面面垂直判定
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面面垂直的判定定理课件
Part
04
面面垂直的判定定理在几何中 的应用
应用场景一：多面体
在多面体中，如果一个平面与多面体的一个面相交，并且交线与多面体的一个顶 点垂直，则该平面与多面体的所有面都垂直。这个判定定理在证明多面体的性质 和解决相关问题时非常有用。
例如，利用面面垂直的判定定理可以证明正方体的六个面都是正方形，也可以证 明长方体的相对两面平行。
复杂几何问题的思考
问题1
在长方体中，如果一个顶点上的 三条棱分别与另一个顶点上的三 条棱垂直，那么这两个顶点是否
在同一平面上？
问题2
在四面体中，如果一个顶点上的三 条棱分别与另一个顶点上的三条棱 垂直，那么这两个顶点是否在同一 平面上？
问题3
在球体中，是否存在两个点，使得 从一个点出发的三条射线分别与从 另一个点出发的三条射线垂直？
符号表示
设平面α内有两条相交直线$a$和$b$， 平面β内有一直线$c$，若$a ⊥ c$，$b ⊥ c$，则平面α与平面β互相垂直，记 作α⊥β。
定理证明
• 证明过程：首先，由于直线$a$和$b$在平面α内相交，且都与直线$c$垂直，根据空间几何的性质，我们知道两条相 交的直线确定一个平面。因此，我们可以确定直线$a$和$b$确定的平面记作γ。接下来，由于直线$c$与平面γ内的 两条相交直线$a$和$b$都垂直，根据面面垂直的判定定理，我们可以得出结论：平面α与平面γ互相垂直。
相关定理与公式的关联性探讨
定理1
如果一个平面内的两条相交 直线分别与另一个平面垂直 ，那么这两个平面垂直。
定理2
如果一个平面内的任意一条 直线都与另一个平面垂直， 那么这两个平面垂直。
公式1
在直角三角形中，斜边的 平方等于两直角边的平方 和。
面面垂直的判定定理
例1 如图,AB是圆O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，C是
圆周上不同于A、B的任意一点， 求证：平面PAC⊥平面PBC. 分析：找面的垂线.
BC⊥平面PAC
证明：设⊙O所在平面为α，由已知条件，有 PA⊥α，BC在α内， ∴PA⊥BC，
∵点C是圆周上不同于A，B的任意一点， AB为⊙O直径，
∴∠BCA＝90°， 即AC⊥BC 又∵ PA与AC是△PAC所在平面内
（一般通过计算完成证明。）
2、判定定理： 要证两个平面垂直，只要在其中一个平面内找到
另一个平面的一条垂线。 （线面垂直面面垂直）
线线垂直 线面垂直 面面垂直
作业
已知直线PA垂直正方形ABCD所在的平面，A为垂足。 求证：平面PAC平面PBD。
P
A
D
O
B
Cห้องสมุดไป่ตู้
谢谢！
面面垂直的定义：
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二 面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.
β
α
直二面角？
1、二面角的定义： A
B
O
A
B
从一条直线出发的两个半平面所组
成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。
这两个半平面叫做二面角的面。
2、二面角的画法：
(1)直立式: l
(2)正卧式:
l
(3)平卧式:
l
3、二面角的文字表示方法：
面1－棱－面2
二面角C－AB－ D
二面角－AB－
C
A
点1－棱－点2
B D
A
F
E
B
二面角－ l－ A
P B
Q
l
D
C
面面垂直的判定
2) 若PA=AB=a, 6 求二面角A AC = a，求二面角A− PB − C的大 。 小 3
解：过点A在平面 在平面PAC内作 内作AF ⊥ ，交PC于F， ⊥PC， 过点 在平面 内作 于 ， 过点A在平面 内作AE ⊥ ，交PB于E，连EF， ⊥PB， 过点 在平面PAB内作 在平面 内作 于 ， ， E F
P
A
O C
B
课堂练习： 课堂练习：
一、判断： 判断： 1.如果平面 内有一条直线垂直于平面 内的一 如果平面α内有一条直线垂直于平面 如果平面 内有一条直线垂直于平面β内的一 × 直线， 条 直线，则α⊥β.（ ） ⊥ （ 2.如果平面 内有一条直线垂直于平面 内 如果平面α内有一条直线垂直于平面 如果平面 内有一条直线垂直于平面β内 的两条直线， 的两条直线，则α⊥β.（ ⊥ （ ） × 3. 如果平面 内的一条直线垂直于平面 内的两 如果平面α内的一条直线垂直于平面 内的一条直线垂直于平面β内的两 √ 条相交直线, 条相交直线 则α⊥β.（ ⊥ （ ） 4.若m⊥α，m β，则α⊥β.( ) √ 若 ⊥ ， ， ⊥
证明： 证明：
AB是圆O AB是圆O的直径 是圆 BC⊥ ⇒BC AC 是圆周上异于A 的一点 C是圆周上异于A、B
