西南交大 大学物理 2014版NO.3-参考答案

1π 2
−0−
2π λ
( 21 λ 4
− 3λ ) =
−4π
Δϕ = 4π
5．一简谐波沿 Ox 轴负方向传播，图中所示为该波 t 时刻的波形图，欲沿 Ox 轴形成驻波， 且使坐标原点 O 处出现波节，在另一图上画出另一简谐波 t 时刻的波形图。
y
u
A
O
x
四、计算题：
1. 一列横波在绳索上传播，其表达式为
2
波腹位置由下式求出． πx / 2 = kπ k = 0，±1，±2，…
∴
x = 2k k = 0，±1，±2，…
离原点最近的四个波腹的坐标是
x = 2 m、-2 m、4 m、-4 m.
2. 如图，一圆频率为ω 、振幅为 A 的平面简谐波沿 x 轴正方向
传播，设在 t = 0 时刻该波在坐标原点 O 处引起的振动使媒质元 y
方法一：该方法数学计算比较繁琐，容易出错。
合成波的波动方程为
y
=
y1
+
y2
=
Acos(ω t −
2π λ
x+π)+ 2
Acos(ω t
+
2π λ
x+π) 2
= 2 Acos 2πx cos(ω t + π )
λ
2
干涉静止点即： 2 Acos 2πx = 0 ⇒ cos 2πx = 0 ⇒ 2πx = (2k +1)π
⋅
7λ / λ
Leabharlann Baidu
4
+
π )
2
=
Acos(ω t
−π)
这里，写成 yo′ = Acos(ω t + π ) 也算正确。
在 O′ 点反射时，因是波 密 媒 质 反 射 面 ， 故 有半波损失， 反射波在反射点 O′ 引起的振动方程为
y2o ' = A cos ωt
反射波波动方程为
y 2
=
A cos[ω
t
+
解：(1) 设 O 点的振动方程为 y0 = A cos(ω t + ϕ0 ),
ϕ 有两种方法可以求 O 点的初相 0
方法一 ：由初始条件来确定
由题意知
y0
=
A cosϕ0
=
0
⇒
cos ϕ 0
=
0
⇒ ϕ0
=
±π 2
，而
υ0
=
− Aω sin ϕ0
<
0
⇒
sin ϕ0
>
0
⇒ ϕ0
=
+
π 2（求出
O
点的
初相）
y2
=
Acos( 2π
t
− 1 π) 10
=
Acos( 2π
t
− 0.1π )
故选D
2．图示为一沿x轴正向传播的平面简谐波的波形曲线。
若要在轴上形成驻波，则另一列波与该列波的关系是
y
u
[ D ] (A) 振幅相同，传播方向相反。
0 12 3 4
x
(B) 振幅相同，频率相同，传播方向相同。
(C) 振幅相同，频率相同，传播方向相反。
(D) 振幅相同沿相反方向传播的相干波。
解：根据驻波形成条件可知选 D。
3．某时刻的驻波波形曲线如图所示，则 a、b 两点振动的位相差是
[ D ] (A) π ，且下一时刻 b 点振幅会增大为 A (B) 1 π ，且下一时刻 b 点振幅不会增大为 A 2
y
A
a
b
(C) 1 π ，且下一时刻 b 点振幅会增大为 A 4
解：(1) 由形成驻波的条件．可知待求波的频率和波长均与已知波相同，传播方向为 x 轴
的负方向．又知 x = 0 处待求波与已知波同相位，∴待求波的表达式为
y2
=
0.05cos[2π( t 0.05
+
x )] 4
(2) 驻波表达式 y = y1 + y2
∴
y = 0.10 cos(1 πx) cos(40πt) (SI)
y1
= 0.05cos[2π(
t
−
x )]
0.05 4
(SI)
(1) 现有另一列横波（振幅也是 0.05 m）与上述已知横波在绳索上形成驻波．设这
一横波在 x = 0 处与已知横波同位相，写出该波的表达式．
(2) 写出绳索上的驻波表达式；求出各波腹的位置坐标；并写出离原点最近的四个 波腹的坐标数值.
