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空间向量的 直角坐标运算

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空间向量的直角坐标及其运算

空间向量的直角坐标及其运算
证：（1）∵ AP AB 1,2,12,1,4 0， AP AD 1,2,14,2,0 0 ，
∴ AP AB ， AP AD，又 AB AD A ， AP 平面 ABCD，
∴ AP 是平面 ABCD的法向量； 解：（2） AB 22 12 42 21 ， AD 42 22 02 2 5 ，
∴ SABC
1 2
AB
AC
sin
A
101 。 2
7、在棱长为1的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，E, F 分别是 DD1、DB 中点，G 在棱CD 上，
CG
1 4
CD
，
H
是
C1G
的中点；
（1）求证： EF B1C ；（2）求 EF 与C1G 所成的角的余弦；（3）求 FH 的长。
解：如图以 D 为原点建立直角坐标系 D xyz ，
（3）证明线面平行：若直线的方向向量与平面的一个法向量垂直，则这直线与该平面平行；
（4）证明面面平行：若两个不重合平面的法向量平行，则这两个平面就互相平行。 11、用向量求异面直线所成角：
找出两条异面直线各自的一个方向向量，计算这两个向量的夹角 ，则 （或 的补角）
即为两条异面直线所成的角。
设 a、b 是异面直线， d1 是直线 a 的一个方向向量， d2 是直线b 的一个方向向量，异面
一、基本概念：
1、空间直角坐标系：
（1）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用 i, j,k
表示；
（2）在空间选定一点O 和一个单位正交基底 i, j,k ，以点O 为原点，分别以 i, j,k 的方向
为正方向建立三条数轴：x 轴、 y 轴、z 轴，它们都叫坐标轴；我们称建立了一个空间 直角坐标系 O xyz ，点O 叫原点，向量 i, j, k 都叫单位向量；通过每两个坐标轴的平

原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算

原创2：3.1.4 空间向量的直角坐标运算
解：以C为原点建立空间直角坐标系．
(1)依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)．∴||＝ 3，
∴BN的长为 3.
(2)依题意得A1(1,0,2)，B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)，
变式训练
∴ BA1＝(1，－1,2)， CB1＝(0,1,2)，
∴ BA1 ·CB1＝3.
原点O重合，得到向量OP＝p，由空间向量基本定理可知，存在有
序实数组{x，y，z}，使得p＝
xԦi＋yԦj＋zkԦ
.把 x，y，z 称作向
量p在单位正交基底Ԧi，Ԧj，k 下的坐标，记作 p＝(x，y，z) .
走进教材
2．空间向量运算的坐标表示
若a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).
Ԧ ∙
cos<a，b>
Ԧ ||
走进教材
3.空间中向量的坐标及两点间的距离公式
在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则
(1)＝ (a2－a1，b2－b1，c2－c1) ；
(2)d AB＝||＝
(a2−a1)2 +(b2−b1)2 +(c2−c1)2
.
(1)设|Ԧc|＝3，Ԧc∥BC，求Ԧc；(2)若ka＋b与ka－2b互相垂直，求k.
【解析】
(1)∵BC＝(－2，－1,2)，且Ԧc∥BC，∴设Ԧc＝λBC＝(－2λ，－λ，2λ).
∴|Ԧc|＝ (－2λ)2 +(－λ)2 +(2λ)2 ＝3|λ|＝3.解得λ＝±1.
∴Ԧc＝(－2，－1,2)或Ԧc＝(2,1，－2).
＝1×(－1)＋1×0＋0×2＝－1
∴(－1,0,2)＝(x－2y，x－y,2y)