⇒ BC ⊥ 平面PAC 平面PAC
平面ABC PA ⊥ 平面ABC ⇒BC ⊥ PA BC⊂ 平面ABC BC 平面ABC 平面PAC PAC， 平面PAC AC ⊂ 平面PAC，PA⊂ 平面PAC ACIPA = A
A B D
α α
l
5
B
β A 二面角α－ l－ β
二面角C－AB－ D
α β
β
l
面面垂直的判定与性质课件
详细描述
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
如果两个平面都与同一直线垂直，那 么这两个平面之间的夹角为90度，即 这两个平面互相垂直。
性质3：垂直于同一平面的两条直线互相平行
总结词
如果两条直线都垂直于同一个平面，则这两条直线互相平行。
详细描述
如果两条直线都与同一个平面垂直，那么这两条直线之间的夹角为0度，即这两 条直线互相平行。
应用场景1：建筑学中的面面垂直
逆定理的表述
• 逆定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一 个平面垂直，则这两个平面互相垂直。
逆定理的证明
• 证明：设两条相交直线为$a$和$b$，它们与平面$\alpha$垂直。根据直线与平面垂直的性质，有$a \perp \alpha$和$b \perp \alpha$。由于$a$和$b$相交，根据平面的性质，过$a$和$b$的平面$\beta$与平面$\alpha$垂直。因此，逆定理 得证。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一个平面，则这两个平面之间的距离相等。
详细描述
根据面面垂直的性质，如果两个平面都与第三个平面垂直，那么这两个平面之间的距离 是相等的。这是因为它们都与第三个平面形成相同的角度，所以它们之间的距离也是相
等的。
推论
总结词
如果两个平面都垂直于同一条直线，则 这两个平面之间的距离相等。
电子设备设计中，面面垂直的应用有助于提高设备的性能和稳定性。
详细描述
在电子工程中，电路板和电子元件的布局都需要遵循面面垂直的判定与性质。例如，在制造手机的过程中，利用 面面垂直的判定方法可以确保屏幕与机壳之间的垂直度，从而提高手机的显示效果和使用寿命。此外，在制造高 精度传感器的过程中，也需要利用面面垂直的判定方法来确保传感器的精确度和稳定性。
面面垂直的判定公开课课件
直。由此可知，平面β与平面α垂直。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
方法2：利用面面平行的性质判定面面垂直
总结词
通过证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质判定两个平面垂直
详细描述
首先证明两个平面平行，然后利用面面平行的性质，即如果两个平面平行，那么其中一个 平面内的任意一条直线都与另一个平面垂直，从而得出两个平面垂直的结论。
证明过程
利用三垂线定理证明一个平面内的两 条相交直线分别与另一个平面垂直， 从而得出两个平面垂直的结论。
要点三
证明过程
设直线a、b为平面α内的两条相交直 线，直线c为平面β外的一条直线，我 们需要证明直线a、b与平面β垂直， 进而证明平面α与平面β垂直。根据三 垂线定理，如果直线c与平面β的斜线 c'在点A处相交，那么c'在点A处的垂 足d在直线a、b上，且直线c、a、b 都与直线d垂直。由此可知，直线a、 b与平面β垂直。由此可知，平面α与 平面β垂直。
设平面α与平面β平行，直线a在平面α内，我们需要证明直线a与平面β垂直。由于平面α 与平面β平行，根据面面平行的性质，平面α内的任意一条直线都与平面β垂直。因此，直 线a与平面β垂直。由此可知，平面α与平面β垂直。
方法3：利用三垂线定理判定面面垂直
要点过三垂线定理证明两个平面垂直
面面垂直的判定公开课课件
$number {01}
目录
• 面面垂直的判定定理 • 面面垂直的性质 • 面面垂直的判定方法 • 面面垂直的实例分析 • 面面垂直的习题与解答
01
面面垂直的判定定理
判定定理的陈述
• 判定定理：如果一个平面内的一条直线与另一个平面垂直，那么这两个平面互 相垂直。
判定定理的证明
• 证明：假设平面α内有直线l，且l与平面β垂直。为了证明平面α 与平面β垂直，我们需要证明平面α上的任意一条直线m都与平 面β垂直。设直线m在平面α上并与直线l相交于点P。由于l与β 垂直，根据直线与平面垂直的性质定理，l与β上的任意一条直 线（包括m）都垂直。因此，m与β也垂直。由于m是平面α上 的任意一条直线，所以我们可以得出结论：平面α与平面β垂直 。
面面垂直判定方法
面面垂直判定方法
面面垂直判定方法是一种用于确定两个平面是否垂直的方法。
下面是
详细的步骤：
1. 确定两个平面的法向量
首先，需要确定两个平面的法向量。
