量试题答案及解析1.设是单位向量，且，则的值为．【答案】【解析】。

2.已知、是非零向量且满足，，则与的夹角是_______．【答案】【解析】略3.已知点O为直线外任一点，点A、B、C都在直线上，且，则实数【答案】-2【解析】略4.已知矩阵，向量.（1）求矩阵的特征值、和特征向量、；（2）求的值.【答案】解：(1),当时，得,当时，得.(2).【解析】解：(1)矩阵的特征多项式为，令，得,当时，得,当时，得. …………………6分(2)由得，得.∴.……………………14分5.若向量，且与的夹角余弦为，则等于_________________.【答案】【解析】略6.已知则 ,．【答案】；【解析】由三边可知，以向量为邻边的平行四边形是菱形，夹角为，，为另一对角线长度为1【考点】向量运算与三角形法则7.若向量，=(m，m+1)，且∥，则实数m的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为两向量平行，所以，所以，故选A．【考点】向量平行的充要条件的坐标表示8.已知向量与的夹角为且，若，且，则实数的值为A．B．1C．2D．【答案】B【解析】因为，所以，所以得．【考点】1．数量积；2．向量垂直．9.已知，，若，，且，则_________．【答案】【解析】因为，所以．【考点】1．数量积；2．向量垂直．10.（本小题满分12分）设平面向量，，函数．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递增区间．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）先由向量数量积的定义写出函数，然后应用辅助角公式将函数化成的形式，再由公式求得函数的最小正周期；（Ⅱ）由求得的取值区间即为函数的增区间．试题解析：（Ⅰ）所以，的最小正周期为．（Ⅱ）由得所以，的单调递增区间为．【考点】1．向量的数量积；2．三角恒等变形公式；3．三角函数的性质．11.（本小题共12分）设向量（1）若，求x的值；（2）设函数，求的最大值．【答案】（1）；（2）．【解析】主要考察向量数量积的坐标表示的相关问题，（1）首先表示和，令其相等，得到：，然后再解方程；（2）第一步，先利用数量积的坐标表示得到函数，并化简为，第二步，然后根据，求的范围，并算得其最值．试题解析：（1）由及得：又，从而，所以．（2）当时，取得最大值所以函数的最大值是．【考点】1．向量数量积的坐标表示；2．三角函数的化简和性质．12.已知点，曲线C：恒过定点B，P为曲线C上的动点且的最小值为2，则（）A．﹣2B．﹣1C．2D．1【答案】D【解析】曲线C：恒过点B，则令，可得，即，又点，设，则，由于在（0，+∞）上有最小值2，且，故是的极值点，即最小值点．，恒成立，在（0，+∞）上是增函数，所以没有最小值；故不符合题意；当a＞0，时，，函数在是减函数，在是增函数，所以有最小值为，即，解得；故选D．【考点】平面向量数量积的运算．13.已知平面向量，且，则实数的值为（）A．1B．4C．D．【答案】D【解析】因为，所以．故选D．【考点】向量平行的充要条件．14.已知||=2，||=4，⊥（＋），则与夹角的度数为．【答案】120【解析】设与夹角为．由⊥（＋）得，，解得，所以．【考点】向量的数量积及其运算律并求向量的夹角．15.（12分）已知向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）（其中≤ω≤），函数f（x）=•，且f（x）图象的一条对称轴为x=．（1）求f（π）的值；（2）若f（）=，f（﹣）=，且，求cos（α﹣β）的值．【答案】（1）f（）=﹣1；（2）cos（α﹣β）=．【解析】（1）由向量的数量积公式得出函数f（x）的解析式，再由对称轴方程求出,从而得出函数f（x）的解析式，最后将代入解析式求值即可；（2）利用已知条件可求出的正弦、余弦值，然后利用两角差的余弦公式即可求出cos（α﹣β）的值．试题解析：（1）∵向量=（cosωx，1），=（2sin（ωx+），﹣1）=（（sinωx+cosωx），﹣1）∴函数f（x）=•=2cosωx（sinωx+cosωx）﹣1=2sinωxcosωx+2cos2ωx﹣1=sin2ωx+cos2ωx=sin（2ωx+），∵f（x）图象的一条对称轴为x = ．∴2ω×+=+kπ，（k∈Z）．