非线性递推数列

诱导公式知识点总结笔记一、数列与递推关系数列是指一系列按照特定顺序排列的数，这些数之间具有一定的关系。

通常表示为 {an}，其中n为序号。

数列的递推关系即指每一项与前一项之间的数学关系式，通常用来定义数列中各项的取值方式。

递推关系可以用来表示数列的通项公式，即该数列中每一项的一般形式。

数列的递推关系可以通过诱导公式来表示。

在数列 {an} 中，如果对每一个自然数n都有一个确定的数与之对应，则该数列 {an} 称为定义域中的递推数列。

递推数列的一般形式可以通过递推关系来定义。

例如，斐波那契数列就是一个著名的递推数列，其递推关系为：a1 = 1a2 = 1an = an-1 + an-2, (n ≥ 3)这个递推关系定义了斐波那契数列中每一项的取值方式，通过这个递推关系我们可以求得斐波那契数列中任意一项的值。

二、诱导公式基本概念诱导公式（或称递推公式）是数列中每一项与前一项之间的关系式。

它可以把数列中的一般项用之前的项表达出来，从而方便地求解数列中的任意一项。

诱导公式一般可以分为线性递推公式和非线性递推公式两类：1. 线性递推公式：数列中每一项与前一项之间的关系是线性的，形式通常为 an = c1*an-1 + c2*an-2 +...+ ck*an-k。

其中c1, c2,..., ck 为常数，k 为递推的步数。

2. 非线性递推公式：数列中每一项与前一项之间的关系是非线性的，其形式比较复杂，通常为 an = f(an-1, an-2, ..., an-k)。

其中f为一个非线性函数。

在应用中，我们通常通过求解递推关系来获得数列的通项公式，从而得到数列中任意一项的值。

通过诱导公式，我们可以方便地计算数列中任意一项的值，简化了数学问题的求解过程。

三、诱导公式的性质诱导公式具有以下几个基本性质：1. 唯一性：对于同一个数列，其递推关系（诱导公式）是唯一的。

也就是说，确定一个数列的递推关系，就能唯一确定该数列。

数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。

一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。

一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。

1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。

其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。

例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。

利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。

1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。

以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。

在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。

此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。

通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。

通项公式也常被称为数列的一般项公式。

2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。

通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。

数列的递推关系与求和公式详细解析数列是数学中一个重要的概念，它是由按一定规律排列成的数所组成的序列。

数列可以通过递推关系来描述，而求和公式则是对数列中的元素进行求和的方法。

本文将详细解析数列的递推关系与求和公式。

一、数列的递推关系数列的递推关系指的是通过前一项来定义下一项的关系。

常见的递推关系有线性递推关系和非线性递推关系。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中的每一项都是前一项的线性函数，即有形如an = an-1 + c的关系式。

其中an表示数列中第n个元素，c表示一个常数。

举例来说，斐波那契数列就是一个常见的线性递推关系。

斐波那契数列的定义是：f(1) = 1，f(2) = 1，f(n) = f(n-1) + f(n-2) (n ≥ 3)。

可以看出，每一项都是前两项的和，符合线性递推关系的定义。

2. 非线性递推关系非线性递推关系则指数列中的每一项都不是前一项的线性函数。

非线性递推关系的形式多种多样，要根据具体的数列来确定递推关系。

例如，等差数列就是一种常见的非线性递推关系。

等差数列的递推关系可以表示为an = an-1 + d，其中d表示等差数列的公差。

又如，等比数列就是另一种常见的非线性递推关系。

等比数列的递推关系可以表示为an = an-1 * r，其中r表示等比数列的公比。

二、数列的求和公式数列的求和公式是用来计算数列中所有元素的和的公式。

根据不同的数列类型，有不同的求和公式。

1. 等差数列的求和公式对于等差数列an = a1 + (n - 1)d，其前n项和可以表示为Sn =(n/2)(a1 + an)。

2. 等比数列的求和公式对于等比数列an = a1 * r^(n - 1)，其前n项和可以表示为Sn = a1 * (1 - r^n) / (1 - r)，其中r ≠ 1。

