2020届全国高考冲刺高考仿真模拟卷(二) 数学(文)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题卷（全国2卷）( 第二次模拟考试 )注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，务必将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知{}{}1|B 3,2,1,0,1-A >==x x ，，则A B I 的元素个数为 A ．0B ．2C ．3D ．52．复数ii z 2)2(-=(i 为虚数单位)，则A ．5B ．5C ． 25D ．41 3．函数1cos 22sin )(2+-=x x x f 的最小正周期为 A. πB. 2πC. 3πD. 4π4. 已知向量＝(－1,2)，＝(3,1)，）（4,x c =，若⊥-)(，则x ＝ A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 2=,则其离心率为A ．2B ．3C ．2D ．3 6．已知一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示， 则该几何体的体积是A ．1B ．32 C ．2 D ．3 7．若x 、y 满足约束条件，⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-≤-+00203y y x y x 则y x z 34-=的最小值为A ．0B ．-1C ．-2D ．-38．已知x ＝ln π，y ＝log 52，12=ez -，则A ．x ＜y ＜zB ．z ＜x ＜yC ．z ＜y ＜xD ．y ＜z ＜x9．在数学解题中，常会碰到形如“xyyx -+1”的结构，这时可类比正切的和角公式．如：设b a ,是非零实数，且满足158tan 5sin5cos 5cos5sin π=π-ππ+πb a b a ，则a b ＝A ．4B ．15C ．2D ．3 10．我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截 取一半，永远都截不完．现将该木棍依此规律截取，如图 所示的程序框图的功能就是计算截取20天后所剩木棍的 长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是 A ．i i ,iS S ,i 2120=-=< B ． i i ,iS S ,i 2120=-=≤ C ．1220+==<i i ,S S ,i D ．1220+==≤i i ,S S ,i 11．从分别写有数字1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是 A ．101 B ．103C ．53 D ．52 12. 已知点A (0,2)，抛物线C 1：)0(2>=a ax y 的焦点为F ，射线FA 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N .若|FM |∶|MN |＝1∶5，则a 的值为 A ．14 B ．12 C ．1 D ．4 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数x x x f sin 2)(-=，当[]1,0∈x 时，函数)(x f y =的最大值为_________. 14．已知函数)x (f 是奇函数，当))(f (f ,x lg )x (f x 10010则时，=>的值为_________. 15．已知直三棱柱111C B A ABC -的6个顶点都在球O 的球面上，若AB=6，AC=10，AC AB ⊥,,521=AA 则球O 的表面积为 .16．在△ABC 中，已知 (a ＋b )∶(c ＋a )∶(b ＋c )＝6∶5∶4，给出下列结论：①由已知条件，这个三角形被唯一确定； ②△ABC 一定是钝角三角形； ③sin A ∶sin B ∶sin C ＝7∶5∶3； ④若b ＋c ＝8，则△ABC 的面积是1532. 其中正确结论的序号是 .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：(共60分) 17．(12分)已知等差数列{}n a 中，1673-=a a ，064=+a a （1）求{}n a 的通项公式n a ； （2）求{}n a 的前n 项和n S . 18．(12分)如图所示，四棱锥S-ABCD 中，SA ⊥底面ABCD ，CD AB //,,3===AB AC AD ,4==CD SA P 为线段AB 上一点，,2PB AP = SQ=QC . （1）证明：PQ//平面SAD ; （2）求四面体C-DPQ 的体积. 19．(12分)某餐厅通过查阅了最近5次食品交易会参会人数x (万人)与餐厅所用原材料数量y (袋)，得到如下统计表：第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 参会人数x (万人) 13 9 8 10 12 原材料y (袋)3223182428（1）根据所给5组数据，求出y 关于x 的线性回归方程a x by ˆˆ+=； （2）已知购买原材料的费用C （元）与数量t (袋)的关系为⎩⎨⎧∈≥∈<<-=)(36,380)(360,20400N t t t N t t t C ，投入使用的每袋原材料相应的销售收入为700元，多余的原材料只能无偿返还，据悉本次交易大会大约有15万人参加.根据（1）中求出的线性回归方程，预测餐厅应购买多少袋原材料，才能获得最大利润，最大利润是多少？（注：利润L ＝销售收入－原材料费用）.参考公式： x b y axn x yx n yx x x y y x xbni i ni ii ni i ni i iˆˆ,)())((ˆ1221121-=--=---=∑∑∑∑====. 参考数据：511343i i i x y ==∑，521558ii x ==∑，5213237i i y ==∑.20．(12分)已知椭圆14522=+y x 的右焦点为F ，设直线l :5=x 与x 轴的交点为E ，过点F 且斜率为k 的直线1l 与椭圆交于A ，B 两点，M 为线段EF 的中点．(1)若直线1l 的倾斜角为π4，求|AB |的值； (2)设直线AM 交直线l 于点N ，证明：直线BN ⊥l . 21．(12分)已知函数).1ln()(+-=x a x x f （1）的单调区间；求时当)(,2x f a =;（2）当a =1时，关于x 的不等式)(2x f kx ≥在），∞+0[上恒成立，求k 的取值范围.(二)选考题：共10分.请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做,则按所做的第一题记分. 