九年级数学下册 26.2.3 求二次函数的表达式课件 (新版)华东师大版

b
3 2
因此,所求二次函数解析式为 y 3 x2 3 x 1
22
6
五、学习读一读
待定系数法的步骤 第一步：设定函数的表达式； 第二步：建立方程或方程组,并求解； 第三步：写出函数表达式。
7
小结
y ax2 bx c(a 0) y a(x h)2 k(a 0)
设式
立解
写式
8

分析：为了画出符合要求的模板,通常要先建立适当的 平面直角坐标系,再写出函数表达式,然后根据这个函 数表达式画出图形。
解：以点O为原点,以AB的垂直平分线 为y轴,以1m为单位长度,建立平面直角 坐标系。
设这个二次函数的表达式为y=ax2.把B （2,-0.8）代入,得
-0.8=ax2. a=-0.2
因此,函数表达式是y=-0.2x2.
4
三、学习例7
一个二次函数的图象经过点（0,1）,它的顶点坐标 为（8,9）,求这个二次函数的表达式。 分析：因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 （8,9）,因此,可以设函数的表达式为顶点式。 解：设这个二次函数的表达式为y=a(x-8)2+9.把 点(0,1)代入,得 1=a(0-8)2+9 a＝ 1
26.2.3求二次函数表达式
1
一、温习与练习
• 写出二次函数的一般形式和顶点形式；
y ax2 bx c(a 0) y a(x h)2 k(a 0)
2
二、学习问题2
某建筑物的屋顶设计成横截面为抛物线形（曲线 AOB）的薄壳屋顶。它的拱宽AB为4m,拱高CO为 0.8m。施工前要先制造建筑模板。怎样画出模板 的轮廓呢？
8
因此,这个二次函数的表达式为y= (x-8)2+9.

a-b＋c＝-5， 依题意得 c＝－4，
a＋b＋c＝1，
解得
a＝2， b＝3， c＝－4，
∴这个二次函数的关系式为y＝2x2＋3x－4.
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
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4.已知抛物线与x轴相交于点A(－1，0)，B(1，0)，且 过点M(0，1)，求此函数的表达式． 解：因为点A(－1，0)，B(1，0)是图象与x轴的交点， 所以设二次函数的关系式为y＝a(x＋1)(x－1)． 又因为抛物线过点M(0，1)， 所以1＝a(0＋1)(0－1)，解得a＝－1， 所以所求抛物线的表达式为y＝－(x＋1)(x－1)， 即y＝－x2＋1.
26.3 求二次函数的关系式
2个
1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要 已知几个点的坐标求出它的表达式？
2个
2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤
是什么？
(1)设：（表达式）
待定系数法
(2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组）
(4)还原：（写表达式）
顶点法求二次函数的方法
华师大版九年级下册26.2.3 求二次函数的表达式PPT优秀课件
例1.已知二次函数y＝ax2 ＋ c的图象经过点(2,3)
和(－1,－3)，求这个二次函数的关系式．
解:∵该图象经过点（2,3）和(－1,－3)，
{ { ∴ 3=4a+c，
a=2，
解得
－3=a+c，
c=－5.
∴所求二次函数表达式为 y=2x2－5.
系数？需要几个抛物线上的点的坐标才能求出来？
3个

