北京四中---高中数学高考综合复习 专题十五 向量的概念与运算word资料26页

平面向量的数量积及应用【考纲要求】1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义，了解平面向量的数量积与向量投影的关系，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.2．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题，会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 【知识网络】【考点梳理】 考点一、向量的数量积 1. 定义：已知两个非零向量r a 和r b ，它们的夹角为θ，我们把数量||||cos θr ra b 叫做r a 和r b 的数量积（或内积），记作⋅r r a b ，即||||cos ⋅=θr r r ra b a b .规定：零向量与任一向量的数量积为0. 要点诠释：（1）两向量的数量积，其结果是个数量，而不是向量，它的值为两向量的模与余弦值决定 . （2）在运用数量积公式解题时，一定注意两向量夹角范围0︒≤θ≤180︒.此外，由于向量具有方向性，一定要找准 θ是哪个角.2. 平面向量的数量积的几何意义我们规定||cos θr b 叫做向量r b 在r a 方向上的投影，当θ为锐角时，||cos θrb 为正值；当θ为钝角时，||cos θr b 为负值；当θ=0︒时，||cos ||θ=r r b b ；当θ=90︒时，||cos 0θ=r b ；当θ=180︒时，||cos ||θ=-r rb b .平面向量数量积及应用平面向量的数量积平面向量的应用平面向量的坐标运算⋅r r a b 的几何意义：数量积⋅r r a b 等于r a 的长度||r a 与 r b 在r a 方向上的投影||cos θrb 的乘积.要点诠释：r b 在ra 方向上的投影是一个数量，它可正、可负，也可以等于0.3. 性质：（1） 0⊥⇔⋅=r r r ra b a b(2) 当r a 与r b 同向时，||||⋅=r r r r a b a b ；当r a 与r b 反向时，||||⋅=-r r r r a b a b .特别地2||||⋅==r r r r ，即a a a a (3) cos ||||⋅θ=r r r r a ba b(4) ||||⋅≤r r r r a b a b4. 运算律设已知向量r a 、r b 、rc 和实数λ，则向量的数量积满足下列运算律： (1) ⋅=⋅r r r ra b b a (交换律) (2) ()()()λ⋅=λ⋅=⋅λr r r r r r a b a b a b(3) ()+⋅=⋅+⋅r r r r r r r a b c a c b c要点诠释：①当0≠r r a 时，由0⋅=r r a b 不一定能推出0=r r b ，这是因为对任何一个与r a 垂直的向量rb ，都有0⋅=r r a b ；当0≠r r a 时，⋅=⋅r r r r a b ac 也不一定能推出=r r b c ，因为由⋅=⋅r r r r a b a c ，得()0⋅-=r r ra b c ，即r a 与()-r rb c 垂直.也就是向量的数量积运算不满足消去律.②对于实数,,a b c ，有()()a b c a b c ⋅=⋅，但对于向量来说，()()⋅⋅=⋅⋅r r r r r ra b c a b c 不一定相等，这是因为()⋅⋅r r r a b c 表示一个与r c 共线的向量，而()⋅⋅r r ra b c 表示一个与r a 共线的向量，而r a 与r c 不一定共线，所以()⋅⋅r r r a b c 与()⋅⋅r r ra b c 不一定相等.5. 向量的数量积的坐标运算①已知两个非零向量11(x ,y )=r a ，22(x ,y )=r b ，那么1212x x y y ⋅=+r ra b ；②若(,)x y =r a ，则222,x y ⋅==+=r r r r a a a a③若1122(,),(,)x y x y ==A B，则AB ==u u u r AB 离公式；④若1122(,),(,)x y x y ==r r a b ，则12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=r r r ra b a b6. 重要不等式若1122(,),(,)x y x y ==r ra b ，则||||||||-≤⋅≤r r r r r r a b a b a b1212x x y y ⇔≤+≤ 考点二、向量的应用（1）向量在几何中的应用①证明线段平行，包括相似问题，常用向量平行（共线）的充要条件；1221//x y x y 0⇔=λ⇔-=r r r r a b a b （0→≠r b ）②证明垂直问题，常用垂直的充要条件；12120x x y y 0⊥⇔⋅=⇔+=r r r ra b a b③求夹角问题；利用夹角公式：cos cos ,||||θ⋅=<>==⋅r rr r rr a ba b a b 平面向量,r ra b 的夹角[0]θπ∈，④求线段的长度，可以用向量的线性运算，向量的模==r a或AB ==u u u r AB （2）向量在物理中的应用①向量的加法与减法在力的分解与合成中的应用； ②向量在速度的分解与合成中的应用. 【典型例题】类型一、数量积的概念【高清课堂：平面向量的数量积及应用401196 例4】例1．已知向量5(1,2),(2,4),||(),2a b c a b c a c =--=+⋅=r r r r r r r r若则与的夹角为（ ）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°【解析】∵2=-r r b a ，∴,r r a b 是共线向量，(1,2)+=--r ra b∴5()||||cos ,cos ,2+⋅=+<+>=<+>=r r r r r r r r r r r r a b c a b c a b c a b c ，∴1cos ,2<+>=r r r a b c ，∴向量+r r a b 和r c 所成角为060，又r a 与+r r a b 共线且方向相反，∴向量r a 和r c 所成角为0120，从而选项C 正确.【总结升华】+r r a b 仍旧是一个向量，本题的关键之处就是注意到r a ，r b ，+r ra b 是共线向量，从而将r a 和rc 的夹角问题进行有效的转化.举一反三：【变式1】已知向量r a 与r b 的夹角为120°，1,3==r r a b ，则5-=r ra b ________【答案】7【解析】 22222215(5)25102511013()3492-=-=-⋅+=⨯-⨯⨯⨯-+=r r r r r r r r a b a b a a b b ,∴57-=r ra b .【变式2】已知||2=r a , ||1=r b , r r 与a b 夹角为060，则向量2=+u u r r r m a b 与向量4=-r r r n a b 的夹角的余弦值为________.【答案】147-【解析】由向量的数量积的定义，得0||||cos 21cos 601⋅=⋅θ=⨯⨯=r r r r a b a b∵2=+u u r r r m a b ，4=-r r r n a b ,∴||===u u r m||===r n设m u u r 与n 的夹角为θ，则22(2)(4)2743⋅=+-=-⋅-=-r r r r r r m n a b a b a a b b∴cos 14|||⋅θ===-⋅u u r r u u r u u r m n m n | 即向量m u u r 与n r 的夹角的余弦值为147-.【变式3】两个非零向量r a 、r b 互相垂直，给出下列各式：①0⋅=r r a b ；②+=-r r r ra b a b ；③+=-r r r ra b a b ；④222()+=-r r r r a b a b ；⑤()()0+⋅-=r r r r a b a b . 其中正确的式子有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B【解析】①显然正确；由向量运算的三角形法则知+r r a b 与-r ra b 长度相等，但方向不同，所以②错误；③正确；由向量数量积的运算律可知④正确；只有在=r r a b 时，+r r a b 与-r ra b 才互相垂直，⑤错误，故①③④正确，故选B.例2. 若r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r a b ，()()0-⋅-≤r r r ra cbc ，则+-r r r a b c 的最大值为（ ）A ．21-B ．1C ．2D ．2【答案】B【解析】方法一：()()0-⋅-≤r r r r Q a c b c ，2()0∴⋅-⋅++≤r r r r r r a b c a b c ，又r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r a b ，()1∴⋅+≥r r rc a b ，222222()32()321∴+-=+++⋅-⋅+=-⋅+≤-=r r r r r r r r r r r r r ra b c a b c a b c a b c a b ，∴+-r r ra b c 的最大值为1.方法二：设r a =（1，0），r b =（0，1），r c =（x ，y ），则x 2+y 2=1， -r r a c =（1―x ，―y ），-r r b c =（―x ，1―y ），则()()-⋅-r r r r a c b c =(1―x)(―x)+(―y)(1―y)=x 2+y 2―x ―y=1―x ―y ≤0，即x+y ≥1.又+-r r ra b c =（1―x ，1―y ），∴2222(1)(1)(1)(1)x y x y +-=-+-=-+-r r r a b c ， ①思路一：如图:rc =（x ，y ）对应点在»AB 上，而①式的几何意义为P 点到»AB 上点的距离，其最大值为1.思路二：2222(1)(1)222x y x y x y +-=-+-=+--+r r r a b c32()32()x y x y =+--=-+，由x+y ≥1，∴321+-≤-=r r ra b c ，最大值为1.【总结升华】考查平面向量数量积和模的问题，特别注意有关模的问题一般采用平方解决，考查我们运用知识分析解决问题的能力. 注意方法一中的整体代换的思想，注意方法二中转换为代数运算求最值问题.举一反三：【变式1】若r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r r a b ，()()+⋅+r r r ra b b c 的最大值为________【答案】12+【解析】因为r a 、r b 、r c 均为单位向量，且0⋅=r ra b ，设r a =（1，0），r b =（0，1），(cos ,sin )=θθrc ,()()(1,1)(cos ,1sin )cos 1sin 2sin()14π∴+⋅+=⋅θ+θ=θ++θ=θ++r r r r a b b c ,故()()+⋅+r r r ra b b c 的最大值为12+.【变式2】设向量r a ，r b ，r c 满足1==r r a b ，12⋅=-r r a b ，,60<-->=or r r r a c b c 则r c 的最大值等于（ ） A ．2 B ．3 C ．2 D ．1 【答案】A【解析】由12⋅=-r r a b 得,120<>=or r a b ，设OA =u u u r r a ，OB =u u u r r b ，OC =u u u r r c ，则∠AOB=120°，CA =-u u u r r r a c ，CB =-u u u r r r b c ，∵,60<-->=o r r r ra cbc ，∴∠ACB=60°，∴O 、A 、C 、B 四点共圆。

