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2014高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”）A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号在着陆准备轨道上的运行质量为 2.4t，其安装在下部的主减速发动机能够产生1500N到7500N的可调节推力，其比冲（即单位质量的推进剂产生的推力）为2940m/s，可以满足调整速度的控制要求。
在四周安装有姿态调整发动机，在给定主减速发动机的推力方向后，能够自动通过多个发动机的脉冲组合实现各种姿态的调整控制。
嫦娥三号的预定着陆点为19.51W，44.12N，海拔为-2641m（见附件1）。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
其着陆轨道设计的基本要求：着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（见附件2），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据上述的基本要求，请你们建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对于你们设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
附件1：问题的背景与参考资料；附件2：嫦娥三号着陆过程的六个阶段及其状态要求；附件3：距月面2400m处的数字高程图；附件4：距月面100m处的数字高程图。
附件1：问题A的背景与参考资料1．中新网12月12日电(记者姚培硕)根据计划，嫦娥三号将在北京时间12月14号在月球表面实施软着陆。
嫦娥三号如何实现软着陆以及能否成功成为外界关注焦点。
目前，全球仅有美国、前苏联成功实施了13次无人月球表面软着陆。
北京时间12月10日晚，嫦娥三号已经成功降轨进入预定的月面着陆准备轨道，这是嫦娥三号“落月”前最后一次轨道调整。
宁夏师范学院本科生毕业论文（设计）开题报告姓名杨金仓院、系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学班级2012级数学与应用数学2班学号201204110225 论文（设计）题目月球探测器软着陆轨道最优设计与控制策略题目来源2014年高教社杯全国大学生数学建模竞赛本课题研究的现状、意义、拟研究的主要问题、重点和难点、研究方法和步骤、预期效果：现状：在美、苏进行激烈的探月竞争的五、六十年代，我国由于国力所限，没有进行探月实践活动，但许多学者致力于探月轨道设计。
如今，我国的综合国力大大增强，以举世瞩目的成就被世界公认为航天大国。
但 94 年以前，我国在实际的月球探测方面仍是空白。
94 年 7 月我国计划在 97、98 年间的"921 工程”运载器试验时，搭载月球探测器，实现登月探测，代号为“50 工程”。
95 年又提出了的“嫦娥工程”。
中国首个月球探测计划“嫦娥工程”于 2004 年 3 月 1 日启动，分三个阶段实施该月球卫星将携带 CCD 立体相机、成像光谱仪、太阳宇宙射线监测器、低能粒子探测器等科学探测仪器。
其工作轨道为极月的圆轨道，轨道高度 200 千米，它的基本构型利用中国已有的成熟的东方红三号卫星为平台，各分系统充分继承了现有的技术和设备，进行适应性改造。
月球卫星将采用中国已有的成熟的运载火箭长征三号甲进行发射。
运载火箭把卫星送入地球静止转移轨道后与卫星分离，其后的轨道机动、中途修正、近月点制动等均由星上推进系统完成。
意义：本文所研究的制导控制方法正是为满足上述要求，应用现代控制理论，结合我国航天发展的实际情况而进行的。
