高中数学：线性递推数列的几种解法

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。

这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。

一、一阶递推数列1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以11-+p qa 为首项以p 为公比的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}21-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32111+=∴⋅--n n n a2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

数列专题——线性递推数列的求法已经掌握的数列通项求法：（1）公式法：等差、等比；（2）n S 法，即1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩；（3）1()n n a a f n +-=累加法、1()n na f n a +=累乘法； （4）1n n a pa q +=+构造法（等比数列）；1()n n a pa f n +=+，()f n 为高中数学的一些基本初等函数，例如一次函数、二次函数、指数函数、高次函数等等，那么用“待定系数构造等比数列、等差数列” ．1．1 推广之一，()f n 为一次函数：即1n n a pa bn c +=++，()f n 为一次函数时，即1n n a pa bn c +=++，此法可行高效．只需构造1[(1)]n n a n u p a n u λλ+++=+-+，利用待定系数求出λ与u 即可．例1 (04年全国高中数学联赛四川省初赛) 数列{}n a 满足11a =，122(2)nn a a n n -=+-≥，求通项n a ．分析：令：12[(1)]n n a n u a n u λλ-++=+-+ 整理：122nn a a n u λλ-=+-+由待定系数：122u λλ=⎧⎨-+=-⎩，得：10u λ=⎧⎨=⎩所以：12[(1)](2)n n a n a n n -+=+-≥即：{}n a n +是以11a +为首项，2为公比的等比数列，得：2n n a n =- 练习：1． (07天津文20) 在数列{}n a 中，12a =，1431n n a a n +=-+，n ∈*N ．(1)证明数列{}n a n -是等比数列；(2)求n a 前n 项和n S ；(3)略答案：14n n a n -=+；41(1)32n n n n S -+=+ 1．2 推广之二，()f n 为二次或二次以上函数： 即11121m m n n m m a pa c n c n c n c -++=+++++ ，其中：p ,*(11,,2)i c i m m N m ≤≤+∈≥为常数 例2 已知数列{}n a 满足11a =，212n n a a n +=+，求通项n a ．分析：令： 221(1)(1)2()n n a n u n v a n un v λλ++++++=+++ 整理：212(2)n n a a n u n v u λλλ+=++-+--由待定系数：2200u v u λλλ=⎧⎪-=⎨⎪--=⎩，得：246u v λ=⎧⎪=⎨⎪=⎩所以：2122(1)4(1)62246n n a n n a n n ++++++=+++ 即：2{246}n a n n +++是以1246a +++为首项，2为公比的等比数列，得：12132246n n a n n -=⋅---注：继续推广，()f n 为二次函数(或二次以上时)，此法仍旧可行高效，只需构造，221(1)(1)()n n a n u n v p a n un v λλ++++++=+++利用待定系数求出λ、u 与v 即可．1．3 推广之三，()f n 为指数函数：即1n n n a pa q +=+（此种类型构造等差比构造等比容易，建议讲构造等差，较好解决，下面的方法是构造等比的）例3 (08年高考四川卷20) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n n n ba b S -=-(1)证明：当2b =时，{}12n n a n --⋅是等比数列；(2)求{}n a 的通项公式．分析：由题意知12a =，且()21n n n ba b S -=-，()11121n n n ba b S +++-=-， 两式相减得：()()1121n n n n b a a b a ++--=-，即：12n n n a ba +=+ ①(1)当2b ≠时，得：112n n a λ+++=()2n n b a λ+，12b λ=-- 易得：()112222n n n a b b b-⎡⎤=+-⎣⎦-．（本小题也可以构造等差数列） (2)当2b =时，由①知122n n n a a +=+，两边除以12n +，构造等差数列， 当2b =时，由(1)知()112n n a n -=+．综合：例4 已知数列}a {n 满足1a 425a 3a 1n n 1n =+⋅+=+，，求数列}a {n 的通项公式．解：设)y 2x a (3y 2x a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++⑥将425a 3a n n 1n +⋅+=+代入⑥式，得： )y 2x a (3y 2x 425a 3n n 1n n n +⋅+=+⋅++⋅++，整理得y 32x 3y 42)x 25(n n +⋅=++⋅+．令⎩⎨⎧=+=+y 3y 4x 3x 25，则⎩⎨⎧==2y 5x，代入⑥式，得： )225a (3225a n n 1n 1n +⋅+=+⋅+++ ⑦ 由013121225a 11≠=+=+⋅+及⑦式，得0225a n n ≠+⋅+，则3225a 225an n 1n 1n =+⋅++⋅+++，故数列}225a {n n +⋅+是以13121225a 11=+=+⋅+为首项，以3为公比的等比数列，因此1n n n 313225a -⋅=+⋅+，则225313a n 1n n -⋅-⋅=-．。