高中数学必修4平面向量知点一.向量的根本概念与根本运算1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用a,b,c⋯⋯来表示，或用有向段的起点与点的大写字母uuur uuurxiyj(x,y)表示，如：AB几何表示法AB，a；坐表示法a 向量的大小即向量的模〔uuur度〕，作|AB|即向量的大小，作｜a｜向量不能比大小，但向量的模可以比大小．②零向量：度0的向量，0，其方向是任意的，0与任意向量平行零向量a＝0｜a｜＝r r由于0的方向是任意的，且定0平行于任何向量，故在有关向量平行〔共〕的中必看清楚是否有“非零向量〞个条件．〔注意与0的区〕③位向量：模1个位度的向量向量a0位向量｜a0｜＝1④平行向量〔共向量〕：方向相同或相反的非零向量任意一平行向量都可以移到同一直上方向相同或相反的向量，称平行向量作a∥b由于向量可以行任意的平移(即自由向量)，平行向量可以平移到同一直上，故平行向量也称共向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意取，在必区分清楚共向量中的“共〞与几何中的“共〞、的含，要理解好平行向量中的“平行〞与几何中的“平行〞是不一的．⑤相等向量：度相等且方向相同的向量相等向量平移后可以重合， a b大小相等，方向相x1x2同(x1,y1)(x2,y2)y1y2向量加法求两个向量和的运算叫做向量的加法uuur r uuur r ruuur uuuruuurAB a,BC b，a+b=AB BC=AC〔1〕0a a0a；〔2〕向量加法足交律与合律；向量加法有“三角形法〞与“平行四形法〞：1〕用平行四形法，两个向量是要共始点的，和向量是始点与向量的始点重合的那条角，而差向量是另一条角，方向是从减向量指向被减向量2〕三角形法的特点是“首尾相接〞，由第一个向量的起点指向最后一个向量的点的有向段就表示些向量的和；差向量是从减向量的点指向被减向量的点当两个向量的起点公共，用平行四形法；当两向量是首尾接，用三角形法．向量加法的三角形法可推广至多个向量相加：uuu r A Buuu r B Cuuur CDLuuu r PQuuu r QRuuur AR ，但这时必须“首尾相连〞． 3向量的减法 ①相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量记作a ,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：〔i 〕(a)=a ；(ii)a +(a)=( a )+a =0；(iii)假设a 、b 是互为相反向量，那么 a = b ,b = a ,a +b =0②向量减法：向量a加上b 的相反向量叫做 a 与b 的差，记作：a b a (b)求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：a b 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量〔 a 、b 有共同起点〕实数与向量的积：①实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λ a ，它的长度与方向规定如下：〔Ⅰ〕aa ；〔Ⅱ〕当0时，λa 的方向与a 的方向相同；当 0时，λa 的方向与a 的方向相反；当0时，a0，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线 有且只有一个实数 ，使得b = a平面向量的根本定理：如果e 1,e 2是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数1,2使：a 1e 12e 2，其中不共线的向量e 1,e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底特别注意:1〕向量的加法与减法是互逆运算2〕相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件3〕向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线〔即重合〕，而向量平行那么包括共线〔重合〕的情况4〕向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的根本定理，计算向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点例1 给出以下命题：rrrr①假设|a |＝|b |，那么a =b；uuur uuur②假设A ，B ，C ，D 是不共线的四点，那么AB DC 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件；r r r r r r③假设a =b ，b =c ，那么a =c ，r r r r r r④a =b 的充要条件是 |a |=| b |且a // b ；r r r r r r⑤假设a //b ，b //c，那么a //c，其中正确的序号是解：①不正确．两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同．uuu ruuur uuur uuur uuur uuur②正确．∵ABDC ，∴|AB||DC|且AB//DC ，又A ，B ，C ，D 是不共线的四点，∴四边形ABCD 为平行四边形；反之，假设四边形ABCD 为平行四uuur uuu ruuuruuur边形，那么，AB// DC 且|AB||DC|，uuu r uuur因此，AB DC ．③正确．∵r r r ra =b ，∴a ，b 的长度相等且方向相同；r r r r又b ＝c ，∴b ，c 的长度相等且方向相同，r r r r∴a ， c 的长度相等且方向相同，故 a ＝c ．r rr r r r r r r r ④不正确．当a // b 且方向相反时，即使| a |=| b |，也不能得到a =b ，故|a |=|b |且a //b 不是r ra =b 的充要条件，而是必要不充分条件．r 不正确．考虑b =0这种特殊情况．综上所述，正确命题的序号是②③．点评：本例主要复习向量的根本概念．向量的根本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2设A 、B 、C 、D 、O 是平面上的任意五点，试化简：uuu r uuur uuuruuuruuur uuuruuuruuuruuuruuur①ABBCCD，②DB AC BD③OAOCOBCOuuur uuur uuur uuur uuur uuur 解：①原式=(AB BC)CD AC CD AD②原式=③原式=uuur uuur uuur r uuur uuur (DB BD) AC 0 AC ACuuu r uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuu r r uuur(OB OA) (OC CO)AB (OC CO)AB 0A Br rrrrrrrrr例3设非零向量a 、b不共线，c =k a +b ，d =a +k b(kR)，假设c ∥d ，试求krr 解：∵c∥d∴由向量共线的充要条件得：r rc=λd (λR)rrrrrrr即ka +b =λ(a +k b ) ∴(k λ)a+(1λk)b =0 r r又∵a 、b 不共线k1∴由平面向量的根本定理k1 k 0 二.