分式线性递推数列的通项

数列的递推公式和通项公式数列是数学中的一种常见概念，它由一系列按照一定规律排列的数所组成。

数列的递推公式和通项公式是数列的两种重要表示方式，它们可以帮助我们更好地理解和计算数列。

一、数列的递推公式数列的递推公式是指通过前一项或多项来推导出后一项的公式。

一般来说，递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种。

1.1 线性递推公式线性递推公式是指数列中的每一项都可以通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

一般可以用如下的形式表示：an = a(n-1) * r + b。

其中an表示数列中的第n项，a(n-1)表示数列中的第(n-1)项，r和b 为常数。

例如，如果数列的前两项分别为a1和a2，且每一项都等于前一项乘以2再加上1，则该数列的递推公式为：an = a(n-1) * 2 + 1。

利用这个递推公式，我们可以轻松求解数列中的任意一项。

1.2 非线性递推公式非线性递推公式是指数列中的每一项不能通过前一项乘以一个常数再加上另一个常数得到。

非线性递推公式的形式较为多样，常见的有多项式递推和递归递推等。

以多项式递推为例，假设数列的前两项分别为a1和a2，而后续项满足如下规律：an = an-1^2 + an-2^2。

在这种情况下，我们无法仅仅通过前一项或多项来计算后一项。

此时，我们需要借助递归或其他更复杂的方法来求解数列中的每一项。

二、数列的通项公式数列的通项公式是指通过数列的位置n来计算该位置上的数值。

通项公式可以直接给出数列前n项的数值，而不需要通过递推关系一步步推导。

通项公式也常被称为数列的一般项公式。

2.1 等差数列的通项公式等差数列是最常见的数列之一，它的通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示数列中的第n项，a1表示数列的首项，d表示公差。

例如，如果一个等差数列的首项为3，公差为2，则它的通项公式为an = 3 + (n-1)2。

通过这个通项公式，我们可以轻松计算出等差数列中的任何一项。

数列的递推公式及通项公式数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每个数字称为项，而这些项之间的关系可以通过递推公式和通项公式来描述。

本文将介绍数列的递推公式和通项公式，并通过具体的例子来解释其应用。

一、递推公式递推公式是指通过前一项或多项来确定后一项的公式。

递推公式可以分为线性递推和非线性递推两种类型。

1.1 线性递推线性递推是指数列的每一项都可以通过前一项乘以某个常数再加上某个常数得到。

其一般形式如下：an = a(n-1) * r + d其中，an代表数列中的第n项，a(n-1)代表数列中的第n-1项，r为公比，d为公差。

例如，给定数列1，3，5，7，9，...，其中第一项a1为1，公差d 为2。

根据数列的特点可以确定递推公式为：an = a(n-1) + 2通过递推公式，可以依次计算出数列的每一项。

1.2 非线性递推非线性递推是指数列的每一项不能用前一项的线性组合表示，而是通过其他的方式来确定。

例如，斐波那契数列就是一个常见的非线性递推数列。

斐波那契数列的递推公式为：an = a(n-1) + a(n-2)其中，a1 = 1，a2 = 1。

根据递推公式，可以计算出斐波那契数列的每一项。

二、通项公式通项公式是指通过数列的位置n来直接计算数列中的第n项的公式。

通项公式可以分为线性通项和非线性通项两种类型。

2.1 线性通项线性通项是指数列的每一项可以通过位置n的线性关系来计算。

其一般形式如下：an = a1 + (n-1) * d其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，d为公差。

以等差数列为例，假设已知数列首项a1为2，公差d为3，可以通过线性通项公式an = 2 + (n-1) * 3计算出数列的任意一项。

2.2 非线性通项非线性通项是指数列的每一项不能用位置n的线性关系来计算，而是通过其他的方式来确定。

例如，等比数列就是一个常见的非线性通项数列。

等比数列的通项公式为：an = a1 * r^(n-1)其中，an代表数列中的第n项，a1为数列首项，r为公比。

特征方程法‎ 解递推关系‎中 通项公式一、（一阶线性递‎推式）若已知数列‎}{n a 的项满足d ca a b a n n +==+11,,其中求这个‎,1,0≠≠c c 数列的通项‎公式。

