湖南省长沙市长郡中学2017-2018学年高三摸底测试文数试题 Word版含答案

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学⾼三数学上第三次⽉考（⽂）试题（含答案）长郡中学2018届⾼三⽉考试卷（三）数学（⽂科）第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．1．集合{}2*70,A x x x x =-<∈N ，则*6,B yy A y ??=∈∈N 中元素的个数为（） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个2．对两个变量,x y 进⾏线性回归分析，计算得到相关系数0.9962r =-，则下列说法中正确的是（） A ．x 与y 正相关B ．x 与y 具有较强的线性相关关系C ．x 与y ⼏乎不具有线性相关关系D ．x 与y 的线性相关关系还需进⼀步确定 3．若不等式2162a bx x b a+<+对任意(),0,a b ∈+∞恒成⽴，则实数x 的取值范围是（） A ．()2,0- B ．()(),20,-∞-+∞U C ．()4,2- D ．()(),42,-∞-+∞U 4．下图程序框图表⽰的算法的功能是（）A ．计算⼩于100的奇数的连乘积B ．计算从1开始的连续奇数的连乘积C ．从1开始的连续奇数的连乘积，当乘积⼤于100时，计算奇数的个数D ．计算135100n ≥L 时的最⼩的n 值5．设{}n a 是公⽐为1q >的等⽐数列，若2010a 和2011a 是⽅程24830x x -+=的两根，则20122013a a +=（）A ．18B ．10C ．25D ．9 6．已知1a P a ??+??为⾓β的终边上的⼀点，且sin β=，则a 的值为（） A ．1 B ．3 C ．13 D ．127．欧拉公式i e cos isin xx x =+（i 为虚数单位）是由瑞⼠著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩⼤到复数，建⽴了三⾓函数和指数函数的关系，它在复变函数论⾥占有⾮常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，2ie 表⽰的复数在复平⾯中位于（）A ．第⼀象限B ．第⼆象限C ．第三象限D ．第四象限 8体的体积为（）A ．16B ．163 C ．83D ．8 9．设函数()()2,211,22x a x x f x x -≥??=-，()n a f n =，若数列{}n a 是单调递减数列，则实数a的取值范围为（） A ．(),2-∞ B ．7,4??-∞ C ．13,8??-∞ D ．13,2810．⼀棱长为6的正四⾯体内部有⼀个可以任意旋转的正⽅体，当正⽅体的棱长取最⼤值时，正⽅体的外接球的表⾯积是（）A ．4πB ．6πC ．12πD ．24π11．抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平⾏于抛物线的对称轴；反之，平⾏于抛物线对称轴的⼊射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线24y x =的焦点为F ，⼀条平⾏于x 轴的光线从点()3,1M 射出，经过抛物线上的点A 反射后，再经抛物线上的另⼀点B 射出，则ABM ?的周长为（） A．7112+ B．9 C．9 D．831212．若函数()f x 在区间A 上，对,,a b c A ?∈，()()(),,f a f b f c 为⼀个三⾓形的三边长，则称函数()f x 为“三⾓形函数”.已知函数()ln f x x x m =+在区间21,e e ??上是“三⾓形函数”，则实数m 的取值范围为（）A ．21e 2,e e ??+B ．2,e ??+∞C ．1,e ??+∞ ?D ．2e 2,e ??++∞第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知()1i 1i x y +=+，其中,x y 是实数，i 是虚数单位，则i x y += ．14．若双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上存在⼀点P 满⾜以OP 为边长的正⽅形的⾯积等于2ab （其中O 为坐标原点），则双曲线的离⼼率的取值范围是．15．已知平⾯上的单位向量1e u r 与2e u r 的起点均为坐标原点O ，它们的夹⾓为3π，平⾯区域D由所有满⾜12OP e e λµ=+uu u r u r u r 的点P 组成，其中100λµλµ+≤??≤??≤?，那么平⾯区域D 的⾯积为．16．()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()()121,0212,22x x f x f x x -?-<≤?=?->??，则函数()()1g x xf x =-在[)6,-+∞上的所有零点之和为．三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．）17．在ABC ?中，3B π=，2BC =.（1）若3AC =，求AB 的长；（2）若点D 在边AB 上，AD DC =，DE AC ⊥，E 为垂⾜，2ED =，求⾓A 的值.18．如图1，在矩形ABCD 中，4AB =，2AD =，E 是CD 的中点，将ADE ?沿AE 折起，得到如图2所⽰的四棱锥1D ABCE -，其中平⾯1D AE ⊥平⾯ABCE .（1）证明：BE ⊥平⾯1D AE ；（2）设F 为1CD 的中点，在线段AB 上是否存在⼀点M ，使得MF ∥平⾯1D AE ，若存在，求出AMAB的值；若不存在，请说明理由. 19．已知具有相关关系的两个变量,x y 之间的⼏组数据如下表所⽰：（1）请根据上表数据在⽹格纸中绘制散点图；（2）请根据上表提供的数据，⽤最⼩⼆乘法求出y 关于x 的线性回归⽅程ybx a =+，并估计当20x =时，y 的值；（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，从这五个点中随机抽取2个点，求这两个点都在直线240x y --=的右下⽅的概率.（参考公式：1221ni ii nii x y nx ybxnx==-=-∑∑，??ay bx =-） 20．已知圆22:650F x y y +-+=，某抛物线的顶点为原点O ，焦点为圆⼼F ，经过点F 的直线l 交圆F 于,N S 两点，交此抛物线于,M T 两点，其中,S T 在第⼀象限，,M N 在第⼆象限.（1）求该抛物线的⽅程；（2）是否存在直线l ，使52NS 是MN 与ST 的等差中项？若存在，求直线l 的⽅程；若不存在，请说明理由. 21．已知()1ln a f x x a x x-=--，其中a ∈R . （1）求函数()f x 的极⼤值点；（2）当[)1,11e ,e a ?∈-∞+++∞ ??U 时，若在1,e e上⾄少存在⼀点0x ，使()0e 1f x >-成⽴，求a 的取值范围.请考⽣在22、23两题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分． 22．选修4-4：坐标系与参数⽅程。

湖南省长沙市长郡中学2017届⾼三摸底测试⽂数试题含答案⽂科数学第Ⅰ卷（共60分）⼀、选择题：本⼤题共12个⼩题,每⼩题5分,共60分.在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1.复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平⾯内对应的点是（） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)--2.已知函数(5),2(),22(),2xf x x f x e x f x x +>??=-≤≤??-<-?，则(2016)f -=（）A ．2e B ．e C ．1 D ．1e3.抛掷两颗质地均匀的骰⼦，则向上的点数之积为6的概率等于（） A ．118 B ．19 C ．16 D ．5364.设,,a b c 为三⾓形ABC 三边长，1,a b c ≠<，若log log 2log log c b c b c b c b a a a a +-+-+=，则三⾓形ABC 的形状为（）A ．锐⾓三⾓形B ．直⾓三⾓形C ．钝⾓三⾓形D ．⽆法确定5.如图所⽰，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MFF P =，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上⼀点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN += （）A ．10B ．5C ．6D ．36.若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（）A ．13B ．13-C ．79D ．79-7.⼀个正三棱柱的侧棱长和底⾯边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所⽰，侧视图是⼀个矩形，则侧视图的⾯积是（）A ．8B ．．4 D ．8.定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最⼤长度时实数a 的值为（）A B ．-3 C ．1 D ．3 9.已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的⼤致图象为（）10.执⾏如图所⽰的程序框图，若输⼊x 的值为4，则输出的结果是（） A ．1 B ．12-C ．54-D ．138-11.已知⾮零向量,a b 满⾜||2||a b =，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b 夹⾓的取值范围是（）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 12.若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．1[1,]3-D ．1[1,]3--第Ⅱ卷（共90分）⼆、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.在正⽅体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为⾃然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 14.已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的⼀条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜⾓为 .15.设,x y 满⾜不等式211y x y x y ≤??+≥??-≤?，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最⼩值为 .16.抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ?为等边三⾓形，则p = .三、解答题（本⼤题共6⼩题，共70分.解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本⼩题满分12分）已知数列{}n a 的⾸项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性.18. （本⼩题满分12分）如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ??均是等边三⾓形，且平⾯SEF ⊥平⾯ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当a =S ABC -的体积；（2）a 为何值时，BE ⊥平⾯SCO .19. （本⼩题满分12分）国内某知名⼤学有男⽣14000⼈，⼥⽣10000⼈，该校体育学院想了解本校学⽣的运动状况，根据性别采取分层抽样的⽅法从全校学⽣中抽取120⼈，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：⼩时，该校学⽣平均每天运动的时间范围是[0,3]）. 男⽣平均每天运动时间分布情况：⼥⽣平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男⽣平均每天运动的时间（结果精确到0.1）；（2）若规定平均每天运动的时间不少于2⼩时的学⽣为“运动达⼈”，低于2⼩时的学⽣为“⾮运动达⼈”.①请根据样本估算该校“运动达⼈”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下⾯22?列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达⼈’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：20()P K k ≥ 0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 0k2.7063.8415.0246.6357.87910.82820. （本⼩题满分12分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离⼼率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的⽅程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆⼼相交于,P Q 两点（,,,A P B Q ⾃上⾄下排列），O 为坐标原点，95OA OB ?=-，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的⽅程.21. （本⼩题满分12分）已知函数ln ()kx kf x e+=（k 为常数， 2.71828e =是⾃然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平⾏. （1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -?><+.请考⽣在22、23、24三题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分. 22.（本⼩题满分10分）选修4-1：⼏何证明选讲如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10BC DB ==.（1）求AB 的长；（2）求CFDE.23. （本⼩题满分10分）选修4-4：坐标系与参数⽅程已知曲线1C 的参数⽅程为1cos 3sin x t y t αα=-+??=+?（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建⽴坐标系，曲线2C 的极坐标⽅程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 24. （本⼩题满分10分）选修4-5：不等式选讲设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试⽐较1ab +与a b +的⼤⼩；（2）设max A 表⽰数集A 中的最⼤数，且h=，求h 的范围.参考答案⼀、选择题 ABBBA ABDAC BC ⼆、填空题13. (1,)+∞ 14. 4π15. -4 16. 三、解答题17.（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n na a n ++=+≥⼜由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是⼀个⾸项为5，公⽐3q =的等⽐数列，∴1*531()n n a n N -=?-∈.（2）∵'111()2n n n f x a a x na x --=+++，∴'11(1)2n n f a a na -=+++120(531)2(531)(531)n n n --=?-+?-++?-1230(1)5[323333]2n n n n n n ---+=+?+?++?-令1230323333n n n S n ---=+?+?++?，则即15315(6)42n n n n b +?-+=-⽽215315(1)(7)42n n n n b ++?-++=-，∴作差得：11537022n n n b b n +?-=--> ∴{}n b 是单调递增数列.18.（1）平⾯SEF ⊥平⾯ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，∴SO ⊥平⾯ABC ，即3142S ABC ABC SO V S SO -?==?=.（2）平⾯SEF ⊥平⾯ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，∴SO ⊥平⾯ABC ，故SO BE ⊥，要使BE ⊥平⾯SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =，∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平⾯SCO .19.（1）由分层抽样得：男⽣抽取的⼈数为14000120701400010000=+⼈，⼥⽣抽取⼈数为1207050-=⼈，故5,2x y ==，则该校男⽣平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570+++++≈故该校男⽣平均每天运动的时间约为1.5⼩时；（2）①样本中“运动达⼈”所占⽐例是2011206=，故估计该校“运动达⼈”有1(1400010000)40006+=⼈；②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ?-?==≈故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达⼈’与性别有关”20.（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a=，解得2,1a b c ==，∴椭圆C 的⽅程为22143x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率k 存在，设l 的⽅程为(1)y k x =-，联⽴椭圆⽅程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴2122934k y y k =-+.∴21212212534k OA OB x x y y k+?=+=-+. ∵95OA OB ?=-，∴221259345k k +-=-+，解得：23k =. 由题意可得：||||AP BQ =等价于||||AB PQ =. 设圆E 的半径为r ，∵21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ =将23k =代⼊||||AB PQ =解得：2331100r =.故所求直线l 的⽅程为1)y x =-0y -=0y +=；圆E 的⽅程为22331(2)100x y -+=. 21．（1）由ln ()x x k f x e +=，得'1ln ()xkx x x f x xe --=，(0,)x ∈+∞. 由已知，得'1(1)0k f e-==，∴1k = （2）由（1），得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，(0,)x ∈+∞ 设()1ln h x x x x =--，则'()ln 2h x x =--，(0,)x ∈+∞令'()0h x =，得2x e -=.当20x e -<<时，'()0h x >，∴()h x 在2(0,)e -上是增函数；当2x e ->时，'()0h x <，∴()h x 在2(,)e -+∞上是减函数. 故()h x 在(0,)+∞上的最⼤值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+. 设()(1)x x e x ?=-+，则'()10x x e ?=->，(0,)x ∈+∞，∴()x ?在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ??>=，即(1)0xe x -+>，∴101xx e +<<. ∴21()()1x x g x h x e e-+=<+. 因此，对任意0x >，2()1g x e -<+.22．（1）根据弦切⾓定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴ABC ?∽DBA ?，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =?=，AB =（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =?，2DA DB DE =?，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=?（*）由ABC ?∽DBA ?，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，⼜51102CB DB ==，由（*）得1CFDE=. 23．（1）点)4π对应的直⾓坐标为(1,1)，由曲线1C 的参数⽅程知，曲线1C 是过点(1,3)-的直线，故曲线1C 的⽅程为20x y +-=，⽽曲线2C 的直⾓坐标⽅程为22220x y x y +--=，联⽴得2222020x y x y x y ?+--=?+-=?，解得：1120x y =??=?，2202x y =??=?，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+??=+?代⼊⽅程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，⽽126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===.24．（1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<，1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+（2）∵h≥，h ≥h ≥∴2234()4()428a b a b abh ab ab ab++?≥>≥= ∴(2,)h ∈+∞.。

湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2017-2018学年高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（）A．1B．2C．3D．42．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=23．（5分）设两个p、q，其中p：∀x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，则下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得最小值时，点B的个数是（）A．1B．2C．3D．无数个5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）A．3B．3πC．9D．9π6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）A．8B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{}的前n项和为S2015的值为（）A．B．C．D．8．（5分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n （m，n∈R），则=（）A．B．C．D．19．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（）A．s inx3=1 B．s inx3=x3cosx3C．s inx3=x3tanx3D．s inx3=kcosx310．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（）A．2B．18 C．2或18 D．4或36二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数的虚部是．12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是．14．（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得=m，则常数m的值是．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.63517．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{b n}前n项和为S n，且4S n=3b n﹣a1．（1）求a n，b n；（2）当n∈N*时，求c n=的最小值与最大值．19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．20．（13分）已知椭圆C：+=1和圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）交于A，B两点．（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．湖南省长沙市长郡中学等十三校联考2015届高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知集合A、{1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，则实数m是（）A．1B．2C．3D．4考点：并集及其运算．专题：集合．分析：由A，B，以及A与B的并集，确定出m的值即可．解答：解：∵A={1，3，m}，B={3，4}，A∪B={1，2，3，4}，∴m=2，故选：B．点评：此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键．2．（5分）过点（2，）且平行于极轴的直线的坐标方程为（）A．ρsinθ=B．ρcosθ=C．ρsinθ=2 D．ρcosθ=2考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：由点（2，）可得直角坐标．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即可得出．解答：解：由点（2，）可得直角坐标为，即．设P（ρ，θ）为所求直线上的任意一点，则，即．故选：A．点评：本题考查了直线的极坐标方程、极坐标与直角坐标的互化，考查了计算能力，属于基础题．3．（5分）设两个p、q，其中p：∀x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0恒成立；q：当＜a＜1时，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，则下列为真的是（）A．p∧q B．￢p∧￢q C．￢p∧q D．p∧￢q考点：复合的真假．专题：简易逻辑．分析：先判断出p，q的真假，再判断出复合的真假，从而得到答案．解答：解：p：∀x∈R，不等式x2+2x﹣1＞0不恒成立，∴p是假，q：当＜a＜1时，0＜4a﹣3＜1，函数f（x）=（4a﹣3）x在R上为减函数，∴q是真，∴￢p∧q是真，故选：C．点评：本题考查了复合的判断，考查了不等式以及指数函数的性质，是一道基础题．4．（5分）设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x，y）满足，则取得最小值时，点B的个数是（）A．1B．2C．3D．无数个考点：向量在几何中的应用．专题：计算题；数形结合．分析：先画出点B（x，y）满足的平面区域，再把所求问题转化为求，x+y的最小值，借助于图象以及线性规划知识即可求得结论．解答：解：先画出点B（x，y）满足的平面区域如图，又因为=x+y．所以当在点A（0，1）和点B（1，0）处时，x+y最小．即满足要求的点有两个．故选B．点评：本题主要考查向量在几何中的应用以及数形结合思想的应用，是对基础知识的综合考查，属于基础题．5．（5分）若一个空间几何体的三个视图都是直角边长为1的等腰直角三角形，则这个空间几何体的外接球的表面积（）A．3B．3πC．9D．9π考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，即可得出．解答：解：由三视图可知：该几何体是一个三棱锥，如图所示，AB=AC=AD=1，且AB，AC，AD两两垂直．把此三棱锥补成正方体，则这个空间几何体的外接球的直径为此正方体的对角线，因此这个空间几何体的外接球的表面积S==3π．故选：B．点评：本题考查了三棱锥的三视图、正方体的外接球的表面积计算，考查了计算能力，属于基础题．6．（5分）函数y=sin（πx+φ）（φ＞0）的部分图象如图所示，设P是图象的最高点，A，B是图象与x轴的交点，把∠APB=θ，则tanθ的值是（）A．8B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意求出函数的周期与最值，过点P作PD⊥x轴于D，解出∠APD与∠BPD的正切值，利用两角和的正切函数求出tanθ．解答：解：由题意可知T==2，最大值为1；过P作PD⊥x轴于D，则AD==，DB=，DP=1，所以tan∠APD=与tan∠BPD=，所以tanθ=tan（∠APD+∠BPD）==8．故选：A．点评：本题考查三角函数的图象与两角和的正切函数公式的应用，题目新，考查理解能力、计算能力．7．（5分）已知函数f（x）=x2+2bx的图象在点A（0，f（0））处的切线l与直线x﹣y+3=0平行，若数列{}的前n项和为S2015的值为（）A．B．C．D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次函数的性质；数列的求和．专题：函数的性质及应用；点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据导数的定义求出函数f（x）的解析式，然后求出数列的通项公式，从而得到答案．解答：由题可知函数f（x）的图象在点A处的切线l的斜率为1，又f′（x）=2x+2b，故f′（0）=2b=1，即b=，从而f（x）=x2+x．故．所以=．故选：D．点评：本题主要考察导数的意义及数列的前n项和求法．8．（5分）已知||=1，||=，•=0，点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，设=m+n （m，n∈R），则=（）A．B．C．D．1考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：计算题；平面向量及应用．分析：依题意建立直角坐标系，加上点C在∠AOB内的限制，可得点C的坐标，在直角三角形中由正切函数的定义可求解．解答：解：因为•=0，所以⊥，故可建立直角坐标系，则=（1，0），=（0，），故=m+n=m（1，0）+n（0，）=（m，n），又点C在∠AOB内，且∠AOC=60°，所以tan60°=，所以=1故选：D．点评：本题为向量的基本运算，建立直角坐标系，利用坐标解决问题是一种非常有效的方法，属基础题．9．（5分）已知直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）其中x1＜x2＜x3，则有（）A．s inx3=1 B．s inx3=x3cosx3C．s inx3=x3tanx3D．s inx3=kcosx3考点：正弦函数的图象；同角三角函数间的基本关系．专题：数形结合．分析：由题意画出函数的图象，利用导函数的函数值就是直线的斜率，求出关系式，即可得到选项．解答：解：因为直线y=kx（k＞0）与函数y=|sinx|的图象恰有三个公共点，如图所以函数y=|sinx|在x∈（π，2π）时函数为y=﹣sinx，它的导数为：y′=﹣cosx，即切点C（x3，y3）的导函数值就是直线的斜率k，所以k=，因为x∈（π，2π）∴，即，sinx3=x3cosx3故选B．点评：本题是中档题，考查导数的应用，函数的作图能力，分析问题解决问题的能力，考查数形结合的思想．10．（5分）已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F，A（3，t）（t＞0）为抛物线C上一点，过点A的直线l交x轴的正半轴于点D，且△ADF为正三角形，则p=（）A．2B．18 C．2或18 D．4或36考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的焦半径公式，结合等边三角形的性质，求出的p值．解答：解：当点A的横坐标为3时，过点A作AG⊥x轴于G，|AF|=3+，∴|FD|=|AF|=3+．∵△ADF为正三角形，∴|FG|=|FD|=+．又∵|FG|=|OG|﹣|OF|=3﹣，∴3﹣=+∴p=2．故选：A．点评：本题考查了抛物线的定义的应用、标准方程求法，比较基础．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）复数的虚部是﹣1．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解答：解：∵=，∴复数的虚部是﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．12．（5分）某校早上8：00开始上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30～7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为（用数字作答）．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={（x，y）|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，由图根据几何概率模型的规则求解即可．解答：解：设小张到校的时间为x，小王到校的时间为y．（x，y）可以看成平面中的点试验的全部结果所构成的区域为Ω={（x，y|30≤x≤50，30≤y≤50}是一个矩形区域，对应的面积S=20×20=400，则小张比小王至少早5分钟到校事件A={x|y﹣x≥5}作出符合题意的图象，则符合题意的区域为△ABC，联立得C（45，50），联立得B（30，35），则S△ABC=×15×15，由几何概率模型可知小张比小王至少早5分钟到校的概率为=，故答案为：．点评：本题考查几何概率模型与模拟方法估计概率，求解的关键是掌握两种求概率的方法的定义及规则，求出对应区域的面积是解决本题的关键．13．（5分）图1是某学生的数学考试成绩茎叶图，第1次到14次的考试成绩依次记为A1，A2，…，A14．图2是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图．那么算法流程图输出的结果是10．考点：茎叶图；循环结构．专题：阅读型．分析：根据流程图可知该算法表示统计14次考试成绩中大于等于90的人数，结合茎叶图可得答案．解答：解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加14次考试成绩超过90分的人数；根据茎叶图的含义可得超过90分的人数为10个故答案为：10点评：本题主要考查了循环结构，以及茎叶图的认识，解题的关键是弄清算法流程图的含义，属于基础题．14．（5分）设F1、F2分别为双曲线=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点．若在双曲线右支上存在点P，满足|PF2|=|F1F2|，且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率是．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，进而求出离心率．解答：解：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理可知|PF1|=2=4b，根据双曲定义可知4b﹣2c=2a，整理得c=2b﹣a，代入c2=a2+b2整理得3b2﹣4ab=0，求得=，∴e=═．故答案为：．点评：本题主要考查三角与双曲线的相关知识点，突出了对计算能力和综合运用知识能力的考查，属中档题．15．（5分）已知函数f（x）=sinx+cosx，x∈，若存在常数m∈R，满足：对任意的x1∈，都存在x2∈，使得=m，则常数m的值是．考点：两角和与差的正弦函数．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用两角和的正弦公式化简化简解析式，由x的范围求出的范围，由正弦函数的性质求出f（x）的值域，再由题意求出m的值即可．解答：解：由题意知，函数f（x）=sinx+cosx=，因为x∈，所以∈，则当x=π时，即=时，函数f（x）取最小值是=﹣1，当x=时，即=时，函数f（x）取最大值是，所以函数f（x）的值域是，根据题意可得，m=，故答案为：．点评：本题考查正弦函数的性质，两角和的正弦公式，熟练掌握公式和定义是解题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共75分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）16．（12分）有甲乙两个班进行数学考试，按照大于等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下列联表．优秀非优秀总计甲班10乙班30合计105已知在全部105人中随机抽取1人为优秀的概率为．（1）请完成上面的联表；（2）根据列联表的数据，若按95%的可靠性要求，能否认为“成绩与班级有关系”；（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生抽取一人：把甲班10优秀的学生按2到11进行编号，先后两次抛掷一枚骰子，出现的点数之和为被抽取的序号．试求抽到6号或10号的概率．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．概率表P（K2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635考点：独立性检验．专题：应用题．分析：（Ⅰ）由全部105人中抽到随机抽取1人为优秀的概率为，我们可以计算出优秀人数为30，我们易得到表中各项数据的值．（2）我们可以根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案（3）本小题考查的知识点是古典概型，关键是要找出满足条件抽到6或10号的基本事件个数，及总的基本事件的个数，再代入古典概型公式进行计算求解．解答：解：（1）优秀非优秀总计甲班10 45 55乙班20 30 50合计30 75 105（2）根据列联表中的数据，得到k2=≈6.109＞3.841因此有95%的把握认为“成绩与班级有关系”．（3）设“抽到6或10号”为事件A，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为（x，y）．所有的基本事件有（1，1）、（1，2）、（1，3）、（6，6），共36个．事件A包含的基本事件有：（1，5）、（2，4）、（3，3）、（4，2）、（5，1）（4，6）、（5，5）、（6、4），共8个∴P（A）==．点评：独立性检验的应用的步骤为：根据已知条件将数据归结到一个表格内，列出列联表，再根据列联表中的数据，代入公式K2=计算出k2值，然后代入离散系数表，比较即可得到答案．17．（12分）如图，直二面角D﹣AB﹣E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE．（1）求证：AE⊥平面BCE；（2）求BF与平面ABCD所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）由线面垂直得BF⊥AE，从而平面ABCD⊥平面ABE，由BC⊥AB，得BC⊥平面ABE，从而BC⊥AE，由此能证明AE⊥平面BCE．（2）取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，由已知得∠FBG为BF 与平面ABCD所成的角，由此能求出BF与平面ABCD所成的角的正弦值．解答：（1）证明：∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，又BC⊥AB，∴BC⊥平面ABE，∴BC⊥AE，又BF⊂平面BCE，BC⊂平面BCE，BF∩BC=B，∴AE⊥平面BCE．（2）解：取AB的中点O，连结OC、OE，过F作FG∥OE，交OC于G，∵二面角D﹣AB﹣E为直二面角，∴平面ABCD⊥平面ABE，∴OE⊥平面ABCD，∴FG⊥平面ABCD，∴∠FBG为BF与平面ABCD所成的角，由（1）知，AE⊥平面BCE，∴AE⊥EB，又AE=EB，AB=2，AE=BE=，EO=1，在直角三角形BCE中，CE==，BF===，FC=，∴FG=，在直角三角形BGF中，sin==，∴BF与平面ABCD所成的角的正弦值为．点评：本题考查直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的性质定理、勾股定理、二面角的求解等基础知识和空间向量的立体几何中的应用，意在考查方程思想、等价转化思想等数学思想方法和考生的空间想象能力、逻辑推理能力和运算求解能力．18．（12分）已知等差数列{a n}中，a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，数列{b n}前n项和为S n，且4S n=3b n﹣a1．（1）求a n，b n；（2）当n∈N*时，求c n=的最小值与最大值．考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：综合题；等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列通项的性质，求出公差，可求等差数列{a n}的通项，利用再写一式，两式相减，可得数列{b n}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列，可求数列{b n}的通项；（2）分类讨论，求出c n=的最小值与最大值．解答：解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，则∴a1+a3+a5=21，a2+a4+a6=27，∴3a3=21，3a4=27，∴a3=7，a4=9，∴d=2，∴a n=a3+2（n﹣3）=2n+1，∴a1=3，∴4S n=3b n﹣3，①n=1时，4S1=3b1﹣3，∴b1=﹣3，n≥2时，4S n﹣1=3b n﹣1﹣3②，∴①﹣②整理得b n=﹣3b n﹣1，∴数列{b n}是以﹣3为首项，﹣3为公比的等比数列，∴b n=（﹣3）n；（2）c n==，n为奇数时，c n=4﹣，∵3n+1≥4，（n=1时取等号）∴≤4﹣＜4，n为偶数时，c n=4+，∵3n﹣1≥8，（n=2时取等号）∴4＜4+≤，综上，≤c n≤，c n≠4，∴c n=的最小值，最大值是．点评：本题考查等差数列于等比数列的定义，通项公式，考查数列递推式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．（13分）长沙市某棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示．经规划调研确定，棚改规划建筑用地区域近似地为半径是R的圆面．该圆面的内接四边形ABCD是原棚户建筑用地，测量可知边界AB=AD=4万米，BC=6万米，CD=2万米．（1）请计算原棚户区建筑用地ABCD的面积及圆面的半径R的值；（2）因地理条件的限制，边界AD、DC不能变更，而边界AB、BC可以调整，为了提高棚户区改造建筑用地的利用率，请在圆弧ABC上设计一点P；使得棚户区改造的新建筑用地APCD的面积最大，并求最大值．考点：解三角形的实际应用．专题：应用题；综合题．分析：（1）连接AC，根据余弦定理求得cos∠ABC的值，进而求得∠ABC，然后利用三角形面积公式分别求得△ABC和△ADC的面积，二者相加即可求得四边形ABCD的面积，在△ABC中，由余弦定理求得AC，进而利用正弦定理求得外接圆的半径．（2）设AP=x，CP=y．根据余弦定理求得x和y的关系式，进而根据均值不等式求得xy的最大值，进而求得△APC的面积的最大值，与△ADC的面积相加即可求得四边形APCD面积的最大值．解答：解：（1）因为四边形ABCD内接于圆，所以∠ABC+∠ADC=180°，连接AC，由余弦定理：AC2=42+62﹣2×4×6×cos∠ABC=42+22﹣2×2×4cos∠ADC、所以cos∠ABC=，∵∠ABC∈（0，π），故∠ABC=60°．S四边形ABCD=×4×6×sin60°+×2×4×sin120°=8（万平方米）．在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cos∠ABC=16+36﹣2×4×6×．AC=2．由正弦定理==2R，∴2R===，∴R=（万米）．（2）∵S四边形APCD=S△ADC+S△APC，又S△ADC=AD•CD•sin120°=2，设AP=x，CP=y．则S△APC=xy•sin60°=xy．又由余弦定理AC2=x2+y2﹣2xycos60°=x2+y2﹣xy=28．∴x2+y2﹣xy≥2xy﹣xy=xy．∴xy≤28，当且仅当x=y时取等号∴S四边形APCD=2+xy≤2+×28=9，∴最大面积为9万平方米．点评：本题主要考查了解三角形的实际应用，正弦定理和余弦定理的应用以及基本不等式求最值．考查了基础知识的综合运用．20．（13分）已知椭圆C：+=1和圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）交于A，B两点．（1）若A，B两点关于原点对称，求圆M的方程；（2）若点A的坐标为（0，2），O为坐标原点，求△OAB的面积．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意可得OM⊥AB，求出OM以及OM的斜率，再求出直线AB的斜率和方程，与椭圆的方程联立求出A、B的坐标，再求出|AB|和半径r，即可求出圆M的方程；（2）设直线AB的方程是y=kx+2，分别和椭圆、圆的方程联立求出A、B的坐标和直线AB 的方程，再由点到直线的距离公式和三角形的面积公式，求出△OAB的面积．解答：解：（1）∵A，B两点关于原点对称，∴圆M的弦AB中点是O，则OM⊥AB，由圆M：（x+3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）得，M（﹣3，2），则点M到直线AB的距离是OM==，且k OM=，则，∴直线AB的方程是3x﹣2y=0，由得，A、B的坐标是，，∴弦|AB|==，∴r2==，所以圆M的方程是：（x+3）2+（y﹣2）2=；（2）由题意设直线AB的方程是y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2），由得，（1+3k2）x2+12kx=0，∴x1=0，x2=，把点A（0，2）代入（x+3）2+（y﹣2）2=r2，解得r2=9，由得，（1+k2）x2+6x=0，∴x1=0，x2=，由=得，2k3﹣3k2+2k﹣1=0，则（k﹣1）（2k2﹣k+1）=0，解得k=1，∴A（0，2），B（﹣3，﹣1），直线AB的方程是y=x+2，则|AB|=3，点O到直线AB的距离d==，∴△OAB的面积S==3．点评：本题考查直线与圆、椭圆的位置关系，以及圆的弦的性质，考查化简、计算能力．21．（13分）已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），g（x）=e x．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当a≠0时，过原点分别作曲线y=f（x）与y=g（x）的切线l1，l2，已知两切线的斜率互为倒数，证明：＜a＜；（3）设h（x）=f（x+1）+g（x），当x≥0，h（x）≥1时，求实数a的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（1）利用导数求函数的单调区间，注意对参数a的分类讨论；（2）背景为指数函数y=e x与对数函数y=lnx关于直线y=x对称的特征，得到过原点的切线也关于直线y=x对称，主要考查利用导函数研究曲线的切线及结合方程有解零点存在定理的应该用求参数的问题，得到不等式的证明；（3）考查利用导数处理函数的最值和不等式的恒成立求参数的范围问题，求导过程中用到了课后习题e x≥x+1这个结论，考查学生对课本知识的掌握程度．解答：（1）解：依题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），对f（x）求导，得．①若a≤0，对一切x＞0有f'（x）＞0，函数f（x）的单调递增区间是（0，+∞）．②若a＞0，当时，f'（x）＞0；当时，f'（x）＜0．所以函数f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是．（3分）（2）解：设切线l2的方程为y=k2x，切点为（x2，y2），则，，所以x2=1，y2=e，则．由题意知，切线l1的斜率为，l1的方程为．设l1与曲线y=f（x）的切点为（x1，y1），则，所以，．又因为y1=lnx1﹣a（x1﹣1），消去y1和a后，整理得．（6分）令，则，m（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．若x1∈（0，1），因为，，所以，而在上单调递减，所以．若x1∈（1，+∞），因为m（x）在（1，+∞）上单调递增，且m（e）=0，则x1=e，所以（舍去）．综上可知，．（9分）（3）证明：h（x）=f（x+1）+g（x）=ln（x+1）﹣ax+e x，．①当a≤2时，因为e x≥x+1，所以，h（x）在．（14分）点评：本题考查利用导数讨论含参数函数的单调性、利用导数求曲线的切线问题及研究不等式恒成立问题．。

