用勾股定理列方程解几何题

利用勾股定理解决平面几何问题勾股定理作为数学中的基础定理，在解决平面几何问题时起着重要的作用。

本文将通过一些实际例子，详细介绍如何利用勾股定理来解决平面几何问题。

以下是一些应用勾股定理的实际问题。

问题一：在一个直角三角形ABC中，已知边长AC=5cm，BC=12cm，求AB 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边的平方等于两直角边的平方和。

所以，可列出以下方程式：AB^2 = AC^2 + BC^2替代已知的数值，可以得到：AB^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169因此，AB的长度为13cm。

问题二：一个正方形的对角线长为10cm，求正方形的边长。

解答：设正方形的边长为x，根据勾股定理，可以得到：x^2 + x^2 = 10^22x^2 = 100x^2 = 50因此，正方形的边长为√50 cm。

通过以上两个例子，可以看出勾股定理在解决平面几何问题时的重要性。

通过勾股定理，我们可以快速计算出未知边长的长度，以及判断一个三角形或四边形是否为直角形。

当然，勾股定理的应用不仅限于直角三角形和正方形的计算，还可以用于解决更加复杂的几何问题。

问题三：一块田地是一个长方形，已知田地的长为16m，宽为12m，现在要在田地内种植一片等边三角形的农作物，请问这片农作物的边长是多少？解答：首先，根据田地的长和宽可以计算出田地的面积为16m*12m=192m^2。

等边三角形的面积可以根据公式A=（√3/4）*a^2计算，其中a为等边三角形的边长。

因为这片等边三角形是在田地中种植的，所以它的面积应该等于田地的面积，即192m^2。

将公式整理后可得：a^2 = (4√3*192) / 3a = √(4√3*192) / 3a ≈ 22.45m因此，这片农作物的边长约为22.45m。

通过以上实例，我们可以看到利用勾股定理可以求解出各种平面几何问题，无论是直角三角形、正方形还是其他形状的几何图形。

勾股定理练习题及答案勾股定理练习题及答案勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

下面小编给大家带来勾股定理练习题及答案，欢迎大家阅读。

勾股定理练习题：1、在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝15，AC＝17，以AB为直径作半圆，则此半圆的面积为__________2、已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为__________．3、某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要 __________元．4、如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2m，梯子的顶端B到地面的距离为7m，现将梯子的底端A向外移动到A′，使梯子的底端A′到墙根O的距离等于3m．同时梯子的顶端B 下降至B′，那么BB′（）．A．小于1m B．大于1m C．等于1m D．小于或等于1m5、将一根24cm的.筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）．A．h≤17cm B．h≥8cmC．15cm≤h≤16cm D．7cm≤h≤16cm6、如图，某公园内有一棵大树，为测量树高，小明C处用侧角仪测得树顶端A的仰角为30°，已知侧角仪高DC＝1。

4m，BC＝30米，请帮助小明计算出树高AB．（取1。

732，结果保留三个有效数字）◆典例分析如图1，一个梯子AB长2。

5m，顶端A靠在墙AC上，这时梯子下端B与墙角C距离为1。

5m，梯子滑动后停在DE的位置上，如图2，测得BD长为0。

5m，求梯子顶端A下落了多少米．解法指导：直角三角形中，已知一直角边和斜边是勾股定理的重要应用之一．勾股定理：a2＋b2＝c2的各种变式：a2＝c2－b2，b2＝c2－a2．应牢固掌握，灵活应用．分析：先利用勾股定理求出AC与CE的长，则梯子顶端A下落的距离为AE＝AC－CF．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2＋BC2∴2.52＝AC2＋1。

第三章 勾股定理专题10 勾股定理有关的计算知识解读勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边为c ，那么222c b a =+. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。

勾股定理几种表达式：在ABC Rt ∆中，90=∠C ，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b .c ，则222b a c +=，222b c a -=,222a c b -=；22b a c +=，22b c a -=，22a c b -=.勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系。

应用勾股定理的时候，一定要弄清哪条边是直角边，哪条边是斜边.培优学案典例示范一、已知直角三角形的两边关系，常考虑运用方程思想 例1直角三角形的两直角边长的比是4:3，斜边长是25，则它的两直角边长分别是 . 【提示】可设直角三角形的两直角边长分别为x 3和x 4，然后根据勾股定理列出关于x 的方程。