平面向量的坐标表示r r1平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ,j 作为基底由平面向量的根本定理知， rrr r r该平面内的任一向量a 可表示成axi yj ，由于a 与数对(x,y)是一一对应的，r r r因此把(x,y)叫做向量a 的坐标，记作a =(x,y)，其中x 叫作a 在x 轴上的坐标，y 叫做在y 轴上的坐标(1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关平面向量的坐标运算：rx 1,y 1 r x 2 ,y 2 r rx 1x 2,y 1 y 2(1) 假设a,b ，那么a b uuur (2) 假设Ax 1,y 1,Bx 2,y 2，那么AB x 2 x,y 2 y11(3) r r x, y)假设a =(x,y)，那么a =(rrx 2 ,y 2r rx 1y 2 x 2y 1 0(4) 假设ax 1,y 1,b ，那么a//brrx 2 ,y 2 r rx 1 x 2 y 1y 2(5) 假设ax 1,y 1,b ，那么abrry 1y 20假设ab，那么x 1x 2向量的运算向量的加减法，数与向量的乘积，向量的数量〔内积〕及其各运算的坐标表示和性质运 几何方法坐标方法运算性质算类型向 1平行四边形法那么 rra b b a量 2三角形法那么ab(x 1x,y 21y)2的(a b) ca (bc)加法uuuruuur uuurABBC AC向 三角形法那么rraba(b)量ab(x 1x 2,y 1y 2)的减法uuur uuurAB BA uuur uuur uuurOB OA AB向 a 是一个向量,a(x,y)(a)()a量满足:的>0时, a 与a 同向;()aaa 乘<0时,a 与a 异向;法a =0(ab)a b=0时,a ∥bab向r ra?ba?bxx y 1y 2a?bb?a是一个数量1 2的0或(a)ba(b)(a b)数ab0???时,量 ab =0(a b)?ca?cb?c积?a 0且b0时,a 2 |a|2,|a|x 2y 2a?b| a || b |cos ab|a ? b||a||b|,r r r r r r r r r r 例1 向量a r (1,2),b (x,1),u a 2b ，v 2a b ，且u//v ，求实数x 的值r r r r r r r解：因为a (1,2),b (x,1),u a 2b ，v 2ab r (1,2)2(x,1) (2x 1,4) r2(1,2) (x,1) (2 x,3) 所以u ，vr r 又因为u//v所以3(2x1) 4(2 x) 0，即10x51解得x2AC 和OB 〔O 为坐标原点〕交点 P 的坐例2点A(4,0),B(4,4),C(2,6),试用向量方法求直线标uuuruuur(x4,y)解：设P(x,y)，那么OP(x,y),AP因为P 是AC 与OB 的交点所以P 在直线AC 上，也在直线OB 上uuur uuur uuuruuu r即得OP//OB,AP//ACuuuruuur由点A(4,0),B(4,4),C(2,6)得，AC(2,6),OB(4,4)得方程组6(x 4) 2y4x 4y 0x 3解之得3y故直线AC 与OB 的交点P 的坐标为(3,3)三．平面向量的数量积两个向量的数量积：r rr r rrab·=︱ ab两个非零向量 与，它们的夹角为 ，那么︱·︱ ︱cosr r r r 0叫做a 与b 的数量积〔或内积〕 规定0arr rrrab2向量的投影：︱b ︱cos=r∈R ，称为向量b 在a 方向上的投影投影的绝对值称为射影|a|r rrr r3数量积的几何意义： 的长度与b 在 方向上的投影的乘积·等于4向量的模与平方的关系： r r r 2r 2a a a|a|5 乘法公式成立：r r r r r 2 r 2r a b a b ab a r r 2 r 2 r r r 2 r a ba2ab ba 23 r 2 b ；2 r r r 22abb平面向量数量积的运算律：①交换律成立： r r r ra b b a②对实数的结合律成立：r r r rr r Ra bab a br r r rr r r r r r③分配律成立：a b c ac b c c ab特别注意：〔1〕结合律不成立：r r rr rra b ca b c；〔2〕消去律不成立r r r rr rab a c不能得到b crrr rr r〔3〕ab =0不能得到a = 0 或b = 0两个向量的数量积的坐标运算：rrr r x 1x 2 y 1y 2两个向量，那么a ·=8向量的夹角：两个非零向量rruuurruuurr〔0 0180 0a 与b ，作OA =a ,OB =b ,那么∠AOB=〕叫做r r向量a 与b 的夹角rrr r x 1x 2 y 1y 2a?bcos=cosa,br r = 2 2 2 y 2 2a ?b x 1 y 1 x 2当且仅当两个非零向量r r r rr 与其它任何非a 与b 同方向时，θ=00，当且仅当a 与b 反方向时θ=1800，同时0 零向量之间不谈夹角这一问题rr的夹角为90 0rrrr9垂直：如果a 与 b 那么称a 与b 垂直，记作a ⊥b10两个非零向量垂直的充要条件 ：a ⊥ba ·b ＝Ox 1x 2 y 1y 20 平面向量数量积的性质例1判断以下各命题正确与否：rr r 0；〔1〕0a 0；〔2〕0ar r r r r r r〔3〕假设a 0,abac ，那么b c ；r rr r r rr r时成立；⑷假设ab a c ，那么 b c 当且仅当ar r r r r r r r r〔5〕(a b)c a (b c) 对任意a,b,c 向量都成立；rr 2 r 2〔6〕对任意向量a ，有aa解：⑴错； ⑵对；⑶错；⑷错；⑸错；⑹对例2两单位向量r r 0 r r rr r rr r a 与b 的夹角为120 ，假设c 2a b,d 3b a ，试求c 与d 的夹角解：由题意， r r r r 120，a b 1，且a 与b 的夹角为r r r r 0 1 ，所以，ab abcos120 2r 2 rr r r r rr 2 r r r 2 7，Qcc c (2a b)(2a b) 4a 4ab br 7c，r 13同理可得dr rr rr rrrr 2r 217，而cd (2a b)(3ba)7ab 3b 2a2r设为c 与d 的夹角，那么cos2 17 17 91 arccos17917 13 182182点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑例3r 4,3 r1,2 ， r rr rrr的值a，b m a b,n 2ab ，按以下条件求实数rr r r r r 〔1〕m n ；〔2〕m//n ；(3)m nr r r 4 ,3 2, r r r7,8解：m a b n 2a br r 47328052〔1〕mn；9r r4832701；〔2〕m//n2r r42322722524880(3)m n8 2115点评：此例展示了向量在坐标形式下的根本运算。

