3.1空间直角坐标系与向量

空间直角坐标系与向量解析空间直角坐标系是对三维空间中点的位置进行描述的一种方法。

它采用三个相互垂直的坐标轴来表示点的位置，分别为x轴、y轴和z轴。

这种坐标系广泛应用于物理学、几何学、工程学等领域中。

一、空间直角坐标系空间直角坐标系中的每个点都可以用一个有序的三元组(x, y, z)来表示，其中x、y、z分别表示该点在x轴、y轴和z轴上的坐标值。

通过这种方式，我们可以方便地表示三维空间中任意点的位置。

在空间直角坐标系中，我们可以定义向量。

向量可以看作是由起点和终点组成的线段，它具有大小和方向。

在表示向量时，我们通常使用箭头来表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。

二、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数乘。

1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律。

即对于向量a、b、c，有：a +b = b + a(a + b) + c = a + (b + c)2. 向量的减法：向量的减法可以看作是加上该向量的负向量。

即对于向量a、b，有：a -b = a + (-b)3. 向量的数乘：向量的数乘是指将向量的每个分量与一个标量相乘。

即对于向量a和标量k，有：k * a = (k * a1, k * a2, k * a3)三、向量解析向量解析是一种用数学方法描述物理量变化的工具。

在空间直角坐标系中，我们可以使用向量解析来描述物体的运动、力学问题等。

1. 向量的模向量的模表示向量的大小，也称为向量的长度。

对于向量a，它的模可以通过以下公式计算：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)2. 向量的点积向量的点积可以通过以下公式计算：a ·b = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b33. 向量的叉积向量的叉积可以通过以下公式计算：a ×b = (a2 * b3 - a3 * b2, a3 * b1 - a1 * b3, a1 * b2 - a2 * b1)通过向量解析，我们可以计算出向量的模、向量之间的夹角、向量的投影等物理量，进而解决一些实际问题。

空间解析几何知识点1. 空间直角坐标系- 定义：由三条互相垂直的直线（x轴、y轴、z轴）确定的坐标系。

- 坐标表示：任意一点P的坐标表示为(x, y, z)。

- 距离公式：两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)之间的距离为√((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)。

2. 向量及其运算- 向量定义：具有大小和方向的量。

- 向量表示：向量a表示为a = (a1, a2, a3)。

- 向量加法：a + b = (a1+b1, a2+b2, a3+b3)。

- 向量数乘：k * a = (ka1, ka2, ka3)。

- 向量点积：a · b = a1b1 + a2b2 + a3b3。

- 向量叉积：a × b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 -a2b1)。

- 向量模：|a| = √(a1^2 + a2^2 + a3^2)。

- 向量方向余弦：向量a的方向余弦为(a1/|a|, a2/|a|, a3/|a|)。

3. 平面方程- 点法式：A(x-x0) + B(y-y0) + C(z-z0) = 0，其中A、B、C为平面的法向量，(x0, y0, z0)为平面上一点。

- 两点式：(y-y1)/(x-x1) = (y2-y1)/(x2-x1)，表示过两点P1(x1, y1, z1)和P2(x2, y2, z2)的平面。

- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

4. 直线方程- 参数式：x = x0 + at, y = y0 + bt, z = z0 + ct，其中(x0,y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量，t为参数。