一个平面的法向量是与该平面垂
直的向量，可以通过计算该平面上任意两个不共线向量的叉积来得到。
如果已知该平面的方程，也可以直接从方程中读出法向量。
2. 计算两个法向量之间的点积
接下来，需要计算这两个法向量之间的点积。
点积是一种数学运算，
可以用来计算两个向量之间的夹角。
如果两个向量垂直，则它们的点
积为0。
3. 判断夹角是否为90度
根据第二步得到的点积结果，判断这两个平面是否垂直。
如果点积为0，则说明这两个平面垂直；否则，它们不垂直。
需要注意的是，在进行这种判定时，需要确保所选取的法向量都指向同一侧。
如果不是，则需要将其中一个反转方向再进行计算。
综上所述，以上就是使用面面垂直判定方法来确定两个平面是否垂直的详细步骤。
面面垂直的判定公开
在建筑、工程等领域中，面面垂直的判定也有广泛应用，如确定建 筑物的垂直度、机械零件的加工等。
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
几何问题解决的实例解析
例1
一个正方形ABCD中，E为CD的中点，F为AD的中 点，求证：平面ABE垂直于平面BCF。
例2
一个圆柱体中，底面半径为r，高为h，求证：底面 与顶面垂直。
分析
要证明两个平面垂直，我们需要证明一个平面内 的一条直线与另一个平面垂直。在这个例子中， 我们可以选择AB作为平面ABE内的直线，然后证 明它与平面BCF垂直。
判定定理
如果两个平面内分别有一条直线相互垂直，那么这两个平面相互垂直。
符号表示
如果直线a在平面α内，直线b在平面β内，且a⊥b，则α⊥β。
判定定理的证明
• 证明：假设两个平面α和β相交，且在α内有直线a与β相交于点 A，在β内有直线b与α相交于点B。如果a⊥b，那么线段AB是 两个平面的交线。由于a⊥b，所以a与b的夹角为90°。因此， 平面α与平面β的夹角也为90°，即α⊥β。
03 面面垂直的判定方法
判定方法的分类
定义法
根据面面垂直的定义，如果两个 平面内各有一条直线互相垂直，
则这两个平面垂直。
判定定理法
利用面面垂直的判定定理，如果一 个平面内的两条相交直线与另一个 平面垂直，则这两个平面垂直。
三垂线定理法
三垂线定理指出，如果一个平面内 的一条直线与另一个平面的一条斜 线在平面内射影垂直，则这两个平 面垂直。
判定方法的步骤
第一步，在其中一个 平面内取一条直线。
第三步，根据三垂线 定理得出结论。
第二步，判断这条直 线是否与另一个平面 的斜线在平面内射影 垂直。
判定方法的实例解析
定义法实例
三垂线定理法实例
面面垂直的判定
A
B1
D1
模拟巩固
E
A1
G
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已
知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，
D1D，C1C的中点.
D
求证：平面ABHG⊥平面DEFC
分析: 平面ABHG⊥平面DEFC
A
F B1
线BH⊥平面DEFC
B
线BH⊥线FC 线BH⊥线DC
面ABC 面ACD CD 面ABC 面ABD 面BCD AB 面BCD
D C
例1 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在
的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点, 求证:平面PAC⊥平面PBC.
证: 设已知⊙O平面为α
PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC AC BC
PA AC A
PA 面PAC, AC 面PAC BC 面PBC
BC 面PAC
面PAC 面PBC
模拟巩固
填空
1.过平面α的一条垂线可作_无___数_个平面
与平面α垂直.
练 习
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
是 硬
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
四、直二面角
A
平面角为直角的二面角 叫做直二面角。
B
O
平面和平面垂直
两个平面互相垂直定义
一般地，如果两个平面所成二面角为直 二面角，我们就说这两个平面互相垂直。
记作：
画法：
l
A
情景建构：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平 面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直。
B1
D1
模拟巩固
E
A1
G
在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 已
知E，F，G，H分别是A1D1，B1C1，
D1D，C1C的中点.
