非线性递推数列

诱导公式知识点总结笔记一、数列与递推关系数列是指一系列按照特定顺序排列的数，这些数之间具有一定的关系。

通常表示为 {an}，其中n为序号。

数列的递推关系即指每一项与前一项之间的数学关系式，通常用来定义数列中各项的取值方式。

递推关系可以用来表示数列的通项公式，即该数列中每一项的一般形式。

数列的递推关系可以通过诱导公式来表示。

在数列 {an} 中，如果对每一个自然数n都有一个确定的数与之对应，则该数列 {an} 称为定义域中的递推数列。

递推数列的一般形式可以通过递推关系来定义。

例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列，其递推关系为：a1 = 1a2 = 1an = an-1 + an-2, (n ≥ 3)这个递推关系定义了斐波那契数列中每一项的取值方式，通过这个递推关系我们可以求得斐波那契数列中任意一项的值。

二、诱导公式基本概念诱导公式（或称递推公式）是数列中每一项与前一项之间的关系式。

它可以把数列中的一般项用之前的项表达出来，从而方便地求解数列中的任意一项。

诱导公式一般可以分为线性递推公式和非线性递推公式两类：1. 线性递推公式：数列中每一项与前一项之间的关系是线性的，形式通常为 an = c1*an-1 + c2*an-2 +...+ ck*an-k。

其中c1, c2,..., ck 为常数，k 为递推的步数。

2. 非线性递推公式：数列中每一项与前一项之间的关系是非线性的，其形式比较复杂，通常为 an = f(an-1, an-2, ..., an-k)。

其中f为一个非线性函数。

在应用中，我们通常通过求解递推关系来获得数列的通项公式，从而得到数列中任意一项的值。

通过诱导公式，我们可以方便地计算数列中任意一项的值，简化了数学问题的求解过程。

三、诱导公式的性质诱导公式具有以下几个基本性质：1. 唯一性：对于同一个数列，其递推关系（诱导公式）是唯一的。

也就是说，确定一个数列的递推关系，就能唯一确定该数列。

数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。

一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。

一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。

1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。

其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。

例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。

利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。

1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。

以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。

在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。

此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。

通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。

通项公式也常被称为数列的一般项公式。

2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。

通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。

数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。

数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。

本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。

常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。

其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。

举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。

斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。

可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。

2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。

非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。

例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。

等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。

又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。

等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。

二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。

根据不同的数列类型，有不同的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。

3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。

例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。

数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。

本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。

一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。

递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。

1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。

其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。

例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。

根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。

1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。

例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。

斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。

二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。

通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。

2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。

其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。

以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。

2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。

例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。

数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。

数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。

线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。

比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。

非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。

线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。

这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。

非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。

比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。

这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。

数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。

比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。

在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。

在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。

总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。

数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。

二、非线性递推数列掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为低阶线性递推数列；主要方法：变形换元、不动点法、数归法、母函数法等） 2.1 分式递推数列：b aa dca a n n n ++=+1 ⑴变形换元： 若0=d ，则caca b ca b aa a n n n n +=+=+11 令其为ca b cbb n n +=+1 （一阶线性……） ⑵ 不动点法若0,0≠≠cd ， 例1、1,1211=+=+a a a a n n n n ，求n a解：n nn a a 2111+=+即n n n b b 21+=+ 则()121122212121211-=∴-=+-=--+=-n n n n n n a b b 例2、1,924111==+-++a a a a a n n n n ，求n a 解：变形：()49211-+-+=+=++αααn n n n b b b a()()496221-++---=+ααααn n n b b b令0962=+-αα（化为⑴型） 321==αα 则111111-=--=++nn n n n b b b b b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是等差且常…125621221111--=∴-=∴-=-=∴n n a nb n n b b n n n 题中α恰好是x x x =--492的根，即α为()492--=x x x f 的不动点 TH9 P166TH10 P166 ()() dcn ban n f -+=则① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21ααn n u u 是等比……② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p u n 1是等差…… 2.2 其他非线性递推数列恒等变形，换元，迭代，阶差法，周期性，数学归纳法，母函数法，练习题1已知{}()0120,1,111=-+->=--n n n n n n a a a a n a a a ，，求n a 2、已知{}0,1,1>=n n a a a ，()011221=+-+++n n n n a a na a n ，求n a3、已知{}n a 满足：11=a ，{}n a 单调递增，且()21114-+=--n n n n a a a a ，求n a4、已知{}n a 满足：11=a ，411++=+n n n a a a ，求n a 5、已知{}n n n n n n a a a a a a a a 21,21201=-==---，，求n a 例10、{}()33,2,1,211321≥+====--+n a a a a a a a a n n n n n ，求n a解：变形1213--++=n n n n a a a a 2133---+=n n n n a a a a211321-----+-=-⇒n n n n n n n n a a a a a a a a ()()11231-+---+=+⇒n n n n n n a a a a a a即：23111----++=+n n n n n n a a a a a a （为常数列）()4321311==+=+∴-+n a a a a a a n n n113-+-=∴n n n a a a 二阶常线性齐次…… =∴n a （特征根法）例12、()310,10,1312221≥===--n a a a a a n n n解：变形212110---⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n a a a a ，即：11210--==n nn n n a a b b b 迭代()()2221221412141221211101010101010--⋅⋅====∴--n n b b b b n n n()21212112112211101010102222b b a a n n n n n →=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-------111010--==∴n n n a a例11、{}()1211102,25,2,u u u u u u u n n n n --===-+求证：[]()3122nn n u --=解：（猜测后证明）适用于递推关系复杂，不便求n a （或证明n a ）1=n 时，()()312312122222222------+=+=n u 2=n 时，()()3123121333332288------+=+=u1）猜测：()()31231222nn nn n u -----+=（再证：()3122nn --为整数，则()3122nn ---为（0，1）内的纯小数）2）数学归纳法证明，设()()312nn n f --= n=0、1、2显然成立假设n=k 时，结论成立，则n=k+1时 由()12112u u u u k k k --=-+()()()()()()2522221212-++=----k f k f k f k f()()()()[]()()()()25222212121212-+++=-+----+--+k f k f k f k f k f k f k f k f 又()()()()()()⎩⎨⎧-=-+-+=-+k k f k f k f k f k f 112112 则()()()()252222111111-+++=--+-+++kk k f k f k u （()()kk 11221--++ =25） ()()1122+-++=k f k f 猜测成立2）再证()n f 为整数()()()()3221231221 +-+=--=--n n nn n f()n f ∴为整数，()n f -2为（0，1）内的纯小数 ∴对任意自然数n ，[]()3122nn n u --=练习1、,10,121==a a ()()()11211-+---=+n n n a n a n n a n n求51502110a a a a a a ++ 2、 已知110==x x ，n n n n n n x x x x x x x x x 2011110=+++-- ，求n a母函数法将数列n n n n C C C ,,,10 作为多项式函数()n n n nn x C x C C x f ++=10的系数 一般：多项式n n x a x a a +++ 10称为数列n a a 0的母函数（有限、无限均可）而母函数∑∞=0n n n x a （无穷级数）可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项例15、()265,2,12110≥-=-==--n a a a a a n n n 解：（显然特征根法可求n a ）现用母函数法令() ++++=nnn x a x a a x f 10 ① ∴=+---06521n n n a a a 设法求出()x f ，即可求n a寻求()n n n n x a a a 6,51--由() -----=--n n x a x a x a x xf 12105555 ② () +++=-n n x a x a x f x 2202666 ③①+②+③得：()()()()20120102655651x a a a x a a a x f x x +-+-+=+-()x x a a a n n n n 716521-=++-++--()x x x b x a xx x x f 3142153121651712---=-+-=+--=∴ ()()()∑∑∑∞∞∞⋅-⋅=-=034253425n n n nnx x x n n n a 3425⋅-⋅=∴。