本文以理论力学（万有引力、开普勒定律、万能守恒定律等）和卫星力学知识为理论基础，结合微分方程和微元法，借助MATLAB软件建立的最优轨道设计上进行仿真分析，实施月球探测将是继发射人造地球卫星和突破载人航天技术之后，中国航天活动的第三个里程碑。
月球是离地球最近的天体,自然成为空间探测的首选目标。
2021 高教社杯全国大学生数学建模比赛A 题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
对本问题应该给出合理的建模假定, 譬如: 惯性坐标、二体问题等, 并加以分析说明。
问题1: 在已知的条件下, 确定嫦娥三号在环月轨道上近月点与远月点的相对位置和速度（1) 建立合理适用的坐标系。
（2) 对嫦娥三号进行受力分析, 建立其运动学和准备轨道的数学模型（譬如: 微分方程等模型) 。
（3) 通过求解数学模型得. 到数值结果。
问题2: 确定软着陆轨道与6 阶段的控制策略由问题对着陆轨道 6 个阶段的要求, 每个阶段都应给出起止状态（速度和位置) 和最优控制策略（推力大小和方向) , 以满足各阶段起止状态的需求。
（1) 建立各阶段的最优控制模型, 明确给出控制变量、状态变量、状态方程、约束条件和目标函数。
（2) 在粗避障和精细避障阶段挑选落点时, 需要综合考虑月面的平整度、光照条件、着陆控制误差等因素, 确定最理想的着陆地点。
（3) 各阶段的控制问题是一个无穷维的优化问题, 可以通过合理的简化（譬如离散化为有限维的优化问题) 求解得. 到合理的数值结果, 即最优的控制策略。
（4) 若未按题目要求按6 阶段设计最优控制策略, 而照抄某些文献的两阶段或三阶段的处理方法, 不能视为较好的论文。
问题3: 着陆轨道设计和控制策略的误差分析与敏感度分析对问题的稳定性有影响的误差包括:（1) 着陆准备轨道参数（近月点位置和速度) 的误差；（2) 分阶段分析发动机推力（大小和方向) 的控制误差；（3) 模型的简化假定、模型的近似与求解过程等综合分析误差；加入能针对以上几个因素对问题结果的影响及程度做相应的敏感度分析, 应给予肯定。
2021高教社杯全国大学生数学建模比赛B题评阅要点[说明]本要点仅供参考, 各赛区评阅组应根据对题目的理解及学生的解答, 自主地进行评阅。
本题主要考查学生对直纹面的描述、建模和计算功底。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要随着人类的进步和科技的发展，人类对太空和月球的探索已经取得了很大的进步。
我国的探月工程项目也一直走在世界前列。
嫦娥三号是我国首次实行外天体软着陆任务的飞行器，在世界上首先实现了地外天体软着陆自主避障。
对于嫦娥三号软着陆过程虽然有很多的研究成果，但这仍然是一个永远值得我们研究的问题。
本文首先分析了嫦娥三号运行轨道的近月点和远月点的速度，然后确定了近月点和远月点的位置。
在这基础上，对嫦娥三号软着陆轨道进行拟合确定，通过制导技术分析六个阶段最优控制策略。
最后，对确定的轨道和最优控制策略进行误差分析和敏感性分析。
在对问题一近月点和远月点位置确定和速度分析时，本文建立了动力学模型，通过万有引力定律求得在近月点的飞行速度为1.67km/s，在远月点的速度为1.63km/s，然后用微元迭代的方法，解得近月点的位置19.51W,32.67N,15km，远月点的位置160.49E,32.67S，100km。
在轨道的确定过程中，为了便于研究，将嫦娥三号软着陆的轨道划分为三个阶段。
第一个阶段是从近月点到距月球表面2400米的高空，在这一阶段的研究中，本文建立了基于软着陆二维动力学模型，然后根据所得到的数据确定轨道，进而用MATLAB拟合出轨道。
第二阶段是从距月球表面2400米到4米，考虑到要避开月球表面障碍物，所以，用MATLAB将附件 3中的图像进行平面和三维作图，从而根据所做出的图像确定出此阶段的运行轨道。
在第三阶段的划分是嫦娥三号从4米处开始做自由落体运动，这个阶段的轨迹是一条直线。
在六个阶段运动过程的最优控制策略研究中，首先运用显示制导法进行六个阶段燃料的最优控制，约束条件是嫦娥三号在每个阶段燃料的使用尽量少。
