【创新设计】2011届高三数学一轮复习 圆周角定理与圆的切线随堂训练 理 苏教版选修4-1-2

2021年高考数学一轮复习几何证明选讲第2讲圆周角定理与圆的切线教案理新人教版选修4-1【xx年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用．【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角．(2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半．(3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径．2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数直线到圆心的距离d与圆的半径r的关系相交两个d＜r相切一个d＝r相离无d＞r(2)①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径．②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线．(3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等．3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角． (2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CPA ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4.答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D 是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________.解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°， ∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°.答案 50°3．(xx·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ，因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1，所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(xx·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(xx·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线PA 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为PA 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(xx·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB ＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CDsin ∠DAC＝ADsin ∠ACD＝ADsin ∠ABD＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝232.又sin ∠APB ＝sin (90°＋∠DAP )＝cos ∠DAP ＝23 2.答案232 解决本题的关键是寻找∠APB 与∠DAP 的关系以及AD 与AB 的关系．【训练1】 如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝30°，则圆O 的面积等于________．解析 连接AO ，OB .因为∠ACB ＝30°，所以∠AOB ＝60°，△AOB 为等边三角形，故圆O 的半径r ＝OA ＝AB ＝4，圆O 的面积S ＝πr 2＝16π. 答案 16π考向二 弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD 内接于⊙O ，AD ∥BC ，过B 引⊙O 的切线分别交DA 、CA 的延长线于E 、F .已知BC ＝8，CD ＝5，AF ＝6，则EF 的长为________．[审题视点] 先证明△EAB ∽△ABC ，再由AE ∥BC 及AB ＝CD 等条件转化为线 段之间的比例关系，从而求解．解析 ∵BE 切⊙O 于B ，∴∠ABE ＝∠ACB . 又AD ∥BC ，∴∠EAB ＝∠ABC ， ∴△EAB ∽△ABC ，∴BE AC ＝AB BC. 又AE ∥BC ，∴EF AF ＝BE AC ，∴AB BC ＝EFAF.又AD ∥BC ，∴AB ＝CD ， ∴AB ＝CD ，∴CD BC ＝EF AF ，∴58＝EF6，∴EF ＝308＝154.答案154(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】 (xx·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC ＝BD ，过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于E 点，证明：(1)∠ACE ＝∠BCD ；(2)BC 2＝BE ×CD .证明 (1)因为AC ＝BD ， 所以∠BCD ＝∠ABC .又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ， 所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ×CD .高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】► (xx·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．。

第3讲 直线与圆、圆与圆的位置关系A 级 基础演练(时间：30分钟 满分：55分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．(2012·福建)直线x ＋3y －2＝0与圆x 2＋y 2＝4相交于A ，B 两点，则弦AB 的长度等于( )．A ．2 5B ．2 3C. 3D ．1解析 由题意作出图象如图，由图可知圆心O 到直线AB 的距离d ＝|－2|1＋3＝1，故|AB |＝2|BC |＝222－12＝2 3. 答案 B2．(2012·安徽)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )．A ．[－3，－1]B ．[－1,3]C ．[－3,1]D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为2， ∴|a －0＋1|12＋(－1)2≤2，即|a ＋1|≤2，解得－3≤a ≤1. 答案 C3．(2013·潍坊模拟)若圆x 2＋y 2＝r 2(r >0)上仅有4个点到直线x －y －2＝0的距离为1，则实数r 的取值范围是( )．A ．(2＋1，＋∞)B ．(2－1，2＋1)C ．