数列中的递推关系与递推式——数列知识要点数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列的研究对于数学的发展和应用有着重要的作用。

而数列中的递推关系和递推式是数列研究中的核心内容，通过它们可以描述数列中数值之间的关系，并找到数列中的规律。

一、数列的定义和基本性质数列是按照一定顺序排列的一系列数值。

通常用字母表示数列的一般项，例如an 表示数列的第 n 项。

数列可以有无穷多项，也可以有有限项。

数列中的每一项都有其特定的位置，称为项数。

数列中的递推关系和递推式描述了数列中每一项与前一项之间的关系。

二、递推关系递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系。

通过递推关系，我们可以通过已知的前一项或前几项计算出下一项的值。

递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系可以用线性方程表示的情况。

一般形式为 an = an-1 + d，其中 d 为常数。

这种线性递推关系常见于等差数列，即数列中每一项与前一项之间的差值是恒定的。

例如，等差数列 1, 3, 5, 7, ... 中，每一项与前一项的差值都为 2。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系无法用线性方程表示的情况。

这种递推关系常见于等比数列和斐波那契数列等。

例如，等比数列 2, 4, 8, 16, ... 中，每一项与前一项的比值都为 2。

三、递推式递推式是通过递推关系得到的数列的通项公式。

递推式可以用来直接计算数列中任意一项的值，而无需通过前一项或前几项进行计算。

递推式的推导可以通过观察数列中的规律或利用数学方法得到。

1. 线性递推式线性递推式是指递推关系可以用线性方程表示的情况。

对于线性递推关系 an = an-1 + d，递推式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的首项，d 表示数列的公差。

这种递推式常见于等差数列。

n
定义：若 t n S(n,k)[t]k , k0
则系数S(n,k)称为第二类Stirling数。
这与前面的第二类Stirling数的定义是等价的。
注意到： [t]k1 [t]k (t k),
n
n
t n1 t S(n,k)[t]k S(n,k)([t]k1 k[t]k )
k0
k0
若设n个元素的错排数为Dn，则第一种途径得到的 错排数为(n-1)Dn-2；第二种途径的错排数为(n-1)Dn-1。 因此我们可以得到递推关系：
Dn=(n-1)(Dn-1+Dn-2)， D1=0, D2=1。
问题在于这两种途径是否无重复、无遗漏的给出了 所有n个元素的错排？ 答案是肯定的。
首先说明无重复：
例如考虑把红、黄、蓝、白、绿五个球放到无区别 的两个盒子里。
根据递推关系：S(5,2)=2S(4,2)+S(4,1)=2×7+1=15。 这15种方案可分为2类，如下表所示：
第 1 盒子
rg yg bg wg ryg rbg rwg
g 不独占一盒
第 2 盒子 第 1 盒子
ybw
r
rbw
y
ryw
b
ryb
这些错排中，第一列的可以看成是4与1，2，3互换 位置，剩下的两个数字错排。
第二列可以看成是4与3 1 2中每一个互换位置得到。 注意3 1 2是1 2 3的一个错排。
第三列则是4与2 3 1(1 2 3的另一个错排)中的每一个 互换位置得到。
似乎可以看出得到n个元素错排有两种途径： (1) n与某个元素互换，剩下的n-2个元素错排； (2) 前n-1个元素错排，然后对每一个错排，n与某个 元素互换。

