2012-2013学年第一学期高等数学期中测试

高中数学期中考试试题2015级中期考试 数学试题注意事项：1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。

2.答选择题时，必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答 案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答 案标号。

3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答 案书写在答题卷规定的位置上。

4.所有题目必须在答题卷上作答，在试题卷上答题无效。

一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．若集合{}1->=x x A ，则下列关系式中成立的是（ ） A ．{}A ⊆0 B ．{}A ∈0 C．A∈φD ．A ⊆02．下列四组中的)(x f ，)(x g ，表示同一个函数的是( )． A ．)(x f ＝1，)(x g ＝0x B ．)(x f ＝2lg x ，)(x g ＝2lgxC ．)(x f ＝x 2，)(x g ＝4)(x D ．)(x f ＝3x ，)(x g3．已知⎩⎨⎧≤>=)0(3)0(log )(2x x x x f x ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡)41(f f 的值是（ ） A ．9B ．91 C ．9- D ．91- 4. 设函数)(x f =2x +3，)()2(x f x g =+，则)(x g 的表达式是 ( )A. )(x g =2x +1B. )(x g =2x -1C. )(x g = 2x -3D. )(x g =2x +7 5．下列式子或表格①)1)(1(log 1>-+-=a x a y a x②xy 2=，其中{}3,2,1,0∈x ,{}4,2,0∈y③122=+y x④)0(122≥=+y y x⑤A.①②③④⑤B.②③⑤C.③④D.④⑤6．已知A ，B 两地相距150千米，某人开汽车以60千米/小时的速度从A 地到达B 地。

在B 地停留1小时以后再以50千米/小时的速度返回A 地。

2012年上海高二第一学期期中考试数学试卷 2012.11一、填空题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分）1.数列{}n a 满足：()*11,0N n n a a a n n ∈+==+，则数列{}n a 的通项公式=n a2.如图1所示算法流程图输出的结果是3.已知数列{}n a 的前n 项和12++=n s nn ，则=+31a a4.如图2给出一个数阵，其中每行每列均为等差数列，且数阵从左至右以及从上到下都有无②数阵中数100共出现 次5.数列{}n a 中，1,273==a a ，数列⎭⎬⎫⎩⎨+11n a 是等差数列，则=11a6.设{}n a 是等比数列，公比2=q ,n s 为{}n a 的前n 项和.记n T =1217+-n n n a S S ，*N n ∈.设0n T 为数列{}=0n T n 的最大项，则 7.甲、乙两人于同一天分别携款1万元到银行储蓄，甲存五年期定期储蓄，年利率为2.88%，乙存一年期定期储蓄，年利率为2.25%，并在每年到期时将本息续存一年期定期储蓄，按规定每次计息时，储户须交纳利息的20%作为利息税，若存满五年后两人同时从银行取出存款，则甲与乙所得本息之和的差为 元．（假定利率五年内保持不变，结果精确到1分）8.给出数列{}n a 的条件如下：①设n n a b 2=，{}n b 是等差数列；②设)2(11≥+=--n a a b n n n ，{}n b 是等差数列；③前n 项的和12+=n S n ；④设12-=n n a b ，数列{}n b 前n 项和为2n ．其中使数列{}n a 是等差数列的条件的正确序号是图1图29.在1，2之间插入n 个正数,21,......,,n a a a ，使这n+2个数成等比数列，则=n a a a a ...321 10.正项无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1lim1=+∞→n nn S S ，则其公比q 的取值范围是11.数列()()⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-12121n n 的前n 项和为n S ，使T S n <恒成立的最小正数T 是12.2n 个正数排成n 行n 列，如图3，其中每行 数都成等比数列，每列数都成等差数列，且所 有公比都相等，已知,18,6,5565424===a a a 则=+1422a a二、选择题：（本大题共4小题，每小题4分，每题有且只有一个正确答案，满分16分） 13.用数学归纳法证明不等式6412721......412111>++++-n ,*N n ∈成立，起始值至少应取为（ ）A.7B.8C.9D.1014.设命题甲：△ABC 的一个内角为60°，命题乙：△ABC 的三内角的度数成等差数列．那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件15.已知{}n a 为等比数列，下面结论中正确的是（ ） A.2312a a a ≥+ B.2223212a a a ≥+ C.若31a a =，则21a a = D.若13a a >，则24a a >16.若矩阵726967656259817468645952857976726964228219211204195183A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭是表示我校学生高二上学期的期中成绩矩阵，A 中元素(1,2,3,4;1,2,3,4,5,6)ij a i j ==的含义如下：1i =表示语文成绩，2i =表示数学成绩，3i =表示英语成绩，4i =表示语数外三门总分成绩*,j k k N =∈表示第图350k 名分数。

武汉市部分重点中学2012-2013学年度上学期期中联考高一数学参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，满分25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上.答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.11．1 12．60,25 13．-2 14．),0()41,(∞+--∞ 15．),2(∞+三､解答题：本大题共6个小题，满分75分．解答应写出文字说明､证明过程或推演步骤．16．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）)(x g 的图象与)(x f 的图象关于x y =对称，且x x f a log )(=，x a x g =∴)( …………………………… 3分而点)2,1(在函数)(x g 的图象上，.2)(x x g =∴…………………………… 6分 （Ⅱ）依题意22x x =，经检验，当2=x 时，上式成立..,2∅≠∴∈∴M M…………………………… 12分17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ） )33(log ))((33xx g f -=,0333>-∴x ,即3<x ∴))((x g f 的定义域为)3,(-∞ …………………………… 4分 （Ⅱ）x x f g x -=-=2733))((3log 3 ，∴(())g f x 在[]123，上是单调减函数∴ (())g f x 的值域为[]2415，……………………………12分18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：设1,2x x 是区间(0,)+∞上的任意两个实数，且12x x <，则12121221121212,121212121111()()(4)(4)0,0,0,0()()0,()()x x f x f x x x x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x --=---=-=>><∴>-<∴-<< ∴()f x 在(0,)+∞上是增函数. …………………………… 6分（Ⅱ）解：0,m n << 由（Ⅰ）可知(),()f m m f n n == 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-n n m m 1414，化简得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-01401422n n m m . …………………………… 9分 ,m n ∴为方程2410x x -+=的两个不同实数根， m n <22m ∴== …………………………… 12分19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设二次函数)0()(2≠++=a c bx ax x f ，则根据题意，对称轴12=-=a b x ， 124)2(,0)1(=++==++=c b a f c b a f ，解得1,2,1=-==c b a∴函数2()(1).f x x =- …………………………… 4分（Ⅱ）依题意 22)1(-≤x mx ，化简得012)1(2≤-+-x x m （*）①当m =1 时，（*）式可化简为210x -≤，即12x ≤，不满足题意. ……………… 6分 ②当m ≠1时，根据题意，对于任意x R ∈均有（*）式成立则有⎩⎨⎧≤-+=∆<-0)1(4401m m ， 解得 0≤m∴实数m 的取值范围为(,0]-∞ …………………………… 12分20．（本小题满分13分）（Ⅰ）∵()f x 为偶函数，∴(1)(1),(2)(2)f f f f =-=- ………………… 2分由()f x 的解析式得⎩⎨⎧==-34b a b ，解得⎩⎨⎧=-=31b a ， ………………………… 4分 经验证符合题意 ………………………… 5分（Ⅱ）∵)12(32)(2-≤≤-+--=x x x x f ）∴()f x 在[]1,2--上是增函数， …………………………… 7分 若()f x 在定义域上是增函数，则需()f x 在[]21，上是增函数且)1()1(->f f ， 即⎩⎨⎧->>)1()1(0f f a ，解得⎩⎨⎧>->40a b a ∴b a ,满足的关系式是⎩⎨⎧>->40a b a . …………………………… 13分21．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）A B ⊆①当∅=B 时，即21-<a ，满足题意 ……………………… 1分 ②当∅≠B 时，即21-≥a ，则8≤a ，即821≤≤-a ……………………… 3分 综合①②得，8≤a . ……………………… 4分（Ⅱ）0>a ，则B 为非空集合，且}21|{a x x A ≤≤-=， 令函数2)(x x g = ①当102a <≤时，则41)21()(,0)0()(m ax m in =-===g x g g x g ∴1[0,]4C =， 又∵C B ⊆ ∴只需满足41≥a ，又∵102a <≤ ∴2141≤≤a . ……………………… 8分 ②当12a >时，则2m ax m in )()(,0)0()(a a g x g g x g ==== 2[0,]C a =，又∵C B ⊆∴只需满足a a ≤2，即121,10≤<∴≤≤a a ……………………… 12分 综合①②得，a 的取值范围为]1,41[. ……………………… 14分。