3. 其他数列的求和公式对于其他类型的数列，求和公式则需要根据具体情况进行推导。

例如，斐波那契数列的求和公式是一个比较复杂的问题，其具体推导过程可以参考相关的数学文献和专业教材。

数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。

本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。

一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。

递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。

1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。

其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。

例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。

根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。

1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。

例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。

斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。

二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。

通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。

2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。

其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。

以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。

2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。

例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。

数列递推关系数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中的每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

在数学和应用数学中，数列递推关系被广泛用于解决各种问题，比如计算机科学、物理学、经济学等领域。

数列递推关系有两种形式：线性递推和非线性递推。

线性递推是指数列中的每个元素都是前几个元素的线性组合。

比如斐波那契数列就是一个著名的线性递推数列，它的每个元素都是前两个元素的和。

非线性递推则指数列中的每个元素与它前几个元素之间存在非线性关系，比如几何数列和指数数列。

线性递推关系可以通过数学公式来描述，比如斐波那契数列的公式为An = An-1 + An-2，其中An表示数列中第n个元素，An-1表示第n-1个元素，An-2表示第n-2个元素。

这个公式表达了斐波那契数列中每个元素与前两个元素之间的关系。

非线性递推关系则无法用简单的公式来表示，通常需要通过递归或迭代的方式来计算。

比如几何数列的递推关系为An = An-1 * r，其中r为公比，表示数列中每个元素与前一个元素的比值。

这个递推关系说明了几何数列中每个元素与前一个元素之间的关系。

数列递推关系在实际问题中的应用非常广泛。

比如在计算机科学中，递推关系常被用于算法设计和性能分析。

在物理学中，递推关系可以描述连续物理系统的运动规律。

在经济学中，递推关系可以解释市场供求关系和经济变量之间的相互作用。

总之，数列递推关系是数学中一个重要的概念，它描述了数列中每个元素与它的前一个或前几个元素的关系。

它可以通过线性递推和非线性递推两种形式来表示。

数列递推关系在各个学科中都有广泛的应用，对于理解和解决实际问题都具有重要意义。

二、非线性递推数列掌握常见的非线性递推数列的通项求法（化为低阶线性递推数列；主要方法：变形换元、不动点法、数归法、母函数法等） 2.1 分式递推数列：b aa dca a n n n ++=+1 ⑴变形换元： 若0=d ，则caca b ca b aa a n n n n +=+=+11 令其为ca b cbb n n +=+1 （一阶线性……） ⑵ 不动点法若0,0≠≠cd ， 例1、1,1211=+=+a a a a n n n n ，求n a解：n nn a a 2111+=+即n n n b b 21+=+ 则()121122212121211-=∴-=+-=--+=-n n n n n n a b b 例2、1,924111==+-++a a a a a n n n n ，求n a 解：变形：()49211-+-+=+=++αααn n n n b b b a()()496221-++---=+ααααn n n b b b令0962=+-αα（化为⑴型） 321==αα 则111111-=--=++nn n n n b b b b b ⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1是等差且常…125621221111--=∴-=∴-=-=∴n n a nb n n b b n n n 题中α恰好是x x x =--492的根，即α为()492--=x x x f 的不动点 TH9 P166TH10 P166 ()() dcn ban n f -+=则① ⎭⎬⎫⎩⎨⎧--21ααn