D
求证：平面ABHG⊥平面DEFC
分析: 平面ABHG⊥平面DEFC
A
F B1
线BH⊥平面DEFC
B
线BH⊥线FC 线BH⊥线DC
面ABC 面ACD CD 面ABC 面ABD 面BCD AB 面BCD
D C
例1 如图,AB是 ⊙O的直径,PA垂直于⊙O所在
的平面,C是 圆周上不同于A,B的任意一点, 求证:平面PAC⊥平面PBC.
证: 设已知⊙O平面为α
PA 面, BC 面
PA BC 又 AB为圆的直径
AC BC
PA BC AC BC
PA AC A
PA 面PAC, AC 面PAC BC 面PBC
BC 面PAC
面PAC 面PBC
模拟巩固
填空
1.过平面α的一条垂线可作_无___数_个平面
与平面α垂直.
练 习
2.过一点可作_无__数__个平面与已知平面垂
直.
是 硬
3.过平面α的一条斜线，可作__一__个平
四、直二面角
A
平面角为直角的二面角 叫做直二面角。
B
O
平面和平面垂直
两个平面互相垂直定义
一般地，如果两个平面所成二面角为直 二面角，我们就说这两个平面互相垂直。
记作：
画法：
l
A
情景建构：
如何检测所砌的墙面和地面是否垂直？
猜想：
如果一个平面经过了另一个平 面的一条垂线，那么这两个平面互 相垂直。
平面与平面垂直的判定与性质
已知面面垂直时一般用性质定理在一个平面内作出交线的垂线使之转化为线面垂直然后转化为线线垂直故要熟练掌握三者之间的转化条如果两个平面相交，所成的二面角（从一条直线出发的两个半平面所组成的图形）是直二面角 （平面角是直角），就说这两个平面垂直。如图，
面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 面面垂 直） 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面 面垂直 线面垂直） 性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中 要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理， 在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三 者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂 直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利 用空间向量．
常用结论： （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内，此结论可以作为性质定理用， （2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这 条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
面面垂直的判定定理： 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。（线面垂直 面面垂 直） 面面垂直的性质定理： 如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面。（面 面垂直 线面垂直） 性质定理符号表示：
线线垂直、线面垂直、面面垂直的转化关系：
证明面面垂直的方法： 证明两个平面垂直，通常是通过证明线线垂直、线面垂直来实现的，在关于垂直问题的论证中 要注意三者之间的相互转化，必要时可添加辅助线，如：已知面面垂直时，一般用性质定理， 在一个平面内作出交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后转化为线线垂直，故要熟练掌握三 者之间的转化条件及常用方法．线面垂直与面面垂直最终归纳为线线垂直，证共面的两直线垂 直常用勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质；证不共面的两直线垂直通常利用线面垂直或利 用空间向量．
常用结论： （1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个 平面内，此结论可以作为性质定理用， （2）从该性质定理的条件看出：只要在其中一个平面内通过一点作另一个平面的垂线，那么这 条垂线必在这个平面内，点的位置既可以在交线上，也可以不在交线上，如图．
怎么证明面面垂直的判定定理
怎么证明面面垂直的判定定理在空间几何中，面面垂直是一个重要的概念，而其判定定理则是我们判断两个平面是否垂直的重要依据。
要证明面面垂直的判定定理，首先我们得明确这个定理的内容。
面面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
接下来，我们逐步进行证明。
假设平面α经过平面β的一条垂线 l ，我们要证明α⊥β 。
我们在平面β内，过直线 l 上一点 A 作直线 m ，使得 m 与 l 垂直（根据平面内垂直的定义）。
由于直线 l 垂直于平面β，所以 l 垂直于平面β内的任意直线，因此l 垂直于直线 m 。
又因为直线 l 在平面α内，直线 m 在平面β内，且 l 垂直于 m ，所以直线 m 是平面α和平面β的交线。
