高数 映射与函数

大一高数知识点映射与函数高等数学是大多数理工科专业大一必修的一门课程，其中包含了许多重要的数学知识点。

在这篇文章中，我们将重点讨论高数中的映射与函数。

一、映射的概念与性质映射是数学上非常重要的概念，它描述了元素之间的对应关系。

在集合论中，我们将一个元素从一个集合映射到另一个集合，这两个集合可以是相同的，也可以是不同的。

映射一般用函数符号f(x) 表示，其中 x 是原集合的元素，f(x) 是它在目标集合中的对应元素。

映射具有以下性质：1. 单射：若 f(x1) = f(x2)，则 x1 = x2。

即不同的元素在映射中有不同的对应元素。

2. 满射：若对于任意的 y ∈目标集合，都存在 x ∈原集合，使得 f(x) = y。

即每一个元素都有对应的映射元素。

3. 一一映射：即又是单射又是满射的映射。

二、函数的定义与性质函数是映射的一种特殊形式，它在数学和其他学科中都有着广泛的应用。

函数的定义比较简洁，它是一种特殊的映射，其中原集合只能有一个元素对应到目标集合中的一个元素。

函数具有以下性质：1. 定义域和值域：函数的定义域是指输入变量的取值范围，值域是指函数输出的取值范围。

2. 奇偶性：函数 f(x) 的奇偶性取决于 f(-x) = f(x) 或 f(-x) = -f(x) 是否成立。

3. 单调性：函数在定义域上的增减状况，可以分为递增、递减或保持不变。

4. 极值与最值：函数在定义域的某一点或某一区间上取得的最大值或最小值。

5. 对称性：函数是否具有关于某个轴的对称性。

三、常见的函数类型在高数课程中，我们学习了许多常见的函数类型。

下面是其中一些重要的函数：1. 幂函数：y = x^n，其中 n 是正整数。

2. 指数函数：y = a^x，其中 a 是正实数且不等于 1。

3. 对数函数：y = log_a(x)，其中 a 是正实数且不等于 1。

4. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

5. 反三角函数：包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

高中数学知识点：函数、映射的概念1、映射：（1）设A，B是两个非空集合，如果按照某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么，就称对应f：A→B为从集合A到集合B的映射，记作：f：A→B。

（2）像与原像：如果给定一个集合A到集合B的映射，那么，和集合A中的a对应的集合B中的b叫做a的像，a叫做b的原像。

2、函数：（1）定义（传统）：如果在某变化过程中有两个变量x，y并且对于x在某个范围内的每一个确定的值，按照某个对应法则，y都有唯一确定的值和它对应，那么y就是x的函数，x叫做自变量，x的取值范围叫做函数的定义域，和x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。

（2）函数的集合定义：设A，B都是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任何一个元素x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：x→y为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A，其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数f（x）的定义域，与x 的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{ f（x）|x∈A}叫做函数f （x）的值域。

显然值域是集合B的子集。

3、构成函数的三要素：定义域，值域，对应法则。

值域可由定义域唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，值域一定相同，它们可以视为同一函数。

4、函数的表示方法：（1）解析法：如果在函数y=f（x）（x∈A）中，f（x）是用代数式（或解析式）来表达的，则这种表示函数的方法叫做解析式法；（2）列表法：用表格的形式表示两个量之间函数关系的方法，称为列表法；（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。

注意：函数的图象可以是一个点，或一群孤立的点，或直线，或直线的一部分，或若干曲线组成。

映射f：A→B的特征：（1）存在性：集合A中任一a在集合B中都有像；（2）惟一性：集合A中的任一a在集合B中的像只有一个；（3）方向性：从A到B的映射与从B到A的映射一般是不一样的；（4）集合B中的元素在集合A中不一定有原象，若集合B中元素在集合A中有原像，原像不一定惟一。

高等数学映射与函数笔记一、引言高等数学是理工科学生的一门重要基础课程，其中映射与函数是其中的重要组成部分。

本笔记旨在帮助读者梳理映射与函数的基本概念、性质、应用以及常见问题，为进一步学习高等数学打下坚实的基础。

二、映射的基本概念1. 映射的定义：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。

2. 映射的性质：映射具有像集和原像集等基本性质，同时映射还可以进行复合、逆映射等操作。

三、函数的定义与性质1. 函数的定义：给定一个数集A，以及一个集合B上的运算，如果这个运算满足函数的基本性质，那么这个运算就可以被称为A到B的函数。

2. 函数的性质：函数具有单调性、奇偶性、周期性、有界性等基本性质，这些性质在解决函数问题时非常重要。

四、常见函数类型1. 一次函数：形如y=kx+b（k≠0）的函数，其中k为一次项系数，b为常数项。

2. 二次函数：形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数，其中a为二次项系数，b、c为常数项。

3. 指数函数：形如y=a^x（a＞0且a≠1）的函数。

4. 对数函数：形如y=log(a) x（a＞0且a≠1）的函数。

5. 三角函数：包括正弦函数、余弦函数、正切函数等，是描述周期性现象的重要工具。

五、映射与函数的应用1. 函数在数学建模中的应用：在解决实际问题时，常常需要建立数学模型，而函数是建模的重要工具之一。

例如，在物理中的速度与时间的关系，就可以用一次函数或二次函数来表示。

2. 映射在算法中的应用：在计算机科学中，映射可以用于实现数据结构（如映射表和哈希表）以及算法（如最短路径算法和排序算法）等。

3. 映射与函数在经济学中的应用：在经济学中，函数被用于描述经济变量之间的关系，如生产函数、消费函数等；而映射可以用于实现数据库和数据挖掘等应用。

六、常见问题与解答1. 问：什么是映射？答：给定两个集合A和B，如果存在一个从A到B的函数f，则称f为从A到B的映射。