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北师大版数学七年级下册4.3《探索三角形全等的条件》精选练习一、选择题1.如图是由4个相同的小正方形组成的网格图，其中∠1+∠2等于（）A.150°B.180°C.210°D.225°2.下列各图中a、b、c为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC全等的是（）A.甲和乙B.乙和丙C.甲和丙D.只有丙3.下列说法正确的是( )A.两个等腰直角三角形全等B.面积相等的两个三角形全等C.完全重合的两个三角形全等D.所有的等边三角形全等4.如图所示，已知D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=EF，FC∥AB，若BD=2，CF=5，则AB的长为( )A.1B.3C.5D.75.如图，已知∠ABC=∠BAD，添加下列条件还不能判定△ABC≌△BAD的是( )A.AC=BDB.∠CAB=∠DBAC.∠C=∠DD.BC=AD6.如图所示，在△ABC中，∠B=∠C，D为BC的中点，过点D分别向AB、AC作垂线段，则能够说明△BDE≌△CDF的理由是( )7.如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，若连接AC、BD相交于点O，则图中全等三角形共有( )A.1对B.2对C.3对D.4对8.如图，将两根钢条AA′，BB′的中点O连在一起，使AA′，BB′可以绕着点O自由转动，就做成了一个测量工件，则AB的长等于内槽宽A′B′，那么判定△AOB≌△A′OB′的理由是( )A.边角边B.角边角C.边边边D.角角边9.下图中全等的三角形有( )A.图1和图2B.图2和图3C.图2和图4D.图1和图310.已知△ABC的三边长分别为3，5，7，△DEF的三边长分别为3，3x－2，2x－1，若这两个三角形全等，则x等于( )A.73B.4C.3D.不能确定11.如图，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于E，AD⊥CE于D.下面四个结论：①∠ABE=∠BAD；②△CBE≌△ACD；③AB=CE；④AD-BE=DE.其中正确的个数有（）A.1个B.2个C.3个D.4个12.如图，点B、C、E在同一条直线上，△ABC与△CDE都是等边三角形，则下列结论不一定成立的是（）A．△ACE≌△BCD B．△BGC≌△AFC C．△DCG≌△ECF D．△ADB≌△CEA二、填空题13.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，∠ABC=___.14.如图所示，A，B，C，D是四个村庄，B，D，C在一条东西走向公路的沿线上，BD=1 km，DC=1 km，村庄AC，AD间也有公路相连，且公路AD是南北走向，AC=3 km，只有AB之间由于间隔了一个小湖，所以无直接相连的公路.现决定在湖面上造一座斜拉桥，测得AE=1.2 km，BF=0.7 km，则建造的斜拉桥长至少有km.15.如图所示，有一块三角形镜子，小明不小心将它打破成1、2两块，现需配成同样大小的一面镜子.为了方便起见，需带上1块，其理由是 .16.如图，下列三角形中，与△ABC全等的是 .17.如图，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠ECD=90°，且∠EBD=38°，则∠AEB= .18.在平面直角坐标系中,点A（2,0），B（0,4），作△BOC,使△BOC与△ABO全等,则点C坐标为 .三、解答题19.如图，△ABC中，AB=AC，点E，F在边BC上，BE=CF，点D在AF的延长线上，AD=AC，（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠BAE=30°，则∠ADC= °.20.如图，点E、A、B、F在同一条直线上，AD与BC交于点O，已知∠CAE=∠DBF，AC=BD．求证：（1）BC=AD；（2）∠CAD=∠DBC．21.如图，已知点A、F、E、C在同一直线上，AB∥CD，∠ABE=∠CDF，AF=CE.(1)从图中任找两组全等三角形；(2)从(1)中任选一组进行证明.22.如图，点E，F在BC上，BE=CF，∠A=∠D，∠B=∠ C.求证：AB=DC.23.