−
π 3
=
π
，所以
ϕ2
=π
+
π 3
=
4π 3
y2
=
2.0 ×10 −2
cos[2π ( t 0.02
+
x )
20
+
4π] 3
故选 C
5. 若在弦上的驻波表达式是 y = 0.20 sin(2πx) cos (20π t) （S I）。则形成该驻波的
两个反向行进的行波为：
[C]
(A)
y1
=
0.10
cos [2π
方法二 用旋转矢量法来定初相：
根据已知条件，作旋转矢量图:
由图知： ϕ = π 02
则 O 点的振动方程为
y0
=
Acos(ω t
+
π ),
2
入射波的波动方程为
y1
=
A cos(ω
t
−
2π
x λ
+
π 2
)
(x ≤ 7 λ) 4
（2）入射波在反射点 O′ 引起的振动方程为
yo′
=
Acos(ω t
−
2π
(10t
+
x) −
1π 2
]
(SI)
(D)
y1
=
0.10
cos
[
2π
(10t
−
x)
+
3 4
π
]
y2
=
0.10
cos [2π
(10t
+
x) +
3π 4
]
(SI)
解: 对(C)
y
=
y1
+
y2
=
0.20 cos(2πx − π ) cos(20πt) 2
=
0.20sin(2πx) cos(20πt)
三、填空题：
1. S1 , S 2 为振动频率、振动方向均相同的两个点波源，振动方向垂直
M
纸面，两者相距
3λ 2
(λ 为波长) 如图。已知 S1 的初相位为
1π 2
。
(1) 若使射线 S2 C 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则
• S1
•• S2 C
N
S2 的初位相应为：π / 2 ⋅ 。
(2) 若使 S1 S2 连线的中垂线 M N 上各点由两列波引起的振动均干涉相消，则
式为：
[
] (A) y2 = 2.0 ×10−2 cos [ 2π (t / 0.02 + x / 20) +π / 3 ] (SI)
(B) y2 = 2.0×10−2 cos [ 2π (t / 0.02 + x / 20) + 2π / 3 ] (SI)
(C) y2 = 2.0 ×10−2 cos [ 2π (t / 0.02 + x / 20) + 4π / 3 ] (SI)
2π λ
(x
−
xo' )]
=
A cos ⎢⎣⎡ωt
+
2π λ
(x
−
7λ
4 ) ⎥⎦⎤
= A cos(ω t + 2π x + π ) λ2
(3) 求 P 点的振动方程；
方法一：
合成波的波动方程为
y
=
y1
+
y2
=
Acos(ω t
−
2π λ
x+π)+ 2
Acos(ω t +
2π λ
x+
π )
2
=
2
A
cos
(D) y2 = 2.0 ×10−2 cos [ 2π (t / 0.02 + x / 20) − π / 3] (SI)
[C
]
解：据驻波形成条件可设另一简谐波的波动方程为：
y2
=
2.0 ×10−2
cos[2π ( t 0.02
+
x) 20
+ϕ2]
由题意， x
=
0 处为波节，则 Δϕ
=
ϕ2
− ϕ1
= ϕ2
在
(填增大、减小、不变)；B 点处媒质质元的振动动能
在
(填增大、减小、不变)，振动势能在
(填增
大、减小、不变)。
解：A 点处媒质质元的振动动能在增大，弹性势能必然也增大；说明 A 处质元正向平衡 位置运动，说明 A 处质元的前一质元在其右边，那么波必然往 x 轴负方向传播；可判定 B 处质元此刻应向着上方即平衡位置运动，那么气振动动能和势能都会增加。
4．两相干波源 S1 和 S2 的振动方程分别是
y1
=
Acosω t
和
y2
=
Acos (ω t
+
1 2
π) 。
S1 距
P
点
3
个波长，
S2
距
P
点
21 4
个波长。两波在
P
点引起的两个振动的相位差的绝对值是
_____4π_____。
解：两相干波在 P 点的相位差为：
Δϕ
= ϕ2
− ϕ1
−
2π λ
( r2
− r1 ) =
−
π 2
=π
ϕ2 = 3π / 2
2. 机械波在介质中传播过程中，当一介质质元的振动动能的相位是 π 2 时，它的弹性势
能的相位是 π 2
。
解：因为波的动能和势能同相位，所以弹性势能的相位也是 π 2 。
3． 图示一平面简谐机械波在 t 时刻的波形曲线。若此时 A 点
处媒质质元的振动动能在增大，则 A 点处媒质质元的振动势能
1P
λ4 2
2
2
反射波在 P 点引起的振动为：
y = Acos(ω t + 2π ⋅ 6 λ + π ) = Acos(ω t + 7π ) = Acos(ω t − π )
2P
λ4 2
2
2
那么 P 点的合振动方程为：
y P
=
y 1P
+
y 2P
=
2Acos(ω t
−