（来自教材）
知识点 3 用交点式确定二次函数表达式
知3－讲
在解决与二次函数的图象和x轴交点坐标有关的问 题时，使用交点式较为方便。设函数表达式为y=a(xx1)(x-x2) ，找到函数图象与x轴的两个交点，分别记横 坐标为x1和x2,代入公式，再有一个在抛物线上的点的坐 标，即可求出a的值.
知3－讲
再将(－2，0)代入求出a的值．
知2－讲
解： 设二次函数的表达式为y＝a(x－h)2＋k.
∵顶点坐标为
1,
9 2
,
9
∴y＝a(x－1)2－
. 2
把(－2，0)代入得：0＝a·(－2－1)2－
9,
解得a＝ 1 .
2
2
∴该二次函数的表达式为y＝
1
(x－1)2－ 9 ,
即y＝ 1 x2－x－4.
2
2
2
总结
知2－讲
设顶点式求二次函数的表达式，通常有以下三种情况： ①已知顶点坐标； ②已知对称轴或顶点的横坐标； ③已知二次函数的最大(小)值或顶点的纵坐标．
知2－练
1 求图象为下列抛物线的二次函数的表达式： (1)抛物线的顶点在原点，且抛物线经过点（2, 8); (2)抛物线的顶点坐标为（-1，-2)，且抛物线经过 点(1, 10).
知识点 2 用顶点式确定二次函数表达式
知2－讲
已知抛物线的顶点坐标、对称轴或函数的最值时， 通常运用顶点式y＝a(x－h)2＋k来确定二次函数的表 达式；
知2－讲
例2
已知一个二次函数图象的顶点坐标为
1,
9 2
,
且经过点(－2，0)．求该二次函数的表达式．
导引：由y＝于a已(x知－顶h)2点＋坐k，标从为而代1,入 9得2 y,＝a故(x可－设1)顶2－点9式, 2

2

将 yD ＝－3代入 y ＝－ x2＝ ＋1，
故点 D 的坐标为 − + , − 或
+ , − .



当 x ＝0时， y ＝－ ×4＋3＝ ≈2.7＞2.44，


∴球不能射进球门.
典例导思
（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大
高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少
米射门，才能让足球经过点 O 正上方2.25 m处？
（第4题）
（第4题）
典例导思
解：（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后
∴抛物线的解析式为
y＝－（x－ ） 2＋4＝－x 2＋2 x＋1.
典例导思
（2）在抛物线的对称轴上取一点 Q ，同时在抛物线上
取一点 R ，使以 AC 为一边且以点 A 、 C 、 Q 、 R 为顶点
的四边形为平行四边形，求点 Q 和点 R 的坐标.
典例导思
解：（2）设点Q（ ，m）.
（第4题）
典例导思
（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门
（忽略其他因素）；
解：（1）∵8－6＝2，
∴抛物线的顶点坐标为（2，3）.
设抛物线为 y ＝ a （ x －2）2＋3，
（第4题）
把点 A （8，0）代入，得36 a ＋3＝0，解得 a ＝－ ，


∴抛物线的函数表达式为 y ＝－ （ x －2）2＋3.
= ，
+ ＋ = ，
得 + ＋＝ − ， 解得 ＝ − ，
＝ − .
＝ − ，
∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3.
典例导思

1、二次函数的图像经过点A(–1，8)、B(3，0)、 C(0，3)，求这个二次函数的解析式。 解：设二次函数解析式为y=ax²+bx+c .
由已知函数图象过(-1,8),(3,0),(0,3)三点得
a+b+c=0
9a+3b+c=0
c=3
解这个方程组得a=1 ，b=–4，c=3
∴所求二次函数的函数解析式为y=x²-4x+3
x o
a-3=-5, 解得a= -2
故所求的抛物线解析式为 y=－2(x＋1)2-3
即:y=-2x²-4x-5
小试牛刀
1、已知二次函数的图像经过点A(–1， 8)、B(3，0)、C(0，3)，求这个二次函数的 解析式。
2、已知二次函数的图像的顶点坐标为 (–1，16)且过B(3，0) 求这个二次函数的 解析式。
26.2.3求二次函数的解析式
学习目标
1.利用待定系数法，根据 已知条件求二次函数的解析式
2.数学建模思想与数形结 合思想的应用.
学习重难点
利用待定系数法， 根据已 知条件，设出恰当的二次函数
解析式，进行求解。
中考地位
二次函数是中考重点考察 内容之一，中考中占很大的比 例，很多时候都直接或间接的 要求出二次函数的解析式。
y=ax2 (a≠0) （顶点在原点）
y=ax2+k (a≠0)（顶点在y轴） y=a(x-h)2 (a≠0)（顶点在x轴） 顶点式
y=a(x-h)2+k (a≠0)
y=ax 2+bx+c (a≠0)
一般式
2、用待定系数法确定二次函数解析式的基本步骤：
一、设
二、代
三、解