22．[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)以直角坐标系原点为极点，轴正方向为极轴，已知曲线的方程为1)1(22=+-y x ，的方程为3=+y x ，3C 是一条经过原点且斜率大于0的直线. （1）求与的极坐标方程；（2）若与的一个公共点为（异于点），与的一个公共点为， 求OBOA 3-的取值范围.O A O B23．[选修4－5：不等式选讲](10分) （1）,1,,,=++∈+c b a R c b a 且已知证明；9111≥++cb a （2）,abc ,R c ,b ,a 1=∈+且已知证明cb ac b a 111++≤++.全国2卷2020届高三第二次模拟数学(文科)试题答案一.选择题： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 BAAABBCDDDCD13．2－sin1 14．2lg - 15． 16 ②③17解：设{a n }的公差为d ，则1111(2)(6)16,350,a d a d a d a d ++=-⎧⎨+++=⎩1212181216,4.a da d a d ⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩即118,8,2 2.a a d d =-=⎧⎧⎨⎨==-⎩⎩解得或 （1）a n = 2n-10， a n= －2n +10.（2）S n ＝－8n ＋n (n －1)＝n (n －9)，或S n ＝8n －n (n －1)＝－n (n －9). 18 解析：(1)证明: 由已知得AP ＝23AB ＝2.如图，取DS 的中点T ，连接AT ，TQ ，由N 为PC 中点知TQ ∥DC ，TQ ＝12DC ＝2.又AB ∥DC ，故TQ ||=AP ，,,//SAD AT AT MN 平面又⊂∴Θ从而证得PQ//平面SAD ;(2)因为SA ⊥平面ABCD ，Q 为SC 的中点，所以Q 到平面ABCD 的距离为12SA .如图，取DC 的中点E ，连接AE .由AD ＝AC ＝3得AE ⊥DC ，则AE ＝ 5.故S △BCP ＝12×4×5＝2 5.所以四面体C-DPQ 的体积V C-DPQ ＝13×S △D CP ×PA 2＝453.S 球＝4πR 2＝36π.19【答案】（1）15.2-=x y ；（2）餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元.【解析】 (1)由所给数据可得：1398101210.45x ++++==，3223182428255y ++++==，························2分515222151343510.425 2.5558510.45i ii ii x yx y bxx==--⨯⨯===-⨯-∑∑$，$25 2.510.41a y bx =-=-⨯=-$， 则y 关于x 的线性回归方程为$$2.51y x =- (2)由(1)中求出的线性回归方程知，当15x =时，36.5y =，即预计需要原材料36.5袋， 因为40020,036,380,36,NNt t t C t t t -<<∈⎧=⎨≥∈⎩，所以当36t <时，利润()7004002030020L t t t =--=+， 当35t =时, 利润L=300×35+20=10520 当36t ≥时，利润L ＝700t －380t ，当36t =时，利润.L=700×36-380×36=11520 当t=37时，利润L=700×36.5-380×37=11490综上所述，餐厅应该购买36袋原材料，才能使利润获得最大，最大利润为11520元. 20．由题意知，F (1,0)，E (5,0)，M (3,0)．(1)∵直线l 1的倾斜角为π4，∴斜率k ＝1. ∴直线l 1的方程为y ＝x －1.代入椭圆方程，可得9x 2－10x －15＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝109，x 1x 2＝－53. ∴|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2×354)910(2⨯+＝1659.(2)证明：设直线l 1的方程为y ＝k (x －1)． 代入椭圆方程，得(4＋5k 2)x 2－10k 2x ＋5k 2－20＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝10k 24＋5k 2，x 1x 2＝5k 2－204＋5k 2. 设N (5，y 0)，∵A ，M ，N 三点共线， ∴－y 13－x 1＝y 02，∴y 0＝2y 1x 1－3.而y 0－y 2＝2y 1x 1－3－y 2＝2k (x 1－1)x 1－3－k (x 2－1) ＝3k (x 1＋x 2)－kx 1x 2－5k x 1－3＝3k ·10k 24＋5k 2－k ·5k 2－204＋5k 2－5k x 1－3＝0. ∴直线BN ∥x 轴，即BN ⊥l .21.解：（1）当a=2时，),x ln(x )x (f 12+-=11121+-=+-=x x x )x (f '，()()是减函数，（时，当x f )x f ,x '011<-∈， 是增函数函数；，，，)x (f )x (f ),(x '01>+∞∈()),1[1,1)(+∞-，增区间为的减区间为所以，x f（1）.0)1ln()()1ln()(122≥++-≥+-==x x kx x f kx x x x f a ，即，时，当.)0[0)(0)1ln()(2恒成立即可，在，则只需，设∞+≥≥++-=x g x x x kx x g易知.x xx x ]x k [x x kx )x (g )(g '0101112111200≥+≥+-+=++-==，所以，因为）（， ）上单调递减，，在，此时时，当∞+<≤0[)(0)(0'x g x g k 与题设矛盾；所以,0)0()(=<g x g)(2110(02110)(210''<+-∈>+-==<<x g kx k x x g k ）时，，，当得时，由当，与题设矛盾；时，，（上单调递减，所以，当，在，此时时，，当0)0()()2110)2110()(0)()211('=<+-∈+->∞++-∈g x g kx k x g x g k x 0)0()(0[)(0)(21'=≥∞+≥≥g x g x g x g k ）上单调递增，所以，在，故时，当恒成立.综上，.21≥k22.