又由≤ω≤，∴ω=1，∴f（x）=sin（2x+），∴f（）=sin（2×π+）=﹣cos=﹣1，（2）∵f（）=，f（﹣）=，∴sinα=，sinβ=，∵，∴cosα=，cosβ=，【考点】由三角函数的性质求其解析式并运用其求三角函数值、利用两角差的余弦公式求值．16.如图,设为内的两点,且,＝＋,则的面积与的面积之比为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，由平行四边形法则知，所以，同理，故．故答案为：B．【考点】平面向量共线．【思路点睛】首先，利用向量的运算法则——平行四边形法则作出P，利用同底的三角形的面积等于高的比求出，然后再平行四边形法则作出Q,同理可求出，再将两个式子相比，即可求出的面积与的面积之比．17.已知点，动点满足条件，则动点的轨迹方程．【答案】【解析】依题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，又∵．∴，∴所求方程为：．【考点】双曲线的定义．18.设两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，则下列推理①；②；③；④其中正确的命题序号是（）A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】B【解析】两不同直线的方向向量分别是，平面的法向量是，，故①错，所以答案为B【考点】空间向量．【方法点睛】可根据两条直线的方向向量平行，则两条直线平行，两条直线的方向向量垂直，两条直线也垂直，直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直，我们结合空间直线与直线，直线与平面位置关系的判断方法，逐一分析已知中的四个命题，即可得到答案．向量方法证明线、面位置关系，其中熟练掌握两条直线的方向向量的夹角与直线夹角的关系，直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面夹角的关系，两个平面的法向量的夹角与二面角之间的关系，是解答此类问题的关键．19.在各项均为正数的等比数列中，和是方程的两根，向量，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】和是方程的两根，由【考点】1．等比数列性质；2．向量的数量积运算20.已知向量，，且与互相垂直，则的值是（）A．1B．C．D．【答案】D【解析】由题意可得，因为与垂直，所以，解得．故D正确．【考点】空间向量垂直问题．21.已知过点且斜率为的直线与圆交于两点．（1）求的取值范围；（2）若，其中O为坐标原点，求．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径列出不等式，解之即可求的取值范围；（2）设，联立方程，化简得，由韦达定理写出与的关系，代入向量表达式，可求出的值，从而求出直线方程，即可求的长．试题解析：（1）由题设，可知直线的方程为，因为与交于两点，所以．解得，所以k的取值范围为．（2）设．将代入方程，整理得，所以，，由题设可得，解得，所以的方程为．故圆心在直线上，所以．【考点】1．直线与圆的位置关系；2．向量的坐标运算．【名师】本题主要考查的是直线与圆的位置关系与向量的坐标运算，属于中档题．直线与圆的位置关系的判断可用几何法或代数法:几何法即由圆心到直线的距离来判断，当时，直线与圆相交；当时，直线与圆相切；当时，直线与圆相离；代数法即联立方程组用一元二次方程的判别式来判断，即时，直线与圆相交；时，直线与圆相切；时，直线与圆相离；实际解题时用几何法比代数法简单．22.在直角坐标系中，已知两点，；，是一元二次方程两个不等实根，且、两点都在直线上．（1）求；（2）为何值时与夹角为．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由判别式大于0求出a的范围，利用根与系数关系结合A、B两点都在直线上求得;（2）求出方程的根，结合A、B两点都在直线上可得x1=y2，x2=y1，求出，再由数量积公式求出,与（1）中的结合得到关于的方程，求解方程得答案试题解析：（1）、是方程两个不等实根，解之，又、两点都在直线上，（2）由题意设，，同理当与夹角为时，解之即为所求．【考点】一元二次方程的根与系数关系及平面向量的数量积运算．【方法点睛】求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．主体应用时可根据已知条件的特征来选择，同时要注意数量积的运算律．23.