B．0＜x＜2
C．x＜－1或x＞3
D．－1＜x＜3
因为点B在抛物线上，将它的坐标代入（1）， 得 0.8a22 ，所以a=0.2.
因此，函数表达式是 y0.2x2 根据这个函数表达式，容易画出模板的轮廓线.
在解决一些实际问题时，往往需要根据某些条 件求出函数表达式.
例6 一个二次函数的图象经过点（0,1），它的 顶点坐标为（8,9），求这个二次函数的表达式.
所以设二此函数的关系式为 ya(x3)x (5)
又由于抛物线与y轴交于点（0，3），可以得到
3a(03 )0 (5 )解得 a 1
所以，所求二次函数的关系式是
5
y1(x 3 )x ( 5 )1x22x 3
5
55
（4）根据前面的分析，请同学们自己完成．
课堂小结
确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选 择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中 的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可 设如下三种形式：
可求出a的值．
实践与探索
解 （1）设二次函数关系式为 yax2bxc，由已知， 这个函数的图象过（0，-1），可以得到c= -1． 又由于其图象过点（1，0）、（-1，2）两点， 可以得到
a b 1

a

b

3
解这个方程组，得
a=2，b= -1． 所以，所求二次函数的关系式是
y2x22x1
（2）因为抛物线的顶点为（1，-3），所以设二此
实践与探索
函数的关系式为 ya(x1)23又由于抛物线与y轴交
于点（0，1），可以得到 1a(01)23 解得 a 4．所以，所求二次函数的关系式是 y 4 (x 1 )2 3 4 x2 8 x 1

思考 确定二次函数的这三点应满足什么条件？
这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线 可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）.
求翻折与旋转后的函数解析式
例 5 将二次函数 y x 22 1 的图象绕点 2,1 旋转
180 得到的图象满足的解析式为
解： 抛物线 y x 22 1的顶点坐标为 (2,1) ，开口向上
例3 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标
为 (8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，
所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.
又因为它的图象经过点 (0，1)，
所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得 a 1 .
2.已知二次函数y＝ax2＋bx－6的图象经过点A(1，－3)、 B(－1，－3)，则二次函数的表达式为( A ) A．y＝3x2－6 B．y＝x2＋2x－6 C．y＝9x2＋6x－6 D．y＝9x2－6x－6
3.如果抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0，－2)、B(－1，1)两点， 那么此抛物线经过( D ) A．第一、二、三、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限
2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪
些？ 待定系数法
(1) 设：表达式 (2) 代：坐标代入 (3) 解：方程（组） (4) 还原：写表达式
用“一般式”求二次函数表达式
例 1 已知二次函数的图象经过1,0 ，2,0 ，0, 2 三点，
求该函数的解析式.
【分析】根据二次函数图象经过三点，可以设二次 函数一般式求出解析式
点 B(2，－3)，
∴