数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。

本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。

一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。

数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。

线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。

通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。

非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。

通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。

数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。

递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。

三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。

递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。

实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。

通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。

在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。

２０２３年８月上半月㊀竞赛强基㊀㊀㊀㊀一类二次非线性递推数列的通项公式和上下界估计◉广东省深圳中学㊀阮㊀禾㊀㊀摘要:数列是高中数学的重难点内容,其中对于等差数列㊁等比数列以及一次线性的递推数列和分式递推数列都有比较成熟的研究,但是关于二次非线性递推数列的研究很罕见．本文中给出了一类二次非线性递推数列的通项公式．关键词:二次非线性递推数列;通项公式;上下界估计１问题起源引例㊀已知数列{a n },n ɪN ∗,满足a n ＋１＝a ２n －２,且a １＝５２,求a n {}的通项公式．上述引例是复习数列时,学生问笔者的一道题．这是一类比较特殊的数列．事实上,题目中的常数项－２是解题的难点,因此本题的突破点在于如何把－２消解掉．我们考虑如下代换:令a n ＝b n ＋１b n ,易知b n ＞０,且不妨设b １＝２．代入a n ＋１＝a ２n－２,得b n ＋１＋１b n ＋１＝b ２n ＋１b ２n．当b n ＋１＝b ２n 时,上述式子恒成立,在此条件下得到l n b n ＋１＝２l n b n ,于是l n b n {}构成等比数列．由于l n b １＝l n ２,因此可得l n b n ＝２n －１l n２,故b n ＝２２n －１,故a n ＝２２n －１＋１２２n －１．通过验证可知上述a n 是满足题目的一个解,又根据原数列的递推公式可知该数列有且仅有一个解,因此上述解即为满足题目的全部解．点评:上述代换方法具有一定的技巧性,在得到b n ＋１＋１b n ＋１＝b ２n ＋１b ２n这个式子后,我们是直接找了满足该式的一个解而不是试图给出全部解,最后通过数列{a n }的唯一性确定了本题的全部解．事实上,假设b n ＋１＝１b ２n也能得到相同的结果．２主要结果在前述引例的基础上,笔者进行了推广,得到如下定理:定理㊀已知数列{x n },n ɪN ∗,满足x n ＋１＝a x ２n ＋b x n ＋c ,a ,b ,c ɪR ,a ＞０,x １是给定实数,令p ＝b ２－４a c －２b ４,y １＝ax １＋b２,已知y １ȡ１,则有以下三种情形:(１)p ＝０时,x n ＝a ２n －１－１(x １＋b ２a)２n －１－b ２a．(２)p ＝２时,x n ＝１a (z １２n －１＋１z １２n －１)－b２a,其中z １＝y １＋y ２１－４２,y １＝a x １＋b ２．当y ２１－４＜０时,约定y ２１－４＝４－y ２１i ．(３)p ＜０时,存在实数s 和仅依赖于a ,b 的实数q ,使得∀n ɪN ∗,|x n －１as ２n －１|＜q ．证明:先把含有x n 的项以及常数项消去,为此令x n ＝y n a －b２a,代入x n ＋１＝a x ２n ＋b x n ＋c ,得y n ＋１＝y ２n－b ２－４a c －２b４．也即㊀㊀㊀㊀㊀㊀y n ＋１＝y ２n －p ．①下面对p 进行分类讨论．情形一,p ＝０．由y n ＋１＝y ２n ,得y n ＝y ２n －１１．将x n ＝y n a －b ２a 代入上式,得x n ＝a ２n －１－１(x １＋b ２a)２n －１－b ２a,n ɪN ∗．其中b ２－４a c －２b ＝０．情形二,p ＝２．此时y n ＋１＝y ２n －２．令y n ＝z n ＋１z n,z n 不一定为实数列,则可得到z n ＋１＋１z n ＋１＝z ２n ＋１z ２n,且z n ＋１＝z ２n 是上式的一个解,由此迭代得到z n ＝z ２n －１１,因５８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.竞赛强基２０２３年８月上半月㊀㊀㊀此y n ＝z ２n －１１＋１z ２n －１１,x n ＝１a (z ２n －１１＋１z ２n －１１)－b２a ,其中z １＝y １＋y ２１－４２,y １＝a x １＋b ２．情形三,p ＜０．由①式,得l n y n ＋１＝l n (y ２n －p )＝２l n y n ＋l n (１－p y ２n )．令m n ＝l n y n ,则有m n ＋１＝２m n ＋l n (１－p y ２n)．由此迭代,得到m n ＋１＝２２m n －１＋２１l n (１－p y ２n －１)＋２０l n (１－p y ２n)＝＝２nm １＋ðni ＝１２n －il n (１－py ２i )＝２nm １＋ðɕi ＝１２n －il n (１－py ２i )－ðɕi ＝n ＋１２n －il n (１－p y ２i )＝２nm １＋㊀ðɕi ＝１１２il n (１－p y ２i)æèçöø÷－ðɕi ＝１１２il n (１－p y ２n ＋i)．令m １＋ðɕi ＝１１２il n (１－p y２i)＝l n s ,利用数学分析中的单调有界定理,易知l n s 是一个实数．再令t n ＋１＝ðɕi ＝１１２i l n (１－p y ２n ＋i ),由此得到m n ＋１＝２nl n s －t n ＋１．于是㊀㊀㊀㊀㊀y n ＋１＝em n ＋１＝s ２ne－t n ＋１．②由l n (１－p y ２n ＋i )ɤl n (１－py ２n ＋１),得０＜t n ＋１＜l n (１－p y n ＋１２)．由式②,可知s ２n１－p y ２n ＋１＜y n ＋１＜s ２n ．整理上述不等式的左边,得y n ＋１－p y n ＋１＞s ２n ,这意味着y n ＋１－s２n＜－p y n ＋１ɤ－p１－p＜１．特别地,当n ȡ２时,y n ＋１ȡ(１－p )２－p ＝１＋p ２－３p ,此时y n ＋１－s ２n＜－p y n ＋１ɤ－p １＋p ２－３pɤ１５．其中s ＝y １e ðɕi ＝１１２i l n (１－py i)．所以x n －１a s ２n －１|＜１５a ＋|b |２a,其中s ＝(a x １＋b ２)e ðɕi ＝１１２i l n １－pa x i ＋b ２()２æèçöø÷,可取q ＝１５a＋|b |２a,证毕．３应用例１㊀已知数列{x n }满足x n ＋１＝２x ２n ＋６x n ＋２,且x １＝１,求数列x n {}的通项公式．解:注意到题中递推式满足(b －１)２－４a c ＝９,其中a ＝２,b ＝６,c ＝２,因此可以利用情形二的结果．此时对应的y １＝ax １＋b ２＝５,z １＝y １＋y ２１－４２＝５＋㊀２１２,故数列x {n }的通项公式是x n ＝１２(５＋２１２)２n －１＋(５－２１２)２n －１éëêêùûúú－３２．点评:通项公式带有根式,看起来不像整数序列,但是根据例１的递推式可知它的每一项都是正整数,因此我们可以得到一个有趣的结论若x n ＝１２(５＋２１２)２n －１＋(５－２１２)２n －１éëêêùûúú－３２,则数列x {n }是正整数数列．例２㊀已知数列y {n },n ɪN ∗,满足y n ＋１＝y ２n ＋１,且y １＝１,则存在实数s ,使得y n －s ２n －１＜１５．证明:这是情形三中p ＝－１,y １＝１的情况,利用情形三中的公式,可得y １＝１,y ２＝２,y n －s ２n －１＜１５,其中s ＝e ðɕi ＝１１２i l n (１－py i)．利用m a t h e m a t i c a 符号计算软件计算数值s 约为s ＝１．５０２８３６８０１０４９７５６４９９７５４解题心得二次非线性递推数列和分形几何有着密切的联系,所有使得y n ＋１＝y ２n ＋c 收敛的复数y １构成一个和复数c 相关的J u l i a 集,笔者利用电脑向提问题的学生演示了J u l i a 集的图象,他感到非常惊讶．笔者告诉学生,关于J u l i a 集的研究有很多,一个通俗的问题是 这样的集合有没有正面积? ２０１０年,有人证明了存在J u l i a 集有正测度,这个结果登上了I C M 的４５分钟报告．学生听后感叹道:没有想到一个看似简单的中学数学问题可以和前沿领域的研究产生联系．笔者亦感慨万千．Z６８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。