(0，2－1)D ．(0，2＋1)解析 计算得圆心到直线l 的距离为22＝2>1，得到右边草图．直线l ：x －y －2＝0与圆相交，l 1，l 2与l 平行，且与直线l 的距离为1，故可以看出，圆的半径应该大于圆心到直线l 2的距离2＋1，故选A. 答案 A4．(2013·银川一模)若圆C 1：x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0(a ∈R )与圆C 2：x 2＋y 2－2by －1＋b 2＝0(b ∈R )恰有三条切线，则a ＋b 的最大值为( )．A ．－3 2B ．－3C ．3D ．3 2解析 易知圆C 1的圆心为C 1(－a,0)，半径为r 1＝2； 圆C 2的圆心为C 2(0，b )，半径为r 2＝1. ∵两圆恰有三条切线，∴两圆外切，∴|C 1C 2|＝r 1＋r 2，即a 2＋b 2＝9.∵⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b22， ∴a ＋b ≤32(当且仅当a ＝b ＝32时取“＝”)， ∴a ＋b 的最大值为3 2. 答案 D二、填空题(每小题5分，共10分)5．(2012·北京)直线y ＝x 被圆x 2＋(y －2)2＝4截得的弦长为________．解析 由题意得，圆x 2＋(y －2)2＝4的圆心为(0,2)，半径为2，圆心到直线x －y ＝0的距离d ＝22＝ 2. 设截得的弦长为l ，则由⎝ ⎛⎭⎪⎫l 22＋(2)2＝22，得l ＝2 2.答案 2 26．(2011·江苏)设集合A ＝(x ，y )⎪⎪⎪m2≤(x －2)2＋y 2≤m 2，x ，y ∈R ，B ＝{(x ，y )|2m ≤x＋y ≤2m ＋1，x ，y ∈R }，若A ∩B ＝∅，则实数m 的取值范围是________． 解析 ∵A ∩B ≠∅，∴A ≠∅，∴m 2≥m 2.∴m ≥12或m ≤0.显然B ≠∅.要使A ∩B ≠∅，只需圆(x －2)2＋y 2＝m 2(m ≠0)与x ＋y ＝2m 或x ＋y ＝2m ＋1有交点，即|2－2m |2≤|m |或|1－2m |2≤|m |，∴2－22≤m ≤2＋ 2. 又∵m ≥12或m ≤0，∴12≤m ≤2＋ 2. 当m ＝0时，(2,0)不在0≤x ＋y ≤1内．综上所述，满足条件的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2＋2三、解答题(共25分)7．(12分)已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0. (1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程． 解 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0化成标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0,4)，半径为2. (1)若直线l 与圆C 相切，则有|4＋2a |a 2＋1＝2，解得a ＝－34. (2)过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎩⎪⎨⎪⎧|CD |＝|4＋2a |a 2＋1，|CD |2＋|DA |2＝|AC |2＝22，|DA |＝12|AB |＝ 2.解得a ＝－7或a ＝－1.故所求直线方程为7x －y ＋14＝0或x －y ＋2＝0.8．(13分)已知圆C 经过P (4，－2)，Q (－1,3)两点，且在y 轴上截得的线段长为43，半径小于5.(1)求直线PQ 与圆C 的方程；(2)若直线l ∥PQ ，且l 与圆C 交于点A ，B 且以线段AB 为直径的圆经过坐标原点，求直线l 的方程．解 (1)直线PQ 的方程为：x ＋y －2＝0， 设圆心C (a ，b )半径为r ，由于线段PQ 的垂直平分线的方程是y －12＝x －32， 即y ＝x －1，所以b ＝a －1.①又由在y 轴上截得的线段长为43，知r 2＝12＋a 2， 可得(a ＋1)2＋(b －3)2＝12＋a 2，②由①②得：a ＝1，b ＝0或a ＝5，b ＝4. 当a ＝1，b ＝0时，r 2＝13满足题意， 当a ＝5，b ＝4时，r 2＝37不满足题意， 故圆C 的方程为(x －1)2＋y 2＝13.(2)设直线l 的方程为y ＝－x ＋m ，A (x 1，m －x 1)，B (x 2，m －x 2)， 由题意可知OA ⊥OB ，即OA →·OB →＝0，∴x 1x 2＋(m －x 1)(m －x 2)＝0， 化简得2x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2＝0.③由⎩⎨⎧y ＝－x ＋m ，(x －1)2＋y 2＝13得2x 2－2(m ＋1)x ＋m 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝m ＋1，x 1x 2＝m 2－122.代入③式，得m 2－m ·(1＋m )＋m 2－12＝0， ∴m ＝4或m ＝－3，经检验都满足判别式Δ>0， ∴y ＝－x ＋4或y ＝－x －3.B 级 能力突破(时间：30分钟 满分：45分)一、选择题(每小题5分，共10分)1．(2013·南昌模拟)若曲线C 1：x 2＋y 2－2x ＝0与曲线C 2：y (y －mx －m )＝0有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是( )．A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，0∪⎝⎛⎭⎪⎫0，33C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－33∪⎝ ⎛⎭⎪⎫33，＋∞解析 C1：(x －1)2＋y 2＝1，C 2：y ＝0或y ＝mx ＋m ＝m (x ＋1)．当m ＝0时，C 2：y ＝0，此时C 1与C 2显然只有两个交点；当m ≠0时，要满足题意，需圆(x －1)2＋y 2＝1与直线y ＝m (x ＋1)有两交点，当圆与直线相切时，m ＝±33，即直线处于两切线之间时满足题意， 则－33<m <0或0<m <33. 综上知－33<m <0或0<m <33. 答案 B2．(2011·江西)如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点．那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M ，N 在大圆内所绘出的图形大致是( )．解析 如图，建立直角坐标系，由题意可知，小圆O 1总与大圆O 相内切，且小圆O 1总经过大圆的圆心O .设某时刻两圆相切于点A ，此时动点M所处位置为点M ′，则大圆圆弧的长与小圆圆弧的长之差为0或2π.切点A 在三、四象限的差为0，在一、二象限的差为2π.以切点A 在第三象限为例，记直线OM 与此时小圆O 1的交点为M 1，记∠AOM ＝θ，则∠OM 1O 1＝∠M 1OO 1＝θ，故∠M 1O 1A ＝∠M 1OO 1＋∠OM 1O 1＝2θ.大圆圆弧的长为l 1＝θ×2＝2θ，小圆圆弧的长为l 2＝2θ×1＝2θ，则l 1＝l 2，即小圆的两段圆弧与的长相等，故点M 1与点M ′重合．即动点M 在线段MO 上运动，同理可知，此时点N 在线段OB 上运动．