数学高考向量知识点总结一、向量的概念与表示1. 向量的概念：向量是具有大小和方向的物理量，是指在空间中的矢量。

2. 向量的表示：向量通常用加粗的小写字母（例如a）或者以字母上方加→（例如→a）表示。

二、向量的运算1. 向量的加法：如果a和b是两个向量，那么它们的和记作a+b，它的几何意义是以a和b的起点为端点的对角线的方向和长度。

2. 向量的数乘：数k与向量a相乘的结果是一个新向量，记为ka。

当k>0时，ka的方向与a的方向相同；当k<0时，ka的方向与a的方向相反。

3. 向量的线性组合：设k1，k2，…，kn是任意n个数，a1，a2，…，an是任意n个向量，那么向量C=k1a1+k2a2+…+knan称为向量a1，a2，…，an的线性组合。

三、向量的数量积1. 向量的数量积定义：设a和b是两个向量，那么它们的数量积记作a·b，它的数值等于|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别是向量a和b的模长，θ是a和b之间的夹角。

2. 向量的数量积性质：（1）交换律：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数乘结合：(ka)·b=k(a·b)（4）模长的平方：|a|^2=a·a（5）向量夹角余弦的大小：a·b=|a||b|cosθ3. 向量的正交性：如果a·b=0，则称向量a和b正交，也就是说，两个向量的夹角为90°。

四、向量的叉乘1. 向量的叉乘定义：设a和b是两个向量，那么它们的叉乘记作a×b，它的结果是一个新的向量，其模长等于|a||b|sinθ，方向垂直于a和b所在的平面，并满足右手定则。