采用数学归‎纳法可以求‎解这一问题‎，然而这样做‎太过繁琐，而且在猜想‎通项公式中‎容易出错，这里提出一‎种易于掌握‎的解法——特征方程法‎：针对问题中‎的递推关系‎式作出一个‎方程称之为‎,d cx x +=特征方程；借助这个特‎征方程的根‎快速求解通‎项公式.下面以定理‎形式进行阐‎述.定理1：设上述递推‎关系式的特‎征方程的根‎为0x ，则当10a x =时，n a 为常数列，即0101,;x b a a x a a n n n +===时当，其中是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，即01111,x a b c b b n n -==-.证明：因为由特征‎,1,0≠c 方程得作换‎.10cdx -=元,0x a b n n -=则.)(110011n n n n n n cb x a c ccdca c d d ca x a b =-=--=--+=-=-- 当10a x ≠时，01≠b ，数列是以为‎}{n b c 公比的等比‎数列，故;11-=n n c b b 当10a x =时，01=b ，}{n b 为0数列，故.N ,1∈=n a a n （证毕） 下面列举两‎例，说说说说明‎定理1的应‎用.例1．已知数列满‎}{n a 足：,4,N ,23111=∈--=+a n a a n n 求.n a解：作方程.23,2310-=--=x x x 则当41=a 时，.21123,1101=+=≠a b x a数列是以为‎}{n b 31-公比的等比‎数列.于是.N ,)31(2112323,)31(211)31(1111∈-+-=+-=-=-=---n b a b b n n n n n n例2．已知数列满‎}{n a 足递推关系‎：,N ,)32(1∈+=+n i a a n n 其中为虚数‎i 单位。

常见线性递推数列通项的求法对于由递推式所确定的数列通项公式问题，往往将递推关系式变形转化为我们熟知的等差数列或等比数列，从而使问题简单明了。

这类问题是高考数列命题的热点题型，下面介绍常见线性递推数列求通项的基本求法。

一、一阶递推数列1、q pa a n n +=+1型形如q pa a n n +=+1（q p 且1≠为不等于0的常数）的数列，可令)(1x a p x a n n +=++ 即x p pa a n n )1(1-+=+与q pa a n n +=+1比较得1-=p q x ，从而构造一个以11-+p qa 为首项以p 为公比的等比数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+1p q a n 例1．在数列{a n }中，,13,111-⋅==+n n a a a 求n a .解：在131-⋅=+n n a a 的两边同加待定数λ，得n n n a a a (3131⋅=+-⋅=++λλ+（λ－1）/3），令,3)1(-=λλ得).21(321.211-⋅=-∴-=+n n a a λ数列{}21-n a 是公比为3的等比数列, ∴a n 21-=).13(21,32111+=∴⋅--n n n a2、 ()n g a c a n n +⋅=+1型(1)1=c 时：解题思路：利用累差迭加法，将)1(1-=--n g a a n n ，--1n a 2-n a =)2(-n g ，…，-2a 1a =)1(g ,各式相加，正负抵消，即得n a .例2．在数列{}n a 中，01=a 且121-+=+n a a n n ，求通项n a .解：依题意得，01=a ，()32112,,3,112312-=--=-=-=--n n a a a a a a n n ，把以上各式相加，得【评注】由递推关系得，若()n g 是一常数，即第一种类型，直接可得是一等差数列；若n n a a -+1非常数，而是关于n 的一个解析式，可以肯定数列n a 不是等差数列，将递推式中的n 分别用2,3,4,,2,1 --n n 代入得1-n 个等式相加，目的是为了能使左边相互抵消得n a ，而右边往往可以转化为一个或几个特殊数列的和。

