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一元二次方程复习课

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一元二次方程复习讲义1．一元二次方程的概念方程中只含一个未知数，并且未知数最高次数是二次，这样的整式方程叫一元二次方程。

下列方程是一元二次方程吗？为什么？①2x 2-3x+1=0 ②x 2+y+2=3x ③323212-=-+x x x ④(2x+1)2-(4x+1)(x+1)=22．一元二次方程的解能够使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解，这与一元一次方程，二元一次方程的解的意义一样。

判断方程后面的数是否是方程的解：（1）2x 2-3x+1=0 (21,1) (2)x 2-33+x =0 (1,3) (3)(2x-1)2=3 (213,213-+)例1．求出下列方程二次项，一次项及常数项：（1）6x 2=5x+2,(2)(3x-1)(x+2)=2133.直接开平方法解一元二次方程.对于形如x 2=m 或(ax+n)2=m(a≠0,m≥0)的型的一元二次方程,即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方,而另一边是一个非负数,可用直接开平方法求解.因为负数没有平方根,所以当m<0时,x 2=m 或(ax+n)2=m 无解例2．用直接开方法解方程. ①91)13(2=-x ②(3x-1)2=0 ③91)13(2-=-x4.运用配方法解一元二次方程通过配方的方法把一元二次方程转化成形如(ax+b)2=m 的形式,再运用直接开平方的方法求解.用配方法解一元二次方程的步骤如下:(1)把方程中含有未知数的项移到方程的左边,常数项移到方程的右边.(2)根据等式的性质把二次项的系数化为1.(3)把方程两边都加上一次项系数一半的平方,使左边配成一个完全平方式.这时,方程右边如果是一个非负数,就可直接用开平方的方法求出它的解,如果方程右边是负数,则这个方程无解.5．运用求根公式解一元二次方程。

运用公式解一元二次方程的步骤：（1）将方程化为一元二次方程一般形式。

（2）确定a 、b 、c 的值。

（3）求出b 2-4ac 的值,确定方程是否有实根.（4）代入求根公式求根。

例3．运用求根公式解下列方程：（1）5x 2=3x (2)x 2-x 22+2=0 (3)(y-1)(y+3)+5=0例4．已知一个直角三角形的两直角边的长恰当方程2x 2-8x+7=0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 A.3 B.3 C.6 D.96.因式分解法解一元二次方程的根据:如果两个因式的积等于0,那么这两个因式至少有一个为0,反过来,如果两个因式中有一个因式为0那么它们之积为0.例如: (2-7x)(5x-3)=0,则 或因式分解法解一元二次方程的方法及步骤:(1)将方程的右边化为0;(2)把方程的左边分解为两个一次因式的积;(3)令每个因式为0,得到两个一元一次方程;(4)解这两个一元一次方程得原方程的解.例5.用因式分解法解下列方程:(1)(2x-1)2+3(1-2x)=0 (2)(1-3x)2=16(2x+3)2 (3)x 2+6x-7=07.建立一元二次方程模型解决实际问题列一元二次方程解应用题步骤:(1)审题:弄清题意,找出已知量和未知量,并分清数量关系,明确所求的量.(2)设出未知数,根据题意,设出合适的未知数,根据所设未知数,列出有关的代数式.(3)分析等量关系:即找到能反映全部意义的相等关系.(4)列方程:根据等量关系列出方程。

(5)解方程(6)检验:检验所求得的解是否符合题意,正确取舍。

(7)写出答案例6.某商店如果将进货为8元的商品每件10元售出,每天可销售200件,通过一段时间的摸索,该店主发现这种商品每涨价0.5元,其销售量就减少10件,每降价0.5元,其销售量就增加10件.(1)你能帮助店主设计一种方案,使每天的利润达到700元吗?(2)将售价定为每价多少元时,能使这天所获利润最大?最大利润是多少?例7.某网络公司2000年各项经营收入中,经营电脑配件收入600万元,占全部经营总收入的40%,该公司预计2002年经营总收入达到2160万元,且计划从2000到2002年每年经营总收入的年增长率相同,问2001年的预计经营总收入为多少万元?例8.一建筑工地要用木栏围出一片长方形的安全地带,如图所示,安全区一边靠着建筑物,现有木栏长400米.(1)围出的安全区面积能到达19200平方米吗?能达到20000平方米吗?如果能请给出设计方案;如果不能请说明理由.(2)你能设计出一种方案,使围出的安全区面积最大吗?与同伴交流一下自己的设计方案.课堂练习一、选择题。