2. 向量的叉乘性质：（1）分配律：a×(b+c)=a×b+a×c（2）数乘结合：(ka)×b=k(a×b)（3）零向量叉乘：a×0=0×a=0（4）相等向量叉乘：a×a=0（5）模长的平方：|a×b|^2=|a|^2|b|^2-(a·b)^2（6）向量的三角函数关系：a×b=|a||b|sinθn五、空间平面与直线的向量方程1. 空间平面的向量方程：设A(x1,y1,z1)是平面上的一点，n=[A,B,C]是平面的法向量，那么平面的向量方程可以表示为r·n=d，其中r=[x,y,z]是平面上任意一点的位置向量。

数学高考总复习向量知识点向量是高考数学中的重要知识点，也是中学数学学科的基础内容之一。

它不仅在几何问题中有重要应用，还广泛运用于物理学、计算机科学等学科领域。

在高考复习中，掌握向量的概念、运算法则以及相关应用是非常关键的。

一、向量的概念向量是有大小和方向的物理量。

在几何上，可以用有向线段来表示一个向量，通常用字母加箭头来表示。

例如，向量a可以记作→a。

其中，→表示该线段有方向。

二、向量的运算法则1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。

即，对于任意向量a、b和c，有以下运算法则成立：→a+ →b = →b + →a （交换律）(→a + →b) + →c = →a + (→b + →c) （结合律）2. 向量的数乘一个向量乘以一个实数，称为向量的数乘。

向量数乘的结果是一个新的向量，其大小等于原向量的大小与实数的乘积，其方向与原向量的方向相同（如果实数为正）或相反（如果实数为负）。

例如，若有向量→a和数字k，则有：k→a = →a + →a + ... + →a （共有k个→a相加）3. 向量的减法向量的减法是向量的加法的逆运算。

用向量b减去向量a得到的新向量为b-a。

即：→b - →a = →b + (-→a)其中，-→a表示向量a的反向向量。

三、向量的重要性质1. 平行向量两个向量的方向相同或相反时，称它们为平行向量。

平行向量的大小相等或成比例。

2. 共线向量如果两个向量的方向相同或相反，且它们的起点和终点均在同一直线上，那么称这两个向量为共线向量。

3. 零向量大小为零的向量称为零向量，用0来表示，零向量没有方向。

4. 向量的模向量的模（大小）表示向量的长度。

在平面直角坐标系中，向量→a = (a1, a2)的模记作|→a|。

5. 单位向量模为1的向量称为单位向量。

任何一个非零向量都可以通过除以其模得到一个单位向量。

四、线性相关与线性无关1. 线性相关如果存在不全为零的实数k1、k2、...、kn，使得(k1→a1 + k2→a2 + ... + kn→an) = →0，其中→a1、→a2、...、→an是n个向量，那么称这n个向量线性相关。

向量高考必考知识点总结一、向量的定义向量是数学中一个非常重要的概念，它是一个有大小和方向的量，通常用一个有向线段来表示。

在高等数学中，向量通常表示为一个有序组(a1,a2)，其中a1和a2分别是向量在x 轴和y轴上的分量。

向量的大小通常用|a|表示，在坐标系中表示为一个有向线段，其方向由起点指向终点，表示为→a。

二、向量的线性运算1.向量的加法向量的加法定义为两个向量的对应分量相加，即(a1,a2)+(b1,b2)=(a1+b1,a2+b2)。

在坐标系中，向量的加法就是将两个向量首尾相连的结果，即平行四边形的对角线。

2.向量的数乘向量的数乘定义为一个数与向量的每一个分量相乘，即k*(a1,a2)=(k*a1,k*a2)。

数乘后得到的向量与原向量的方向相同，但大小有所改变。

3.向量的减法向量的减法定义为两个向量的对应分量相减，即(a1,a2)-(b1,b2)=(a1-b1,a2-b2)。

在坐标系中，向量的减法就是将与减去的向量方向相反但大小相同的向量相加。

4.向量的线性组合向量的线性组合指的是通过向量的加法和数乘得到的新向量，即k1*a1+k2*a2+...+kn*an。

线性组合在数学中有很重要的应用，特别在矩阵和线性代数中。

三、向量的数量积1.数量积的定义向量的数量积也称为内积，它表示为a·b=|a|*|b|*cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b 的大小，θ表示a和b之间的夹角。

数量积的结果是一个标量，即一个大小和方向都不具有的量。

2.数量积的性质（1）对称性：a·b=b·a（2）分配律：a·(b+c)=a·b+a·c（3）数量积和数乘的结合：(ka)·b=k(a·b)3.向量的数量积应用数量积在几何中有很多重要的应用，比如求向量的夹角、向量的投影、判断点和线段的位置关系等。