１狀
１ ３ １－ ３
（ ） （ ）］ ３ ＋ ３ ＝２
１
１ ＜ ４．
１－ ３
可得狀 ２
－
（犪１ ＋犪２ ＋ … ＋犪狀－１ ＋犪狀）＜
１，即狀 ４２
－
１ ４
＜犪１ ＋犪２
＋
…
＋犪狀－１ ＋犪狀，不等式左边得证．
再由（１）知犪狀
＜
１ ２
，得犪１
＋犪２
＋
…
＋犪狀－１ ＋犪狀
＜
狀 ２
，不等式右边得证．证毕．
１ ＝２
－犪狀，此时犫狀
＞０，其中１ ２
为函数
犳（狓）的不动点，构造新数列｛犫狀｝，并求其范围和判断
其单调性，根据题目选择用累加法或者累乘法对数列
进行求和计算，进而达到解题的目的．
由 犫狀
＝
１ ２
－犪狀，得 犫狀＋１
－犫狀
＝
１ ２
－犪狀＋１
－
（ ） １ ２ －犪狀
＝犪狀 －犪狀＋１ ＜０，所以数列｛犫狀｝单调递减，
教学 参谋 解法探究 ２０２０年５月
一类非线性二次递推数列的解题模型
? 陕西省旬阳第二中学 乔建元
“不动点“是荷兰数学家布劳威尔（Ｂｒｏｕｗｅｒ）首先 提出的，它 是 现 代 数 学 的 一 个 基 本 概 念，现 代 数 学 中
不少 分 支 都 从 不 同 的 角 度 研 究 与 它 有 关 的 问 题．“不
动点 “在 高 中 数 学 教 材 中 虽 然 没 有 出 现，但 是 在 最 近
几年的高考题中，以“不动点“理论为背景的试题经常
出现，值得大家重视．下面给出不动点的定义：
定义：函数犳（狓）的定义域为犇，若存在狓０ ∈犇， 使犳（狓０）＝狓０ 成立，则称狓０ 为犳（狓）的不动点；或称 （狓０，狓０）为函数犳（狓）图像的不动点．

数列的递推关系与通项公式推导数列是数学中非常重要的概念，它是按照一定规律排列的一系列数字。

在数列中，每个数字称为数列的项，而数列中的规律则可以通过递推关系和通项公式来描述和推导。

本文将重点介绍数列的递推关系与通项公式的推导方法。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过已知的前一项或前几项来确定后一项的规律。

递推关系可以分为线性递推关系和非线性递推关系两种情况。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列的每一项与前一项之间存在着常数倍的关系。

例如，斐波那契数列就是一种线性递推关系的数列。

斐波那契数列的递推关系可以表示为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中，F(n)表示第n项的值，F(n-1)表示第n-1项的值，F(n-2)表示第n-2项的值。

通过已知的前两项，即F(1)=1和F(2)=1，可以递推得到后面的项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列的每一项与前一项之间没有简单的常数倍关系，而是通过其他函数或运算来确定。

例如，等差数列和等比数列都属于非线性递推关系的数列。

对于等差数列来说，递推关系可以表示为：a(n) = a(n-1) + d其中，a(n)表示第n项的值，a(n-1)表示第n-1项的值，d表示公差。

通过已知的前一项和公差，可以递推得到后面的项。

对于等比数列来说，递推关系可以表示为：a(n) = a(n-1) * r其中，a(n)表示第n项的值，a(n-1)表示第n-1项的值，r表示公比。

通过已知的前一项和公比，可以递推得到后面的项。

二、数列的通项公式推导数列的通项公式是指通过数列中的项数n来计算第n项的值的公式。

对于递推关系已知的数列，通项公式可以通过递推关系进行推导得到。

以等差数列为例，已知递推关系为：a(n) = a(n-1) + d要求解这个等差数列的通项公式，可以使用数学归纳法进行推导。

首先，假设n=k时，等差数列的通项公式成立，即a(k) = a(1) + (k-1)d接下来，考虑n=k+1时，可以通过递推关系推导得到：a(k+1) = a(k) + d = (a(1) + (k-1)d) + d = a(1) + kd由此可见，当n=k+1时，等差数列的通项公式仍然成立。