2017-2018学年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A． +i B． +i C．﹣﹣i D．﹣﹣i3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．15．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC 的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，410．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）．的线性回归方程为=6.5x t的值为．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列正确的是（写出正确的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，90%“”？附：K2=．19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g （x1）﹣g（x2）的最小值．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．2016年湖南省长沙市长郡中学高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|x2﹣16＜0}，B={﹣5，0，1}，则（）A．A∩B=∅B．B⊆A C．A∩B={0，1}D．A⊆B【考点】交集及其运算．【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：A={x|x2﹣16＜0}={x|﹣4＜x＜4}，B={﹣5，0，1}，则A∩B={0，1}，故选：C2．如图，在复平面内，复数z1和z2对应的点分别是A和B，则=（）A． +i B． +i C．﹣﹣i D．﹣﹣i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．再利用复数的运算法则即可得出．【解答】解：由图形可得：z1=﹣2﹣i，z2=i．∴====﹣﹣i，故选：C．3．在等差数列{a n}中，a7=8，前7项和S7=42，则其公差是（）A．﹣B．C．﹣D．【考点】等差数列的通项公式．【分析】由通项公式和求和公式可得a1和d的方程组，解方程组可得．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵a7=8，前7项和S7=42，∴a1+6d=8，7a1+d=42，解得a1=4，d=故选：D4．若x，y满足约束条件，则的最大值为（）A．2 B．C．3 D．1【考点】简单线性规划．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用斜率的几何意义结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：的几何意义是区域内的点到点D（0，1）的斜率，由图象知AD的斜率最大，由，得，即A（1，3），此时的最大值为，故选：A．5．已知=（﹣3，2），=（﹣1，0），向量λ+与﹣2垂直，则实数λ的值为（）A．B．﹣C．D．﹣【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【分析】根据两向量垂直，数量积为0，列出方程求出λ的值即可．【解答】解：∵=（﹣3，2），=（﹣1，0），∴=13，=1，•=3；又向量λ+与﹣2垂直，∴（λ+）•（﹣2）=λ+（1﹣2λ）•﹣2=0，即13λ+3（1﹣2λ）﹣2=0，解得λ=﹣．故选：B．6．执行如图所示的程序框图，输出的结果为98，则判断框内可填入的条件为（）A．n＞4？B．n＞5？C．n＞6？D．n＞7？【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次得到s，n的值，当n=5时，由题意满足条件，退出循环，输出s的值为98，从而可得判断框内可填入的条件．【解答】解：模拟执行程序框图，可得：s=0，n=1执行循环体，s=2，n=2不满足条件，执行循环体，s=10，n=3不满足条件，执行循环体，s=34，n=4不满足条件，执行循环体，s=98，n=5此时，由题意，满足条件，退出循环，输出s的值为98，则判断框内可填入的条件为：n＞4？故选：A．7．函数f（x）=x﹣sinx的图象是（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】先根据函数的奇偶性排除B，D，再根据特殊值排除C，问题得以解决．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣x+sinx=﹣（x﹣sinx）=﹣f（x），∴f（x）为奇函数，即图象关于原点对称，排除B，D，当x=时，f（）=﹣1＜0，故排除C，故选：A8．如图所示，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，△ABC为正三角形，PA=AB，E是PC 的中点，则异面直线AE和PB所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】取BC的中点F，连接EF，AF，得到∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，由此能求出异面直线AE和PB所成角的余弦值．【解答】解：取BC的中点F，连接EF，AF，则EF∥PB，∴∠AEF或其补角就是异面直线AE和PB所成角，∵△ABC为正三角形，∴∠BAC=60°．设PA=AB=2a，PA⊥平面ABC，∴，∴．∴异面直线AE和PB所成角的余弦值为．故选：B．9．已知函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），若f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，则m，n的值分别为（）A．，2 B．，4 C．，2 D．，4【考点】对数函数的图象与性质．【分析】由题意和对数函数的性质得m＜1＜n、log4m＜0、log4n＞0，代入已知的等式由对数的运算性质化简，由f（x）的最大值和对数函数的性质列出方程，求出m、n的值．【解答】解：∵函数f（x）=|log4x|，正实数m，n满足m＜n，且f（m）=f（n），∴m＜1＜n，log4m＜0，log4n＞0，则﹣log4m=log4n，∴，得mn=1，∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，∴f（x）在区间上的最大值为2，∴，则log4m=﹣1，解得，故选B．10．已知一个三棱锥的三视图如图所示，若该三棱锥的四个顶点均在同一球面上，则该求的体积为（）A．B．4πC．2πD．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】作出棱锥直观图，根据棱锥的结构特征和球的性质找出球心位置计算球的半径．【解答】解：根据三视图作出棱锥D﹣ABC的直观图，其中底面ABC是等腰直角三角形，AC=BC=1，DC⊥底面ABC，DC=，取AB中点E，过E作EH⊥底面ABC，且HE==．连结AH，则H为三棱锥外接球的球心．AH为外接球的半径．∵AE==，∴AH==1．∴棱锥外接球的体积V==．故选D．11．已知椭圆：，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若的最大值为5，则b的值是（）A．1 B．C．D．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】利用椭圆的定义，结合∵的最大值为5，可得当且仅当AB⊥x轴时，|AB|的最小值为3，由此可得结论．【解答】解：由题意： +|AB|=4a=8∵的最大值为5，∴|AB|的最小值为3当且仅当AB⊥x轴时，取得最小值，此时A（﹣c，），B（﹣c，﹣）代入椭圆方程可得：∵c2=4﹣b2∴∴b=故选D．12．函数y=f（x）为定义在R上的减函数，函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，x，y满足不等式f（x2﹣2x）+f（2y﹣y2）≤0，M（1，2），N（x，y），O为坐标原点，则当1≤x≤4时，的取值范围为（）A．[12，+∞]B．[0，3]C．[3，12]D．[0，12]【考点】简单线性规划的应用；平面向量数量积的运算．【分析】判断函数的奇偶性，推出不等式，利用约束条件画出可行域，然后求解数量积的范围即可．【解答】解：函数y=f（x﹣1）的图象关于点（1，0）对称，所以f（x）为奇函数．∴f（x2﹣2x）≤f（﹣2y+y2）≤0，∴x2﹣2x≥﹣2y+y2，∴即，画出可行域如图，可得=x+2y∈[0，12]．故选D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）．的线性回归方程为=6.5x t的值为50．【考点】线性回归方程．【分析】计算样本中心点，根据线性回归方程恒过样本中心点，即可得到结论．【解答】解：由题意，，=40+∵y关于x的线性回归方程为=6.5x+17.5，∴40+=6.5×5+17.5∴40+=50∴=10∴t=50故答案为：50．14．过原点的直线与双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）交于M，N两点，P是双曲线上异于M，N的一点，若直线MP与直线NP的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设出P，M，N的坐标，根据直线斜率之间的关系建立方程关系进行求解即可．【解答】解：由双曲线的对称性知，可设P（x0，y0），M（x1，y1），则N（﹣x1，﹣y1）．由，可得：，即，即，又因为P（x0，y0），M（x1，y1）均在双曲线上，所以，，所以，所以双曲线的离心率为．故答案为：．15．已知函数f（x）=（x∈R），正项等比数列{a n}满足a50=1，则f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）等于．【考点】数列的函数特性．【分析】根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，所以lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，由题知f（x）+f（﹣x）=1，得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）里有49个1和f（lna50），而f（lna50）=代入其中得到即可．【解答】解：由f（x）=，f（﹣x）=，可知f（x）+f（﹣x）=1，∵正项等比数列{a n}满足a50=1，根据等比数列的性质得到：a49•a51=a48•a52=…=a1•a99=1，∴lna49+lna51=lna48+lna52=…=lna1+lna99=0，lna50=ln1=0且f（lna50）=f（ln1）=f（0）=，根据f（x）+f（﹣x）=1得f（lna1）+f（lna2）+…+f（lna99）=[f（lna1）+f（lna99）]+[f（lna2）+f（lna98）]+…+[f（lna49）+f（lna51）]+f（lna50）=49+=．故答案是：．16．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列正确的是①④（写出正确的编号）．①总存在某内角α，使cosα≥；②若AsinB＞BsinA，则B＞A；③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；④若2a+b+c=，则△ABC的最小角小于．【考点】的真假判断与应用．【分析】对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；对于②，结合式子的特点，可构造函数y=，研究其单调性解决问题；对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．【解答】解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=，故①为真；对于②，由题意不妨令，因为，因为时，tanx＞x＞0，所以，所以xcosx﹣sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为，则应有B＜A，故②为假；对于③，由题意不妨设C，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假；对于④，由2a+b+c=得2a+b+=（2a﹣c）=，即，而不共线，所以2a﹣c=0，b﹣c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=，故，故④正确．故答案为①④．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知函数f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1．（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）在△ABC中，若f（）=2，边AC=1，AB=2，求边BC的长及sinB的值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用倍角公式降幂，再由两角差的正弦化积，最后由周期公式求得周期；（2）由f（）=2求得角A，再由已知结合余弦定理求得BC，最后由正弦定理求得sinB 的值．【解答】解：（1）f（x）=2sinxcosx﹣2cos2x+1=，∴，即函数f（x）的最小正周期为π；（2）∵，A∈（0，π），∴，则．在△ABC中，由余弦定理得，，即，∴．由正弦定理，可得．18．某学校高三年级有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了研究学生的数学成绩是否与性别有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们期中考试的数学分数，然后按性别分为男、女两组，再将两组学生的分数分成5组：[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．（1）从样本中分数小于110分的学生中随机抽取2人，求两人恰好为一男一女的概率；（2）若规定分数不小于130分的学生为“数学尖子生”，请你根据已知条件完成2×2列联表，90%“”？附：K2=．【考点】独立性检验；频率分布直方图．【分析】（1）根据分层抽样原理计算抽取的男、女生人数，利用列举法计算基本事件数，求出对应的概率值；（2）由频率分布直方图计算对应的数据，填写列联表，计算K2值，对照数表即可得出概率结论．【解答】解：（1）由已知得，抽取的100名学生中，男生60名，女生40名，分数小于等于110分的学生中，男生人有60×0.05=3（人），记为A1，A2，A3；女生有40×0.05=2（人），记为B1，B2；…从中随机抽取2名学生，所有的可能结果共有10种，它们是：（A1，A2），（A1，A3），（A2，A3），（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2），（B1，B2）；其中，两名学生恰好为一男一女的可能结果共有6种，它们是：（A1，B1），（A1，B2），（A2，B1），（A2，B2），（A3，B1），（A3，B2）；…故所求的概率为P==…（2）由频率分布直方图可知，在抽取的100名学生中，男生60×0.25=15（人），女生40×0.375=15（人）；…22所以得K2==≈1.79；…因为1.79＜2.706，所以没有90%的把握认为“数学尖子生与性别有关”…19．如图甲，圆O的直径AB=2，圆上两点C，D在直径AB的两侧，使∠CAB=，∠DAB=，沿直径AB折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙），F为BC的中点，根据图乙解答下列各题：（1）求点B到平面ACD的距离；（2）如图：若∠DOB的平分线交于一点G，试判断FG是否与平面ACD平行？并说明理由．【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面平行的判定．【分析】（1）利用等体积方法求点B到平面ACD的距离；（2）BD弧上存在一点G，满足DG=GB，使得FG∥面ACD．通过中位线定理可得面FOG ∥面ACD，再由性质定理，即可得到结论．【解答】解：（1）在图甲中，∵AB是圆O的直径，∴AD⊥BD，AC⊥BC，∵AB=2，∠DAB=，∴AD=1，BD=，=AD•BD=．∴S△ABD∵∠CAB=，∴OC⊥AB，OC=AB=1．在图乙中，∵平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，OC⊥AB，∴OC⊥平面ABD，==∴V C﹣ABD∵△ACD中，AC=，CD=，AD=1，==，∴S△ACD设点B到面ACD的距离为h，则=，∴h=∴点B到面ACD的距离为．（2）FG∥面ACD，理由如下：连结OF，则△ABC中，F，O分别为BC，AB的中点，∴FO∥AC，又∵FO⊄面ACD，AC⊂面ACD，∴FO∥面ACD，∵OG是∠DOB的平分线，且OD=OB，令OG交DB于M，则M是BD的中点，连结MF，则MF∥CD，又∵MF⊄面ACD，CD⊂面ACD，∴MF∥面ACD，且MF∩FO=F，MF，FO⊂面FOG，∴面FOG∥面ACD．又FG⊂面FOG，∴FG∥面ACD．20．已知椭圆C：（a＞b＞0）过点A（2，0），离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点B（1，0）且斜率为k（k≠0））的直线l与椭圆C相交于E，F两点，直线AE，AF分别交直线x=3 于M，N两点，线段MN的中点为P．记直线PB的斜率为k′，求证：k•k′为定值．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（I）利用椭圆的离心率计算公式，顶点A（a，0），及其a2=b2+c2即可得出a，b，c，于是得到椭圆的标准方程；（II）设直线l的方程为y=k（x﹣1）．与椭圆的方程联立即可得到根与系数的关系，利用直线AE，AF的方程即可得到点M，N，及中点P的坐标，再利用斜率的计算公式即可证明．【解答】解：（Ⅰ）依题得解得a2=4，b2=1．所以椭圆C的方程为．（Ⅱ）根据已知可设直线l的方程为y=k（x﹣1）．由得（1+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣4=0．设E（x1，y1），F（x2，y2），则，．直线AE，AF的方程分别为：，，令x=3，则M，N，所以P．所以k•k′====．21．已知函数f（x）=x﹣﹣alnx（a∈R）．（1）当a＞0时，讨论f（x）的单调区间；（2）设g（x）=f（x）+2alnx，且g（x）有两个极值点为x1，x2，其中x1∈（0，e]，求g （x1）﹣g（x2）的最小值．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．【分析】（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）求出g（x）的导数，令g′（x）=0，设出方程的两根为x1，x2，得到，得到，，确定a的符号，求出g（x1）﹣g（x2）的表达式，根据函数的单调性求出其最小值即可．【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞），，令f′（x）=0，得x2﹣ax+1=0，①当0＜a≤2时，△=a2﹣4≤0，此时，f′（x）≥0恒成立，所以，f（x）在定义域（0，+∞）上单调递增；②当a＞2时，△=a2﹣4＞0，解x2﹣ax+1=0的两根为：，，当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；综上得，当0＜a≤2时，f（x）的递增区间为（0，+∞），无递减区间；当a＞2时，f（x）的递增区间为，，递减区间为；（2），定义域为（0，+∞），，令g′（x）=0，得x2+ax+1=0，其两根为x1，x2，且，所以，，，∴a＜0．∴=，设，x∈（0，e]，则（g（x1）﹣g（x2））min=h（x）min．∵，当x∈（0，e]时，恒有h′（x）≤0，∴h（x）在（0，e]上单调递减；∴，∴．四、请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.【选修4-1：几何证明选讲】22．如图，AB是⊙O的一条切线，切点为B，直线ADE、CFD、CGE都是⊙O的割线，已知AC=AB．（1）若CG=1，CD=4．求的值．（2）求证：FG∥AC．【考点】相似三角形的性质；与圆有关的比例线段．【分析】（1）根据圆内接四边形的性质，证出∠CGF=∠CDE且∠CFG=∠CED，可得△CGF∽△CDE，因此==4；（2）根据切割线定理证出AB2=AD•AE，所以AC2=AD•AE，证出=，结合∠EAC=∠DAC得到△ADC∽△ACE，所以∠ADC=∠ACE．再根据圆内接四边形的性质得∠ADC=∠EGF，从而∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【解答】解：（1）∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠CGF=∠CDE，∠CFG=∠CED．因此△CGF∽△CDE，可得=，又∵CG=1，CD=4，∴=4；证明：（2）∵AB与⊙O的相切于点B，ADE是⊙O的割线，∴AB2=AD•AE，∵AB=AC，∴AC2=AD•AE，可得=，又∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，可得∠ADC=∠ACE，∵四边形DEGF内接于⊙O，∴∠ADC=∠EGF，因此∠EGF=∠ACE，可得GF∥AC．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，P点的极坐标为（2，），曲线C的参数方程为（θ为参数）．（1）写出点P的直角坐标及曲线C的直角坐标方程；（2）若Q为曲线C上的动点，求PQ中点M到直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0的距离的最小值．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标．由，利用平方关系可得普通方程．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），对于直线l的极坐标利用互化公式可得直线l的普通方程．设，则，利用点到直线的距离公式可得点M到直线l的距离，再利用三角函数的值域即可得出．【解答】解：（1）P点的极坐标为（2，），利用互化公式可得：点P的直角坐标，由，得，∴曲线C的直角坐标方程为．（2）曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l：ρcosθ+2ρsinθ+1=0可得直线l的普通方程为x+2y+1=0，设，则，则点M到直线l的距离，∴点M到直线l的最小距离为．选修4-5：不等式选讲24．已知函数f（x）=|x﹣1|．（1）解不等式f（x）+f（x+4）≥8；（2）若|a|＜1，|b|＜1，且a≠0，求证：f（ab）＞|a|f（）．【考点】绝对值不等式的解法；不等式的证明．【分析】（Ⅰ）根据f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，分类讨论求得不等式f（x）+f（x+4）≥8的解集．（Ⅱ）要证的不等式即|ab﹣1|＞|a﹣b|，根据|a|＜1，|b|＜1，可得|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2 ＞0，从而得到所证不等式成立．【解答】解：（Ⅰ）f（x）+f（x+4）=|x﹣1|+|x+3|=，当x＜﹣3时，由﹣2x﹣2≥8，解得x≤﹣5；当﹣3≤x≤1时，f（x）≤8不成立；当x＞1时，由2x+2≥8，解得x≥3．所以，不等式f（x）+f（x+4）≤4的解集为{x|x≤﹣5，或x≥3}．（Ⅱ）f（ab）＞|a|f（），即|ab﹣1|＞|a﹣b|．因为|a|＜1，|b|＜1，所以|ab﹣1|2﹣|a﹣b|2=（a2b2﹣2ab+1）﹣（a2﹣2ab+b2）=（a2﹣1）（b2﹣1）＞0，所以|ab﹣1|＞|a﹣b|，故所证不等式成立．2016年10月16日。