四、向量的几何运算1.向量的模向量的模表示向量的大小，通常表示为|a|。

高中数学向量的定义与运算高中数学中，向量是一个基础且重要的概念。

它不仅在数学领域中有广泛的应用，还在物理、工程等各个领域中起着重要作用。

本文将详细介绍高中数学中向量的定义与运算。

一、向量的定义向量是具有大小和方向的量。

它常用有箭头的字母表示，例如a、b 等。

向量一般用加粗或者在字母上方加箭头表示，如a、a。

向量的大小就是其长度，通常用两点间的直线距离来计算。

二、向量的表示在坐标系中，向量可以通过坐标来表示。

设向量a的起点为A，终点为B，可以用坐标(x₁, y₁)表示起点A的坐标，用坐标(x₂, y₂)表示终点B的坐标。

则向量a可以表示为a = (x₂ - x₁, y₂ - y₁)。

三、向量的运算1. 向量的加法向量的加法可以通过平行四边形法则进行计算。

假设有向量a和向量a，将两个向量的起点连接起来得到一个平行四边形，以这个平行四边形的对角线作为结果向量。

结果向量的起点与第一个向量的起点相同，而终点与第二个向量的终点相同。

用公式表示为a + a = (x₁ + x₂, y₁ + y₂)。

2. 向量的减法向量的减法可以通过加法的逆运算得到。

即将减去的向量取负数，再进行向量的加法。

用公式表示为a - a = a + (-a) = (x₁ - x₂, y₁ -y₂)。

3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个实数。

用公式表示为k a = (kx, ky)，其中k为实数。

4. 向量的数量除法向量的数量除法是指将一个向量的每个分量除以一个非零实数。

用公式表示为a/k = (x/k, y/k)，其中k为非零实数。

5. 向量的点积向量的点积是两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。

用公式表示为a·a = x₁x₂ + y₁y₂。

6. 向量的模长向量的模长是指向量的大小，可以通过勾股定理计算得到。

用公式表示为|a| = √(x² + y²)。

四、向量的性质1. 向量的加法满足交换律和结合律，即a + a = a + a和(a + a) +a = a + (a + a)。

高考向量知识点高考是每个中国学生都将面对的一场考试，而向量是其中数学科目中的一个重要知识点。

向量的概念和计算方法是高考数学必备的基础知识之一，下面我将为大家介绍一些相关的内容。

1. 向量的基本概念向量是有方向和大小的量，它可以用有向线段来表示。

在二维空间中，向量通常用(a, b)表示，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。

向量的大小可以用模长来表示，记作|AB|或|a|，它等于向量的长度。

2. 向量的加减法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新向量的运算。

根据向量的定义，将两个向量的对应分量相加即可得到新向量的对应分量。

例如，(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d)。

向量的减法可以看作是加法的逆运算，即将被减向量取负后与减向量相加。

3. 向量的数量积向量的数量积又称为内积，它表示两个向量的夹角和向量的模的乘积。

数量积的计算方法是将两个向量的对应分量相乘，然后相加。

设向量a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，它们的数量积为a·b = a1b1 + a2b2。

数量积的几何意义是向量a在向量b方向上的投影长度。

4. 向量的向量积向量的向量积又称为叉积，它表示由两个向量所确定的平行四边形的面积和法向量的方向。

向量积的计算方法是通过两个向量的分量之间的运算得到一个新的向量。

设向量a = (a1, a2)和b = (b1, b2)，它们的向量积为a×b = a1b2 - a2b1。

向量积的几何意义是垂直于向量a和b所在的平面的向量。

5. 向量的共线与垂直两个向量共线是指它们的方向相同或相反，可以表示为a = kb，其中k为实数。

而两个向量垂直是指它们的数量积等于零，即a·b = 0。

利用共线和垂直的性质可以解决许多与向量相关的几何问题。

以上是关于高考向量知识点的一些介绍，希望能对大家的备考有所帮助。

在应试过程中，掌握并熟练运用向量的基本概念、加减法、数量积和向量积等知识点，能够提高解题速度和准确性。

平面向量应用举例编稿：丁会敏 审稿：王静伟【学习目标】1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题。

2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.3．体会用向量方法解决实际问题的过程，知道向量是一种处理几何、物理等问题的工具，提高运算能力和解决实际问题的能力。

【要点梳理】要点一：向量在平面几何中的应用向量在平面几何中的应用主要有以下几个方面：（1）证明线段相等、平行，常运用向量加法的三角形法则、平行四边形法则，有时用到向量减法的意义。

（2）证明线段平行、三角形相似，判断两直线（或线段）是否平行，常运用向量平行（共线）的条件：//λ⇔=a b a b （或x 1y 2－x 2y 1=0）。

（3）证明线段的垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形，判断两直线（线段）是否垂直等，常运用向量垂直的条件：0⊥⇔⋅=a b a b （或x 1x 2+y 1y 2=0）。

（4）求与夹角相关的问题，往往利用向量的夹角公式cos ||||θ⋅=a ba b 。

（5）向量的坐标法，对于有些平面几何问题，如长方形、正方形、直角三角形等，建立直角坐标系，把向量用坐标表示，通过代数运算解决几何问题。

要点诠释：用向量知识证明平面几何问题是向量应用的一个方面，解决这类题的关键是正确选择基底，表示出相关向量，这样平面图形的许多性质，如长度、夹角等都可以通过向量的线性运算及数量积表示出来，从而把几何问题转化成向量问题，再通过向量的运算法则运算就可以达到解决几何问题的目的了。

要点二：向量在解析几何中的应用在平面直角坐标系中，有序实数对（x ，y ）既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量，使向量与解析几何有了密切的联系，特别是有关直线的平行、垂直问题，可以用向量方法解决。