递推数列一、知识点介绍定义1 对于任意N n ∈,由递推关系()n k n k n k n a a a f a ,,,21Λ-+-++= 确定的数列{}n a 称之为递推数列，或称递归数列.若f 是线性的，则称此数列为线性递推数列，否则称为非线性递推数列.数学竞赛中的数列问题主要涉及到递推数列，并且常常是非线性递推数列.定义2 若数列{}n a 从第k 项以后任一项都是其前k 项的线性组合，即n k k n k n k n a a a a λλλ+++=-+-++Λ2211 ①其中k N n λλλ,,,21Λ∈是常数，0≠k λ，则称{}n a 为k 阶线性递推数列，①称为{}n a 的递推方程.与递归方程相应的代数方程()02211≠+++=--k k k k k x x x λλλλΛ ②称为k 阶线性递归数列{}n a 的特征方程.例如，公比为q 的等比数列是一阶线性递归数列，递归方程为n n qa a =+1()0,0,1≠≠∈q a N n .等差数列是二阶线性递归数列,递归方程为()N n a a a n n n ∈-=++122.著名的斐波那契数列也是二阶线性递归数列,递归方程为()112≥+=++n a a a n n n ,初始条件为121==a a .1.一阶递归数列一阶递归数列的一般形式为： ()()()()()，为常数0.11≠⎩⎨⎧=+=+n p a a a n q a n p a n n其特例为：（1）()01≠=+p pa a n n ，这就是等比数列.（2）()0,01≠≠+=+q p q pa a n n . 当1=p 时数列为等差数列.当0,0,1≠≠≠q p p 时,可用待定系数法求解.令()λλ-=-=+n n a p a 1,求得p q -=1λ，从而有⎪⎭⎫ ⎝⎛--=--+p q a p p q a n n 111，所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧--+p q a n 11是首项为p q a --11，公比为p 的等比数列.（3）()()01≠+=+p n q pa a n n . 两边同除以1+n p ,得()111++++=n n n n n pn q p a p a ,令n n n p a b =,则()11+++=n n n pn q b b ,由此可用累加的方法求出n b ,从而求出n a .(4) ()()01≠+=+q q a n p a n n .解决这类问题的思想方法,通常也是利用待定系数法构造类似于“等比数列”的新数列.二、递推数列例1 如图，ΛΛ,,,21n A A A 顺次在x 轴上，ΛΛ,,,,21n B B B 顺次在曲线x y =上，且11B OA ∆，221B A A ∆，……，n n A B A 1-n ∆，……为正三角形，求n OA .分析 22111,B A A B OA ∆∆Θ，332B A A ∆，……，都是正三角形，∴点1B 的横坐标为112121x OA =，点2B 的横坐标为)(21121x x x -+. 利用点1B ，2B ，3B ，……在曲线x y =上的条件，可以推出,,,321x x x ……，利用直线1+k k B A 的参数方程⎩⎨⎧+=+=οο60sin 60cos t y y t x x k k （其中k k x x t -=+1）. 可推出k n =到1+k 的递推关系，则可用数学归纳法证明n x 的公式.解法1 ∵点)23,2x (111x B 在曲线x y =上，∴22311x x =，由此可得)21(31321⨯==x .直线21B A 的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=οο60sin 60cos 32t y t x )(12x x t -=， ∴t t 2132432+=，即34,038232==--t t t ， 32312343212⨯⨯==+=+=t x x . 类似地433143⨯⨯==x . 猜想)1(31+=n n x n .下面用数学归纳法证明.直线1+k k B A 的参数方程为⎩⎨⎧=+=οο60sin 60cos t y t x x k （k k x x t -=+1）， ∴t x t k 21432+=，即04232=--k x t t . 如果设)1(31+=k k x k ，则0)1(34232=+--k k t t ，)1(32+=k t ， ∴t x x k k +=+1)1(32)1(3+++=k k k =)2)(1(31++k k . 故1+=k n 时，命题)1(31+=n n x n 也正确.∴n 为一切自然数时，)1(31+=n n x n 都成立，即)1(31+=n n OA n . 解法2 同解法1，2,3221==x x . 依题意得n B 的坐标为)60tan 2,2x (11n οn n n x x x -+++. 又点n B 在曲线x y =上，所以23211+++=⋅-n n n n x x x x ， 所以 )(2)(3121n n n n x x x x +=-++①以n 置换1+n ，得)(2)(3121--+=-n n n n x x x x ②①-②并整理，得)2)((31111-+-++--n n n n n x x x x x ()112-+-=n n x x ③因为011>--+n n x x ，所以，有322x 11n =+--+n n x x ④式④是二阶线性递归方程，可写成 32)()(11=----+n n n n x x x x . 所以数列{}n n x x -+1是以32为公差的等差数列，又3412=-x x ，所以 )1(32)1(32341+=-+=-+n n x x n n ， ∑+=--=111)1(32n k n k x x ，]1)1(21[3232-++=n n x n )1(31+=n n . 即)1(31+=n n OA n . 说明 本例给出的数学问题转化为数列问题，给定一个数列一般有两种方式：一是给出通项公式)(n n f a =；二是给出前一项或有限项，再给出第n 项与前几项,,21--n n a a …的关系式（这一关系称为递推关系）.于是，可用每项都递归到前几项的方法，逐个地求出各项.人们从问题的特例出发，借助于递推关系，猜出问题的一般结论，并通过递推关系，运用数学归纳法，证明自己猜想的思维方法，称为递推观点，这里不仅有归纳思维（从特殊到一般的合情推理），而且有利用递推关系来进行推理的逻辑思维.问题里的递推关系有的是明显的，但也有的是隐含的，由于它既是进行归纳思维的工具，又是数学归纳法论证部分的关键，因此根据题意分析出递推关系，是应用递推观点解题的首要任务，其次要善于应用递推关系的变形引入辅助数列，从而猜出一般规律.例2 设xa cot 1=，x n x a a n n )1sin(cos 1--=-，试求数列{}n a 的通项n a .分析 x a cot 1=，x x x x x a a sin cos cot sin cos 12-=-=x xx x x sin 2cos sin sin cos 22=-=， x x a a 2sin cos 23-=x x x x x x sin 3cos 2sin sin cos 2cos =-=，xx a a 3sin cos 34-=xx x x x x x sin 4cos sin sin 3sin cos 3cos =-=，……至此已猜出xnxa n sin cos =.这一猜想是否正确，有待于证明.证 根据分析，已猜出xnx a sin cos n =，下面应用数学归纳法证明当1=n 时，x xxa cot sin cos 1==，命题成立.设k n =时，命题成立，即xkx a k sin cos =.当1+=k n 时，x k x a a k k )11sin(cos 1-+-=+xx kx x kx sin sin sin cos cos -=xx k sin )1cos(+=,∴1+=k n 时，命题也成立. 故n 为一切自然数时，xnx a n sin cos =成立.例3 已知数列{}n a 中，21=a ，341+=+n n a S ，求n a .分析 本题的递推关系，不是1n +a 与n a 的关系式，因此必须把341+=+n n a S 改变形式.利用n n n S S a -=++11导出1+n a 与n a ，1-n a 之间的关系，引入适当的辅助数列，使问题获解.解 ∵)34(34111+-+=-=-++n n n n n a a S S a )(41--=n n a a∴)2(2422111--+-=-=-n n n n n n a a a a a a .令n n n a a c 21-=+，则12-=n n c c ，而52121=-=a a c ，（∵211234a a a S +=+=,∴93312=+=a a ）∴{}n c 是以51=c 为首项，公比2=q 的等比数列.故 125-⋅=n n c ，∴ 11252-+⋅=-n n n a a . 两边同除以12+n ，得 452211=-++n n n n a a . 故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n a 2是以121=a 为首项，45为公差的等差数列.从此可得 45)1(12-+=n a nn . ∴)15(2)45451(22-=-+=-n n a n n n例4 若数列{}n a 满足01=a ，12=a ，且nn n a a a 22312n =+-++，求?=n a解 由已知递推式，得()nn n n n a a a a 22)2(112=---+++,令nn n a a b 21-=+，则nn n b b 21=-+，所以∑∑=-=-==--n k nk k k k n b b b b 221112)(,()∑-=+-==-nk nk n a a b 21121222，即 1221-=-+nn n a a ，两边同除以n 2，得n n n n n a a 2112211-=--+， 所以 ∑∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-=-+11111121122n k n k k k kk k a a , ∑∑-+==-=-1-n 1k 111121122n k k n n a a )211()1(01----+=n n 121)2(-+-=n n .所以 12)2(1+-=-n n n a .例5 在数列{}n a 中，11=a ，31n +=+n na a a .求n a .解 由31n +=+n na a a 取倒数，得nn n n a a a a 31311+=+=+，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++21132111n n a a . 所以数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+211n a 是以3为公比的等比数列，其首项为232112111=+=+a ，故nn a 3213232111n ⋅=⋅=+-. 所以131n -=n a .例6 若数列{}n a 满足51=a ，且3131+--=+n n n a a a ，,,2,1Λ=n 求n a . 解令1n +=n b a ，则111+=++n n b a ，2233)1(1)1(311+-+=++--+=++n n n n n b b b b b ,2412231+-=-+-+=+n n n n n b b b b b ,412111-=+n n b b . 再令nn b C 1=，则41211-=+n n C C .变形为)21(21211+=++n n C C .数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+21n C 是以211+C 即43为首项，以21为公比的等比数列，由等比数列通项公式，有1214321-⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=+n n C ，11223212143+--=-⎪⎭⎫ ⎝⎛=n nn n C ，所以nn n b 2321-=+，nn n n n n a 23322123211-+-=+-=++. 三、用特征根法求二阶线形递推数列通项求二阶线性齐次递推数列通项的一般方法.为了研究的方便,我们把递推式11-++=n n n qx px x 写成如下形式：011=---+n n n qx px x（Ⅰ）其中p 、q 为非零实常数. 定义1 方程02=--q pr r （Ⅱ）称为（Ⅰ）对应的特征根.定义2 如果一个数列满足递推公式（Ⅰ），则称这个数列为（Ⅰ）的一个解.定理1 若r 是（Ⅱ）的一个根，则}{nr 是（Ⅰ）的一个解.证明：因为r 是（Ⅱ）的一个根，所以02=--q pr r ，两边同乘以1-n r ，得011=---+n nn qr pr r .所以}{nr 是（Ⅰ）的一个解.定理 2 若}{nr 为（Ⅰ）的一个解,则{}ncr 也是（Ⅰ）的一个解,其中c 为任意常数;若{}nr 1与{}n r 2是（Ⅰ）的解,则{}n n r c r c 2211+也是（Ⅰ）的解.其中1c 、2c 为任意常数.证明：若{}nr 为（Ⅰ）的一个解，则011=---+n nn qrpr r两边同乘以c ，得011=---+n n n qcrpcr cr.所以, {}ncr 也是（Ⅰ）的一个解. 若{}n r 1与{}n r 2是（Ⅰ）的解,则011111=---+n n n qr pr r①012212=---+n n n qr pr r②21c c ⨯+⨯②①，得()()(221112211122111+-+-+-++n n n n n r c rc q rc rc p rc rc所以{}nn r c r c 2211+也是（Ⅰ）的解.定义3 含有两个任意常数1c 、2c 的解{}n nr c r c 2211+称为（Ⅰ）的通解；当给出两个初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）以后，可以确定常数1c 及2c ，得到满足（Ⅰ）的一个解，这个解称为（Ⅰ）的一个特解.二阶递推数列的递推公式的通解含有两个任意常数，k 阶递推数列的递推公式的通解含有k 个任意常数，即通解所含任意常数的个数与递推数列的阶数相同.下面再来介绍特征根法.由递推公式（Ⅰ）的初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）确定的二阶线性递推数列的通项可以这样来求：先写出（Ⅰ）对应的特征方程02=--q pr r ，然后根据特征根的三种情况，分别构造出（Ⅰ）的通解.（1）若方程（Ⅱ）的判别式042>+q p ，则特征方程有两个相异的实根1r 、2r ，这时所求通项由n n n r c r c x 2211+=给出，其中1c 、2c 由初始值b x a x ==21,确定.