2017-2018学年 数学（文史类）第Ⅰ卷一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)1.设i 为虚数单位，则复数3i -的虚部是（ ） A ．3 B ．i - C ．1 D ．-12.记集合{}{}|20,|sin ,A x x B y y x x R =+>==∈，则A B =（ ）A ．()2,-+∞B ．[]1,1-C ．[][)1,12,-+∞ D ．(]2,1-3.某空间几何体的三视图中，有一个是正方形，则该空间几何体不可能是（ ） A ．圆柱 B ．圆锥 C ．棱锥 D ．棱柱4.已知向量()()cos ,sin ,sin ,cos a b αβαβ==，若//a b ，则,αβ的值可以是（ ） A ．,33ππαβ==- B ．2,33ππαβ==C ．7,310ππαβ==- D ．,36ππαβ==-5.已知数列{}n a 的前4项为2，0，2，0，则依次归纳该数列的通项不可能是（ ）A ．()111n n a -=-+ B ．2,0,n n a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数C ．2sin 2n n a π= D ．()cos 11n a n π=-+ 6.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x +=-，且()1,101,01x f x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩，则下列函数值为1的是（ ） A ．()2,5f B ．()()2.5ff C ．()()1.5f f D ．()2f7.某研究型学习小组调查研究学生使用智能手机对学习的影响．部分统计数据如下表：附表：经计算210K =，则下列选项正确的是：（ ） A ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习有影响 B ．有99.5%的把握认为使用智能手机对学习无影响 C ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习有影响 D ．有99.9%的把握认为使用智能手机对学习无影响 8.函数[]1sin ,2,223y x x πππ⎛⎫=+∈-⎪⎝⎭的单调递增区间是（ ）A ．52,3ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦ B ．52,,233ππππ⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦和 C ．5,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．,23ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦9.平面直角坐标系xOy 中，动点P 到圆()2221x y -+=上的点的最小距离与其到直线1x =-的距离相等，则P 点的轨迹方程是（ ）A ．28y x =B ．28x y =C ．24y x =D ．24x y =10.非负实数x y 、满足()ln 10x y +-≤，则关于x y -的最大值和最小值分别为（ ） A ．2和1 B ．2和-1 C ．1和-1 D ．2和-211.如果执行如图所示的程序框图，则输出的数S 不可能是（ ）A ．0.7B ．0.75C ．0.8D ．0.912.已知函数()(),1xf x eg x x ==+，则关于()(),f x g x 的语句为假的是（ ）A ．()(),x R f x g x ∀∈>B ．()()1212,,x x R f x g x ∃∈<C ．()()000,x R f x g x ∃∈=D ．0x R ∃∈，使得()()()()00,x R f x g x f x g x ∀∈-≤- 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 在空间直角坐标系中，已知点()()1,0,1,1,1,2A B -，则线段AB 的长度为__________． 14.记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3352,15S a S ==，则2015a = _________． 15. ABC ∆的周长等于()2sin sin sin A B C ++，则其外接圆半径等于____________．16. M N 、分别为双曲线22143x y -=左、右支上的点，设v 是平行于x 轴的单位向量，则MN v 的最小值为___________．三、解答题 （解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分12分） 如图，OPQ 是半径为2，圆心角为3π的扇形，C 是扇形弧上的一动点，记COP θ∠=，四边形OPCQ 的面积为S ． （1）找出S 与θ的函数关系；（2）试探求当θ取何值时，S 最大，并求出这个最大值．18.（本小题满分12分）空气质量指数（Air Quality Index ，简称AQI ）是定量描述空气质量状况的指数，空气质量按照AQI 大小分为六级，050为优；101150为轻度污染；151200为中度污染；201300为重度污染；300>为严重污染．一环保人士记录去年某地某月10天 的AQI 的茎叶图如右．（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（100AQI ≤）的天数；（按这个月总共30天计算）（2）若从样本中的空气质量不佳（100AQI >）的这些天中，随机地抽取两天深入分析各种污染指标，求这该两天的空气质量等级恰好不同的概率． 19.（本小题满分12分）如图，矩形BDEF 垂直于正方形,ABCD GC 垂直于平面ABCD ．且22AB DE CG ===．（1）求三棱锥A FGC -的体积； （2）求证：面GEF ⊥面AEF ．20.（本小题满分12分）已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的顶点到直线1:l y x =2．（1）求1C 的标准方程；（2）设平行于1l 的直线l 交1C 于A B 、两点，若以AB 为直径的圆恰过坐标原点，求直线l 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()2af x x x=+（a 为常数）． （1）若()f x 在()0,+∞上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）判断是否存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点，并证明你的结论． 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，C D 、是以AB 为直径的半圆上两点，且AD CD =．（1）若//CD AB ，证明：直线AC 平分DAB ∠；（2）作DE AB ⊥交AC 于E ．证明：2CD AE AC =．23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为[)24cos 30,0,2ρρθθπ-+=∈．（1）求1C 的直角坐标方程；（2）曲线 2C 的参数方程为cos 6sin 6x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），求1C 与2C 的公共点的极坐标．24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设,,αβγ均为实数．（1）证明：()()cos cos sin ;sin cos cos αβαβαβαβ+≤++≤+． （2）若0αβγ++=，证明：cos cos cos 1αβγ++≥．参考答案一、选择题二、填空题三、解答题 17.【解析】（1）11sin sin 22POC ODC S S S OP OC POC OQ OC QOC ∆∆=+=∠+∠．．．．．．．．．3分2sin 2sin 0,33ππθθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分2sin 0,33ππθθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 因为0,3πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以2,333πππθ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故当且仅当32ππθ+=，即6πθ=时，S 最大，且最大值为2．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 12分18．【解析】（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为1，空气质量良的天数为3，．．．．． 2分故该样本中空气质量优良的频率为42105=，．．．．．．．．．．．．．．．．．． 4分 估计该月空气质量优良的频率25，从而估计该月空气质量优良的天数为230125⨯=．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）该样本中轻度污染共4天，分别记为1234,,,a a a a ； 中度污染1天，记为b ；重度污染1天，记为c ，从中随机抽取两天的所有可能结果表示为：()()()()()()()()()()()()()()()12131411232422343344,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,a a a a a a a b a c a a a a a b a c a a a b a c a b a c b c共15个．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 其中空气质量等级恰好不同的结果有()()()()()()()()()11223344,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a b a c a b a c a b a c b c 共9个．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以该两天的空气质量等级恰好不同的概率为93155=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 19.【解析】（1）因为面BDEF ⊥面ABCD ， 面BDEF面,ABCD BD FB BD =⊥，所以FB ABCD ⊥面．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分 又因为CG ⊥面ABCD ，故//CG FB ，112PGC BGC S S BC GC ∆∆==⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 因数,AB FB AB BC ⊥⊥， 所以AB 即三棱锥A FGC -的高， 因此三棱锥A FGC -的体积121233V =⨯⨯=．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分（2）如图，设EF 的中点为M ，连结AM GM AG 、、． 在RT ACG ∆中可求得3AG =；在直角梯形FBCG EDCG 、中可求得FG EG ==在RT ABF RT ADE ∆∆、中可求得AF AE ==；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 从而在等腰AEF ∆，等腰GEF ∆中分别求得AM GM = 此时在AMG ∆中有222=AM GM AG +，所以AM GM ⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 因为M 是等腰AEF ∆底边中点，所以AM EF ⊥， 所以AM GEF ⊥平面，因此面GEF ⊥面AEF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分 20.【解析】（1）由直线1l 的方程知，直线1l 与两坐标轴的夹角均为45°， 故长轴端点到直线1l的距离为2，短轴端点到直线1l的距离为2，．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分求得2,1a b ==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分所以1C 的标准方程为2214x y +=；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）依题设直线():0l y x t t =+≠，由2214y x t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2258440x tx t ++-=， 判别式()226416510t t ∆=-⨯->解得t <．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分设()()1122,,,A x y B x y ，则1221285445t x x t x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，故()()()221212121245t y y x t x t x x x x t t -=++=+++=， 设原点为O ，以AB 为直径的圆恰过坐标原点，故OA OB ⊥，所以0OA OB =，即221212444055t t x x y y --+=+=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分解得：5t =±，满足t <0t ≠， 故所求直线l的方程为y x =y x =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分21.【解析】（1）()32222a x af x x x x -'=-=，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．2分因为()f x 在()0,+∞上单调递增所以320x a -≥即32a x ≤在()0,+∞恒成立，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分而32y x =在()0,+∞上单调递增，故32x 的值域为()0,+∞，所以0a ≤，即a 的取值范围为(]0,+∞；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 （2）不存在这样的直线l ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分证明：假设存在这样的直线l ，设两切点分别为()()()()1122,,,x f x x f x ，其中12x x ≠， 依题意有()()()()211221f x f x f x f x x x -''==-，由()()12f x f x ''=得：12221222a a x x x x -=-， 即()()()21211222122a x x x x x x x x -+-=，显然12120,0x x x x +≠-≠．．．．．．．．．．．．．．8分故2212122x x a x x =-+；而()()()2221212111211222121112122a ax x f x f x x x a a af x x x x x x x x x x x x x +---'-=-+=+--+--212221121222x x x x x x x x x =-+-++ ()22112x x x x -=-+0≠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分即()()()()211221f x f x f x f x x x -''=≠-，故不存在直线l 与()f x 的图象有两个不同的切点．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分22.【解析】（1）由题设//CD AB 可知，DCA BAC ∠=∠， 因为AD DC =，所以DAC DCA ∠=∠，从而DAC BAC ∠=∠，因此，AC 平分DAB ∠．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分（2）连结BD ，由DE AB ⊥知，090ADE DAB ∠+∠=，因为AB 为直径，所以090DBA DAB ∠+∠=， 从而ADE ABD ∠=∠，又因为ABD DCA ∠=∠， 所以ADE ACD ∠=∠， 因此ADEACD ∆∆，所以2AD AE AC =，而AD DC =，所以2CD AE AC =．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分23.【解析】（1）将222c os x y xρρθ⎧=+⎨=⎩代入24cos 30ρρθ-+=得：()2221x y -+=．．．．．．．．4分（2）由题设可知，2C 是过坐标原点，倾斜角为6π的直线， 因此2C 的极坐标方程为6πθ=或76πθ=，0ρ>，将6πθ=代入21:30C ρ-+=，解得：ρ=同理，将76πθ=代入1C 得：ρ=故12,C C 公共点的极坐标为6π⎫⎪⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 24.【解析】（1）()cos cos cos sin sin cos cos sin sin cos sin αβαβαβαβαβαβ+=-≤+≤+； ()sin sin cos cos sin sin cos cos sin cos cos αβαβαβαβαβαβ+=+≤+≤+．．．．．．．．．．．5分（2）由（1）知，()()()cos cos sin cos cos cos αβγαβγαβγ++≤++≤++， 而0αβγ++=，故cos cos cos 1αβγ++≥．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分。