常见解析几何问题及应对方法：（1）斜率相等问题：常用向量平行的性质。

（2）垂直条件运用：转化为向量垂直，然后构造向量数量积为零的等式，最终转换出关于点的坐标的方程。

向量模块框架高考要求要求层次重难点平面向量的相关概念①理解平面向量的概念，理解两个向量相B等的含义．②理解向量的几何表示．向量加法与减法 C ①掌握向量加法、减法的运算，并理解向量的数乘C其几何意义．向量②掌握向量数乘的运算及其几何意义，两个向量共线理解两个向量共线的含．B③了解向量线性运算的性质及其几何意义．平面向量的根本定理①了解平面向量的根本定理及其意义．A②掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．③会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．④理解用坐标表示的平面向量共线的条件．平面向量的正交分解及B其坐标表示①理解平面向量数量积的含义及其物理意义．用坐标表示平面向量的C②了解平面向量的数量积与向量投影的加法、减法与数乘运算关系．用坐标表示的平面向量C③掌握数量积的坐标表达式，会进行平共线的条件面向量数量积的运算．数量积④能运用数量积表示两个向量的夹角，C 会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．数量积的坐标表示C用数量积表示两个向量B的夹角①会用向量方法解决某些简单的平面几用数量积判断两个平面C 何问题．向量的垂直关系②会用向量方法解决简单的力学问题与用向量方法解决简单的B 其他一些实际问题．问题知识内容⑴向量的概念：在高中阶段，我们把具有大小和方向的量称为向量．有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运算，可以比拟大小，两个向量不能比拟大小．B ⑵向量的表示：①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量.的方向，线段的长度表示向量的长度．②字母表示法：AB，注意起点在前，A终点在后．⑶相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．可根据右图的正六边形，或根据下题平行四边形讲解相等向量．A BPO CE DE、F、G、H分别是平行四边形 ABCD边AB、DC、BC、AD的中点，O为对角线AC 与BD 的交点，分别写图中与DF ，BH ，AO 相等的向量．D FCGHOAEB解：DF FC GO OH AE EBBH HC AG GDAO OC⑷向量共线或平行： 通过有向线段 AB 的直线，叫做向量AB 的基线．如果向量的基线互相平行或重合，那么称这些向量共线或平行．向量 a 平行于向量b ，记作a ∥b ． 说明：共线向量的方向相同或相反，注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．事实上，在高等数学中，重合直线是平行直线的特殊情形．⑸零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作： 0．零向量的方向不确定，零 向量与任意向量 平行．⑹用向量表示点的位置：任给一定点 O 和向量a ，过点O 作有向线段OAa ，那么点A 相对于点O 位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA 又常叫做点 A 相对于点O 的位置向量．AB AC 3．向量的加法：Da Cbbb ba+bba+baAaaBaCa+b+c b+ccOa+b Ba bA⑴向量加法的三角形法那么：向量a,b，在平面上任取一点A，作AB a，BC b，再作向量AC，那么向量AC叫做a和b的和〔或和向量〕，记作a b，即a b ABBCAC．⑵向量求和的平行四边形法那么：①两个不共线的向量a，b，作AB a，AD b，那么A，B，D三点不共线，以AB，AD为邻边作平行四边形ABCD，那么对角线上的向量ACa b，这个法那么叫做向量求和的平行四边形法那么．②向量的运算性质：向量加法的交换律：abba向量加法的结合律：(a b)ca(b c)关于0：a00a a⑶向量求和的多边形法那么：n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法那么叫做向量求和的多边形法那么．向量的减法：ddca b a+b+c+d bcaBa-bbaOA⑴相反向量：与向量a方向相反且等长的向量叫做a的相反向量，记作a．零向量的相反向量仍是零向量．⑵差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为始点，被减向量的终点为终点的向量．推论：一个向量BA等于它的终点相对于点O的位置向量OA减去它的始点相对于点O的位置向量OB，或简记“终点向量减始点向量〞．⑶一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量3. 数乘向量：定义：实数 和向量a 的乘积是一个向量，记作 a ，且 a 的长 a a<教师备案>判断正误： ， R ．① (a b) a b ；〔√〕 ②( )a a a ；〔√〕③ ( a) ( )a ；〔√〕 ④ a b ( )(a b)．〔×〕向量共线的条件⑴平行向量根本定理：如果 a b ，那么a ∥b ；反之，如果 a ∥b ，且b 0，那么一定存在唯一的一个实数 ，使a b ．⑵单位向量：给定一个非零向量 a ，与a 同方向且长度等于 1的向量，叫做向量 a 的单 位向量．如果 a 的单位向量记作 a 0，由数乘向量的定义可知 a aa 0或a 0 a ．a1．平面向量根本定理：如果e 1和e 2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数 a 1，a 2，使a a 1e 1 a 2e 2．基底：我们把不共线向量 e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作e 1,e 2 ．a 1e 1 a 2e 2叫做向量a 关于基底 e 1,e 2 的分解式．说明：⑴定理中e 1，e 2是两个不共线向量；⑵ a 是平面内的任一向量，且实数对 a 1，a 2是惟一的；⑶平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．<教师备案>⑴ 平面向量根本定理的证明：在平面内任取一点 O ，作OE 1 e 1，OE 2 e 2，OA a ．由于e 1与e 2不平行，可以进行如下作图： 过点A 作OE 2的平行〔或重合〕直线，交直线过点A 作OE 1的平行〔或重合〕直线，交直线于是依据平行向量根本定理，存在两个唯一的实数分别有OMa 1e 1，ONa 2e 2，OE 1于点M ，OE 2于点N ，a 1和a 2N AE 2 e 2Oe 1E 1 M所以aOAOMONa 1e 1 a 2e 2证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使OAxe 1 ye 2，那么a 1e 1a 2e 2xe 1 y ，e 2即(x a 1)e 1(ya 2)e 20，由于e 1 与e 2不平行，如果xa 1与ya 2中有一个不等于 0，不妨设ya 20，那么e 2x a 1e 1，y a 2 由平行向量根本定理，得 e 1与 e 2平行，这与假设矛 盾，因此xa 10，ya 20 ，即x a 1，ya 2．⑵证明A ，B ，P 三点共线或点在线上的方法：、是直线 l 上的任意两点， O 是 l 外一点，那么对直线l 上任意一点P ，A B存在 实数 t ，使OP 关于基底 OA,OB 的分解式为OP (1 t)OA tOB ①，并且满足①式的点 P 一定在l 上．证明：设点P 在直线l 上，那么由平行向量定理知，存在实数t ，使AP tAB t(OBOA)，lP∴OPOAAPOA tOBtOA(1t)OAtOBB设点P 满足等式OP(1 t)OAtOB ，那么APtAB ，即P 在Ml 上．