空间向量的 直角坐标运算

.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。

对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。

3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。

向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。

（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。

二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。

⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。

注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。

yk iA(x,y,z)O jxz第4课时空间向量的直角坐标运算教学目标 知识与 技能 掌握向量的直角坐标运算、夹角公式、距离公式，学会运用空间向量的坐标运算证明平行垂直问题。

过程与 方法空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键。

另外在做题过程中体会向量是一种处理几何问题的工具。

情感、态度 与价值观向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本节学习，体会他们之间的联系，并逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣。

教学重点、难点 重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件。

难点：向量坐标运算及公式应用。

教学方法立足平面向量基础，把平面向量的概念及线性运算推广到空间，引导学生利用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习引入（大约5分钟）1．空间向量基本定理：2．空间向量平行和垂直的充要条件3．空间向量夹角及其表示4．向量的数量积（引导学生从已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，学生在学案上填写，同位互相检查。

）二、概念形成与深化（大约18分钟）1．空间向量的坐标表示 学生看课本，填写学案。

（1）分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量k j i ,,，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}k j i ,,，这个基底叫做单位正交基底，单位向量k j i ,,都叫做坐标向量。

（2）已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组()z y x ,,，使k z j y i x a ++=，有序实数组()z y x ,,叫作向量a 在空间直角坐标系中的坐标，记作=a ()z y x ,,，其中x 叫做a在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，z 叫做a在z 轴上的坐标。

法库县高级中学高二下【理科快乐数学】学案 编制人:李茂成 审核:李景会 編号：6高二（下）数学理科学案6----空间向量的直角坐标运算（2）一、学习目标1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两个向量平行或垂直。

2.掌握模长公式，夹角公式，两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题。

二、知识梳理1、空间向量的坐标运算法则设a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3）则2、空间向量平行和垂直的条件：设a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3）（1）a ∥b （b 0≠ ）⇔________________________________________⇔⎧⎪⎨⎪⎩当b 与三个坐标平面都不平行时a ∥b ⇔______________（2）a ⊥b ⇔______________⇔__________（a 0≠ 且b 0≠ ）。

3、两向量夹角与向量长度的坐标计算公式：（1）设a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则｜a ｜＝_______________＝_____________，｜b ｜＝_________________＝____________________，cos<a ，b > =______________________＝_____________________。

（2）设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则AB ＝_________________，｜AB ｜＝_________________＝___________________.班级: 姓名:一、选择题1、已知向量a ＝（0，0，1），则2a ＝（ ）A 、（0，0，1）B 、1C 、（1，0，0）D 、－12、以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图空间直角坐标系，则与1DB 共线的向量的坐标可以是（ ）A 、（1B 、（1，1C 、D 、1）3、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0， 5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、已知a ＝（1，2，－y ），b ＝（x ，1，2），且（a +2b ）∥（2a －b ），则（ ）A 、x ＝13，y ＝1 B 、x ＝12，y ＝－4 C 、x ＝2，y ＝－14D 、x ＝1，y ＝－1 5、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－4，2，x ）且a ⊥b ，则x ＝（ ） A 、2 B 、53 C 、1 D 、1036、已知a ＝（t+1，1，t ），b ＝（t －1，t ，1）则｜a －b ｜的最小值为（ ）A B C 、2 D 、47．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( ) A ．(－65，－45，－85) B ．(65，－45，－85) C ．(－65，－45，85) D ．(65，45，85) 8．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2) 9．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为89，则λ＝( ) A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255 10．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10名言警句: 没有差生、只有差异、山高我为峰。