空间向量直角坐标运算

空间向量直角坐标运算
| a | a12 a22 (2)若A(x1, y1), B(x2 , y2 )
则AB (x2 x1, y2 y1)
AB (x2 x1)2 ( y2 y1 )2
4 2020/11/16
1、空间向量的直角坐标运算律：
设a (a1, a2, a3),b (b1,b2,b3)
则:
a b (a1 b1, a2 b2 , a3 b3 )
所以 A(1, 0, 0), B(1,1, 0), D(0,0,0), C' (0,1,1)
AB (1,1,0) (1,0,0) (0,1, 0) z
DC' (0,1,1) (0,0,0) (0,1,1) D '
C '(0,1,1)
AB DC' 00 11 01 1 A '
B ' (1,1,1)
2020/11/16
1
1、空间向量基本定理： 如果三个向量 a、b、c不共面，那么对空间任一
向量 p ，存在唯一的有序实数组{x,y,z}，使得
p xa yb zc
ac
p
b
P
Cp
c Aao bB
B'
Байду номын сангаас
A'
P’
OP OA' OB' P'P xOA yOB zOC
p xa yb zc 2 2020/11/16
8 2020/11/16
3.两个向量夹角公式
cos a,b a b | a || b |
注意：
a1b1 a2b2 a3b3
;
a12 a22 a32 b12 b22 b32
（1）当 cos a , b 1 时，a 与 b 同向； （2）当 cos a , b 1 时，a 与 b 反向；

空间向量的直角坐标运算律

空间向量的直角坐标运算律

.空间向量的直角坐标运算律：（1）若，，则．一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。

（2）若，，则，，，，，；，．夹角公式：．（3）两点间的距离公式：若，，则或。

对于垂直问题，一般是利用进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面向量定理进行证明．2．利用向量求夹角(线线夹角、线面夹角、面面夹角)有时也很方便．其一般方法是将所求的角转化为求两个向量的夹角或其补角，而求两个向量的夹角则可以利用向量的夹角公式。

3．用向量法求距离的公式设n是平面的法向量，AB是平面的一条斜线，则点B到平面的距离为（如图）。

向量法在求空间角上的应用平面的法向量的求法：设n=(x,y,z)，利用n与平面内的两个不共线的向a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元一次方程，联立后取其一组解，即得到平面的一个法向量（如图）。

线线角的求法：设直线AB、CD对应的方向向量分别为a、b，则直线AB与CD所成的角为。

（注意：线线角的范围[00,900]）线面角的求法：设n是平面的法向量，是直线的方向向量，则直线与平面所成的角为（如图）。

二面角的求法：设n1，n2分别是二面角的两个面，的法向量，则就是二面角的平面角或其补角的大小（如图）利用法向量求空间距离⑴点A到平面的距离：，其中，是平面的法向量。

⑵直线与平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

⑶两平行平面之间的距离：，其中，是平面的法向量。

①线线平行的判定：判定定理性质定理判定定理判定定理性质定理判定定理总结：从中可以看出，一般情况下，往往借助一些“性质定理”来构造满足“判定定理”的条件。

(2)还会考查到的位置关系：异面直线的判定。

判定方法：定义(排除法与反证法)、判定定理。

二、基本例题例1已知：分析：利用线面平行的性质与平行公理。

注意严格的公理化体系的推理演绎。

说明：过l分别作平面∴l∥m同理l∥n∴m∥n又又例2. 已知：AB是异面直线a、b的公垂线段，P是AB的中点，平面经过点P且与AB垂直，设M是a上任意一点，N是b 上任意一点。

空间向量的直角坐标运算(定稿)

空间向量的直角坐标运算(定稿)

轴．同时，使尽可能多的点在坐标轴上
或坐标平面内．这样可以较方便的写出 点的坐标．
小结：
1、空间向量的坐标运算； 2、利用向量的坐标运算判断空间几何关 系的关键：
首先要选定单位正交基，进而确定各向量 的坐标，再利用向量的坐标运算确定几何关系。
A1
z D1 C1
B1A B xFra biblioteky D C 问题：与坐标平面平行的向量 b 的坐标有何
特点？ 总结：三个坐标中有一个为0，其余两个不为0
例 1．已知 a =(1，1，0)， b =(0，1，1)， c =(1，0，1)， p = a － b ， q = a +2 b － c ， 求 p , q, p q 。
学习小结:
1.基本知识： (1)空间向量的坐标运算 （2）向量的长度公式与两点间的距离公式； （3）两个向量的夹角公式。 2.思想方法：用向量计算或证明几何问题时，
可以先建立直角坐标系，然后把向量、点坐标化，
借助向量的直角坐标运算法则进行计算或证明.
3．关于空间直角坐标系的建立
建系时，要根据图形特点，充分利用图 形中的垂直关系确定原点和各坐标
答案
空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运
算， 算法是相同的， 但空间向量比平面向量多一竖坐标， 竖坐标的处理方式与横坐标、纵坐标是一样的．
问题 已知 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则 a、b 共线 a1 b1 c1 的充要条件为 ＝ ＝ ，对吗？ a2 b2 c2
答案 不对．∵a2，b2，c2 中会有为零的情况，只有 b 与三 个坐标平面都不平行时，条件才是充要的．
i x
Oj
y