点A 在其他象限类似可得，故M ，N 的轨迹为相互垂直的线段．观察各选项知，只有选项A 符合．故选A. 答案 A二、填空题(每小题5分，共10分)3．设m ，n ∈R ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ，且l 与圆x 2＋y 2＝4相交所得弦的长为2，O 为坐标原点，则△AOB 面积的最小值为________．解析 ∵l 与圆相交所得弦的长为2，1m 2＋n2＝4－1， ∴m 2＋n 2＝13≥2|mn |，∴|mn |≤16.l 与x 轴交点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ，0，与y 轴交点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1n ，∴S △AOB ＝12·⎪⎪⎪⎪⎪⎪1m ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1n ＝12·1|mn |≥12×6＝3. 答案 34．(2012·浙江)定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线l 的距离．已知曲线C 1：y ＝x 2＋a 到直线l ：y ＝x 的距离等于曲线C 2：x 2＋(y ＋4)2＝2到直线l ：y ＝x 的距离，则实数a ＝________. 解析 x 2＋(y ＋4)2＝2到直线y ＝x 的距离为42－2＝2，所以y ＝x 2＋a 到y ＝x 的距离为2，而与y ＝x 平行且距离为2的直线有两条，分别是y ＝x ＋2与y ＝x －2，而抛物线y ＝x 2＋a 开口向上，所以y ＝x 2＋a 与y ＝x ＋2相切，可求得a ＝94. 答案 94三、解答题(共25分)5．(12分)设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (其中k 的值与b 无关)，圆M 的方程为x 2＋y 2－2x －4＝0.(1)如果不论k 取何值，直线l 与圆M 总有两个不同的交点，求b 的取值范围； (2)b ＝1时，l 与圆交于A ，B 两点，求|AB |的最大值和最小值． 解 圆M 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝5， ∴圆心M 的坐标为(1,0)，半径为r ＝ 5. (1)∵不论k 取何值，直线l 总过点P (0，b )，∴欲使l 与圆M 总有两个不同的交点，必须且只需点P 在圆M 的内部，即|MP |<5，即1＋b 2<5，∴－2<b <2，即b 的取值范围是(－2,2)．(2)当l 过圆心M 时，|AB |的值最大，最大值为圆的直径长2 5.当l ⊥MP 时，此时|MP |最大，|AB |的值最小，|MP |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k 2＋12＝k 2＋2k ＋1k 2＋1＝1＋2k ＋1k≤1＋22k ·1k＝2，当且仅当k ＝1时取等．最小值为2r 2－|MP |2＝25－2＝2 3.6．(13分)已知圆M ：x 2＋(y －2)2＝1，Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切圆M 于A ，B 两点．(1)若Q (1,0)，求切线QA ，QB 的方程； (2)求四边形QAMB 面积的最小值； (3)若|AB |＝423，求直线MQ 的方程．解 (1)设过点Q 的圆M 的切线方程为x ＝my ＋1， 则圆心M 到切线的距离为1， ∴|2m ＋1|m 2＋1＝1，∴m ＝－43或0， ∴QA ，QB 的方程分别为3x ＋4y －3＝0和x ＝1. (2)∵MA ⊥AQ ，∴S 四边形MAQB ＝|MA |·|QA |＝|QA |＝|MQ |2－|MA |2＝|MQ |2－1≥|MO |2－1＝ 3.∴四边形QAMB 面积的最小值为 3.(3)设AB 与MQ 交于P ，则MP ⊥AB ，MB ⊥BQ ， ∴|MP |＝1－⎝⎛⎭⎪⎫2232＝13. 在Rt △MBQ 中，|MB |2＝|MP ||MQ |， 即1＝13|MQ |，∴|MQ |＝3，∴x 2＋(y －2)2＝9. 设Q (x,0)，则x 2＋22＝9，∴x ＝±5，∴Q (±5，0)， ∴MQ 的方程为2x ＋5y －25＝0或2x －5y ＋25＝0.。

第11讲：圆周角定理与圆的切线【学生指导】本讲学习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础知识1．圆周角定理(1)圆周角：(2)圆周角定理：(3)圆周角定理的推论①②2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：②切线的判定定理(3)切线长定理3．弦切角(1)弦切角：(2)弦切角定理及推论①定理：②推论：双基自测1．如图所示，△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．第1题图第2题图第3题图2．如图所示，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧BC上的点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________.3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD是圆O的切线，切点为C，点A、B在圆O上，BC＝1，∠BCD＝30°，则圆O的面积为________．4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC中，∠B＝90°，AB＝4，以BC为直径的圆交AC边于点D，AD＝2，则∠C的大小为________．第4题图第5题图5．(2011·汕头调研)如图，MN是圆O的直径，MN的延长线与圆O上过点P的切线P A相交于点A，若∠M＝30°，AP＝23，则圆O的直径为________．考向一圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB为⊙O的直径，弦AC、BD交于点P，若AB＝3，CD＝1，则sin∠APB＝________.【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE 的长为________．。