A其中①式可称为直线l 的向量参数方程式，当t1 时，2O点M 是AB 的中点，那么OM1OB)，这是向量AB 的中点的向量表达(OA2式．可推广到OAB 中，假设M 为边AB 中点，那么有OM1(OAOB)存在．22．向量的正交分解与向量的直角坐标运算：⑴向量的直角坐标：如果基底的两个基向量e 1，e 2互相垂直，那么称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点 A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(x,y)，由平面向量根本定理，有 OAxe 1ye 2(x,y)，即点A 的位置向量OA的坐标(x,y)，也就是点A 的坐标；反之，点 A 的坐标也是点 A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．yyaaae 2e 2Oe 1xOe 1x<教师备案>在直角坐标系 xOy 内，分别取与x 轴和y 轴方向相同的两个单位向量 e 1，e 2．这时，我们就在坐标平面内建立了一个正交基底 e 1,e 2，这个基底也叫做直角坐标系xOy 的基底．对于平面内的一个向量a ，由平面向量根本定理可知，有且只有一对实数 a 1，a 2，使得a a 1e 1a 2e 2，这样，平面内的任一向量 a 都可由a 1，a 2唯一确定，我们把有序数对 (a 1,a 2)叫做向量a 的坐标，记作a(a 1,a 2)②．其中ax 轴上的坐标，a叫做a 在 y 轴上的坐标，②式叫做向量的坐标1叫做a 在2表示．⑵向量的直角坐标运算： 设a(a 1,a 2)，b(b 1,b 2)，那么 ①a b (a 1 b 1,a 2 b 2)；②a b (a 1 b 1,a 2 b 2)；③ a (a 1,a 2) (a 1, a 2) 说明：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．<教师备案>假设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么向量ABOB OA(x2x1,y2y1)；一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．3．用平面向量坐标表示向量共线条件：设a(a1,a2)，b(b1,b2)，那么a1b2a2b10就是两个向量平行的条件．假设向量b不平行于坐标轴，即b10，b20，那么两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．<教师备案>根据力与功的计算，引入向量的数量积运算．一个力F作用于一个物体，使该物体位移s，由于图示的力F的方向与位移方向有一个夹角，真正使物体前进的力是F在物体唯一方向上的分力，这个分力与物体位移距离的乘积才是力F做的功．即力F使物体惟一s所做的功W可以用W sFcos计算．向量数量积的物理背景与定义两个向量的夹角：两个非零向量a，b，作OA a，OBb，那么AOB称作向量a和向量b的夹角，记作a,b，并规定0≤a,b≤，在这个规定下，两个向量的夹角被唯一确定了，并且有a,b b,a．当a,b π时，我们说向量a和向量b互相垂直，记作a b．⑵向量的数量积〔内积〕定义2abcos a,b叫做向量a和b的数量积〔或内积〕，记作a b，即abacbos a,b<教师备案>可通过下题，讲解向量的数量积的概念及应用．⑴a5，b6，a,b135，求a b，⑵ab9，ab18，求a,b．解：⑴∵a b abcos a,b56cos135152，ab152⑵∵a b abcos a,b ，∴cosa,b ab91，∴120ab182<教师备案>假设两个向量是首尾相接，需要注意向量所成的角：AB C正ABC的边长为2，设BC a，CA b，AB c，求ab bcca．如图，a与b、b与c、a与c夹角为120，∴原式|a||b|cos120|b||c|cos120|a||c|cos1202216．32⑶向量内积的性质①e是单位向量，那么ae ea acos a,e；②a⊥bab0，且ab0a⊥b；③a 2，即aaa ；④cosa,bab；⑤ab ≤ab ．aaab<教师备案>可通过以下判断题，检验学生关于向量垂直条件的掌握情况2|a|2．〔√〕①对任意向量a ，有a②假设a 0，那么对任一非零向量b ，有ab0；〔×〕③假设a 0 ，a b0，那么b0 ；〔×〕④假设a b 0，那么a,b 至少有一个为零向量；〔×〕⑤假设abac ，那么bc 当且仅当a0时成立；〔×〕2．向量数量积的运算律⑴交换律：a b b a ；(a b) ( a) ba(b)．⑵分配律：(ab)cacb c<教师备案>根据向量数量积的性质及运算律，可得到以下公式：①完全平方公式：(a b)2a 222abb ；②平方差公式：(ab)(ab)22ab3．向量数量积的坐标运算与度量公式⑴向量内积的坐标运算：建立正交基：e 1,e 2，a (a 1,a 2)，b(b 1,b 2)，a ba 1b 1 a 2b 2⑵用向量的坐标表示两个向量垂直的条件： aba 1b 1 a 2b 2⑶向量的长度、距离和夹角公式①a (a 1 ,a 2)，那么aa 12 a 22，即向量的长度等于它的坐标平方和的算术平方根．②如果A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，那么AB (x 2x 1)2(y 2y 1)2．③两个向量夹角余弦的坐标表达式：cosaba 1b 1 a 2b 22222a 1a 2b 1b 2<教师备案>⑴向量内积的坐标运算：ab(a 1e 1 a 2e 2)(b 1e 1 b 2e 2)a 1b 1e 1e 1a 1b 2e 1e 2 a 2b 1e 2e 1a 1b 2e 2e 2 ∵e 1 e 1e 2 e 2 1，e 1 e 2 e 2 e 10，∴得到表达式 aba 1b 1a 2b 2⑵在向量垂直条件中，当b 1b 20时，条件a 1b 1 a 2b 20a 1 a 2 k，可以写成b 2b 1也就是说，如果 a ⊥b ，那么向量(a 1,a 2)与(b 2,b 1)平行，上式中的k 是比例系数．对任意实数k ，向量k( b 2,b 1)与向量(b 1,b 2)垂直．例如，向量(3,4)与向量(4,3)，(12,9)垂直．。

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向量一、平面向量的概念及线性运算1．向量的有关概念名称 定义备注向量 既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度（或称模) 平面向量是自由向量零向量 长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±错误!平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线 共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小 相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律 加法求两个向量和的运算（1）交换律：a ＋b ＝b ＋a 。

（2）结合律:(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c ）．减法求a 与b 的相反向量－b 的和的运算叫做a 与b 的差三角形法则 a －b ＝a ＋(－b )数乘求实数λ与向量a 的积的运算（1)|λa |＝｜λ|｜a ｜；（2)当λ〉0时，λa 的方向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa ＝0λ(μa ）＝(λμ)a ;(λ＋μ）a ＝λa ＋μa ;λ(a ＋b )＝λa ＋λb3。

共线向量定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ,使得b ＝λa 。