2012-2013学年高一（上）期中数学试卷一．选择题：（60分）C D．⊈A．C D．0.70.90.86．（5分）已知3m=5n=k且，则k的值为（）C D7．（5分）设（）x．C D．9．（5分）若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log2x⊕的值域是（）11．（5分）若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）．C D．12．（5分）设函数，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（）二、填空题：（20分）13．（5分）函数f（x）是幂函数，其图象过点（2，8），则f（3）=_________．14．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣3）=0，则不等式的解集为_________．15．（5分）函数y=x2﹣2|x|+1的单调增区间为_________．16．（5分）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为_________级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的_________倍．三．解答题：（70分）17．（10分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，求m的取值范围．18．（12分）已知函数y=的定义域为集合A，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：∁R（A∩B），（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+3}，若C⊆B，求实数a的取值范围．19．（12分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求满足不等式f（2x﹣1）＜f（）的实数x的取值范围．20．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（4﹣2x），（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求使函数f（x）＞0时实数x的取值范围．21．（12分）已知f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象经过点（1，）．（1）求实数a，b的值；（2）求证：y=f（x）在（1，+∞）是减函数．22．（12分）f（x）是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f （﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在[﹣2，4]上的最值．2012-2013学年高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：（12&#215;5=60分）C D．⊈A，因C D．．，作出其图象，如下图所示：0.70.90.86．（5分）已知3m=5n=k且，则k的值为（）C D，然后代入7．（5分）（2006•山东）设（）x．C D．9．（5分）若定义运算a⊕b=，则函数f（x）=log2x⊕的值域是（），即时，函数x11．（5分）若函数是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）．C D．解：若函数12．（5分）设函数，对任意x∈[1，+∞），f（mx）+mf（x）＜0恒成立，则实数m的取值范围是（），整理得：恒成立．时，，因为时，，因为1+二、填空题：（4&#215;5=20分）13．（5分）函数f（x）是幂函数，其图象过点（2，8），则f（3）=27．14．（5分）设奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，且f（﹣3）=0，则不等式的解集为{x|x＞3或x＜﹣3}．．⇔⇔⇔所以不等式15．（5分）函数y=x2﹣2|x|+1的单调增区间为（﹣1，0）和（1，+∞）．．，16．（5分）（2011•湖北）里氏震级M的计算公式为：M=lgA﹣lgA0，其中A是测震仪记录的地震曲线的最大振幅，是相应的标准地震的振幅，假设在一次地震中，测震仪记录的最大振幅是1000，此时标准地震的振幅A0为0.001，则此次地震的震级为6级；9级地震的最大的振幅是5级地震最大振幅的10000倍．．三．解答题：（70分）17．（10分）已知函数f（x）=的定义域是一切实数，求m的取值范围．，解得即可．必须满足18．（12分）已知函数y=的定义域为集合A，B={x|2＜x＜9}．（1）分别求：∁R（A∩B），（∁R B）∪A；（2）已知C={x|a＜x＜a+3}，若C⊆B，求实数a的取值范围．的定义域得到集合）由，得：19．（12分）已知偶函数f（x）在区间[0，+∞）上单调递增，求满足不等式f（2x﹣1）＜f（）的实数x的取值范围．）即为），即﹣＜＜，解得的取值范围为：20．（12分）已知函数f（x）=log a（x+1）﹣log a（4﹣2x），（a＞0，且a≠1）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）求使函数f（x）＞0时实数x的取值范围．a（﹣＜＞21．（12分）已知f（x）=是定义在R上的奇函数，且f（x）的图象经过点（1，）．（1）求实数a，b的值；（2）求证：y=f（x）在（1，+∞）是减函数．））==22．（12分）f（x）是定义在R上的函数，对x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，f （﹣1）=2．（1）求证：f（x）为奇函数；（2）求证：f（x）是R上的减函数；（3）求f（x）在[﹣2，4]上的最值．参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；wyz123；孙佑中；sxs123；zlzhan；caoqz；孙丰亮；翔宇老师；pls699；小张老师；muyiyang；maths；lincy；minqi5（排名不分先后）菁优网2013年10月25日。