1.关于x 的一元二次方程2mx 2-x+m 2=0有一根为-1,则m 的值应为 A.1,-1 B.-1 C.1 D.21 2.方程(x+1)2-2=0的根是 A.21,2121-=+=x x B. 21,2121+-=+=x xC. 21,2121+=--=x xD. 21,2121--=+-=x x3.若x 2-mx+41是一个完全平方式,则m= A.1 B.-1 C.±1 D.以上均不对4.方程(x-2)2=(3-2x)2可化为A.x-2=3-2xB.x-2=2x-3C.x-2=3-2x 或x-2=2x-3D.以上均不对5.对于二次三项式2x 2+4x+5的值,下列叙述正确的是A.一定为正数B.可为正数,也可能为负数C.一定为负数D.其值的符号与x 值有关6.若代数式4x 2-2x-5与2x 2+1的值互为相反数,则x 的值为A.1或23-B.1或32- C.-1或32 D.1或23 7.利用求根公式求x x 62152=+的根时,a,b,c 的值分别是 A.5, 21,6 B.5,6, 21 C.5,-6, 21 D.5,-6,- 21 8.对于一元二次方程ax 2+bx+c=0,下列叙述正确的是A.方程总有两个实数根B.只有当b 2-4ac ≥0时,才有两实根C.当b 2-4ac<0时,方程只有一个实根D.当b 2-4ac=0时,方程无实根9.已知三角形两边长分别是1和2,第三边的长为2x 2-5x+3=0的根,则这个三角形的周长是 A.4 B.214 C.4或214 D.不存在 10.某超市一月份的营业额为200万元,一,二,三月份的营业额为1000万元,设平均每月的营业额为增长率为x,则由题意列方程为A.200+200×2x=1000B.200(1+x)2=1000C.200+200×3x=1000D.200[1+(1+x)+(1+x)2]=100011.北京市政府为迎接2008年奥运会,决定改善城市面貌,绿化环境,计划经过两年时间,绿地面积增加44%,则这两年平均每年绿地面积的增长率是A.19%B.20%C.21%D.25%二、填空题。

12.①+-x x 212 =(x- )2 ②++x x 252 =(x+ )2 13.某种手表的成本在两年内以100元降低到81元,那么平均每年降低成本的百分率是 .14.请写出一个一元二次方程,使其没有实数根,你写的方程是15.已知(x 2+y 2+1)2=4,则x 2+y 2=16．有一间长20米，宽15米的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的21 ，四周未铺地毯的留空宽度相同，则留空的宽度为 三、解答题。