然后用模拟退火遗传算法对六个阶段的轨道最优化进行设计，得出嫦娥三号着陆过程每个阶段最优轨道控制，通过避障制导技术得出嫦娥三号软着陆六个阶段的最优控制策略。
关键词：二维动力学模型最优控制策略显示制导法一. 问题重述嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，12月6日抵达月球轨道。
大学生数学建模论文现代社会对数学应用的需要导致了全球范围内的数学教育改革，而数学建模是经济社会与数学教育相结合的重要发展的产物。
下文是店铺为大家搜集整理的关于大学生数学建模论文的内容，希望能对大家有所帮助，欢迎大家阅读参考!大学生数学建模论文篇1浅谈MATLAB在数学建模中的应用摘要：数学建模是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并解决实际问题的一种强有力的数学手段，是数学与各个领域沟通的桥梁，本文先介绍了数学建模的概念，然后对MATLAB软件相关特点做出介绍，其次从数学建模实例出发，说明了MATLAB软件在数学建模中的重要作用，结果表明MATLAB软件可以使数学建模效率提高，结果清晰、明确，同时在数学教学方面也有重大意义。
关键词：数学建模;MATLAB;数学模型;数值计算21世纪的今天，我们生活在“大数据”时代里，数据信息隐藏于各行各业，如互联网、股市、勘探、军工、商业等，可以说我们每天都在跟数据打交道，因此高效的数据处理方式显得尤为重要。
数学建模是联系实际问题与数学之间的桥梁，建模的思想与以往解决问题的思路有很大的不同，我们以往求解数学问题时，都有明确的目标和已知条件，我们只要通过合理的方法，进行多次的数学运算，便能得到问题的解析解，但在现实生活中，很多实际问题是很难得到解析解的，甚至求解的问题和结果的范围都是模糊不清的，数学建模主要就是解决这样的问题，我们以实际问题出发，根据已有的经验，对已有的数据进行相关的分析、处理，通过合理的简化，建立合适的模型，再求解模型，最终会得到结果，这种方法行之有效，在实际生活中，通过建模已经解决了大量难题，近年来，随着科技的飞速发展，很多数学软件应运而生，如MATLAB、Mathematic、Maple等，目前应用最为广泛的数学软件便是MATLAB，它是1984年由美国MathWork公司推出的商业数学软件，用于算法开发，数据可视化、数值计算的高级计算语言和交互式环境，凭借计算功能强大、操作简便的特点在数学软件中脱颖而出，使得很多人在建模中选择该软件。
嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略摘要本文以嫦娥三号登月为背景，研究的是嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制策略问题。
根据动力学相关原理，建立了嫦娥三号软着陆轨迹模型，得到软着陆过程中各阶段的最优控制策略。
针对问题一，通过已知条件求解主减速阶段运动过程，通过水平位移量反推近月点位置。
建立模型一确定近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号速度大小与方向。
首先以月球中心为坐标原点建立空间坐标系，根据计算的作用力可知地球影响较小，故忽略不计。
然后将嫦娥三号软着陆看作抛物线的运动过程，计算在最大推力下的减速运动，求得月面偏移距离为462.4km，由此计算出偏移角度为15.25°。
从而得出近月点和远月点的经纬度分别为（34.76°W，44.12°N）和（34.76°E，44.12°S）。
最后在软着陆的椭圆轨道上，由动力势能和重力势能的变化，计算出嫦娥三号在远月点和近月点的速度分别为1700/和1615/，沿轨道切线方向。
针对问题二，我们根据牛顿第二定律，以每个阶段初始点以及终止点的状态作为约束，以燃料消耗最少作为优化目标，可以建立全局最优模型。