【技巧点评】根据两边关系设未知数，根据勾股定理，列方程求未知数的值，是解决此类问题常用的方法。

跟踪训练1.在ABC Rt ∆中，90=∠C ，30=∠A ，6=b ，则c = ，a = . 二、没有提供图形的几何题，要留意可能出现多解例2在ABC ∆中，13=AB ，15=AC ，BC 边上的高12=AD ，求BC 的长.【提示】本题已知条件的三条线段AB ，AC 和AD ，都是从点A 出发的，需要分两种情况讨论。

【解答】【技巧点评】几何题目如果没有明确图形形状的时候，一般这个图形形状会出现几种情况，解题时需要仔细分析题意，找出所有可能的情况。

跟踪训练2. 已知一个直角三角形的两条边长分别是3和4，则第三边长为 .三、等腰三角形底边上的高例3 如图3-10-1，在ABC ∆中，10==AC AB ，8=BC ，AD 是BC 边上的中线，求AD 的长. 【提示】由于AD 是BC 边上的中线，可知BC AD ⊥，于是由10==AC AB ，8=BC ，利用勾股定理即求.【解答】图3-10-1等腰三角形底边上的高和底边上的中线是同一条线段，根据这一性质，可运用勾股定理求得等腰三角形底边上的高。

通过勾股定理解决几何问题勾股定理是数学中的重要定理之一，它与几何问题之间有密切的联系。

通过勾股定理，我们可以解决许多与三角形、直角三角形有关的几何问题。

本文将通过一些例子来说明如何利用勾股定理解决几何问题。

例1：求解直角三角形的边长直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角为90度。

我们可以利用勾股定理来求解直角三角形的边长。

假设直角三角形的两个直角边分别为a和b，斜边为c，那么根据勾股定理，有a² + b² = c²。

例如，已知一个直角三角形的斜边长度为5，一个直角边的长度为3，我们可以利用勾股定理求解另一个直角边的长度。

根据勾股定理，3² + b² = 5²。

将数值代入计算得b² = 25 - 9 = 16，因此b = 4。

所以该直角三角形的另一个直角边的长度为4。

例2：验证三角形是否为直角三角形有时我们需要验证一个三角形是否为直角三角形。

利用勾股定理可以帮助我们进行验证。

假设三角形的三个边分别为a、b、c，如果a² + b² = c²，那么这个三角形就是直角三角形。

举个例子，假设有一个三角形的三个边长分别为3、4、5，我们可以利用勾股定理进行验证。

根据勾股定理，3² + 4² = 5²。

计算可得9 + 16 = 25，等式成立。

因此，这个三角形是直角三角形。

例3：求解等腰直角三角形的边长等腰直角三角形是一种特殊的直角三角形，其中两条直角边的长度相等。

我们可以利用勾股定理来求解等腰直角三角形的边长。

假设等腰直角三角形的两个直角边的长度都为a，斜边的长度为c。

根据勾股定理，有a² + a² = c²，即2a² = c²。

经过简化，可以得到a =c/√2。

例如，如果等腰直角三角形的斜边长度为10，我们可以利用勾股定理求解直角边的长度。

(每日一练)八年级数学勾股定理经典大题例题单选题1、若△ABC三边长a，b，c满足√a+b−25+|b−a−1|+(c−5)2=0，则△ABC是()A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰直角三角形答案：C解析：根据非负数的性质求得a、b、c的值，再根据勾股定理的逆定理即可解答．解：∵√a+b−25+|b-a-1|+(c-5)2=0，∴a+b-25=0，b-a-1=0，c-5=0，∴a=12，b=13，c=5，∵a2+c2=b2=169，∴△ABC是直角三角形．故选C．小提示：本题考查了非负数的性质及勾股定理的逆定理，根据非负数的性质求得a、b、c的值是解决问题的关键．2、如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，，则BC的长是（）折痕现交于点F，已知EF=32A．3√22B．3√2C．3D．3√3答案：B解析：折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知∠B=∠EAF=45°,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知EF=12AB,所以AB=AC,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．解：∵沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，∴∠B=∠EAF=45°，∴∠AFB=90°，∵点E为AB中点，且∠AFB=90°，∴EF=12AB，∵EF=32，∴AB=2EF=32×2=3，在ΔRtABC中， AB＝AC，AB=3，∴BC=√AB2+AC2=√32+32=3√2,故选B.小提示：本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．3、如图，在△ABC中，点D是线段AB上的一点，过点D作DE∥AC交BC于点E，将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，若点C恰好在线段B'D上，若∠BCD＝90°，DC：CB'＝3：2，AB＝16√2，则CE的长度为（）A．2√2B．4C．3√2D．6答案：C解析：设DC＝3x，CB′=2x，则DB'＝5x，由折叠的性质得出DB＝DB'，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，由勾股定理求出BC ＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，由勾股定理得出方程求出a的值，则可得出答案．解：设DC＝3x，CB'＝2x，则DB'＝5x，∵将△BDE沿DE翻折，得到△B'DE，∴DB'＝DB，∠BDE＝∠B'DE，BE＝B'E，∵DE∥AC，∴∠A＝∠BDE，∠ACD＝∠CDE，∴∠A＝∠ACD，∴CD＝AD＝3x，∴AB＝AD+DB＝8x＝16√2，∴x＝2√2，∴CD＝6√2，BD＝10√2，B'C＝4√2，∴BC＝√BD2−CD2＝8√2，设CE＝a，则BE＝8√2﹣a＝B'E，∵CE2+B'C2＝B'E2，∴a2+32＝（8√2﹣a）2，解得a＝3√2，∴CE＝3√2，故选：C．小提示：本题考查了折叠的性质，勾股定理，平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．