解：（1）曲线的方程为1)1(22=+-y x ，1C 的极坐标方程为θρcos 2=的方程为3=+y x ，其极坐标方程为θθρsin cos 3+=（2）是一条过原点且斜率为正值的直线，的极坐标方程为⎪⎭⎫⎝⎛∈=20πααθ，，联立1C 与3C 的极坐标方程⎩⎨⎧==αθθρcos 2，得αρcos 2=，即αcos 2=OA联立1C 与2C 的极坐标方程⎪⎩⎪⎨⎧α=θθ+θ=ρsin cos 3，得α+α=ρsin cos 3，即α+α=sin cos OB 3 所以⎪⎭⎫ ⎝⎛π+α=α-α-α=-4223cos sin cos cos OB OA又⎪⎭⎫ ⎝⎛π∈α20，，所以),(OB OA 113-∈-23. 证明： （1）因为=++++++++=++cc b a b c b a a c b a c b a 111 111++++++++c bc a b c b a a c a b 时等号成立，当3193===≥++++++=c b a a c c a b c c b b a a b （2）因为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯≥⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++=++bc ac ab c b c a b a c b a 1212122111111121111 又因为,abc 1=所以c ab =1，b ac =1，a bc =1()a b c cb a ++≥++∴111当1===c b a 时等号成立，即原不等式成立。

2020年全国高考数学（文科）仿真冲刺模拟试卷2注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[拉萨中学]已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}1,2A =，{}2,3B =，则()U A B =I ð（ ） A ．{}1,3,4B ．{}3,4C ．{}3D ．{}42．[黔东南州一模]12i 12i1i 1i-++=+-（ ）A ．1-B ．i -C ．1D ．i3．[济南模拟]已知双曲线2219x y m-=的一个焦点F 的坐标为()5,0-，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34y x =±C ．53y x =±D ．35y x =±4．[贵州适应]2018年12月1日，贵阳市地铁一号线全线开通，在一定程度上缓解了出行的拥堵状况。

为了了解市民对地铁一号线开通的关注情况，某调查机构在地铁开通后的某两天抽取了部分乘坐地铁的市民作为样本，分析其年龄和性别结构，并制作出如下等高条形图：根据图中（35岁以上含35岁）的信息，下列结论中不一定正确的是（ ） A ．样本中男性比女性更关注地铁一号线全线开通 B ．样本中多数女性是35岁以上C ．35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数多D ．样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高5．[阆中中学]设D 为ABC △的边BC 的延长线上一点，3BC CD =u u u r u u u r，则（ ）A ．1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rB ．4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rC ．1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rD ．4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r6．[银川质检]执行如图所示的程序框图，若输出的结果为48，则输入k 的值可以为（ ）A ．6B ．10C ．8D ．47．[樟树中学]函数()()sin f x x ωϕ=+（其中π2ϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把sin y x ω=的图象上所有点（ ）A ．向右平移π6个单位长度 B ．向右平移π12个单位长度 C ．向左平移π6个单位长度 D ．向左平移π12个单位长度 8．[烟台一模]我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为14圆周，则该不规则几何体的体积为（ ）A ．π12+B ．1π36+C ．12π+D ．12π33+9．[临沂质检]在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3a =，23c =，πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，b =则（ ）A ．1B ．2C ．3D ．510．[山西冲刺]函数()sin 2cos f x x x x =+的大致图象有可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．[齐齐哈尔模拟]已知三棱锥D ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，若DC ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，32AB =23DC =O 的表面积为（ ）A ．28πB ．30πC ．32πD ．36π12．[四川诊断]已知函数()211x x f x x --=+，()1e ln x g x x a -=--+对任意的[]11,3x ∈，[]21,3x ∈恒有()()12f x g x ≥成立，则a 的取值范围是（ ） A ．12a ≤B ．12a ≥C ．102a <≤D ．1122a -≤≤第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．[宣城期末]log 32381127log 44⎛⎫+-= ⎪⎝⎭_______． 14．[焦作模拟]设x ，y 满足约束条件202300x y x y x y --≤-+≥+≤⎧⎪⎨⎪⎩，则46y x ++的取值范围是__________．15．[海安中学]若cos 24πcos αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则an 8πt α⎛⎫+= ⎪⎝⎭______．16．[呼和浩特调研]设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA L ⊥，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为3-PF 为直径的圆的标准方程为______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）[济南模拟]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且22n n S a =-．