解：因为当x＝2时，二次函数y＝a(x－h)2有最大值，
所以函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，
所以当x＞2时，y随x的增大而减小．
10．[2021·衡阳期末]在函数y＝2(x＋1)2的图象上有三
点A(1，y1)，B(－3，y2)，C(－2，y3)，则y1，y2，
y3的大小关系是( A )
A．y1＝y2＞y3
象左右平移|h| 个单位得到.抛物线y=a(x-h)²的顶点是
（h,0）,对称轴是x=h.
方法点拨
平移规律：左加右减，横变纵不变.
1. “ 左 加 ” 表 示 当 h ＜ 0 时 ， 函 数 y=a(x － h)2 可 变 形 为
y=a(x+|h|)2 ，其图象可以由函数 y=ax2 的图象向左平移|h|
点坐标为(h，0)，函数最大值为0，因为当2≤x≤5时，与其对应
的函数值y的最大值为－1，所以h不能取2～5(含2与5)之间的
数．当h<2时，函数在x＝2处取最大值－1，把(2，－1)代入y
＝－(x－h)2，解得h＝1或h＝3(不合题意，舍去)；当h>5时，
函数在x＝5处取最大值－1，把(5，－1)代入y＝－(x－h)2，解
得h＝6或h＝4(不合题意，舍去)．综上可知，h的值为1或6.
【答案】 B
12．如图，抛物线y＝a(x＋1)2的顶点为A，与y轴的负半轴交于
点B，且OB＝OA.
(1)求抛物线对应的函数表达式；
解：由题意得A(－1，0)．
因为OB＝OA，所以B(0，－1)．
将B(0，－1)的坐标代入y＝a(x＋1)2，得a＝－1，
左
________个单位得到．
2-2. 抛物线y=2(x－4)2的顶点坐标为________；对称

c＝1，
c＝1，
D．b＝－2，c＝－4
D．y＝－x2＋x＋2
D．b＝－2，c＝－4
(2)二次函数图象过 A，C，B 三点，点 A 的坐标为(－1，0)，点 B 的坐标 为(4，0)，点 C 在 y 轴正半轴上，且 AB＝OC.
解：∵OC＝AB＝5，∴C(0，5)，设 y＝a(x＋1)(x－4)， 代入 C 点坐标得－4a＝5，∴a＝－54，∴y＝－54x2＋145x＋5
第26章 二次函数
26．2.3 求二次函数的表达式
1．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( D ) A．y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8
C．y＝29(x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的 值分别是( D )
Байду номын сангаас
B8．．二y＝次－函3数x2当y－＝2axxx＋2＝＋3 b－x＋1c的时变量，x与y变＝量6y的；部当分对x应＝值如1下时表，： y＝0.
5．抛物线y＝x2＋bx＋c经过A(－2，0)，B(4，0)两点，则这条抛物线所对应的函数表达式为
．
4．如图所示，抛物线的函数表达式为( )
4．如图所示，抛物线的函数表达式为( )
3．一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)
C．b＝－2，c＝4
a＋b＋c＝0，
2．交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)
a＝2，
A解．：by＝＝2－，2cx＝解2＋4 ：4x＋依6 题意得a－b＋c＝6，解得b＝－3，∴y＝2x2－3x＋1
二次函数的表达式三种形式： 二次函数的表达式三种形式：

问题4 已知某一抛物线经过点（-3，0），（-1，0），（0，-3），
求这条抛物线的表达式.
提示：根据抛物线与x轴的交点（x1，0）
（x2，0），可设为二次函数的交点式，即
y=a(x-x1)(x-x2).
这种知道抛物线与x轴的交点，求表达式的
方法叫做交点法.
y
2
1
O
-4 -3 -2 -1-1
-2
-3
A．y=x2+4x+3
B．y=-x2-4x+3
C．y=-x2+4x+3
D．y=x2+4x+3或y=-x2-4x+3
课堂训练
5.（2023秋•余杭区月考）已知二次函数的图象如图所示，
则它的表达式可能是（ C ）
A．y=-4(x-m)2-m2-2
3
B．y=-(x+a)(x-a+1)
5
C．y=-x2-(a+3)x+(− a)
①设函数表达式为y=ax2+bx+c；
②代入后得到一个三元一次方程组；
③解方程组得到a,b,c的值；
④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式.
新知探究
议一议：一个函数的图象经过点A(0,1)，B(1,2)，C(2,1)，你能
确定这个二次函数的表达式吗？你有几种方法？与同
伴进行交流.
方法一： 解：由对称性可知顶点坐标为B(1,2)，
(0，3)，求这条抛物线的表达式.
提示：若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最
值，通常可设顶点式y＝a(x-h)2＋k (a≠0).
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法
叫做顶点法.