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基础巩固强化一、选择题1．(文)下列各函数中，()是R上的偶函数() A．y＝x2－2x B．y＝2xC．y＝cos2x D．y＝1|x|－1[答案] C[解析]A、B不是偶函数，D的定义域{x∈R|x≠±1}不是R，故选C.(理)(2012·洛阳示范高中联考)下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)单调递增的函数是()A．y＝x3B．y＝|x|＋1C．y＝－x2＋1 D．y＝2－|x|[答案] B[解析]y＝x3是奇函数，y＝－x2＋1与y＝2－|x|在(0，＋∞)上为减函数，故选B.2．若函数f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f(2)＝0，则使得f(x)<0的x的取值范围是()A．(－∞，2) B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞) D．(2，＋∞)[答案] B[解析]∵f(x)是定义在R上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，∴f(x)在(0，＋∞)上为增函数，由f(x)<f(2)得f (|x |)<f (2)，∴|x |<2，∴－2<x <2.3．(文)若奇函数f (x )(x ∈R )满足f (3)＝1，f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32等于( ) A ．0 B ．1 C.12 D ．－12 [答案] C[解析] 在f (x ＋3)＝f (x )＋f (3)中取x ＝－32得，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋f (3)，∵f (x )是奇函数，且f (3)＝1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝12. [点评] 解答此类题目，一般先看给出的值和待求值之间可以通过条件式怎样赋值才能产生联系，赋值时同时兼顾奇偶性或周期性的运用．(理)(2013·湖南)已知f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，且f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，则g (1)等于( )A ．4B ．3C ．2D ．1 [答案] B[解析] 本题考查的是函数的奇偶性及方程组的解法． ∵f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，∴f (－1)＝－f (1)，g (－1)＝g (1)由⎩⎪⎨⎪⎧ f (－1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (－1)＝4，得⎩⎪⎨⎪⎧－f (1)＋g (1)＝2，f (1)＋g (1)＝4，所以g (1)＝3.故选B.4．(文)(2013·宁夏育才中学模拟)已知函数f (x )＝sin(2x －π4)，若存在α∈(0，π)使得f (x ＋α)＝f (x ＋3α)恒成立，则α等于( )A.π6B.π3C.π4D.π2[答案] D[解析] 由f (x ＋α)＝f (x ＋3α)得f (x )＝f (x ＋2α)， ∴f (x )周期为2α，又α∈(0，π)，所以α＝π2.(理)(2014·华师附中检测)已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝－f (x )，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[1,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数[答案] D[解析] 由f (x ＋1)＝－f (x )得，f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )的周期为2.∵f (x )在[－1,0]上为减函数，f (x )为偶函数，∴f (x )在[0,1]上为增函数，∴f (x )在[1,2]上单调递减，在[2,3]上单调递增，故选D.5．(2013·宁夏育才中学模拟)若奇函数f (x )在R 上是增函数，且a ＋b >0，则有( )A ．f (a )－f (b )>0B ．f (a )＋f (b )<0C ．f (a )＋f (b )>0D ．f (a )－f (b )<0 [答案] C[解析] 由a ＋b >0得a >－b ，因为f (x )在R 上是奇函数且为增函数，所以f (a )>f (－b )，即f (a )>－f (b )，故选C.6．(2013·琼海市嘉积中学质检)已知f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则函数y ＝f (x )在区间[0,6]上零点的个数有( )A ．6个B ．7个C ．8个D ．9个[答案] B[解析] 当0≤x <2时，f (x )＝x 3－x ，则有f (0)＝f (1)＝0，又f (x )是R 上最小正周期为2的周期函数，所以函数y ＝f (x )在区间[0,6]上有f (0)＝f (2)＝f (4)＝f (6)＝0，f (1)＝f (3)＝f (5)＝0，所以有7个．二、填空题7．已知函数y ＝f (x )是偶函数，y ＝g (x )是奇函数，它们的定义域都是[－π，π]，且它们在x ∈[0，π]上的图象如图所示，则不等式f (x )g (x )<0的解集是________．[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，0∪⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，π [解析] 依据偶函数的图象关于y 轴对称，奇函数的图象关于原点对称，先补全f (x )、g (x )的图象，∵f (x )g (x )<0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (x )<0，g (x )>0.或⎩⎪⎨⎪⎧f (x )>0，g (x )<0.观察两函数的图象，其中一个在x 轴上方，一个在x 轴下方的，即满足要求，∴－π3<x <0或π3<x <π.8．若函数f (x )＝a －e x1＋a e x(a 为常数)在定义域上为奇函数，则实数a的值为________．[答案] 1或－1[解析] f (－x )＝a －e －x 1＋a e －x ＝a e x －1e x ＋af (x )＋f (－x )＝(a －e x )(a ＋e x )＋(1＋a e x )(a e x －1)(1＋a e x )(e x ＋a )＝a 2－e 2x ＋a 2e 2x －1(1＋a e x )(e x ＋a )＝0恒成立， 所以a ＝1或－1.9．(2013·银川质检)已知定义在R 上的偶函数满足：f (x ＋4)＝f (x )＋f (2)，且当x ∈[0,2]时，y ＝f (x )单调递减，给出以下四个命题：①f (2)＝0；②x ＝－4为函数y ＝f (x )图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[8,10]上单调递增；④若方程f (x )＝m 在[－6，－2]上的两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝－8.以上命题中所有正确命题的序号为________． [答案] ①②④[解析] 令x ＝－2，得f (2)＝f (－2)＋f (2)，即f (－2)＝0.又函数f (x )是偶函数，故f (2)＝0，①正确；根据f (2)＝0可得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )的周期是4，由于偶函数的图象关于y 轴对称，故x ＝－4也是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴，②正确；根据函数的周期性可知，函数f (x )在[8,10]上单调递减，③不正确；由于函数f (x )的图象关于直线x ＝－4对称，故如果方程f (x )＝m 在区间[－6，－2]上的两极为x 1，x 2，则x 1＋x 22＝－4，即x 1＋x 2＝－8，④正确．故正确命题的序号为①②④.三、解答题10．(2012·扬州模拟)已知函数f (x )对任意x 、y ∈R ，都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，且x >0时，f (x )<0，f (1)＝－2.(1)求证：f (x )是奇函数；(2)求f (x )在[－3,3]上的最大值和最小值．[解析] (1)证明：令x ＝y ＝0，知f (0)＝0；再令y ＝－x ，则f (0)＝f (x )＋f (－x )＝0，∴f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数．(2)解：对任意x 1、x 2∈[－3,3]，设x 1<x 2，则x 2－x 1>0，∴f (x 2－x 1)＝f [x 2＋(－x 1)]＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f (x 2)－f (x 1)<0，∴f (x )为减函数．而f (3)＝f (2＋1)＝f (2)＋f (1)＝3f (1)＝－6，f (－3)＝－f (3)＝6.∴f (x )max ＝f (－3)＝6，f (x )min ＝f (3)＝－6.能力拓展提升一、选择题11．(2012·山西四校联考)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧(a －2)x ，x ≥2，(12)x－1，x <2，满足对任意的实数x 1≠x 2都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0成立，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，2)B ．(－∞，138] C ．(－∞，2] D ．[138，2)[答案] B[解析] 函数f (x )是R 上的减函数，于是有⎩⎨⎧a －2<0，(a －2)×2≤(12)2－1，由此解得a ≤138，即实数a 的取值范围是(－∞，138]，选B.12．(文)已知函数f (x )是R 上的偶函数，g (x )是R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1)，若g (1)＝2，则f (2014)的值为( )A ．2B ．0C ．－2D ．±2[答案] C[解析] 由已知：g (－x )＝f (－x －1)， 又g (x )、f (x )分别为R 上的奇、偶函数，∴－g (x )＝f (x ＋1)，∴f (x －1)＝－f (x ＋1)，∴f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝f (x ＋4)，即f (x )的周期T ＝4，∴f (2014)＝f (2)＝g (－1)＝－g (1)＝－2，故选C.(理)已知函数f (x )满足：f (1)＝2，f (x ＋1)＝1＋f (x )1－f (x )，则f (2015)等于( )A ．2B ．－3C ．－12 D.13 [答案] C[解析] 由条件知，f (2)＝－3，f (3)＝－12，f (4)＝13，f (5)＝f (1)＝2，故f (x ＋4)＝f (x )(x ∈N *)．∴f (x )的周期为4， 故f (2015)＝f (3)＝－12. [点评] 严格推证如下： f (x ＋2)＝1＋f (x ＋1)1－f (x ＋1)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝1－f (x ＋2)＝f (x )．即f (x )周期为4.故f (4k ＋x )＝f (x )，(x ∈N *，k ∈N *)，13．(文)(2012·江西盟校二联)函数f (x )是周期为4的偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝x －1，则不等式xf (x )>0在[－1,3]上的解集为( )A ．(1,3)B ．(－1,1)C ．(－1,0)∪(1,3)D ．(－1,0)∪(0,1)[答案] C[解析] f (x )的图象如图所示．当x ∈(－1,0)时，由xf (x )>0，得，x ∈(－1,0)； 当x ∈(0,1)时，由xf (x )>0得，x 无解； 当x ∈(1,3)时，由xf (x )>0得，x ∈(1,3)．∴x ∈(－1,0)∪(1,3)，故选C.(理)(2013·芜湖一模)函数y ＝f (x )的定义域为[－2,0)∪(0,2]，其图象上任一点P (x ，y )满足x 24＋y 2＝1，若函数y ＝f (x )的值域是(－1,1)，则f (x )一定是( )A ．奇函数B ．偶函数C ．单调函数D ．幂函数[答案] A[解析] 设P (x ，y )在函数图象上，则由条件知P ′(－x ，－y )也在函数图象上，所以f (－x )＝－f (x )，函数一定是奇函数，但不能确定函数是不是单调函数，是不是幂函数，故选A.二、填空题14．(2012·福州质检)已知集合M 是满足下列条件的函数f (x )的全体：(1)f (x )既不是奇函数也不是偶函数；(2)函数f (x )有零点．那么在函数①f (x )＝|x |－1，②f (x )＝2x －1，③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，④f (x )＝x 2－x －1＋ln x 中，属于M 的有________．(写出所有符合条件的函数序号)[答案] ②④[解析] 对于①，∵f (－x )＝|－x |－1＝|x |－1，∴f (x )＝|x |－1是偶函数，∴①不符合条件；易知f (x )＝2x －1既不是奇函数也不是偶函数，且有一个零点x ＝0，∴②符合条件；对于③，令x >0，则－x <0，∴f (x )＝x －2，f (－x )＝－x ＋2＝－(x －2)，即f (x )＝－f (－x )，又f (0)＝0，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2，x >0，0，x ＝0，x ＋2，x <0，是奇函数，∴③不符合条件；对于④，函数f (x )＝x 2－x －1＋ln x 的定义域为(0，＋∞)，故它既不是奇函数也不是偶函数，∵f ′(x )＝2x －1＋1x ＝2x 2－x ＋1x＝2(x －14)2＋78x >0，∴函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝1－1－1＋0＝－1<0，f (e)＝e 2－e －1＋1＝e(e －1)>0，∴函数f (x )在(1，e)上存在零点，∴④符合条件．故应填②④.15．(2013·吉林质检)已知函数f (x )满足下面关系： (1)f (x ＋π2)＝f (x －π2)；(2)当x ∈(0，π]时，f (x )＝－cos x . 给出下列命题： ①函数f (x )是周期函数； ②函数f (x )是奇函数；③函数f (x )的图象关于y 轴对称； ④方程f (x )＝lg|x |解的个数是8.其中正确命题的序号是________(把正确命题的序号都填上)． [答案] ①④[解析] 由f (x ＋π2)＝f (x －π2)，可得f (x ＋π)＝f (x )，即可得函数f (x )是以π为周期的周期函数，即命题①正确；又由f (0)＝f (π)＝－cosπ＝1≠0可知，函数f (x )不是奇函数，即命题②不正确；由f (－π3)＝f (2π3)＝－cos 2π3＝12≠f (π3)＝－12，可得函数f (x )不是偶函数，其函数图象不关于y 轴对称，即命题③不正确；函数f (x )与函数y ＝lg|x |在同一坐标系下的图象如图所示，由图示可得，方程f (x )＝lg|x |有8个解，即命题④正确．