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设22log 11n n b a =-，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求n T 的最小值及取得最小值时n 的值．18．（12分）[宜宾诊断]在如图所示的几何体中，已知90BAC ∠=︒，PA ⊥平面ABC ，3AB =，4AC =，2PA =．若M 是BC 的中点，且PQ AC ∥，QM ∥平面PAB ．（1）求线段PQ 的长度；（2）求三棱锥Q AMC -的体积V ．19．（12分）[海淀一模]据《人民网》报道，“美国国家航空航天局(NASA)发文称，相比20年前世界变得更绿色了，卫星资料显示中国和印度的行动主导了地球变绿．”据统计，中国新增绿化面积的42%来自于植树造林，下表是中国十个地区在2017年植树造林的相关数据．（造林总面积为人工造林、飞播造林、新封山育林、退化林修复、人工更新的面积之和）单位：公顷地区造林总面积按造林方式分人工造林飞播造林新封山育林退化林修复人工更新内蒙618484 311052 74094 136006 90382 6950河北583361 345625 33333 135107 65653 3643河南149002 97647 13429 22417 15376 133重庆226333 100600 62400 63333陕西297642 184108 33602 63865 16067甘肃325580 260144 57438 7998新疆263903 118105 6264 126647 10796 2091青海178414 16051 159734 2629宁夏91531 58960 22938 8298 1335北京19064 10012 4000 3999 1053（1）请根据上述数据，分别写出在这十个地区中人工造林面积与造林总面积的比值最大和最小的地区；（2）在这十个地区中，任选一个地区，求该地区人工造林面积与造林总面积的比值不足50%的概率是多少？（3）从上表新封山育林面积超过十万公顷的地区中，任选两个地区，求至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷的概率．20．（12分）[上饶模拟]已知椭圆()2222:10x yD a ba b+=>>的离心率为2e，点)2,1-在椭圆D 上．（1）求椭圆D的标准方程；（2）过y轴上一点()0,E t且斜率为k的直线l与椭圆交于A，B两点，设直线OA，OB（O为坐标原点）的斜率分别为OA k ，OB k ，若对任意实数k ，存在[]2,4λ∈，使得OA OB k k k λ+=，求实数t 的取值范围．21．（10分）[衡阳联考]已知函数()()21ln 12f x x ax a x =-++-，a ∈R ．（1）讨论()f x 的单调性；（2）()2,x ∀∈+∞，()0f x >恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】[东莞调研]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()334 3x tt y a t ⎧⎪⎨=+⎪⎩+=为参数， 圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=．以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．求直线l 和圆C 的极坐标方程； 若射线π3θ=与l 的交点为M ，与圆C 的交点为A ，B ，且点M 恰好为线段AB 的中点， 求a 的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 [河南联考]已知函数()2f x x a x a =-+-． （1）当1a =-时，求()4f x ≤的解集；（2）记()f x 的最小值为()g a ，求()g a 在[]0,2a ∈时的最大值．绝密 ★ 启用前 2020年全国高考数学（文科）仿真冲刺模拟试卷1答案一、选择题． 1．【答案】A【解析】集合{}1,2A =，{}2,3B =，则{}2A B =I ，又全集{}1,2,3,4U =，则(){}1,3,4U A B =I ð，故选A ． 2．【答案】A 【解析】12i 12i 13i 13i11i 1i 2-+---++==-+-，故答案为A ． 3．【答案】A【解析】Q 双曲线2219x y m-=的一个焦点为()5,0F -，∴由222a b c +=，得925m +=，解得16m =，∴双曲线方程为221916x y -=，∴双曲线的渐近线方程为43y x =±．故选A 项．4．【答案】C【解析】由左图知，样本中的男性数量多于女性数量，A 正确； 由右图知女性中35岁以上的占多数，B 正确；由右图知，35岁以下的男性人数比35岁以上的女性人数少，C 错误；由右图知样本中35岁以上的人对地铁一号线的开通关注度更高，D 正确．故选C ． 5．【答案】C【解析】()44143333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+-=-+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u ur u u u r ，故选C ．6．【答案】C【解析】由题意可知，执行如图所示的程序框图，可知： 第一循环：134n =+=，2146S =⨯+=； 第二循环：437n =+=，26719S =⨯+=； 第三循环：7310n =+=，2191048S =⨯+=，要使的输出的结果为48，根据选项可知8k =，故选C ． 7．【答案】C【解析】由图知，17ππ1π41234T =-=，()2ππ0T ωω∴==>，2ω∴=，又ππ3ωϕ+=，π2ππππ333ϕω∴=-=-=， 又1A =，()πsin 23y f x x ⎛⎫∴==+ ⎪⎝⎭，()sin 2g x x =，πππsin 2sin 2663g x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭Q ，∴为了得到()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，则只要将()sin 2g x x =的图象向左平移π6个单位长度．故选C ． 8．