课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算

课件5：3.1.4空间向量的直角坐标运算
|b|＝_____________________________，
a1b1＋a2b2＋a3b3
a·b
2
2
2
2
2
2
cos<a，b>＝
＝_________________________.
a
＋a
＋a
b
＋b
＋b
1
2
3
1
2
3
|a||b|
设 A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，则
2
2
2
→
x
－x
求：
（1）< ，>（精确到0.1°）；
（2） 在上正投影的数量（精确到0.01）.
解：（1）由点A，B，C的坐标可得
=（-1,2,0），=（1,1,3）
||= 5 ， ||= 11 ，
||·||= -1×1+2×1+0×3=1，
因此cos< ，>=
AB·AC
5．已知向量a＝(－2,2,0)，b＝(－2,0,2)，
求向量n使n⊥a，且n⊥b.
解
设 n＝(x，y，z)，
则 n·a＝(x，y，z)·(－2,2,0)＝－2x＋2y＝0，
n·b＝(x，y，z)·(－2,0,2)＝－2x＋2z＝0.
－2x＋2y＝0，
解方程组
可得 y＝x，z＝x.
－2x＋2z＝0，

＋y
－y

＋z
－z

2
1
2
1
2
1
|AB|＝________________________________.
名师点拨：(1)空间向量的坐标是空间向量的一种形

空间向量的坐标运算 空间直角坐标系

9.6 空间向量的坐标运算
空间直角坐标系. 向量的直角坐标运算.
一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一个基底的 三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个 基底叫做单位正交基底，常用来 I , j , k 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一 个单位正交基底 i、j、k 。以点O为原点， 分别以i、j、k的正方向建立三条数轴：x轴、 y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了 一个空间直角坐标系O--xyz
三、向量的直角坐标运算.
设
a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a b (a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ); a (a1 , a2 , a3 )( R); a b a1b1 a2 b2 a3b3 ; a // b a1 b1 , a2 b2 , a3 b3 ( R) a b a1b1 a2b2 a3b3 0.
ixΒιβλιοθήκη O jy间直角坐标系O--xyz中的坐标， 记作.
在空间直角坐标系O--xyz中，对空间任一点， A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数 组x,y,z，使 OA=xi+yj+zk 在单位正交基底i, j, k中与向量OA对应的有 序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中 的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标， y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.
例1 已知a=(2,-3,5),b=(-3,1,-4),求a+b,a-b,8a, a b
D1
Z
例2 在正方体 ABCD—A1B1 C1D1 中 E、F 分别是 BB1 、 CD 的中点 ， 求证： D1F 平面ADE

3.1.4 空间向量的直角坐标运算




4. 1已知向量a 2, 4,5 , b 3, x, y , 若a / / b, 求x, y的值. a 2, 4, x , b 2, y, 2 , 若 a 2已知： 的值. 6, 且a b, 求x y
2 4 5 15 解： 1因为a / /b, 所以 , 得x 6, y . 3 x y 2 2 2 4 y 2 x 0 2 因为a b且 a 6, 所以 2 2 2 2 4 x 6, x 4, x 4, 或 所以x y 1或x y 3. y 3, y 1.
3.1.4
空间向量的直角坐标运算
z
O
k
a
y
i j
x
思考：如上图，在空间直角坐标系的x轴，y轴，z轴的 正方向上分别作出三个单位向量i, j , k , 对于空间中的任 一向量a，如何表示为这三个向量的线性组合？
1.了解空间直角坐标系的建立，理解空间向量的坐标
及点的坐标的概念，掌握空间向量运算法则，会用
C

2.已知点A 1, -2,11 , B 4, 2,3 , C 6, -1, 4 , 则ABC的形状是
直角三角形 . ____________
3.已知a 2,3,1 , b 2, 0,3 , c 0, 0, 2 则a b c
9 a 6b - 8c （ 14,3,3） ____, ________ .
坐标运算法则求向量的坐标.（重点）
2.掌握空间向量平行和垂直的条件，能够证明空间两
个向量的平行和垂直.（重点、难点）
3.掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式. （重点）