2012-2013学年江苏省四校联考高三（上）期中数学试卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．1．（5分）已知i是虚数单位，复数，则|z|=．==﹣+故答案为：2．（5分）若函数f（x）=+是偶函数，则实数a的值为2．+，可以求得=是偶函数，，+3．（5分）（2012•盐城二模）已知集合P={﹣1，m}，，若P∩Q≠∅，则整数m=0．4．（5分）（2012•盐城二模）已知向量的模为2，向量为单位向量，，则向量与的夹角大小为．设向量与的夹角为，可得•，再根据，得•﹣2与解：设向量与的夹角为∴•=∵，∴=•﹣2=0，得2cosθ﹣1=0，所以cosθ=，故答案为：本题给出单位向量与向量的差向量垂直于单位向量与5．（5分）（2012•盐城二模）若命题“∀x∈R，x2﹣ax+a≥0”为真命题，则实数a的取值范围是[0，4]．6．（5分）已知三角形的一边长为5，所对角为60°，则另两边长之和的取值范围是（5，10]．所以25≥，所以a+b≤10．7．（5分）（2010•南通模拟）已知数列{a n}为等差数列，若，则数列{|a n|}的最小项是第6项．绝对值的大小．解：∵＜0∵∴，|a5|＞|a6|8．（5分）已知θ是第二象限角，且，则的值为．tan的值，将所求式子利用两角和与差的正切函数tan的值代入计算，即可求出值．=﹣，，即2﹣3tan﹣tan﹣tan（﹣=．故答案为：9．（5分）已知函数y=f（x）在点（2，f（2））处的切线为由y=2x﹣1，则函数g（x）=x2+f（x）在点（2，g（2））处的切线方程为6x﹣y﹣5=0．10．（5分）等差数列{a n}中，已知a8≥15，a9≤13，则a12的取值范围是（﹣∞，7]．，故，所以a12=a9+3d，能求出a12的取值范围．∴∴，11．（5分）在锐角△ABC中，若tanA=t+1，tanB=t﹣1，则t的取值范围为t＞．∴＞0，＞，＞12．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点P是第一象限内曲线y=﹣x3+1上的一个动点，点P处的切线与两个坐标轴交于A，B两点，则△AOB的面积的最小值为．为切线的斜率，根据切点和斜率表示出切线的方程，分别令x=0和y=0求出切线与两坐标轴的交点坐标，由交点坐标表示出△AOB的面积S，利用基本不等式即可求出面积的最小值时P横坐标的值，把此时P横坐标的值代入S中即可求出S的最小值．解答：解：根据题意设P的坐标为（t，﹣t3+1），且0＜t＜1，求导得：y′=﹣3x2，故切线的斜率k=y′|x=t=﹣3t2，所以切线方程为：y﹣（﹣t3+1）=﹣3t2（x﹣t），令x=0，解得：y=2t3+1；令y=0，解得：x=，所以△AOB的面积S=（2t3+1）•=，设y=2t2+=2t2++≥3，当且仅当2t2=，即t3=，即t=取等号，把t=代入得：S min=．故答案为：点评：解本题的思路是设出切点P的坐标，求出曲线方程的导函数，把P的横坐标代入导函数中求出切线的斜率，由切点坐标和斜率写出切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，进而表示出三角形ABC 的面积S，变形后利用基本不等式即可求出S最小时P横坐标的值，把此时P的横坐标代入S即可求出S的最小值．要求学生掌握求导法则以及会利用基本不等式求函数的最小值．13．（5分）（2012•江苏二模）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n和T n，若，且是整数，则n的值为15．考点：等差数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：在中，令n=1可得a1=13b1 ，设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，再分别令n=2，3，解得b1=2d2，d1=7d2 ，a1=26d2．化简为是整数，由此可得n的值．解答：解：由题意可得===13，故a1=13b1．设等差数列{a n}和{b n}的公差分别为d1和d2，由===，把a1=13b1代入化简可得12b1=59d2﹣5d1①．再由===11，把a1=13b1代入化简可得2b1=11d2﹣d1②．解①②求得b1=2d2，d1=7d2．故有a1=26d2．由于===为整数，∴n=15，故答案为15．点评：此题考查了等差数列的性质，以及等差数列的前n项和公式，熟练掌握性质及公式是解本题的关键，属于中档题．14．（5分）若关于x的方程|e x﹣3x|=kx有四个实数根，则实数k的取值范围为（0，3﹣e）．二、解答题：本大题共10小题，共90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、求证过程或演算步骤．15．（14分）（2011•东城区二模）已知，．（Ⅰ）求cosA的值；（Ⅱ）求函数的值域．）先利用同角三角函数基本关系式求弦公式将cosA变换为，代入计算即可2，且所以．=所以）可得所以，因为sinx∈[﹣1，1]，所以，当时，f（x）取最大值；）的值域为16．（14分）设，，（x∈R，m∈R）．（Ⅰ）若与的夹角为钝角，求x的取值范围；（Ⅱ）解关于x的不等式．）根据已知中向量的坐标及与的夹角为钝角，根据向量数量积的定义，可得＜）根据利用平方法可得）∵，与的夹角为钝角，解得时，与所以当与的夹角为钝角时，的取值范围为）由知，又∵时，与17．（15分）（2008•湖北模拟）随着机构改革开作的深入进行，各单位要减员增效，有一家公司现有职员2a人（140＜2a＜420，且a为偶数），每人每年可创利b万元．据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员1人，则留岗职员每人每年多创利0.01b万元，但公司需付下岗职员每人每年0.4b万元的生活费，并且该公司正常运转所需人数不得小于现有职员的，为获得最大的经济效益，该公司应裁员多少人？分析：设裁员x人，可获得的经济效益为y万元，y=（2a﹣x）（b+0.01bx）﹣0.4bx，配方求y的最大值．则（5分），∴]（1）当，即70＜a≤140时，x=a﹣70，y 取到最大值；（10分））当，即x=当140＜a＜210，公司应裁员为，经济效益取到最大值（15分）18．（15分）已知函数f（x）=xlnx．（I）求函数f（x）的单调递减区间；（II）若f（x）≥﹣x2+ax﹣6在（0，+∞）上恒成立，求实数a的取值范围；（III）过点A（﹣e﹣2，0）作函数y=f（x）图象的切线，求切线方程．专题：综合题；压轴题．，设，由此能求出g（x）最小值g（2）=5+ln2，从而能求出，故∴∴函数f（x）的单调递减区间是；（4分）即，∴，∴19．（16分）（2012•江西模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d≠0，且S3+S5=50，a1，a4，a13成等比数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设是首项为1，公比为3的等比数列，求数列{b n}的前n项和T n．n}的通项公式．（II）利用等比数列的通项公式求出，进一步求出b n，根据数列{b n}通项的特点，选择错位相减解得）n前n项和，一般先求出数列的通项，根据通项的特点选择合适的求和方法．20．（16分）已知函数f（x）=e x（x2+ax+1）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线与x轴平行，求a的值；（2）求函数f（x）的极值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的极值．专题：计算题．分析：（1）先由所给函数的表达式，求导数fˊ（x），再根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后由平行直线的斜率相等方程求a的值即可；（2）对参数a进行分类，先研究f（x）的单调性，利用导数求解f（x）在R上的最小值问题即可，故只要先求出函数的极值，比较极值和端点处的函数值的大小，最后确定出最小值即得．解答：解：f'（x）=e x[x2+（a+2）x+a+1]（2分）（1）f'（2）=e2[4+2（a+2）+a+1]=0，解得a=﹣3（4分）（2）令f'（x）=0，得x1=﹣1，x2=﹣1﹣a当a=0时，无极值（7分）当a＞0，﹣1＞﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1﹣a），（﹣1，+∞）上递增，（﹣1﹣a，﹣1）上递减极大值为f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2），极小值（10分）当a＜0时，﹣1＜﹣1﹣a，f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1﹣a，+∞）上递增，（﹣1，﹣a﹣1）上递减极大值为，极小值f（﹣1﹣a）=e﹣1﹣a（a+2）（13分）点评：本小题主要考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值及其几何意义、两条直线平行的判定等基础知识，考查运算求解能力．21．（10分）已知a是整数，a2是偶数，求证：a也是偶数．考点：反证法与放缩法．专题：反证法．分析：本题利反证法证明：先假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），平方得a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，导出矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．解答：证明：（反证法）假设a不是偶数，即a是奇数．设a=2n+1（n∈Z），则a2=4n2+4n+1．因4（n2+n）是偶数，∴4n2+4n+1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾．由上述矛盾可知，a一定是偶数．点评：此题考查了反证法的定义，反证法在数学中经常运用，当论题从正面不容易或不能得到证明时，就需要运用反证法，此即所谓“正难则反“．22．（10分）已知曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相同，求φ的值．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．专题：导数的概念及应用．分析：分别求出两函数的导函数，根据导函数的取值范围可求出切线的斜率，从而求出切线方程，然后根据曲线在点B处的切线相同，可求出φ的值．解答：解：k=y′=，当且仅当x+2=，即x+2=1，x=﹣1时，取等号…（2分）切又k切=y′=2cos（2x+ϕ）≤2，由题意，k切=2，此时切点A（﹣1，﹣1），切线l：y=2x+1…（5分），又，23．（10分）数列{a n}的前n项和为S n，存在常数A，B，C，使得a n+S n=An2+Bn+C对任意正整数n都成立．若数列{a n}为等差数列，求证：3A﹣B+C=0．n（﹣所以A=d d24．（10分）已知函数f（x）=2（1+x）ln（1+x）﹣x2﹣2x，x∈[0，+∞），求f（x）的最大值．。