湖南省长沙市长郡中学2017年高考一模数学试卷（文科）答 案1~5．DDCAB 6~10．CCDDA 11~12．DA 13．2 14．115．14 16．1817．解：（Ⅰ）π1()sin sin sin sin 322f x x x x x x ⎛⎫=+-=+-⎪⎝⎭=3sin 2x x=π6x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由πππ2π2π,262k x k k Z -≤-≤+∈， 解得：π2π2π2π,33k x k k Z -≤≤+∈， 则()f x 的单调递增区间为π2π2π,2π33,k k k Z ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦；（Ⅱ）∵π()sin 62f A A ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭∴π1sin ,62A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭∵0πA <<，∴ππ5π666A <-<-，∴π3A =，又a ， ∴由正弦定理sin sin a b A B =得：1sin 2B =， 又a b >，π3A =，∴π6B =，∴π2C =， 则ABC △为直角三角形。

18解：（1）4人分组的所有情况如下表；小组 1 2 3 4 5 6 收集数据 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁 处理数据丙丁乙丁乙丙甲丁甲丙甲乙因此4人分组的情况共有6种，其中工作人员甲乙分到同一组有2种， 所以工作人员甲乙分到同一组的概率是2163P ==。

（2）根据题意，列2×2联表如下，按时刷牙 不按时刷牙总计 不患龋齿 160 100 260 患龋齿 240 300 540 总计400400800因为22800(160300100240)260540400400k ⨯-⨯=⨯⨯⨯≈20.513＞10.828，所以有99.9%的把握认为该年级学生的按时刷牙与不患龋齿有关系。

19．（Ⅰ）证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点。

又点M 是棱BC 的中点， 所以OM 是ABC △的中位线，//OM AB 。

2017-2018学年普通高等学校招生全国统一考试（长郡中学高三入学考试）文科数学 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集{|1}U x x =>，集合{|2}A x x =>，则U C A =（ ） A ．{|12}x x <≤ B ．{|12}x x << C ．{|2}x x > D ．{|2}x x ≤ 【答案】A 【解析】试题分析：{|12}U C A x x =<≤,故选A. 考点：集合的运算.2. 设i 是虚数单位，则复数25()2i i-+=+（ ） A ．22i - B ．1i - C ．3i - D ．115i - 【答案】B 【解析】 试题分析：255(2)()11212(2)(2)i i i i i i i --+=-+=-+-=-++-,故选B. 考点：复数的运算. 3. 已知(cos,sin )66a ππ=，55(cos ,sin )66b ππ=，则||a b -=（ ）A ．1B 【答案】C 【解析】试题分析：因为55(cos cos,sin sin )6666a b ππππ-=--=，所以||3a b -=，故选C.考点：向量的坐标运算.4. 分别在区间[1,6]和[1,4]内任取一个实数，依次记为m 和n ，则m n >的概率为（ ） A ．710 B ．310 C ．35 D ．25【答案】A考点：几何概型.5. 在如图所示的算法流程图中，输出S 的值为（ ）A ．11B ．12C ．13D ．15 【答案】D 【解析】试题分析：此程序框图所表示的算法功能为1234515S =++++=，故选D. 考点：程序框图. 6. 将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的图象可能为（ ）【答案】D. 【解析】试题分析：将函数cos(3)3y x π=+的图象向左平移18π个单位后，得到的函数解析式为cos[3()]cos(3)sin 31832y x x x πππ=++=+=-，故选D. 考点：1.图象的平移变换；2.三角函数的图象与性质.7. 某棱锥的三视图（单位：cm ）如图所示，则该棱锥的体积等于（ ） A ．310cm B ．320cm C ．330cm D ．340cm【答案】B 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为如下图所示的四棱锥P ABCD -，所以其体积1543203V =⨯⨯⨯=，故选B.考点：1.三视图;2.多面体的体积.8. 已知点(1,2)-和(3在直线:10l ax y -+=(0)a ≠的同侧，则直线l 倾斜角的取值范围是（ ） A ．(,)43ππ B ．3(0,)(,)34πππ C ．35(,)46ππ D ．23(,)34ππ 【答案】D考点：1.直线的倾斜角与斜率；2.线性规划.9. 若不等式组1010102x y x y y ⎧⎪+-≤⎪-+≥⎨⎪⎪+≥⎩表示的区域Ω，不等式2211()24x y -+≤表示的区域为Γ，向Ω区域均匀随机撒360颗芝麻，则落在区域Γ中芝麻约为（ ） A ．114 B ．10 C ．150 D ．50 【答案】A 【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示，其中芝麻落在区域Γ内的概率为23111132422221336322P ππ⎛⎫⨯⨯+⨯⨯⎪+⎝⎭==⨯⨯，所以落在区域Γ中芝麻约为3236011436π+⨯≈,故选A.考点：1.线性规划；2.几何概型.【名师点睛】本题考查几何概型与线性规划，属中档题.概率问题是高考的必考见容，概率问题通常分为古典概型与几何概型两种，几何概型求概率是通过线段的长度比或区域的面积比、几何体的体积比求解的，本题是用的区域的面积比，但求面积是通过线性规划相关知识来完成的，把线性规划与几何概型有机的结合在一起是本题的亮点.10. 已知双曲线22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点F 也是抛物线22:2(0)C y px p =>的焦点，1C 与2C 的一个交点为P ，若PF x ⊥轴，则双曲线1C 的离心率为（ ） A1 B1 D1 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知22,22p b c p a ==，所以224b c a =，即222c a ac -=，所以2210e e --=，解之得1e =，故选A.考点：1.双曲线的标准方程与几何性质；2.抛物线的标准方程与几何性质.11. 已知函数22()()()n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数且()(1)n a f n f n =++，则12350a a a a ++++=（ ）A ．50B ．60C ．70D ．80 【答案】A 【解析】试题分析：由题意可知221123a =-=-，222235a =-+=，223347a =-=-，224459a =-+=，4950,99,101a a =-=，所以1235012344950()()()25250a a a a a a a a a a ++++=+++++=⨯=，故选A.考点：1.数列的表示；2.数列求和.【名师点睛】本题考查数列的表示以及数列求和，属中档题；数列求和问题是高考常考内容之一，数列求和的主要方法有：1.公式法；2.分组求和法；3.倒序相加法；4.错位相减法；5.裂项相消法.其中错位相减法与裂项相消法是考试的重点内容，本题主要采用的是分组求和法.12.若函数()()bf x x b R x=+∈的导函数在区间(1,2)上有零点，则()f x 在下列区间上单调递增的是（ ）A ．(,1]-∞-B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(2,)+∞ 【答案】D考点：1.导数与函数的单调性；2.函数与方程【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、函数与方程，属中档题；导数与函数的单调性是高考的必考内容，也是难点，导数与单调性关系：()0()f x f x '>⇒单调递增，()0()f x f x '<⇒单调递减；反之，当()f x 在某个区间上单调递增()0f x '⇒≥，当()f x 在某个区间上单调递减()0f x '⇒≤.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 已知()ln 1,(0,)f x ax x x =+∈+∞()a R ∈，'()f x 为()f x 的导函数，'(1)2f =，则a = .【答案】2 【解析】试题分析：因为1()ln (ln 1)f x a x ax a x x'=+⨯=+,所以(1)(ln11)2f a a '=+==. 考点：导数的运算.14. 若,x y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩，则3z x y =+的最大值为 .【答案】4 【解析】试题分析：在坐标系内作出可行域如下图所示的三角形区域，由图可知，目标函数3z x y =+取得最大值时的最优解为(1,1)B ，此时max 3114z =⨯+=.考点：线性规划.15抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【名师点睛】本题考查抛物线的标准方程与几何性质与双曲线的标准方程与几何性质，属中档题；高考对圆锥曲线的考查主要是考查定义、标准方程、几何性质，小题和大题中均有.本题主要考查双曲线与抛物线的对称性的应用.16. 若定义在区间D 上的函数()y f x =满足：对,x D M R ∀∈∃∈，使得|()|f x M ≤恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上有界，则下列函数中有界的是 .①sin y x =；②1y x x =+；③tan y x =；④x xx xe e y e e ---=+；⑤321(44)y x ax bx x =+++-≤≤，其中,a b R ∈.【答案】①④⑤ 【解析】试题分析：因为sin 1x ≤，所以sin y x =为有界函数；12x x+≥，无上界，所以②不是有界函数；tan y x =的值域为(,)-∞+∞，是无界函数；22212111x x x x x x xe e e y e e e e ----===-+++,因为22021xe <<+，所以221111x e -<-<+，即1y <，所以x xx x e e y e e---=+是有界函数；对于⑤，函数321y x ax bx =+++ 为实数上连续函数，所以在区间[4,4]-上一定有最大值和最小值，所以是有界函数，故应填①④⑤. 考点：1.新定义问题；2.值域及求法.【名师点睛】本题主要考查新定义问题、值域及求法.函数值域的求解是难点，主要方法有：配方法、单调性法、数形结合法、换元法、基本不等式法、导数法、利用已知函数的有界性法等方法.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分） 已知函数2()2sin cos cos sin sin (0)2f x x x x ϕϕϕπ=+-<<在x π=处取最小值.（1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，已知1,()2a b f A ===，求角C .【答案】(1)2π;(2) 712π或12π.【解析】试题分析：（1）利用三角恒等变换公式化简函数解析式得()sin()f x x ϕ=+，由在x π=处取最小值及0ϕπ<<查求得2πϕ=；（2）由()2f A =可得6A π=，再由正弦定理求出sin B ，从而求出角B 的值，即可求角C .（2）因为()f A =，所以cos A =A 为ABC ∆的内角，所以6A π=.又因为1,a b =sin sin a bA B=，也就是sin 1sin 22b A B a ===， 因为b a >，所以4B π=或34B π=.当4B π=时，76412C ππππ=--=；当34B π=时，36412C ππππ=--=. 考点：1.三角恒等变换；2.正弦定理；3.三角函数的图象与性质.【名师点睛】本题考查三角恒等变换、正弦定理、三角函数的图象与性质，属中档题.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到. 18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面BCP ，//CD AB ，2AB BC CP BP ====，1CD =.（1）求点B 到平面DCP 的距离；（2）点M 为线段AB 上一点（含端点），设直线MP 与平面DCP 所成角为α，求sin α的取值范围.【答案】(2).【解析】试题分析：(1) 要求点B到平面DCP的距离,只要能过点B作出平面DCP的垂线即可，由题意可知CD⊥平面CPB，所以CD⊥平面CPB内的任意一条直线，因此只要在平面CPB内过点B作BF PC⊥即可得到BF⊥平面DCP，求出BF的长即可；（2）由（1）可知点M到平面DCP的距离即点B到平面DCP的距离,所以sinBFMPα=，即只要求出BFMP的取值范围即可.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.直线与平面所成的角.【名师点睛】本题考查线面垂直的判定与性质、直线与平面所成的角，属中档题；文科立体几何解答题主要考查线面位置关系的证明及几何体体积的计算,空间中线面位置关系的证明主要包括线线、线面、面面三者的平行与垂直关系,其中推理论证的关键是结合空间想象能力进行推理,要防止步骤不完整或考虑不全致推理片面,该类题目难度不大,以中档题为主. 19. （本小题满分12分）某校对高一年级学生寒假参加社区服务的次数进行了统计，随机抽取了M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数，根据此数据作出了频率分布统计表和频率分布直方图如下：（1）求表中,n p 的值和频率分布直方图中a 的值，并根据频率分布直方图估计该校高一学生寒假参加社区服务次数的中位数；（2）如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，再从这6人中选2人，求2人服务次数都在[10,15)的概率.【答案】(1)0.625,0.075n p ==, 0.125a =，中位数为17；（2）23. 试题解析： （1）因200.25M ÷=，所以80M =，所以500.62580n ==， 310.250.6250.050.07540p =---==， 10.12558n a ===. 中位数位于区间[15,20)，设中位数为(15)x +，则0.1250.25x =，所以2x =，所以学生参加社区服务区次数的中位数为17次. （2）由题意知样本服务次数在[10,15)有20人，样本服务次数在[25,30)有4人， 如果用分层抽样的方法从样本服务次数在[10,15)和[25,30)的人中共抽取6人，则抽取的服务次数在[10,15)和[25,30)的人数分别为：206524⨯=和46124⨯=. 记服务次数在[10,15)为12345,,,,a a a a a ，在[25,30)的为b . 从已抽取的6人任选两人的所有可能为：121314151232425234(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a b a a a a a a a b a a 3534545(,),(,),(,),(,),(,),a a a b a a a b a b 共15种，设“2人服务次数都在[10,15)”为事件A ，则事件A 包括1213141523242534(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),a a a a a a a a a a a a a a a a 3545(,),(,)a a a a共10种， 所有102()153P A ==. 考点：1.频率分布表；2.频率分布直方图；3.古典概型. 20. （本小题满分12分）已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>上的左、右顶点分别为,A B ，1F 为左焦点，且1||2AF =，又椭圆C 过点. （1）求椭圆C 的方程；（2）点P 和Q 分别在椭圆C 和圆2216x y +=上（点,A B 除外），设直线,PB QB 的斜率分别为12,k k ，若1234k k =，证明：,,A P Q 三点共线. 【答案】（1）2211612x y +=；（2）见解析. 【解析】试题分析：(1)1||2AF a c ==-, 由椭圆C 过点可得b =,,a b c 关系求出,,a b c 的值即可；(2) 由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由此可得2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，又因为22113124y x =-，1234k k =，由此可得21PA k k ∙=-，同理可得21QA k k ∙=-，所以PA QA k k =，即可证,,A P Q 三点共线.试题解析：（1）由已知可得2,a c b -==22212b a c =-=，解得4a =，故所求椭圆C 的方程为2211612x y +=. （2）由（1）知，(4,0),(4,0)A B -，设1122(,),(,)P x y Q x y ，所以2111121114416PA y y y k k x x x ∙=∙=+--，因为11(,)P x y 在椭圆C 上，所以221111612x y+=，即22113124y x =-，所以2112131234164PA x k k x -∙==--. 又因为1234k k =，所以21PA k k ∙=-.（a ） 由已知点22(,)Q x y 在圆2216x y +=上，AB 为圆的直径， 所以QA QB ⊥，所以21QA k k ∙=-（b ）由（a ）（b ）可得PA QA k k =，因为直线,PA QA 有共同点A ， 所以,,A P Q 三点共线.考点：1.椭圆的标准方程与几何性质；2.直线与椭圆的位置关系. 21. （本小题满分12分） 已知函数()ln f x x x =.（1）求函数()y f x =的单调区间和最小值； （2）若函数()()f x a F x x -=在[1,]e 上的最小值为32，求a 的值； （3）若k Z ∈，且()(1)0f x x k x +-->对任意1x >恒成立，求k 的最大值. 【答案】(1) ()f x 的单调递增区间为1[,)e +∞，单调减区间为1(0,]e ,min 1()f x e=-.(2) a =3.【解析】试题分析：(1)求导'()ln 1(0)f x x x =+>，解不等式'()0f x ≥与'()0f x ≤可得函数()f x 的单调区间；(2)求函数()ln a F x x x =-的导数'2()x a F x x += ，分0a ≥与0a <讨论函数()ln a F x x x =-在区间[1,]e 的单调性与最小值，由min 3()2f x =求之即可；(3)由题意分离参数得ln 1x x x k x +<-对任意1x >恒成立，构造函数ln ()1x x xh x x +=-，求导'2ln 2()(1)x x h x x --=-，'2ln 2()(1)x x h x x --=-的符号由分子()ln 2(1)x x x x ϕ=-->确定，且函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，所以方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈,由此可知函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增,所以min 0()k g x x <=，可证结论成立.试题解析： （1）因为'()ln 1(0)f x x x =+>，令'()0f x ≥，即1l n 1l n x e -≥-=，所以1x e≥， 同理，令'()0f x ≤，可得1(0,]x e∈，所以()f x 的单调递增区间为1[,)e+∞，单调减区间为1(0,]e. 所以min 1111()()ln f x f ee e e ===-. （2）()ln a F x x x =-，'2()x a F x x +=，Ⅰ．当0a ≥时，'()0F x >，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去.Ⅱ．当0a <时，()F x 在(0,)a -上单调递减，在(,)a -+∞上单调递增， ①若(1,0)a ∈-，()F x 在[1,]e 上单调递增，min 3()(1)2F x F a ==-=，所以3[0,)2a =-∉+∞，舍去，②若[,1]a e ∈--，()F x 在[1,]a -上单调递减，在[,]a e -上单调递增，所以min 3()(1)ln()2F x F a a ==-+=，解得[,1]a e =--. ③若(,)a e ∈-∞-，()F x 在[1,]e 上单调递减，min 3()()12a F x F e e ==-=，所以(,)2ea e =-∉-∞-，舍去，综上所述，a =（3）由题意得：(1)ln k x x x x -<+对任意1x >恒成立，即ln 1x x xk x +<-对任意1x >恒成立. 令ln ()1x x x h x x +=-，则'2ln 2()(1)x x h x x --=-，令()ln 2(1)x x x x ϕ=-->，则'11()10x x x xϕ-=-=>， 所以函数()x ϕ在(1,)+∞上单调递增，因为方程()0x ϕ=在(1,)+∞上存在唯一的实根0x ，且0(3,4)x ∈，当01x x <<时，()0x ϕ<，即'()0h x <，当0x x >时，()0x ϕ>，即'()0h x >.所以函数()h x 在0(1,)x 上递减，在0(,)x +∞上单调递增. 所以0000min 0000(1ln )(12)()()(3,4)11x x x x h x h x x x x ++-====∈--所以min 0()k g x x <=，又因为0(3,4)x ∈，故整数k 的最大值为3. 考点：1.导数与函数的单调性、最值；2.函数与不等式.【名师点睛】本题主要考查导数与函数的单调性、最值；函数与不等式,属难题.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22. （本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆周角BAC ∠的平分线与圆交于点D ，过点D 的切线与弦AC 的延长线交于点E ，AD 交BC 于点F .（1）求证：//BC DE ；（2）若,,,D E C F 四点共圆，且AC BC =，求BAC ∠.【答案】(1)见解析；(2)27π. 【解析】试题分析：（1）要证//BC DE ，只要证EDC DCB ∠=∠即可，由弦切角和圆周角关系可得EDC DAC ∠=∠，由角平分线性质得EDC DAC ∠=∠，又同弧上的圆周角相等，所以DAB DCB ∠=∠，即可证得EDC DCB ∠=∠；（2）由,,,D E C F 四点共圆及（1）得CFA ACF ∠=∠，设DAC DAB x ∠=∠=，在等腰三角形ACF 中，列出方程7CFA ACF CAF x π=∠+∠+∠=，解之即可.试题解析： （1）∵BAC ∠的平分线与圆交于点D ∴EDC DAC ∠=∠，DAC DAB ∠=∠，∵BD BD =，∴DAB DCB ∠=∠，∴EDC DCB ∠=∠， ∴//BC DE .考点：1.圆的性质；2.等腰三角形性质；3.圆内接四边形性质. 23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知直线112:x t l y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），曲线1cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）.（1）设l 与1C 相交于,A B 两点，求||AB ； （2）若把曲线1C 上各点的横坐标压缩为原来的12倍，得到曲线2C ，设点P 是曲线2C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值.【答案】(1)11). 【解析】试题分析：(1)将直线与圆的参数方程化为普通方程，求出交点坐标，即可求AB ；（2）先由伸缩与平移变换规律求出曲线2C 的参数方程，交用参数表示点P 的坐标，用参数θ表示点P到直线l的距离22)2]24d θθπθ==-+，即可求最小值.试题解析： （1）直线l的普通方程为1)y x =-，1C 的普通方程为221x y +=，联立方程组221)1y x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩ 解得l 与1C的交点为1(1,0),(,2A B ，则||1AB =. 考点：1.参数方程与普通方程的互化；2.椭圆参数方程的应用.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|2|2f x x a a =-+.（1）若不等式()6f x ≤的解集为{|64}x x -≤≤，求实数a 的值；（2）在（1）的条件下，若不等式2()(1)5f x k x ≤--的解集非空，求实数k 的取值范围.【答案】(1)2-;(2) {|0}k k k k ><=. 【解析】试题分析：(1) |2|62x a a -≤-333322a x a ⇔-≤≤-,由3362a -=-可求出a ；（2）由（1）2()(1)5f x k x ≤--可转化为2|22|1(1)x k x ++≤-，作出函数23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩的图象，数形结合可求k 的范围. 试题解析： （1）|2|62x a a -≤-，∴26262a x a a -≤-≤-， ∴333322a x a -≤≤- 3362a -=-，2a =-. （2）由（1）知，2|22|1(1)x k x ++≤-，23,1()|22|121,1x x g x x x x +≥-⎧=++=⎨--<-⎩，()g x 的图象如图：要使解集非空，212k ->或211k -≤-，∴{|0}k k k k <=.考点：1.含绝对值不等式的解法；2.分段函数的表示及应用.。