第2讲 圆周角定理与圆的切线【2013年高考会这样考】考查圆的切线定理和性质定理的应用． 【复习指导】本讲复习时，牢牢抓住圆的切线定理和性质定理，以及圆周角定理和弦切角等有关知识，重点掌握解决问题的基本方法.基础梳理1．圆周角定理(1)圆周角：顶点在圆周上且两边都与圆相交的角． (2)圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧度数的一半． (3)圆周角定理的推论①同弧(或等弧)上的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等． ②半圆(或直径)所对的圆周角是90°；90°的圆周角所对的弦是直径． 2．圆的切线(1)直线与圆的位置关系直线与圆交点的个数 直线到圆心的距离d 与圆的半径r 的关系 相交 两个 d ＜r 相切 一个 d ＝r 相离无d ＞r(2)切线的性质及判定①切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径． ②切线的判定定理过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切线． (3)切线长定理从圆外一点引圆的两条切线长相等． 3．弦切角(1)弦切角：顶点在圆上，一边与圆相切，另一边与圆相交的角．(2)弦切角定理及推论①定理：弦切角的度数等于所夹弧的度数的一半．②推论：同弧(或等弧)上的弦切角相等，同弧(或等弧)上的弦切角与圆周角相等．双基自测1．如图所示，△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝6，以AC 为直径的圆与斜边交于点P ，则BP 长为________．解析 连接CP .由推论2知∠CP A ＝90°，即CP ⊥AB ，由射影定理知，AC 2＝AP ·AB .∴AP ＝3.6，∴BP ＝AB －AP ＝6.4. 答案 6.42．如图所示，AB 、AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B 、C ，D是优弧BC 上的点，已知∠BAC ＝80°， 那么∠BDC ＝________. 解析 连接OB 、OC ，则OB ⊥AB ，OC ⊥AC ，∴∠BOC ＝180°－∠BAC ＝100°，∴∠BDC ＝12∠BOC ＝50°. 答案 50°3．(2011·广州测试(一))如图所示，CD 是圆O 的切线，切点为C ，点A 、B 在圆O 上，BC ＝1，∠BCD ＝30°，则圆O 的面积为________．解析 连接OC ，OB ，依题意得，∠COB ＝2∠CAB ＝2∠BCD ＝60°，又OB ＝OC ， 因此△BOC 是等边三角形，OB ＝OC ＝BC ＝1，即圆O 的半径为1， 所以圆O 的面积为π×12＝π. 答案 π4．(2011·深圳二次调研)如图，直角三角形ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝4，以BC 为直径的圆交AC 边于点D ，AD ＝2，则∠C 的大小为________．解析 连接BD ，则有∠ADB ＝90°.在Rt △ABD 中，AB ＝4，AD ＝2，所以∠A ＝60°；在Rt △ABC 中，∠A ＝60°，于是有∠C ＝30°. 答案 30°5．(2011·汕头调研)如图，MN 是圆O 的直径，MN 的延长线与圆O 上过点P 的切线P A 相交于点A ，若∠M ＝30°，AP ＝23，则圆O 的直径为________．解析 连接OP ，因为∠M ＝30°，所以∠AOP ＝60°，因为P A 切圆O 于P ，所以OP ⊥AP ，在Rt △ADO 中，OP ＝AP tan ∠AOP ＝23tan 60°＝2，故圆O 的直径为4.答案 4考向一 圆周角的计算与证明【例1】►(2011·中山模拟)如图，AB 为⊙O 的直径，弦AC 、BD 交于点P ，若AB＝3，CD ＝1，则sin ∠APB ＝________.[审题视点] 连结AD ，BC ，结合正弦定理求解． 解析 连接AD ，BC .因为AB 是圆O 的直径，所以∠ADB ＝∠ACB ＝90°.又∠ACD ＝∠ABD ，所以在△ACD 中，由正弦定理得：CD sin ∠DAC ＝AD sin ∠ACD ＝AD sin ∠ABD ＝AB sin ∠ABD sin ∠ABD ＝AB ＝3，又CD ＝1，所以sin ∠DAC ＝sin ∠DAP ＝13，所以cos ∠DAP ＝23 2.又sin∠APB＝sin (90°＋∠DAP)＝cos∠DAP＝23 2.答案23 2解决本题的关键是寻找∠APB与∠DAP的关系以及AD与AB的关系．【训练1】如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于________．解析连接AO，OB.因为∠ACB＝30°，所以∠AOB＝60°，△AOB为等边三角形，故圆O的半径r＝OA＝AB＝4，圆O的面积S＝πr2＝16π.答案16π考向二弦切角定理及推论的应用【例2】►如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过B引⊙O的切线分别交DA、CA的延长线于E、F.已知BC＝8，CD＝5，AF＝6，则EF的长为________．[审题视点] 先证明△EAB∽△ABC，再由AE∥BC及AB＝CD等条件转化为线段之间的比例关系，从而求解．解析∵BE切⊙O于B，∴∠ABE＝∠ACB.又AD∥BC，∴∠EAB＝∠ABC，∴△EAB∽△ABC，∴BEAC＝ABBC.又AE∥BC，∴EFAF＝BEAC，∴ABBC＝EFAF.又AD∥BC，∴AB＝CD，∴AB＝CD，∴CDBC＝EFAF，∴58＝EF6，∴EF＝308＝154.答案15 4(1)圆周角定理及其推论与弦切角定理及其推论多用于推出角的关系，从而证明三角形全等或相似，可求线段或角的大小．(2)涉及圆的切线问题时要注意弦切角的转化；关于圆周上的点，常作直线(或半径)或向弦(弧)两端画圆周角或作弦切角．【训练2】(2010·新课标全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.证明(1)因为AC＝BD，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB，故BCBE＝CDBC，即BC2＝BE×CD.高考中几何证明选讲问题(二)从近两年的新课标高考试题可以看出，圆的切线的有关知识是重点考查对象，并且多以填空题的形式出现．【示例】►(2011·天津卷)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB 延长线上一点，且DF＝CF＝2，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________．。

1.2.1 圆周角定理自主整理1.顶点在圆周上且两边都与圆相S交的角称为____________.2.n°的圆心角所对的弧是____________.3.圆周角的度数等于其所对的弧度数的____________.4.同弧（或等弧）上的圆周角，同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧____________.5.半圆（或直径）上的圆周角等于____________,反之，90°的圆周角所对的弦为____________.高手笔记1.圆周角定理圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.应当注意的是此定理中的圆心角与圆周角一定是对着同一条弧，它们才有上面定理中所说的数量关系.在圆周角定理的证明中，运用了数学中分类讨论和化归的思想以及完全归纳的证明方法.这个定理是从特殊情况入手研究的，当角的一边过圆心时，得到圆周角与同弧上的圆心角的关系，然后研究当角的一边不经过圆心时，圆周角与同弧上的圆心角之间的关系.在角的一边不经过圆心时，又有两种情况:一是圆心在圆周角内;二是圆心在圆周角外.经过这样分不同情况的讨论，最后得到不论角的一边是否经过圆心，都有定理中的结论成立.在几何里，许多定理的证明，都需要像这样分情况进行证明，后面还会遇到这种分情况证明的定理.另外，通过这个定理的分析、证明，我们可以看到，在几何里讨论问题时，常常从特殊情况入手，因为特殊情况下问题往往容易解决，如图1.2-1中，中间一种情况为圆周角的一边经过圆心，此时∠AOB=2∠C很容易证明.