如图1所示，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，过点C在△ABC外作直线MN，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N.(1)求证：MN=AM＋BN；(2)如图2，若过点C作直线MN与线段AB相交，AM⊥MN于点M，BN⊥MN于点N(AM＞BN)，(1)中的结论是否仍然成立？说明理由.参考答案1.答案为：B2.答案为：B3.答案为：C4.答案为：D;5.答案为：A；6.答案为：D;7.答案为：C;8.答案为：A；9.答案为：D；10.答案为：C；11.答案为：C;12.D13.答案为：4514.答案为：1.1；15.答案为：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等；16.答案为：③；17.答案为：128°.18.答案为：（-2,0），（-2,4），（2,4）；19.解：（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACF，在△ABE和△ACF中，∴△ABE≌△ACF（SAS）；（2）∵△ABE≌△ACF，∠BAE=30°，∴∠CAF=∠BAE=30°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠ACD，∴∠ADC=75°，20.证明：（1）∵∠CAE=∠DBF，∠CAB+∠CAE=180°，∠DBF+∠DBA=180°，∴∠CAB=∠DBA，在△CAB和△DBA中AC=DB, ∠CAB=∠DBA,AB=AB.∴△CAB≌△DBA，∴BC=AD；（2）∵△CAB≌△DBA，∴∠C=∠D，∵∠COA=∠DOB，∠C+∠CAD+∠COA=180°，∠D+∠DOB+∠DBC=180°，∴∠CAD=∠DBC．21.解：(1)△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB(答案不唯一).(2)选△ABE≌△CDF，证明：∵AB∥CD，∴∠BAE=∠DCF.∵AF=CE，在△ABE 和△CDF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE ＝∠DCF ，∠ABE ＝∠CDF ，AE ＝CF ，∴△ABE ≌△CDF(AAS).22.证明：∵BE=CF ，∴BF=CE.在△ABF 和△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠D ，∠B ＝∠C ，BF ＝CE ，∴△ABF ≌△DCE(AAS).∴AB=DC.23.解：(1)证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACM ＋∠BCN=90°.又∵AM ⊥MN ，BN ⊥MN ，∴∠AMC=∠CNB=90°.∴∠BCN ＋∠CBN=90°.∴∠ACM=∠CBN.在△ACM 和△CBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACM ＝∠CBN ，∠AMC ＝∠CNB ，AC ＝CB ，∴△ACM ≌△CBN(AAS).∴MC=NB ，MA=NC.∵MN=MC ＋CN ，∴MN=AM ＋BN.(2)(1)中的结论不成立，结论为MN=AM －BN. 理由：同(1)中证明可得△ACM ≌△CBN ， ∴CM=BN ，AM=CN.∵MN=CN －CM ，∴MN=AM －BN.。
探索三角形全等的条件第1课时能力提升1.如图,AB=CD,AD=BC,以下结论:①∠1=∠4;②∠1=∠3;③∠A=∠C;④∠A+∠C=180°;⑤∠A+∠ABC=180°,其中正确的有()A.①④⑤B.①③⑤C.②③⑤D.②④⑤2.如图,AB=CD,BC=DA,E,F是AC上的两点,且AE=CF,DE=BF,那么图中的全等三角形有()3.如图,AB=DE,BC=EF,若根据“SSS”判定△ABC≌△DEF,需要添加的一个条件是.4.如图,许多屋顶的钢架呈三角形结构,这样做是利用了.5.如图,AB=AD,CB=CD,∠B=30°,∠BAD=46°,则∠ACD的度数是.6.如图,点B,E,C,F在同一直线上,AB=DE,AC=DF,BE=CF,试判断AC与DF的位置关系,并说明理由.7.如图,AB=CD,AD=BC,O为AC上任意一点,过点O的直线交AD于点E,交BC于点F,试比较∠1与∠2的大小,并说明理由.创新应用8.有一块三角形的厚铁板如图,根据实际生产需要,工人师傅要把∠MAN平分,现在他手中只有一把尺子和一根细绳,你能帮他想个办法吗?