而通过将轨迹离散化，进行逐步迭代从而求得每个阶段的水平位移，并分别得到软着陆过程中六个过程中的着陆轨迹方程以及其对应的最优控制策略。
而在粗避障以及精避障阶段，我们将所给的数字高程图均分为9块，综合考量每一块的相对高程差和平坦度指标来选取最佳着陆点。
在粗避障阶段，根据燃料消耗最少的目标，选择把先将主减速发动机关闭，在进行一段时间匀加速直线运动后再打开发动机，进行减速直线运动作为最优的控制策略。
针对问题三，首先我们改变近月点处到月表的距离和减速发动机的推力这两个因素，对嫦娥三号处的水平位移、燃料消耗等等因素进行灵敏度以及误差的分析，可以观察到近月点离月表的距离与水平位移和燃料消耗均呈线性正相关，同时注意到减速发动机的推力与水平位移呈线性负相关，与该燃料消耗却又呈线性正相关，这也与常识相符合。
嫦娥三号软着陆轨道设计与最优控制摘要月球软着陆是月球探测中的一项关键技术。
嫦娥三号采用自环月轨道开始的软着陆方案。
嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
如何设计一条最优的软着陆轨道，采用最优的控制策略，使得嫦娥三号不仅能够安全、准确降落到预定降落点，而且使发动机消耗的燃料最少，是一个极具挑战的研究课题和任务。
对于问题1，本文采用经典二体问题的矢量解法并结合月心赤道惯性系求解得到了嫦娥三号在椭圆环月轨道上近月点和远月点的位置、速度和方向。
处理问题2时，依据软着陆各个阶段的具体情况，通过分别建立各个阶段的动力学模型来确定着陆轨道，如在动力下降段建立了均匀球体三维动力学模型和月心惯性系下软着陆动力学模型；在垂直下降段的接近段，建立了平面月球二维动力学模型，在垂直下降段的着陆段建立了垂直动力学模型。
为了最优控制嫦娥三号准确、安全降落到预定点，并且消耗燃料最少，在软着陆的6个阶段分别进行优化控制，得到最优变轨时发动机点火和关车的最佳位置，以及推力方向的最优控制律。
如进入霍曼转移轨道后，关闭发动机，利用月球引力飞行；根据庞特里亚金极大值原理，给出耗燃最优控制律，确定在动力下降段的最优推力并优化着陆轨道；在垂直下降段，分别对嫦娥三号在2400m和100m拍摄到的数字高程图中各个像素进行统计分析，求出数字高程图中区域的统计分布情况，嫦娥三号以此为依据进行分析，调整位置，选择高程在100米左右的区域进行软着陆。
处理问题3时，由于机动点处的速度和位置的微小变化会对轨道产生影响，而在月球软着陆主制动段，影响制导精度的误差源主要有偏离标准飞行轨迹的初始条件误差和导航与控制传感器误差。
因此建立了初始条件误差模型和导航与控制传感器误差模型进行敏感度和误差分析。
表明发动机关机时的速度变化时，目标半径将变化非常巨大，同样发动机关机时的半径的变化同样会产生巨大的误差。
因此，在任务发射阶段极有可能存在的微小误差必须在嫦娥三号沿着椭圆轨道飞行时通过中途机动进行纠正。
关键词：嫦娥三号软着陆动力学模型庞特里亚金极大值原理1 问题的背景在月面着陆可分为硬着陆和软着陆。
硬着陆对月速度不受限制，探测器撞上月球后设备会损坏，只能在接近月球的过程中传回月面信息。
软着陆对月速度比较小，探测器着陆后设备不被损坏，所以探测器着陆后可以继续在月面进行考察，因此相较于硬着陆，软着陆更具有实际使用价值和意义。
月球软着陆大致可以分为两种方式：一种是直接着陆方式，另一种是经过环月轨道的着陆方式。
直接着陆方式仅要求单冲量制动着落所需的速度增量较小，可以多运送一些有效载荷；而经过环月轨道的着陆方式需要双冲量制动着陆（环月轨道射入和软着陆）。
与直接软着陆方式相比，自环月轨道开始的软着陆方案具有较长的软着陆准备时间、可选择更大的着陆区域、可减少着陆舱部分的燃料消耗等优点。
因此，成为二十一世纪各航天大国进行月球探测普遍采用的着陆方式。
嫦娥三号于2013年12月2日1时30分成功发射，并与12月6日抵达月球轨道。
嫦娥三号采用自环月轨道开始的软着陆方案。