17.一次会议上,每两个参加会议的人都相互握了一次手,有人统计一共握了210次手,你能根据上述提供的信息求出参加此次会议的有多少人吗?18.要建一个面积为150m2的长方形养鸡场,为了节约材料,鸡场的一边靠着原有的一堵墙,墙长为a米,另三边用竹篱笆围成,如果篱笆长为35米(1)你能求出鸡场的长与宽吗?试试看. (2)题中的墙的长度a对解题有什么作用.19.某商场销售一批名牌衬衫,平均每天可以售出20件,每件盈利40元,为了扩大销售,增加利润,尽量减少库存,商场决定采取适当的降价措施,经调查发现,如果每件衬衫降价1元,商场平均每天多售出2件,若商场平均每天要盈利1200元,每件衬衫应降价多少元?20.某儿童玩具商店将进货价为30元的一种玩具以40元售出,平均每月能售出600个.调查表明:这种玩具售价每上涨1元,其销售量将减少10个,为了实现平均每月12000元的销售利润,这种玩具的售价应定为多少?这时进这种玩具多少个?21.据2001年中国环境状况公报,我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里,其中风蚀造成水土流失面积比水蚀造成的水土流失面积多26万平方公里.(1)问水蚀,风蚀造成的水土流失面积各是多少平方公里?(2)西北某省重视水土流失问题,2001年治理了水土流失面积400平方公里,该省逐年加大治理力度,计划今明两年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数,到2003年底,使这三年治理水土流失面积达到1324平方公里,求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数.22.某玩具厂生产一种玩具熊猫,每日最高产量为40只,且每日产出的产品全部售出,已知生产x只玩具熊猫的成本为R(元),售价为每只P(元),且R,P与x的关系式为R=500+30x,P=170-2x,当日产量为多少时,每日获得的利润为1750元?23.某公司向银行贷款20万元资金,约定两年到期时一次性还本付息,利息是本金的12%,该公司利用这笔贷款经营,两年到期时除还清贷款的本金及利息外,还盈余6.4万元,若在经营期间每一年比前一年资金增长百分数相同,试求出这个百分数.24.宏达汽车租货公司共有出租车120辆,每辆汽车的日租金为160元,出租业务天\天供不应求,为适应市场需求,经有关部门批准,公司准备适当提高日租金,经市场调查发现,一辆汽车日租金每增加10元,每天出租的汽车相应地减少6辆.若不考虑其它因素,公司将每辆汽车的日租金提高几个10元?(1)能使公司的日租金总收入达到19380元?(2)使公司的日租金总收入最高?最高是多少?25.某商场第一年初投入50万元进行商品经营,以后每年年终将当年获得的年利润与当年年初投入资金相加所得的总资金,作为下一年年初投入资金继续进行经营.(1)如果第一年的年利率为p,则第一年年终的总金可用代数式表示为万元.(2)如果第二年的年获利率比第一年的年获利率多10个百分点,第二年年终的总资金为66万元,求第一年的年获利率.。

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一元二次方程复习课件

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32 x X 2
32 x X 2
X 32-2X
一元二次方程解法的复习
例6、有一堆砖能砌12米长的围墙,现要围一个20
平方米的鸡场,鸡场的一边靠墙(墙长7米),其余三
边用砖砌成,墙对面开一个1米宽的门,求鸡场的长
和宽各是多少米?
解：设鸡场的宽为x米，则长为（12+1-2x） =（13-2x）米，列方程得： X（13-2x）=20 解得：x1=4，x2=2.5 经检验：两根都符合题意 ∴13-2x=5或8 （舍去）
(4):主要用到的数学思想方法
分类讨论
知识聚焦
一元二次方程根的判别式
一元二次方程 ax 2
bx c 0a 0根的判式是:
b 4ac
2
一元二次方程
判别式的情况
ax bx c 0a 0
2
根的情况
定理与逆定理
b 2 4ac 0 两个不相等实根 b 2 4ac 0 两个相等实根 b 2 4ac 0 无实根(无解)
一:回顾与总结
在解答下列各小题过程中，回顾用到了哪些知识点？
① 只含有一个未知数
1:下列方程中,属于一元二次方程的是( c ) 3 (1):一元二次方程的三要素 ② 未知数的最高次数是2次 2 A : 2 x y 1 0 B : x 2x 1 0 ③ 两边是整式
1 C : x 2 x 3 0 D : 2 3x 2 0 3x
当方程中有括号时,思考方法是:
1:应先用整体思想考虑有没有简单方法; 2:若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理 为一般形式再选取合理的方法。
变式1: 2(x-2)2+5(2-x)-3=0 2-x 变式2:
一元二次方程复习课(绝对经典)

一元二次方程复习课(绝对经典)

2
2
关于 x的一元二次方程 x (2k 3) x k 0有
2 2
两个不相等的实数根 、
(1)求k的取值范围； （ ）若 6, 求（ ） 3 5的值 2 解： )由题意得， (2
2
解得， k1 1, k 2 3 3 k , k 1 4
2 8、x 2 4 x 2 0, 请用配方法转化成（ m） n的 x
形式，则
( x 2) 2
2
9、请写出一个一元二次方程，
它的根为-1和2
(x+1)(x-2)=0
将4个数a、b、c、d排成2行2列，两边各加一条竖线记成
a b a b , 定义 ad bc，这个式子叫做2阶行列式。 c d c d 若 x+1 x-1 1-x x+1 =6则x=
的一个根是-1，则
4 , 另一根为______ x=-3
若a为方程 x2 x 5 0 的解，则 a 2 a 1 的值 为 6
6、若a是方程x 3x 3 0的一个根，则
2
3a 9a 2
2
11
2
7、n是方程x m x n 0一个根（n 0）， n m -1
2、若（m+2）x 2 +（m-2） x -2=0是关于x的一元二 ≠－ 2 次方程则m 。
一元二次方程的一般式
ax bx c 0 （a≠0）
2
一元二次方程 一般形式 二次项系 一次项 常数项 数 系数
3x²=1
2y(y-3)= -4
3x²-1=0
2y2-6y+4=0
3 2
0
-6
-1 4
一元二次方程复习课件