n u u 是等比……② ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-p u n 1是等差…… 2.2 其他非线性递推数列恒等变形，换元，迭代，阶差法，周期性，数学归纳法，母函数法，练习题1已知{}()0120,1,111=-+->=--n n n n n n a a a a n a a a ，，求n a 2、已知{}0,1,1>=n n a a a ，()011221=+-+++n n n n a a na a n ，求n a3、已知{}n a 满足：11=a ，{}n a 单调递增，且()21114-+=--n n n n a a a a ，求n a4、已知{}n a 满足：11=a ，411++=+n n n a a a ，求n a 5、已知{}n n n n n n a a a a a a a a 21,21201=-==---，，求n a 例10、{}()33,2,1,211321≥+====--+n a a a a a a a a n n n n n ，求n a解：变形1213--++=n n n n a a a a 2133---+=n n n n a a a a211321-----+-=-⇒n n n n n n n n a a a a a a a a ()()11231-+---+=+⇒n n n n n n a a a a a a即：23111----++=+n n n n n n a a a a a a （为常数列）()4321311==+=+∴-+n a a a a a a n n n113-+-=∴n n n a a a 二阶常线性齐次…… =∴n a （特征根法）例12、()310,10,1312221≥===--n a a a a a n n n解：变形212110---⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n n n n a a a a ，即：11210--==n nn n n a a b b b 迭代()()2221221412141221211101010101010--⋅⋅====∴--n n b b b b n n n()21212112112211101010102222b b a a n n n n n →=⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=-------111010--==∴n n n a a例11、{}()1211102,25,2,u u u u u u u n n n n --===-+求证：[]()3122nn n u --=解：（猜测后证明）适用于递推关系复杂，不便求n a （或证明n a ）1=n 时，()()312312122222222------+=+=n u 2=n 时，()()3123121333332288------+=+=u1）猜测：()()31231222nn nn n u -----+=（再证：()3122nn --为整数，则()3122nn ---为（0，1）内的纯小数）2）数学归纳法证明，设()()312nn n f --= n=0、1、2显然成立假设n=k 时，结论成立，则n=k+1时 由()12112u u u u k k k --=-+()()()()()()2522221212-++=----k f k f k f k f()()()()[]()()()()25222212121212-+++=-+----+--+k f k f k f k f k f k f k f k f 又()()()()()()⎩⎨⎧-=-+-+=-+k k f k f k f k f k f 112112 则()()()()252222111111-+++=--+-+++kk k f k f k u （()()kk 11221--++ =25） ()()1122+-++=k f k f 猜测成立2）再证()n f 为整数()()()()3221231221 +-+=--=--n n nn n f()n f ∴为整数，()n f -2为（0，1）内的纯小数 ∴对任意自然数n ，[]()3122nn n u --=练习1、,10,121==a a ()()()11211-+---=+n n n a n a n n a n n求51502110a a a a a a ++ 2、 已知110==x x ，n n n n n n x x x x x x x x x 2011110=+++-- ，求n a母函数法将数列n n n n C C C ,,,10 作为多项式函数()n n n nn x C x C C x f ++=10的系数 一般：多项式n n x a x a a +++ 10称为数列n a a 0的母函数（有限、无限均可）而母函数∑∞=0n n n x a （无穷级数）可求和函数，从而可借助母函数求线性递推数列的通项例15、()265,2,12110≥-=-==--n a a a a a n n n 解：（显然特征根法可求n a ）现用母函数法令() ++++=nnn x a x a a x f 10 ① ∴=+---06521n n n a a a 设法求出()x f ，即可求n a寻求()n n n n x a a a 6,51--由() -----=--n n x a x a x a x xf 12105555 ② () +++=-n n x a x a x f x 2202666 ③①+②+③得：()()()()20120102655651x a a a x a a a x f x x +-+-+=+-()x x a a a n n n n 716521-=++-++--()x x x b x a xx x x f 3142153121651712---=-+-=+--=∴ ()()()∑∑∑∞∞∞⋅-⋅=-=034253425n n n nnx x x n n n a 3425⋅-⋅=∴。