特殊情况下的问题解决之后，再想办法把一般情况下的问题转化为特殊情况下的问题，如图1.2-1左图和右图的情况，通过辅助线，把它们变成中间那样的两个角的和或差，这样利用特殊情况下的结论，便可使一般情况下的结论得证. 定理也可理解成一条弧所对的圆心角是它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数等于它所对弧的度数的一半.图1.2-12.圆周角定理的两个推论推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等.如图1.2-2（1）中∠ABE=∠ACE=∠ADE，图1.2-2(2)中∠A=∠B=∠C.图1.2-2推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.如图1.2-3，∠ACB=∠ADB=∠AEB=90°，AB是直径.图1.2-3名师解惑1.在一个圆中，圆周角与它所对的弧的对应关系，在解决问题当中有什么作用？实践中如何加以应用？剖析:在圆中，只要有弧，就存在着弧所对的圆周角.同弧对的圆周角相等，而相等的角为几何命题的推论提供了条件.但是在刚刚学习圆的知识或图形比较复杂时，往往缺少用这个知识点的意识，应该在实践中不断摸索和总结规律.比如由弧找角，如图1.2-4中，已知，那么在所对的圆周上任取一点都可得到相等的圆周角∠C=∠D=∠E.也可以由角找弧，再由弧找角，如图1.2-5中，AD平分∠BAC，得∠1=∠2，∠1对，∠2对，∠3也对，故∠1=∠2=∠3，如果要证△DBE∽△DA B，无疑两个相等的角为此提供了条件.图1.2-4 图1.2-52.在圆中，直径所对的圆周角等于90°，解决问题时，应怎样利用这一条件？剖析:只要在已知中给出了直径这一条件，一是要想到它和半径的关系，还要想到封闭了它所对的圆周角，便得到了直角三角形，这样有关直角三角形的性质便可应用了.如图1.2-6，以CD为直径的⊙O交△ACD的两边于B、E，连结BE.求证：ADcosA=AB.此题必须先证AD、AB所在△ABD为直角三角形，此时连结BD，可由直径所对的圆周角为90°，创设了所需的条件.又如图1.2-7，在⊙O中，直径AB⊥CD，弦AE⊥CF.要证△ABE≌△CDF，在知∠A=∠C，AB=CD时，缺少一个条件，由AB、CD为直径，便可知∠E=∠F=90°，这就为证三角形全等提供了条件.图1.26 图1.27讲练互动图1.2-8【例1】图1.2-8,已知⊙O 中∠AOB=2∠BOC，求证：∠ACB=2∠BAC.分析：圆周角∠ACB 与圆心角∠AOB 对同一条弧，所以∠ACB=12∠AOB，同理，∠BAC=21∠BO C ，再利用已知条件可得结论. 证明：∠ACB=12∠AOB， ∠AOB=2∠BOC. ∠ACB=∠BOC， ∠BAC=21∠BOC， ∠ACB=2∠BAC. 绿色通道只要是在圆中考查角的关系，那么就要考虑弧的中介作用. 变式训练图1.2-91.如图1.2-9,AB 是⊙O 的直径，C 为圆上一点，∠BAC 的平分线交⊙O 于D ，若∠ABC=40°，求∠ABD.解:∵AB 是直径，∴∠ACB=90°=∠D，∠ABC=40°. ∴∠BAC=50°.AD 平分∠BAC, ∴∠CAD=25°,∴∠CBD=25°, ∴∠ABD=65°.图1.2-10【例2】如图1.2-10在Rt△ABC 中，∠BCA=90°，以BC 为直径的⊙O 交AB 于E 点，D 为AC 的中点，连结BD 交⊙O 于F 点.求证：EFCFBE BC =. 分析：要证EFCFBE BC =，虽然四条线段分别在△BEF 与△BCF 中，但这两个三角形一个是钝角三角形，另一个是直角三角形，不可能相似，故只能够借助中间比.证明：连结CE ，∵BC 为⊙O 的直径，∴∠BFC=90°，∠BEC=90°.又∵∠ACB=90°, ∴∠BCE=∠A.又∵∠BFE=∠BCE,∴∠BFE=∠A.∴△BEF∽△BAD.∴BEEFBD AD =. ∵∠BFC=∠BCA,∠CBD=∠CBD,∴△CBF∽△DBC.∴BCCFBD CD =. 又∵AD=CD，∴EFCFBE BC =. 绿色通道本题两次利用三角形相似△BEF∽△BAD，△CBF∽△DBC，将四条线段的比EFCFBE BC 与通过中间比BDAD及AD=CD 联系在一起. 变式训练图1.2-112.如图1.2-11,AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径. 求证：AB·AC=AE·AD. 证明:如图，连结BE ，则∠BEA=∠DCA，又AE 是直径，∴∠ABE=90°=∠ADC, ∴△ABE∽△ADC,∴ACAEAD AB =,∴AB·AC=AE·AD.图1.2-12【例3】如图1.2-12，已知⊙O 中，AB=AC ，D 是BC 延长线上一点，AD 交⊙O 于E.求证：AB 2=AD·AE.分析：由欲证的乘积式写成比例式，找到应该证明相似的三角形，利用同弧所对的圆周角相等的概念证明. 证明：∵AB=AC,∴=.∴∠ABD=∠AEB.在△ABE 与△ADB 中，⎩⎨⎧∠=∠∠=∠,,ABD AEB DAB BAE∴△ABE∽△ADB.∴ABAE AD AB =,即AB 2=AD·AE. 绿色通道在圆当中证明比例式或等积式，通常利用两角相等加以说明，这当中使用最多的就是利用圆周角转移角的位置，产生相似关系. 变式训练图1.2-133.如图1.2-13，以△ABC 的边BC 为直径的⊙O 交AB 、AC 于F 、E ，AD⊥BC 于D ，AD 交⊙O于M ，交BE 于H ，求证DM 2=DH·DA. 证明:连结BM 、CM.∵⇒⎭⎬⎫⊥⇒⊥︒=∠⇒BC MD BC AD BMC BC 90是直径DM 2=BD·DC①在Rt△ADC 和Rt△BEC 中，⇒⎭⎬⎫︒=∠+∠︒=∠+∠9090ECB EBC ACD DAC ∠DAC=∠EBC⇒Rt△ADC∽Rt△BDH ⇒BDDADH DC = ⇒BD·DC=DH·DA②由①②得：DM 2=DH·DA.图1.2-14【例4】如图1.2-14,已知AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆的直径. 求证：∠BAE=∠DAC.分析：连结BE，由AE为直径可以得到∠ABE=90°，则在△ABE与△ADC中，又有同弧所对的圆周角∠C与∠E相等，可以证明结论.证明：连结BE,∵AE为直径，∴∠ABE=90°.∵AD是△ABC的高，∴∠ADC=90°.∴∠ADC=∠ABE.∵∠E=∠C,∴∠BAE=180°-∠ABE-∠E,∠DAC=180°-∠ADC-∠C.∴∠BAE=∠DAC.绿色通道证明两角相等通常是利用三角形相似，本题实质是利用△ABE∽△ADC证明∠BAE=∠DAC.变式训练图1.2-154.如图1.2-15，A、B、Q、D、C都在同一圆周上，量得弧和分别是32°和48°，那么∠P和∠Q的和是（）A.80°B.52°C.40°D.36°解:连结CB，则∠Q=∠B，而∠DCB=∠B+∠P=∠Q+∠P，又的和是80°,∴∠BCD=40°.答案:C教材链接图1.2-16思考：如图1.2-16,设AD、CF是△ABC的两条高，AD、CF交于点H，AD的延长线交△ABC 的外接圆⊙O于G，AE是⊙O的直径.求证：（1）AB·AC=AD·AE；（2）DG=DH.你能用判定等腰三角形的方法证明上题中的第（2）问吗？证明:连结CG，因为AD是高，∴∠GCD=∠BAG=90°-∠B.因为CF是高，所以∠HCD=90°-∠B.故∠GCD=∠HCD，又CD⊥HG，∴∠CHD=∠CGD.∴△CHG为等腰三角形，且CD为∠HCG的高线（与中线重合），故DG=DH.。