根据定理1、定理2与定义3，很容易得出这个结论.（2）若方程（Ⅱ）的判别式042=+q p ，则特征方程有两个相同的实根r r r ==21，这时，所求的通项由n n n nr c r c x 21+=给出，其中1c 、2c 由初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）确定.因为r r r p 221=+=，所以()02212=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+--+p r r q pr r nr n n . 所以 ()()01212=-+-+++n n n qnr r n p r n . 即{}n nr 也是（Ⅰ）的一个解.所以, {}nn nr c r c 21+是（Ⅰ）的通解.(3) 若方程（Ⅱ）的判别式042<+q p ,则特征方程02=--q pr r 有一对共轭虚根.设()θθθi rei r x ±=±=sin cos 2,1. 这时,所求的通项由()θθn c n c r x n n sin cos 21±=给出,其中21,c c 由初始值b x a x ==21,（b a ,为常数）确定.因为通项可写为θθin n in n n e Br e Ar x -+=的形式,令221i c c A -=,221i c c B +=. 其中21,c c 为任意常数,则θθin n in n n e r i c c e r i c c x -++-=222121()θθn c n c r n sin cos 21+=.上面的讨论可以列成下表：)θn 到此，我们可得到用特征根法求二阶线性递推数列通项的步骤：（i ）由递推式011=---+n n n qx px x 写出对应的特征方程02=--q pr r ；（ii ）求特征方程的根；（iii ）按特征根的不同情况，写出通项的一般表达式；（iv ）用初始值b x a x ==21,确定待定常数21,c c ，得出所求的通项.特征根法的特点是具有普遍性，同时又简便，易于掌握.由递推式求通项，转化为特征方程的根.四、非线性递归数列化归为线性递归数列的常见技巧在数学竞赛中，常常遇到一些具有一定难度的非线性递归数列，对这类问题有时不妨将其化归为线性递归数列，然后用特征根方法求解.1 因式分解例11 已知数列{}n a 中，1,2,1321-===a a a ，n n n n a a a a 1124+++=116-+-n n a a na 9+216n n a a --.求n a .分析：该递归数列是非线性齐次递归数列，不能直接用特征根方法.注意到递归式是二次齐次式，可通过因式分解将其化为一次齐次式.解：因为1111264-++++-=n n n n n n a a a a a a 2169nn n a a a -+- ()()113232-+--=n n n n a a a a ， 则()3232321112311112⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-==⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-----+++n a a a a a a a a a n n n n n n Λ. 故n n n a a a 3212+-=++.其特征根方程为322+-=x x ,解得3,121-==x x .设()n n B A a 3-+=，代入初始值有()()⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎩⎨⎧=-+=-+.121,45231321B A B A B A所以，()n n a 312145-+=. 2 递推作差例12 已知数列{}n a 中，1321===a a a ，1213+=+++n n n n a a a a .求21212322+-+-n n n a a a .分析：该递归数列是非齐次非线性的，思考将其转化为齐次线性递归数列.为消去常数，可递推一步作差消去常数使其齐次化，再通过换元使其线性化.解：1213+=+++n n n n a a a a ①13214+=++++n n n n a a a a② ①②-得2132314+++++++-=-n n n n n n n n a a a a a a a a ,即n n n n n n n n a a a a a a a a 3322114++++++++=+.故()()n n n n n n a a a a a a +=++++++23241. 从而，24321++++++=+n n n n n n a a a a a a . 令nn n n a a a b +=++21，则2+=n n b b . 又211321=+=a a a b ，24=a ，312432=+=a a a b ，所以，21531====Λb b b ，31642====Λb b b .因此，当n 为奇数时，2121=+=++n n n n a a a b ，则.212n n n a a a -=++当n 为偶数时，3121=+=++n n n n a a a b ，则.312n n n a a a -=++ 故21212322+-+-n n n aa a ()()1221212122222-+-++---=n n n n n n a a a a a a 122122222+-+-=n n n n a a a a()12212222+-+-=n n n n a a a a212=⨯=.例13 设数列{}n a 和{}n b 满足0,100==b a ，且⎩⎨⎧-+=-+=++47836711n n n n n n b a b b a a ②①()Λ,2,1,0=n .证明：()Λ,2,1,0=n a n 是完全平方数.分析：这是一个二元非齐次线性递归数列，可先将二元降为一元，再递归作差将非齐次线性递归数列化为齐次线性递归数列，朝着用特征根方法的方向转化.证明：由式①得6731n n n a a b -+=+. 代入式②得467378673112--+⨯+=-++++n n n n n a a a a a .即 61412--=++n n n a a a ③ 用1+n 代换③中的n 得614123--=+++n n n a a a . ④③④-整理得n n n n a a a a +-=+++1231515. ⑤因10=a ，由00=b 及673010a a b -+=，得41=a . 由式②得4478001=-+=b a b .又由41=b 及673121a a b -+=，得492=a .式⑤的特征根方程是1151523+-=x x x ，即()()011412=+--x x x .解得.347,347,1321-=+==x x x 设()()nn n C B A a 347347-+++=. 将49,4,1210===a a a 代入解得41,21===C B A . 故()()n n n a 347413474121-+++=. 又()232347±=±， 则()()2134********+-++=n n n a()[]()[]{}232324122+-++=n n ()[]()()([{232323223241n n n -+-+++= ()()232213221⎥⎦⎤⎢⎣⎡-++=n n . 由二项式展开式得()()n n 32213221-++∑==-n k k k n k n C 023221()∑-+=-n k k k k n k n C 0231221 ∑⨯=≤≤-nm m m n m n C 202232212+≤≤-∈∑=N C nm m m n m n 202232.因此，n a 为完全平方数.说明：形如“p a A a A a A a n k k n k n k n ++++=-+-++Λ2211()()也为常数为常数，p ,,2,1k i A i Λ=”的递归数列或通过变形可化为该类型的递归数列，常常采用递归作差法.例如：1、数列{}n a 满足()N n a a a a nn n ∈-+==+236457,1210.证明：（1）对任意N n ∈，n a 为正整数；（2）对任意N n ∈，11-+n n a a 为完全平方数.2、已知数列{}()0≥n a n 满足00=a ，对于所有非负整数n ，有()51113021+++=+n n n n a a a a .求{}n a 的通项公式.3 取对数例14已知数列{}n a 中，5,121==a a ，且满足121211++=--+n nn n n aa a a a①求n a .分析：该递归数列是非线性的分式型且分母比分子复杂，可先平方取倒数，再因式分解、换元，然后取对数化归为齐次线性递归数列.解：式①平方后取倒数得212212211111--+++=n n n n n a a a a a 11111212-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-n n a a . 从而,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+-+11111121221n n n a a a . 令112+=nn a b ，则11-+=n n n b b b ，2526,221==b b .易知0>n b .对11-+=n n n b b b 两边取常用对数得11lg lg lg -++=n n n b b b .令nn b F lg =，于是，11-++=n n n F F F ，2526lg ,2lg 21==F F ，这就是斐波那契数列，其特征根方程为012=--x x .解得251,25121-=+=x x . 设nn n B A F ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=251251.由2526lg ,2lg 21==F F ，进一步求得n F .从而，nF n b 10=，即nF na 10112=+.所以，1101-=nF n a .说明：取对数往往适用于乘积式递归数列，但必须为正项数列.不妨试试下题：已知数列{}n a 中，+∈R a n ，且,10,121==a a ()Λ,4,3103122==--n aa a n n n.求n a . 4 待定系数法例15 设数列{}n a 和{}n b 满足0,100==b a ，且⎩⎨⎧-+=-+=++47836711n n n n n n b a b b a a ②① ()Λ,2,1,0=n .证明：()Λ,2,1,0=n a n 是完全平方数.（同例13）证明：由式①得6731nn n a a b -+=+.代入式②得467378673112--+⨯+=-++++nn n n n a a a a a .即 61412--=++n n n a a a .（同例13）设()()p a p a p a n n n ---=-++1214（p 待定）.展开比较系数知21=p .故⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++2121142112n n n a a a . 令21-=n n a c ，则nn n c c c -=++1214，27,4,21110===c a c .其特征根方程是01142=+-x x .解得347,34721-=+=x x . 所以，()()nnn B A c 347347-++=.由27,2110==c c ，得41==B A .故()()213474134741+-++=nn n a .以下同例13.说明：形如形如“p a A a A a A a n k k n k n k n ++++=-+-++Λ2211()()也为常数为常数，p ,,2,1k i A i Λ=”的递归数列，常常采用待定系数法，构造形如“{}()为常数u u a n +”或“{}()为待定常数、v u v un a n ++”的齐次线性递归数列.例16 已知数列{}n a 满足121==a a ，且()+++∈++=N n a a a nn n n 218312.求n a .分析：该递归数列是非线性递归数列，不能采用递推一步作差的方法化归为线性递归数列，可以利用待定系数的方法将其转化为线性递归数列.解：设222++⋅-n n A a ()()nnn n A aA a2182311⋅-+⋅-=++()待定A .展开比较系数知201-=A .则222201++⋅+n n a⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+=++n n n n a a 2201182201311.令nn n a b 2201⋅+=，则n n n b b b 18312+=++.易知56,101121==b b .由特征根方程法有()nnn B A b 36-+⋅=.将56,101121==b b 代入得51,121-==B A .从而，()53126n n n b --=.所以，()20253126n n n n a ---=.说明：形如“nn k k n k n k n ma A a A a A a ++++=-+-++Λ2211()()也为常数为常数，m ,,2,1k i A i Λ=”的递归数列，常常采用待定系数法构造形如“{}()为常数u um a n +”的齐次线性递归数列.5 不动点方法例17 已知无穷数列{}n a 满足,,10y a x a ==()Λ,2,11111=++=--+n a a a a a n n n n n . （1）对于怎样的实数x ，y ，总存在正整数0n ,使当0n n ≥时，n a 恒为常数？（2）求数列{}n a 的通项公式. 分析：这是一个分式型递归数列，很容易想到不动点方法，通过变形转化为()+-+∈=Nn b b b n n n 11.在迭代的过程中可以发现指数与斐波那契数列有关，由此作为切入点，将非线性转化为线性问题.解：由递归方程()x xx x f =+=212，得不动点1±=x .由不动点方法111111111111+++-++=+-----++n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a 111111----+++--+=n n n n n n n n a a a a a a a a ()()()()111111++--=--n n n n a a a a 111111+-⋅+-=--n n n n a a a a .令11+-=n n n a a b ，则()+-+∈=N n b b b n n n 11.易知110+-=x x b ，111+-=y y b .注意到()23221-----==n n n n n n b b b b b b。