扬州市2012—2013学年度第一学期检测试题高 三 数 学2012．11全卷分两部分：第一部分为所有考生必做部分（满分160分，考试时间120分钟），第二部分为选修物理考生的加试部分（满分40分，考试时间30分钟）． 注意事项：1． 答卷前，请考生务必将自己的学校、姓名、考试号等信息填写在答卷规定的地方． 2．第一部分试题答案均写在答题卷相应位置，答在其它地方无效．3．选修物理的考生在第一部分考试结束后，将答卷交回，再参加加试部分的考试．第 一 部 分一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上） 1．已知复数z 满足()12z i ⋅-=，其中i 为虚数单位，则z = ▲ ．2．已知点(1,5)A --和向量(2,3)a =，若3AB a = ，则点B 的坐标为 ▲ ．3．已知等比数列{}n a 满足43713a a a a =⋅，则数列{}n a 的公比q = ▲ ． 4．已知cos α=，且(,0)2πα∈-，则sin(πα-)= ▲ ．5．已知两个平面a ，b ，直线l a ^，直线m b Ì，有下面四个命题：①//l m αβ⇒⊥； ② //l m αβ⊥⇒； ③ //l m αβ⊥⇒；④//l m αβ⇒⊥。

其中正确的命题是 ▲ ．6．设,x y 满足241,22x y x y z x y x y +≥⎧⎪-≥-=+⎨⎪-≤⎩则的最小值是 ▲ ．7．已知函数2sin coscos 22()2sin 2cos 12x x x f x x x =+-，则()8f π= ▲ ． 8．已知命题p ：|52|3x -<，命题q ：21045x x <+-，则p 是q 的 ▲ 条件．（ 在“充分不必要”、“必要不充分”、“既不充分又不必要”、“充要”选择并进行填空）9．△ABC 中，||3AB = ，||4AC = ，9AB BC ⋅=- ，则||BC =▲ ．10．已知关于x 的不等式0<-b ax 的解集是(1,)+∞，则关于x 的不等式02ax bx +>-的解集是 ▲ ． 11．已知等比数列{}n a 的首项是1，公比为2，等差数列{}n b 的首项是1，公差为1，把{}n b 中的各项按照如下规则依次插入到{}n a 的每相邻两项之间，构成新数列}{n c ：1122334,,,,,,,a b a b b a b 564,,b b a ，……，即在n a 和1n a +两项之间依次插入{}n b 中n 个项，则2013c = ▲ ．12．若ABC ∆内接于以O 为圆心，以1为半径的圆，且3450OA OB OC ++=，则该ABC ∆的面积为 ▲ ．13．已知等差数列{}n a 的首项为1，公差为2，若12233445a a a a a a a a -+-+⋅⋅⋅ 2221n n a a t n +-≥⋅对*n N∈恒成立，则实数t 的取值范围是 ▲ ．14．设,x y 是正实数，且1x y +=，则2221x y x y +++的最小值是 ▲ ． 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分14分）已知23{|1}6x A x x -=>-，22{|210,0}B x x x m m =-+-≤>，（1）若2m =，求A B ；（2）若A B B = ，求实数m 的取值范围．16．（本小题满分14分）ABC ∆中，3AC =，三个内角,,A B C 成等差数列．（1）若cos C =AB ；（2）求BA BC ⋅ 的最大值．17．（本小题满分15分）如图，四边形ABCD 为正方形，在四边形ADPQ 中，//PD QA ．又QA ⊥平面ABCD ，12QA AB PD ==.（1）证明：PQ ⊥平面DCQ ；（2）CP 上是否存在一点R ，使//QR 平面ABCD ，若存在，请求出R 的位置，若不存在，请说明理由.18．（本小题满分15分）某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨。