为了在月球表面具有科学价值的区域进行软着陆探测和取样，希望嫦娥三号能够在一些地形复杂区域安全着陆，这就要求嫦娥三号具有精确的着陆能力；另外，由于月球没有大气，嫦娥三号着陆时无法利用大气制动，只能利用制动发动机来减速，减少嫦娥三号在下降过程中的燃料消耗，对精确着陆任务来说也是至关重要。
因此如何设计一条最优的软着陆轨道，采用最优的控制策略，使得嫦娥三号不仅能够安全、准确降落到预定降落点，而且使发动机消耗的燃料最少，是一个极具挑战的研究课题和任务。
2 问题的提出和重述嫦娥三号在高速飞行的情况下，要保证准确地在月球预定区域内实现软着陆，关键问题是着陆轨道与控制策略的设计。
着陆轨道设计的基本要求：（1）着陆准备轨道为近月点15km，远月点100km的椭圆形轨道；（2）着陆轨道为从近月点至着陆点，其软着陆过程共分为6个阶段（着陆准备轨道，主减速段，快速调整段，粗避障段，精避障段，缓速下降阶段），要求满足每个阶段在关键点所处的状态；（3）尽量减少软着陆过程的燃料消耗。
根据着陆轨道设计的基本要求，建立数学模型解决下面的问题：（1）确定着陆准备轨道近月点和远月点的位置，以及嫦娥三号相应速度的大小与方向。
（2）确定嫦娥三号的着陆轨道和在6个阶段的最优控制策略。
（3）对设计的着陆轨道和控制策略做相应的误差分析和敏感性分析。
3 问题的描述和分析嫦娥三号软着陆的任务过程如图1所示。
着陆轨道为从15km近月点至着陆点（19.51W，44.12N，海拔为-2641m）。
图1嫦娥三号软着陆的任务过程按经环月轨道的着陆方式，嫦娥三号软着陆的任务过程可分为如图2所示的3个阶段：霍曼转移段、动力下降段和垂直下降段。
按照设计的具体方案，嫦娥三号软着陆过程又可以分为6个阶段：着陆准备轨道、主减速段、快速调整段、粗避障段、精避障段、缓速下降阶段。
月面图2 软着陆阶段示意图3.1 霍曼转移段嫦娥三号在接近月球后将姿态调整为底部朝向前进方向，然后底部主发动机点火，通过反作用力实现减速。
被月球引力捕获后，进入距月100km高度的圆形环月轨道，在这个月球停泊轨道上飞行。
根据预先选定的着陆位置，在100km 圆轨道上运行数圈后再次减速，经过霍曼变轨，进入100km×15km的椭圆形环月轨道，即从停泊轨道变轨到近地点在月球表面15公里、远月点在停泊轨道上的椭圆轨道上。
3.2 动力下降段在近月点，制动火箭点火工作用以抵消嫦娥三号的初始速度，所带燃料的大部分将用于此阶段。
该阶段为主减速段。
主减速段的区间是距离月面15km到3km。
该阶段是动力下降段，主要任务是减速，在15km高度近月点时发动机点火减速，用于抵消嫦娥三号的初始速度，沿着一条抛物线向月面落下去。
从而将嫦娥三号的速度从15km高度近月点的1.7km/s降到距离月面3公里处的57m/s。
3.3 垂直下降段在嫦娥三号水平速度将为0m/s后，调整姿态使其保持垂直向下软着陆到月面。
该阶段具体又包括以下4个阶段。
1、快速调整段快速调整段的主要是调整探测器姿态，需要从距离月面3km到 2.4km处将水平速度减为0m/s，即将嫦娥三号的姿态调整为垂直，底部朝上，主发动机保持工作，使主减速发动机的推力竖直向下，以悬停姿态向月面，缓慢降落，之后进入粗避障阶段。
2、粗避障段粗避障段的范围是距离月面2.4km到100m区间。
主要是要求避开大的陨石坑，实现在设计着陆点上方100m处悬停，并初步确定落月地点。
嫦娥三号在距离月面 2.4km处对正下方月面错误!未找到引用源。
×2300m 的范围进行拍照，获得数字高程，并嫦娥三号在月面的垂直投影位于预定着陆区域的中心位置。
3、精避障段精细避障段的区间是距离月面100m到30m。
要求嫦娥三号悬停在距离月面100m处，对着陆点附近区域100m范围内拍摄图像，并获得三维数字高程图。
分析三维数字高程图，避开较大的陨石坑，确定最佳着陆地点，实现在着陆点上方30m处水平方向速度为0m/s。
4、缓速下降阶段缓速下降阶段的区间是距离月面30m到4m。
该阶段的主要任务控制嫦娥三号在距离月面4m处的速度为0m/s，即实现在距离月面4m处相对月面静止，之后关闭发动机，使嫦娥三号自由落体到精确落月点。