现在，在平面α内，过点 A 作直线 n 与直线 m 平行（根据平行线的性质）。
因为 l 垂直于 m ，且 n 平行于 m ，所以 l 垂直于 n 。
由于直线 l 垂直于平面β内两条相交直线 m 和 n ，所以直线 l 垂直于平面β。
而平面α经过直线 l ，所以平面α垂直于平面β，即α⊥β 。
为了更好地理解这个证明过程，我们可以通过一些具体的例子来进行辅助。
比如，想象一个房间的天花板（平面α）和地面（平面β），如果在地面上有一根垂直于地面的柱子（直线 l ），并且这根柱子连接着天花板，那么很容易就能感觉到天花板和地面是垂直的。
再比如，拿一本书（平面α）和一张纸（平面β），如果把一支铅笔（直线 l ）垂直地立在纸上，并且铅笔的一端顶在书上，那么书和纸也是垂直的。
通过这些实际的例子，能够让我们更加直观地感受面面垂直的判定定理。
在证明过程中，关键是要理解直线与平面垂直的定义和性质，以及平面与平面的位置关系。
要清晰地知道，当一个平面内的一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线时，这两个平面就垂直。
总之，面面垂直的判定定理的证明，是基于直线与平面垂直的相关知识，通过严谨的逻辑推理和几何图形的分析来完成的。
如何证面面垂直的判定定理
如何证面面垂直的判定定理如何证面面垂直的判定定理一、引言在几何学中，面面垂直是一个重要的概念。
如果两个平面相互垂直，则它们的交线是一条直线，这条直线被称为它们的公垂线。
本文将介绍如何证明两个平面相互垂直的判定定理。
二、定义和性质1. 定义：如果两个平面相互垂直，则它们的交线是一条直线，这条直线被称为它们的公垂线。
2. 性质：（1）两个平面相互垂直，则它们的法向量也相互垂直；（2）两个平面相互垂直，则它们的法向量所在的直线也相互垂直；（3）如果一条直线与一个平面相交且与该平面上某一条不同于此交点处经过该点的另一条直线都垂直，则该交点在该平面上。
三、证明方法1. 方法一：向量法证明（1）已知两个平面 P1 和 P2，设它们分别由点 A、B、C 和 A、D、E 确定；（2）求出 P1 和 P2 的法向量 n1 和 n2；（3）如果n1 · n2 = 0，则 P1 和 P2 相互垂直；（4）否则，它们不相互垂直。
2. 方法二：点线面法证明（1）已知两个平面 P1 和 P2，设它们分别由点 A、B、C 和 A、D、E 确定；（2）求出线段 AB 和 DE 的交点 F；（3）如果 F 在 P1 上，则 DE 垂直于 P1；（4）如果 F 在 P2 上，则 AB 垂直于 P2；（5）否则，它们不相互垂直。
四、例题解析例题：已知三角形 ABC 中，AB = 3 cm，AC = 4 cm，BC = 5 cm。
在三角形 ABC 中作高 BD，过 D 分别作 BE、CF 垂直于 AC、AB。
求证：BE 垂直于 CF。
解析：根据勾股定理可知：BC² = AB² + AC²= 9 + 16= 25因此，三角形 ABC 是一个直角三角形。
设 BD 的长度为 h，则有：h² + 3² = 4²h² + 9 = 16h² = 7h ≈ 2.65 cm根据三角形相似可知：BE/CE = BD/CDBE/(4-h) = h/(3-h)BE = (4h - h²)/3BE ≈ 0.87 cm同理，有：CF = (3h - h²)/4CF ≈ 1.16 cm因此，BE² + CF² ≈ 2.02，BC² ≈ 25，且 BE 和 CF 的长度均为正数。
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理
立体几何面面垂直判定定理是指，如果两个不共面的平面上的任意一条直线垂直于两个平面的交线，则这两个平面互相垂直。
这个定理可以帮助我们在解决立体几何问题时判断两个平面是否垂直。
要理解这个定理，首先需要明确什么是不共面的平面和交线。
不共面的平面是指两个平面不在同一个平面上，它们之间有一定的夹角。
交线是指两个平面的交集，通常是一条直线。
例如，有两个平面A和B，它们不在同一个平面上，它们的交线是直线L。
如果我们能够证明直线L垂直于平面A和平面B的交线，那么就可以得出平面A和平面B互相垂直的结论。
证明方法可以使用向量法或坐标法。
向量法是基于向量的投影和内积来判断平面的垂直关系，而坐标法则是基于平面的法向量来判断平面的垂直关系。
除了理论证明，这个定理还可以应用到实际问题中。
例如，在建筑设计中，如果需要在墙面上嵌入一个电视墙架，需要确保墙面和墙架垂直，否则会影响安装效果。
通过使用面面垂直判定定理，可以准确判断墙面和墙架之间的垂直关系，从而确保安装效果。
总之，立体几何面面垂直判定定理是一个重要的判定工具，可以帮助我们解决立体几何问题中的垂直关系。
熟练掌握这个定理，可以更快地解决立体几何问题，并在实际应用中提高工作效率。
- 1 -。
面面垂直的判定
问题1:如果平面α ⊥平面β ，那么平面α 内的任 一条直线都与平面β 垂直吗？
问题2：在二面角α-l-β中，直线m 在平面β内，如m⊥α，那么二面 角α-l-β是直二面角吗？ 问题3:根据上述分析， 可以得到什么结论？ α
β
β m l
a
α
面面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一 条垂线，那么这两个平面互相垂直
请问哪些平面是互相垂直的,为什么?