阿波罗尼斯圆轨迹定理——课堂练习1.在ABC ∆中，边BC 的中点为D ，若AD BC AB 2,2==，则ABC ∆的面积的最大值是 ．2.在平面直角坐标系xOy 中，设点(1,0),(3,0),(0,),(0,2)A B C a D a +，若存在点P ，使得,PA PC PD ==，则实数a 的取值范围是 ．3. 已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQPR为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.附：参考答案1.解：以AB 中点为原点，直线AB 为x 轴建立平面直角坐标系，则），，（01-A ），（01B ， 由AD BC CD BD 2,==知，BD AD 2=，D 的轨迹为阿波罗尼斯圆，方程为8322=+-y x ）（，设),(y x C ，BC 的中点为D 得)2,21(yx D +， 所以点C 的轨迹方程为8)2(32122=+-+y x ）（，即32522=+-y x ）（， ∴2432221=≤=⋅⨯=∆y y S ABC ，故ABC S ∆的最大值是24．2.解：设(,)P x y =，整理得22(5)8x y -+=，即动点P 在以(5,0)为圆心， 另一方面，由PC PD =知动点P 在线段CD 的垂直平分线1y a =+上运动， 因而问题就转化为直线1y a =+与圆22(5)8x y -+=有交点，所以1a +≤a 的取值范围是[1,1]-．3.解：（1）设切线l 方程为)4(2-=-x k y ，易得11|24|2=+-k k ，解得815k =，∴切线l 方程为24)y x -=-．（2）圆心到直线12-=x y 的距离为5，设圆的半径为r ，则9)5(2222=+=r∴⊙M 的方程为9)2()4(22=-+-y x（3）假设存在这样的点),(b a R ，点P 的坐标为),(y x ，相应的定值为λ，根据题意可得122-+=y x PQ ，∴λ=-+--+2222)()(1b y a x y x ，即)22(12222222b a by ax y x y x ++--+=-+λ （*），又点P 在圆上∴9)2()4(22=-+-y x ，即114822-+=+y x y x ，代入（*）式得：[])11()24()28(1248222-++-+-=-+b a y b x a y x λ若系数对应相等，则等式恒成立，∴⎪⎩⎪⎨⎧-=-+=-=-12)11(4)24(8)28(22222b a b a λλλ，解得310,51,522,1,2======λλb a b a 或， ∴可以找到这样的定点R ，使得PR PQ为定值. 如点R 的坐标为)1,2(时，比值为2； 点R 的坐标为)51,52(时，比值为310．阿波罗尼斯圆轨迹定理——课后检测1．如图，在等腰ABC ∆中，已知AC AB =，)0,1(-B ，AC 边的中点为)0,2(D ，点C 的轨迹所包围的图形的面积等于 ．DB OxyAC2．如图，已知平面α⊥平面β，A 、B 是平面α与平面β的交线上的两个定点，,DA CB ββ⊂⊂，且DA α⊥， CB α⊥，4AD =，8BC =，6AB =，在平面α上有一个动点P ，使得APD BPC ∠=∠，求PAB ∆的面积的最大值．3．圆1O 与圆2O 的半径都是1，421=O O ，过动点P 分别作圆1O 、圆2O 的切线PN PM ,（N M ,分别为切点），使得PN PM 2=．试建立适当的坐标系，并求动点P 的轨迹方程.4．已知定点)0,0(O ，点M 是圆4)1(22=++y x 上任意一点，请问是否存在不同于O 的定点A 使都为MAMO常数？若存在，试求出所有满足条件的点A 的坐标,若不存在，请说明理由．附：参考答案1. 解：∵AD AB 2=，所以点A 的轨迹是阿波罗尼斯圆，易知其方程为4)3(22=+-y x ，设),(y x C ，由AC 边的中点为)0,2(D 知),4(y x A --，所以C 的轨迹方程为4)()34(22=-+--y x ，即4)1(22=+-y x ，面积为π4．2. 解：将空间几何体中的线、面、角的关系转化为平面内点P 所满足的几何条件．DA α⊥ DA PA ∴⊥,∴在PAD Rt ∆中, APAP AD APD 4tan ==∠， 同理8tan BC BPC BP BP∠==， AP BDCβαDBOxyACAP BDCβαAPD BPC ∠=∠AP BP 2=∴ ，在平面α上,以线段AB 的中点为原点,AB 所在的直线为x 轴,建立平面直角坐标系，则)0,3(),0,3(B A -，设),(y x P则有2222(3)2(3)(0)x y x y y -+=++≠化简得:16)5(22=++y x ，2216(5)16y x ∴=-+≤，||4y ∴≤，PAB ∆的面积为1||||3||122PAB S y AB y ∆=⋅=≤， 当且仅当5,4x y =-=±等号取得，则PAB ∆的面积的最大值是12．3.解：以1O ，2O 的中点O 为原点，1O ，2O 所在直线为x 轴，建立如图所示平面直角坐标系，则)0,2(1-O ，)0,2(2O ，由已知PN PM 2=得222PN PM =，因为两圆的半径都为1,所以有：)1(212221-=-PO PO ，设P （x,y ），则]1)2[(21)2(2222-+-=-++y x y x ， 即33)6(22=+-y x ，此即P 的轨迹方程. 4.解：假设存在满足条件的点),(n m A ，设),(y x M ，0>=λMAMO． 则λ=-+-+2222)()(n y m x y x ， 又),(y x M 满足4)1(22=++y x ，联立两式得0)3(32)222(222222=++-++-+n m y x m λλλλ ，由M 的任意性知⎪⎩⎪⎨⎧=++-==-+0)3(3020222222222n m y m λλλλ，解得)0,3(A ，21=λ．PMNO1O2Oyx。

学案70几何证明选讲(二)圆的进一步认识导学目标：1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．自主梳理1．圆周角、弦切角及圆心角定理(1)________的度数等于其所对____的度数的一半．推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角____________相等．推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或____________)．(2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的________．(3)圆心角的度数等于它所对弧的度数．2．圆中比例线段有关定理(1)相交弦定理：______的两条__________，每条弦被交点分成的________________的积相等．(2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________．(3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．温馨提示相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广．3．切线长定理从________一点引圆的两条切线，__________相等．4．