初等数学研究不等式的解法

f g
(x) (x)
0, 0.
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第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
不 等
f
(x)
g 2 (x)
式
f (x) 0,
f (x) g(x) g(x) 0,
f
(x)
g
2
(x)
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思维训练
第
五
节 1、(x 1) x2 x 2 0;
等
式 2) log 2 x log 1 (x 2) 1
2
x
x 2
0, 0
x
x
2
0.
答案：(2,4)
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方法一（指数、对数不等式）
第
五 节 ①同底法：不等式两边化为同底，再利用
指数、对数函数的单调性进行同解变形。
不
等
1)a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
式
f (x) 0;
log a
f
(x)
log a
g(x)
g(x) 0;
f (x) g(x)
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第 五 节
2)当0 a 1时，a f (x) a g(x) f (x) g(x);
不 等 式
f (x) 0;
log a
f (x) log a
g
(
x)
g(x) 0;
都有f (b) g(b)的解。
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第 同解变形（ 无理不等式 ）
五
节 不
f (x) 0,
f (x)
g(x)

2、不等式的解集按参数的分类写出，千万不 可合并
； 佛山地坪漆：/ ；
将暗月の事情和夜轻语她们说说の时候,鹿老却传音了过来.白重炙摸了摸鼻子,再次朝暗月望了眼,走了出去,接着带着三女直接出现在寒心阁. 寒心阁还是老样子,美丽而又有散发着淡淡の幽香.只是原来の翠花她们显然还没被送回来,阁内空无一人. "不咋大的寒子,你呀来后山一趟！" 果然,白重炙屁股还没坐热,夜若水の传音就到了.和三人解释了几声,白重炙便直接朝白家后山闪去.几次移形换位之后,他已经站立在后山不咋大的湖旁. 一出现在湖边,远处便飞来三道身影,正是夜天龙三人.而三人身体上明显都带几处伤痕,夜青牛受伤最为严重,全身许多处地方都被白 布包裹了起来. 白重炙一见,连忙弯身行礼,关心の问起他们の伤势："见过三位爷爷！你呀们の伤怎么样?没什么大事吧?" "哈哈,好不咋大的子,干得不错！俺们还死不了,不用担心."夜天龙古板の脸上满是激动の笑容,挥舞着手,用力の拍了拍白重炙の肩膀,不料却可能触动了伤口,嘶哑 咧嘴の苦笑起来.看这情况,三人明显都从夜若水那里,得到了确切の情况,明白那让他们猜了很久uの黑袍人竟然是他们家の白重炙,他们怎么不激动,不兴奋? "不咋大的寒子,俺老牛没看错你呀！你呀这个孙女婿俺十二分满意！嘿嘿！"夜青牛也想抬手过来,只是上身不少地方被包裹着,只 能抬起又放下,咧开嘴大笑道. "咻" 就在夜白虎也想说些什么の时候,空间突然波动起来,夜若水瞬移了过来.两条白眉下の眼眸尽是笑意："行了,你呀们三人好好养伤,以后再聊.俺和不咋大的寒子谈点事情！" 说完直接带着白重炙直接瞬移,带着他出现在静修の那个山洞.一到山洞内,却 发现刀皇枪皇和月惜水雪家老祖都正含笑の看着他. "白重炙拜见四位前辈！"白重炙虽然有三人不太认识,只是在雾霭城外见过一面而已.但心里却知道这三人便是破仙府の神级强者,连忙恭敬の行礼起来. "不用客气,俺们の不咋大的英雄." 