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初三数学第21章一元二次方程复习讲义一、一元二次方程的定义方程中只含有一个未知数，•并且未知数的最高次数是2，•这样的整式的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式：ax 2+bx+c=0（a ≠0）其中二次项系数是a ，一次项系数是b ，常数项是c ．例1．求方程2x 2+3=22x-4的二次项系数，一次项系数及常数项的积．例2．若关于x 的方程（m+3）27m x -+（m-5）x+5=0是一元二次方程，试求m 的值，•并计算这个方程的各项系数之和．例3．若关于x 的方程（k 2-4）x 2+1k -x+5=0是一元二次方程，求k 的取值范围．例4．若α是方程x 2-5x+1=0的一个根，求α2+21α的值．1．关于x 的一元二次方程225250x x p p -+-+=的一个根为1，则实数p 的值是（ ） A ．4 B ．0或2 C ．1 D ．1-2．一个三角形的两边长为3和6，第三边的边长是方程(2)(4)0x x --=的根，则这个三角形的周长是（ ） Ａ．11 Ｂ．11或13 Ｃ．13 Ｄ．11和13 3．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．（部分参考数据：2321024=，2522704=，2482304=）二、一元二次方程的一般解法 基本方法有：（1）配方法； （2）公式法； （3） 因式分解法。

联系：①降次，即它的解题的基本思想是：将二次方程化为一次方程，即降次． ②公式法是由配方法推导而得到．③配方法、公式法适用于所有一元二次方程，因式分解法适用于某些一元二次方程． 区别：①配方法要先配方，再开方求根． ②公式法直接利用公式求根．③因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘，另一边为0，•再分别使各一次因式等于0．例1、用三种方法解下列一元二次方程1、x 2 +8x+12=02、3x 23x-6=0用适当的方法解一元二次方程1、x2-2x-2=02、2x23、x（2x-3）=（3x+2）（2x-3）4、4x2-4x+1=x2+6x+95、（x-1）2-2（x2-1）=0注意：选择解方程的方法时，应先考虑直接开平方法和因式分解法；再考虑用配方法，最后考虑用公式法三、判定一元二次方程的根的情况？一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式是△=b2-4ac，1．△=b2-4ac>0↔一元二次方程有两个不相等的实根；2．△=b2-4ac=0↔一元二次方程有两个相等的实数；3．△=b2-4ac<0↔一元二次方程没有实根．例1、不解方程判断下列方程根的情况1、x2-（2、x2-2kx+（2k-1）=0例2、关于x的一元二次方程(a－1)x2＋x＋a2＋3a－4＝0有一个实数根是x＝0．则a 的值为例3、已知a、b、c是△ABC的三边长，且方程a（1+x2）+2bx-c（1-x2）=0的两根相等，•则△ABC为例5、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0（a≠0）有两个相等的实数根求4)2(222-+-baab的值例6、（2006．广东）将一条长为20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形．(1)要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?(2)两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗? 若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由．四、一元二次方程根与系数的关系一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根分别为x 1x2x1 + x 2= -bax 1 x2=ca例1.方程的x2-2x-1=0的两个实数根分别为x1，x2, 则（x1 -1）（x 2-1）=例2．设x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，（1）试推导x1+x2=-ba，x1·x2=ca；（2）•求代数式a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）的值．五、一元二次方程与实际问题的应用步骤:①审②设③列④解⑤答应用题常见的几种类型：1. 增长率问题 [增长率公式：b x a ＝2)1( ]例1：某工厂一月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度共获产值182万元，二、三月份平均每月增长的百分率是多少?例2：某种产品的成本在两年内从16元降至9元，求平均每年降低的百分率。

一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)

一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)


典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.