- 一般式：Ax + By + Cz + D = 0。

- 点向式：(x-x0)/a = (y-y0)/b = (z-z0)/c，其中(x0, y0, z0)为直线上一点，(a, b, c)为直线的方向向量。

3.1.4 空间向量的直角坐标运算1．空间直角坐标系及空间向量的坐标(1)建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴、y 轴、z 轴的正方向引单位向量i 、j 、k ，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k }，这个基底叫做______________；单位向量i 、j 、k 都叫做____________． (2)空间向量的坐标：已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，a 1i ，a 2j ，a 3k 分别为向量a 在i ，j ，k 方向上的分向量，有序实数组(a 1，a 2，a 3)叫做向量a 在此直角坐标系中的________．上式可简记作a ＝____________. 23. 123123(1)a ∥b (b ≠0)⇔________⇔⎩⎪⎨⎪⎧当b 与三个坐标平面都不平行时，a ∥b ⇔__________________(2)a ⊥b ⇔________________⇔________________________. 4．两个向量夹角与向量长度的坐标计算公式：(1)设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝________________，|b |＝________________. cos 〈a ，b 〉＝___________________________________________. (2)设A (x 1，y 1，z 1)，B (x 2，y 2，z 2)，则AB →＝________________________， |AB →|＝________________________________________.探究点一 空间向量的坐标表示及运算问题1 如何确定向量的坐标？ 问题2 向量的坐标和点的坐标有什么联系？例1 设正四棱锥S —P 1P 2P 3P 4的所有棱长均为2，建立适当的空间直角坐标系，求SP 1→、P 2P 3→的坐标．跟踪1 (1)已知向量a ，b ，c 分别平行于x 轴、y 轴、z 轴，它们的坐标各有什么特点？ (2)设O 为坐标原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最小值时，求点Q 的坐标． 探究点二 垂直与平行问题问题1 已知a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，a 、b 共线的充要条件为a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，对吗？问题2 a 与b 垂直的充要条件是什么？例2 已知空间三点A (－2,0,2)，B (－1,1,2)，C (－3,0,4)，设a ＝AB →，b ＝AC →.若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直，求k 的值．跟踪2 将本例中“若向量ka ＋b 与ka －2b 互相垂直”改为“若向量ka ＋b 与a ＋kb 互相平行”其他条件不变，求k 的值．探究点三 向量的夹角与长度计算例3 已知在△ABC 中，A (2，－5,3)，AB →＝(4,1,2)，BC →＝(3，－2,5)，求顶点B 、C 的坐标，向量AC →及∠A 的余弦值．跟踪3 在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是D 1D 、BD 的中点，G 在棱CD 上，且CG ＝14CD ，H 为C 1G 的中点，应用空间向量方法求解下列问题：(1)求EF 与C 1G 所成的角的余弦值； (2)求FH 的长． 【达标检测】1．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a 1b 1＝a 2b 2＝a 3b 3是a ∥b 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2．已知a ＝3i ＋2j －k ，b ＝i －j ＋2k ，i ，j ，k 是两两垂直的单位向量，则5a 与3b 的数量积等于 ( )A ．－15B ．－5C ．－3D ．－1 3．若ABCD 为平行四边形，且A (4,1,3)，B (2，－5,1)，C (－3,7，－5)，则顶点D 的坐标为 ( ) A ．⎝⎛⎭⎫72，4，－1B ．(2,3,1)C ．(－3,1,5)D ．(－1,13，－3)4．已知A (1，－2,11)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形5．已知A (1，－1,2)，B (5，－6,2)，C (1,3，－1)，则AB →在AC →上的投影为______． 【课堂小结】1．利用空间向量的坐标运算可以判断两个向量的平行、垂直；可以求向量的模以及两个向量的夹角．2．几何中的平行和垂直可以利用向量进行判断，利用直线的方向向量的关系可以证明直线的平行和垂直；距离、夹角问题可以借助于空间直角坐标系利用数量积解决.3.1.4 空间向量的直角坐标运算一、基础过关1．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点A 的坐标为(－1，2,1)，点B 的坐标为(1,3,4)，则( ) A.AB →＝(－1,2,1) B.AB →＝(1,3,4)C.AB →＝(2,1,3)D.AB →＝(－2，－1，－3)2．与向量m ＝(0,2，－4)共线的向量是 ( )A ．(2,0，－4)B ．(3,6，－12)C ．(1,1，－2)D.⎝⎛⎭⎫0，12，－1 3．设A (3,3,1)、B (1,0,5)、C (0,1,0)，则AB 的中点M 到C 的距离|CM |的值为( ) A.534 B .532 C.532D.1324．已知A (2，－5,1)，B (2，－2,4)，C (1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°5．已知a ＝(2，－1,3)，b ＝(－4,2，x )，c ＝(1，－x,2)，若(a ＋b )⊥c ，则x 等于( ) A ．4 B ．－4 C.12D ．－66．已知a ＝(2，－1,2)，b ＝(2,2,1)，则以a 、b 为邻边的平行四边形的面积为( ) A.65 B.652C ．4D ．8 二、能力提升7．与a ＝(2，－1,2)共线且满足a·z ＝－18的向量z ＝__________.8．已知2a ＋b ＝(0，－5,10)，c ＝(1，－2，－2)，a·c ＝4，|b |＝12，则〈b ，c 〉＝________. 9．在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BC ＝1，DD 1＝3，则AC →与BD 1→夹角的余弦值是________．10．单位向量a ＝(x ，y,0)与向量c ＝(1,1,1)的夹角为π4，求：x ＋y 与xy 的值．11．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)． (1)求以向量AB →，AC →为一组邻边的平行四边形的面积S ；(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．12．已知正四棱锥S —ABCD 的侧棱长为2，底面的边长为3，E 是SA 的中点，求BE →与SC →的夹角．三、探究与拓展13．已知a ＝(5,3,1)，b ＝⎝⎛⎭⎫－2，t ，－25且a 与b 的夹角为钝角．求t 的取值范围．。