综上可得正确的命题的序号是①④.三、解答题16．(文)已知集合M 是满足下列性质的函数f (x )的全体：存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立．(1)函数f (x )＝x 是否属于集合M ？说明理由；(2)设f (x )∈M ，且T ＝2，已知当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，当－3<x <－2时，求f (x )的解析式．[解析] (1)假设函数f (x )＝x 属于集合M ，则存在非零常数T ，对任意x ∈R ，有f (x ＋T )＝Tf (x )成立，即x ＋T ＝Tx 成立．令x ＝0，得T ＝0，与题目矛盾．故f (x )∉M .(2)f (x )∈M ，且T ＝2，则对任意x ∈R ，有f (x ＋2)＝2f (x )． 设－3<x <－2，则1<x ＋4<2. 又f (x )＝12f (x ＋2)＝14f (x ＋4)， 且当1<x <2时，f (x )＝x ＋ln x ，故当－3<x <－2时，f (x )＝14[x ＋4＋ln(x ＋4)]． (理)已知函数f (x )＝log a 1－mxx －1(a >0且a ≠1)是奇函数．(1)求m 的值；(2)判断f (x )在区间(1，＋∞)上的单调性并加以证明；(3)当a >1，x ∈(1，3)时，f (x )的值域是(1，＋∞)，求a 的值． [解析] (1)∵f (x )是奇函数，x ＝1不在f (x )的定义域内，∴x ＝－1也不在函数定义域内，令1－m ·(－1)＝0得m ＝－1. (也可以由f (－x )＝－f (x )恒成立求m ) (2)由(1)得f (x )＝log a x ＋1x －1(a >0且a ≠1)，任取x 1、x 2∈(1，＋∞)，且x 1<x 2，令t (x )＝x ＋1x －1，则t (x 1)＝x 1＋1x 1－1，t (x 2)＝x 2＋1x 2－1，∴t (x 1)－t (x 2)＝x 1＋1x 1－1－x 2＋1x 2－1＝2(x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1)， ∵x 1>1，x 2>1，x 1<x 2， ∴x 1－1>0，x 2－1>0，x 2－x 1>0. ∴t (x 1)>t (x 2)，即x 1＋1x 1－1>x 2＋1x 2－1，∴当a >1时，log a x 1＋1x 1－1>log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)>f (x 2)；当0<a <1时，log a x 1＋1x 1－1<log a x 2＋1x 2－1，即f (x 1)<f (x 2)，∴当a >1时，f (x )在(1，＋∞)上是减函数，当0<a <1时，f (x )在(1，＋∞)上是增函数．(3)∵a >1，∴f (x )在(1，3)上是减函数，∴当x ∈(1，3)时，f (x )>f (3)＝log a (2＋3)， 由条件知，log a (2＋3)＝1，∴a ＝2＋ 3.考纲要求结合具体函数，了解函数奇偶性及周期性的含义． 补充说明1．牢记：奇(偶)函数的定义域关于原点对称；奇函数若在x ＝0处有定义，则f (0)＝0；奇偶函数单调性，图象对称性．2．把握四个考向：奇偶性判断；由奇偶性求参数值；求周期；函数性质的综合应用．3．突破三个难点综合利用奇偶性、周期性求函数值；抽象函数性质讨论；函数不等式求解．备选习题1．(2013·济南模拟)设偶函数f (x )对任意x ∈R ，都有f (x ＋3)＝－1f (x )，且当x ∈[－3，－2]时，f (x )＝4x ，则f (107.5)＝( ) A ．10 B.110 C ．－10 D ．－110[答案] B[解析] 由f (x ＋6)＝f (x )知该函数为周期函数， 所以f (107.5)＝(6×18－12)＝f (－12)＝－1f (52)＝－1f(－52)＝－1－10＝110.2．(2013·东北三省四市联考)已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x ＋6)＋f(x)＝2f(3)，y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称，且f(4)＝4，则f(2012)＝()A．0 B．－4C．－8 D．－16[答案] B[解析]由y＝f(x－1)的图象关于点(1,0)对称可知，y＝f(x)的图象关于点(0,0)对称，即为奇函数．令x＝－3可知，f(3)＋f(－3)＝2f(3)，进而f(－3)＝f(3)，又f(－3)＝－f(3)，可知f(3)＝0，所以f(6＋x)＋f(x)＝0，可知f(x)是一个周期为12的周期函数，所以f(2012)＝f(168×12－4)＝f(－4)＝－f(4)＝－4，故选B.3．(2013·福州质检)已知函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，若对于任意给定的实数x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，则不等式f(1－x)<0的解集为()A．(1，＋∞) B．(0，＋∞)C．(－∞，0) D．(－∞，1)[答案] C[解析]∵函数f(x＋1)是定义在R上的奇函数，∴f(－x＋1)＝－f(x＋1)，即得函数f(x)的对称中心为(1,0)，又由对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0恒成立，可得函数为R上的减函数，由此可得不等式f(x)<0的解为x>1，则由f(1－x)<0可得1－x>1，解得x<0，即不等式f(1－x)<0的解集为(－∞，0)，故应选C.4．(2012·河南商丘模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，它的最小正周期为T ，则f (－T2)的值为( )A ．－T 2B ．0 C.T 2 D ．T[答案] B[解析] ∵f (－T 2)＝－f (T 2)，且f (－T 2)＝f (－T 2＋T )＝f (T 2)，∴f (T2)＝0，∴f (－T2)＝0.5．已知f (x )是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且在(－∞，0]上是增函数，设a ＝f (log 47)，b ＝f (log 123)，c ＝f (0.20.6)，则a 、b 、c的大小关系是( )A ．c <b <aB ．b <c <aC ．b <a <cD ．a <b <c[答案] C[解析] 由题意知f (x )＝f (|x |)．∵log 47＝log 27>1，|log 123|＝log 23>log 27，0<0.20.6<0.20＝1，∴|log 123|>|log 47|>|0.20.6|.又∵f (x )在(－∞，0]上是增函数，且f (x )为偶函数， ∴f (x )在[0，＋∞)上是减函数． ∴b <a <c .故选C.。
基础巩固强化一、选择题1．(文)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝cos x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( ) A ．{0} B ．{1} C ．{0,1} D ．{－1,0,1}[答案] B[解析] ∵cos0＝1，cos(－1)＝cos1，∴B ＝{1，cos1}， ∴A ∩B ＝{1}．(理)(2013·江苏南通一模)集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{y |y ＝e x ，x ∈A }，则A ∩B ＝( )A ．{0}B ．{1}C ．{0,1}D ．{－1,0,1} [答案] B[解析] ∵x ∈A ，∴B ＝{1e ，1，e}，∴A ∩B ＝{1}．故选B. 2．(文)(2013·广东佛山一模)设全集U ＝{x ∈N *|x <6}，集合A ＝{1,3}，B ＝{3,5}，则∁U (A ∪B )等于( )A ．{1,4}B ．{2,4}C ．{2,5}D ．{1,5} [答案] B[解析] 由题意易得U ＝{1,2,3,4,5}，A ∪B ＝{1,3,5}，所以∁U (A ∪B )＝{2,4}．故选B.(理)已知U ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,4,5}，则∁U (A∪B)＝()A．{6,8} B．{5,7}C．{4,6,7} D．{1,3,5,6,8}[答案] A[解析]∵A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}，∴A∪B＝{1,2,3,4,5,7}，又U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，∴∁U(A∪B)＝{6,8}．3．(文)设U＝R，M＝{x|x2－2x>0}，则∁U M＝()A．[0,2] B．(0,2)C．(－∞，0)∪(2，＋∞) D．(－∞，0]∪[2，＋∞)[答案] A[解析]由x2－2x>0得x>2或x<0.∴∁U M＝[0,2]．(理)设集合A＝{x|y＝3x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>1}，则A∩B为()A．[0,3] B．(2,3]C．[3，＋∞) D．[1,3][答案] B[解析]由3x－x2≥0得，0≤x≤3，∴A＝[0,3]，∵x>1，∴y＝2x>2，∴B＝(2，＋∞)，∴A∩B＝(2,3]．4．已知集合P＝{3，log2a}，Q＝{a，b}，若P∩Q＝{0}，则P ∪Q等于()A．{3,0} B．{3,0,1}C．{3,0,2} D．{3,0,1,2}[答案] B[解析]根据题意P∩Q＝{0}，所以log2a＝0，解得a＝1从而b＝0，可得P∪Q＝{3,0,1}，故选B.5．(文)(2012·浙江)设集合A＝{x|1<x<4}，集合B＝{x|x2－2x－3≤0}，则A∩(∁R B)＝()A．(1,4) B．(3,4)C．(1,3) D．(1,2)∪(3,4)[答案] B[解析]本题考查了集合的运算．∵x2－2x－3≤0，∴－1≤x≤3，∴∁R B＝{x|x<－1或x>3}．∴A∩(∁R B)＝{x|3<x<4}．(理)(2013·辽宁大连一模)已知集合A＝{x|x2－2x≤0}，B＝{x|x≥a}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是()A．(－∞，0) B．(－∞，0]C．(0，＋∞) D．[0，＋∞)[答案] B[解析]易知A＝{x|0≤x≤2}．∵A∪B＝B，∴A⊆B，∴a∈(－∞，0]，故选B.6．(2013·山东潍坊一模)已知R为全集，A＝{x|(1－x)·(x＋2)≤0}，则∁R A＝()A．{x|x<－2，或x>1} B．{x|x≤－2，或x≥1}C．{x|－2<x<1} D．{x|－2≤x≤1}[答案] C[解析]∵(1－x)(x＋2)≤0，即(x－1)(x＋2)≥0，∴x ≤－2或x ≥1.∴A ＝{x |x ≤－2，或x ≥1}． ∴∁R A ＝{x |－2<x <1}，故选C. 二、填空题7．已知集合A ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x 、y 为实数，且y ＝－x ＋1}，则A ∩B 的元素个数为________．[答案] 2[解析] 集合A 表示圆x 2＋y 2＝1上的所有的点，集合B 表示直线y ＝－x ＋1上的所有的点，故A ∩B 表示圆与直线的交点．由于直线与圆相交，故这样的点有两个．8．已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1，2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝________.[答案] {(0,1)，(－1,2)}[解析] A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由集合A 中落在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，将A 中点的坐标代入直线方程检验知，A ∩B ＝{(0,1)，(－1,2)}．9．若A ＝{x |22x －1≤14}，B ＝{x |log 116x ≥12}，实数集R 为全集，则(∁R A )∩B ＝________.[答案] {x |0<x ≤14} [解析] 由22x －1≤14得，x ≤－12，由log 116x ≥12得，0<x ≤14，∴(∁R A )∩B ＝{x |x >－12}∩{x |0<x ≤14} ＝{x |0<x ≤14}．三、解答题10．已知集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0，a ∈R }． (1)若A 是空集，求a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求a 的值，并把这个元素写出来； (3)若A 中至多有一个元素，求a 的取值范围．[解析] 集合A 是方程ax 2－3x ＋2＝0在实数范围内的解组成的集合．(1)A 是空集，即方程ax 2－3x ＋2＝0无解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ≠0，Δ＝(－3)2－8a <0，∴a >98， 即实数a 的取值范围是(98，＋∞)．(2)当a ＝0时，方程只有一解23，此时A 中只有一个元素23； 当a ≠0时，应有Δ＝0，∴a ＝98，此时方程有两个相等的实数根，A 中只有一个元素43， ∴当a ＝0或a ＝98时，A 中只有一个元素，分别是23和43. (3)A 中至多有一个元素，包括A 是空集和A 中只有一个元素两种情况，根据(1)，(2)的结果，得a ＝0或a ≥98，即a 的取值范围是{a |a ＝0或a ≥98}.能力拓展提升一、选择题11．已知A 、B 均为集合U ＝{1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B ＝{3}，(∁U B )∩A ＝{9}，则A ＝( )A．{1,3} B．{3,7,9}C．{3,5,9} D．{3,9}[答案] D[解析]由题意知，A中有3和9，若A中有7或5，则∁U B中无7和5，即B中有7或5，则与A∩B＝{3}矛盾，故选D.12．(2013·青岛一模)设A，B是两个非空集合，定义运算A×B ＝{x|x∈A∪B，且x∉A∩B}，已知A＝{x|y＝2x－x2}，B＝{y|y＝2x，x>0}，则A×B＝()A．[0,1]∪(2，＋∞) B．[0,1)∪(2，＋∞)C．[0,1] D．[0,2][答案] A[解析]由2x－x2≥0解得0≤x≤2，则A＝[0,2]．又B＝{y|y＝2x，x>0}＝(1，＋∞)，∴A×B＝[0,1]∪(2，＋∞)，故选A.13．(2014·巢湖质检)设集合A＝{x|x24＋3y24＝1}，B＝{y|y＝x2}，则A∩B＝()A．[－2,2] B．[0,2]C．[0，＋∞) D．{(－1,1)，(1,1)}[答案] B[解析]A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y≥0}，∴A∩B＝{x|0≤x≤2}＝[0,2]．二、填空题14．(文)(2013·湘潭模拟)设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a2＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________.[答案] 1[解析]∵3∈B，又a2＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1.(理)已知集合A＝{0,2，a2}，B＝{1，a}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．