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第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
1、傅里叶变换和傅里叶级数的收敛问题由于傅里叶级数是一个无穷级数，因而存在收敛问题。
这包含两方面的意思：是否任何周期信号都可以表示为傅里叶级数；如果一个信号能够表示为傅里叶级数，是否对任何t 值级数都收敛于原来的信号。
关于傅里叶级数的收敛，有两组稍有不同的条件。
第一组条件：如果周期信号()t x 在一个周期内平方可积，即()∞<⎰dt Tt x 2则其傅里叶级数表达式一定存在。
第二组条件，与第一组条件稍有不同，就是狄里赫利条件，它包括以下三点： (1)在任何周期内，x 必须绝对可积，即()∞<⎰dt t x T 0(2)在任何周期内，()t x 只有有限个极值点，且在极值点处的级值为有限值。
(3)在任何有限区间内，()t x 只有有限个间断点，且在这些不连续点处，()t x 为有限值。
傅里叶变换的收敛问题也有两组类似的条件： 第一组条件：如果()t x 平方可积，即()∞<⎰∞∞-dt t x 2则()t x 的傅里叶变换存在。
满足上式可以保证()ΩX 为有限值。
第二组条件也称为狄里赫利条件，这就是： (1)()t x 绝对可积，即()∞<⎰∞∞-dt t x(2)在任何有限区间内，()t x 只有有限个极值点，且在这些极值点处的极值是有限值。
(3)在任何有限区间内，()t x 只能有有限个间断点，而且这些间断点都必须是有限值。
吉布斯现象：当简单地把信号频谱截断时，相当于给信号频谱加上了一个矩形窗口函数，正是由于矩形窗口函数的时域特性导致了在间断点处的吉布斯现象的产生。
2、周期序列的傅里叶级数展开和傅里叶变换之间的问题假定()t x 是一个长度为N 的有限长序列，将()t x 以N 为周期延拓而成的周期序列为()n x ~，则有()()∑∞-∞=-=r rN n x n x ~或表示为()()()N n x n x =~。
于是()n x ~与()n x 的关系表示为：()()()Nn x n x =~()()()n R n x n x N ~=将()n x ~表示为离散时间傅里叶级数有：()()kn NN n Wk X Nn x --=⋅=∑10~~1()()kn NN n W n x k X ⋅=∑-=10~~其中()k X ~是傅里叶级数的系数，这样做的目的是使其表达形式与离散时间傅里叶变换的形式相类似。
傅里叶级数和傅里叶变换的区别与联系以上我们分别讨论了傅里叶级数和傅里叶变换的定义及其存在条件，现简要讨论一下二者的区别。
前已述及，傅里叶级数对应的是周期信号，而傅里叶变换对应的是非周期信号；前者要求信号在一个周期内的能量是有限的，而后者要求信号在整个时间区间内的能量是有此外，傅里叶级数的系数X(k Q2o )是离散的，而傅里叶变换x(jn)是Q的连续函数。
由此可见，傅里叶级数与傅里叶变换二者的物理含义不同，因而量纲也不同。
X(k Q。
)代表了周期信号x(t)的第k次谐波幅度的大小，而x(js2)是频谱密度的概念为说明这一点，我们可将一个非周期信号视为周期丁趋于无穷大的周期信号。
由Q o=2 n /!可知，若T TS则必有Qo TO, k Qo 将(3. 1. 3)式两边同乘以T,并取时的极限，可得hm7'A (if)r ) - lim —- = X(jn) (3. t 13) 瞬以•从童姻上于IWift幅度除以類率显见*它是義墙麼度的If念.比较01翥】■ I, M 3. L2A(3, L5)W(3.1/12)^式；菱们看到•周期倩号的傅里叶系数和用谏倩号的一牛周期所求出的傅塑叶童换的黄索为只厲仏)=\a…^这一Jt累也可由图3. I, 1和图龙L 2曹岀，由(L2*飭)式可側周期值号了仃)的功率■= S= £ i xun)i f于垦有时".r{ t) |:d/ :一£W “我们*用同样的方注可&.导出匕厂J I 之〔門 a 匕| X(jjQ) dD (3t L 16)© 1.15)#(3* L 16)Xin .1i 的两t JtSft 为pfirwval 关系或Par^eval 定理.前# 反映的是劝率Jt 系，痞帰反映的是能H关累.现住•我I订不考慮(乳1.羅试的约电及Dirichlet条件,立接求鮮周期佰号的傅曬叶变换「将G I)式代人佩1.门式*有该式表明，一个周期信号的傅里叶变换是由频率轴上间距为Q。