圆内接四边形的性质与判定定理(1)性质定理：圆内接四边形的对角________．推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________．(2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于______．推论：如果四边形的一个外角等于它的__________，那么这个四边形的四个顶点________．5．圆的切线的性质及判定定理(1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________．推论1：经过________且与________垂直的直线必经过切点．推论2：经过________且与切线垂直的直线必经过_______________________________．(2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．自我检测1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB 为半径的圆与AC相切，则sin A＝________.2．(2010·南京模拟)如图，AB 是圆O 的直径，EF 切圆O 于C ，AD ⊥EF 于D ，AD ＝2，AB ＝6，则AC 长为__________________________________________________________．3．(2011·湖南)如图，A ，E 是半圆周上的两个三等分点，直径BC ＝4，AD ⊥BC ，垂足为D ，BE 与AD 相交于点F ，则AF 的长为________．4．如图所示，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，AC 交⊙O 于点D ，若AD ＝32，CD ＝18，则AB ＝________.5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P 是⊙O 外一点，PD 为⊙O 的切线，D 为切点，割线PEF 经过圆心O ，PF ＝12，PD ＝43，则圆O 的半径长为________、∠EFD 的度数为________.探究点一 与圆有关的等角、等弧、等弦的判定例1 如图，⊙O 的两条弦AC ，BD 互相垂直，OE ⊥AB ，垂足为点E .求证：OE ＝12CD .变式迁移1 在△ABC 中，已知CM 是∠ACB 的平分线，△AMC 的外接圆O 交BC 于点N ；若AC ＝13AB ，求证：BN ＝3MN .探究点二 四点共圆的判定例2 如图，四边形ABCD 中，AB 、DC 的延长线交于点E ，AD ，BC 的延长线交于点F ，∠AED ，∠AFB 的角平分线交于点M ，且EM ⊥FM .求证：四边形ABCD 内接于圆．变式迁移2 如图，已知AP 是⊙O 的切线，P 为切点，AC 是⊙O 的割线，与⊙O 交于B 、C 两点，圆心O 在∠P AC 的内部，点M 是BC 的中点．(1)证明：A ，P ，O ，M 四点共圆； (2)求∠OAM ＋∠APM 的大小．探究点三与圆有关的比例线段的证明例3如图，P A切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证：(1)AD＝AE；(2)AD2＝DB·EC.变式迁移3 (2010·全国)如图，已知圆上的弧AC＝BD，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE×CD.1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递．2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题．3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明．4．证明多点共圆的常用方法：(1)证明几个点与某个定点距离相等；(2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等；(3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)．5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1．如图，已知AB ，CD 是⊙O 的两条弦，且AB ＝CD ，OE ⊥AB ，OF ⊥CD ，垂足分别是E ，F ，则结论①AB ＝CD ，②∠AOB ＝∠COD ，③OE ＝OF ，④AD ＝BC 中，正确的有________个．2．(2010·湖南)如图所示，过⊙O 外一点P 作一条直线与⊙O 交于A 、B 两点．已知P A ＝2，点P 到⊙O 的切线长PT ＝4，则弦AB 的长为____________．第2题图 第3题图3．(2010·陕西)如图，已知Rt △ABC 的两条直角边AC ，BC 的长分别为3 cm,4 cm ，以AC 为直径的圆与AB 交于点D ，则BDDA＝________.4．(2009·广东)如图，点A ，B ，C 是圆O 上的点，且AB ＝4，∠ACB ＝45°，则圆O 的面积为________．5．已知P A 是圆O 的切线，切点为A ，P A ＝2，AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，PB ＝1，则圆O 的半径R ＝________.6．如图，圆O 是△ABC 的外接圆，过点C 的切线交AB 的延长线于点D ，CD ＝27，AB ＝3.则BD 的长为________．7．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB 与CD 相交于点F ，E 是AB 延长线上一点，且DF ＝CF ＝2，AF ∶FB ∶BE ＝4∶2∶1.若CE 与圆相切，则线段CE 的长为________．8．(2010·天津)如图，四边形ABCD 是圆O 的内接四边形，延长AB 和DC 相交于点P .若PB P A ＝12，PC PD ＝13，则BCAD 的值为________．二、解答题(共42分)9．(14分)如图，三角形ABC 中，AB ＝AC ，⊙O 经过点A ，与BC 相切于B ，与AC 相交于D ，若AD ＝CD ＝1，求⊙O 的半径r .10．(14分)(2009·江苏)如图，在四边形ABCD 中，△ABC ≌△BAD .求证：AB ∥CD .11．(14分)(2011·江苏)如图，圆O 1与圆O 2内切于点A ，其半径分别为r 1与r 2(r 1>r 2)．圆O 1的弦AB 交圆O 2于点C (O 1不在AB 上)．求证：AB ∶AC 为定值．学案70 几何证明选讲 (二)圆的进一步认识答案自主梳理1．(1)圆周角 孤 同弧 等弧 所对的弧 圆周角 半圆 弦为直径 (2)一半 2.(1)圆 相交弦 两条线段长(2)等比中项 (3)割线 3.圆外 切线长 4.(1)互补 对角 (2)对角互补 圆 内角的对角 共圆5．(1)半径 圆心 切线 切点 圆心 (2)外端 垂直 自我检测 1．12解析 设切点为T ，则DT ⊥AC ，AD ＝2DB ＝2DT ，∴∠A ＝30°，sin A ＝12.2．2 3解析 连结CB ，则∠DCA ＝∠CBA ，又∠ADC ＝∠ACB ＝90°， ∴△ADC ∽△ACB . ∴AD AC ＝AC AB. ∴AC 2＝AB ·AD ＝2×6＝12. ∴AC ＝2 3. 