注意事项：1．试卷满分150分，考试时间150分钟。

2．请用2B铅笔将各题答案涂在答题卡选择题方框的相应题号处，其他题目的答案必须用0．5mm 黑色签字笔写在答题卡的相应位置上。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读（共9分）“古城热”切莫丢了文化魂闻白即使你不是一个对城市改造十分敏感的人，蔓延各地的拆旧和仿古热潮也足以令你侧目。

据学者的最新统计，全国有不少于30座城市欲斥巨资重建古城，如我们风闻过的开封千亿元重塑汴梁城、昆明220亿元打造古滇王国、山东聊城古城改造……某种意义上，“拆旧”与“仿古”构成了中国城市化进程中看似矛盾却又并存的两大典型现象。

拆旧，是因为旧的文化遗存“挡”住了城市发展脚步；仿古，则是希望从传统文化资源中寻求发展契机。

破与立之间，折射出文化传承与经济发展的关系。

许多文物保护专家对这种“大拆大建”有过担忧和提醒。

在他们看来，如果把积淀了深厚文化底蕴的旧城仅仅当作改造对象，而不强调实施保护、有机更新的一面，是一种观念错位、“最没文化”的表现，将一片片历史街区夷为平地，一座座传统民居无情摧毁，然后仿建出一条条复古商业街，不但会造成城市文化空间的破坏、历史文脉的割裂，而且导致城市记忆消失，最终形成千城一面的平庸景致，令人扼腕。

值得关注的是，和过去修建一个仿古建筑相比，现在的古城重建，多为城市的重大决策项目，动辄百亿千亿元投资、几千亩占地，涉及众多文物保护和百姓搬迁，影响城市未来发展布局，因而争议更多。

而最大焦点在于，一些重建项目只是打着与文化相关的旗号，背后是经济利益和政绩工程的驱动，缺乏文化之魂，片面地用浮华形式、简单符号来进行文化建设，最后当然是南辕北辙，拆了真古董造了假古董，沦为笑柄不说，更成为一种政绩泡沫，造成“政府立项，百姓埋单”的严重后果。