一阶线性递推数列的通项公式的5种求法 研究一阶线性递推数列d ca a n n +=-1，（0c ≠，1c ≠，0d ≠），1a a =的通项公式各种求法，分析各种解法的适用条件，比较各种解法的优劣，挖掘各种解法的本质，探寻各种数列通项公式求法.解法一：等式两边同除法d ca a n n +=-1可化为11n n n n n a a d c c c --=+，令n n n a b c =，则1a b c =，1n n n d b b c--=， 因此，11122112111()()()()n n n n n n n b b b b b b b b d c c c -----=-+-++-=+++L L ， 即：1(1)(1)n n n d c a b c c c --=+-，所以，1()11n n d d a a c c c -=+---. 解法二：构造法 由解法一可知，1()11n n d d a a c c c -+=+--， 那么d ca a n n +=-1一定可化为1()n n a m c a m -+=+，比较d ca a n n +=-1和1n n a ca cm m -=+-可知1d m c =-，即1()11n n d d a c a c c -+=+-- ， 令1n n d b a c =+-，则11d b a c =+-，1n n b cb -=， 因此，数列{n b }是以11d b a c =+-为首项，以c 为公比的等比数列. 所以，111()1n n n d b b c a c c --==+-，即：1()11n n d d a a c c c -=+---. 解法三：“不动点”法设0x 是函数()f x cx d =+的不动点，则00x cx d =+，解得01d x c=-， 那么d ca a n n +=-1可以化为11()111n n n d d d a ca d c a c c c---=+-=---- 下同解法二.解法四：“升降下标作差”法由d ca a n n +=-1…………① 可得 1n n a ca d +=+…………②②-①得11()n n n n a a c a a +--=-，2n ≥.令1n n n b a a +=-，则1n n b cb -=，且121b a a ca d a =-=+-，所以1()n n b ca d a c -=+-，即11()n n n a a ca d a c -+-=+-，22111221()()()()(1)n n n n n n a a a a a a a a ca d a c c c -----=-+-++-=+-++++L L111()()()111n n n c d d a ca d a a a c c c c ---=+-+=+----. 解法五：待定系数法由以上解法得出的结果看，满足d ca a n n +=-1，（0c ≠，1c ≠，0d ≠），1a a =的 数列{n a }的通项公式就是1n n a Ac B -=+型，由于2a ca d =+， 所以有12a A B a a Ac B ca d =+=⎧⎨=+=+⎩解关于A B 、的方程组得，,11d d A a B c c =+=---. 故1()11n n d d a a c c c -=+---.。

利用递推关系求数列通项的九种类型及解法某某汤阴一中 杨焕庆〔2006。

4〕1.形如)(1n f a a nn =-+型〔1〕假设f(n)为常数,即：d a a n n =-+1,此时数列为等差数列，那么n a =d n a )1(1-+.〔2〕假设f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1n f a a n n =-+得：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n ，)2(23f a a =-)1(12f a a =-所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- 即：∑-=+=111)(n k n k f a a .为了书写方便，也可用横式来写：2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .例 1. 〔2003某某文〕 数列｛a n ｝满足)2(3,1111≥+==--n a a a n n n ,证明213-=n n a证明：由得：故,311--=-n n n a a112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---=.213133321-=++++--n n n ∴213-=n n a .例 2.数列{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：12+-n n例3.数列}{n a 满足31=a ，)2()1(11≥-+=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.答案：na n 12-= 评注：a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .①假设f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②假设f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;③假设f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④假设f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。

这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。

一、一阶递推数列1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以11-+p qa 为首项以p 为公比的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}21-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32111+=∴⋅--n n n a2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

第二讲递推公式求解
递推公式是求解递归问题的一种方法，它可以用简单的表达式描述系
统的行为，以确定或猜测系统未来的行为。

在数学上，它是一个表达式，
可以将系统的当前状态用于计算下一状态的值，并将其用于下一步的计算。

递推公式一般有两种形式，即线性递推公式和非线性递推公式。

线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果也是线性的，即
其中的变量与n的关系可以表示为一个线性的方程式。