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是现代数学以及工程学领域中非常重要的概念。
它们广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统、电子电路等方面。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、原理和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是一种用正弦函数和余弦函数的线性组合来表示周期函数的方法。
对于任意周期为T的函数f(t)，其傅里叶级数表示为：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))其中，a0为零频率分量的系数，an和bn为一系列傅里叶系数，n为正整数，ω=2π/T为基本频率。
傅里叶级数展开式中的每一项都代表了函数f(t)中具有不同频率的分量。
通过计算适当的系数an和bn，我们可以将任意周期函数表示为一系列正弦和余弦函数的线性组合。
这使得我们能够分析、合成和处理不同频率的信号。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个时域函数转换为频域函数的过程。
对于非周期函数f(t)，它的傅里叶变换表示为：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，F(ω)为频域函数，ω为连续频率参数，e为自然对数的底，j为虚数单位。
傅里叶变换将时域函数转换为频域函数，可以帮助我们理解和分析信号在不同频率上的能量分布。
频域函数F(ω)表示了原始信号中不同频率的幅度和相位信息。
通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波、调制、解调等操作，从而实现对信号的处理和传输。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换在数学上是相互关联的。
傅里叶级数是对周期函数进行频谱分析的方法，而傅里叶变换则适用于各种非周期信号的频谱分析。
当周期T趋于无穷大时，傅里叶级数就变成了傅里叶变换的极限形式。
傅里叶变换可以看作是傅里叶级数的一个推广，将其应用于非周期信号的频谱分析。
四、傅里叶级数与傅里叶变换的应用傅里叶级数和傅里叶变换在信号处理和通信领域有着广泛的应用。
以下是一些典型的应用场景：1. 信号滤波：通过傅里叶变换，我们可以在频域对信号进行滤波操作，以去除不需要的频率成分或者保留感兴趣的频率成分。
傅里叶级数和傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中常见且重要的概念，它们在信号处理、图像处理、电路分析以及物理学等领域中起着重要的作用。
本文将介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本原理、应用以及它们之间的关系。
一、傅里叶级数傅里叶级数是将一个周期性函数表示为正弦函数和余弦函数的无限级数。
在数学上，一个周期为T的函数f(t)可以表示为傅里叶级数的形式：f(t) = a0/2 + ∑(an*cos(nω0t) + bn*sin(nω0t))其中，a0表示直流分量，an和bn分别表示函数f(t)在一个周期内的cosine分量和sine分量，n为正整数，ω0为角频率，ω0 = 2π/T。
傅里叶级数的基本原理是，任何一个函数都可以用一系列基本的正弦和余弦函数来表示。
通过计算函数f(t)在一个周期内的各种正弦和余弦分量的系数，我们可以将函数f(t)展开成傅里叶级数的形式。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，例如音频信号的分析与合成、图像压缩等。
通过对信号进行傅里叶级数分解，我们可以得到信号的频率成分，从而对信号进行频域分析和处理。
二、傅里叶变换傅里叶变换是将一个非周期性函数或一个有限区间内的函数表示为连续频谱的方法。
傅里叶变换可以将一个时域上的函数转换为频域上的函数，从而能够更方便地观察信号在不同频率上的分量。
函数f(t)的傅里叶变换定义为：F(ω) = ∫f(t) * exp(-jωt) dt其中，F(ω)表示函数f(t)的频域表示，ω为频率。
傅里叶变换将函数f(t)从时域转换到频域，提供了频域上对信号进行分析和处理的方法。