[答案] 2[解析]∵A∪B＝{0,1,2,4}，∴a＝4或a2＝4，若a＝4，则a2＝16，但16∉A∪B，∴a2＝4，∴a＝±2，又－2∉A∪B，∴a＝2.15．设全集U＝A∪B＝{x∈N*|lg x<1}，若A∩(∁U B)＝{m|m＝2n ＋1，n＝0,1,2,3,4}，则集合B＝________.[答案]{2,4,6,8}[解析]A∪B＝{x∈N*|lg x<1}＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，A∩(∁U B)＝{m|m＝2n＋1，n＝0,1,2,3,4}＝{1,3,5,7,9}，∴B＝{2,4,6,8}．三、解答题16．(文)(2013·衡水模拟)设全集I＝R，已知集合M＝{x|(x＋3)2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．(1)求(∁I M)∩N；(2)记集合A＝(∁I M)∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．[解析](1)∵M＝{x|(x＋3)2≤0}＝{－3}，N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，∴∁I M＝{x|x∈R且x≠－3}，∴(∁I M)∩N＝{2}．(2)A＝(∁I M)∩N＝{2}，∵B∪A＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}．当B ＝∅时，a －1>5－a ，∴a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝2，5－a ＝2，解得a ＝3.综上所述，所求a 的取值范围是{a |a ≥3}．(理)设集合A ＝{(x ，y )|y ＝2x －1，x ∈N *}，B ＝{(x ，y )|y ＝ax 2－ax ＋a ，x ∈N *}，问是否存在非零整数a ，使A ∩B ≠∅？若存在，请求出a 的值；若不存在，说明理由．[解析] 假设A ∩B ≠∅，则方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x －1，y ＝ax 2－ax ＋a ，有正整数解，消去y 得， ax 2－(a ＋2)x ＋a ＋1＝0.(*)由Δ≥0，有(a ＋2)2－4a (a ＋1)≥0， 解得－233≤a ≤233. 因a 为非零整数，∴a ＝±1，当a ＝－1时，代入(*)，解得x ＝0或x ＝－1， 而x ∈N *.故a ≠－1.当a ＝1时，代入(*)，解得x ＝1或x ＝2，符合题意． 故存在a ＝1，使得A ∩B ≠∅， 此时A ∩B ＝{(1,1)，(2,3)}．考纲要求1．集合的含义与表示(1)了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系．(2)能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题．2．集合间的基本关系(1)理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集．(2)在具体情境中，了解全集与空集的含义．3．集合的基本运算(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用韦恩图(Venn)表达集合的关系及运算．补充说明1．把握集合问题“解题技巧”：准确理解集合中元素的属性，会用数轴、Venn图和几何图形直观表示集合，掌握集合的关系与运算定义，用好集合的性质，恰当的对新定义进行翻译是解决集合问题的关键．2．牢记一条性质若集合A中含有n个元素，则A的子集有2n个，A的真子集有2n－1个．3．防范两个“易错点”(1)注意空集在解题中的应用，防止遗漏空集而导致失误．(2)对于含参数的两集合具有包含关系时，端点的取舍是易错点，对端点要单独考虑．备选习题1．(2013·广东理，1)设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝()A ．{0}B ．{0,2}C ．{－2,0}D ．{－2,0,2}[答案] D[解析] M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，∴M ∪N ＝{－2,0,2}． 2．设数集M ＝{x |m ≤x ≤m ＋34}，N ＝{x |n －13≤x ≤n }，且M ，N 都是集合{x |0≤x ≤1}的子集，如果把b －a 叫做集合{x |a ≤x ≤b }的“长度”，那么集合M ∩N 的“长度”的最小值是( )A.13B.23C.112D.512[答案] C[解析] 此题虽新定义了“长度”概念，但题意不难理解，只要求出M ∩N ，然后再求一个式子的最小值即可；如何求M ∩N 呢？若真这样理解的话，就走弯路了．其实，根本用不着求M ∩N ；集合M 的“长度”是34，由于m 是一个变量，因此，这个长度为34的区间可以在区间[0,1]上随意移动；同理，集合N 的长度为13且也可以在区间[0,1]上随意移动；两区间的移动又互不影响，因此M ∩N 的“长度”的最小值即为13－⎝⎛⎭⎪⎫1－34＝112，故选C.[点评] 1.该题立意新颖，背景公平．对考生的思维能力和分析解决问题能力有较高的区分度．2．解答新定义题型，一定要先弄清新定义所提供的信息的含义，进行必要的提炼加工，等价转化为学过的知识，然后利用已掌握知识方法加以解答．3．集合M＝{x||x－2|－1＝0}，集合N＝{x|x2－3|x|＋2＝0}，集合P＝{x|x2＋5x＋6≤0，x∈Z}，全集为U，则图中阴影部分表示的集合是()A．{－1,1} B．{2，－2}C．{3，－3} D．∅[答案] C[解析]∵M＝{1,3}，N＝{1,2，－1，－2}，P＝{－2，－3}，∴M∩N＝{1}，N∩P＝{－2}，故阴影部分表示的集合为{3，－3}．[点评]阴影部分在集合M、P中，不在集合N中，抓住这个要点是解题的关键．4．设集合A＝{3,5,7,9}，B＝{3,4,6,8}，全集U＝A∪B，则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A．3个B．4个C．5个D．6个[答案] D[解析]U＝A∪B＝{3,4,5,6,7,8,9}，A∩B＝{3}，∴∁U(A∩B)＝{4,5,6,7,8,9}，故选D.5．设集合A ＝{x |12<2x <2}，B ＝{x |lg x >－1}，则A ∪B ＝( )A ．{x |x >－1}B ．{x |－1<x <1}C ．{x |x >110}D ．{x |－1<x <10或x >10}[答案] A[解析] 先求集合A 、B ，再求A ∪B ，∵12<2x <2，即2－1<2x <21，结合y ＝2x 的单调性知－1<x <1，∴A ＝{x |－1<x <1}，由lg x >－1得x >110，∴B ＝{x |x >110}，∴A ∪B ＝{x |x >－1}．。
基础巩固强化一、选择题1．(文)若a、b、c成等比数列，则函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交点的个数是()A．0B．1C．2D．不确定[答案] A[解析]由题意知，b2＝ac>0，∴Δ＝b2－4ac＝－3ac<0，∴f(x)的图象与x轴无交点．(理)已知数列{a n}，{b n}满足a1＝1，且a n、a n＋1是函数f(x)＝x2－b n x＋2n的两个零点，则b10等于()A．24B．32C．48D．64[答案] D[解析]依题意有a n a n＋1＝2n，所以a n＋1a n＋2＝2n＋1，两式相除得a n＋2a n＝2，所以a1，a3，a5，…成等比数列，a2，a4，a6，…成等比数列，而a1＝1，a2＝2，所以a10＝2×24＝32，a11＝1×25＝32.又因为a n＋a n＋1＝b n，所以b10＝a10＋a11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n}，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n ＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D. (理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( )A ．60B ．61C ．62D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52. 4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( )A ．a 6＝b 6B ．a 6>b 6C ．a 6<b 6D ．以上都有可能[答案] B[解析] a 6＝a 1＋a 112，b 6＝b 1b 11＝a 1a 11， 由q ≠1得，a 1≠a 11. 故a 6＝a 1＋a 112>a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ→＝( ) A ．2015 B ．－2015 C ．0 D ．1 [答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( ) A.2012－1 B.2013－1 C.2014－1 D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12. ∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1.二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.(理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27，∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元． 9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案] 22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4， ∴e ＝n －m n＝22.(理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上， 又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1， 相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1 ＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2， ∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ， 则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2， ∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5，n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ， ∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n －1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解．[解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)． ∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2， ∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63， ∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n ＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值． 故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝⎛⎭⎪⎫13－14＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1， 由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 2627 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和．(1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1，S 11，P 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2，S 22，…，P n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，S n n (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d .∴点P n⎝⎛⎭⎪⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中， 设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i>0；当9≤i ≤15时，S ia i<0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n}的前n项之积为T n，且T10＝32，则1a5＋1a6的最小值为()A．2 2 B. 2 C．2 3 D. 3[答案] B[解析]由条件知，T10＝a1a2…a10＝(a5a6)5＝32，∵a n>0，∴a5a6＝2，∴1a5＋1a6＝12·a5a6·(1a5＋1a6)＝12(a5＋a6)≥12×2a5a6＝2，等号在a5＝a6＝2时成立．2．设等差数列{a n}的前n项和为S n，则a6＋a7>0是S9≥S3的() A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n1－a 2n，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12， ∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n ＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C. 4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________．[答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋5⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ， 两边同乘以12得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋(2n －3)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋…＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －(2n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＋1＝12＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3－2n ＋32n <3.。