线性递推公式可以
用于求解递归问题。

例如，求解有线性递推公式的递归问题：F(n)=F(n-1)+F(n-2)。

非线性递推公式是指当n（当前状态）变化时，其结果是非线性的，
即其中的变量与n的关系不能表示为一个线性方程式。

非线性递推公式可
以用于求解递归问题，例如，求解非线性递推公式的递归问题：
F(n)=F(n-1)×F(n-2)。

在许多情况下，线性递推公式可以用来求解递归问题，而非线性递推
公式要更加复杂，但它们可以用来求解一些比较复杂的递推问题。

求解递推公式的一般步骤如下：
（1）找出递推公式，并得到它的形式；
（2）如果是线性递推，解出其特征方程；
（3）根据特征方程和起始条件确定递推公式的解；。

几种递推数列通项公式的求法递推数列常常是高考命题的热点之一.所谓递推数列,是指由递推公式所确定的数列.由相邻两项的关系给出的递推公式称为一阶递推公式，由相邻三项的关系给出的递推公式称为二阶递推公式，依次类推.等差数列和等比数列是最基本的递推数列.递推数列基本问题之一是由递推关系求通项公式.下面是常见的递推数列及其通项公式的求法． 1 一阶线性递推数列求通项问题一阶线性递推数列主要有如下几种形式： （1）1()n n x x f n +=+这类递推数列可通过累加法而求得其通项公式(数列{f(n)}可求前n 项和).当()f n 为常数时，通过累加法可求得等差数列的通项公式．而当()f n 为等差数列时，则1()n n x x f n +=+为二阶等差数列，其通项公式应当为2n x an bn c =++形式，注意与等差数列求和公式一般形式的区别，后者是2n S an bn =+，其常数项一定为０． （2）1()n n x g n x +=这类递推数列可通过累乘法而求得其通项公式(数列{g(n)}可求前n 项积). 当()g n 为常数时，用累乘法可求得等比数列的通项公式．（3）1(,0,1)n+n x =qx +d q,d q q ≠≠为常数；这类数列通常可转化为1()n n x p q x p ++=+，或消去常数转化为二阶递推式211()n n n n x x q x x +++-=-.［例１］已知数列n x ｛｝中，11121(2)n n x x x n -==+≥，,求n x ｛｝的通项公式．［解析］解法一．转化为1()n n x p q x p ++=+型递推数列．∵121(2)n n x x n -=+≥，∴112(1)(2)n n x x n -+=+≥，又112x +=，故数列｛1n x +｝是首项为２，公比为２的等比数列．∴12nn x +=，即21nn x =-．解法二．转化为211()n n n n x x q x x +++-=-型递推数列． ∵n x =2x n-1+1(n ≥2) ① ∴1n x +=2x n +1 ②②－①，得112()n n n n x x x x +--=-(n ≥2)，故｛1n n x x +-｝是首项为x 2-x 1=2，公比为２的等比数列，即11222n n n n x x -+-==，再用累加法得21n n x =-．解法三．用迭代法．21231221212(21)12212222121n n n n n n n n x x x x x ------=+=++=++=++++=- ．当然,此题也可用归纳猜想法求之，但要用数学归纳法证明．［例２］已知函数1()22(1)2f x x x =-+≤≤的反函数为121(),1,()yg x x x g x ===，321(),,(),,n n x g x x g x -== 求数列n x ｛｝的通项公式. [解析]由已知得1()1(01)2g x x x =-+≤≤，则1111,1(2)2n n x x x n -==-+≥． 令11()2n n x p x p -+=-+=,则11322n n x x p -=--.比较系数，得23p =-.即有1212()(2)323n n x x n --=--≥．∴数列｛23n x -｝是以12133x -=为首项，12-为公比的等比数列，∴1211()332n n x --=-，故1112()323n n x -=-+．［评析］此题亦可采用归纳猜想得出通项公式，而后用数学归纳法证明之． （4）1(,nn n cx x c d x d+=+为非零常数）； 若取倒数,得1111n n d x c x c+=+ ，令1n n y x =，从而转化为（1）型而求之.（5）1(,1,1)nn+n x =qx +d q,d q d ≠≠为非零常数； 这类数列可变换成111n n n n x x q d d d d ++=+ ，令n nnx y d =，则转化为(1)型一阶线性递推公式. ［例３］设数列11132(*)nn n n x x x x n N +==+∈.｛｝满足：，求数列n x ｛｝的通项公式．［解析］∵132nn n x x +=+，两边同除以12n +，得11312222n n n nx x ++=+ ．令322nn n x y = ，则有13122n n y y +=+ ．于是，得131(1)2n n y y ++=+，∴数列1n y +｛｝是以首项为37144+=，公比为32的等比数列，故1731()42n n y -+= ，即173()142n n y -=- ，从而2117323n n n x -+=- ．［例４］设10132(*)n n n x x x n N --=-∈为常数，且，求数列n x ｛｝的通项公式．