数列中的递推关系与递推式——数列知识要点数列是数学中的一个重要概念，它是由一系列按照一定规律排列的数所组成的序列。

数列的研究对于数学的发展和应用有着重要的作用。

而数列中的递推关系和递推式是数列研究中的核心内容，通过它们可以描述数列中数值之间的关系，并找到数列中的规律。

一、数列的定义和基本性质数列是按照一定顺序排列的一系列数值。

通常用字母表示数列的一般项，例如an 表示数列的第 n 项。

数列可以有无穷多项，也可以有有限项。

数列中的每一项都有其特定的位置，称为项数。

数列中的递推关系和递推式描述了数列中每一项与前一项之间的关系。

二、递推关系递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系。

通过递推关系，我们可以通过已知的前一项或前几项计算出下一项的值。

递推关系可以是线性的，也可以是非线性的。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系可以用线性方程表示的情况。

一般形式为 an = an-1 + d，其中 d 为常数。

这种线性递推关系常见于等差数列，即数列中每一项与前一项之间的差值是恒定的。

例如，等差数列 1, 3, 5, 7, ... 中，每一项与前一项的差值都为 2。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中每一项与其前一项之间的关系无法用线性方程表示的情况。

这种递推关系常见于等比数列和斐波那契数列等。

例如，等比数列 2, 4, 8, 16, ... 中，每一项与前一项的比值都为 2。

三、递推式递推式是通过递推关系得到的数列的通项公式。

递推式可以用来直接计算数列中任意一项的值，而无需通过前一项或前几项进行计算。

递推式的推导可以通过观察数列中的规律或利用数学方法得到。

1. 线性递推式线性递推式是指递推关系可以用线性方程表示的情况。

对于线性递推关系 an = an-1 + d，递推式可以表示为 an = a1 + (n-1)d，其中 a1 表示数列的首项，d 表示数列的公差。

这种递推式常见于等差数列。

数列的递推与递归关系知识点总结数列是数学中的一个重要概念，在数学和计算机科学中都有广泛的应用。

数列的递推和递归关系是数列研究中的重要内容，通过递推和递归可以得到数列中后一项和前一项之间的关系。

本文将总结数列的递推和递归关系的知识点。

一、数列的递推关系数列的递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系，通过这种关系可以求解数列中的任意一项。

数列的递推公式分为线性递推和非线性递推两种。

1. 线性递推关系线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系为线性函数的情况。

线性递推关系可以表示为：an = a(n-1) + b其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，b为常数。