傅里叶变换在信号处理中有广泛的应用，例如频率滤波、信号去噪、图像处理等。
通过对信号进行傅里叶变换，我们可以将信号表示为一系列复指数函数的线性组合，从而得到信号的频谱信息。
三、傅里叶级数与傅里叶变换的关系傅里叶级数和傅里叶变换之间存在着密切的关系。
事实上，傅里叶级数可以看作是傅里叶变换的一种特殊形式，即周期为T的函数的傅里叶级数可以看作是傅里叶变换在频率上的离散表示。
傅里叶变换常用公式1. 简介傅里叶变换是一种重要的数学工具，用于将一个信号从时域转换到频域。
它常被应用于信号处理、图像处理、通信等领域。
本文将介绍傅里叶变换的基本概念和常用公式。
2. 傅里叶级数傅里叶级数是傅里叶变换的基础，它用于将周期信号表示为一系列正弦和余弦函数的和。
傅里叶级数的公式如下：傅里叶级数公式傅里叶级数公式在上述公式中，f(t)表示周期为T的函数，a0是直流成分，ak和bk是傅里叶系数。
3. 傅里叶变换傅里叶变换是将非周期信号表示为一组连续的频谱的过程。
傅里叶变换的公式如下：傅里叶变换公式傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号，j是虚数单位。
4. 反傅里叶变换反傅里叶变换是将频域信号恢复为时域信号的过程。
反傅里叶变换的公式如下：反傅里叶变换公式反傅里叶变换公式在上述公式中，F(w)表示频域信号，f(t)表示时域信号。
5. 常见傅里叶变换公式下面列举了一些常见的傅里叶变换公式：5.1 正弦函数的傅里叶变换正弦函数的傅里叶变换的公式如下：正弦函数的傅里叶变换公式正弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是正弦函数，F(w)是其频域信号。
5.2 余弦函数的傅里叶变换余弦函数的傅里叶变换的公式如下：余弦函数的傅里叶变换公式余弦函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是余弦函数，F(w)是其频域信号。
5.3 矩形脉冲的傅里叶变换矩形脉冲的傅里叶变换的公式如下：矩形脉冲的傅里叶变换公式矩形脉冲的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是矩形脉冲，F(w)是其频域信号。
5.4 高斯函数的傅里叶变换高斯函数的傅里叶变换的公式如下：高斯函数的傅里叶变换公式高斯函数的傅里叶变换公式在上述公式中，f(t)是高斯函数，F(w)是其频域信号。
6. 结论傅里叶变换是一种非常强大的数学工具，用于将信号从时域转换到频域。
本文介绍了傅里叶级数、傅里叶变换和反傅里叶变换的基本公式，并列举了一些常见的傅里叶变换公式。
傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是数学中重要的概念，广泛应用于信号处理、图像处理、通信系统等领域。
它们为我们理解和分析周期信号以及非周期信号提供了有效的数学工具。
本文将分别介绍傅里叶级数和傅里叶变换的基本概念、性质和应用。
一、傅里叶级数傅里叶级数是指将一个周期函数表示成一系列正弦和余弦函数的和。
它的基本思想是利用正弦和余弦函数的基本频率，将一个周期函数分解成多个不同频率的谐波分量，从而得到函数的频谱内容。
在数学上，傅里叶级数表示为：\[f(t) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}c_ne^{i \omega_n t}\]其中，$c_n$代表系数，$e^{i \omega_n t}$是正弦和余弦函数的复数形式，$\omega_n$是频率。
将周期函数用傅里叶级数表示的好处是，可以通过调整系数来控制频谱内容，进而实现信号的滤波、合成等操作。
傅里叶级数的性质包括线性性、对称性、频谱零点等。
线性性意味着可以将不同的周期函数的傅里叶级数叠加在一起，得到它们的叠加函数的傅里叶级数。
对称性则表示实函数的傅里叶级数中系数满足一定的对称关系。
频谱零点表示在某些特殊条件下，函数的傅里叶级数中某些频率的系数为零。
傅里叶级数的应用广泛，例如在音频信号处理中，利用它可以进行音乐合成、乐音分析和音频压缩等操作。
此外，在图像处理领域，傅里叶级数被广泛应用于图像滤波、增强、噪声消除等方面。
二、傅里叶变换傅里叶变换是傅里叶级数的推广，用于处理非周期信号。
它将时域的信号转换为频域的信号，从而可以对信号进行频谱分析和处理。