"【走向高考】高考数学总复习 3-4 两角和与差的三角函数课后作业 新人教A 版 "1.(·北京东城区期末)在△ABC 中，C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.53 [答案] B[解析] ∵C ＝120°，∴A ＋B ＝60°， ∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B＝3，∵tan A ＋tan B ＝233，∴tan A tan B ＝13. 2．在△ABC 中，若cos A ＝45，cos B ＝513，则cos C 的值是( )A.1665 B.5665 C.1665或5665 D ．－1665[答案] A[解析] 在△ABC 中，0<A <π，0<B <π，cos A ＝45，cos B ＝513，∴sin A ＝35，sin B ＝1213，所以cos C ＝cos[π－(A ＋B )]＝－cos(A ＋B ) ＝sin A ·sin B －cos A ·cos B ＝35×1213－45×513＝1665，故选A. 3．(·吉林省质检)对于函数f (x )＝sin x ＋cos x ，下列命题中正确的是( ) A ．∀x ∈R ，f (x )< 2 B ．∃x ∈R ，f (x )< 2 C ．∀x ∈R ，f (x )> 2 D ．∃x ∈R ，f (x )> 2[答案] B[解析] ∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤2，∴不存在x ∈R 使f (x )>2且存在x ∈R ，使f (x )＝2，故A 、C 、D 均错．4．(文)(·北京东城区)在△ABC 中，如果sin A ＝3sin C ，B ＝30°，那么角A 等于( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° [答案] D[解析] ∵△ABC 中，B ＝30°，∴C ＝150°－A ， ∴sin A ＝3sin(150°－A )＝32cos A ＋32sin A ， ∴tan A ＝－3，∴A ＝120°. (理)已知sin α＝55，sin(α－β)＝－1010，α、β均为锐角，则β等于( ) A.5π12 B.π3 C.π4 D.π6[答案] C[解析] ∵α、β均为锐角，∴－π2<α－β<π2，∴cos(α－β)＝1－sin2α－β＝31010， ∴sin α＝55，∴cos α＝1－⎝⎛⎭⎪⎫552＝255. ∴sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝22. ∵0<β<π2，∴β＝π4，故选C. 5．(文)(·广东惠州一中)函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2x ＋sin2x 的最小正周期是( ) A.π2B ．πC ．2πD ．4π [答案] B [解析] y ＝32cos2x －12sin2x ＋sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3， ∴周期T ＝π.(理)函数f (x )＝(3sin x －4cos x )·cos x 的最大值为( ) A ．5 B.92 C.12 D.52[答案] C[解析] f (x )＝(3sin x －4cos x )cos x ＝3sin x cos x －4cos 2x ＝32sin2x －2cos2x －2＝52sin(2x －θ)－2，其中tan θ＝43， 所以f (x )的最大值是52－2＝12.故选C.6．(文)(·温州中学)已知向量a ＝(sin75°，－cos75°)，b ＝(－cos15°，sin15°)，则|a －b |的值为( )A ．0B ．1 C. 2 D ．2 [答案] D[解析] ∵|a －b |2＝(sin75°＋cos15°)2＋(－cos75°－sin15°)2＝2＋2sin75°cos15°＋2cos75°sin15°＝2＋2sin90°＝4，∴|a －b |＝2.(理)(·鞍山一中)已知a ＝(sin α，1－4cos2α)，b ＝(1,3sin α－2)，α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，若a ∥b ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝( ) A.17 B ．－ 17 C.27 D ．－27 [答案] B[解析] ∵a ∥b ，∴1－4cos2α＝sin α(3sin α－2)， ∴5sin 2α＋2sin α－3＝0，∴sin α＝35或sin α＝－1，∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin α＝35，∴tan α＝34，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝tan α－11＋tan α＝－17.7．要使sin α－3cos α＝4m －64－m有意义，则m 的取值范围是________． [答案] [－1，73][解析] ∵sin α－3cos α＝2(sin αcos π3－sin π3cos α) ＝2sin(α－π3)∈[－2,2]，∴－2≤4m －64－m≤2.由4m －64－m ≥－2得，－1≤m <4； 由4m －64－m ≤2得，m ≤73或m >4，∴－1≤m ≤73. 8．(·上海奉贤区调研)已知α，β∈(0，π2)，且tan α·tan β<1，比较α＋β与π2的大小，用“<”连接起来为________．[答案] α＋β<π2[解析] ∵tan α·tan β<1，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴sin α·sin βcos α·cos β<1，∴sin α·sin β<cos α·cos β，∴cos(α＋β)>0，∵α＋β∈(0，π)，∴α＋β<π2.1.(·潍坊月考)若sin(π6－α)＝13，则cos(2π3＋2α)的值为( )A.13 B ．－13 C.79 D ．－79 [答案] D [解析] cos(2π3＋2α)＝2cos 2(π3＋α)－1 ＝2cos 2[π2－(π6－α)]－1＝2sin 2(π6－α)－1＝2×(13)2－1＝－79.2．(文)(·河南许昌调研)已知sin β＝35(π2<β<π)，且sin(α＋β)＝cos α，则tan(α＋β)＝( )A ．1B ．2C ．－2 D.825[答案] C[解析] ∵sin β＝35，π2<β<π，∴cos β＝－45，∴sin(α＋β)＝cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－45cos(α＋β)＋35sin(α＋β)，∴25sin(α＋β)＝－45cos(α＋β)，∴tan(α＋β)＝－2. (理)(·杭州模拟)已知sin x －sin y ＝－23，cos x －cos y ＝23，且x ，y 为锐角，则tan(x －y )＝( )A.2145B ．－2145C ．±2145D ．±51428[答案] B[解析] 两式平方相加得：cos(x －y )＝59，∵x 、y 为锐角，sin x －sin y <0，∴x <y ， ∴sin(x －y )＝－1－cos 2x －y ＝－2149，∴tan(x －y )＝sin x －y cosx －y ＝－2145.3．(·温州月考)已知向量a ＝(sin(α＋π6)，1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于( )A ．－34 B ．－ 14 C.34 D.14[答案] B[解析] a ·b ＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋4cos α－ 3 ＝23sin α＋6cos α－3＝43sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－3＝0， ∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－14，故选B.4．已知tan α、tan β是关于x 的一元二次方程x 2－3x ＋2＝0的两实根，则sin α＋βcos α－β＝________.[答案] 1[解析] 因为sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β； ∵tan α，tan β为方程的两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＋tan β＝3tan α·tan β＝2，∴sin α＋βcos α－β＝31＋2＝1.5．(文)已知sin(2α－β)＝35，sin β＝－1213，且α∈(π2，π)，β∈(－π2，0)，则sin α＝________.[答案] 3130130[解析] ∵π2<α<π，∴π<2α<2π. 又－π2<β<0，∴0<－β<π2，π<2α－β<5π2， 而sin(2α－β)＝35>0，∴2π<2α－β<5π2，cos(2α－β)＝45. 又－π2<β<0且sin β＝－1213，∴cos β＝513， ∴cos2α＝cos[(2α－β)＋β]＝cos(2α－β)cos β－sin(2α－β)sin β ＝45×513－35×(－1213)＝5665. 又cos2α＝1－2sin 2α，∴sin 2α＝9130. 又α∈(π2，π)，∴sin α＝3130130. (理)求值：2cos10°－sin20°cos20°＝________.[答案]3[解析] 原式＝2cos30°－20°－sin20°cos20°＝2cos30°cos20°＋2sin30°sin20°－sin20°cos20°＝3cos20°＋sin20°－sin20°cos20°＝ 3.6．(文)(·珠海模拟)已知A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010，求A ＋B 的值． [解析] ∵A 、B 均为钝角且sin A ＝55，sin B ＝1010， ∴cos A ＝－1－sin 2A ＝－25＝－255，cos B ＝－1－sin 2B ＝－310＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝－255×(－31010)－55×1010＝22，又∵π2<A <π，π2<B <π， ∴π<A ＋B <2π，∴A ＋B ＝7π4.(理)(·北京延庆县模考)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－2cos 2x .(1)求函数f (x )的值域及最小正周期； (2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．[解析] (1)f (x )＝32sin2x ＋12cos2x ＋32sin2x －12cos2x －(cos2x ＋1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin2x －12cos2x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1. 由－1≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6≤1得，－3≤2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6－1≤1. 可知函数f (x )的值域为[－3,1]． 且函数f (x )的最小正周期为π.(2)由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2(k ∈Z)解得，k π－π6≤x ≤k π＋π3(k ∈Z)．所以y ＝f (x )的单调增区间为[k π－π6，k π＋π3](k ∈Z)．7．(文)(·成都二诊)已知函数f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m .(1)求函数f (x )的最小正周期； (2)当x ∈[－π4，π4]时，函数f (x )的最小值为－3，求实数m 的值． [解析] (1)∵f (x )＝2sin x cos(x ＋π6)－cos2x ＋m＝2sin x (32cos x －12sin x )－cos2x ＋m ＝3sin x cos x －sin 2x －cos2x ＋m ＝32sin2x －1－cos2x2－cos2x ＋m ＝32sin2x －12cos2x －12＋m ＝sin(2x －π6)－12＋m . ∴f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)∵－π4≤x ≤π4，∴－π2≤2x ≤π2，∴－2π3≤2x －π6≤π3. ∴－1≤sin(2x －π6)≤32. ∴ f (x )的最小值为－1－12＋m .由已知，有－1－12＋m ＝－3.∴m ＝－32.(理)(·晋中一模)已知sin α＋cos α＝355，α∈(0，π4)，sin(β－π4)＝35，β∈(π4，π2)． (1)求sin2α和tan2α的值； (2)求cos(α＋2β)的值．[解析] (1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95，即1＋sin2α＝95，∴sin2α＝45.又2α∈(0，π2)，∴cos2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan2α＝sin2αcos2α＝43. (2)∵β∈(π4，π2)，β－π4∈(0，π4)， ∴cos(β－π4)＝45， 于是sin2(β－π4)＝2sin(β－π4)cos(β－π4)＝2425.又sin2(β－π4)＝－cos2β，∴cos2β＝－2425. 又2β∈(π2，π)，∴sin2β＝725.又cos 2α＝1＋cos2α2＝45， ∴cos α＝255，sin α＝55(α∈(0，π4))．∴cos(α＋2β)＝cos αcos2β－sin αsin2β ＝255×(－2425)－55×725＝－11525.1．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)的值为( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．不存在 [答案] B [解析] tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α， ∵π4－α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2且y ＝tan x 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2上是单调增函数，∴β＝π4－α，∴α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1. 2．(·浙江五校联考)在△ABC 中，已知tan A ＋B2＝sin C ，给出以下四个论断：①tan Atan B＝1； ②1<sin A ＋sin B ≤2； ③sin 2A ＋cos 2B ＝1； ④cos 2A ＋cos 2B ＝sin 2C . 其中正确的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④ [答案] D[解析] 因为在三角形中A ＋B ＝π－C ，所以tan A ＋B2＝tan π－C 2＝cot C 2＝cos C2sinC 2，而sin C ＝2sin C 2cos C2，∵tanA ＋B2＝sin C ，∴cosC2sinC 2＝2sin C 2cos C 2.因为0<C <π，∴cos C 2≠0，sin C 2>0，故sin 2C 2＝12，∴sin C 2＝22，∴C ＝π2，A ＋B ＝π2，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋cos A ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4∈(1，2]，排除A 、C ； cos 2A ＋cos 2B ＝cos 2A ＋sin 2A ＝1＝sin 2C ，故选D. 3．