［解析］设1132(3)nn n n x p x p --+=-+，用1132n n n x x --=-代入，可解出15p =-．∴35n n x -｛｝是以公比为-2，首项为00332122555x x x -=--=-１的等比数列． ∴1032(2)(2)55n n n x x --=--，即1023(2)(2)55n n n x x -=--+03(1)2(1)2(*)5n n n n n x n N --=+-∈ ．（6）1(00,0,1)pn+n n x =cx x ,c p p >>>≠这类数列可取对数得1lg lg lg n n x x c +=+，从而转化为等差数列型递推数列. 2 可转化为等差、等比数列或一些特殊数列的二阶递推数列［例５］设数列12215521(*)333n n n n x x x x x x n N ++===-∈.｛｝满足：，，求数列n x ｛｝的通项公式． ［解析］由2152(*)33n n n x x x n N ++=-∈，可得 2111222()(*)333n n n n n n x x x x x x n N ++++=-=-∈.－设11212521333n n n n y x x y y x x +=-=-=-=，则｛｝是公比为的等比数列，且，故2(*)3n y n N =∈n （）．即12(2)3n n x x n --=≥n-1（）．用累加法得 12111221222()()()()()333n n n n n n n x x x x x x x x ------=-+-++-=+++ ，或 11221112()()()222()()1333n n n n n n n x x x x x x x x -----=-+-++-+=++++21()233[1()]2313nn -==--). ［例６］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===+∈｛｝中，已知，，求数列n x ｛｝的通项公式．［解析］可用换元法将其转化为一阶线性递推数列．令11n n n y x a x +=-，使数列n y ｛｝是以2a 为公比的等比数列(1,a a ２待定)．即211211()n n n n x a x a x a x +++-=-，∴212112()n n n x a a x a a x ++=+-．对照已给递推式，有121211a a a a +==-，，即21210a a x x --=、是方程的两个实根．从而121211112222a a a a -====∴211111222n n n n x x x x ++++-=-) ①或211111222n n n n x x x x +++--=-) ②由式①得111(22n n n x x ++-=；由式②得111(22nn n x x +--=．消去111()(22n nn n x x ++=-１，得］．［例７］在数列12211(*)n n n n x x x x x x n N ++===-∈｛｝中，已知，，求100x ．［解析］由21n n n x x x ++=- ①，得321n n n x x x +++=- ②．式②+式①，得3n n x x +=-，从而有63n n n x x x ++=-=．∴数列n x ｛｝是以６为其周期．故100x =4x =-1．3 特殊的n 阶递推数列［例８］已知数列n x ｛｝满足11231123(1)(2)n n x x x x x n x n -==++++-≥ ，，求n x ｛｝的通项公式．［解析］∵123123(1)(2)n n x x x x n x n -=++++-≥ ①∴1123223(2)(3)n n x x x x n x n --=++++-≥ ② ②－①，得1(3)n n x nx n -=≥．∴1(3)nn x n n x -=≥，故有 1312213n n n n x x x n n x x x ---==-=. ，， 将这几个式子累乘，得22(1)(2)3(1)(2)3nn x n n n x n n n x x =--==--. ，或 又1211(1),11,!(2)2n n x x x x n n =⎧⎪====⎨≥⎪⎩ ，故 ．［例9］数列｛n x ｝满足21121,2n n x x x x n x =+++= ，求数列｛n x ｝的同项公式．［解析］由212n n x x x n x +++= ①，得21211(1)(2)n n x x x n x n --+++=-≥ ②． 式①－式②，得221(1)n n n x n x n x -=--，或2221(1)(1)n n n n n x n x x n x --=-=-，故有11(2)1n n x n n x n --=≥+　. ∴12312341234,,,,112n n n n n n n n x x x x n n n n x n x n x n x n -----------====+-- ,322121,43x x x x ==. 将上面几个式子累乘，得121(1)n x x n n =+ ，即1211(2)(1)(1)n x x n n n n n==≥++ ．∵112x =也满足上式，∴1211(*)(1)(1)n x x n N n n n n ==∈++ ．以上就是常见的一些递推数列及其通项公式的一般求法．这些知识是拓展性的，超出了课本的要求范围，但它们在高考题中时常会见到，有时是以证明题形式出现，如果比较系统地掌握了这些知识，解答这类题目就容易把握．。