一 ３ ｙ 一 １ ．
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， Ｎ求 ： ∈ ． 证
又 。 １ Ｙ 一 ２ 由归 纳 法 易 推 得 所 有 的 都 一 ， ，
２ 借 助 于 变 量 代 换
（ ）对 任 意 Ｅ Ｎ，ａ １ 为 正 整 数 ； （ ）对 任 意 ， Ｅ Ｎ，ａｎ 一 １为 完 全 平 方 数 ． ２ ｚ ｎ
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例 ４ 已知 数 列 ｛ ｎ ）中 ， 一 １ ｎ 一 Ｏ １＋ ｎ ， 上 （
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２１ 第 ６ ０ ０年 期
１ ４ 将 ｎ ＝篮 ＋２ ， 代入原式
一
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即 ２ 井 一 ６ ＋ ３ ６ ３一 １（ ｂ ，井 一 ６
１ 借 助 于 韦 达 定 理
由原 表 达 式 得
≥ 丁 ．≥ ３ ｙ
所 以
一
≠ ０ 由 ① ， 知 １ ， ② ，
一 ＋ １— ３ 于 是 ｙ，
是整数．
是 方 程 ｚ 一 ３ ｙｚ＋ ：
例 １
数 列 ｛ 满 足 ：。 一 １ 口 ａ｝ 口 ，
＋ １— ０的 两 个 不 相 等 的实 数 根 ， 韦 达 定 理 得 由
（ ０ ５年 全 国高 中数 学联 赛 试 题 ） ２０