应该承认，在不破坏文物的前提下进行一些重建、仿建未必是坏事。

“古城重建热”在某种程度上也与全社会的文化发展热情，甚至是渴望进一步参与文化遗产保护的倾向密切相关。

2017-2018学年 数学（文科） 第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}22|20,|2,,A x x x B y y x x x A =-≤==-∈则A B ⋃=（ ）A ．[]0,2B ．[]1,2-C ．(],2-∞D ．[)0,+∞ 2. 如果复数()32biz b R i-=∈+的实部和虚部相等，则z 等于（ ） A．．．3 D ．2 3. 下列函数既是偶函数,又在()0,+∞上单调递增的是（ ）A ．2y x =-B ．3y x =C ．3x y -=-D ．2log y x = 4. 已知公差不为0的等差数列{}n a 满足134,,a a a 成等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和，则3253S S S S --的值为（ ）A ．2-B ．3-C ．2D ．3 5. 已知平面向量()()1,2,2,a b k ==-，若a 与b 共线，则3a b +=（ ） A．．．5 6. 函数()()sin 20,0y x ωϕωϕπ=+><<的最小正周期为π，且函数图像关于点,06π⎛⎫- ⎪⎝⎭对称，则此函数的解析式为（ ） A ．2sin 43y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ B ．sin 43y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭ D ．sin 23y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭7. 如图是秦九韶算法的一个程序框图，则输出的S 为（ ）A ．()()1030020a x a x a a x +++的值B ．()()0010230a x a x a a x +++的值 C ．()()3020100a x a x a a x +++的值 D ．()()2000310a x a x a a x +++的值8. 中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器_____商鞅 铜方升,其三视图如图所示(单位：寸),若π取3其体积为12.6(立方寸),则图中的x 为（ ）A ．1.2B ．1.6C ．1.8D ．2.4 9. 如图,圆C 内切于扇形,3AOB AOB π∠=若向扇形AOB 内随机投掷600个点,则落入圆内的点的个数估计值为（ ）A ．100B ．200C ．400D ．45010. 已知双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>若抛物线()22:20C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距离为2，则抛物线2C 的方程为（ ）A ．24x y =B ．28x y = C．2x = D．2x =11. 在四棱锥 P ABCD -中，四条侧棱长均为2，底面ABCD 为正方形，E 为PC 的中点,且90BED ∠=︒，若该四棱锥的所有顶点都在同一球面上,则该球的表面积为（ ）A ．323π B ．163π C ．169π D ．43π12. 已知函数 ()f x 的定义域为R ，若存在常数0k >，使()2016kf x x ≤对一切实数x 均 成立,则称()f x 为“期盼函数”,给出下列函数：①()3f x x =；②()cos f x x x =+； ③()21x xf x =+；④()()ln 1f x x =+.其中()f x 是“期盼函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,下图为检测结果的频率分布直方图,根据标准,产品长度在区间[)20,25上为一等品,在区间[)15,20和[)25,30上为二等品,在区间[)10,15和[)30,35上为三等品.用频率估计概率,现从该批产品中随机抽取1件,则其为二等品的概率是 ．14.若实数,x y 满足不等式组2010220x y x y -≤⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩，则函数2t x y =-的最大值为 ．15.12,F F 分别为椭圆2213627x y +=的左、右焦点，A 为椭圆上一点，O 为坐标原点，且()()1211,22OB OA OF OC OA OF =+=+，则OB OC += ．16.已知数列{}n a 满足181,a =()1311log ,23,21n n n a a n ka k N n k --*-+=⎧=∈⎨=-⎩ ，则数列{}na 的前n 项和n S 的最大值为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在ABC ∆中，内角,,A B C 的对应边分别为,,a b c ，已知sin cos .a B b C =+（1）求A C +的值；（2）若b =ABC ∆a 的值. 18. （本小题满分12分）如图1，ABCD 为梯形，,,3AB CD C π∠=点E 在CD 上，12,,2AB EC DE BD BC ===⊥现将ADE ∆沿AE 折起，使得平面DBC ⊥平面ABCE ，如图2.（1）求证：BD ⊥平面BCEF ； （2）求点C 到平面ADE 的距离.19. （本小题满分12分）某公司2016年15 月份的月销售收入y （单位：万元）和月累积销售收入z （单位：万元）如下表所示：根据上述数据，经过初步处理得到如下数据：72.30=665.83=为了预测该公司6月份的月销售收入，现在对月销售收入y 与月份x ，月累计销售收入z 与月份x 分别进行线性相关性回归分析，并设相应的回归方程为：y bx a =+ 和y dx c =+. （1）分别计算两组数据的相关系数，并据此回答选择哪个回归方程进行预测更准确； （2）求出（1）中所确定的回归方程，并根据该回归方程预测该公司6月份的销售收入 附：对于一组数据()()()1122,,,,...,,n n u v u v u v ，其相关系数：()()()1niiii u u v v r v v =--=-∑∑其回归线v uαβ=+ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为；()()()121,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑.20. （本小题满分12分）已知圆221:4C x y +=与x 轴的左右交点分别为12,A A 直线1l 经过1A ,直线2l 经过2,A D 为12,l l 的交点,且12,l l 的斜率乘积为14-.（1）求D 点的轨迹方程；（2）直线):0l x my m =≠交D 的轨迹于,P Q 两点,点Q 关于x 轴的对称点为1Q ，直线1PQ 与x 轴的交点为R ，试问RPQ ∆的面积是否存在最大值？若存在,求出最大值；若不存在,说明理由.21. （本小题满分12分）已知函数()2ln f x x ax x =++，其中a R ∈是常数.（1）求函数()y f x =过点()()1,1P f 的切线方程； （2）讨论函数()y f x =的零点个数.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，圆O 为ABC ∆的外接圆,D 为AC 的中点，BD 交AC 于E . （1）证明：2AD DE DB =；（2）若,2,AD BC DE EB AD =O 的半径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos (0,sin x a a b y b ϕϕϕ=⎧>>⎨=⎩为参数),在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C 是圆心在极轴上,且经过极点的圆,已知曲线1C上的点1,2M ⎛ ⎝⎭对应的参数3πϕ=，射线3πθ=与曲线2C 交于点1,3D π⎛⎫⎪⎝⎭. （1）求曲线12,C C 的方程； （2）若点()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+⎪⎝⎭在曲线1C 上，求221211ρρ+的值.24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()f x 5x a x =-+.（1）当1a =-时，求不等式()53f x x ≤+的解集； （2）若1x ≥-时，恒有 ()0,f x ≥求a 的取值范围.炎德·英才大联考长郡中学2016届高卷（二）参考答案数学（文科）一、选择题（每小题5分，共60分）1-5.BADCA 6-10.DBBCD 11-12.BB 二、填空题（每小题5分，共20分）13.0.45 14.2 15.6 16.127 三、解答题17.解：（1）由正弦定理得：sin sin sin cos ,A C B B C =+又()sin sin ,A B C =+所以()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=sin sin cos ,C B B C +即有cos sin sin ,B C C B 又sin 0,cos ,C B B ≠∴=即tan 3B =.有余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，得223a c +=，即2212a c +=. ②由①②得3a =或a =18. 解：（1）由图1及折起过程可知，在图2中，,,,BC BF BC DF BF DF F BC ⊥⊥⋂=∴⊥面BDF ，即,B C B D ⊥又平面DBC ⊥平面ABCE ，BD ∴⊥面ABCE ，即BD ⊥面BCEF .（2）由（1）知BC ⊥面BDF ，又,BC AE AE ∴⊥面BDF ，侧面BDF ⊥面ADE ，过B 作BH DF ⊥，则BH ⊥面ADE ， 故BH 即为B 到平面ADE 的距离，又易知BC 面ADE ， 所以BH 即为C 到平面ADE 的距离.又由已知3BF DF BD ===，所以在Rt BDF ∆中，32BF BD BH DF ==， 因此，点C 到平面ADE 的距离是32.19. 解：（1）设月销售收入y 与月份x 的相关系数为1r ，月累计销售收入z 与月份x 的相关系数为2r ，则55125552222111()()()()706650.968,0.99872.3665.83()()()iiiiiiii i i x x y y x x z z r r y y x x z z ===----==≈==≈---∑∑∑∑∑则21r r >，因此选择z dx c =+进行预测更准确.（2）由(1) 及已知，()()()5152166566.510iii i i x x z z d x x==--===-∑∑， 172.666.5326.9c z d x =-=-⨯=-因此,所求回归方程为：66.526.9z x =-，当6x =时，当66.5626.9372.1z =⨯-=, 因此，预测该公司6月份的销售收入为372.131161.1-=万元. 20. 解：（1）设(),D x y ，因为12,l l 的斜率乘积为14-，所以()12224y y x x x =-≠±+-. 故点D 的轨迹方程为()22124x y x +=≠±.（2）将直线l 与D的方程联立2214x my x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩,消元整理得：()22410m y ++-=,设()()1122,,,P x y Q x y则12y y +=()122,Q x y -，直线PQ 的方程为()121112y y y y x x x x +-=--，令0y =得())1121212112122y x x my y y y x x y y y y -++=-==++，所以3R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.(1211132323RPQS y y y ∆⎛=-=+= ⎝13=,当且仅当m =时，等号成立,故三角形PQR 的面积的最 大值为13.21. 解：（1）依题意()()()1'2,11,'13f x x a f a f a x=++=+=+， 所以，过点()()1,1P f 的切线方程为()()()131y a a x -+=+-，即()320a x y +--=.（2）()()2121'20x ax f x x a x x x++=++=>，设()()2210g x x ax x =++>.①当224280a a -=-≤即a -≤≤()()0,'0g x f x ≥∴≥.故()y f x =在()0,+∞上单调递增,又()4410,0f f e e ⎛⎫<> ⎪⎝⎭，所以函数()y f x = 有一个零点.②当224280a a -=->，即a <-a >04a-≤即a > 因为()01f =，故()'0g x >，()y f x =在()0,+∞上单调递增, 所以函数()y f x = 有一个零点.若04a->即a <-时，()'0g x =的两根为1x 、2x 且120x x <<,则在()10,x 与()2,x +∞上()'0g x >，在()12,x x 上()'0g x <，所以在()10,x 与()2,x +∞上()f x 递增，在()12,x x 上()f x 递减，()()21111ln f x f x x ax x ==++极大值，由()1'0g x =得211210x ax ++= ()()22111111ln ln 1f x f x x ax x x x ∴==++=-+-极大值令()2ln 1h x x x =-+-，则()221'x h x x -+=，显然，()()10f x h x h ≤=<⎝⎭极大值, 又x →+∞时，()f x →+∞所以函数()y f x = 有一个零点. 综合得函数()y f x = 有一个零点. 22. 解：（1）证明：连接,,,OD OC CD D 是弧AC 的中点，ABD CBD ∴∠=∠.,CBD EAD ABD EAD ∠=∠∴∠=∠. ,BDA EDA BADAED ∠=∠∴∆∆.DE AD AD BD∴=,2AD DE DB ∴=.（2）D 是弧AC 的中点，,,2,OD AC AD BC DE EB AD ∴⊥=,ACB DAC CBD ADB ∴∠=∠∠=∠,,,,ADB ACB DAC DBC BE CE AE DE ∠=∠∠=∠∴==,延长DO 交AC 于F ，交圆于G ，设B E x =，则2D E x =，2,623AD DE DB x x =∴=，解得31,2,,2BE CE DE AE AF CF DF ====∴====，设圆半径为r ，则OC r =，22232r r ⎫⎛⎫∴=-+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得r =.∴.23. 解：（1）将1,2M ⎛ ⎝⎭及对应的参数3πϕ=，代入cos sin x a y b ϕϕ=⎧⎨=⎩，得1cos 3sin 3a b ππ⎧=⎪⎪=， 即21a b =⎧⎨=⎩，所以曲线1C 的方程为2cos (sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数) ，或2214x y +=. 设圆 2C 的半径为R ，由题意,圆2C 的方程为2cos R ρθ=，(或()222x R y R -+=). 将点1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入2cos R ρθ=，得12cos 3R π=，即1R =. (或由1,3D π⎛⎫ ⎪⎝⎭，得12D ⎛ ⎝⎭，代入()222x R y R -+=得1R =), 所以曲线2C 的方程为2cos ρθ=，或()2211x y -+=.（2）因为点()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在曲线1C 上，所以222211cos sin 14ρθρθ+=, 222222sin cos 14ρθρθ+=，所以2222221211cos sin 5sin cos 444θθθθρρ⎛⎫⎛⎫+=+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 24. 解：（1）当1a =-时，不等式()53f x x ≤+,1553,13,42x x x x x ∴++≤+∴+≤∴-≤≤.∴不等式()53f x x ≤+的解集为[]4,2-.（2）若1x ≥时，恒有()0,50f x x a x ≥∴-+≥，即5,5x a x x a x -≥-∴-≥-，或5x a x -≤，6a x ∴≤，或4,1,66,44,6a x x x x a ≥-≥-∴≥--≤∴≤-，或4a ≥. a ∴的取值范围是(][),64,-∞-+∞.。