【答案】B【解析】根据三视图知，该几何体是三棱锥与14圆锥体的组合体，如图所示：则该组合体的体积为211111π112π12323436V =⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+，所以对应不规则几何体的体积为1π36+，故选B ．9．【答案】C【解析】因为πsin cos 6b A a B ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，展开得31sin cos sin 2b A B a B -，由正弦定理化简得31sin sin cos sin sin 2B A A B A B =-， 3sin cos B B =，即3tan B =， 而三角形中0πB <<，所以π6B =， 由余弦定理可得2222cos b a c ac B =+-，代入(222π3232323cos6b =+-⨯⨯， 解得3b =C ． 10．【答案】A【解析】函数()f x 是偶函数，排除D ；由()()2sin cos cos cos 2sin 1f x x x x x x x x =+=+，知当()0,2πx ∈时，cos 0x =有两个解π2，3π2， 令2sin 10x x +=，1sin 2x x =-，而sin y x =与12y x=-在()0,2π有两个不同的交点（如下图所示），故函数在()0,2π上有4个零点，故选A ． 11．【答案】B【解析】由于C 处的三条棱两两垂直，可以把三棱锥补成长方体．设球O 半径为R ，则()222230R CD AB =+=，球表面积24π30πS R ==．故选B ． 12．【答案】A 【解析】由题得()()22201x xf x x =+'+>，()f x ∴在[]1,3上单调递增，所以()()min 112f x f ==-，由题得()11e 0x g x x -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭'，所以函数()g x 在[]1,3上单调递减，所以()()max 11g x g a ==-，由题得()()min max f x g x ≥，112a ∴-≥-，所以12a ≤．故选A ．二、填空题． 13．【答案】10 【解析】原式2232log 33232103⨯-=++=．故答案为10． 14．【答案】[]3,1-【解析】作出不等式组对应的平面区域如图所示：则46y x ++的几何意义是区域内的点到定点()6,4P --的斜率， 由2300x y x y -+=+=⎧⎨⎩，得1x =-，1y =，即()1,1A -，则AP 的斜率14116k +==-+，由20230x y x y --=-+=⎧⎨⎩，得5x =-，7y =-，即()5,7B --，则BP 的斜率74356k -+==--+，则46y x ++的取值范围是[]3,1-，故答案为[]3,1-． 15．【答案】21+ 【解析】πcos 2cos 4αα⎛⎫=+ ⎪⎝⎭Q ，ππππcos 2cos 8888αα⎛⎫⎛⎫∴+-=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππππππππcos cos sin sin 2cos cos 2sin sin 88888888αααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+++=+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，化为ππππcos cos 3sin sin 8888αα⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ππ3tan tan 188α⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，2π2tanπ8tan 1π41tan 8==-Q ，解得πtan 218=-． ()π21tan 8321α+⎛⎫∴+==⎪⎝⎭-，故答案为21+． 16．【答案】()()22234x y -+-=【解析】Q 抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PF PA ∴=，()1,0F ，准线l 的方程为1x =-， 设F 在l 上的射影为F '，又PA l ⊥，依题意，60AFF '∠=︒，2FF '=，AF '∴=PA x ∥轴，∴点P的纵坐标为设点P 的横坐标为0x，(204x =，03x ∴=，()()01314PF PA x ∴==--=--=．故以PF为直径的圆的圆心为(，半径为2． 以PF 为直径的圆的标准方程为()(2224x y -+=．故答案为()(2224x y -+=．三、解答题．17．【答案】（1）2n n a =；（2）当5n =时，n T 有最小值525T =-． 【解析】（1）当1n =时，11122S a a ==-，解得12a =， 当2n ≥时，()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-，所以12n n a a -=，所以{}n a 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以2n n a =． （2）222log 112log 211211n n n b a n =-=-=-，所以{}n b 为等差数列， 所以()()1292111022n n n b b n n T n n +-+-===-，所以当5n =时，n T 有最小值525T =-． 18．【答案】（1）2；（2）2．【解析】（1）取AB 的中点N ，连接MN ，PN ，MN AC ∴∥，且122MN AC ==，PQ AC Q ∥，P ∴、Q 、M 、N 确定平面α， QM Q ∥平面PAB ，且平面αI 平面PAB PN =，又QM ⊂平面α，QM PN ∴∥，∴四边形PQMN 为平行四边形， 2PQ MN ∴==．（2）解：取AC 的中点H ，连接QH ，PQ AH Q ∥，且2PQ AH ==，∴四边形PQHA 为平行四边形，QH PA ∴∥，PA ⊥Q 平面ABC ，QH ∴⊥平面ABC ，11322AMC S AC AB ⎛⎫=⨯⨯= ⎪⎝⎭Q △，2QH PA ==， ∴三棱锥Q AMC -的体积：1132233AMC V S QH =⋅=⨯⨯=△．19．【答案】（1）甘肃省，青海省；（2）310；（3）56． 【解析】（1）人工造林面积与造林总面积比最大的地区为甘肃省，人工造林面积占造林总面积比最小的地区为青海省．