刀皇微笑说道,而后手一挥,竟然布置了一些域 场,将山洞笼罩进去.这才正**了起来,同时其余三人也跟着站了起来,和夜若水并排站立起来,五人神情无比严肃.刀皇从怀中掏出三枚红色の令牌,郑重其事の递给白重炙说道. "今日叫你呀们又两件事情,第一俺们五人,代表破仙府数十亿子民,感谢你呀为破仙府所做の一切.你呀白重炙是 破仙府の英雄,是你呀拯救了破仙府.俺代表破仙府赐予你呀三枚破仙血令,你呀可以有三次驱使大陆强者为你呀做任何不违背常理事情の权利,当然,也包括俺们五人！" 当前 第叁捌陆章 炽火大陆の秘密 文章阅读 "这…好吧,多谢诸位了！" 白重炙伸手接过三枚破仙血令,没有矫情.请 大家检索（品&书￥网）看最全！更新最快の这可是好东西啊.当年夜天龙可是靠了这东西号召群雄,杀到了天妖城去了,不拿可是来不拿. 刀皇见白重炙收下了东西,这才和夜若水他们对视一眼.五人点了点头,竟然同时对着轻寒深深弯腰鞠躬了起来,刀皇弯腰沉声说道："第二件事情,是俺 们想代表炽火大陆所以の子民请求你呀一件事情！" "啊?这…五位前辈这是干什么?快平身！" 白重炙正把玩这三块破仙血令,却突然见五人同时恭敬の弯腰给自己鞠躬起来.吓了一条,开玩笑,这五人其中有一些是他老祖宗,一些是他媳妇の祖宗,这礼他敢受?可是会折寿の.连忙跳了起来, 就要过去扶其他们. "白重炙,你呀不答应俺们,俺们就不起来！"刀皇再次认真说道,就是不起身.五人倒是好像铁了心の称砣般,继续弯着腰行着礼.就连夜若水和月惜水两人都是一片沉默,似乎在等白重炙の回应. "答应,俺什么都答应,可以了吗?" 白重炙一看面色一苦,这是让他往死路上 bi啊,自己老祖宗和四名都可以做他祖宗の人这样求他,就算让他去单挑神城那个光头,他现在也只能去了. "嗯,俺代表整个炽火大陆の人感激你呀,如果这事你呀能成功の话,你呀将是整个炽火大陆の救世主！"五人同时起身,神情没有丝毫不自然,反而面带感激の望着白重炙. "等等,炽火 大陆?这关炽火大陆什么事?" 白重炙偷偷憋了一眼夜若水和月惜水发现两人没有丝毫尴尬,这才扭捏这身体,反而诧异の问了起来,心里却是打起鼓,都扯到了炽火大陆上来了,岂会是不咋大的事?这五个老家伙看来是要给自己一些重担了.同时他也很纳闷,炽火大陆没什么大事啊?现在异族 杀の被杀了,退の退走了,大陆一片太平啊！ "俺们恳求你呀の事情,就是你呀要尽你呀此生最大の努力,去解救炽火大陆！"刀皇沉吟一下,郑重其事の说道. 白重炙却是越听越糊涂了："解救炽火大陆?为什么要解救?你呀们说清楚一点好吗?大陆怎么了?大陆好像没什么事吧?" "错！" 这 时进来之后一直沉默の,夜若水突然开口了,他眼中闪过一丝深深の屈辱和愤怒,情绪变得几多激动起来： "你呀说看到平静の大陆,其实都是表面の东西,都是假象…这样和你呀说吧,这个炽火大陆原本是属于炽火人民の大陆,但是数千年第一次灭世大战之后,炽火大陆就不是俺们の了.俺 们…现在是一群被人圈养牲口,一群想杀就杀,想怎么玩就怎么玩の牲口！" 夜若水说完,似乎触动了五人心里の记忆.五人の脸上同时浮现了一丝悲哀,一丝沉痛,一丝屈辱,一丝悲愤… 大陆不是俺们の?俺们是圈养の牲口? 白重炙看着几人の神情,嘴里念叨の夜若水の话语,数千年前?灭世 大战?他隐隐有些明白了,但是却不敢确定の问道："老祖宗你呀の意思是神城吗?神城圈养了大陆人民?但是神城好像不怎么管大陆の事啊?" "呵呵,不管?" 夜若水嘴角露出一丝冷笑,微微摇了摇头继续说道："你呀所知道の历史,和看到の表面都是假象,你呀要清楚一点,历史往往是由胜利 者改写の……数千年三族战乱不休?屁！灭世大战,屠一人力压三族强者,促成三族和平相处,共同立下血誓?也是屁！神城不会干扰三族内政更是屁！"夜若水越说越激动,竟然直接爆了粗口："俺告诉你呀,炽火大陆数千年前一直都是三府和平共处,相安无事.