已知为的外心，以线段为邻边作平行四边形，第四个顶点为，再以为邻边作平行四边形，它的第四个顶点为．（1）若，试用、、表示；（2）证明：；（3）若的，，外接圆的半径为，用表示．【答案】（1）;（2）证明见解析；（3）【解析】（1）利用向量加法的平行四边形法则，用已知向量表示向量（2）要证明向量只要证明利用O是三角形的外心，可得然后用向量然后用向量、、表示（3）利用已知的角，结合向量的数量积把已知的两边平方整理可得外接圆半径试题解析：（1）由平行四边形法则可得：,即；（2） O是的外心，，即，而，,，；（3）在中, 为的外心，，，于是，，【考点】向量的加法的平行四边形法则，两向量垂直的证明方法及向量数量积的定义．【方法点睛】（1）当向量与是坐标形式给出时，若证明，则只需证明；（2）当是非坐标形式时，要把用已知的不共线的向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行证明；（3）利用向量垂直于平行的条件进行构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧．24.已知向量则A．2或3B．－1或6C．6D．2【答案】D【解析】由得【考点】向量的坐标运算25.已知、均为单位向量，它们的夹角为，那么等于（）A．B．C．D．4【答案】C【解析】根据已知可得：，故选择C【考点】求向量的模26.已知A点坐标为，B点坐标为，且动点到点的距离是，线段的垂直平分线交线段于点．（1）求动点的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求的最大值和最小值．【答案】（1）；（2），．【解析】（1）根据题意知，所以的轨迹是以为焦点的椭圆，且，所以轨迹的方程为；（2）设点则，根据两点之间的距离公式得：，化简得：，又有椭圆的范围知，求函数的最值．试题解析：（1）∵；又，∴的轨迹是以为焦点的椭圆，∵，∴，所求轨迹方程为．（2）解：设点则【考点】1、椭圆的定义；2、椭圆的标准方程；3、两点间距离；4、二次函数的最值．【方法点晴】本题主要考查的是利用椭圆的定义确定点的轨迹、椭圆的标准方程及椭圆的性质，两点间距离，二次函数求最值，属于中档题题．求点的轨迹时，可以根据某些曲线的定义先确定轨迹，再求其轨迹方程，在利用二次函数求最值的过程中，一定要分析自变量的取值范围，否则容易产生错误．27.已知为圆上三点，的延长线与线段的延长线交于圆外点。

直线圆锥曲线有关向量的问题高考考什么知识要点：1．直线与圆锥曲线的公共点的情况00),(02=++⇒⎩⎨⎧==++C Bx Ax y x f c by ax 曲线：直线：)0'''(2=++C y B yA 或（1）没有公共点 → 方程组无解 （2）一个公共点 → 0,0)0)=∆≠→=→A ii A i 相切相交（3）两个公共点 → 0,0>∆≠A2．连结圆锥曲线上两个点的线段称为圆锥曲线的弦，要能熟练地利用方程的根与系数关系来计算弦长，常用的弦长公式：1212AB x y =-=-3．以平面向量作为工具，综合处理有关长度、角度、共线、平行、垂直、射影等问题 4.几何与向量综合时可能出现的向量内容（1） 给出直线的方向向量或；（2）给出与相交,等于已知过的中点;（3）给出,等于已知是的中点;（4）给出,等于已知A 、B 与PQ 的中点三点共线;（5） 给出以下情形之一：①；②存在实数；③若存在实数,等于已知三点共线.（6） 给出，等于已知是的定比分点，为定比，即 （7） 给出,等于已知,即是直角,给出,等于已知是钝角, 给出,等于已知是锐角。

（8）给出,等于已知是的平分线。

（9）在平行四边形中，给出，等于已知是菱形;（10）在平行四边形中，给出，等于已知是矩形;（11）在中，给出，等于已知是的外心（三角形外接圆的圆心，三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点）；（12）在中，给出，等于已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点）；（13）在中，给出，等于已知是的垂心（三角形的垂心是三角形三条高的交点）；（14）在中，给出等于已知通过的内心；（15）在中，给出等于已知是的内心（三角形内切圆的圆心，三角形的内心是三角形三条角平分线的交点）；（16）在中，给出,等于已知是中边的中线;高考怎么考主要题型：1．三点共线问题；2．公共点个数问题；3．弦长问题；4．中点问题；5．定比分点问题；6．对称问题；7．平行与垂直问题；8．角的问题。