1．已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p·q ＝( )A ．－1B ．1C ．0D ．－2解析：∵p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，∴p ·q ＝1×0＋0×3＋1×(－1)＝－1.答案：A2．已知点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形解析：AB ＝(3，4，－8)，AC ＝(5，1，－7)，BC ＝(2，－3，1)，∴|AB |＝32＋42＋82＝89，|AC |＝52＋12＋72＝75，|BC |＝22＋32＋1＝14，∴|AC |2＋|BC |2＝75＋14＝89＝|AB |2.∴△ABC 为直角三角形．答案：C3．△ABC 的顶点分别为A (1，－1，2)，B (5，－6，2)，C (1，3，－1)，则AC 边上的高BD 等于( )A ．5B.41 C ．4 D ．2 5解析：设AD ＝λAC ，又AC ＝(0，4，－3)，则AD ＝(0，4λ，－3λ)．AB ＝(4，－5，0)，BD ＝AD －AB ＝(－4，4λ＋5，－3λ)，由AC ·BD ＝0，得λ＝－45，∴BD ＝(－4，95，125)，∴|BD |＝5. 答案：A4．已知A (1，0，0)、B (0，－1，1)、O (0，0，0)，OA ＋λOB 与OB 的夹角为120°，则λ的值为( )A ．±66B.66 C ．－66 D ．±6解析：∵OA ＝(1，0，0)，OB ＝(0，－1，1)，∴OA ＋λOB ＝(1，－λ，λ)，∴(OA ＋λOB )·OB ＝λ＋λ＝2λ，|OA ＋λOB |＝1＋λ2＋λ2＝1＋2λ2，|OB |＝ 2.∴cos 120°＝2λ2·1＋2λ2＝－12，∴λ2＝16. 又2λ2·1＋2λ2<0，∴λ＝－66. 答案：C5．若a ＝(x ，2，2)，b ＝(2，－3，5)的夹角为钝角，则实数x 的取值范围是________． 解析：a ·b ＝2x －2×3＋2×5＝2x ＋4，由题意得cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |<0， 所以a ·b <0，即2x ＋4<0，所以x <－2，又a 与b 不可能平行，所以实数x 的取值范围是(－∞，－2)．答案：(－∞，－2)6．已知3a －2b ＝(－2，0，4)，c ＝(－2，1，2)，a ·c ＝2，|b |＝4，则cos 〈b ，c 〉＝________． 解析：(3a －2b )·c ＝(－2，0，4)·(－2，1，2)＝12，即3a ·c －2b ·c ＝12.由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3.又∵|c |＝3，|b |＝4，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－14. 答案：－147．已知a ＝(x ，4，1)，b ＝(－2，y ，－1)，c ＝(3，－2，z )，a ∥b ，b ⊥c ，求：(1)a ，b ，c ；(2)a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值．解：(1)因为a ∥b ，所以x －2＝4y ＝1－1，解得x ＝2，y ＝－4，这时a ＝(2，4，1)，b ＝(－2，－4，－1)，又因为b ⊥c ，所以b ·c ＝0，即－6＋8－z ＝0，解得z ＝2，于是c ＝(3，－2，2)．(2)由(1)得，a ＋c ＝(5，2，3)，b ＋c ＝(1，－6，1)，因此a ＋c 与b ＋c 所成角的余弦值cos θ＝5－12＋338·38＝－219. 8．设O 为坐标原点，向量OA ＝(1，2，3)，OB ＝(2，1，2)，OP ＝(1，1，2)，点Q在直线OP 上运动，则当QA ·QB 取得最小值时，求点Q 的坐标． 解：设OQ ＝λOP ，∴QA ＝OA －OQ ＝OA －λOP＝(1，2，3)－λ(1，1，2)＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB ＝OB －OQ ＝OB －λOP＝(2，1，2)－λ(1，1，2)＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，则QA ·QB ＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10，∴当λ＝43时，QA ·QB 取得最小值． 又OQ ＝λOP ＝43(1，1，2)＝(43，43，83)， 所以，所求点Q 的坐标为(43，43，83)．。

9.6 空间向量的坐标运算一、空间直角坐标系：如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，这个基底叫做单位正交基底，常用{},,i j k r r u r表示。

在空间选定一点O 和一个单位正交基底{},,i j k r r u r，以点O 为原点，分别以i r 、j r 、k u r的方向为正方向建立三条数轴：x 轴、y 轴、z 轴，它们都叫做坐标轴。

这时我们称建立了一个空间直角坐标系-O xyz ，点O 叫做原点，向量i r 、j r 、k u r都叫做坐标向量。

通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz 平面，zOx 平面。

注意：O xyz时，一般使①作空间直角坐标系-?xOy135o（或45o），?yOz90o。

②在空间直角坐标系中，让右手拇指指向x轴的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指指向z轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。

说明右手直角坐标系的特点是：从Ox到Oy是逆时针方向。

③如无特别说明，以后建立的坐标系都是右手直角坐标系。

给定一个空间直角坐标系和向量a r，且设i r 、j r 、k u r为坐标向量，根据空间向量基本定理可知：存在唯一的有序实数组(),,a a a 123，使=++a a i a j a k 123r r r u r有序实数组(),,a a a 123叫做向量a r在空间直角坐标系-O xyz 中的坐标，可简记作()=,,a a a a 123r在空间直角坐标系-O xyz 中，对空间任一点A ，对应一个向量OA uu u r，于是存在唯一的有序实数组x 、y 、z ，使=++OA xi y j zk u u u r r r u r有序实数组(),,x y z 叫做点A 的坐标，记作(),,A x y z ，其中x 叫做点A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标。

二、空间向量的直角坐标运算：Ⅰ．设()=,,a a a a 123r ，()=,,b b b b 123r，则 ①()+=+++,,a b a b a b a b 112233r r； ②()-=---,,a b a b a b a b 112233r r；③()()=?,,a a a a R l l l l l 123r； ④?++a b a b a b a b 112233r r； ⑤^?+=a b a b a b a b 1122330r r；⑥()ì=ïïï??íïïï=ïî//a b a b a b R a b l l l l 112233r r 。