2017届湖南长沙长郡中学高三摸底测试数学（文）试题一、选择题 1．复数21z i=+（i 是虚数单位）的共轭复数在复数平面内对应的点是（ ） A ．(1,1) B ．(1,1)- C ．(1,1)- D ．(1,1)-- 【答案】A【解析】试题分析：1,1z i z i =-=+，对应点()1,1.【考点】复数概念及运算. 【易错点晴】在复数的四则运算上,经常由于疏忽而导致计算结果出错.除了加减乘除运算外,有时要结合共轭复数的特征性质和复数模的相关知识,综合起来加以分析.在复数的四则运算中,只对加法和乘法法则给出规定,而把减法、除法定义为加法、乘法的逆运算.复数代数形式的运算类似多项式的运算,加法类似合并同类项;复数的加法满足交换律和结合律,复数代数形式的乘法类似多项式乘以多项式,除法类似分母有理化;用类比的思想学习复数中的运算问题.2．已知函数(5),2(),22(),2x f x x f x e x f x x +>⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩，则(2016)f -=（ ）A ．2eB ．eC ．1D ．1e【答案】B【解析】试题分析：2x <-时，(2016)(2016)f f -=，2x >时，函数周期为5，()(2016)1f f e ==.【考点】分段函数求值.3．抛掷两颗质地均匀的骰子，则向上的点数之积为6的概率等于（ ） A ．118 B ．19 C ．16 D ．536【答案】B【解析】试题分析：基本事件36种，符合题意的为()()()()1,6,6,1,2,3,3,2共四种，故概率为19. 【考点】古典概型. 4．设,,a b c为三角形ABC三边长，1,a b c ≠<，若l o g l o g2l o c b cb c b c ba a a a +-+-+=，则三角形ABC 的形状为（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．无法确定 【答案】B 【解析】试题分析：两边除以log log c b c b a a+-得()()112,log 2log log a c b c b c b c b a a-++=+-=，222a b c =-，故为直角三角形.【考点】1.解三角形；2.对数运算.5．如图所示，已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点M 与C 的焦点不重合，分别延长12,MF MF 到,P Q ，使得1123MF F P = ，2223MF F Q =，D 是椭圆C 上一点，延长MD 到N ，若3255QD QM QN =+，则||||PN QN +=（ ）A ．10B ．5C ．6D ．3 【答案】A【解析】试题分析：根据椭圆的定义和比例，有()1255||||||||41022PN QN DF DF +=⋅+=⋅=. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系.6．若1sin()63πα-=，则22cos ()162πα+-=（ ） A ．13 B ．13- C ．79 D ．79-【答案】A 【解析】试题分析：212cos ()1cos cos sin 6232663παππππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.【考点】三角恒等变换.7．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为3，它的三视图中的俯视图如图所示，侧视图是一个矩形，则侧视图的面积是（ ）A ．8B ．．4 D ．【答案】B【解析】试题分析：设边长为a ，则31,44a a ==，故侧视图面积为4=【考点】三视图.8．定义区间12[,]x x 的长度为2121()x x x x ->，函数22()1()(,0)a a x f x a R a a x+-=∈≠的定义域与值域都是[,]()m n n m >，则区间[,]m n 取最大长度时实数a 的值为（ ）A ．-3 C ．1 D ．3 【答案】D【解析】试题分析：()2111f x a a x=+-为增函数，故()f x 与y x =有两个交点，22()1a a x x a x+-=，化简得()22210a x a a x -++=，2111,m n mn a a +=+=，()()2223241n m n m mn a a -=+-=-++，对称轴113a =时，取得最大值，故3a =. 【考点】函数导数与不等式.9．已知函数2ln ||()x f x x x=-，则函数()y f x =的大致图象为（ ）【答案】A【解析】试题分析：由于()2ln xf x x x-=+，故函数为非奇非偶函数，排除B ，C.令2ln ||0x x x-=，得3ln x x =，两个函数交点在第三象限，故零点为负数，排除D ，选A.【考点】函数图象与性质.10．执行如图所示的程序框图，若输入x 的值为4，则输出的结果是（ ）A ．1B ．12-C ．54-D ．138- 【答案】C【解析】试题分析：4,1x y ==，循环，11,2x y ==-，循环，15,24x y =-=-，退出循环，故选C.【考点】算法与程序框图.11．已知非零向量,a b 满足||2||a b = ，若函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，则a 和b夹角的取值范围是（ ）A ．[0,)6πB ．(,]3ππC ．2(,]33ππD ．[,]3ππ 【答案】B【解析】试题分析：()'2f x x a x a b =++⋅有两个不相等的实根，22140,cos 24a a a b a b θ-⋅≥≤= ，故选B ．【考点】1.向量运算；2.函数导数.【思路点晴】函数3211()||132f x x a x abx =+++在R 上存在极值，转化过来，意思就是函数()f x 的导数在R 上有两个不相等的实数根，函数求导后得到()'2f x x a x a b =++⋅ ，利用判别式大于零，即有22140,cos 24a a a b a b θ-⋅≥≤= ，两个向量所成的角的取值范围是[]0,π，在这个区间上，满足1cos 2θ≤的角的取值范围就是(,]3ππ.两个知识点的题目，只需要我们各个击破就可以解决.12．若函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，则a 的取值范围是（ ）A ．[1,1]-B ．1[1,]3-C ．11[,]33-D ．1[1,]3--【答案】C 【解析】试题分析：函数在(,)-∞+∞单调递增()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，1cos 1x -≤≤，所以435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.【考点】导数与单调区间.【思路点晴】函数1()sin 2sin 3f x x x a x =-+在(,)-∞+∞单调递增，也就是它的导函数恒大于等于零，我们求导后得到()'22451cos 2cos cos cos 0333f x x a x x a x =-+=-++≥恒成立，即24cos 3cos 50x a x --≤恒成立，这相当于一个开口向上的二次函数，而1cos 1x -≤≤，所以在区间的端点要满足函数值小于零，所以有435011,,435033a a a +-≤⎧⎡⎤∈-⎨⎢⎥--≤⎣⎦⎩.解决恒成立问题有两种方法，一种是分离参数法，另一种是直接用二次函数或者导数来讨论.二、填空题13．在正方体ABCD 中，M 是BD 的中点，且,(,)AM mAB nAD m n R =+∈，函数()1x f x e ax =-+的图象为曲线Γ，若曲线Γ存在与直线()y m n x =+垂线的切线（e 为自然对数的底数），则实数a 的取值范围是 . 【答案】()1,+∞【解析】试题分析：依题意1,12m n m n ==+=，()y m n x x =+=，()'1,10,1x x f x e a e a a =-=-=->>.【考点】1.向量运算；2.切线方程. 14．已知直线4x π=是函数()sin cos (0)f x a x b x ab =-≠图象的一条对称轴，则直线0ax by c ++=的倾斜角为 .【答案】4π【解析】试题分析：()()f x x ϕ=-，其中tan b a ϕ=，将4x π=代入，得sin ,,4424k k ππππϕϕπϕπ⎛⎫--=+=-- ⎪⎝⎭，所以tan tan 14b k a πϕπ⎛⎫=--=-= ⎪⎝⎭，所以直线斜率为1b a -=，故倾斜角为4π.【考点】三角函数图象与性质.15．设,x y 满足不等式211y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，若4M x y =+，1()2x N =，则M N -的最小值为 . 【答案】4-【解析】试题分析：M N -的最小值即min max M N -，画出可行域如下图所示，M 在点()1,2-取得最小值为2-，N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.【考点】线性规划.【思路点晴】本题的命题背景是线性规划，第一步我们就画出可行域，由图象可知，可行域为三角形.M N -的最小值即min max M N -，我们只需求出M 的最小值，减去N 的最大值即可.在图象中画出基准的4y x =-，向下平移到点()1,2-取得最小值为2-，而对于N ，这是一个减函数，由可行域可知定义域的取值范围是[]1,3-，故N 在1x =-是取得最大值为2，故min max 4M N -=-.16．抛物线22(0)x py p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221x y -=相交于,A B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p = .【答案】【解析】试题分析：抛物线准线为2p y =-，代入双曲线得x =焦点0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，=p =【考点】圆锥曲线间的位置关系.【思路点晴】本题考查的是抛物线和双曲线的位置关系.先根据定义求出抛物线的焦点和准线方程分别为0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭和2p y =-.将2p y =-代入双曲线的方程，可求得,A B 两点的坐标.得出坐标之后，根据题意，ABF ∆为等边三角形，也就是说AF k =，也=p =此类题目主要的方法就是数形结合，然后利用圆锥曲线的定义来求解.三、解答题17．已知数列{}n a 的首项14a =，前n 项和为n S ，且13240n n S S n +---=（*n N ∈）. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设函数23121()n n n n f x a x a x a x a x --=++++ ，'()f x 是函数()f x 的导函数，令'(1)n b f =，求数列{}n b 的通项公式，并研究其单调性. 【答案】（1）1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，单调递增数列.【解析】试题分析：（1）利用1n n n a S S -=-，化简得1320n n a a +--=，进行配凑得113(1)(2)n n a a n ++=+≥，这是一个等比数列，故1*531()n n a n N -=⨯-∈；（2）'11(1)2n n f a a na -=+++ ，这类似一个等差数列乘以个等比数列，我们采用分组求和和错位相减法求得15315(6)42n n n n b +⨯-+=-，用1n n b b +-判断出{}n b 是单调递增数列.试题解析：（1）由13240n n S S n +---=，*()n N ∈，得132240n n S S n ---+-=(2)n ≥ 两式相减得1320n n a a +--=，可得113(1)(2)n n a a n ++=+≥又由已知214a =，∴2113(1)a a +=+，即{1}n a +是一个首项为5，公比3q =的等比数列，∴1*531()n n a n N -=⨯-∈.（2）∵'111()2n n n f x a a x na x --=+++ ，∴'11(1)2n n f a a na -=+++120(531)2(531)(531)n n n --=⨯-+⨯-++⨯-1230(1)5[323333]2n n n n n n ---+=+⨯+⨯++⨯-令1230323333n n n S n ---=+⨯+⨯++⨯ ，则1213323333n n n S n --=+⨯+⨯++⨯∴作差得：13324n n S +-=--，∴1'5315(6)(1)42n n n f +⨯-+=-即15315(6)42n n n n b +⨯-+=-而215315(1)(7)42n n n n b ++⨯-++=-，∴作差得：11537022n n n b b n +⨯-=--> ∴{}n b 是单调递增数列. 【考点】数列.18．如图，三棱锥S ABC -，,E F 分别在线段,AB AC 上，//EF BC ，,ABC SEF ∆∆均是等边三角形，且平面SEF ⊥平面ABC ，若4,BC EF a ==，O 为EF 的中点.（1）当2a =时，求三棱锥S ABC -的体积； （2）a 为何值时，BE ⊥平面SCO .【答案】（1（2）83a =. 【解析】试题分析：（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，SO ⊥平面ABC （2）SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =，所以124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =. 试题解析：（1）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，所以SO EF ⊥，∴SO ⊥平面ABC ，即31,42S ABC ABC SO V S SO -∆==∙=（2）平面SEF ⊥平面ABC ，O 为EF 的中点，且SE SF =，∴SO ⊥平面ABC ，故SO BE ⊥， 要使BE ⊥平面SCO ，则需BE CO ⊥，延长CO 交AB 于D ，则CD AB ⊥，1124DE EO a ==，2AD =， ∴124AE a =+，即AE EF =，124a a +=，83a =，所以83a =时，BE ⊥平面SCO .【考点】立体几何证明垂直与求体积.19．国内某知名大学有男生14000人，女生10000人，该校体育学院想了解本校学生的运动状况，根据性别采取分层抽样的方法从全校学生中抽取120人，统计他们平均每天运动的时间，如下表：（平均每天运动的时间单位：小时，该校学生平均每天运动的时间范围是[0,3]）.男生平均每天运动时间分布情况：女生平均每天运动时间分布情况：（1）请根据样本估算该校男生平均每天运动的时间（结果精确到0.1）； （2）若规定平均每天运动的时间不少于2小时的学生为“运动达人”，低于2小时的学生为“非运动达人”.①请根据样本估算该校“运动达人”的数量；②请根据上述表格中的统计数据填写下面22⨯列联表，并通过计算判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关？”参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.参考数据：【答案】（1）；（2）①；②列联表见解析，不能在犯错误的概率不超过的前提下认为“是否为‘运动达人’与性别有关.【解析】试题分析：（1）由分层抽样计算得男生抽70人，女生抽50人，故5,2x y ==，由此求得男生平均运动事件为 1.5小时；（2）计算2120(1545555)96 2.743 3.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯，故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”. 试题解析：（1）由分层抽样得：男生抽取的人数为14000120701400010000⨯=+人，女生抽取人数为1207050-=人， 故5,2x y ==， 则该校男生平均每天运动时间为：0.2520.7512 1.2523 1.7518 2.2510 2.7551.570⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯≈故该校男生平均每天运动的时间约为1.5小时； （2）①样本中“运动达人”所占比例是2011206=，故估计该校“运动达人”有1(1400010000)40006⨯+=人； ②由表可知：故2K 的观测值2120(1545555)962.7433.84120100507035k ⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯ 故在犯错误的概率不超过0.05的前提下不能认为“是否为‘运动达人’与性别有关”【考点】1.频率分布直方图；2.独立性检验.20．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 且垂直于x 轴的直线与椭圆C 相交于,M N 两点，且||3MN =.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 经过点F 且斜率为k ，l 与椭圆C 相交于,A B 两点，与以椭圆C 的右顶点E 为圆心相交于,P Q 两点（,,,A P B Q 自上至下排列），O 为坐标原点，95OA OB ∙=- ，且||||AP BQ =，求直线l 和圆E 的方程.【答案】（1）22143x y +=；（20y -=0y +，圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 【解析】试题分析：（1）由题意得222c a b =-，12c a =，223b a ⋅=，解得2,1a b c ===，所以椭圆C 的方程为22143x y +=；（2）设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，写出根与系数关系得2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，所以2122934k y y k =-+.故21212212534k OA OB x x y y k +∙=+=-+ .所以95OA OB ∙=- ，所以221259345k k +-=-+，解得：23k =.故所求直线l 的方程为1)y x =-.设圆E 的半径为r ，因为21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ =将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 试题解析：（1）设(,0)F c ，则由题意得222c a b =-，12c a =，223b a∙=，解得2,1a b c ===，∴椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）由题意，直线l 的斜率k 存在，设l 的方程为(1)y k x =-， 联立椭圆方程得：2222(34)84120k x k x k +-+-=.设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k -=+，∴2122934k y y k =-+.∴21212212534k OA OB x x y y k +∙=+=-+ .∵95OA OB ∙=- ，∴221259345k k +-=-+，解得：23k =.由题意可得：||||AP BQ =等价于||||AB PQ =. 设圆E 的半径为r ，∵21221212|||34k AB x x k +=-=+，||PQ = 将23k =代入||||AB PQ =解得：2331100r =.故所求直线l 的方程为1)y x =-0y -=0y +=；圆E 的方程为22331(2)100x y -+=. 【考点】直线与圆锥曲线位置关系.【方法点晴】圆锥曲线命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、双曲线、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等. 21．已知函数ln ()kx kf x e +=（k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数），曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行.（1）求k 的值；（2）设2'()()()g x x x f x =+，其中'()f x 为()f x 的导函数，证明：20,()1x g x e -∀><+.【答案】（1）1k =；（2）证明见解析.【解析】试题分析：（1）曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，即'1(1)0kf e-==，解得1k =；（2）先求得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，设()1l n h x x x x =--，利用导数求得()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e-≤+.设()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数求得()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0x e x -+>，所以101x x e +<<.所以21()()1x x g x h x e e-+=<+. 试题解析：（1）由ln ()x x k f x e +=，得'1ln ()x kx x x f x xe --=，(0,)x ∈+∞.由已知，得'1(1)0k f e-==，∴1k = （2）由（1），得21ln 1()()(1ln )x x x x x x g x x x x x x xe e--+=+=--，(0,)x ∈+∞ 设()1ln h x x x x =--，则'()ln 2h x x =--，(0,)x ∈+∞ 令'()0h x =，得2x e -=.当20x e -<<时，'()0h x >，∴()h x 在2(0,)e -上是增函数；当2x e ->时，'()0h x <，∴()h x 在2(,)e -+∞上是减函数. 故()h x 在(0,)+∞上的最大值为22()1h e e --=+，即2()1h x e -≤+. 设()(1)xx e x ϕ=-+，则'()10x x e ϕ=->，(0,)x ∈+∞， ∴()x ϕ在(0,)+∞上是增函数，∴()(0)0x ϕϕ>=，即(1)0xe x -+>，∴101xx e +<<. ∴21()()1x x g x h x e e-+=<+. 因此，对任意0x >，2()1g x e -<+.【考点】函数导数与不等式.【方法点晴】本题考查函数导数的基本原理.首先是导数与切线的关系，题目中曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行，意思就是曲线在该点的导数为0，由此建立方程可求出1k =.本题第二问，利用综合法来分析，要证21()()1x x g x h x e e-+=<+，即是证2()1h x e -<+，且101xx e +<<.我们构造两个函数，一个是()1ln h x x x x =--，一个是()(1)x x e x ϕ=-+，利用导数作为工具来证明即可.22．如图，圆M 与圆N 交于,A B 两点，以A 为切点作两圆的切线分别交圆M 和圆N 于,C D 两点，延长DB 交圆M 于点E ，延长CB 交圆N 于点F ，已知5,10B C D B ==.（1）求AB 的长； （2）求CF DE.【答案】（1）AB =（2）1【解析】试题分析：（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，所以ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB =（2）根据切割线定理，知2CA CB CF =⋅，2DA DB DE =⋅，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=⋅，由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==，故1CFDE=. 试题解析：（1）根据弦切角定理，知BAC BDA ∠=∠，ACB DAB ∠=∠，∴ABC ∆∽DBA ∆，则AB BC DB BA=，故250AB BC BD =∙=，AB = （2）根据切割线定理，知2CA CB CF =∙，2DA DB DE =∙，两式相除，得22CA CB CFDA DB DE=∙（） 由ABC ∆∽DBA ∆，得102AC AB DA DB ===，2212CA DA =，又51102CB DB ==， 由（）得1CFDE=. 【考点】几何证明选讲.23．已知曲线1C 的参数方程为1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C 的极坐标方程为)4πρθ=+.（1）若极坐标为)4π的点A 在曲线1C 上，求曲线1C 与曲线2C 的交点坐标；（2）若点P 的坐标为(1,3)-，且曲线1C 与曲线2C 交于,B D 两点，求||||PB PD . 【答案】（1）(2,0),(0,2)；（2）6【解析】试题分析：（1）点4π对应的直角坐标为(1,1)，直线的方程为20x y +-=，圆的方程为22220x y x y +--=，联立解得交点坐标为(2,0),(0,2)；（2）P 在直线1C 上，将1c o3s i n x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(c o s s i n)60t t αα--+=，故1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 试题解析： （1）点)4π对应的直角坐标为(1,1)，由曲线1C 的参数方程知，曲线1C 是过点(1,3)-的直线，故曲线1C 的方程为20x y +-=，而曲线2C 的直角坐标方程为22220x y x y +--=，联立得2222020x y x y x y ⎧+--=⎨+-=⎩，解得：1120x y =⎧⎨=⎩，222x y =⎧⎨=⎩，故交点坐标分别为(2,0),(0,2).（2）由判断知，P 在直线1C 上，将1cos 3sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入方程22220x y x y +--=得：24(cos sin )60t t αα--+=，设点,B D 对应的参数分别为12,t t ，则1||||PB t =，2||||PD t =，而126t t =，以1212||||||||||6PB PD t t t t ===. 【考点】坐标系与参数方程.24．设不等式|21|1x -<的解集为M ，且,a M b M ∈∈. （1）试比较1ab +与a b +的大小；（2）设max A 表示数集A 中的最大数，且h=，求h 的范围. 【答案】（1）1ab a b +>+；（2）(2,)h ∈+∞【解析】试题分析：（1）利用绝对值不等式，解得{|01}M x x =<<.1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，1ab a b +>+；（2）h≥，h≥h ≥即2234()4()428a b a b ab h ab ab ab ++⨯≥>≥=，所以(2,)h ∈+∞. 试题解析：（1）{|01}M x x =<<，,a b M ∈，∴01,01a b <<<<，1(1)(1)0ab a b a b +--=-->，∴1ab a b +>+（2）∵h≥，h ≥h ≥∴2234()4()428a b a b ab h ab ab ab++⨯≥>≥= ∴(2,)h ∈+∞. 【考点】不等式选讲.。