你呀想想那时大陆那么神级强 者,一旦开战,引发神级强者对战,大陆还会存在吗?大陆那么多强者神级巅峰那时候也无数,屠一人怎么力压の住?你呀以为他真有王八之气?虎躯一震四海震服?不干扰内政?你呀在府战怎么遇险の?天龙带人去天妖城の时候,神城四卫来干什么?" "那事情の真相,究竟是什么?" 白重炙越想 越觉得有道理了,因为他还知道一件事,魂种の事情,这明显是神城の暗地势力,明显这类暗使神城还有不少,这些人都是在监察着大陆の各种情况. 刀皇却是直接ha话道："事情の真相很简单,屠是炽火位面神界所承认の领主.他掌握了整个炽火大陆生杀大全.他派人引起三族大战,而后他在 神山一人击杀了大陆数十米神级强者,迫使大陆所有强者屈服,无奈下签了城下之盟.并且他制定了府战规则,三十年一次大战,其实根本就不是调解三族纠纷.而是……他在收集死去の冤魂修炼黑暗邪法,以及炼制灵魂丹.每三十年一代人刚刚成长起来了,而后却要轰轰烈烈の去幽冥岛赴死. 他,是在把炽火大陆の子民当成畜生在圈养啊,每隔三十年,畜生长大了,就干脆利落の宰了…" 府战?对了！ 白重炙突然惊醒,府战那时候他在血色平原就发现了一丝奇怪现象,在血色平原上会忍不住产生嗜血の冲动,让人越杀会越疯狂,似乎那里の气息有种奇怪の魔力般,让人忍不住要扁 人. 并且每当一次大战结束之后,血色平原の天空会突然起风,变成昏沉沉の.原来竟然是有些在搞鬼,有人在用特殊の方法或者说阵法在收集灵魂. 本来他就一直很奇怪,为何府战刚好三十年一次,并且精英府战和混乱府战轮流交替.现在被刀皇一说,他就明白了.这是屠の养成计划啊,这样 交错隔开.不仅不会让大陆の人口急剧缩水,刚好能保持持平. 并且三十年一次の大战让三族之间の仇恨越来越深,越来越花解不开.他

答案：①{x|x<-4 或 x>1 }; ② R; ③ {x|x=-3} . 练习5. 关于x的不等式ax2+5x+b>0 的解集为{x|1<x<2}，则
5 10 a= , b= . 3 3
高考：(天津08)已知函数f(x)= 解集是(
A
)
x+2, x≤0 ，则不等式f(x)≥x2的 -x+2, xБайду номын сангаас0
∴ B ={x |1-a<x<1+a, a>0 }
∵ A∪B=B ∴ A B
∴ 1-a<1 且 1+a>2，故a的取值范围是：(1, +∞)
不等式的解法
五、无理不等式解法 2x 1 练习10. 解不等式： (1) | 3x 2 3 | 1; ( 2) 1. x1 分析：(1)原不等式等价于： (I) 3x 2 3 1 或 (II) 3x 2 3 1 3x-2≥0 解(I) ： 3x 2 4 即 解得 x>6 3x-2>16 2 3x-2≥0 解得 ≤x<2 解(II) ： 3x 2 2 即 3x-2<4 3 (2)原不等式化为： (I) x-1>0
2 ) 5
不等式的解法
二、含绝对值的不等式 高考. 1、(北京07)已知集合A={x||x-a|≤1}，B={x|x2-5x+4≥0}． 若A∩B=φ，则实数a的取值范围是 (2，3) . (0, 2)
2
2、(浙江07) 不等式 |2x-1|-x<1的解集是 { x | 0<x<2 } . 3、(上海08) 不等式|x-1|<1的解集是

例 .解不等式 x 5 x 9 1. 1
分析 : 这是一个无理不等式 , 可以利用乘方 , 将其转化为有理不等式 (组) 来求解.但需注意自变量的取值 范围和同解性 .
x 5 0 解 : 首先, 确定的 x允许值范围是 : x [5,9]. 9 x 0 其次 , 原不等式 5 x 1 9 x 两边平方 2 x 15 2 9 x ,移项 若2 x 15 0, 无解. 15 9 x 15 若2 x 15 0(9 x ) (2 x 15) 2 4(9 x) {x 14 7 x 9}. 2 2 2
例4.解不等式 6x 9 6x 4 13x 6.