3．233解析 如图，连接CE ，AO ，AB .根据A ，E 是半圆周上的两个三等分点，BC 为直径，可得∠CEB ＝90°，∠CBE ＝30°，∠AOB ＝60°，故△AOB 为等边三角形，AD ＝3，OD ＝BD ＝1，∴DF ＝33， ∴AF ＝AD －DF ＝233.4．40解析 如图，连结BD ，则BD ⊥AC ，由射影定理知，AB 2＝AD ·AC ＝32×50＝1 600，故AB ＝40. 5．4 30°解析 由切割线定理得PD 2＝PE ·PF ，∴PE ＝PD 2PF ＝16×312＝4，∴EF ＝8，OD ＝4.又∵OD ⊥PD ，OD ＝12PO ，∠P ＝30°，∠POD ＝60°＝2∠EFD ，∴∠EFD ＝30°.课堂活动区例1 解题导引 (1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换．(2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．证明 作直径AF ，连结BF ，CF ，则∠ABF ＝∠ACF ＝90°. 又OE ⊥AB ，O 为AF 的中点，则OE ＝12BF .∵AC ⊥BD ，∴∠DBC ＋∠ACB ＝90°，又∵AF 为直径，∠BAF ＋∠BF A ＝90°， ∵∠AFB ＝∠ACB ，∴∠DBC ＝∠BAF ，即有CD ＝BF .从而得OE ＝12CD .变式迁移1 证明 ∵CM 是∠ACB 的平分线， ∴AC AM ＝BC BM ，即BC ＝AC ·BM AM ， 又由割线定理得BM ·BA ＝BN ·BC ，∴BN ·AC ·BMAM ＝BM ·BA ，又∵AC ＝13AB ，∴BN ＝3AM ，∵在圆O 内∠ACM ＝∠MCN ，∴AM＝MN，∴BN＝3MN.例2解题导引证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．证明连结EF，因为EM是∠AEC的角平分线，所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM.同理，∠EFC＋∠EF A＝2∠EFM.而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EF A)＝360°－2(∠FEM＋∠EFM)＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°，即∠BCD与∠BAD互补．所以四边形ABCD内接于圆．变式迁移2 (1)证明连结OP，OM，因为AP与⊙O相切于点P，所以OP⊥AP.因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC.于是∠OP A＋∠OMA＝180°，由圆心O在∠P AC的内部，可知四边形APOM的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆．(2)解由(1)得A，P，O，M四点共圆，所以∠OAM＝∠OPM.由(1)得OP⊥AP.由圆心O在∠P AC的内部，可知∠OPM＋∠APM＝90°，所以∠OAM＋∠APM＝90°.例3解题导引寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证．证明(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠P AB.因PE 是∠APC 的角平分线，故∠EPC ＝∠APD ，P A 是⊙O 的切线，故∠C ＝∠P AB . 所以∠AED ＝∠ADE .故AD ＝AE .(2)⎭⎪⎬⎪⎫∠PCE ＝∠P AD ∠CPE ＝∠APD ⇒△PCE ∽△P AD ⇒EC AD ＝PC P A ；⎭⎪⎬⎪⎫∠PEA ＝∠PDB ∠APE ＝∠BPD ⇒△P AE ∽△PBD ⇒AE DB ＝P APB . 又P A 是切线，PBC 是割线⇒P A 2＝PB ·PC ⇒P A PB ＝PCP A. 故EC AD ＝AEDB，又AD ＝AE ，故AD 2＝DB ·EC . 变式迁移3 证明 (1)因为AC ＝B D ，所以∠BCD ＝∠ABC . 又因为EC 与圆相切于点C ，故∠ACE ＝∠ABC ， 所以∠ACE ＝∠BCD .(2)因为∠ECB ＝∠CDB ，∠EBC ＝∠BCD ，所以△BDC ∽△ECB ，故BC BE ＝CDBC，即BC 2＝BE ×CD .课后练习区 1．4解析 ∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故①②③成立，又由AB ＝CD ，得AD ＝BC ，∴④正确．2．6解析 连结BT ，由切割线定理，得PT 2＝P A ·PB ， 所以PB ＝8，故AB ＝6. 3．169解析 AD AC ＝AC AB ⇒AD 3＝35⇒AD ＝95⇒BD ＝165(cm)，BD DA ＝169.4．8π解析 连结OA ，OB ， ∵∠BCA ＝45°， ∴∠AOB ＝90°.设圆O 的半径为R ，在Rt △AOB 中，R 2＋R 2＝AB 2＝16，∴R 2＝8.∴圆O 的面积为8π.5． 3解析 如图，依题意，AO ⊥P A ，AB ⊥PC ，P A ＝2，PB ＝1，∠P ＝60°，在Rt △CAP 中，有2OA ＝2R ＝2tan 60°＝23，∴R ＝ 3.6．4解析 由切割线定理得：DB ·DA ＝DC 2，即DB (DB ＋BA )＝DC 2，∴DB 2＋3DB －28＝0，∴DB ＝4.7．72解析 设BE ＝a ，则AF ＝4a ，FB ＝2a .∵AF ·FB ＝DF ·FC ，∴8a 2＝2，∴a ＝12， ∴AF ＝2，FB ＝1，BE ＝12，∴AE ＝72. 又∵CE 为圆的切线，∴CE 2＝EB ·EA ＝12×72＝74. ∴CE ＝72. 8．66解析 ∵∠P ＝∠P ，∠PCB ＝∠P AD ，∴△PCB ∽△P AD .∴PB PD ＝PC P A ＝BC AD. ∵PB P A ＝12，PC PD ＝13，∴BC AD ＝66. 9．解 过B 点作BE ∥AC 交圆于点E ，连结AE ，BO 并延长交AE 于F ，由题意∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ，(3分)又BE ∥AC ，∴∠CAB ＝∠ABE ，则AB ＝AC 知，∠ABC ＝∠ACB ＝∠AEB ＝∠BAE ，(6分) 则AE ∥BC ，四边形ACBE 为平行四边形．∴BF ⊥AE .又BC 2＝CD ×AC ＝2，∴BC ＝2，BF ＝AB 2－AF 2＝142.(10分) 设OF ＝x ，则⎩⎨⎧ x ＋r ＝142，x 2＋(22)2＝r 2，解得r ＝2147.(14分) 10．证明 由△ABC ≌△BAD 得∠ACB ＝∠BDA ，(4分)故A 、B 、C 、D 四点共圆，(6分)从而∠CAB ＝∠CDB .(8分)再由△ABC ≌△BAD 得∠CAB ＝∠DBA ，因此∠DBA ＝∠CDB ，(12分)所以AB ∥CD .(14分)11．证明 如图，连接AO 1并延长，分别交两圆于点E 和点D .连接BD ，CE .因为圆O 1与圆O 2内切于点A ，所以点O 2在AD 上，故AD ，AE 分别为圆O 1，圆O 2的直径．(6分)从而∠ABD ＝∠ACE ＝π2.(9分) 所以BD ∥CE ，于是AB AC ＝AD AE ＝2r 12r 2＝r 1r 2.(12分) 所以AB ∶AC 为定值．(14分)。