傅里叶变换的定义为：\[F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i \omega t}dt\]其中，$F(\omega)$表示信号的频域表示，$f(t)$为时域信号，$\omega$为连续的角频率。
傅里叶变换可以将时域的信号分解成不同频率的复指数函数，并用复数表示频谱信息。
已知傅里叶级数求傅里叶变换傅里叶级数和傅里叶变换是信号处理和数学中非常重要的概念，它们在科学、工程、物理学和数学各个领域都有着广泛的应用。
傅里叶级数用于描述周期性信号的频域特性，而傅里叶变换则适用于非周期性信号，将信号从时域转换到频域。
通过对这两个概念的深入了解，我们可以更好地理解信号的频谱特性和信号处理的方法。
接下来，让我们来深入探讨已知傅里叶级数如何求傅里叶变换。
一、傅里叶级数的基本概念在深入研究傅里叶变换之前，我们需要首先了解傅里叶级数的基本概念。
傅里叶级数可以表示任意周期信号为一系列正弦和余弦函数之和的形式，它的数学表达式为：\[ f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a_n\cos{(\frac{2\pi nt}{T})} + b_n \sin{(\frac{2\pi nt}{T})}) \]其中，\[ f(t) \] 代表信号的时域表示，\[ T \] 代表信号的周期，\[ a_0, a_n, b_n \] 为傅里叶系数。
二、傅里叶级数到傅里叶变换当我们已知一个信号的傅里叶级数，想要求出其傅里叶变换时，我们可以通过一定的方法将傅里叶级数转换为傅里叶变换。
这里需要引入复数形式的傅里叶级数，即欧拉公式：\[ e^{ix} = \cos{x} + i\sin{x} \]通过欧拉公式，我们可以将之前的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
这为我们求解傅里叶变换提供了便利。
傅里叶变换的数学定义是：\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t)e^{-i\omega t} dt \]其中，\[ f(t) \] 为时域信号，\[ F(\omega) \] 为频域信号，表示信号在频域上的频谱特性。
三、从傅里叶级数推导傅里叶变换对于已知傅里叶级数的情况，我们可以通过一些步骤将其转换为傅里叶变换。
根据欧拉公式将傅里叶级数中的正弦和余弦函数转化为指数形式的复数函数。
第九章 傅里叶级数和傅里叶变换在自然界中广泛地存在各种各样的周期性运动（即相隔一定时间间隔往复循返的过程）。
例如，日月星球的运动，海洋潮汐的运动，电磁波与声波的运动，工厂里机器部件的往复运动，时钟摆的摆动以及人体心脏的跳动等等，都是周期性运动。
为了描述周期性的运动过程，数学上是借助某类函数来描述的。
当然这类函数也要体现出周期性。
这类函数称为周期函数。
在前面几章中，为了研究函数的性质，常常采用分析表示法，将这些函数在某区域展开成幂级数的形式，如泰勒级数或罗朗级数。
但是，这种幂级数形式的展开式是体现不出周期性来的，那么，对于周期性函数应采取怎样的分析表示法呢？这就是本章要讨论的内容。
9.1 周期函数和傅里叶级数9.1.1 周期函数 凡满足以下关系式：)()(x f T x f =+ （T 为常数） （9.1.1） 的函数，都称为周期函数。
周期的定义（1） 满足式（9.1.1）的T 值中的最小正数，即为该函数的周期； （2） 一个常数以任何正数为周期。
9.1.2 基本三角函数系按某一规律确定的函数序列称为函数系。
如下形式的函数系：1，x l πcos，x l πsin，x l π2cos ，x l π2sin ，…，x l k πcos ，x lk πsin ，… （9.1.2）称为基本三角函数系。
所有这些函数具有各自的周期，例如x l k πcos 和x lk πsin 的周期为kl2，但它们的共有周期为l 2（即所有周期的最小公倍数）。
通常这个周期命名为函数系的周期。
所以式（9.1.2）的三角函数系的周期为l 2。
如果我们将基本三角函数系中的函数，任意取n 个组合，则我们可以得到一个较复杂的函数。
例如图9.1（a ）是两个函数的组合x lx l x f ππ2sin 21sin )(-=；图9.1（b ）是三个函数的组合x lx l x l x f πππ3sin 312sin 21sin )(+-=。
如果我们取跟多的函数组合，甚至全体的组合，将会得到更复杂的函数或我们期望的函数。
9.1.3 傅里叶级数现在我们讨论上述问题的逆问题。