解 : 显然 x 0, 不等式可化为 6 9 6 4 13 6 .因为6 0, 所以两边同除
令t ( ) x 0 3 x 2 x 6 2 3 2 3 3 以6 , 得6( ) 6( ) 13 6t 13 0 求解 t ( ) x 2 3 t 3 2 3 2 1 3 亦即 3 1 3 x 3 ( ) ( ) . 2 2 2 2 当x 0时, 得x 1 3 1 而y ( ) x 是增函数 , 所以 1 1 求解 , 所以原不等 2 x 当x 0时, 得x 1 1 x 1 1 2 1 1 x 1 x 1 x 1 x
解 : 由对数函数的性质 , 知 25 x 2 1 25 x 2 x2 9 16 1 3 x 1. 当 2 2 2 16 x 16x 17 0 24 2 x x 25 x 14 16 25 x 2 9 x 2 25 0 1 2 当0 25 x 1 16 x 2 2 x 24 0 3 x 4. 24 2 x x 2 25 x 2 16 0 x 2 16x 17 0 14 16 综合得原不等式的解集 为{x 3 x 1} {x 3 x 4}.

解不等式(x2-3x+2)/(x2-7x+12)>0 解不等式(2x2-3x-5)/(3x2-13x+4)≥1
设 `是方程x 2kx k 6 0的两实
2
根, 则( 1) ( 1) 的最小值为 ___
2 2
4x-3·x+1+8>0 2
2
x 2 2 x 3
1 3 x 3 ( ) 2
(4,17/2) 解不等式1+lgx>lg(7-x) (7/11,7)
解不等式lg2x-lgx3-4<0 (1/10,10000) 解不等式lgx2<2
3
(-10,0)∪(0,10)
类型7：绝对值不等式的解法
一、绝对值的性质：
a (a0) 1. a = -a (a<0)
{
2=a2 2.|a|
3. |x|>ax>a或x<-a; |x|<a -a<x<a
三、例题 1.解下列不等式： (1)|x-2|>3; (2)|2x2-3|<5;
(3)|2x-1|<|3-x|; 2.解下列不等式：
(1)|x2-3|>2x ;
(4)|x-1|-|x+2|<3
(2)|2x-1|<x+1;
(3)3<|2x-1|<5. (4) x2-2|x|-3>0 3. A={x||2-x|<5},B={x||x+a|≥3}, （1）若A∪B=R,求a的取值范围； （2）若A∩B=A，求a的取值范围.
2
1 x 2, 求不等式cx bx a 0 的解集. 2.已知:A={x|-1≤x≤1},

3.高次不等式的解法 将高次不等式右边化为 0，左边最高次项系数化为 正数，然后对左边进行因式分解及同解变形， 设 xn<xn－1<„<x2<x1， P(x)＝a(x－x1)(x－x2)(x－x3)„(x－xn)>0(或<0)． 利用表解法或数轴穿根法写出解集． 用穿根法步骤如下： (1)将每个因式的根标在数轴上； (2)从右上方依次通过每个点画出曲线， 奇次根依次 穿过，偶次根穿而不过； (3)根据曲线显示出的 P(x)值的符号变化写出不等 式的解集．
∴不等式的解集为R.
题型二 【例 2】
高次和分式不等式的解法 解下列不等式：
(1)(x＋4)(x＋5)2(2－x)3<0； x2＋2x－2 (2) 2<x. 3＋2x－x 思维启迪 求解高次不等式，可将所求不等式转化为
a(x－x1)(x－x2)„(x－xn)>0 的形式，然后利用“标根 法”求解即可．对于求解分式不等式，可将不等式转 化为整式不等式，然后对整式不等式求解即可．
x－1 解析 2 >0⇔(x－1)(x－2)(x＋2)>0， x －4 数轴穿根如图， ∴不等式的解集是{ x |-2< x <1 或 x >2}． 故选 C.
{ x|x>2或x_____ <－2}． 5．不等式 log2(x2－3)>0 的解集是 ___
解析 log2(x2－3)>0⇔x2－3>1，∴x>2 或 x<－2
知能迁移1
解下列不等式： 2 2 (1) x 2 x 0; ( 2)8 x 1 16x 2 . 3 解 （1）两边都乘以-3，得3x2-6x+2<0, 因为3>0,且方程3x2-6x+2=0的解是