并说明你的设计理由.参考答案能力提升1.B2.C3.AC=DF(或AF=DC)4.三角形的稳定性5.127°6.解:AC∥DF,理由如下:因为BE=CF,所以BE+EC=CF+EC,即BC=EF.又因为AB=DE,AC=DF,所以△ABC≌△DEF(SSS).所以∠ACB=∠DFE.所以AC∥DF.7.解:∠1=∠2,理由如下:因为AB=CD,AD=BC,AC=CA.所以△ABC≌△CDA(SSS).所以∠CAD=∠ACB.所以AD∥BC,所以∠1=∠2.创新应用8.解:能,如图.用一定长度的绳子在AM和AN上截取AB=AC,再选取适当长度(不小于BC)的绳子,将其对折,得绳子的中点D,把绳子确定的端点固定在B,C两点,拽住绳子的中点D,向外拉直BD和CD,确定出点D在铁板上的位置,过A,D两点画射线AD,则AD平分∠MAN.理由如下:在△ABD和△ACD中,AB=AC,BD=CD,AD=AD,所以△ABD≌△ACD(SSS),所以∠MAD=∠NAD.。
北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题含答案教育专区初中教育数北师大版七年级下册数学《探索三角形全等的条件》典型例题含答案《探索三角形全等的条件》典型例题例1 分析下列结论：（1）有两角和一边对应相等的两个三角形全等（2）有两边和一角对应相等的两个三角形全等（3）判定两个三角形全等，至少需要一对对边应相等（4）三个角对应相等的两个三角形全等（5）三条边对应相等的两个三角形全等其中，正确的个数是（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个例2 如图，在ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB中，如果AB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BD，那么ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB全等吗？如果全等，请指出根据．例3 如图，A、F、C、D在同一直线上，AB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DCAB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DCAB⊥BC,DE⊥EF,BCFE,AF=DC，问ΔABCΔABCΔABC和ΔDEFΔDEFΔDEF能全等吗？如果全等请指出根据．例4 如下图，AB=DC,∠ABC=∠DCBAB=DC,∠ABC=∠DCBAB=DC,∠ABC=∠DCB，那么ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB吗？例5 如图，AC是∠DAB∠DAB∠DAB的角平分线，且AD=ABAD=ABAD=AB，试说明CD=CBCD=CBCD=CB．例6 如图，OA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BODOA=OB,OC=OD,∠AOC=∠BODOA=OB,OC=OD,∠A OC=∠BOD那么，AD=BCAD=BCAD=BC吗？例7 已知：如图，AB=AC,DAB=AC,DAB=AC,D是BC中点，E是AD上任意一点，连接EB、EC，求证：EB=ECEB=ECEB=EC例8 如图，AB=AC,AD=AEAB=AC,AD=AEAB=AC,AD=AE，那么，CD=BECD=BECD=BE吗？例9 如图，AB=CD,ACAB=CD,ACAB=CD,AC和BD交于点O，且AC=BDAC=BDAC=BD，那么，∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C吗？参考答案例1 分析：（1）有两角和一边对应相等，只有两种情况：两角和夹边对应相等、两角和其中一角的对边对应相等，可以根据ASA、AAS判定全等，故（1）正确．（2）有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形未必全等，如下图：故（2）错误．在ΔABCΔABCΔABC与ΔABDΔABDΔABD中AB=AB,AC=AD,∠B=∠BAB=AB,AC=AD,∠B=∠BAB=AB,AC=AD,∠B=∠B但显然ΔABCΔABCΔABC与ΔABDΔABDΔABD不全等．（3）观察四个判定三角形全等的条件（包括后面将要学习的HL），每一个都至少要求一对边对应相等，故（3）正确．