（2）设在这十个地区中，任选一个地区，该地区人工造林面积占总面积的比值不足50%为事件A ，在十个地区中，有3个地区（重庆、新疆、青海）人工造林面积占总面积比不足50%，则()310P A =． （3）设至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷为事件B ，新封山育林面积超过十万公顷有4个地区：内蒙、河北、新疆、青海，分别设为1a ，2a ，3a ，4a ，其中退化林修复面积超过五万公顷有2个地区：内蒙、河北，即1a ，2a ，从4个地区中任取2个地区共有6种情况，()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()23,a a ，()24,a a ，()34,a a ，其中至少有一个地区退化林修复面积超过五万公顷共有5种情况，()12,a a ，()13,a a ，()14,a a ，()23,a a ，()24,a a ，则()56P B =．20．【答案】（1）22142x y +=；（2）[]1,1t ∈-． 【解析】（1）椭圆D的离心率2e ==，a ∴，又点)1-在椭圆上，22211a b ∴+=，得2a =，b ， ∴椭圆D 的标准方程为22142x y +=．（2）由题意得，直线l 的方程为y kx t =+，由22142x y y kx t +==+⎧⎪⎨⎪⎩，消元可得 ()222214240kx ktx t +++-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421kt x x k -+=+，21222421t x x k -⋅=+，()212121222212121242142221242OA OBt x x y y kx t kx t kt k kk k k k t x x x x x x k t t +++-+-+=+=+=+=+⋅⋅=+--，由OA OB k k k λ+=，得242t λ-=-，即242t λ=-， 又[]2,4λ∈，[]20,1t ∴∈，[]1,1t ∴∈-． 21．【答案】（1）见解析；（2）2ln2,4+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】（1）()f x 的定义域为()0,+∞，()()()1111x ax f x ax a x x+-'=-++-=． 若0a ≤，则当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，故()f x 在()0,+∞单调递减． 若0a >，则当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>．故()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．综上可得：当0a ≤时，()f x 在()0,+∞单调递减．当0a >时，()f x 在10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增．（2）因为()2,x ∈+∞，由()()()222ln 10ln 1022x x f x x ax a x a x x+>⇒-++->⇒>+．令()()22ln 2x x g x x x+=+，()2,x ∈+∞，则()()()()22212ln 202x x x g x xx +--+'=<+．所以()g x 在()2,+∞单调递减，又()2ln224g +=，∴()2ln24g x +<，∴2ln24a +≥， 即实数a 的取值范围是2ln2,4+⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．22．【答案】（1）直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=，圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=；（2）94a =． 【解析】（1）∵直线l的参数方程为()34 x t y a ⎧⎪⎨=⎪⎩+=为参数， ∴在直线l 的参数方程中消去t 可得直线l 的普通方程为304x y a --+=， 将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入以上方程中， 得到直线l 的极坐标方程为3cos sin 04a ρθρθ--+=． Q 圆C 的标准方程为()()22334x y -+-=，∴圆C 的极坐标方程为26cos 6sin 140ρρθρθ--+=．（2）在极坐标系中，由已知可设1π3,M ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2π3,A ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，3π3,B ρ⎛⎫ ⎪⎝⎭，联立236cos π6sin 140θρρθρθ=⎧--+=⎪⎨⎪⎩，得(23140ρρ-++=，233ρρ∴+=+Q 点M 恰好为AB的中点，1ρ∴=，即3πM ⎫⎪⎪⎝⎭，把3πM ⎫⎪⎪⎝⎭代入3cos sin 04a ρθρθ--+=，得(313024a +-+=，解得94a =． 23．【答案】（1）{}22x x -≤≤；（2）2．【解析】（1）当1a =-时，原不等式变为114x x ++-≤． ①当1x ≥时，114x x ++-≤，得2x ≤，所以12x ≤≤； ②当1x ≤-时，114x x ---+≤，得2x ≥-，所以21x -≤≤-； ③当11x -<<时，1124x x +-+=≤恒成立，所以11x -<<．综上，得22x -≤≤．故()4f x ≤的解集为{}22x x -≤≤． （2）()()()22f x x a x a a a ≥---=-，所以()2g a a a =-．①当01a ≤<时，()2g a a a =-，最大值为1124g ⎛⎫= ⎪⎝⎭；②当12a ≤≤时，()2g a a a =-，最大值为()22g =． 综上，得()g a 在[]0,2a ∈时的最大值为2．。