求递推数列的通项公式的九种办法应用递推数列求通项公式,在理论上和实践中均有较高的价值.自从二十世纪八十年月以来,这一向是全国高考和高中数学联赛的热门之一. 一.作差乞降法例1 在数列{n a }中,31=a ,)1(11++=+n n a a n n ,求通项公式n a .解：原递推式可化为：1111+-+=+n n a a n n 则,211112-+=a a 312123-+=a a413134-+=a a ,……,n n a a n n 1111--+=-逐项相加得：n a a n 111-+=.故na n 14-=.二.作商乞降法例 2 设数列{n a }是首项为1的正项数列,且0)1(1221=+-+++n n n n a a na a n （n=1,2,3…）,则它的通项公式是n a =▁▁▁（2000年高考15题） 解：原递推式可化为：)]()1[(11n n n n a a na a n +-+++=0 ∵n n a a ++1＞0,11+=+n na a n n 则,43,32,21342312===a a a a a a ……,n n a a n n 11-=- 逐项相乘得：na a n 11=,即n a =n1.三.换元法例3 已知数列{n a },个中913,3421==a a ,且当n ≥3时,)(31211----=-n n n n a a a a ,求通项公式n a （1986年高考文科第八题改编）. 解：设11---=n n n a a b ,原递推式可化为：}{,3121n n n b b b --=是一个等比数列,9134913121=-=-=a a b ,公比为31.故n n n n b b )31()31(91)31(2211==⋅=---.故n n n a a )31(1=--.由逐差法可得：n n a )31(2123-=.例4已知数列{n a },个中2,121==a a ,且当n ≥3时,1221=+---n n n a a a ,求通项公式n a .解 由1221=+---n n n a a a 得：1)()(211=------n n n n a a a a ,令11---=n n n a a b ,则上式为121=---n n b b ,是以}{n b 是一个等差数列,1121=-=a a b n b n =..因为112312121-=-++-+-=+++--n n n n a a a a a a a b b b 又2)1(121-=+++-n n b b b n 所以)1(211-=-n n a n ,即)2(212+-=n n a n 四.积差相消法例5设正数列0a ,1a ,n a …,n a ,…知足2-n n a a 21---n n a a =12-n a )2(≥n 且110==a a ,求}{n a 的通项公式.解 将递推式双方同除以21--n n a a 整顿得：12211=----n n n n a aa a 设nb =1-n n a a ,则011a a b ==1,121=--n n b b ,故有1212=-b b ⑴1223=-b b ⑵…………121=--n n b b (1-n )由⑴22-⨯n + ⑵32-⨯n +…+(1-n )02得122221-++++=n n b =12-n ,即1-n na a =12-n .逐项相乘得：n a =2)12(-222)12()12(-⋅⋅-⋅n ,斟酌到10=a ,故 ⎩⎨⎧-⋅⋅--=2222)12()12()12(1n n a )1()0(≥=n n . 五.取倒数法例6 已知数列{n a }中,个中,11=a ,且当n ≥2时,1211+=--n n n a a a ,求通项公式n a .解 将1211+=--n n n a a a 双方取倒数得：2111=--n n a a ,这解释}1{na 是一个等差数列,首项是111=a ,公役为2,所以122)1(11-=⨯-+=n n a n ,即121-=n a n . 六.取对数法例7 若数列{n a }中,1a =3且21n n a a =+（n 是正整数）,则它的通项公式是n a =▁▁▁（2002年上海高考题）.解 由题意知n a ＞0,将21n n a a =+双方取对数得n n a a lg 2lg 1=+,即2lg lg 1=+nn a a ,所以数列}{lg n a 是以1lg a =3lg 为首项,公比为2的等比数列,12113lg 2lg lg -=⋅=-n n n a a ,即123-=n n a .七.平方（开方）法例8 若数列{n a }中,1a =2且213-+=n n a a （n 2≥）,求它的通项公式是n a .解 将213-+=n n a a 双方平方整顿得3212=--n n a a .数列{2n a }是以21a =4为首项,3为公役的等差数列.133)1(212+=⨯-+=n n a a n .因为n a ＞0,所以13+=n a n . 八.待定系数法待定系数法解题的症结是从计谋上规范一个递推式可变成为何种等比数列,可以少走弯路.其变换的根本情势如下：1.B Aa a n n +=+1（A.B 为常数）型,可化为λ++1n a =A （λ+n a ）的情势. 例9 若数列{n a }中,1a =1,n S 是数列{n a }的前n 项之和,且nn n S S S 431+=+（n 1≥）,求数列{n a }的通项公式是n a . 解 递推式nnn S S S 431+=+可变形为41311+⋅=+nn S S （1） 设（1）式可化为)1(311λλ+=++nn S S （2） 比较（1）式与（2）式的系数可得2=λ,则有)21(3211+=++n n S S .故数列{21+nS }是认为3211=+S 首项,3为公比的等比数列.21+n S =n n 3331=⋅-.所以131-=n n S . 当n 2≥,1238332231231211+⋅-⋅-=---=-=--n n nn n n n n S S a . 数列{n a }的通项公式是⎪⎩⎪⎨⎧+⋅-⋅-=123833212n n nn a )2()1(≥=n n .2.B Aa a n n +=+1n C ⋅（A.B.C 为常数,下同）型,可化为11++⋅+n n C a λ=n n C a A ⋅+λ(）的情势.例10 在数列{n a }中,,342,1111-+⋅+=-=n n n a a a 求通项公式n a . 