递推数列与递推关系在数学中，递推数列（也称为递归数列）是指通过给定的初始项以及各项之间的关系来定义的一个数列。

递推数列通常使用递推公式来表示，这个公式可以帮助我们计算出数列中的每一项。

本文将介绍递推数列以及递推关系，并探讨如何在实际问题中应用它们。

递推数列通常使用递推公式来定义。

递推公式可以分为两种类型：线性递推公式和非线性递推公式。

线性递推公式可以用以下形式表示：an = a(n-1) + a(n-2)其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第n-1项，a(n-2)表示数列中的第n-2项。

这个公式的含义是，数列中的每一项都等于它前两项之和。

例如，斐波那契数列就是一个线性递推数列，其递推公式为Fn = F(n-1) + F(n-2)，其中F0 = 0，F1 = 1.非线性递推公式则更加复杂，它们通常涉及数列中多个前项的运算。

例如，阿凯米德圆问题中的非线性递推公式为an+1 = (an + bn)/2，bn+1 = √(anbn)，其中a1 = 1，b1 = 1/√2。

这个递推公式可以用来计算阿凯米德圆的面积的逼近值。

递推数列在实际问题中有广泛的应用。

例如，当我们研究自然界中的一些变化规律时，常常会用到递推数列。

比如，在研究兔子繁殖问题时，我们会遇到斐波那契数列。

又如，在计算机科学中，递推数列在算法设计中有很大的作用。

一些计算机算法的时间复杂度可以用递推数列来表示。

递推关系是指数列中各项之间的关系。

在定义递推数列时，我们需要给出数列中每一项与前几项之间的递推关系。

递推关系可以是简单的线性关系，也可以是复杂的非线性关系。

通过递推关系，我们可以计算出数列中的每一项，这样就可以用递推数列来解决很多实际问题。

总之，递推数列是数学中一种重要的数列形式，通过递推公式和递推关系，我们可以计算出数列中的每一项。

递推数列在实际问题中有广泛的应用，它们可以帮助我们揭示自然界中的一些变化规律，同时也在算法设计中发挥重要作用。

递归数列的性质递归数列是数学中的一个基本概念，在许多数学问题和计算机科学中都有广泛的应用。

递归数列的定义是通过前一项或多项来定义后一项的数列。

本文将介绍递归数列的性质，包括递推公式、初项和通项公式等。

一、递推公式递推公式是递归数列中非常重要的性质之一。

它描述了数列中每一项与前一项或前几项之间的关系。

递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种情况。

1. 线性递推线性递推是指递归数列中每一项与前一项之间的关系是线性的，可以用一个简单的数学表达式表示。

例如，斐波那契数列是一个典型的线性递推数列，其递推公式为：F(n) = F(n-1) + F(n-2)其中F(n)表示数列的第n项，F(n-1)和F(n-2)分别表示数列的第n-1项和第n-2项。

2. 非线性递推非线性递推是指递归数列中每一项与前几项之间的关系不是简单的线性关系，需要通过复杂的表达式或条件来描述。

例如，帕斯卡三角形是一个典型的非线性递推数列，其递推公式为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)其中C(n,k)表示帕斯卡三角形的第n行第k列的数值。

二、初项与通项公式除了递推公式，初项和通项公式也是递归数列的重要性质。

初项是数列中的第一项，通项公式是指通过数列的位置n来求解第n项的表达式。

1. 初项初项是递归数列的基础，它确定了数列的起始值。

在一些递归数列中，初项可能是已知的常数或特定数值。

例如，等差数列的初项可以表示为a1，等比数列的初项可以表示为b1。

2. 通项公式通项公式是求解递归数列中任意一项的表达式。

通项公式的形式可以各不相同，取决于数列的性质和规律。

有些数列的通项公式可以通过递推公式来得到，而有些数列则需要通过特殊方法推导得到。

例如，斐波那契数列的通项公式可以表示为：F(n) = (1/sqrt(5)) * ((1+sqrt(5))/2)^n - (1/sqrt(5)) * ((1-sqrt(5))/2)^n其中sqrt(5)表示5的平方根。

数列的递推关系和通项公式的推导数列是数学中非常重要的概念，它由一系列按照特定规律排列的数所组成。

在数列中，每个数都有其特定的位置，我们可以通过递推关系和通项公式来描述数列的规律和性质。

本文将探讨数列的递推关系和通项公式的推导过程。

一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中每个数与其前面的数之间的关系。

通过递推关系，我们可以通过已知的数列项来计算下一个数列项。

常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中每个数与其前面的数之间存在线性关系。

一个典型的线性递推关系可以通过以下形式来表示：an = an-1 + d，其中an表示第n个数，an-1表示第n-1个数，d表示公差。

例如，斐波那契数列就是一个典型的线性递推关系。

斐波那契数列的递推关系为：Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1。

通过递推关系，我们可以计算出斐波那契数列的每一项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中每个数与其前面的数之间不存在线性关系。

非线性递推关系的形式多种多样，可以是多项式关系、指数关系、对数关系等。

例如，几何数列就是一个典型的非线性递推关系。

几何数列的递推关系为：an = an-1 * r，其中an表示第n个数，an-1表示第n-1个数，r表示公比。

通过递推关系，我们可以计算出几何数列的每一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过一个公式来表示数列中任意一项的数学表达式。

通项公式可以帮助我们快速计算数列中任意一项的值。

推导数列的通项公式的过程一般分为两步：找出数列的递推关系，然后通过递推关系得到通项公式。

1. 找出数列的递推关系在找出数列的递推关系时，我们需要观察数列中相邻数之间的关系，从而找到数列中每个数与其前面的数之间的规律。

以等差数列为例，我们可以通过观察数列中相邻数之间的差值来找出递推关系。

对于等差数列an = a1 + (n-1)d，我们可以得到递推关系为an = an-1 + d。