（4）三个角对应相等的两个三角形未必全等，如下图所示的两个三角形：根据“SSS”，（5）正确．解：选C．例2 分析：在ΔABCΔABCΔABC与ΔDCBΔDCBΔDCB中，由于AB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BDAB=DC,AC=BD，BC=CBBC=CBBC=CB，根据三边对应相等，两个三角形全等，可知ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB．解：ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB，根据SSSSSSSSS，即AB=DC,AC=DB,BC=CBAB=DC,AC=DB,BC=CBAB=DC,AC=DB,BC=CB．说明：判断两个三角形是否全等，应找其全等应满足的条件．例3 分析：在ΔABCΔABCΔABC和ΔDEFΔDEFΔDEF中，由AB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EF，可知∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°；由BCFEBCFEBCFE，可知∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE；而由AF=DCAF=DCAF=DC可知AC=DFAC=DFAC=DF，所以根据AASAASAAS，可得ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．解：ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．根据：因为AB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EFAB⊥BC,DE⊥EF，所以∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°∠ABC=∠DEF=90°，又因为BCFEBCFEBCFE，所以∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE∠ACB=∠DFE，因为AF=DCAF=DCAF=DC，所以AC=AF+FC=DC+FC=DFAC=AF+FC=DC+FC=DFAC=AF+FC=DC+FC=DF所以根据AASAASAAS得，ΔABCΔABCΔABC≌ΔDEFΔDEFΔDEF．说明：这个题也可以根据ASAASAASA来判断，请读者自行试一试．例4 分析：判定两个三角形全等，需要三个条件，已知两个条件：一对边对应相等，一对角对应相等，需要结合图形，寻找第三个条件，一般地，可以从以下几个方面考虑：①公共边②公共角③对顶角④直角．本题中有公共边，可以利用SAS来证明三角形全等，注意三个条件的罗列顺序，第一个是边相等，第二个是角相等，第三个是边相等．解：在ΔABCΔABCΔABC和ΔDCBΔDCBΔDCB中∵{AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已知)BC=CB(公共边)∵left{begin{matrix}AB=DC(已知) ∠ABC=∠DCB(已知) BC=CB(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=DC(已知)∠ABC=∠DCB(已知)BC=CB(公共边)∴ΔABCΔABCΔABC≌ΔDCBΔDCBΔDCB（SAS）例5 分析：要说明CD=CBCD=CBCD=CB，只需说明ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC，而AB=AD,AC=AC,∠DAC=∠BACAB=AD,AC=AC,∠DAC=∠BACAB=AD,AC=AC,∠D AC=∠BAC，所以ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC．解：在ΔADCΔADCΔADC和ΔABCΔABCΔABC中，因为AD=AB,AC=ACAD=AB,AC=ACAD=AB,AC=AC，且AC平分∠DAB∠DAB∠DAB，即∠DAC=∠BAC∠DAC=∠BAC∠DAC=∠BAC．所以ΔADCΔADCΔADC≌ΔABCΔABCΔABC，根据是SASSASSAS，所以CD=CBCD=CBCD=CB．