空间向量的直角坐标运算(理科)教案

yk iA(x,y,z)O jxz第4课时空间向量的直角坐标运算教学目标 知识与 技能 掌握向量的直角坐标运算、夹角公式、距离公式，学会运用空间向量的坐标运算证明平行垂直问题。

过程与 方法空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键。

另外在做题过程中体会向量是一种处理几何问题的工具。

情感、态度 与价值观向量是沟通代数、几何与三角函数的一种工具，通过本节学习，体会他们之间的联系，并逐步认识向量的科学价值、应用价值和文化价值，提高学习数学的兴趣。

教学重点、难点 重点：向量的坐标运算，夹角公式，距离公式，空间向量平行和垂直的条件。

难点：向量坐标运算及公式应用。

教学方法立足平面向量基础，把平面向量的概念及线性运算推广到空间，引导学生利用类比的方法，经历向量及其运算由平面向空间推广的过程。

教学内容（重点内容、学情分析、教法设计、学法指导、分类推进措施）一、复习引入（大约5分钟）1．空间向量基本定理：2．空间向量平行和垂直的充要条件3．空间向量夹角及其表示4．向量的数量积（引导学生从已有认知出发，即从学生已具备的平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫，学生在学案上填写，同位互相检查。

）二、概念形成与深化（大约18分钟）1．空间向量的坐标表示 学生看课本，填写学案。

（1）分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量k j i ,,，这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{}k j i ,,，这个基底叫做单位正交基底，单位向量k j i ,,都叫做坐标向量。

（2）已知任一向量a ，根据空间向量分解定理，存在唯一实数组()z y x ,,，使k z j y i x a ++=，有序实数组()z y x ,,叫作向量a 在空间直角坐标系中的坐标，记作=a ()z y x ,,，其中x 叫做a在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，z 叫做a在z 轴上的坐标。

3.1.4 .2空间向量的直角坐标运算

法库县高级中学高二下【理科快乐数学】学案 编制人:李茂成 审核:李景会 編号：6高二（下）数学理科学案6----空间向量的直角坐标运算（2）一、学习目标1.掌握空间向量的坐标运算，会判定两个向量平行或垂直。

2.掌握模长公式，夹角公式，两点间距离公式，并会用这些公式解决有关问题。

二、知识梳理1、空间向量的坐标运算法则设a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3）则2、空间向量平行和垂直的条件：设a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3）（1）a ∥b （b 0≠ ）⇔________________________________________⇔⎧⎪⎨⎪⎩当b 与三个坐标平面都不平行时a ∥b ⇔______________（2）a ⊥b ⇔______________⇔__________（a 0≠ 且b 0≠ ）。

3、两向量夹角与向量长度的坐标计算公式：（1）设a ＝（a 1，a 2，a 3），b ＝（b 1，b 2，b 3），则｜a ｜＝_______________＝_____________，｜b ｜＝_________________＝____________________，cos<a ，b > =______________________＝_____________________。

（2）设A （x 1，y 1，z 1），B （x 2，y 2，z 2），则AB ＝_________________，｜AB ｜＝_________________＝___________________.班级: 姓名:一、选择题1、已知向量a ＝（0，0，1），则2a ＝（ ）A 、（0，0，1）B 、1C 、（1，0，0）D 、－12、以正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的顶点D 为坐标原点O ，建立如图空间直角坐标系，则与1DB 共线的向量的坐标可以是（ ）A 、（1B 、（1，1C 、D 、1）3、已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0， 5，1），则BC 边上的中线长为（ ）A 、2B 、3C 、4D 、54、已知a ＝（1，2，－y ），b ＝（x ，1，2），且（a +2b ）∥（2a －b ），则（ ）A 、x ＝13，y ＝1 B 、x ＝12，y ＝－4 C 、x ＝2，y ＝－14D 、x ＝1，y ＝－1 5、已知a ＝（2，－1，3），b ＝（－4，2，x ）且a ⊥b ，则x ＝（ ） A 、2 B 、53 C 、1 D 、1036、已知a ＝（t+1，1，t ），b ＝（t －1，t ，1）则｜a －b ｜的最小值为（ ）A B C 、2 D 、47．已知A (3,4,5)，B (0,2,1)，O (0,0,0)，若OC →＝25AB →，则C 的坐标是( ) A ．(－65，－45，－85) B ．(65，－45，－85) C ．(－65，－45，85) D ．(65，45，85) 8．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标为( )A ．(1,3,2)B ．(－1，－3,2)C ．(－1,3，－2)D ．(1，－3，－2) 9．若a ＝(1，λ，2)，b ＝(2，－1,2)，且a 与b 夹角的余弦为89，则λ＝( ) A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－255 10．若△ABC 中，∠C ＝90°，A (1,2，－3k )，B (－2,1,0)，C (4,0，－2k )，则k 的值为( ) A.10 B ．－10名言警句: 没有差生、只有差异、山高我为峰。