解：原递推式可化为：)3(2311-+⋅+=⋅+n n n n a a λλ①比较系数得λ=-4,①式等于：)34(23411-+⋅-=⋅-n n n n a a .则数列}34{1-⋅-n n a 是一个等比数列,其首项534111-=⋅--a ,公比是2. ∴112534--⋅-=⋅-n n n a 即112534--⋅-⋅=n n n a .3.n n n a B a A a ⋅+⋅=++12型,可化为)()(112n n n n a a A a a λλλ+⋅+=++++的情势.例11 在数列{n a }中,2,121=-=a a ,当N n ∈,n n n a a a 6512-=++① 求通项公式n a . 解：①式可化为：比较系数得λ=-3或λ=-2,无妨取λ=-2.①式可化为：则}2{1n n a a -+是一个等比数列,首项122a a -=2-2（-1）=4,公比为3. ∴11342-+⋅=-n n n a a .应用上题成果有：112534--⋅-⋅=n n n a .4.C Bn Aa a n n ++=+1型,可化为])1([21211λλλλ+-+=+++n a A n a n n 的情势. 例12 在数列{n a }中,231=a ,12--n n a a =63-n ①求通项公式n a . 解 ①式可化为：21121)1()(2λλλλ+-+=++-n a n a n n ② 比较系数可得：1λ =-6,92=λ,② 式为12-=n n b b}{n b 是一个等比数列,首项299611=+-=n a b ,公比为21.∴1)21(29-=n n b 即 n n n a )21(996⋅=+-故96)21(9-+⋅=n a n n . 九.猜测法应用猜测法解题的一般步调是：起首应用所给的递推式求出123,,,a a a ……,然后猜测出知足递推式的一个通项公式n a ,最后用数学归纳法证实猜测是准确的. 例13 在各项均为正数的数列{}n a 中,n S 为数列{}n a 的前n 项和,n S =1(2n a +1)na ,求其通项公式.求递推数列通项的特点根法与不动点法一.形如21(,n n n a pa qa p q ++=+是常数）的数列形如112221,,(,n n n a m a m a pa qa p q ++===+是常数）的二阶递推数列都可用特点根法求得通项n a ,其特点方程为2x px q =+…①若①有二异根,αβ,则可令1212(,n n n a c c c c αβ=+是待定常数） 若①有二重根αβ=,则可令1212()(,n n a c nc c c α=+是待定常数） 再应用1122,,a m a m ==可求得12,c c ,进而求得n a ．例1．已知数列{}n a 知足*12212,3,32()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特点方程为232x x =-,解得121,2x x ==,令1212n n n a c c =⋅+⋅,由1122122243a c c a c c =+=⎧⎨=+=⎩,得12112c c =⎧⎪⎨=⎪⎩,112n n a -∴=+．例2．已知数列{}n a 知足*12211,2,44()n n n a a a a a n N ++===-∈,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特点方程为2441x x =-,解得1212x x ==,令()1212nn a c nc ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭,由1122121()121(2)24a c c a c c ⎧=+⨯=⎪⎪⎨⎪=+⨯=⎪⎩,得1246c c =-⎧⎨=⎩,1322n n n a --∴=．二.形如2n n n Aa Ba Ca D++=+的数列对于数列2n n n Aa Ba Ca D++=+,*1,(,,,a m n N A B C D =∈是常数且0,0C AD BC ≠-≠）其特点方程为Ax B x Cx D+=+,变形为2()0Cx D A x B +--=…②若②有二异根,αβ,则可令11n nn n a a c a a ααββ++--=⋅--（个中c 是待定常数）,代入12,a a 的值可求得c 值．如许数列n n a a αβ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为11a a αβ--,公比为c 的等比数列,于是如许可求得n a ． 若②有二重根αβ=,则可令111n n c a a αα+=+--（个中c 是待定常数）,代入12,a a 的值可求得c 值． 如许数列1n a α⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是首项为1n a α-,公役为c 的等差数列,于是如许可求得n a ． 此办法又称不动点法．例3．已知数列{}n a 知足11122,(2)21n n n a a a n a --+==≥+,求数列{}n a 的通项n a ．解：其特点方程为221x x x +=+,化简得2220x -=,解得121,1x x ==-,令111111n n n n a a c a a ++--=⋅++由12,a =得245a =,可得13c =-,∴数列11n n a a ⎧⎫-⎨⎬+⎩⎭是认为111113a a -=+首项,认为13-公比的等比数列,1111133n n n a a --⎛⎫∴=⋅- ⎪+⎝⎭,3(1)3(1)n n n n na --∴=+-． 例4．已知数列{}n a 知足*11212,()46n n n a a a n N a +-==∈+,求数列{}n a 的通项n a ． 解：其特点方程为2146x x x -=+,即24410x x ++=,解得1212x x ==-,令1111122n n c a a +=+++由12,a =得2314a =,求得1c =, ∴数列112n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬⎪⎪+⎩⎭是认为112152a =+首项,认为1公役的等差数列,123(1)11552n n n a ∴=+-⋅=-+,135106n na n -∴=-．。