2020年高考数学模拟卷（全国Ⅱ卷文科）时间：120分钟满分：160分命卷人：* 审核人：一、选择题（每小题5分,共60分）1. 已知集合,,则( )A. B.C. D.2. 若复数满足,则在复平面内对应的点位于( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3. 已知圆,直线,若圆上总存在到直线的距离为的点,则实数的取值范围为A.B.C.D.4. 《张丘建算经》是早于《九章算术》的我国另一部数学著作,在《算经》中有一题:某女子善于织布,一天比一天织的快,而且每天增加的数量相同,已知第一天织布尺,天共织布尺,则该女子织布每天增加( )A. 尺B. 尺C. 尺D. 尺5. 已知直线与双曲线无公共点,则双曲线离心率的取值范围为( )A. B.C. D.6. 某兴趣小组合作用纸片制作了一个封闭的手工制品,并将其绘制成如图所示的三视图,其中侧视图中的圆的半径为,则制作该手工制品所需材料最少为( )A. B.C. D.7. 在中,,,,则( )A. B.C. 或D. 或8. 从某中学抽取名学生进行阅读调查,发现每年读短篇文章量都在篇至篇之间,频率分布直方为( )图如图所示,则对这名学生的阅读量判断正确的ArrayA. 的值为B. 平均数约为C. 中位数大约为D. 众数约为9. 已知椭圆左、右焦点分别为、,为椭圆上一点,且,若的最小值为,则椭圆的离心率为( )A. B.C. D.10. 已知函数,若正实数满,则的最小值是( )A. B.C. D.11. 已知函数的图象在处的切线与直线垂直.执行如图所示的程序框图,若输出的的值为,则判断框中的值可以为( )A. B.C. D.12. 已知定义在上的函数,其导函数为,且对任意都有.若,则不等式的解集为( )A. B.C. D.二、填空题（每小题5分,共20分）13. 设,满足约束条件,若目标函数的最大值与最小值分别为,,则__________.14. ,,,的夹角为,则与的夹角为__________.15. 在三棱锥中,平面,,,则三棱锥外接球的表面积为__________.16. 已知点到直线的最大距离为,则____.三、解答题（每小题12分,共84分）17. 在正项等比数列中,已知,. (1)求数列的通项公式; (2)令,求数列的前项和.18. 新高考最大的特点就是取消文理科,除语文、数学、外语之外,从物理、化学、生物、政治、历史、地理这科中自由选择三门科目作为选考科目.某研究机构为了了解学生对全理(选择物理、化学、生物)的选择是否与性别有关,觉得从某学校高一年级的名学生中随机抽取男生,女生各人进行模拟选科.经表.统计,选择全理的人数比不选全理的人数多人. (1)请完成下面的列联Array(2)估计有多大把握认为选择全理与性别有关,并说明理由; (3)现从这名学生中已经选取了男生名,女生名进行座谈,从中抽取名代表作问卷调查,求至少抽到一名女生的概率. 附:,其中.20. 已知抛物线,其焦点为,直线过点与交于、两点,当的斜率为时,.(1)求的值; (2)在轴上是否存在一点始终满足(点为坐标原点)?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.21. 已知函数,. (1)设函数,若是函数的唯一极值点,求实数的取值范围; (2)若函数有两个零点,,证明:.22. 在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数).以坐标原点为极点,以轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的普通方程; (2)已知,直线与曲线交于,两点,求的最大值.,若存在使成立,求实数的取值范围.第1题：【答案】A【解析】由得,,即,由,得,所以,所以.第2题：【答案】A【解析】由,得,所以在复平面内对应的点位于第一象限.第3题：【答案】B【解析】若圆上只有一点到直线的距离为时,圆心到直线的距离为,故要使圆上总存在到直线的距离为的点,则圆心到直线的距离,即,即.第4题：【答案】B【解析】本题可以转为等差数列问题:已知首项,前项的和,求公差,由等差数列的前项公式可得,,解得.第5题：【答案】B【解析】双曲线的一条渐近线为,因为直线与双曲线无公共点,故有,即,,所以,所以.第6题：【答案】D【解析】由三视图可知,该手工制品是由两部分构成,每一部分都是相同圆锥的四分之一,且圆锥的底面半径为,高为,故母线长为,故每部分的表面积为,故两部分表面积为.第7题：【答案】D【解析】,所以,所以或,当时,由余弦定理可得,,同理,时,.第8题：【答案】C【解析】由,解得,故A错; 由A可知,,所以平均数为,故B错误;居民月用电量在的频率为:,居民月用电量在的频率为:,∴这户居民月用电量的中位数大约为,故C正确;由频率分布直方图可知,众数大约为,故D第9题：【答案】C【解析】由,得,当最小且最大时,取得最小值,所以,所以,所以离心率.第10题：【答案】A【解析】因为, 所以, 所以函数为奇函数,又若正实数满,所以, 所以, 当且仅当,即时,取等号.故选A.第11题：【答案】B【解析】,则的图象在处的切线斜率,由于切线与直线垂直,则有,则,所以,所以,所以,由于输出的的值为,故总共循环了次,此时,故的值可以为.第12题：【答案】B【解析】由,得, 即,即,亦即, 设,即,故在上单调递增.因为,所以.不等式,即,所以,即所求不等式的解集为,故选B.第13题：【答案】【解析】,满足约束条件的可行域如下图,由,得由,得,将目标函数化为,由图可知,当直线经过点时目标函数取得最小值,所以;当直线经过点时目标函数取得最大值,所以,所以有.第14题：【答案】【解析】,所以,设与的夹角为,则,又因为,所以.第15题：【答案】【解析】设外接圆的半径为,则,∴,设三棱锥外接球的半径为,则,故外接球的表面积.第16题：【答案】或【解析】点到直线的距离,当时,,所以;当时,,所以.综上,或.第17题：【答案】略【解析】(1)设公比为,则由题意可知:,又,所以,所以=. (2),∴.第18题：【答案】见解析【解析】(1)依题意可得列联表:(2),∴的把握认为选择全理与性别有关; (3)设名男生分别为,,,两名女生分别为,.从名学生中抽取名所有的可能为:,共种,不包含女生的基本事件有,共种,故所求概率.第19题：【答案】略【解析】(1)∵平面,平面,∴,∵,是的中点,∴,又,∴平面. (2)∵,平面,∴平面,∴,∴.同理在中,,在梯形中,易得.所以等腰底边上的高为,所以,又,∵,平面,∴平面,∴点到平面的距离等于点到平面的距离,∵,∴.设点到平面的距离为,则由,得,所以.∵点为的中点,∴点到平面的距离为.第11页，共11页第20题：【答案】略【解析】(1),当直线的斜率为时,其方程为,设,,由,得,把代入抛物线方程得, 所以,所以,所以. (2)由(1)可知,抛物线,,由题意可知,直线的斜率存在,设其方程为,将其代入抛物线方程为,则,,假设在轴上存在一点满足,则,即,即,所以,即,由于,所以,即,即在轴上存在点始终满足.第21题：【答案】略 【解析】由,可得,∵函数有唯一极值点,∴,即恒成立,设,则, 当时,,函数单调递减;当时,,函数单调递增,所以,所以,即实数的取值范围是. (2),∵,是函数的两个零点,∴,,∴,.要证,即证.设,则等价于,即证,令,且,即证,则,则,令,则,故在上单调递增,故,所以函数在上单调递增,所以.即对任意恒成立,所以. 第22题： 【答案】见解答 【解析】(1)∵,∴,∴,即. (2)将直线的参数方程(为参数)代入的普通方程,得,则,,所以,所以,即的最大值为. 第23题： 【答案】略 【解析】(1)当时,原不等式可化为,无解; 当时,原不等式可化为,从而; 当时,原不等式可化为,从而. 综上,原不等式的解集为. (2)由得,又, 所以,即,解得,所以的取值范围为.。