4 模型假设和变量符号说明4.1 模型假设1、嫦娥三号除自身推力外只受重力影响，不考虑科氏加速度。
2、忽略月球的自转；3、月球引力非球项、日月引力摄动等影响因素忽略不计；4、计算近月点和远月点的速度不考虑其他天体对嫦娥三号的万有引力；5、在对嫦娥三号进行轨道估计时，认为作用其上的所有外力都通过其质心；6、嫦娥三号的运动都是在真空中进行的；7、假设嫦娥三号在一个固定的铅垂面内运动，没有考虑侧向运动；8、嫦娥三号观测数据精准。
4.2 变量符号说明5 问题1的求解5.1 月心赤道惯性系为了确定近月点和远月点的位置，建立月心赤道惯性系。
月心赤道惯性OXYZ 的定义为：原点O 位于月球中心，XY 平面在月球赤道平面内，其中，X 轴指向J2000平春分点在月球赤道上的投影，Z 轴指向月球北极，Y 轴与X 和Z 轴构成直角坐标系。
嫦娥三号在空间中的位置（例如近月点和远月点）可由直角坐标系),,(z y x 来表示，或者由),,(βαr 表示成球坐标的形式，r 为从月心到嫦娥三号的距离。
图3 月心赤道惯性系示意图5.2 近月点和远月点的位置首先需要获得软着陆过程赤经赤纬的变化。
这里需要利用软着陆下降轨迹设计的一个结论：软着陆下降轨迹平面在环月停泊轨道平面内。
月心赤道惯性系下的嫦娥三号位置可表示如下L L L L L r Z r Y r X βαβαβcos ,sin sin ,cos sin === （1）其中，r 为嫦娥三号矢径；L α为嫦娥三号的赤经；嫦娥三号的赤纬等于90−L β。
于是，容易得出L α，L β的表达式⎪⎩⎪⎨⎧<>+<+>>=---0,0,2)/(tan 0,)/(tan 0,0),/(tan 111Y X X Y X X Y Y X X Y L ππα)/(cos 1r Z L -=β （2） 由式（2）即可求得赤经和赤纬的变化量00,L Lf L L Lf L βββααα-=∆-=∆于是，由下式即得软着陆初始下降点的经纬度0L λ和0L ϕ，如下⎪⎩⎪⎨⎧∆+=∆+∆-=L Lf L m L Lf L t βϕϕωαλλ00 （3） 其中，L α∆和L β∆由（3）式给出；t ∆为软着陆过程所需时间。
通过对坐标的描述以及转化，计算得出嫦娥三号近月点的位置如表2中所示。
表2 嫦娥三号近月点和远月点的位置5.3 近月点和远月点的速度和方向为了计算近月点和远月点的速度，我们可以将月球与椭圆轨道的关系用图4表示。
图中P 点为近月点，A 点为远月点，F 为月球，即为椭圆的一个焦点，C 为椭圆的中心点。
图4 月球位于焦点F 的椭圆轨道已知月球平均半径为1737.013km ，近地点和远地点离月球面的距离分别为15km 和100km ，则可以得到：近地点半径013.175215013.1737=+=+=p p Z R r km远地点半径013.1837100013.1737=+=+=a p Z R r km已知月球的引力参数为23/4903s km =μ，则根据⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-⋅==+⋅==e h r e h r a p 11013.183711013.175222μμ 计算得到偏心率为024.0026.360585==+-=p a p a r r r r e 从而由 e h r p +⋅==11013.17522μ 得到角动量为s km e r h p /85.2965)1(2=+⋅=μ则运用角动量方程，得到近月点的速度为：s km s km r h v p p /70.12869.1013.175285.2965≈===远月点的速度为：s km r h v a a 61.1013.183785.2965===6 问题2的求解6.1 嫦娥三号的着陆轨道6.1.1 动力下降段飞行动力学建模该段中，嫦娥三号距离月面相对较高，且嫦娥三号走过的月面距离比较长，将月球视为平面建立模型会带来较大的偏差。