数列通项篇（分式型递推式求通项）分式型递推式求通项 形如：D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21两种方法三种类型三条原则两种方法：减倒法：即减个数字取倒数减除法：即减个数字两式相除（两边同时减去不同的数字，相除）三种类型D Ca B Aa a n n n ++=+1或DCa B Aa a n n n ++=+21 DCx B Ax x ++=或D Cx B Ax x ++=2为其对应的特征方程 若21,x x 为对应的特征根，则有（1）当21x x =实根时，减倒法构造}1{1x a n -等差数列， （2）当21x x ≠实根时，减除法构造}{21x a x a n n --等比数列， （3）当21x x ≠复根时，减除法构造}{21x a x a n n --周期数列，例1、在数列}{n a 中，21=a ，13371+-=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例2、（重庆高考）在数列}{n a 中，11=a ，05216811=++-•++n n n n a a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例3、已知在数列}{n a 中，41=a ，42321--=+n n n a a a ，求数列}{n a 的通项公式。

例4、（湖南高考）已知在数列}{n a 中，11=a ，1331+-=+n n n a a a ，则=2009a _______________三、分式型递推式求通项的三条原则（1）选择题、填空题直接列举找规律；（2）解答题有台阶，按构造的台阶式顺势而为；（3）解答题无台阶，按减倒法和减除法直接构造； 例5、已知在数列}{n a 中，21=a ，121+=+n n a a ，12-+=n n n a a b ，则数列}{n b 的通项公式=n b _______________例6、（全国卷）已知在数列}{n a 中，21=a ，n n a c a 11-=+，若25=c ，21-=n n a b ，求数列}{n b ，}{n a 的通项公式。

分式型递推数列通项公式的求法步骤一：观察数列的前几项，寻找规律。

首先，观察数列的前几项，尝试找出数列之间的关系和规律，看看能否从中找到一些线索。

特别地，注意每一项与其前一项之间的关系，这可能是我们找到递推关系的关键。

例如，给定数列的前几项为：2,5/2,13/5,34/13,...可以观察到每一项的分子和分母都与前一项有关，于是可以猜测数列的递推关系可能是以前一项的分子和分母为基础。

步骤二：列出递推关系式。

基于观察到的规律，我们可以将递推关系表示为一个等式。

通常，在分式型递推数列中，递推关系可以表示为：an = (an-1 ) * f(n)其中，an表示第n项，an-1表示前一项，f(n)表示与前一项相关的一个函数。

例如，对于给定的数列，我们可以猜测递推关系为：an = (an-1 ) * (2n+1) / (n+1)步骤三：证明递推关系。

一旦我们猜测出递推关系，我们需要证明它的正确性。

这可以通过数学归纳法来完成。

首先，我们将递推关系带入前两项，看看是否能够成立。

例如，对于给定的数列，我们将递推关系带入前两项，得到：a2=(a1)*(2*2+1)/(2+1)=(5/2)*5/3=25/6确实，对于数列的前两项是符合递推关系的。

步骤四：求解递推数列的通项公式。

一旦我们证明了递推关系的正确性，我们可以继续求解数列的通项公式。

为了简化计算，我们可以将递推关系展开：an = a1 * f(2) * f(3) * ... * f(n)在猜测的递推关系的情况下，我们可以得到：an = a1 * (2/1) * (3/2) * (4/3) * ... * (n+1/n)化简后，可以得到：an = a1 * (n+1)因此，数列的通项公式为：an = a1 * (n+1)总结：上述步骤提供了求解分式型递推数列通项公式的一般方法。

关键是观察数列的规律，并尝试猜测递推关系，然后通过数学归纳法来证明递推关系的正确性，并最终确定数列的通项公式。

递推公式求通项一、一阶线性递推一阶线性递推式的一般形式：，其中为常数或关于的函数.根据的不同分为以下几类：1、，即，此时数列为等差数列.2、，即，此时数列为等比数列.3、，即为的函数，此时用累加法.4、，即为的函数，此时用累乘法.5、，即，此时待定系数法构造等比数列.6、，即为的一次函数，此时待定系数法构造等比数列，此法可推广到为的高次函数仍然适用.7、，即，此时同除后待定系数法构造等比数列.【基本概念】二、奇偶分析法8、或，此时奇偶分析法。