说明：在两个三角形中，来判断两个三角形的两条边相等，经常用判断这两个三角形全等的办法来判断，但需注意要判断相等的线段必须是这两个三角形的对应边．例6 分析：如果ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC，那么AD=BCAD=BCAD=BC．通过在图形中表示已知条件可知，在ΔAODΔAODΔAOD和ΔBOCΔBOCΔBOC中有两对边对应相等，虽然还已知∠AOC=∠BOD∠AOC=∠BOD∠AOC=∠BOD，但是∠AOC∠AOC∠AOC和∠BOD∠BOD∠BOD不是这两个三角形的内角，不能直接利用“SAS”来证明全等，如果能证明∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC，就可以用“SAS”证明ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC了．利用等式的性质，易证∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC．解：∵∠AOC=∠BOD∵∠AOC=∠BOD∵∠AOC=∠BOD（已知）∴∠AOC−∠AOB=∠BOD−∠AOB∠AOC−∠AOB=∠BOD−∠AOB∠AOC −∠AOB=∠BOD−∠AOB（等式的性质）即∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC∠AOD=∠BOC在ΔAODΔAODΔAOD和ΔBOCΔBOCΔBOC中∵{OA=OB(已知)∠AOD=∠BOC(已证)OD=OC(已知)∵left{begin{matrix}OA=OB(已知) ∠AOD=∠BOC(已证) OD=OC(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩OA=OB(已知)∠AOD=∠BOC(已证)OD=OC(已知)∴ΔAODΔAODΔAOD≌ΔBOCΔBOCΔBOC（SAS）∴AD=BCAD=BCAD=BC（全等三角形的对应边相等）例7 分析：本题比较复杂，可以用“综合—分析法”来证明，分析过程如下：（1）结合已知、求证观察图形，图中共有三组基本图形（哪三组？）．（2）看未知，需证EB=ECEB=ECEB=EC，只需证ΔABEΔABEΔABE≌ΔACEΔACEΔACE，或证ΔBEDΔBEDΔBED≌ΔCEDΔCEDΔCED．（3）看已知，AB=AC,DAB=AC,DAB=AC,D是BC中点，可得，BD=CDBD=CDBD=CD，不要忽略图形中隐含的已知条件AE、DE、AD是三对全等三角形的公共边．（4）找需知，只需证得∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE或∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE，即可得到上述两个三角形全等（恰当选择SAS来判定）（5）再看已知，三组对应边对应相等，可以利用SSS来证明ΔABDΔABDΔABD≌ΔACDΔACDΔACD，就得到∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE或∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE∠BDE=∠CDE证明：∵D∵D∵D是BC中点∴BD=CDBD=CDBD=CD在ΔABDΔABDΔABD和ΔACDΔACDΔACD中∵{AB=AC(已知)BD=CD(已证)AD=AD(公共边)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) BD=CD(已证) AD=AD(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)BD=CD(已证)AD=AD(公共边)∴ΔABDΔABDΔABD≌ΔACDΔACDΔACD（SSS）∴∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE∠BAE=∠CAE（全等三角形的对应角相等）在ΔABEΔABEΔABE和ΔACEΔACEΔACE中∵{AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证)AE=AE(公共边)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) ∠BAE=∠CAE(已证) AE=AE(公共边)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)∠BAE=∠CAE(已证)AE=AE(公共边)∴ΔABEΔABEΔABE≌ΔACEΔACEΔACE（SAS）∴EB=ECEB=ECEB=EC（全等三角形的对应边相等）例8 分析：本图比较复杂，很难找到证明哪两个三角形全等，故可以采用分解法，将图形分解成ΔABEΔABEΔABE和ΔACDΔACDΔACD 然后用相同的符号标示已知的相等条件，显然它们全等．