(·哈三中)已知tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝12，tan ⎝⎛⎭⎪⎫β－7π6＝13，则tan(α＋β)＝________. [答案] 1[解析] tan(α＋β)＝tan(α＋β－π) ＝tan[(α＋π6)＋(β－7π6)]＝12＋131－12×13＝1.4．(·山师大附中模考)若tan(x ＋y )＝35，tan(y －π3)＝13，则tan(x ＋π3)的值是________．[答案]29[解析] tan(x ＋π3)＝tan[(x ＋y )－(y －π3)] ＝tan x ＋y －tan y －π31＋tanx ＋y ·tany －π3＝35－131＋35×13＝29. 5．(·福建福州市)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且满足(2a －c )cos B ＝b cos C . (1)求角B 的大小；(2)若|BA →－BC →|＝2，求△ABC 的面积的最大值． [解析] (1)在△ABC 中，∵(2a －c )cos B ＝b cos C ， 根据正弦定理有(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ，∴2sin A cos B ＝sin(C ＋B )，即2sin A cos B ＝sin A . ∵sin A >0，∴cos B ＝12，又∵B ∈(0，π)，∴B ＝π3.(2)∵|BA →－BC →|＝2，∴|CA →|＝2，即b ＝2.根据余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，有4＝a 2＋c 2－ac . ∵a 2＋c 2≥2ac (当且仅当a ＝c 时取“＝”号)， ∴4＝a 2＋c 2－ac ≥2ac －ac ＝ac ，即ac ≤4，∴△ABC 的面积S ＝12ac sin B ＝34ac ≤3，即当a ＝b ＝c ＝2时，△ABC 的面积的最大值为 3.6．(·辽宁锦州)已知△ABC 中，|AC |＝1，∠ABC ＝120°，∠BAC ＝θ，记f (θ)＝AB →·BC →， (1)求f (θ)关于θ的表达式； (2)求f (θ)的值域． [解析] (1)由正弦定理有： |BC |sin θ＝1sin120°＝|AB |sin 60°－θ，∴|BC |＝sin θsin120°，|AB |＝sin 60°－θsin120°∴f (θ)＝AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|cos(180°－∠ABC ) ＝23sin θ·sin(60°－θ) ＝23(32cos θ－12sin θ)sin θ ＝13sin(2θ＋π6)－16 (0<θ<π3) (2)∵0<θ<π3，∴π6<2θ＋π6<5π6， ∴12<sin(2θ＋π6)≤1， ∴0<f (θ)≤16，即f (θ)的值域为(0，16]．7．(·湖北黄冈)如图，平面四边形ABCD 中，AB ＝13，三角形ABC 的面积为S △ABC ＝25，cos ∠DAC ＝35，AB →·AC→＝120.(1)求BC 的长； (2)cos ∠BAD 的值．[解析] (1)由S △ABC ＝25得， 12|AC →||AB →|·sin∠CAB ＝25 由AC →·AB →＝120得，|AC →|·|AB →|·cos∠CAB ＝120，以上两式相除得， tan ∠CAB ＝512，∴sin ∠CAB ＝513，cos ∠CAB ＝1213， ∴|AC →||AB →|＝130，又∵|AB →|＝13，∴|AC →|＝10， 在△ABC 中，由余弦定理得，|BC →|2＝102＋132－2×10×13×1213＝29，∴|BC →|＝29，即BC ＝29(2)∵cos ∠DAC ＝35，∴sin ∠DAC ＝45，∴cos ∠BAD ＝cos(∠BAC ＋∠CAD )＝cos ∠BAC ·cos∠CAD －sin ∠BAC sin ∠CAD ＝1213×35－513×45＝1665. 8．(·江西新余一中)已知函数f (x )＝sin x2＋2cos 2x4.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若(2a －c )cos B ＝b cos C ，求f (A )的取值范围． [解析] (1)f (x )＝sin x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x4－1＋1＝sin x 2＋cos x 2＋1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋π4＋1 ∴f (x )的最小正周期为T ＝4π. (2)由(2a －c )cos B ＝b cos C 得， (2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， ∴2sin A cos B ＝sin(B ＋C )＝sin A ，∵sin A ≠0，∴ocs B ＝12，∴B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，又∵f (A )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A 2＋π4＋1，∴0<A <2π3，∴π4<A 2＋π4<7π12，又∵sin π4<sin7π12，∴22<sin⎝⎛⎭⎪⎫A2＋π4≤1，∴2<f(A)≤2＋1.。
新课标高考大一轮复习讲义·数学(文)第一章集合与常用逻辑用语1．1集合的概念与运算[考纲考情分析] 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系；能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集；在具体情境中，了解全集与空集的含义.3.(1)理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集．(2)理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集．(3)能使用Venn图表达集合间的基本关系及集合的基本运算.4.集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，在集合的运算中经常与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度．[知识梳理]1．集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法.(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号N N*(或N＋)Z Q R2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B)A⊆B(或B．⊇．A．)．真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中A B(或B A)集合相等集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集A＝B3.集合的基本运算运算自然语言符号语言Venn图交集由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合A∩B＝{x|x∈A且x∈B}并集由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合A∪B＝{x|x∈A或x∈B}补集由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合∁U A＝{x|x∈U且x∉A}知识拓展(1)若有限集A中有n个元素，则集合A的子集个数为2n，真子集的个数为2n－1.(2)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B.(3)A∩∁U A＝∅；A∪∁U A＝U；∁U(∁U A)＝A.[小题速练]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1){x|x≤1}＝{t|t≤1}．(√)(2){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．(×)(3)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.(×)(4)若A∩B＝A∩C，则B＝C.(×)(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．(√)2．若集合A＝{x∈N|x≤10}，a＝22，则下列结论正确的是()A．{a}⊆A B．a⊆AC．{a}∈A D．a∉AD[由题意知A＝{0,1,2,3}，由a＝22，知a∉A.]3．(2018·课标全国Ⅰ，1)已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1，0,1,2}，则A∩B＝() A．{0,2} B．{1,2}C．{0} D．{－2，－1,0,1,2}A[本题主要考查集合的基本运算．∵A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，∴A∩B＝{0,2}，故选A.]4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于()A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．1或3或0B[A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B⊆A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.]5．设集合M＝{x|－1≤x＜2}，N＝{x|x－k≥0}，若M⊆N，则k的取值范围是() A．k≥－1 B．k＞－1C．k≤2 D．k≥2A[由题意可知：N＝{x|x≥k}，结合M⊆N可得：则k的取值范围是k≥－1.故选A.]考点一集合的基本概念【例1】(1)(2019·广东佛山顺德学情调研，1)若A＝{1,2}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A}，则集合B中元素的个数为()A．1 B．2C．3 D．4D[由题意得B＝{(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)}，所以集合B中元素的个数为4，故选D.](2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( ) A.92 B ．98C ．0D ．0或98D [若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意；当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的取值为0或98.] 规律总结 (1)第(2)题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形． (2)用描述法表示集合，先要弄清集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明确集合类型，是数集、点集还是其他的集合． 【针对训练1】 (1)设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，则b －a ＝________. 2 [因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a ，b ，a ≠0， 所以a ＋b ＝0，且b ＝1，所以a ＝－1，b ＝1，所以b －a ＝2.](2)(2018·上海黄浦4月模拟(二模)，1)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1，m }，若3－m ∈A ，则非零实数m 的值是________．2 [若3－m ＝1，则m ＝2，符合题意；若3－m ＝2，则m ＝1，此时集合B 中的元素不满足互异性，故m ≠1；若3－m ＝3，则m ＝0，不符合题意．故答案为2.]考点二 集合的基本关系【例2】 (1)(2019·山东济宁第一次模拟，1)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2＋3x <0}，则满足B ⊆A 的集合B 的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．8C [A ＝{x ∈Z |x 2＋3x <0}＝{－1，－2}，由于B ⊆A ，所以集合B 的个数为22＝4，故选C.](2)已知集合A ＝{x |x 2－2 019x ＋2 018<0}，B ＝{x |x <a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是________．[2 018，＋∞) [由x 2－2 019x ＋2 018<0，解得1<x <2 018，故A ＝{x |1<x <2 018}．又B ＝{x |x <a }，A ⊆B ，如图所示，可得a ≥2 018.]规律总结 (1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn 图等来直观解决这类问题．【针对训练2】 (1)已知集合A ＝{x ∈R |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x ∈R |ax －1＝0}，若B ⊆A ，则实数a 的值为( )A.13或－12 B ．－13或12C.13或－12或0 D ．－13或12或0 D [由题意知，A ＝{2，－3}．当a ＝0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a ≠0时，ax －1＝0的解为x ＝1a ， 由B ⊆A ，可得1a ＝－3或1a＝2， ∴a ＝－13或a ＝12. 综上可知，a 的值为－13或12或0.] (2)已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，若B ⊆A ，则实数m 的取值范围是________．(－∞，4] [当B ＝∅时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2；当B ≠∅时，若B ⊆A ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧ m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1<2m －1，解得2<m ≤4.综上，m 的取值范围是(－∞，4]．]考点三 集合的基本运算考向一 集合的运算【例3】 (1)(2017·全国Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝{x |3x <1}，则( )A ．A ∩B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝RC ．A ∪B ＝{x |x >1}D ．A ∩B ＝∅A [∵B ＝{x |3x <1}，∴B ＝{x |x <0}．又A ＝{x |x <1}，∴A ∩B ＝{x |x <0}，A ∪B ＝{x |x <1}．](2)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＝4y }，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 的真子集个数为( )A ．1B ．3C ．5D ．7B [因为抛物线x 2＝4y 的图象与直线y ＝x 的图象有两个交点，所以A ∩B 有两个元素，故A ∩B 的真子集个数为22－1＝3，故选B.]