A AB 面 BCD 面 ABC 面 BCD
AB 面 BCD 面 ABD 面 BCD CD 面 ABC 面 ABC 面 ACD
B D
C
课堂练习：
变式: 求证:(1)平面GEF⊥平面SGD
(2)平面SGE⊥平面GEF
P69练习.
A
即证BC 平面PBC .
A
分析：要证平面 垂线 PAC 平面 PBC ，
C O B
即证平面 PBC 经过平面 PAC 的一条
P76 例3 证明: 设已知⊙O平面为α
PA 面 , BC 面
PA BC
又 AB 为圆的直径
AC BC
AC 面 PAC BC 面PAC
符号表示：
l l
l
线线垂直
线面垂直
面面垂直
两个平面垂直的判定：
（１）利用定义［作出二
面面垂直］
例题示范
例1 如图，⊙O在平面α 内，AB是⊙O的直径， PA⊥α ，C为圆周上不同于A、B的任意一点，求证： P 平面PAC⊥平面PBC.
BC 面 PBC
PA BC AC BC PA AC A PA 面 PAC
证明面面垂直的方法及知识点
证明面面垂直的方法及知识点证明面面垂直的方法及知识点面面垂直是几何图形的一种体现，那该怎么证明呢？证明的方法是的呢？下面就是店铺给大家整理的怎样证明面面垂直内容，希望大家喜欢。
证明面面垂直的方法如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)为方便，下面#后的代表向量。
#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.对角线的点积：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD两组对边平方和分别为：AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BCAD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA则AB2+CD2=AD2+BC2等价于#BD·#BC=#BD·#BA等价于#AC·#BD=0所以原命题成立，空间四边形对角线垂直的充要条件是两组对边的平方和相等证明一个面上的一条线垂直另一个面;首先可以转化成一个平面的.垂线在另一个平面内,即一条直线垂直于另一个平面然后转化成一条直线垂直于另一个平面内的两条相交直线也可以运用两个面的法向量互相垂直。
这是解析几何的方法。
面面垂直的知识点一、初中部分1利用直角三角形中两锐角互余证明由直角三角形的定义与三角形的内角和定理可知直角三角形的两个锐角和等于90° ，即直角三角形的两个锐角互余。
2勾股定理逆定理3圆周角定理的推论：直径所对的圆周角是直角，一个三角形的一边中线等于这边的一半，则这个三角形是直角三角形。
二、高中部分线线垂直分为共面与不共面。
不共面时，两直线经过平移后相交成直角，则称两条直线互相垂直。
如果一平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直。
(面面垂直判定定理)1向量法两条直线的方向向量数量积为02斜率两条直线斜率积为-13线面垂直，则这条直线垂直于该平面内的所有直线一条直线垂直于三角形的两边，那么它也垂直于另外一边4三垂线定理在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。
高中面面垂直的判定定理
高中面面垂直的判定定理高中面面垂直的判定定理在平面直角坐标系中，如果两条直线的斜率之积为-1，则这两条直线互相垂直。
这就是高中数学中常见的“面面垂直”的判定定理。
下面将从定义、证明、应用三个方面详细介绍这一定理。
一、定义在平面直角坐标系中，如果有两条不重合的直线L1和L2，它们的斜率分别为k1和k2，且k1×k2=-1，则称L1与L2互相垂直。
二、证明要证明“斜率之积为-1时，两条直线互相垂直”，我们需要用到向量的知识。
设向量a=(x1,y1)和向量b=(x2,y2)，则a·b=x1x2+y1y2表示向量a和向量b的数量积。
同时，向量a和向量b垂直可表示为a·b=0。
现在考虑两条不重合的直线L1:y=k1x+b1和L2:y=k2x+b2（k1≠k2）。
分别取L1上一点A(x0,y0)和L2上一点B(x3,y3)，则有：AB^→=AO^→+OB^→=(x0-b1,y0)-(x3-b2,y3)=(x0-x3-b1+b2,y0-y3)其中，^→表示向量，O为坐标系原点。
由于L1和L2垂直，所以向量AB^→与向量L1的方向向量a=(1,k1)垂直，即：AB^→·a=0展开得：(x0-x3-b1+b2)+k1(y3-y0)=0将L2的斜率k2=-1/k1代入得：(x0-x3-b1+b2)-(y3-y0)/k2=0也就是：(x0-x3-b1+b2)+k2(y3-y0)=0这表明向量AB^→与向量L2的方向向量b=(1,k2)垂直。
因此，L1和L2互相垂直。
三、应用面面垂直定理在高中数学中经常用于解决两条直线是否垂直的问题。
例如，在解决平面几何中的证明题目时，我们需要判断两条线段是否相互垂直。
此时，可以通过计算两条线段所在的直线的斜率之积是否为-1来判定它们是否垂直。
同时，在解决函数图像问题时，也需要运用面面垂直定理。
例如，在求解过给定点且与一条已知直线垂直的函数图像时，可以通过计算该函数图像所在直线与已知直线斜率之积是否为-1来确定该函数图像的斜率。
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S G3 F D