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我的疑问： 我的收获与发现：


3. 已知 A(x1 , y1 , z1 ), B(x2 , y2 , z2 ) ，如何求 AB 的坐标？

三、合作探究： 探究一：空间向量的平行、垂直 例 1、 （1）已知点 A(2,3,1), B(8,2,4), C (3,0,5) ,是否存在实数 x，使 AB 与 AB x AC 垂直？
4、已知向量 a (3, 2, 6), b (1, 3, 0), c (2, 2,1) ，求： （1） | a b c | ； （2） cos a, b
2





2、已知 a=(a1 , a2 , a3 ), b=(b1 , b2 , b3 ) （1）写出向量坐标运算法则。
（*） （2）已知 a 1, x,1 x , b 1 x , 3 x, x 1 , 若 a // b ，求 x 的值。
2
（*）拓展：已知空间三点 A(1,0,1), B(1,1,1), C (0, 2,3) ，求以 AB、AC 为边的平行四边形的面积。






拓展 2、与 a (2,3,5) 同方向的单位向量 n = 与 a (0,1,1), b (1,0,1) 同时垂直的单位向量 n =
2011-2012 学年高二数学选修 2-1 导学案
编号 21
使用时间：2011-12-7
编制人：李泽军
吕春美 许国超 赵建胜
审核人：
领导签字：
班级：
小组：
姓名：
教师评价：
空间向量的直角坐标运算
【使用说明】1.课前完成预习学案，牢记基础知识，掌握基本题型，时间不超过 20 分钟；AA 完成所有题目，BB 完 成除（**）外所有题目，CC 完成不带（*）题目 2.认真限时完成，书写规范；课上小组合作探究，答疑解惑。3、小 组长在课上讨论环节要在组内起引领作用，控制讨论节奏。
；
探究二：两向量的夹角及长度 例 2、已知 A(1,1,0), B(0,3,0), C (2,2,3) ，求： （1） AB, AC ; （2） AC在 AB 上正投影的数量。
四、我的学习总结：
（1）我对知识的总结 （2）我对数学思想及方法的总结
(2) (4,0,3) , (8,0,6) （2）(3,1,3) , (1,0,-1)
2011-2012 学年高二数学选修 2-1 导学案
编号 21
使用时间：2011-12-7编制人：李泽军吕春美 许国超 赵建胜
审核人：
领导签字：
班级：
小组：
姓名：
教师评价：
拓展 1、 （1）已知向量 a 2,2,0, b 2,0,2, 求向量 n ，使 n a ， n b
4.怎样判定空间向量的平行、垂直？公式使用的条件是什么？
（2）已知 a x, 2,5 , b 1, y, 3 平行，求 x,y


5.如何利用两向量的坐标来计算两向量的夹角及求向量的长度？
预习自测： 1、 判断下列两向量是否平行： （0，0，5） ,（0，0，7） （1） 2、 判断下列两向量是否垂直： （3，4，0）, （0，0，5） （1）
3、 a 1,1,0, b 0,1,1, c 1,0,1, p a b , q a 2b c ,
求： p,

q,
pq
一、学习目标： 1.掌握向量的表示及坐标运算，提高运算求解能力； 2.自主学习、合作交流，探究空间向量的坐标运算的规律方法； 3.激情投入，体会空间向量在立体图形中的应用。 重点：空间向量的坐标运算；难点：向量坐标公式的应用 二、问题导学（通过类比平面向量完成） ： 1、单位正交基底如何定义？空间向量 a 的坐标是如何定义的？