通过这个递推公式，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

2. 非线性递推关系非线性递推关系是指数列中后一项和前一项之间的关系不为线性函数的情况。

非线性递推关系可以表示为：an = f(a(n-1))其中an为数列的第n项，a(n-1)为数列的第n-1项，f为一个非线性函数。

通过这个递推关系，可以根据已知的第一项和递推关系求得数列中的其他项。

二、数列的递归关系数列的递归关系是指数列中后一项和前一项之间的关系通过递归定义的情况。

数列的递归关系可以表示为：an = f(an-1)其中an为数列的第n项，an-1为数列的第n-1项，f为一个递归函数。

递归关系中的数列可以通过给定的初始条件，即数列的第一项或前几项，求解数列中的其他项。

三、递推与递归的关系递推和递归是两种不同的求解数列的方法，但它们之间存在紧密的联系。

递推是通过前一项和递推公式来计算后一项，递归则是通过前一项和递归函数来计算后一项。

实际上，递推公式可以看作是递归关系的一种特殊形式，即递归函数是一个线性函数的情况。

通过递推和递归，可以发现数列中的规律，预测数列的未知项，解决各种与数列相关的问题。

在数学和计算机科学领域中，递推和递归在数列求解、算法设计等方面有着重要的作用。

２０２３年８月上半月㊀竞赛强基㊀㊀㊀㊀一类二次非线性递推数列的通项公式和上下界估计◉广东省深圳中学㊀阮㊀禾㊀㊀摘要:数列是高中数学的重难点内容,其中对于等差数列㊁等比数列以及一次线性的递推数列和分式递推数列都有比较成熟的研究,但是关于二次非线性递推数列的研究很罕见．本文中给出了一类二次非线性递推数列的通项公式．关键词:二次非线性递推数列;通项公式;上下界估计１问题起源引例㊀已知数列{a n },n ɪN ∗,满足a n ＋１＝a ２n －２,且a １＝５２,求a n {}的通项公式．上述引例是复习数列时,学生问笔者的一道题．这是一类比较特殊的数列．事实上,题目中的常数项－２是解题的难点,因此本题的突破点在于如何把－２消解掉．我们考虑如下代换:令a n ＝b n ＋１b n ,易知b n ＞０,且不妨设b １＝２．代入a n ＋１＝a ２n－２,得b n ＋１＋１b n ＋１＝b ２n ＋１b ２n．当b n ＋１＝b ２n 时,上述式子恒成立,在此条件下得到l n b n ＋１＝２l n b n ,于是l n b n {}构成等比数列．由于l n b １＝l n ２,因此可得l n b n ＝２n －１l n２,故b n ＝２２n －１,故a n ＝２２n －１＋１２２n －１．通过验证可知上述a n 是满足题目的一个解,又根据原数列的递推公式可知该数列有且仅有一个解,因此上述解即为满足题目的全部解．点评:上述代换方法具有一定的技巧性,在得到b n ＋１＋１b n ＋１＝b ２n ＋１b ２n这个式子后,我们是直接找了满足该式的一个解而不是试图给出全部解,最后通过数列{a n }的唯一性确定了本题的全部解．事实上,假设b n ＋１＝１b ２n也能得到相同的结果．２主要结果在前述引例的基础上,笔者进行了推广,得到如下定理:定理㊀已知数列{x n },n ɪN ∗,满足x n ＋１＝a x ２n ＋b x n ＋c ,a ,b ,c ɪR ,a ＞０,x １是给定实数,令p ＝b ２－４a c －２b ４,y １＝ax １＋b２,已知y １ȡ１,则有以下三种情形:(１)p ＝０时,x n ＝a ２n －１－１(x １＋b ２a)２n －１－b ２a．(２)p ＝２时,x n ＝１a (z １２n －１＋１z １２n －１)－b２a,其中z １＝y １＋y ２１－４２,y １＝a x １＋b ２．当y ２１－４＜０时,约定y ２１－４＝４－y ２１i ．(３)p ＜０时,存在实数s 和仅依赖于a ,b 的实数q ,使得∀n ɪN ∗,|x n －１as ２n －１|＜q ．证明:先把含有x n 的项以及常数项消去,为此令x n ＝y n a －b２a,代入x n ＋１＝a x ２n ＋b x n ＋c ,得y n ＋１＝y ２n－b ２－４a c －２b４．也即㊀㊀㊀㊀㊀㊀y n ＋１＝y ２n －p ．①下面对p 进行分类讨论．情形一,p ＝０．由y n ＋１＝y ２n ,得y n ＝y ２n －１１．将x n ＝y n a －b ２a 代入上式,得x n ＝a ２n －１－１(x １＋b ２a)２n －１－b ２a,n ɪN ∗．其中b ２－４a c －２b ＝０．情形二,p ＝２．此时y n ＋１＝y ２n －２．