２０２４年５月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀相邻三项线性递推关系数列通项的简便求法∗◉陕西省西安市第七十一中学㊀尚㊀萍㊀㊀摘要:熟练掌握数列通项公式的求解是高考以及各类考试的基本要求．在高中阶段,相邻三项线性递推关系数列通项公式的求解是一个难点,需要构造相邻两项的差为特殊数列进行求解,具有一定的难度．本文中在常规解法的基础上,用特征方程法快速准确地求解通项公式,大大缩短了求解时间．关键词:递推数列;特征方程;通项公式１一个实例及解法例１㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝２a n ＋３a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．解法１:常规解法．因为a n ＋１＝２a n ＋３a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋),所以a n ＋１＋a n ＝３(a n ＋a n －１)(n ȡ２)．又因为a ２＋a １＝３,所以{a n ＋１＋a n }是以３为首项,３为公比的等比数列．所以a n ＋１＋a n ＝３ˑ３n －１＝３n ,从而a n ＋１３n ＋１＋１３ a n ３n ＝１３．进一步,a n ＋１３n ＋１－１４＝－１３(a n３n －１４)．又因为a １３－１４＝１１２,所以数列a n ３n －１４{}是首项为１１２,公比为－１３的等比数列．故a n ３n －１４＝１１２ˑ(－１３)n －１．所以a n ＝３n －(－１)n４．解法２:特征方程法．设a n ＋１－x １a n ＝x ２(a n －x １a n －１),与a n ＋１＝２a n ＋３a n －１比较系数,得x １＋x ２＝２,x １x ２＝－３．{由韦达定理可知,x １,x ２是方程x ２－２x －３＝０的两根－１和３．取x １＝－１,x ２＝３,有a n ＋１＋a n ＝３(a n ＋a n －１)．又因为a ２＋a １＝３,所以{a n ＋１＋a n }是以３为首项,３为公比的等比数列,所以a n ＋１＋a n ＝３ˑ３n －１＝３n．取x １＝３,x ２＝－１,有a n ＋１－３a n ＝－(a n －３a n －１)．又因为a ２－３a １＝－１,所以{a n ＋１－３a n }是以－１为首项,－１为公比的等比数列,则a n ＋１－３a n ＝(－１)ˑ(－１)n －１＝(－１)n ．于是有a n ＋１＋a n ＝３n,a n ＋１－３a n ＝(－１)n,{由方程组解法可知a n 是(－１)n 和３n的线性组合．因此,设a n ＝c １ (－１)n ＋c ２３n ．又因为a １＝１,a ２＝２,代入方程解得c １＝－１４,c ２＝１４．ìîíïïïï所以a n ＝３n－(－１)n４．２利用特征方程法解题的步骤由例１解法２的解析可以看出,特征方程法是将相邻两项的线性组合构造成等比数列[１],而对应的系数刚好是题目中相邻三项线性递推关系数列的特征方程的根,通过解特征方程可以直接写出最终a n 的表达形式,再根据数列中的任意两项,求出线性组合的系数,最终得到数列{a n }的通项公式[２]．因此可以将解题过程简化为以下三个步骤:(１)写出特征方程并求出两根x １,x ２;(２)设a n ＝c １ x n １＋c ２ x n ２;(３)将a １,a ２的值代入求出系数c １,c ２,进而写出数列{a n }的通项公式．例２㊀已知数列{a n }满足a １＝a ２＝２,且a n ＋１＝３a n ＋４a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．３０１∗课题信息:２０２２年陕西省教育科学规划课题基于核心素养的高中数学教育与 立德树人 的实践研究 ,课题批准号为S G H ２２Y ０１４０．解法探究２０２４年５月上半月㊀㊀㊀解析:特征方程法．由题可知,数列的特征方程为x ２－３x －４＝０,解方程得x １＝４,x ２＝－１．因此,设a n ＝c １ (－１)n ＋c ２４n,将a １＝a ２＝２代入,解得c １＝－６５,c ２＝１５．