特别地，也可以写成，然后采用5（或6、7）的方法.三、分式递推式（一次）分式递推式的一般形式：，其中为常数.根据的不同分为2类：9、，即，此时取倒数法.10、，即，此时不动点法。

特别地，当时，就相当于5的情况，也可以使用待定系数法构造等比数列.四、高次递推式11、，其中，此时两边取对数将次数转化为系数，进而将递推形式转化为线性递推式，然后根据线性递推式的方法求解.五、二阶递推式12、，此时待定系数法.六、其他递推式13、与的递推式，先求利用前述求解的方法求出，再利用求解.14、与的递推式，直接利用可转化为与的递推式求解，也可转化为与的递推式求解.高频考点1 累加法(逐差法) ，其中常见形式为关于的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数或它们的组合等.【例 1.1】 设数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1－a n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为________．【高频考点】[强化训练1.1]设数列{a n}满足a1＝2，a n＋1－a n＝3·22n－1，则数列{a n}的通项公式为________．[强化训练1.2]设数列{a n}满足a1＝1，a n＋1－a n＝3n－2n，则数列{a n}的通项公式为________．[强化训练1.4] (2019年江西省抚州市七校高三10月联考)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋log 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1－22n ＋1，则a 41＝( )A ．－1B ．－2C ．－3D ．1－log 340[强化训练1.3] 已知数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝a n ＋1n 2＋n，则数列{a n }的通项公式为________．高频考点2 累乘法(逐商法)【例 2.1】已知数列{a n}中，a1＝1，，则该数列{a n}的通项a n＝________．[强化训练2.1] 已知数列{a n }中，a 1＝1，(2n ＋1)a n ＝(2n －3)·a n －1(n ≥2)，则该数列{a n }的通项a n ＝________．[强化训练2.2] 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12n －1a n －1(n ∈N *，n ≥2)，则a n ＝________． [强化训练2.3] 已知数列{an }是首项为1的正项数列，且，则a n ＝________．高频考点3 构造等差数列或等比数列（待定系数法）【例3.1】已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋3，a1＝1，求a n.[强化训练3.1]已知数列{a n}满足a n＋1＝12a n＋1，a1＝1，求a n.[强化训练3.2]已知数列{a n}，a1＝1，3a n＋1－2a n－3＝0，求{a n}的通项公式．【例3.2】已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n＋3n，a1＝1，求a n.[强化训练3.3]已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝3a n－n＋2，求{a n}的通项公式．[强化训练3.4]已知数列{a n}，a1＝2，a n＋1＝3a n＋2n2－n＋2，求{a n}的通项公式．【例3.3】已知数列{a n}满足a n＋1＝3a n＋3n+1，a1＝1，求a n.[强化训练3.5]已知数列{a n}，a1＝3，a n＝2a n－1＋3·2n，求{a n}的通项公式．【例3.4】已知数列{a n}满足a n＋1＝6a n＋2n+1，a1＝1，求a n.[强化训练3.6] 已知数列{a n }，a 1＝－4，a n ＋1＝2a n －2·3n ，求{a n }的通项公式．[强化训练3.7] 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n a n ＋n ＋12n ，求数列{a n }的通项公式．高频考点4 奇偶分析法【例4.1】数列{a n}满足a1＝1，a n＋1＋a n＝4，求{a n}的通项公式.[强化训练4.1]数列{a n}满足a1＝6，a n＋1＋a n＝－6，求{a n}的通项公式.【例4.2】数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＋a n＝2n，求{a n}的通项公式.[强化训练4.2]数列{a n}满足a1＝2，a n＋1＋a n＝3n－1，求{a n}的通项公式.【例4.3】数列{a n}满足a1＝2，a n＋1a n＝4，求{a n}的通项公式.[强化训练4.3]数列{a n}满足a1＝3，a n＋1a n＝－2，求{a n}的通项公式.【例4.4】数列{a n}满足a1＝2，a n＋1a n＝3n，求{a n}的通项公式.[强化训练4.4]数列{a n}满足a1＝3，a n＋1a n＝2－n，求{a n}的通项公式.