令y n ＝z n ＋１z n,z n 不一定为实数列,则可得到z n ＋１＋１z n ＋１＝z ２n ＋１z ２n,且z n ＋１＝z ２n 是上式的一个解,由此迭代得到z n ＝z ２n －１１,因５８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.竞赛强基２０２３年８月上半月㊀㊀㊀此y n ＝z ２n －１１＋１z ２n －１１,x n ＝１a (z ２n －１１＋１z ２n －１１)－b２a ,其中z １＝y １＋y ２１－４２,y １＝a x １＋b ２．情形三,p ＜０．由①式,得l n y n ＋１＝l n (y ２n －p )＝２l n y n ＋l n (１－p y ２n )．令m n ＝l n y n ,则有m n ＋１＝２m n ＋l n (１－p y ２n)．由此迭代,得到m n ＋１＝２２m n －１＋２１l n (１－p y ２n －１)＋２０l n (１－p y ２n)＝＝２nm １＋ðni ＝１２n －il n (１－py ２i )＝２nm １＋ðɕi ＝１２n －il n (１－py ２i )－ðɕi ＝n ＋１２n －il n (１－p y ２i )＝２nm １＋㊀ðɕi ＝１１２il n (１－p y ２i)æèçöø÷－ðɕi ＝１１２il n (１－p y ２n ＋i)．令m １＋ðɕi ＝１１２il n (１－p y２i)＝l n s ,利用数学分析中的单调有界定理,易知l n s 是一个实数．再令t n ＋１＝ðɕi ＝１１２i l n (１－p y ２n ＋i ),由此得到m n ＋１＝２nl n s －t n ＋１．于是㊀㊀㊀㊀㊀y n ＋１＝em n ＋１＝s ２ne－t n ＋１．②由l n (１－p y ２n ＋i )ɤl n (１－py ２n ＋１),得０＜t n ＋１＜l n (１－p y n ＋１２)．由式②,可知s ２n１－p y ２n ＋１＜y n ＋１＜s ２n ．整理上述不等式的左边,得y n ＋１－p y n ＋１＞s ２n ,这意味着y n ＋１－s２n＜－p y n ＋１ɤ－p１－p＜１．特别地,当n ȡ２时,y n ＋１ȡ(１－p )２－p ＝１＋p ２－３p ,此时y n ＋１－s ２n＜－p y n ＋１ɤ－p １＋p ２－３pɤ１５．其中s ＝y １e ðɕi ＝１１２i l n (１－py i)．所以x n －１a s ２n －１|＜１５a ＋|b |２a,其中s ＝(a x １＋b ２)e ðɕi ＝１１２i l n １－pa x i ＋b ２()２æèçöø÷,可取q ＝１５a＋|b |２a,证毕．３应用例１㊀已知数列{x n }满足x n ＋１＝２x ２n ＋６x n ＋２,且x １＝１,求数列x n {}的通项公式．解:注意到题中递推式满足(b －１)２－４a c ＝９,其中a ＝２,b ＝６,c ＝２,因此可以利用情形二的结果．此时对应的y １＝ax １＋b ２＝５,z １＝y １＋y ２１－４２＝５＋㊀２１２,故数列x {n }的通项公式是x n ＝１２(５＋２１２)２n －１＋(５－２１２)２n －１éëêêùûúú－３２．点评:通项公式带有根式,看起来不像整数序列,但是根据例１的递推式可知它的每一项都是正整数,因此我们可以得到一个有趣的结论若x n ＝１２(５＋２１２)２n －１＋(５－２１２)２n －１éëêêùûúú－３２,则数列x {n }是正整数数列．例２㊀已知数列y {n },n ɪN ∗,满足y n ＋１＝y ２n ＋１,且y １＝１,则存在实数s ,使得y n －s ２n －１＜１５．证明:这是情形三中p ＝－１,y １＝１的情况,利用情形三中的公式,可得y １＝１,y ２＝２,y n －s ２n －１＜１５,其中s ＝e ðɕi ＝１１２i l n (１－py i)．利用m a t h e m a t i c a 符号计算软件计算数值s 约为s ＝１．５０２８３６８０１０４９７５６４９９７５４解题心得二次非线性递推数列和分形几何有着密切的联系,所有使得y n ＋１＝y ２n ＋c 收敛的复数y １构成一个和复数c 相关的J u l i a 集,笔者利用电脑向提问题的学生演示了J u l i a 集的图象,他感到非常惊讶．笔者告诉学生,关于J u l i a 集的研究有很多,一个通俗的问题是 这样的集合有没有正面积? ２０１０年,有人证明了存在J u l i a 集有正测度,这个结果登上了I C M 的４５分钟报告．学生听后感叹道:没有想到一个看似简单的中学数学问题可以和前沿领域的研究产生联系．笔者亦感慨万千．Z６８Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。