2013届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，则U C A = ▲ .2．已知向量(cos35,sin 35),(cos65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ．4．不等式()21230x x x ---≥的解集是 ▲ ．5．函数x x x y sin cos -=，(0,2)x π∈单调增区间是 ▲ ． 6．若实数x 满足2cos log 2=+θx ，则28++-x x = ▲ ．7．已知向量,a b 满足||5,||13a b == ，65cos ,65a b <>= .若ka b + 与3a b - 垂直，则k = ▲ ．8．已知函数21=1x y x --的图象与函数=2y kx +的图象没有交点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．9．等差数列{}n a 中，已知27a ≤，69a ≥，则10a 的取值范围是 ▲ ．10．已知A 、B 、C 是直线l 上的三点，向量,,OA OB OC满足()[2'(1)]ln OA f x f x OB x OC =+-⋅，则函数()y f x =的表达式为 ▲ .11．已知3()log (3)f x x =-，若实数,m n 满足()(3)2,f m f n +=则m n +的最小值为 ▲ .12．已知函数2,1,()1,1,x ax x f x ax x ⎧-+≤=⎨+>⎩2 若1212,,x x R x x ∃∈≠，使得12()()f x f x =成立，则实数a 的取值范围是 ▲ .2012.1113．给出以下命题：⑴ 在△ABC 中，sin sin A B >是A B >的必要不充分条件；⑵ 在△ABC 中，若tan tan tan 0A B C ++>，则△ABC 一定为锐角三角形；⑶ 函数11y x x =-+-与函数{}sin ,1y x x π=∈是同一个函数；⑷ 函数(21)y f x =-的图象可以由函数(2)y f x =的图象按向量(1,0)a =平移得到.则其中正确命题的序号是 ▲ （把所有正确的命题序号都填上）． 14．数列{}n a 满足1(1)n n n a a n ++-=，则{}n a 的前40项和为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）设函数)0π( )2sin()(<<-+=ϕϕx x f ，()y f x =图像的一条对称轴是直线8π=x ． ⑴ 求函数()f x 的解析式； ⑵ 若3(),(0,)25f ααπ=∈，试求5()8f πα+的值.16．（本题满分14分）如图，点P 在ABC ∆内，23AB CP BC ===, , πP B ∠+∠=，记B α∠=． ⑴ 试用α表示AP 的长； ⑵ 求四边形ABCP 的面积的最大值，并写出此时α的值．BPαCA已知()(]ln ,0,f x ax x x e =-∈，其中e 是自然常数，.a R ∈ ⑴ 当1a =时，求()f x 的单调性和极值； ⑵ 若()3f x ≥恒成立，求a 的取值范围.18．（本题满分16分）各项均为正数的数列{}n a 中，前n 项和212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭.⑴ 求数列{}n a 的通项公式； ⑵ 若12231111n n k a a a a a a ++++< 恒成立，求k 的取值范围； ⑶ 对任意*m N ∈，将数列{}n a 中落入区间2(2,2)m m 内的项的个数记为m b ，求数列{}m b 的前m 项和m S .定义在实数集上的函数()f x 满足下列条件：①()f x 是偶函数； ②对任意非负实数x 、y ，都有()2()()f x y f x f y +=； ③当0x >时，恒有1()2f x >．⑴ 求()0f 的值；⑵ 证明：()f x 在[)0+∞，上是单调增函数；⑶ 若()32f =，解关于a 的不等式()2298f a a ≤--．20．（本题满分16分）设函数32()f x ax bx cx d =+++是奇函数，且当33x =-时，()f x 取得极小值239-. ⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵ 求使得方程11()4033f x nx n '--++=仅有整数根的所有正实数n 的值； ⑶ 设()|()(31)|g x f x t x =+-，（[1,1]x ∈-），求()g x 的最大值()F t ．高三理科数学试题讲评建议一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．已知全集{}1,2,3,4,5,6,7U =，{}2,4,5A =，则U C A = ▲ . 答案：{}1,3,6,72．已知向量(cos35,sin 35),(cos65,sin 65)a b =︒︒=︒︒，则向量a 与b 的夹角为 ▲ ．答案：30︒.【解析】法一、公式cos cos30a ba bθ⋅==︒⋅；法二、由任意角的三角函数定义即得.3．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且41016a a =，则10a = ▲ ． 答案：32【解析】法一、23410771071616432a a a a a a q =⇔=⇔=⇒=⨯= ； 法二、41061010410162320a a aa a a ⎧=⎪⎪=⇒=⎨⎪⎪>⎩。

-2012-2013学年-高等数学(2-1)期中考试试卷---答案2012—2013学年第一学期《高等数学(2-1)》期中试卷（工科）专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2012年11月25日页号一二三四五六总分本页满分32 18 10 16 16 8本页得分阅卷人注意事项：1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；4．试卷本请勿撕开，否则作废； 5．本试卷正文共6页。