π
) 2
(4) X 轴上干涉静止点的位置。
由平衡位置向 y 轴的负方向运 动 。 M 是 垂 直 于 x 轴 的 波 密
媒 质 反 射 面 。 已 知 OO ' = 7λ / 4 ， PO ' = λ / 4 ( λ 为该波波 O
M
O′
P
x
长)；设反射波不衰减，求： （1）入射波的波动方程； （2）反射波的波动方程； （3）P 点的振动方程； （4）X 轴上干涉静止点的位置。
S2
的初位相应为： 3π / 2 。
解：(1) 在 S2 外侧 C 点，两列波的相位差为：
Δϕ
=
ϕ2
− ϕ1
−
2π λ
(r2
−
r1 )
=
ϕ2
−
π 2
−
2π λ
(−
3 2
λ)
=
π
ϕ2 = π /2
(2) 在 S1S2 中垂线上任一点，若产生相消干涉，则
Δϕ
= ϕ2
− ϕ1
−
2π λ
(r2
− r1 )
= ϕ2
2πx λ
cos(ω
t
+
π
2
)
λ 将 P 点坐标 OP
=
6 4
代入上式，得 P 点振动方程
y = −2Acos(ω t + π ) = 2Acos⎜⎛ωt − π ⎟⎞
2
⎝ 2⎠
方法二：
入射波在 P 点引起的振动为：
y = Acos(ω t − 2π ⋅ 6 λ + π ) = Acos(ω t − 5π ) = Acos(ω t − π )
O
λ cλ
2
x
(D) 0 ，且下一时刻 b 点振幅不会增大为 A
解：a 、b 为驻波相邻的两个波节之间的点，则据驻波规律知：振动相位相同，位相差为
0。 所以选 D
4．在弦线上有一简谐波，其表达式是 y1 = 2.0×10−2 cos[2π(t / 0.02− x / 20) + π / 3] (SI) 为了在此弦线上形成驻波，并且在 x = 0 处为一波节，此弦线上还应有一简谐波，其表达
λ
λ
λ
2
⇒
x
=
(2k
+
1)
λ 4
,Q
x
≤
7 4
λ,
k
=
3,2,1,0L
二、选择题：
S1
1. 如图所示，S1 和 S2 为两相干波源，它们的振动方向均垂直于 图面, 发出波长为λ的简谐波。P 点是两列波相遇区域中的一点，
P
已知 S1P = 2λ ，S2 P = 2.2 λ ，两列波在 P 点发生相消干涉。若 S1
的振动方程为
y1
=
A cos (2 π
t
+
1π 2
) ，则
©物理系_2014_09
《大学物理 AII》作业 No.3 波的干涉
班级 ________ 学号 ________ 姓名 _________ 成绩 _______
一、 判断题：（用“T” 表示正确和“F”表示错误）
[ F ] 1．不满足相干条件的波，不能叠加。 解：只要是线性波，在相遇的空间就会叠加，而满足相干条件的两列波相遇会产生干涉 现象。 [ T ] 2．当两列波相遇后，各自会继续传播，互不影响。 解：由波的独立性原理可知其正确。 [ F ] 3．当波在媒质界面反射时，一定会有半波损失。 解：当波在媒质界面反射时，是否会有半波损失，关键看入射波是否是由波疏媒质到波 密媒质的界面发生反射，如果是则有半波损失，如果不是，则没有。 [ F ] 4．两列相干波叠加后，合成波的频率将增大。 解：波的叠加本质是振动的叠加。两列相干波的叠加，就相当于在相遇区域内各点在进 行同频率振动的叠加，同频率振动合成后仍然是该频率的振动。 [ F ] 5．驻波与行波都能传播能量。 解：行波传播能量，但是驻波的能流密度为 0，并不传播能量。
(10
t
−
x) +
1 2
π
]
(B)
y1
=
0.10 cos[
2π
(10 t
−
x) − π 4
]
y2
=
0.10 cos[
2π
(10t
+
x) +
1 2
π
]
(SI)
y2
=
0.10
cos [
2π
(10t
+
x) +
3π] 4
(SI)
(C)
y1
=
0.10
cos
[2π
(10t
−
x)
+
1 2
π
]
y2
=
0.10
cos [2π
S2
的振动方程为
S2
(A)
y2 = Acos ( 2 π t
−
1π) 2
(B) y2 = A cos ( 2 π t − π )
(C)
y2
= Acos ( 2 π t
+
1π) 2
(D) y2 = Acos ( 2 π t − 0.1 π )
[D
]
解：S1和 S2 在P点发生相消干涉，相位差为
Δϕ
=
ϕ2
− ϕ1
−
2π λ
(r2
−
r1 )
=
(2k
+ 1)π
ϕ2
=
(2k
+ 1)π
+ ϕ1
+
2π λ
(r2
− r1 )
=
(2k
+ 1)π
+
1π 2
+
2π λ
(2.2λ
− 2λ)
= 2kπ + 19 π 10
令k
=
−1 , 则ϕ 2
=
−1π 10
。因为
y1和y2在P点发生相消干涉， A2
=
A1
=
A，
所以,
S2 的振动方程为