解：在ΔABEΔABEΔABE和ΔACDΔACDΔACD中∵{AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∵left{begin{matrix}AB=AC(已知) ∠A=∠A(公共角) AE=AD(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=AC(已知)∠A=∠A(公共角)AE=AD(已知)∴ΔABEΔABEΔABE≌ΔACDΔACDΔACD（SAS）∴CD=BECD=BECD=BE（全等三角形的对应边相等）例9 分析：假如ΔAOBΔAOBΔAOB≌ΔDOCΔDOCΔDOC，那么∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C，但是，已知的两组线段不是这两个三角形的边，为充分利用条件，可以添加辅助线：连接AD，这样易证∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C．解：连结AD在ΔABDΔABDΔABD和ΔDCAΔDCAΔDCA中∵{AB=DC(已知)AD=DA(公共边)AC=BD(已知)∵left{begin{matrix}AB=DC(已知) AD=DA(公共边) AC=BD(已知)end{matrix}ight.∵⎩⎩⎩AB=DC(已知)AD=DA(公共边)AC=BD(已知)∴ΔABDΔABDΔABD≌ΔDCAΔDCAΔDCA（SSS）∴∠B=∠C∠B=∠C∠B=∠C（全等三角形的对应角相等）。
探索三角形全等的条件能力提升1.如图,小聪给小芳出了这样一道题:已知AC=AD,BC=BD,便能知道∠ABC=∠ABD.这是根据什么理由得到的?小芳想了想,马上得出了正确的答案.你猜想小芳说的依据是()第1题图第2题图2.如图,已知∠1=∠2,则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是()A.AB=ACB.BD=CDC.∠B=∠CD.∠BDA=∠CDA3.在△ABC和△A'B'C'中,AB=A'B',∠B=∠B'.若要使△ABC≌△A'B'C',还要从下列条件中选取一个,则不符合的条件是()A.∠A=∠A'B.∠C=∠C'C.BC=B'C'D.AC=A'C'4.如图,已知AB⊥BD于点B,ED⊥BD于点D,AB=CD,BC=DE,则∠ACE的度数为.5.如图,AB⊥BC于点B,DC⊥BC于点C,要使△ABC≌△DCB,还需添加一个条件是.6.如图,已知点E,F在BC上,BE=CF,AB=DC,∠B=∠C,那么AF=DE吗?试说明理由.7.如图,点A,E,B,D在同一条直线上,AE=DB,AC=DF,AC∥DF.探索BC与EF有怎样的位置关系?并说明理由.创新应用8.如图,已知AB∥DE,AB=DE,AF=DC,请问图中有几对全等三角形?并任选一对说明理由.参考答案能力提升1.D2.B3.D4.90°5.AB=DC(或∠A=∠D或∠ACB=∠DBC)6.解:AF=DE.理由如下:因为BE=CF,所以BE+EF=CF+EF,即BF=CE.在△ABF和△DCE中,所以△ABF≌△DCE(SAS),所以AF=DE.7.解:BC∥EF.理由如下:因为AE=DB,所以AE+BE=DB+BE,所以AB=DE.因为AC∥DF,所以∠A=∠D.在△ACB和△DFE中,AB=DE,∠A=∠D,AC=DF,所以△ACB≌△DFE(SAS),所以∠FED=∠CBA,所以BC∥EF.创新应用8.解:图中有3对全等三角形,分别是△ABF≌△DEC,△ABC≌△DEF,△BCF≌△EFC.选择△ABF≌△DEC,理由如下:因为AB∥DE,所以∠A=∠D.在△ABF和△DEC中,AB=DE,∠A=∠D,AF=DC,所以△ABF≌△DEC(SAS).。