即如果给定一个周期为l 2的任意周期函数)(x f)()2(x f l x f =+ （9.1.3）我们能否将它表示成简单的三角函数（有限个或无限个）之和呢？即能否将)(x f 分解成如下形式：)sin cos (2)(10x lk b x l k a a x f k k k ππ++=∑∞= （9.1.4）如果能实现这种分解，那么对许多复杂的函数就可以通过简单的三角函数来研究其性质了。
上述问题的回答是肯定的，并称式（9.1.4）为函数)(x f 的傅里叶级数（有时我们也称它为狭义傅里叶展开式）。
若函数)(x f 按非三角函数系,2,1)}(({=k x k φ…）进行展开，所得的级数称为广义傅里叶展开式。
因为这一问题，最早由工程师J.Fourier 提出来的。
他在1807年12月21日向权威的法国科学院宣告：任意的周期函数)(x f 都能展开成正弦及余弦的无穷级数，即形式（9.1.4）的级数。
他的宣告震怒了整个科学院。
当时许多杰出的院士，包括著名的法国数学家拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
因为那时它在数学上没有得到严格的证明。
然而，现在数学家已经把“傅里叶级数理论”发展到相当高的水平，已有许多专著，并建立这级数收敛的非常明确的条件。
这结果被认为是20世纪所发现的最重要的数学理论之一。
以上这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景。
我们也可以用实验来证明这种分解过程。
例如将矩形脉冲或半波整流电路的输出波形输入到一个选频放大器中，再将选频放大器的输出端接到示波器上，调整选频放大器的频率， 就可以看到示波器上出现各种不同频率的正弦波，这说明矩形脉冲或半波整流电路的输出波形可以看作许多不同频率的正弦波的叠加。
特别是近几年来配备有数字电子计算机的专用仪器相应问世（如频率分析仪、快速傅里叶变换处理机、信号处理机等），想这种分解过程在很短的时间内就可以完成。
将一个周期为l 2的任意周期函数按基本三角函数系展开，首先需要解决如下两个问题：（1） 在什么条件下)(x f 才能按基本三角函数系展开？（2） 如何确定展开式中系数？也就是说，如果)(x f 可以展开成下式：)sin cos (2)(10x lk b x l k a a x f k k k ππ++=∑∞=（其中，0a 前的21系数，是为了使今后系数公式更为对称而引人的）那么,,10a a …及,,21b b …这些系数应如何确定？为了解决这个问题，还需要介绍如下几个概念。
§9.2 完备正交函数系由于我们前两章的知识，我们可以在任意区间[]b a ,上建立一组完备正交函数系，首先从如下标准的S-L 本征值问题（其中1)(,0)(,1)(===x x q x k ρ）出发，)()(),()(,0''''b y a y b y a y y y ===+λ )(b x a ≤≤ （9.2.1）以满足方程的解,)(aice x y λ=代人边界条件 1,)(==-a b iaibie e e λλλ即πλk a b 2)(=- 0(=k ，1±，2±，…）2)2(ab k -=πλ （9.2.2） 由于周期性边界条件有两个线性独立的解（复数解的实部和虚部）。
因此，我们这样来排序，令,)2(,022120ab k k k -===-πλλλ ⋯<=<⋯<=<-k k 212210λλλλλ1)(0=x y ， )2s i n ()(12a b x k x y k -=-π， )2c o s ()(2ab xk x y k -=π （9.2.3） 根据定理（8.2.1），上述{)(x y k }在区间[]b a ,上构成完备正交系，并且任何一个在[]b a ,上具有连续的一阶导数和分段连续的二阶导数，又适合本征值问题的边界条件的函数)(x f ，都可按{)(x y k }展开成在[]b a ,上绝对且一致收敛的级数，即)()(0x y c x f k k k ∑∞==其中2),(kk k y y f c =）⋯=,2,1,0(k （9.2.4）由于a b dx y ba-==⎰12)(21222122a b y y y kk k-===- （k =1,2,3，…） 也可表示成∑∞=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=10)2cos()2sin()(k k k a b x k b a b x k a b x f ππ （9.2.5）其中⎰-=ba dx x f ab b )(10dx a b x k x f a b a b a k )2sin()(2⎰--=π （9.2.6）dx a b x k x f a b b b a k )2cos()(2⎰--=π 如果令a =0，b =2π，即在区间[]π2,0 上下列函数系{}k y ：kx x y kx x y x y k k o cos )(,sin )(,1)(212===- （ k =1,2,3…）（9.2.7）构成完备正交函数系。