一、 填空题（共5小题，每小题4分，共20分）1．设函数1(1sin ),0(),xx x f x a x ⎧⎪-≠=⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =1e - .2．设()f x 在2x =处连续，且2()lim32x f x x →=-，则(2)f '= 3 . 3．设22ln arctana y x a x=+，则dy=22x adx x a-+ . 4. 函数ln(12)y x =+，则()(0)n y = 1(1)(1)!2n n n --- . 5. 曲线21x y e -=-的下凸区间是____[22_____________________.二、选择题（共5小题，每小题4分，共20分） 1．设函数11()tan ()()xxe e xf x x e e +=-，则0x =是()f x 的（ C ）．A ．连续点；B ．可去间断点；C. 跳跃间断点；D ．无穷间断点.2. 设()f x 有二阶连续导数且(0)0f '=，()lim 1||x f x x →''=，则下列说法正确的是（ B ）． A ．(0)f 不是()f x 的极值，(0,(0))f 不是曲线()y f x =的拐点；本页满分32分 本页得分B ．(0)f 是()f x 的极小值；C ．(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点；D ．(0)f 是()f x 的极大值. 3. 当x →∞时，若21ax bx c++与11x +为等价无穷小，则,,a b c 之值为（ B ）． A ．0,1,1a b c ===； B ．0,1a b ==,c 为任意常数； C ．0a =，,b c 为任意常数； D. ,,a b c 均为任意常数.4. 设220()(),x x f x xx g x x ⎧>⎪=⎨⎪≤⎩，其中()g x 是有界函数，则()f x 在0x =处（ D ）.A ．极限不存在；B.极限存在但不连续；C.连续但不可导；D.可导.5. 设()f x 在0x 可导且01()2f x '=，则0x ∆→时，0|x x dy =是x ∆的（ C ）.A ．等价无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶但非等价无穷小；D 低阶无穷小.三、计算题（共4小题，每小题5分，共20分） 1. 求极限01sin 1x x x →+-解：（方法一）200sin 1sin 12lim lim 11cos 2x x x xx x x x→→+==-； （方法二）2001sin 1lim11cos 1sin 1x x x x x x x x →→+==-++； （方法三）洛比达法则本页满分18分 本页得分01sin 11cos cos sin lim 1sin 2cos 21sin x x x x x x x x xx xx x →→→+-+-===+. 2. 设函数()y y x =由方程sin()(0,)xy y xe x x y ππ=>-<<确定，求其在1x =处的切线方程.解：两边取对数得：sin()(1)ln xy y x =-，两边对x 求导，有1cos()()ln y xy y xy y x x-''+=+， 又由于1x =时，sin 0y =，y ππ-<<，可得0y =，代入得(1)1y '=-，故在1x =处的切线方程为(1)y x =--，即10x y +-=.3. 设3arctan 6x t t y t t=+⎧⎪⎨=+⎪⎩，求221d y t dx =. 解：222363(1)111dydy t dt t dx dx dt t +===+++；22222()66(1)()1211d dy d y d dy t t t dt dx dx dx dx dx t dt t +====+++，故 2241d yt dx ==.本页满分10分 本页得分4. 求极限21)(cos lim x x x →.解：（方法一）2211cos 1cos 10lim(cos )lim(1cos 1)x x x x x x x x --→→=+-20cos 11lim2x x xe e→--==；（方法二）22222111sin 1222sin 22lim(cos )lim (cos )lim(1sin )x x x x x x x x x x x e---→→∞→==-=；（方法三）洛比达法则sin 2cos 22111ln(cos )lim 2lim(cos )lim xx xx x x x x x x e e e-→-→→===.四、应用题（共3小题，每小题8分，共24分）1. 已知()sin 2ln(1),0()1,0ax a b x x x x f x e x ++-⎧>⎪=⎨⎪-≤⎩在0x =处可导，试求出a 与b .解：由于()f x 在0x =处可导，必连续，故(0)(0)(0)0f f f -+===，又00()sin 2ln(1)()sin 2ln(1)(0)lim lim lim 2x x x a b x x a b x x f a b x x x++++→→→++-+-==+=+-，可得20a b +-=，即2a b +=；又由于()f x 在0x =处可导，则(0)(0)f f -+''=，又 01(0)lim ax x e f a x--→-'==， 本页满分16分 本页得分2200200()sin 2ln(1)sin ln(1)(0)lim 2lim1cos 11lim lim [sin ]1(1)x x x x a b x x x x f x x x x x x x +++++→→→→++-+-'==--==--=--， 故1,3a b =-=.2. 有一底半径为R cm ，高为h cm 的圆锥容器，今以253cm /s 自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速率. 解：设t 时刻，水的体积，水面半径及水的深度分别为,,V r x ，由于2211()33V R h r h x ππ=--，又从相似三角形可知：r h x R h -=，即h xr R h-=，可得3222332211()1[()]333h x R V R h R h h x hh πππ-=-=--，两边对t 求导，得 222()dV R dxh x dt dt hπ=-， 由已知条件25dV dt =，2hx =，代入得2100dx dt R π=，即水面上升的速率为2100cm/s Rπ. 3. 试讨论方程)0(,ln >=a ax x 有几个实根. 解：令()ln ,(0,)f x x ax x =-∈+∞，则1()f x a x '=-，令()0f x '=，解得驻点1x a=，列表如下：x10,a ⎛⎫⎪⎝⎭ 1a1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭()f x '+—本页满分16分 本页得分()f x最大值1f a ⎛⎫ ⎪⎝⎭可得，()f x 的最大值为1(ln 1)f a a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，讨论如下：（1） 当1a e =时，10f a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，方程ln x ax =有唯一的实根；（2） 当10a e<<时，10f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，又由于 00lim ()lim (ln )x x f x x ax ++→→=-=-∞；ln lim ()lim ()x x xf x x a x→+∞→+∞=-=-∞， 故方程ln x ax =有两实根，分别位于10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭与1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内；当1a e >时，10f a ⎛⎫< ⎪⎝⎭，方程ln x ax =没有实根.五、证明题（共2小题，每小题8分，共16分）1．设函数()f x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且(0)0f =，0)2(=f ，证明：存在(0,2)ξ∈，使得()()f f ξξ'=.证明：令()()x F x e f x -=，则()F x 在[0,2]上连续，在(0,2)内可导，且由于(0)0f =，0)2(=f ，易得(0)(2)0F F ==，根据罗尔定理，至少存在(0,2)ξ∈，使得()0F ξ'=，即()()0e f e f ξξξξ--'-+=，又0e ξ-≠，可得()()f f ξξ'=.本页满分8分 本页2．证明：当0>x 时，x x xx<+<+)1ln(1. 证明：（方法一）设t t f ln )(=，则)(t f 在[1,1]x +上连续，在(1,1)x +内可导，由 Lagrange 中值定理，得ln(1)ln11x x ξ+-=，11x ξ<<+，故1111x ξ<<+，即1ln(1)11x x x +<<+，整理得，x x xx<+<+)1ln(1. （方法二）：对()ln(1)f t t =+在[0,]x 上应用Lagrange 中值定理.（方法三）：利用函数的单调性.得分。