《探索三角形全等的条件》习题一、选择题1．如图，AE∥DF，AE=DF，要使∥EAC∥∥FDB，需要添加下列选项中的（）A．AB=CD B．EC=BF C．∠A=∠D D．AB=BC2．如图，已知∥ABC=∥DCB，下列所给条件不能证明∥ABC∥∥DCB的是（）A．∥A=∥D B．AB=DC C．∥ACB=∥DBC D．AC=BD3．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB，詹姆斯在探究筝形的性质时，得到如下结论：①AC∥BD；②AO=CO=AC；③∥ABD∥∥CBD，其中正确的结论有（）A．0个B．1个C．2个D．3个4．如图，点E，F在AC上，AD=BC，DF=BE，要使∥ADF∥∥CBE，还需要添加的一个条件是（）A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE5．如图，在下列条件中，不能证明∥ABD∥∥ACD的是（）A．BD=DC，AB=AC B．∥ADB=∥ADC，BD=DCC．∥B=∥C，∥BAD=∥CAD D．∥B=∥C，BD=DC6．如图，已知∥1=∥2，则不一定能使∥ABD∥∥ACD的条件是（）A．BD=CD B．AB=AC C．∥B=∥C D．∥BAD=∥CAD二、填空题7．如图，在∥ABC和∥BAD中，BC=AD，请你再补充一个条件，使∥ABC∥∥BAD．你补充的条件是（只填一个）．8．如图，AD=AB，∥C=∥E，∥CDE=55°，则∥ABE=．9．如图，有一个直角三角形ABC，∠C=90°，AC=8，BC=3，P、Q两点分别在边AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，且PQ=AB．问当AP=时，才能使∥ABC和∥PQA全等．10．如图，∥1=∥2．（1）当BC=BD时，∥ABC∥∥ABD的依据是；（2）当∥3=∥4时，∥ABC∥∥ABD的依据是．三、解答题11．已知，如图，B、C、D三点共线，AB∥BD，ED∥CD，C是BD上的一点，且AB=CD，∥1=∥2，请判断∥ACE的形状并说明理由．12．已知：如图，AB=CD，AD=CB．求证：∥ABC∥∥CDA．13．已知：如图，AD为∥BAC的平分线，且DF∥AC于F，∥B=90°，DE=DC．试问BE与CF的关系，并加以说明．14．已知：如图，点E、C、D、A在同一条直线上，AB∥DF，ED=AB，∥E=∥CPD．求证：∥ABC∥∥DEF．15．如图，点A、C、D、B 四点共线，且AC=DB，∥A=∥B，∥E=∥F．求证：DE=CF．参考答案一、选择题1．答案：A解析：【解答】∥AE∥FD，∥∥A=∥D，∥AB=CD，∥AC=BD，在∥AEC和∥DFB中，，∥∥EAC∥∥FDB（SAS），故选：A．【分析】添加条件AB=CD可证明AC=BD，然后再根据AE∥FD，可得∥A=∥D，再利用SAS 定理证明∥EAC∥∥FDB即可．2．答案：D解析：【解答】A、可利用AAS定理判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不合题意；B、可利用SAS定理判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不合题意；C、利用ASA判定∥ABC∥∥DCB，故此选项不符合题意；D、SSA不能判定∥ABC∥∥DCB，故此选项符合题意；故选：D．【分析】本题要判定△ABC∥∥DCB，已知∥ABC=∥DCB，BC是公共边，具备了一组边对应相等，一组角对应相等，故添加AB=CD、∥ACB=∥DBC、∥A=∥D后可分别根据SAS、ASA、AAS能判定∥ABC∥∥DCB，而添加AC=BD后则不能．3．答案：D解析：【解答】在∥ABD与∥CBD中，，∥∥ABD∥∥CBD（SSS），故③正确；∥∥ADB=∥CDB，在∥AOD与∥COD中，，∥∥AOD∥∥COD（SAS），∥∥AOD=∥COD=90°，AO=OC，∥AC∥DB，故①②正确；故选D【分析】先证明△ABD与△CBD全等，再证明△AOD与△COD全等即可判断．4．答案：B解析：【解答】当∥D=∥B时，在∥ADF和∥CBE中∥，∥∥ADF∥∥CBE（SAS），故选：B．【分析】利用全等三角形的判定与性质进而得出当∠D=∠B时，△ADF≌△CBE．5．答案：D解析：【解答】A、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（SSS），故本选项错误；B、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（SAS），故本选项错误；C、∥在∥ABD和∥ACD中∥∥ABD∥∥ACD（AAS），故本选项错误；D、不符合全等三角形的判定定理，不能推出∥ABD∥∥ACD，故本选项正确；故选D【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据全等三角形的判定定理逐个判断即可．