高频考点5 分式递推式，取倒数法【例5.1】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.1](2019年启东中学高三上学期期中考试)数列{a n}满足a1＝1，a n＋1(a n ＋1)－a n＝0(n∈N*)，则a2018＝________．【例5.2】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.2]在数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝2n＋1a na n＋2n＋1，则a n＝________．[强化训练 5.3](2019年重庆市第一中学高三上学期期中考试)已知数列{a n}满足a n a n＋2＝12a n＋1(n∈N*)，且a1＝1.数列{a n}的通项公式________．，不动点法【例5.3】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式【例5.4】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.4] (2019年江苏省常熟市高三上学期期中考试)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝1a n ＋1(n ∈N *)，则b 1·b 2·…·b 2017＝________．【例5.5】 数列{an }满足，，求{a n }的通项公式[强化训练5.5]已知数列{a n}满足a1＝0，a n＋1＝a n－33a n＋1，n∈N*，则a2 017＝()A．0 B．－ 3C. 3D.3 2[强化训练5.6](2019年辽宁省葫芦岛市高三上学期联考)数列{a n}满足a1＝－1，a n＋1＝11－a n(n∈N*)，则a100＝________．高频考点6 一阶高次递推式，【例6.1】数列{a n}满足a1＝1，已知a n＋1＝5a n3，求{a n}的通项公式.[强化训练6.1]数列{a n}满足，已知a n＋12＋2a n＋1＝a n，求{a n}的通项公式.高频考点7 二阶线性递推式【例7.1】数列{a n}满足a1＝1，a2＝3，已知a n＋1＝3a n－2a n－1，求{a n}的通项公式.[强化训练7.1] 数列{an }满足，a 2＝2，，求{a n }的通项公式.[强化训练7.2]数列{an }满足，a 2＝2，，求{a n }的通项公式.高频考点8 利用和的关系【例8.1】(2019年河北省沧州市高三上学期联考)设S n为数列{a n}的前n项和，a1＝1，S n＝2S n－1＋n－2(n≥2)，则a2017等于()A．22016－1 B．22016＋1C．22017－1 D．22017＋1【例8.2】(2016年高考·浙江卷)设数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝4，a n＋1＝2S n＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________．[强化训练8.1]数列{a n}的前n项和，求{a n}的通项公式.[强化训练8.2]已知数列{a n}的前n项和，求{a n}的通项公式.高频考点9 含有三角函数式的数列通项【例9.1】 (2019年辽宁省本溪市第一中学高三上学期期中考试)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n 2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2n ＋12π，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2018＝( ) A.2 017×2 0182 B.2 019×2 0182C.2 017×2 0172D.2 018×2 0182[强化训练9.1] (2019年湖南省长沙一中高三期中考试)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝2，a n ＋2＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1＋cos 2n π2a n ＋sin 2n π2，则该数列的前20项的和为________．1．已知数列{a n}中，a1＝1，3na n＋1＝(n＋1)a n，则该数列{a n}的通项a n＝()A.n3n B.n3n－1C.n3n－1D.n＋13n【走向高考】2．已知数列{a n }满足：a 1＝17，对于任意的n ∈N *，a n ＋1＝72a n (1－a n )，则a 1 413－a 1 314＝()A ．－27B.27 C ．－37 D.373．若数列{a n }满足a 1＝1，3a 2－a 1＝1，2a n ＝a n －1＋a n ＋1a n －1a n ＋1(n ≥2)，则a n ＝( ) A.2n ＋1 B.2n ＋2 C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n D.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫23n －1。