G1
E
G2
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，
求证：(1) AP∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C
一、直观感知，导入新课：
（一）、生活中面面垂直的例子无处不在， 你能举几个例子吗？请独立思考后举手发言， 其他同学可作补充。
实例感受 一、整体感知，导入新课 门扇所在的平面和地面所在的平面之间的位 置关系．
一、整体感知，导入新课
墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置 关系．
二、深入探究，形成规律
三、活学活用，提升能力
已知 （三） AB 面BCD, BC CD，判断在该 几何体中哪些面互相垂直？先独立思考，可以 相互商量，然后举手发言，注意说明依据。
A
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
请 第一小组c层 同学回答。
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A1 B1C1 D1 , G 是A1 A上一点，求证： 面ACC1 A1 面BDG
请 第七小组B层 同学回答。
G
二、深入探究，形成规律
变式：已知长方体 ABCD A1B1C1D1，点P是AD1 上的动点。求证：平面 1PA 平面AA D1 B 1 1
关键：线不在多，相交则行
线线垂直
线面垂直
复习回顾：
（二）判断空间垂直关系的关键是线线垂直， 你能想起多少种判断线线垂直的方法？独立思考 后举手回答，其他同学可作补充。 一、平面几何知识： • 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 • 勾股定理 • 圆直径所对的圆周角是直角 • 菱形对角线互相垂直 • 矩形邻边互相垂直 二、空间直线和平面垂直的定义。
请 第二小组B层 同学回答。
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A1B1C1D1 , 求证： 面ACC1 A1 面BDB1D1
请 第五小组c层 同学回答。
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A1 B1C1 D1 , E，F分 别是A1 D1，A1 B1的中点，求证： 面ACC1 A1 面BDEF
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC
面PAC 面PBC
三、活学活用，提升能力
2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的 中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方 形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记 为G- SEF。 求证:平面GEF⊥平面
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两 条相交直线, 则α⊥β.（ ） √
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.(
) √
∪
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A B1C1D1 , 求证： 1 面ACC1 A 面BDA 1 1
（二）请各小组同学做好准备， 快速说出下列习题的证明 过程，可以在小组内互相 商量，然后老师点名找同 学回答。
B
C
D
三、活学活用，提升能力
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的
平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点。
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
（四）、在独立思考的基 础上，在练习本上写出 证明过程，注意符号准 确，逻辑合理，然后与 大家分享。
Ｃ
B
A
O
三、活学活用，提升能力
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
面面垂直的判定定理 ：如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
1.图形表示：
2.符号表示：
l
l α αβ l β
线面垂直 面面垂直
线线垂直
（一）、请快速判断下列命题的对错，并举 手发言，发言时请说明原因。
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的 一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的 两条直线，则α⊥β.（ ） ×
A D C P
请 第七小组B层 同学回答。
B
A1
D1
B1
C1
三、活学活用，提升能力 探究1：
（二）在如图正方体,请问正方体的哪些面与 面A1B垂直?先独立思考， D1 C1 然后举手发言。
A1 B1
面A1B 面A1C1 面A1B 面AD1
C
D A B