考向二 利用集合的运算求参数【例4】 (1)设集合A ＝{x |－1≤x <2}，B ＝{x |x <a }，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围是( )A ．－1<a ≤2B ．a >2C ．a ≥－1D ．a >－1D [因为A ∩B ≠∅，所以集合A ，B 有公共元素，作出数轴，如图所示，易知a >－1.](2)(2018·广东二模，3)已知x ∈R ，集合A ＝{0,1,2,4,5}，集合B ＝{x －2，x ，x ＋2}，若A ∩B ＝{0,2}，则x ＝( )A ．－2B ．0C ．1D ．2B [因为A ＝{0,1,2,4,5}，B ＝{x －2，x ，x ＋2}且A ∩B ＝{0,2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －2＝0，x ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，x ＋2＝2，当x ＝2时，B ＝{0,2,4}，A ∩B ＝{0,2,4}(舍)； 当x ＝0时，B ＝{－2,0,2}，A ∩B ＝{0,2}．综上，x ＝0.故选B.]规律总结 (1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn 图表示；集合中的元素若是连续的，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化．【针对训练3】 (1)(2019·广东佛山质量检测(二)，1)已知全集U ＝{0,1,2,3,4}，若A ＝{0,2,3}，B ＝{2,3,4}，则(∁U A )∩(∁U B )＝( )A ．∅B ．{1}C ．{0,2}D ．{1,4}B [因为全集U ＝{0,1,2,3,4}，A ＝{0,2,3}，B ＝{2,3,4}，所以∁U A ＝{1,4}，∁U B ＝{0,1}，因此(∁U A )∩(∁U B )＝{1}，选B.](2)设集合A ＝{0，－4}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0，x ∈R }．若A ∩B ＝B ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，－1]∪{1} [因为A ＝{0，－4}，所以B ⊆A 分以下三种情况：①当B ＝A 时，B ＝{0，－4}，由此可知，0和－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两个根，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧ Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)>0，－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1；②当B ≠∅且B A 时，B ＝{0}或B ＝{－4}，并且Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足题意；③当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综上所述，所求实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪{1}．]课时作业(一)[基础巩固]1．(2018·课标全国Ⅱ，2)已知集合A ＝{1,3,5,7}，B ＝{2,3,4,5}，则A ∩B ＝( )A ．{3}B ．{5}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5,7}C [由题意得A ∩B ＝{3,5}，故选C.]2．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合P ＝{1,3,5}，Q ＝{1,2,4}，则(∁U P )∪Q ＝( )A ．{1}B ．{3,5}C ．{1,2,4,6}D ．{1,2,3,4,5}C [∵U ＝{1,2,3,4,5,6}，P ＝{1,3,5}，∴∁U P ＝{2,4,6}，∵Q ＝{1,2,4}，∴(∁U P )∪Q ＝{1,2,4,6}，故选C.]3．(2019·齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学高考冲刺模拟(三)，1)若集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0}，N ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝0，x ∈R ，y ∈R }，则有( )A ．M ∪N ＝MB ．M ∪N ＝NC ．M ∩N ＝MD ．M ∩N ＝∅A [N ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝0，x ∈R ，y ∈R }＝{(0,0)}，且点(0,0)满足直线x ＋y ＝0，所以M ∪N ＝M ，故选A.]4．已知集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}，B ＝{x |3x ＞1}，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,3)C ．(0,2)D ．(0,3)D [集合A ＝{x |x 2－x －6＜0}＝{x |－2＜x ＜3}，B ＝{x |3x ＞1}＝{x |x ＞0}，A ∩B ＝{x |0＜x ＜3}＝(0,3)，故选D.]5．(2019·潍坊调研)已知全集U ＝R ，集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{x ∈R |x ≥2}，则图中阴影部分所表示的集合为( )A ．{0,1}B ．{1}C ．{1,2}D ．{0,1,2}B [因为A ∩B ＝{2,3,4,5}，而图中阴影部分为集合A 去掉A ∩B 部分，所以阴影部分所表示的集合为{1}，故选B.]6．已知集合M ＝{1,2,3,4}，则集合P ＝{x |x ∈M ，且2x ∉M }的子集的个数为( )A ．8B ．4C ．3D ．2B [由题意得P ＝{3,4}，∴集合P 有4个子集，故选B.]7．(2017·全国Ⅱ)设集合A ＝{1,2,4}，B ＝{x |x 2－4x ＋m ＝0}．若A ∩B ＝{1}，则B 等于( )A ．{1，－3}B ．{1,0}C ．{1,3}D ．{1,5}C [∵A ∩B ＝{1}，∴1∈B .∴1－4＋m ＝0，即m ＝3.∴B ＝{x |x 2－4x ＋3＝0}＝{1,3}．故选C.]8．已知集合A ＝{x |－1<x <0}，B ＝{x |x ≤a }，若A ⊆B ，则a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0，＋∞)C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)B [用数轴表示集合A ，B (如图)，由A ⊆B ，得a ≥0.]9．已知集合P ＝{x |x 2－2x ≥0}，Q ＝{x |1＜x ≤2}，则(∁R P )∩Q ＝________.(1,2) [∵P ＝{x |x ≥2或x ≤0}，∁R P ＝{x |0＜x ＜2}，∴(∁R P )∩Q ＝{x |1＜x ＜2}．]10．若{3,4，m 2－3m －1}∩{2m ，－3}＝{－3}，则m ＝ ________ .1 [由集合中元素的互异性，可得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－3m －1＝－3，2m ≠－3，2m ≠3，2m ≠4， 所以m ＝1.]11．集合A ＝{x |x <0}，B ＝{x |y ＝lg [x (x ＋1)]}，若A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，则A －B ＝________.[－1,0) [由x (x ＋1)>0，得x <－1或x >0，∴B ＝(－∞，－1)∪(0，＋∞)，∴A －B ＝[－1,0)．]12．已知集合A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}，若A ⊆B ，则实数c 的取值范围是________．[1，＋∞) [由题意知，A ＝{x |y ＝lg (x －x 2)}＝{x |x －x 2>0}＝(0,1)，B ＝{x |x 2－cx <0，c >0}＝(0，c )．由A ⊆B ，画出数轴，如图所示，得c ≥ 1.][能力提升]13．定义一种新的集合运算△：A △B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }．若集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2≤x ≤4}，则按运算△，B △A 等于( )A ．{x |3<x ≤4}B ．{x |3≤x ≤4}C ．{x |3<x <4}D ．{x |2≤x ≤4}B [A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2≤x ≤4}，由题意知，B △A ＝{x |x ∈B ，且x ∉A }＝{x |3≤x ≤4}，故选B.]14．已知集合A ＝{x |1<x <3}，B ＝{x |2m <x <1－m }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是( )A ．[13，＋∞)B ．[0，13) C ．(－∞，0] D ．[0，＋∞)D [∵A ∩B ＝∅，①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意； ②若2m <1－m ，即m <13时， 需满足⎩⎪⎨⎪⎧ m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3， 解得0≤m <13或∅，即0≤m <13. 综上，实数m 的取值范围为[0，＋∞)，故选D.]15．已知集合A ＝{x |x 2－2x ＋a >0}，且1∉A ，则实数a 的取值范围是________．(－∞，1] [∵1∉{x |x 2－2x ＋a >0}，∴1∈{x |x 2－2x ＋a ≤0}，即1－2＋a ≤0，∴a ≤1.]16．设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k －1∉A ，且k ＋1∉A ，那么称k 是A 的一个“孤立元”．给定S ＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有________个．6 [依题意可知，由S 的3个元素构成的所有集合中，不含“孤立元”时，这三个元素一定是连续的三个自然数．故这样的集合共有6个．]1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件[考纲考情分析] 1.理解命题的概念.2.了解“若p ，则q ”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系.3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.4.命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式，多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇，考查学生的推理能力，题型为选择、填空题，低档难度．[知识梳理]1．命题用语言、符号或式子表达的，可以 判断真假 的陈述句叫做命题，其中 判断为真 的语句叫做真命题， 判断为假 的语句叫做假命题．2．四种命题及其相互关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有 相同 的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性 没有关系 .3．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p ⇒q ，则p 是q 的 充分 条件，q 是p 的 必要 条件p 是q 的 充分不必要 条件p ⇒q 且q ⇒/ p p 是q 的 必要不充分 条件p ⇒/ q 且q ⇒p p 是q 的 充要 条件p ⇔q p 是q 的 既不充分也不必要 条件p ⇒/q 且q ⇒/ p知识拓展1．否命题与命题的否定：否命题是既否定条件，又否定结论，而命题的否定是只否定命题的结论．2．区别A 是B 的充分不必要条件(A ⇒B 且BD ⇒/A )，与A 的充分不必要条件是B (B ⇒A 且AD ⇒/B )两者的不同．3．A 是B 的充分不必要条件⇔¬B 是¬A 的充分不必要条件．4．充要关系与集合的子集之间的关系，设A ＝{x |p (x )}，B ＝{x |q (x )}，①若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件．②若A B ，则p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件．③若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．[小题速练]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x 2＋2x －3<0”是命题．( × )(2)命题“若p ，则q ”的否命题是“若p ，则¬q ”．( × )(3)当q 是p 的必要条件时，p 是q 的充分条件．( √ )(4)当p 是q 的充要条件时，也可说成q 成立当且仅当p 成立．( √ )(5)若p 是q 的充分不必要条件，则¬p 是¬q 的必要不充分条件．( √ )2．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2＝1，则x ＝1”B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＞0”C ．命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则“a ≥2或a ≤－2”的逆否命题为真命题D ．“y ＝f (x )在x 0处有极值”是“f (x 0)＝0”的充要条件C [选项A, 命题“若x 2＝1，则x ≠1”的否命题是“若x 2＝1，则x ＝1”，错误；选项B, 命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0＜0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x 0≤0”，错误；选项C, 命题“若函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，则“a ≥2或a ≤－2”的逆否命题与原命题同真假， 函数f (x )＝x 2－ax ＋1有零点，即方程x 2－ax ＋1＝0有解，Δ≥0解得a ≥2或a ≤－2，故原命题正确；选项D ，“y ＝f (x )在x 0处有极值”是“f ′(x 0)＝0”的既不充分也不必要条件，如y ＝|x |在x ＝0处有极值，但不可导，y ＝x 3在x ＝0处满足f ′(0)＝0，但在定义域内单调递增；综上可知，选C.]3．命题“若α＝π4，则tan α＝1”的逆否命题是( ) A ．若α≠π4，则tan α≠1 B ．若α＝π4，则tan α≠1 C ．若tan α≠1，则α≠π4 D ．若tan α≠1，则α＝π4C [命题“若p ，则q ”的逆否命题是“若¬q ，则¬p ”，显然¬q ：tan α≠1，¬p ：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠π4”，故选C.] 4．