空间坐标系与向量的表示在数学和物理学中，空间坐标系和向量是两个重要的概念。

空间坐标系是为了描述物体在空间中的位置而建立的一种坐标系统，而向量则是用来表示空间中的大小和方向的量。

本文将介绍空间坐标系和向量的表示方法。

一、空间坐标系空间中常用的坐标系有直角坐标系和极坐标系。

直角坐标系是一种以直角为基础的坐标系，其中的三个坐标轴分别与空间中的三个方向相垂直。

我们通常用x、y和z分别表示直角坐标系的三个坐标轴。

在直角坐标系中，每个点的位置可以用一个有序的数对 (x, y, z) 来表示，其中x表示点在x轴上的投影长度，y表示点在y轴上的投影长度，z表示点在z轴上的投影长度。

另一种常用的空间坐标系是极坐标系。

极坐标系通常用于描述平面上的点，但也可以扩展到三维空间中。

在极坐标系中，点的位置由极径和极角确定。

将极径表示为r，极角表示为θ，那么可以用一个有序的数对(r, θ, z) 来表示空间中的点的位置。

二、向量的表示向量是空间中的一种几何量，它既有大小又有方向。

在空间中，向量通常用有序的组数来表示。

假设空间中有一个向量A，它的大小为|A|，方向为从点P指向点Q。

那么向量A可以表示为⃗PQ。

向量的表示方法有多种，常见的有分量表示法和坐标表示法。

1. 分量表示法分量表示法是将向量A在各个坐标轴上的投影长度表示为有序的数对 (Ax, Ay, Az)。

其中Ax表示向量在x轴上的投影长度，Ay表示向量在y轴上的投影长度，Az表示向量在z轴上的投影长度。

例如，向量A在直角坐标系中的分量表示为 (Ax, Ay, Az)。

2. 坐标表示法对于直角坐标系来说，向量A的坐标表示与分量表示是相同的。

即向量A的坐标表示为 (Ax, Ay, Az)。

而对于极坐标系来说，向量A的坐标表示为 (r, θ, z)。

其中r表示向量的大小，θ表示向量与正x轴的夹角，z表示向量在z轴上的投影长度。

三、总结本文介绍了空间坐标系和向量的表示方法。

空间坐标系包括直角坐标系和极坐标系，用来描述物体在空间中的位置。