所以a n ＝４n －６ (－１)n５．由例２的解析[３]可以看出,利用特征方程法解决此类问题具有简洁快速的明显优势,同时在解题过程中不容易出现错误,非常适合高中阶段的学生学习和理解．３特征方程法应用中的问题及对策利用特征方程法求解这类问题,关键是构造特征方程．对于形如a n ＋２＝a a n ＋１＋b a n (a ,b 为常数)的递推数列,它的特征方程是x ２＝a x ＋b ,即x ２－a x －b ＝０．另外,既然是二次方程就可能存在两个相等的根和无实根的情形,下面对这两种情形进行探究．例３㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝６a n －９a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求数列{a n }的通项公式．对于此题,首先用特征方程法求解．由题可知,数列的特征方程为x ２－６x ＋９＝０,解得x １＝x ２＝３．因此设a n ＝c １ ３n ＋c ２ ３n,将a １＝１,a ２＝２代入,得３c １＋３c ２＝１,９c １＋９c ２＝２,{无解．因此,例３无法用特征方程法快速求出通项公式．下面继续用构造等差数列的方法重新求解,探求新思路[２]．解析:常规解法．因为a n ＋１＝６a n －９a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋),所以a n ＋１－３a n ＝３(a n －３a n －１)(n ȡ２)．又因为a ２－３a １＝－１,所以{a n ＋１－３a n }是首项为－１,公比为３的等比数列．所以a n ＋１－３a n ＝(－１)ˑ３n －１,从而a n ＋１３n ＋１－a n３n ＝－１９．又因为a １３１＝１３,所以数列a n ３n {}是首项为１３,公差为－１９的等差数列．所以a n ３n ＝１３＋(n －１) (－１９)＝４－n９．故a n ＝(４－n )３n９．由例３可以看出,当特征方程有两个相等的根时,无法用特征方程法求出数列的通项公式,此时需要构造一个新的等差数列,求出这个等差数列的通项公式是A n ＋B 的形式,进而求出数列{a n }的通项公式a n ＝(A n ＋B ) x n ．例４㊀已知数列{a n }满足a １＝１,a ２＝２,且a n ＋１＝a n －a n －１(n ȡ２,n ɪN ＋)．求a ２０２４．解析:由题可知,数列的特征方程为x ２－x ＋１＝０,此方程无实数根．由a １＝１,a ２＝２,a n ＋１＝a n －a n －１分别计算可得a ３＝１,a ４＝－１,a ５＝－２,a ６＝－１,a ７＝１,a ８＝２,所以{a n }是周期为６的周期数列,又２０２４ː６＝３３７ ２,所以a ２０２４＝a ２＝２．由例４可以看出,当特征方程无实数根时,数列{a n }是一个周期数列[２]．这一结论具有普遍性,在这里省略证明．４特征方程法的解法总结根据例２~例４的解答过程可以将相邻三项线性递推关系数列通项公式的求解归纳如下:(Ⅰ)当特征方程有两个不相等的实根时(１)写出特征方程并求出两根x １,x ２;(２)设a n ＝c １ (x １)n ＋c ２ (x ２)n ;(３)将a １,a ２的值代入,求出系数c １,c ２,进而写出数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)当特征方程有两个相等的实根时(１)写出特征方程并求出根x ;(２)设a n ＝(A n ＋B ) x n ;(３)将a １,a ２的值代入,求出系数A ,B ,进而写出数列{a n }的通项公式．(Ⅲ)当特征方程无实数根时分别计算前几项的值,判断数列{a n }的周期性,进而求出{a n }的通项公式．参考文献:[１]卢海英．相邻三项线性递推数列的解法[J ]．中学生数学,２０１９(１５):９,８．[２]黎真．特征方程法求数列通项[J ]．数理天地(高中版),２０２２(２１):１９Ｇ２２,２８．[３]王益洲,李燕．常见构造数列法的探究[J ]．数理化解题研究,２０２３(２１):２Ｇ４．Z ４０１。