(2018·天津，3)设x ∈R ，则“x 3>8”是“|x |>2”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由x 3>8得x >2，由|x |>2得x >2或x <－2.所以“x 3>8”是“|x |>2”的充分而不必要条件．故选A.]5．已知p ：x >a 是q ：2＜x ＜3的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________． (－∞，2] [由已知，可得{x |2＜x ＜3}{x |x ＞a }，∴a ≤2.]考点一 命题及其关系【例1】 (1)(2019·广东广雅中学联考)给出下列命题：①“∃x 0∈R ，x 20－x 0＋1≤0”的否定；②“若x 2＋x －6≥0，则x >2”的否命题；③命题“若x 2－5x ＋6＝0，则x ＝2”的逆否命题．其中真命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3C [①的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ＋1>0”是真命题，①正确；②的否命题是“若x 2＋x －6<0，则x ≤2”，由x 2＋x －6<0，得－3<x <2，∴x ≤2成立，②正确；③由x 2－5x ＋6＝0，得x ＝2或x ＝3，原命题是假命题，因此可知逆否命题为假命题，③错误．综上可知，真命题是①，②，故选C.](2)设m ∈R ，命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆否命题是________． 答案 若方程x 2＋x －m ＝0没有实根，则m ≤0规律总结 (1)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写；(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．(3)判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例即可．(4)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．【针对训练1】 (1)下列命题是真命题的是( )A ．若1x ＝1y，则x ＝y B ．若x 2＝1，则x ＝1 C ．若x ＝y ，则x ＝y D ．若x ＜y ，则x 2＜y 2答案 A(2)(2018·衡水金卷A 信息卷(五)，14)命题p ：若x >0，则x >a ；命题q ：若m ≤a －2，则m <sin x (x ∈R )恒成立．若p 的逆命题，q 的逆否命题都是真命题，则实数a 的取值范围是 ________ .[0,1) [命题p 的逆命题是若x >a ，则x >0，故a ≥0.因为命题q 的逆否命题为真命题，所以命题q 为真命题，则a －2<－1，解得a <1.则实数a 的取值范围是[0,1)．]考点二 充分必要条件的判定【例2】 (1)(2018·北京，4)设a ，b ，c ，d 是非零实数，则“ad ＝bc ”是“a ，b ，c ，d 成等比数列”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件B [由a ，b ，c ，d 成等比数列，可得ad ＝bc ，即必要性成立；当a ＝1，b ＝－2，c ＝－4，d ＝8时，ad ＝bc ，但a ，b ，c ，d 不成等比数列，即充分性不成立，故选B.](2)已知条件p ：x >1或x <－3，条件q ：5x －6>x 2，则¬p 是¬q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [由5x －6>x 2，得2<x <3，即q ：2<x <3.所以q ⇒p ，pD ⇒/q ，所以¬p ⇒¬q ，¬q ⇒/¬p ，所以¬p 是¬q 的充分不必要条件，故选A.]规律总结 充分条件、必要条件的三种判定方法(1)定义法：根据p ⇒q ，q ⇒p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题．(2)集合法：根据p ，q 成立的对象的集合之间的包含关系进行判断，多适用于命题中涉及字母范围的推断问题．(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，进行判断，适用于条件和结论带有否定性词语的命题．【针对训练2】 (1)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要A [cos 2α＝0⇒cos 2α－sin 2α＝0⇒(cos α－sin α)·(cos α＋sin α)＝0，所以sin α＝cos α或sin α＝－cos α，故答案选A. ](2)(2018·浙江，6)已知平面α，直线m ，n 满足m ⊄α，n ⊂α，则“m ∥n ”是“m ∥α”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件A [∵m ⊄α，n ⊂α，m ∥n ，∴m ∥α，故充分性成立．而由m ∥α，n ⊂α，得m ∥n 或m 与n 异面，故必要性不成立．故选A.](3)设x ∈R ，i 是虚数单位，则“x ＝2”是“复数Z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件B [由复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4＝0x ＋2≠0，解得x ＝2， 所以x ＝2是复数z ＝(x 2－4)＋(x ＋2)i 为纯虚数的充要条件，故选B.]考点三 充分必要条件的应用【例3】 已知集合A 是函数y ＝lg(20＋8x －x 2)的定义域，集合B 是不等式x 2－2x ＋1－a 2≥0(a ＞0)的解集，p ：x ∈A ，q ：x ∈B .(Ⅰ)若A ∩B ＝∅，求a 的取值范围；(Ⅱ)若¬p 是q 的充分不必要条件，求a 的取值范围．解 (Ⅰ)A ＝{x |－2＜x ＜10}，B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }． 若A ∩B ＝∅，则必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ≥10，1－a ≤－2，a ＞0，解得a ≥9，所以a 的取值范围是a ≥9.(Ⅱ)易得¬p ：x ≥10或x ≤－2.∵¬p 是q 的充分不必要条件，∴{x |x ≥10或x ≤－2}是B ＝{x |x ≥1＋a 或x ≤1－a }的真子集，即⎩⎪⎨⎪⎧ 10≥1＋a ，－2≤1－a ，a ＞0，解得0＜a ≤3，∴a 的取值范围是0＜a ≤3.【针对训练3】 (1)已知p ：(x －m )2＞3(x －m )是q ：x 2＋3x －4＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围为________．(－∞，－7]∪[1，＋∞) [p 对应的集合A ＝{x |x ＜m 或x ＞m ＋3}，q 对应的集合B ＝{x |－4＜x ＜1}，由p 是q 的必要不充分条件可知，B A ，∴m ≥1或m ＋3≤－4，即m ≥1或m ≤－7.](2)设n ∈N *，一元二次方程x 2－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝________. 3或4 [由Δ＝16－4n ≥0，得n ≤4，又n ∈N *，则n ＝1,2,3,4.当n ＝1,2时，方程没有整数根；当n ＝3时，方程有整数根1,3，当n ＝4时，方程有整数根2.综上可知，n ＝3或4.]课时作业(二)[基础巩固]1．(2019·河南八市联考)命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是( )A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋cB ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤bC ．若a ＋c ＞b ＋c ，则a ＞bD ．若a ＞b ，则a ＋c ≤b ＋cA [否命题是将原命题的条件和结论都否定，故命题“若a ＞b ，则a ＋c ＞b ＋c ”的否命题是“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”，故选A.]2．设p ：f (x )＝x 3－2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增；q ：m ＞43，则p 是q 的( ) A ．充要条件 B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．以上都不对C [∵f (x )＝x 3－2x 2＋mx ＋1在(－∞，＋∞)上单调递增，∴f ′(x )＝3x 2－4x ＋m ，即3x 2－4x ＋m ≥0在R 上恒成立，∴Δ＝16－12m ≤0，即m ≥43，即p ：m ≥43，又因为q ：m ＞43，∴根据充分必要条件的定义可判断：p 是q 的必要不充分条件，故选C.]3．(2019·广东名校模拟)王昌龄的《从军行》中两句诗为“黄沙百战穿金甲，不破楼兰终不还”，其中后一句中“攻破楼兰”是“返回家乡”的( )A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件B [“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.]4．(2018·河南4月高考适应性考试，3)下列说法中，正确的是( )A ．命题“若am 2<bm 2，则a <b ”的逆命题是真命题B ．命题“∃x 0∈R ，x 20－x 0>0”的否定是“∀x ∈R ，x 2－x ≤0”C ．命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”均为真命题D ．已知x ∈R ，则“x >1”是“x >2”的充分不必要条件B [选项A 的逆命题为“若a <b ，则am 2<bm 2”，则m ＝0时，不成立，所以是假命题；易知选项B 正确；对于选项C ，命题“p 或q ”为真命题，则命题“p ”和命题“q ”至少有一个是真命题，所以是假命题；对于选项D ，“x >1”是“x >2”的必要不充分条件，所以是假命题．故选B.]5．(2019·广东佛山教学质量检测(二)，3)已知函数f (x )＝3x －3－x ，∀a ，b ∈R ，则“a >b ”是“f (a )>f (b )”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件C [因为f (x )＝3x －3－x ，所以f ′(x )＝3x ln 3－3－x ln 3×(－1)＝3x ln 3＋3－x ln 3，易知f ′(x )>0，所以函数f (x )＝3x －3－x 为(－∞，＋∞)上的单调递增函数，从而由“a >b ”可得“f (a )>f (B )”，由“f (a )>f (b )”可得“a >b ”，即“a >b ”是“f (a )>f (b )”的充分必要条件，选C.]6．已知直线a ，b 分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a 和直线b 相交”是“平面α和平面β相交”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件A [若直线a 和直线b 相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a 和直线b 可能平行或异面或相交，故选A.]7．已知命题p ：x 2＋2x －3＞0；命题q ：x ＞a ，且¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，则a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，1]C ．[－1，＋∞)D ．(－∞，－3]A [由x 2＋2x －3＞0，得x ＜－3或x ＞1，由¬q 的一个充分不必要条件是¬p ，可知¬p 是¬q 的充分不必要条件，等价于q 是p 的充分不必要条件．故a ≥1，故选A.]8．下列结论错误的是( )A ．命题“若x 2－3x －4＝0，则x ＝4”的逆否命题为“若x ≠4，则x 2－3x －4≠0”B ．“x ＝4”是“x 2－3x －4＝0”的充分条件C ．命题“若m ＞0，则方程x 2＋x －m ＝0有实根”的逆命题为真命题D ．命题“若m 2＋n 2＝0，则m ＝0且n ＝0”的否命题是“若m 2＋n 2≠0，则m ≠0或n ≠0”C [C 项命题的逆命题为“若方程x 2＋x －m ＝0有实根，则m ＞0”．若方程有实根，则Δ＝1＋4m ≥0，即m ≥－14，不能推出m ＞0，所以不是真命题，故选C.] 9．“若a ≤b ，则ac 2≤bc 2”，则原命题及命题的逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．2 [其中原命题和逆否命题为真命题，逆命题和否命题为假命题．]10．设p ：实数x ，y 满足x >1且y >1，q ：实数x ，y 满足x ＋y >2，则p 是q 的________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)充分不必要 [当x >1，y >1时，x ＋y >2一定成立，即p ⇒q ，当x ＋y >2时，可令x ＝－1，y ＝4，即q ⇒D ⇒/p ，故p 是q 的充分不必要条件．]11．直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点的充要条件是________．(－1,3) [直线x －y －k ＝0与圆(x －1)2＋y 2＝2有两个不同交点等价于|1－0－k |2<2，解之得－1<k <3.]12．有下列几个命题：①“若a ＞b ，则a 2＞b 2”的否命题；②“若x ＋y ＝0，则x ，y 互为相反数”的逆命题；③“若x 2＜4，则－2＜x ＜2”的逆否命题．其中真命题的序号是________．②③ [①原命题的否命题为“若a ≤b ，则a 2≤b 2”，错误；②原命题的逆命题为“若x ，y 互为相反数，则x ＋y ＝0”，正确；③原命题的逆否命题为“若x ≥2或x ≤－2，则x 2≥4”，正确．][能力提升]13．使不等式2x>1成立的一个充分不必要条件是( ) A ．0<x <2 B ．x >0C ．0<x <1D ．x <1C [不等式2x>1的解为0<x <2， 依题意，选项是0<x <2的充分不必要条件，所以选项表示的集合是{x |0<x <2}的真子集，故选C.]14．(2018·华大新高考联盟4月教学质量检测，6)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2mx ＋1，x ≥0，－x －1x ，x <0，则“m >1”是“f [f (－1)]>4”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件A [当m >1时，f [f (－1)]＝f ⎣⎡⎦⎤－(－1)－1(－1)＝f (2)＝22m ＋1>4，当f [f (－1)]>4时，f [f (－1)]＝f ⎣⎡⎦⎤－(－1)－1(－1)＝f (2)＝22m ＋1>4＝22，∴2m ＋1>2，解得m >12.故“m >1”是“f [f (－1)]>4”的充分不必要条件．故选A.]15．已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若¬p 是¬q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．⎣⎡⎦⎤0，12 [方法一 命题p 为⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1， 命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．