2020年新课标II 高考仿真模拟卷数学（文科） 2020.4满分：150分 考试时间：120分钟第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、单选题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数32(1)izi =-，则z 在复平面内对应点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．设集合{}2|30,{|14}A x x xB x x =-<=<<，则A B =IA ．(0,4)B ．(1,4)C ．(3,4)D ．(1,3)3．椭圆2221x my -=的一个焦点坐标为(0,，则实数m = A ．23 B ．25 C ．23- D ．25-4．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站从中国5个传统节日(春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节)中随机选取3个节日来讲解其文化内涵，那么春节和中秋节都被选中的概率是 A ．310B ．25C ．35D ．7105．在四棱锥P ABCD -中，2PB PD ==，1AB AD ==，3PC ==，则AC =A ．2B．CD．6．若sin 12πα⎛⎫-=⎪⎝⎭，则2sin 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭A ．12B ．12-C．2D． 7．在平行四边形ABCD 中，60,BAD ︒∠=3AB AD =，E 为线段CD 的中点，若6AE AB ⋅=u u u r u u u r，则AC BD ⋅=u u u r u u u rA ．-4B ．-6C ．-8D ．-98．我国古代名著《九章算术》中用“更相减损术“求两个正整数的最大公约数，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图即源于“辗转相除法”，当输入a ＝2916，b ＝1998时输出的a ＝A ．18B ．24C ．27D ．549．将奇函数()3sin(2)cos(2)(0)f x x x ϕϕϕπ+-+<<的图象向右平移ϕ个单位，得到()y g x =的图象，则()g x 的一个单调减区间为A ．5(,)1212ππ-B ．5(,)1212ππ-C ．7(,)1212ππD ．511(,)1212ππ 10．已知函数()ln f x x x ax =+，过点()1,1P 可作两条直线与()f x 的图象相切，则a 的取值范围是 A ．[)1,+∞B ．()1,+∞C ．(),1-∞D ．(],1-∞11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 是C 的右支上一点，连接1PF 与y 轴交于点M ，若12||FO OM =（O 为坐标原点），12PF PF ⊥，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．3y x =± B ．3y x =C ．2y x =±D ．2y x =12．已知定义在R上的奇函数()f x恒有(1)(1)f x f x-=+，当[0,1)x∈时，21()21xxf x-=+，则当函数1()()3g x f x kx=--在[0,7]上有三个零点时，k的取值范围是（）A．12,415⎡⎫--⎪⎢⎣⎭B．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦C．22,915⎛⎤--⎥⎝⎦D．221,9153⎛⎤⎧⎫--⋃-⎨⎬⎥⎝⎦⎩⎭第II卷（非选择题)二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一模拟考试文科数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．作答时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷及草稿纸上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．()i 23i += A ．32i -B ．32i +C ．32i --D ．32i -+2．已知集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，则A B =I A ．{}3B ．{}5C ．{}3,5D ．{}1,2,3,4,5,73．函数()2e e x xf x x --=的图像大致为4．已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b A ．4B ．3C ．2D ．05．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6B ．0.5C ．0.4D ．0.36．双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>3A ．2y x =B ．3y x =±C ．2y = D ．3y = 7．在ABC △中，5cos 2C =1BC =，5AC =，则AB = A ．42B 30C 29D ．258．为计算11111123499100S =-+-++-L ，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入A ．1i i =+B ．2i i =+C ．3i i =+D ．4i i =+9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，则异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．若()cos sin f x x x =-在[0,]a 是减函数，则a 的最大值是A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π11．已知1F ，2F是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，则C 的离心率为 A ．1-B ．2CD 112．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．若(1)2f =，则(1)(2)(3)f f f ++(50)f ++=LA ．50-B ．0C ．2D ．50二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。