河南中原名校2012—2013学年度第一学期期中联考数学(理)试题命题：商丘一高数学组(考试时间：120分钟 试卷满分150分)注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷两部分，满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前将密封线内的项目及座号填写清楚．3．请把第Ⅰ卷中每小题你认为正确选项的代号填涂在答卷中选择题答案栏内． 4．答第Ⅱ卷时，必须用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写；考试结束只交答卷．第Ⅰ卷(选择题)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．设集合A ＝{1，4，x }，B ＝2{1,}x 且A U B ＝{1，4，x }，则满足条件的实数x 的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 2．下列函数中，在其定义域内既是增函数又是奇函数的是( ) A ．1y x=-B ．333x xy x -=+- C ．31xy og =D ．y ＝e x3．在等比数列{}n a 中，若a 3＝－9，a 7＝－1，则a 5的值等于( ) A ．3或－3B ．3C ．－3D ．不存在4．已知a ＞1，22(),xxf x a +=则使，()1f x <成立的一个充分不必要条件是( )A ．10x -<<B ．21x -<<C ．20x -<<D ．01x <<5．下列命题中是假命题的是( ) A ．m R ∃∈，使243()(1)m m f x m x -+=-是幂函数，且在(0，＋∞)上递减；B ．(0,),1;xx e x ∀∈+∞>+C ．,,R αβ∃∈使cos()cos sin ;αβαβ+=+D ．R ϕ∀∈，函数()sin(2)f x x ϕ=+都不是偶函数6．若实数x ，y 满足1000x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则23x yz +=的最小值为( )A ．0B ．1CD ．97．设P ,Q 为△ABC 内的两点，且5121,2534AP AB AC AQ AB AC =+=+，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为( ) A ．58B ．35 C ．54D ．458．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是()9．函数2()2cos sin 21f x x x =+-，给出下列四个命题 ①函数在区间5[,]88ππ上是减函数；②直线8x π=是函数图象的一条对称轴；③函数()f x的图象可由函数2y x 的图象向左平移4π而得到； ④若[0,]2x π∈，则()f x的值域是其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2C ．3D ．410．定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x -=，且在[3,2]--上是减函数，,αβ是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是( ) A ．(sin )(cos )f f αβ>B ．(cos )(cos )f f αβ<C ．(cos )(cos )f f αβ>D ．(sin )(cos )f f αβ<11．设3()()f x x x x R =+∈，当02πθ≤≤时，()()0f misn f m θ+->恒成立，则实数m 的取值范围是( ) A ．(一∞，1)B ．(一∞，0)C ．(一∞，12) D ．(0，1) 12．在△ABC 中，a 、b 、c 分别是肉角A 、B 、C 所对的边，C ＝3π．若O D a O E b O F =+，且D 、E 、F 三点共线(该直该不过点O )，则△ABC 周长的最小值是( ) A ．12B ．54C ．32 D ．94第Ⅱ卷(非选择题)二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．已知函数21(1),0()2,0n x x f x x x x +>⎧=⎨--≤⎩若函数()()g x f x m =-有3个零点，则实数m 的取值范围是_______________________．14．已知球O l 、O 2的半径分别为l 、r ，体积分别为V 1、V 2，表面积分别为S 1、S 2，当(1,)r ∈+∞时，2121V V S S --的取值范围是_______________________．15．设||||sin 1()1x x e x f x e -+=+在[,](0)m m m ->上的最大值为p ，最小值为q ，则p ＋q ＝______________．16．数列1111111111,,,,,,,,,,223334444的前100项的和等于________________．三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知22{||4},{1(41)2}A x x a B x og x x =-<=--> (1)若a ＝1，求A B ；(2)若A B R =，求实数a 的取值范围．18．(本小题满分12分)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且a cos C ，b cos B ，c cos A 成等差数列．(1)求角B 的大小；(2)若a ＋c ＝4，求AC 边上中线长的最小值．19．(本小题满分12分)已知函数1()2()x f x x R +=∈．(1)若()f x 可以表示为一个偶函数()g x 与一个奇函数()h x 之和，设()()(2)2(h x t p t g x h x ==-，求()p t 的解析式； (2)若2()2p t m m ≥-对于[1,2]x R ∈恒成立，求m 的取值范围；20．(本小题满分12分)已知矩形ABCD ，AD ＝2AB ＝2，点E 是AD 的中点，将△DEC 沿CE 折起到△D 'EC 的位置，使二面角D '－EC －B 是直二面角． (1)证明：BE ⊥CD '；(2)求二面角D '－BC －E 的余弦值．21．(本小题满分12分)已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，且满足S n ＝2a n －n *()n N ∈． (1)求a 1，a 2，a 3的值； (2)求数列{}n a 的通项公式；(3)若(21)21n n b n a n =+++，数列{}n a 的前n 项和为n T ，求满足不等式212821n T n -≥-的最小n 值．22．(本小题满分12分)已知以a ∈R ，函数()11,()(11)x af x nxg x nx e x x=+-=-+(其中e 为自然对数的底数)．(1)求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；(2)是否存在实数0(0,]x e ∈，使曲线()y g x =在点0x x =处的切线与y 轴垂直？若存在，求出x 0的值；若不存在，请说明理由，中原名校2012—2013学年第一学期期中联考高三数学(理科)参考答案一、选择题 1．C 2．B 3．C 4．A 5．D 6．B 7．D 8．B 9．B 10．D 11．A 12．C1．解析：由题意可知x x x ==224或，解得2,0,1,102±=∴≠==±=x x x x x 又或或．答案为C2．由函数解析式可得x x x y --+=333满足条件，答案为B3．解析：.3,,,,3,957535735-=∴±=∴=⋅=a a a a a a a a 同号又答案为C 4．解析：由,02,022<<-<+x x x 得可知A 成立．5．(A )2=m 时满足：(B )01e )('),0(,1e )(>-=+∞∈--=x x x f x x x f 时当，所以),0(1)(+∞--=在x e x f x 是增函数，0)0()(=>f x f ，所以命题成立；(C )当0=β时命题成立；(D )当x x f 2cos )(2π==时ϕ是偶函数，所以(D )不成立，答案为D 6．画出平面区域可以求出y x t 2+=的最小值为0，所以yx z 23+=的最小值为1，答案为B7．解析：设AC AN AB AM 52,52==，则由平行四边形法则得AN AM AP +=，于是NP ∥AB ，所以51==∆∆AC S S ABC ABP ，同理可得,41=∆∆ABC ABQ S S 所以54=∆∆ABQ ABP S S ，答案为D 8．解析：容器是一个倒置的圆锥，由于水是均匀注入的，故水面高度随时间变化的变化率逐渐减少，表现在函数图象的切线上就是其切线的斜率逐渐减少，正确选项B ． 9．解析：函数)4π2sin(22cos 2sin )(+=+=x x x x f ，结合函数的图象和性质可知①②正确，所以答案为B ．10．由条件可知函数)(x f 的周期为2，又由于函数在]2,3[--递减，所以函数)(x f 在]1,0[递增，又2π<+βα，所以1cos )2πsin(sin 0,2π2π0<=-<<<-<<ββαβα，所以答案为D ．11．解析：根据函数的性质，不等式)1()sin (,0)1()sin (->>-+m f m f m f m f θθ即，即]2π,0[1sin 在->m θm 上恒成立，可以化为2π;R ,2π,1)sin 1(≠∈=<-θθθ当时当m m 时，)(s i n 11θθf m =-<，只要m i n)(θf m <即可，即只要1<m 即可，综合两种情况得到1<m ．