¬p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫x >1或x <12， ¬q 对应的集合B ＝{x |x >a ＋1或x <a }．∵¬p 是¬q 的必要不充分条件， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，①a ≤12，②或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，①a ≥12，② ∴0≤a ≤12. 方法二 命题p ：A ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎭⎬⎫12≤x ≤1， 命题q ：B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}．∵¬p 是¬q 的必要不充分条件，∴p 是q 的充分不必要条件，即A B ，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋1≥1，a ≤12或⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥1，a ≤12，∴0≤a ≤12.] 16．设a ，b 为正数，则“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的 ________ 条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)充分不必要 [∵a －b >1，即a >b ＋1.又∵a ，b 为正数，∴a 2>(b ＋1)2＝b 2＋1＋2b >b 2＋1，即a 2－b 2>1成立；反之，当a ＝3，b ＝1时，满足a 2－b 2>1，但a －b >1不成立．所以“a －b >1”是“a 2－b 2>1”的充分不必要条件．]1．3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词[考纲考情分析] 1.了解逻辑联结词“或”“且”“非”的含义.2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.4.逻辑联结词和含有一个量词的命题的否定是高考的重点；命题的真假判断常以函数、不等式为载体，考查学生的推理判断能力，题型为选择、填空题，低档难度．[知识梳理]1．简单的逻辑联结词(1)命题中的 且 、 或 、 非 叫做逻辑联结词．(2)命题p q 、p 或q 、非p 的真假判断p q p 且q p 或q非p 真 真 真 真假 真 假 假 真 假2.(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“ ∀ ”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“ ∃ ”表示．知识拓展1．含有逻辑联结词的命题真假的判断规律(1)p ∨q ：p ，q 中有一个为真，则p ∨q 为真，即有真为真．(2)p ∧q ：p ，q 中有一个为假，则p ∧q 为假，即有假即假．(3)¬p ：与p 的真假相反，即一真一假，真假相反．2．含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．3．命题的否定和否命题的区别：命题“若p ，则q ”的否定是“若p ，则¬q ”，否命题是“若¬p ，则¬q ”．[小题速练]1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题“5>6或5>2”是假命题．( × )(2)命题p 和¬p 不可能都是真命题．( √ )(3)若命题p ，q 中至少有一个是真命题，则p ∨q 是真命题．( √ )(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．( × ) (5)若命题¬(p ∧q )是假命题，则命题p ，q 中至少有一个是真命题．( × )2．命题“∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0”的否定是( )A ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0B ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1＞0C ．∃x ∈R ，x 2－2x ＋1≥0D ．∀x ∈R ，x 2－2x ＋1＜0答案 C3．给出下列四个结论：①命题“∀x ＞0，x ＋1x ≥2”的否定是“∃x 0＞0，x 0＋1x 0＜2”； ②“若θ＝π3，则sin θ＝32”的否命题是“若θ≠π3，则sin θ≠32”； ③p ∨q 是真命题，p ∨q 是假命题，则命题p ，q 中一真一假；④若p ：1x≤1，q ：ln x ≥0，则p 是q 的充分不必要条件，其中正确结论的个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4答案 C4．(2019·贵阳调研)下列命题中的假命题是( )A ．∃x 0∈R ，lg x 0＝1B ．∃x 0∈R ，sin x 0＝0C ．∀x ∈R ，x 3＞0D ．∀x ∈R,2x ＞0C [当x ＝10时，lg 10＝1，则A 为真命题；当x ＝0时，sin 0＝0，则B 为真命题；当x ＜0时，x 3＜0，则C 为假命题；由指数函数的性质知，∀x ∈R,2x ＞0，则D 为真命题．故选C.]5．若“∀x ∈⎣⎡⎦⎤0，π4，tan x ≤m ”是真命题，则实数m 的最小值为________． 1 [∵函数y ＝tan x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上是增函数， ∴y max ＝tan π4＝1.依题意知，m ≥y max ，即m ≥1. ∴m 的最小值为1.]考点一 含有逻辑联结词的命题的真假判断【例1】 (1)已知命题p ：∃x ∈R ，x 2－x ＋1≥0；命题q ：若a 2＜b 2，则a <b .下列命题为真命题的是( )A ．p ∧qB ．p ∧¬qC ．¬p ∧qD ．¬p ∧¬qB [由x ＝0时x 2－x ＋1≥0成立知p 是真命题，由12＜(－2)2,1＞－2可知q 是假命题，所以p ∧¬q 是真命题，故选B.](2)(2018·安徽淮北第二次(4月)模拟，3)命题p ：若向量a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角，命题q ：若cos α·cos β＝1，则sin(α＋β)＝0.下列命题为真命题的是( )A ．pB ．¬qC ．p ∧qD ．p ∨qD [当a ，b 方向相反时，a ·b <0，但夹角是180°，不是钝角，命题p 是假命题；若cos αcos β＝1，则cos α＝cos β＝1或cos α＝cos β＝－1，所以sin α＝sin β＝0，从而sin(α＋β)＝0，命题q 是真命题，所以p ∨q 是真命题，故选D.] 规律总结 “p ∨q ”“p ∧q ”“¬p ”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式；(2)判断其中命题p 、q 的真假；(3)确定“p ∧q ”“p ∨q ”“¬p ”等形式命题的真假．【针对训练1】 (1)已知命题p ：函数y ＝－tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π6在定义域上为减函数，命题q ：在△ABC 中，若A ＞30°，则sin A ＞12，则下列命题为真命题的是( ) A ．(¬p )∧q B ．(¬p )∧(¬q )C ．p ∧(¬q )D ．p ∨q答案 B(2)命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是( )A ．任意一个有理数，它的平方是有理数B ．任意一个无理数，它的平方不是有理数C ．存在一个有理数，它的平方是有理数D ．存在一个无理数，它的平方不是有理数答案 B考点二 含有一个量词命题的否定及真假判定【例2】 (1)命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( )A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )＞nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )＞nC ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)＞n 0D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)＞n 0D [全称命题的否定为特称命题，∴命题的否定是：∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0.](2)下列命题中的假命题是( )A ．∀x ∈R,2x －1>0B ．∀x ∈N *，(x －1)2>0C ．∃x 0∈R ，lg x 0<1D ．∃x 0∈R ，tan x 0＝2B [当x ∈N *时，x －1∈N ，可得(x －1)2≥0，当且仅当x ＝1时取等号，故B 不正确；易知A ，C ，D 正确，故选B.]规律总结 (1)判定全称命题“∀x ∈M ，p (x )”是真命题，需要对集合M 中的每一个元素x ，证明p (x )成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x ＝x 0，使p (x 0)成立．(2)对全(特)称命题进行否定的方法①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； ②对原命题的结论进行否定．【针对训练2】 (1)已知命题p ：“∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≤0”，则¬p 为( )A ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1≥0B ．∃x 0∈R ，e x 0－x 0－1>0C ．∀x ∈R ，e x －x －1>0D ．∀x ∈R ，e x －x －1≥0C [根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬p 为“∀x ∈R ，e x －x －1>0”，故选C.](2)(2018·江西师范大学附属中学4月月考，3)已知定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是( )A ．∀x ∈R ，f (－x )≠f (x )B ．∀x ∈R ，f (－x )≠－f (x )C ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)D ．∃x 0∈R ，f (－x 0)≠－f (x 0)C [∵定义域为R 的函数f (x )不是偶函数，∴∀x ∈R ，f (－x )＝f (x )为假命题，∴∃x 0∈R ，f (－x 0)≠f (x 0)为真命题，故选C.]考点三 由命题的真假求参数的取值范围【例3】 (1)已知命题p ：“∀x ∈[0,1]，a ≥e x ”，命题q ：“∃x 0∈R ，x 20＋4x 0＋a ＝0”．若命题“p ∧q ”是真命题，则实数a 的取值范围是( )A ．(4，＋∞)B ．[1,4]C ．[e,4]D ．(－∞，－1)C [由题意知p 与q 均为真命题，由p 为真，可知a ≥e ，由q 为真，知x 2＋4x ＋a ＝0有解，则Δ＝16－4a ≥0，∴a ≤4.综上可知e ≤a ≤4.](2)若命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则实数a 取值范围是( )A ．(－3，3)B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．[－3，3]D ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)C [命题“∃x 0∈R ，使得3x 20＋2ax 0＋1＜0”是假命题，则∀x ∈R,3x 2＋2ax ＋10为真命题，Δ＝4a 2－12≤0，解得x ∈[－3，3]，故选C.]规律总结 (1)解参数的取值范围．(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．【针对训练3】 设p ：∃x ∈⎝⎛⎭⎫1，52，使f (x )＝lg(ax 2＋4x －4)有意义．若¬p 为假命题，则实数a 的取值范围是______________．(－1，＋∞) [根据题意，由¬p 为假命题，则p 为真命题，即∃x ∈⎝⎛⎭⎫1，52，使ax 2＋4x －4＞0成立，若a ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧ 42a ≤1f (1)＞0或⎩⎨⎧－42a ≥52f ⎝⎛⎭⎫52＞0，解得a ＞0；若a ＝0，则当x ∈⎝⎛⎭⎫1，52，总有4x －4＞0成立； 若a ＜0，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝42＋16a ＞01＜－2a ＜52⇒a ＞－1，即－1＜a ＜0. 综上得，所求实数a 的取值范围为(－1，＋∞)．]课时作业(三)[基础巩固]1．已知命题p ：∀x ＞1，log 2x ＋4log x 2＞4，则¬p 为( )A ．¬p ：∀x ≤1，log 2x ＋4log x 2≤4B ．¬p ：∃x ≤1，log 2x ＋4log x 2≤4C ．¬p ：∃x ＞1，log 2x ＋4log x 2＝4D ．¬p ：∃x ＞1，log 2x ＋4log x 2≤4D [命题是全称命题，则命题的否定是特称命题，即：¬p ：∃x ＞1，log 2x ＋4log x 2≤4，故选D.]2．设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π2；命题q ：函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π2对称，则下列判断正确的是( ) A ．p 为真 B ．¬q 为假C ．p ∧q 为假D ．p ∨q 为真C [函数y ＝sin 2x 的最小正周期为2π2＝π，故命题p 为假命题；x ＝π2不是y ＝cos x 的对称轴，故命题q 为假命题，故p ∧q 为假．故选C.]3．命题p ：若sin x >sin y ，则x >y ；命题q ：x 2＋y 2≥2xy .下列命题为假命题的是( )A ．p ∨qB ．p ∧qC ．qD ．¬pB [命题p 假，q 真，故命题p ∧q 为假命题．]4．下列命题中的真命题是( )A ．∃x 0∈R ，使得sin x 0＋cos x 0＝32B ．∀x ∈(0，＋∞)，e x >x ＋1C ．∃x 0∈(－∞，0)，2x 0<3x 0D ．∀x ∈(0，π)，sin x >cos xB [∵sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4≤2<32，故A 错误；设f (x )＝e x －x －1，则f ′(x )＝e x －1，∴f (x )在(0，＋∞)上为增函数，又f (0)＝0，∴∀x ∈(0，＋∞)，f (x )>0，即e x >x ＋1，故B 正确；当x <0时，y ＝2x 的图象在y ＝3x 的图象上方，故C 错误；∵当x ∈⎝⎛⎭⎫0，π4时，sin x <cos x ，故D 错误．故选B.]5．设命题p ：∃x 0∈(0，＋∞)，x 0＋1x 0＞3；命题q ：∀x ∈(2，＋∞)，x 2＞2x ，则下列命题为真的是( )A ．p ∧(¬q )B ．(¬p )∧qC ．p ∧qD ．(¬p )∨qA [对于命题p ，当x 0＝4时，x 0＋1x 0＝174＞3，故命题p 为真命题；对于命题q ，当x ＝4时，24＝42＝16，即∃x 0∈(2，＋∞)，使得2x 0＝x 20成立，故命题q 为假命题，所以p ∧(¬q )。