面A1B 面BC1
面A1B 面AC
复习回顾： 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 2.符号表示 （一）请同学们回忆“如何判定直线和平 1.图形表示 面垂直？”回忆不起来的可以翻书，也可以 m ,n a 互相商量，想好后举手发言。 mnO a m
O
n
a m, a n
G1
E
G2
练习3： ABCD是正方形，O是正方形的
中心，PO⊥平面ABCD，E是PC的中点，
求证：(1) AP∥平面BDE；
(2)平面PAC⊥BDE. P E D A O B C
一、直观感知，导入新课：
（一）、生活中面面垂直的例子无处不在， 你能举几个例子吗？请独立思考后举手发言， 其他同学可作补充。
实例感受 一、整体感知，导入新课 门扇所在的平面和地面所在的平面之间的位 置关系．
一、整体感知，导入新课
墙所在的平面和地面所在的平面之间的位置 关系．
二、深入探究，形成规律
三、活学活用，提升能力
已知 （三） AB 面BCD, BC CD，判断在该 几何体中哪些面互相垂直？先独立思考，可以 相互商量，然后举手发言，注意说明依据。
A
AB 面BCD 面ABC 面BCD AB 面BCD 面ABD 面BCD CD 面ABC 面ABC 面ACD
请 第一小组c层 同学回答。
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A1 B1C1 D1 , G 是A1 A上一点，求证： 面ACC1 A1 面BDG
请 第七小组B层 同学回答。
G
二、深入探究，形成规律
变式：已知长方体 ABCD A1B1C1D1，点P是AD1 上的动点。求证：平面 1PA 平面AA D1 B 1 1
关键：线不在多，相交则行
线线垂直
线面垂直
复习回顾：
（二）判断空间垂直关系的关键是线线垂直， 你能想起多少种判断线线垂直的方法？独立思考 后举手回答，其他同学可作补充。 一、平面几何知识： • 等腰三角形底边上的中线垂直于底边 • 勾股定理 • 圆直径所对的圆周角是直角 • 菱形对角线互相垂直 • 矩形邻边互相垂直 二、空间直线和平面垂直的定义。
请 第二小组B层 同学回答。
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A1B1C1D1 , 求证： 面ACC1 A1 面BDB1D1
请 第五小组c层 同学回答。
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A1 B1C1 D1 , E，F分 别是A1 D1，A1 B1的中点，求证： 面ACC1 A1 面BDEF
PA BC 又 AB为圆的直径 AC BC PA BC AC BC PA AC A PA 面PAC
BC 面PAC
BC 面PBC
AC 面PAC
面PAC 面PBC
三、活学活用，提升能力
2.如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的 中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方 形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后记 为G- SEF。 求证:平面GEF⊥平面
3. 如果平面α内的一条直线垂直于平面β内的两 条相交直线, 则α⊥β.（ ） √
4.若m⊥α，m β，则α⊥β.(
) √
∪
二、深入探究，形成规律
在正方体ABCD A B1C1D1 , 求证： 1 面ACC1 A 面BDA 1 1
（二）请各小组同学做好准备， 快速说出下列习题的证明 过程，可以在小组内互相 商量，然后老师点名找同 学回答。
B
C
D
三、活学活用，提升能力
例1 如图，AB是⊙O的直径， PA垂直于⊙O所在的
平面，C是圆周上不同于A, B的任意一点。
求证：平面PAC⊥平面PBC.
P
（四）、在独立思考的基 础上，在练习本上写出 证明过程，注意符号准 确，逻辑合理，然后与 大家分享。
Ｃ
B
A
O
三、活学活用，提升能力
证明: 设已知⊙O平面为α PA 面 , BC 面
面面垂直的判定定理 ：如果一个平面经过另一个 平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
1.图形表示：
2.符号表示：
l
l α αβ l β
线面垂直 面面垂直
线线垂直
（一）、请快速判断下列命题的对错，并举 手发言，发言时请说明原因。
1.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的 一条直线，则α⊥β.（ ） × 2.如果平面α内有一条直线垂直于平面β内的 两条直线，则α⊥β.（ ） ×
A D C P
请 第七小组B层 同学回答。
B
A1
D1
B1
C1
三、活学活用，提升能力 探究1：
（二）在如图正方体,请问正方体的哪些面与 面A1B垂直?先独立思考， D1 C1 然后举手发言。
A1 B1
面A1B 面A1C1 面A1B 面AD1
C
D A B
面A1B 面BC1
面A1B 面AC
复习回顾： 一、直线与平面垂直的定义 二、直线与平面垂直的判定定理 2.符号表示 （一）请同学们回忆“如何判定直线和平 1.图形表示 面垂直？”回忆不起来的可以翻书，也可以 m ,n a 互相商量，想好后举手发言。 mnO a m
O
n
a m, a n