6．答案：B解析：【解答】A、∥∥1=∥2，AD为公共边，若BD=CD，则∥ABD∥∥ACD（SAS）；B、∥∥1=∥2，AD为公共边，若AB=AC，不符合全等三角形判定定理，不能判定∥ABD∥∥ACD；C、∥∥1=∥2，AD为公共边，若∥B=∥C，则∥ABD∥∥ACD（AAS）；D、∥∥1=∥2，AD为公共边，若∥BAD=∥CAD，则∥ABD∥∥ACD（ASA）；故选：B．【分析】利用全等三角形判定定理ASA，SAS，AAS对各个选项逐一分析即可得出答案．二、填空题7．答案：AC=BD（或∥CBA=∥DAB）解析：【解答】欲证两三角形全等，已有条件：BC=AD，AB=AB，所以补充两边夹角∥CBA=∥DAB便可以根据SAS证明；补充AC=BD便可以根据SSS证明．故补充的条件是AC=BD（或∥CBA=∥DAB）．【分析】根据已知条件在三角形中位置结合三角形全等的判定方法寻找条件．已知给出了一边对应相等，由一条公共边，还缺少角或边，于是答案可得．8．答案：125°解析：【解答】∥在∥ADC和∥ABE中∥∥ADC∥∥ABE（AAS）∥∥ADC=∥ABE∥∥CDE=55°∥∥ADC=125°∴∠ABE=125°【分析】在∥ADC和∥ABE中，由∠C=∥E，∥A=∥A和AD=AB证明∥ADC∥∥ABE，得到∥ADC=∥ABE，由∥CDE=55°，得到∥ADC=125°，即可求出∥ABE的度数．9．答案：8或3．解析：【解答】①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP，在Rt△BCA和Rt△QAC中，，∴Rt△BCA≌Rt△QAC（HL）；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ，在Rt△BCA和Rt△QAC中，，∴Rt△BCA≌Rt△PAQ（HL）【分析】此题要分情况讨论：①当P与C重合时，AC=AP=8时，△BCA≌△QAP；②当AP=BC=3时，△BCA≌△PAQ．10．答案：SAS、ASA解析：【解答】（1）∵∠1=∠2，AB=AB，BC=BD∴△ABC≌△ABD（SAS）；（2）∵∠1=∠2，AB=AB，∠3=∠4∴△ABC≌△ABD（ASA）．【分析】（1）因为∠1=∠2，AB共边，当BC=BD时，能根据SAS判定△ABC≌△ABD；（2）因为∠1=∠2，AB共边，当∠3=∠4时，能根据ASA判定△ABC≌△ABD．三、解答题11．答案：见解答过程．解析：【解答】∵∠1=∠2，∴AC=CE，∵AB⊥BD，ED⊥CD，在△ABC与△CDE中，，∴△ABC≌△CDE，∴∠ACB=∠CED，∵∠CED+∠ECD=90°，∴∠ACD+∠ECD=90°，∴∠ACE=90°，∴△ACE是等腰直角三角形．【分析】由∠1=∠2可得AC=CE，再加上AB=CD，AB⊥BD，ED⊥CD，可直接证明三角形ABC与三角形CDE全等，从而易得三角形ACE是等腰直角三角形．12．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：在△ABC和△CDA中，，∴△ABC≌△CDA（SSS）．【分析】根据“SSS”可判断△ABC≌△CDA．13．答案：BE=CF．解析：【解答】BE=CF．理由：∵∠B=90°，∴BD⊥AB．∵AD为∠BAC的平分线，且DF⊥AC，∴DB=DF．在Rt△BDE和Rt△FDC中，，∴Rt△BDE≌Rt△FDC（HL），∴BE=CF．【分析】先由角平分线的性质就可以得出DB=DF，再证明△BDE≌△FDC就可以求出结论．14．答案：见解答过程．解析：【解答】证明：∵AB∥DF，∴∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，∵∠E=∠CPD．∴∠E=∠B，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（ASA）．【分析】首先根据平行线的性质可得∠B=∠CPD，∠A=∠FDE，再由∠E=∠CPD可得∠E=∠B，再利用ASA证明△ABC≌△DEF．15．答案：见解答过程解析：【解答】证明：∵AC=DB，∴AC+CD=DB+CD，即AD=BC，在△AED和△BFC中，∴△AED≌△BFC．∴DE=CF．【分析】根据条件可以求出AD=BC，再证明△AED≌△BFC，由全等三角形的性质就可以得出结论．。