如果令a =-l ，b =l ，即在区间[]l l ,- 上下列函数系{)(x y k }：lxk x y l x k x y x y k k ππcos )(,sin)(,1)(2120===- （ k =1,2,3…） （9.2.8） 构成完备正交函数系。
这函数系就是通常的基本三角函数系（9.1.2）。
展开式（9.2.5）中的本征函数系排序是按区间[]b a ,上本征函数的零点个数来排序的，但为了照顾习惯和历史，我们仍按通俗的方式来排序。
于是，)(x f 按基本三角函数系展开式为)sin cos (2)(10x lk b x l k a a x f k k k ππ++=∑∞= （9.2.9）其中系数dx l x k x f l a l l k ⎰-=πcos )(1 （k =0,1,2,…） （9.2.10a ） dx lxk x f l b l l k ⎰-=πsin)(1 （k =1,2,3，…） （9.2.10b ） 利用帕塞瓦尔等式（7.3.8），有 （ⅰ）若 )()(0x y c x f k k k ∑∞==，则;2022k k k y c f∑∞== （9.2.11）（ⅱ）若)()(011x y cx f k k k ∑∞==；)()(022x y c x f k k k ∑∞==，则()22,121k k k k y ccf f ∑∞==（9.2.12）应用到)(x f 按基本三角函数系展开式（9.2.9）上，并注意,,222l y l y k==（ⅰ） )(2)(121202k k k l l b a a dx x f l ++=∑⎰∞=- （9.2.13）（ⅱ） )(2)()(121211020121k k k k k ll b b a a a a dx x f x f l ++=∑⎰∞=- （9.1.14）综上所述，对于任意函数)(x f 可按函数系{)(x y k }进行展开的条件是（1） 函数)(x f 在[]b a ,上是绝对可积的连续函数（今后这条件可放宽，由狄利克雷条件代替）；（2） 函数系必须在[]b a ,上是完备正交系。
以上两个条件才能保证)(x f 展开如下形式：...)(...)()()(1100++++=x y c x y c x y c x f k k （9.2.15）其中系数由下式确定：⎰⎰=bakbak kdxx y dxx y x f c )()()(2（k =0,1,2,…） （9.2.16）对于基本三角函数系（9.1.2），正是因为她在区间[]l l ,-上构成正交完备系，才能让绝对可积的连续函数)(x f 展开成（9.2.9）形式的傅里叶级数，其中系数由公式（9.2.10）确定。
如果用n ∆来表示函数)(x f 与其展开式的前n +1项之部分和的均方偏差，即dx x lk b x l k a a x f l l l nk k k n 210sincos 2)(21⎰∑-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=∆ππ （9.2.17） 要使n ∆取极小值，对所有k 下式必须成立：0=∂∆∂kna （k =0,1,2,…，n ） 0=∂∆∂kna （k =1,2,…，n ） 这就导致求系数k a 及kb 的公式，即傅里叶系数公式（9.2.10a ）及(9.2.10b)，并且这些公式与我们取多少项的部分和求均方偏差无关。
在复杂波形的分析中（海洋潮汐、地震、乐调等），也许更方便的是将傅里叶级数写成如下形式：)cos(2)(10k k k x lk a a x f θπ-+=∑∞= （9.2.20）其中系数k a 及k θ与上述傅里叶级数系数k a 及k b 的关系为k k k k k k a b a a θθsin ,cos ==kkk k k k a b b a a =+=θtan ,222 （k =1,2,3…） （9.2.21） 系数2k a 又称功率谱，它明确地与k 有关，并且在相角k θ改变之后，并不变化。