答案为A12．解析：由题意得ab b a C ab b a c b a -+=-+==+22222cos 2,1,21,41)2(31313)(22≥∴=+-≥-=-+=c b a ab ab b a 因此△ABC 周长的最小值是23，答案为C 二、填空题 13．)1,0( 14．),21(+∞ 15．2 16．1419113．解析：由数形结合可得)1,0(∈m ．14．解析：11)1()1(3111311131π44ππ34π342223231212+++-+=+++=--=--=--r r r r r r r r r r S S V V .21)1212(31]111)1[(31=-+>-+++=r r (设),,2(,1+∞∈=+t t r 则函数),2(1+∞+=在tt y 是增函数)1212S S V V --∴的取值范围是),21(+∞．15．解析：1e sin )(,1e sin 11e 1sin e )(||||||||+-=+-=++-=x x x x x x g x x x f 设，可知)(x g 为奇函数，所以.2)()(2min max =++=+x g x g q p 16．解析：),(141431*********n k n k S ≤⨯++⨯+⨯+⨯+⨯= 又由1002)1(≥+n n ，所以,2101514,1821413,200)1(=⨯=⨯≥+n n.1419114191311341431321211100=⨯+⨯++⨯+⨯+⨯+⨯= S三、解答题17．解：(Ⅰ)当}.51|{},53|{,1>-<=<<-==x x x B x x A a 或时}.13|{-<<-=⋂∴x x B A ……5分(Ⅱ)}.51|{},44|{>-<=+<<-=x x x B a x a x A 或且.315414R <<∴⎩⎨⎧>+-<-∴=⋃a a a B A∴实数a 的取值范围是)3,1(．……10分18．(1)由题意得：,cos cos cos 2C a A c B b +=B B BC A A C B B sin cos sin 2,cos sin cos sin cos sin 2=+= 3π,21cos ,0sin ==∴≠B B B ．……6分 (2)设AC 边上的中点为E ，由余弦定理得：cos 2222BE AE BE AE AB ⋅-+=∠cos2,222BE CE BE CE BC AEB ⋅-+=∠CEB两式相加整理得,4)(24)(22222222b ac AC BC AB BE -+=-+=又c a c a c a c a b ⋅-+=⋅⋅-+=222223πcos2 ,4222acc a BE ++=∴……10分而c a c a acac c a BE ==+-≥-=-+=当,34)2(164164)(222时取到“＝” 所以AC 边上中线长的最小值为3．……12分19．(1)假设)()()(x h x g x f +=①(其中)(x g 偶函数，)(x h 为奇函数)，则有)()()(),()()(x h x g x f x h x g x f -=--+-=-即②，由①②解得2)()()(,2)()()(x f x f x h x f x f x g --=-+=．)(x f 定义在R 上，)(),(x h x g ∴都定义在R 上，∵)(2)()()(x g x f x f x g =+-=-)(2)()()(x h x f x f x h -=--=-．)(x g ∴是偶函数，)(x h 是奇函数，,2)(1+=x x f,2122222)()()(11x x x x x f x f x g +=+=-+=∴+-+.2122222)()()(11x x x x x f x f x h -=-=--=+-+……4分由R ,212∈=-t t x x则， 平方得,2212)212(2222-+=-=x xx x t,2212)2(222+=+=∴t x g x x.22)(2+-=∴t t t p ……6分(Ⅱ))(x h t = 关于]2,1[∈x 单调递增，.41523≤≤∴t ……7分 m m t t t p 222)(22-≥+-=∴对于]415,23[∈t 恒成立，]415,23[1)1(222∈+-≤-∴t t m m 对于恒成立，……8分]415,23[,1)1()(2∈+-=t t t ϕ令，故]415,23[)(∈t t 在ϕ上单调递增，,452,45)23()(2min ≤-∴==∴m m t ϕϕ解得为2521≤≤-m 即为所求．……12分 20．解：(Ⅰ),22==AB AD 点E 是AD 的中点，CDE BAE △△,∴是等腰直角三角形，∴∠BEC ＝90°，即BE ⊥EC ，又∵平面EC D '⊥平面BEC ，平面EC D '∩平面BEC ＝EC ，∴BE ⊥平面EC D '，∴BE ⊥'CD ．……4分(Ⅱ)法一：设M 是线段CE 的中点，过M 作MF ⊥BC ，垂足为F ，连接F D M D ','，则M D '⊥CE ．平面EC D '⊥平面BEC ，∴M D '⊥平面BEC ， ∴M D '⊥BC ，又∵MF ⊥BC ，∴BC ⊥平面MF D '， ∴BC ⊥F D '∴∠FM D '是二面E BC D --'的平面角．……8分 在Rt △FM D '中，,2121,2221'====AB MF EC M D tan ∠cos ,2''==MF M D MF D ∠,33'=FM D ∴二面角E BC D --'的余弦值为.33……12分 法二：如图，以EB ，EC 分别为x 轴、y 轴，过E 垂直于平面BEC 的射线为z 轴，建立空间直角坐标系． 则).22,22,0('),0,2,0(),0,0,2(D C B ……8分 设平面BEC 的法向量为)1,0,0(1=n ；平面BC D '的法向量为).,,(2222z y x n =),22,22,0('),0,2,2(-=-=C D BC,02222022,0'0222222⎪⎩⎪⎨⎧=-=+-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅z y y xD n n 取),1,1,1(,122==n x 得……10分E BC D n n n n --∴=⋅>=<∴',33||||,cos 212121二面角的余弦值为33．……12分21．解：(Ⅰ),1,1,21==-=a n n a S n n 得令再分别令.7,3,3,232====a a n n 解得……3分(Ⅱ)因为,2n a S n n -=所以)N ,2)(1(2*11∈≥--=--n n n a S n n ，两式相减得,121+=-n n a a ……5分所以).N ,2)(1(21*1∈≥+=+-n n a a n n ……6分又因为}1{,211+=+n a a 所以是首项为2，公比为2的等比数列． .12,21-=∴=+∴nn n n a a ……7分(Ⅲ)因为,12)12(+++=n a n b n n所以.2)12(n n n b ⋅+=……8分所以,2)12(2)12(272523132n n n n n T ⋅++⋅-++⨯+⨯+⨯=- ①,2)12(2)12(25232132+⋅++⋅-++⨯+⨯=n n n n n T ②①－②得：1322)12()222(223+⋅+-++++⨯=-n n n n T122)12(2122226+⋅+--⨯-⨯+=n n n 112)12(222++⨯+-⨯+-=n n n12)12(2+⋅---=n n.2)12(21+⋅-+=∴n n n T ……10分 若,128122≥--n T n 则,1281222)12(21≥--⋅-++n n n 即.6,712271≥≥+≥+n n n 解得所以 所以满足不等式128122≥--n T n 的最小n 值6．……12分 22．(Ⅰ)解：函数的定义域为),,0(+∞……1分 .1)(',1ln )(22xa x x x a x f x x a x f -=+-=∴-+= ……2分 ①若)(,0)(',0x f x f a >≤则在区间]e ,0(上单调递增，此时函数)(x f 无最小值．……3分②若)(,0)(',),0(,e 0x f x f a x a 函数时当<∈<<在区间),0(a 上单调递减， 当)(,0)(',]e ,(x f x f a x 函数时>∈在区间]e ,(a 上单调递增，所以当a x =时，函数)(x f 取得最小值ln a ．……4分③若)(,0)(',e x f x f a 函数则≤≥在区间]e ,0(上单调递减，所以当e =x 时，函数)(x f 取得最小值ea ．……5分 综上可知，当)(,0x f a 函数时≤在区间]e ,0(上无最小值； 当)(,e 0x f a 函数时<<在区间]e ,0(上的最小值为ln a ； 当)(,e x f a 函数时≥在区间]e ,0(上的最小值为.ea ……6分 (Ⅱ)解： ],e ,0(,e )1(ln )(∈+-=x x x x g x1)'e )(1(ln e )'1(ln )('+-+-=∴x x x x x g.1e )1ln 1(1e )1(ln e +-+=+-+=x x x x xx x ……7分 由(Ⅰ)可知，.1ln 1)(,1-+==x xx f a 时当 此时)(x f 在区间]e ,0(上的最小值为.01ln 1,01ln ≥-+=x x 即……8分 当01ln 1,0e ],e ,0(0000≥-+>∈x x x x .011e )1ln 1()('0000>≥+-+=∴x x x x g ……10分 曲线0)(x x x g y ==在点处的切线与y 轴垂直等价于方程0)('0=x g 有实数解． 而0)('0>x g ，即方程0)('0=x g 无实数解．故不存在]e ,0(0∈x ，使曲线)(x g y =0x x =在点处的切线与y 轴垂直．……12分。