4、勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D ．解: A 、两个以a 和b 为直角边三角形面积与一个直角边为c 的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故12ab +12ab +12c 2=12(a +b )2，整理得： a 2+b 2=c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B 、以a 与b 为两直角边四个全等三角形面积与边长为c 的小正方形面积和等于以a+b 的和为边正方形面积，故4×12ab +c 2=(a +b )2，整理得： a 2+b 2=c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C 、以a 与（a+b ）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b 的小正方形面积和等于以c 为边正方形面积，4×12a (a +b )+b 2=c 2，整理得： a 2+b 2=c 2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D 、四个小图形面积和等于大正方形面积，2ab +a 2+b 2=(a +b )2 ，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D ．小提示：本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．5、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AB =5，角平分线CD 交AB 于点D ，则点D 到AC 的距离是（ ）A ．127B ．2C ．157D ．3答案：A解析：作DE ⊥AC 于E ，作DF ⊥BC 于F ，根据勾股定理可求AC ，根据角平分线的性质可得DE =DF ，再根据三角形面积公式即可求解．解：作DE⊥AC于E，作DF⊥BC于F，在Rt△ACB中，AC=√AB2−BC2=√52−32=4，∵CD是角平分线，∴DE=DF，∴12AC⋅DE+12BC⋅DF=12AC⋅BC，即12×4×DE+12×3×DE=12×4×3，解得DE=127．故点D到AC的距离是127．故选：A．小提示：本题考查了勾股定理，角平分线的性质，关键是熟悉勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．6、如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（）A．3B．4C．5D．6答案：B解析：试题分析：设CH＝x，因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3，由折叠知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理，得：(9−x)2=32+x2，解得：x＝4，即CH=4考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理7、有一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边的长为（）A．5B．√7C．√5D．5或√7答案：D解析：分4是直角边、4是斜边两种情况考虑，再根据勾股定理计算即可．解：当4是直角边时，斜边=√32+42=5；当4是斜边时，另一条直角边=√42−32=√7；故选：D．小提示：本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2．8、已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a+b＝14cm，c＝10cm，则Rt△ABC的面积是（）A．24cm2B．36cm2C．48cm2D．60cm2答案：A解析：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，对式子a+b=14两边平方，再根据勾股定理得到ab的值，即可求解．解：根据∠C＝90°确定直角边为a、b，∴a2+b2=c2=100∵a+b=14∴(a+b)2=142，即a2+2ab+b2=196∴2ab=96∴S△ABC=1ab=24cm22故选A小提示：此题考查了勾股定理的应用，涉及了完全平方公式，解题的关键是根据所给式子确定ab的值．填空题9、在继承和发扬红色学校光荣传统，与时俱进，把育英学校建成一所文明的、受社会尊敬的学校升旗仪式上，如图所示，一根旗杆的升旗的绳垂直落地后还剩余1米，若将绳子拉直，则绳端离旗杆底端的距离(BC)有5米．则旗杆的高度______．答案：12米解析：设旗杆的高度是x米，绳子长为（x+1）米，旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求出x的值，从而求出旗杆的高度．解：设旗杆的高度为x米，根据题意可得：(x+1)2=x2+52，解得：x=12，答：旗杆的高度为12米．所以答案是：12米．小提示：本题考查勾股定理的应用，关键看到旗杆，拉直的绳子和BC构成直角三角形，根据勾股定理可求解．10、如图，每个小正方形的边长为1，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为____．答案：45°解析：利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC 为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出∠ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．∴AB2=AC2+BC2，AC=BC，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ABC=45°．所以答案是：45°．小提示：本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．11、如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，分别以四边向外做正方形甲、乙、丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，则丁的面积为______．答案：29解析：如图（见解析），先根据正方形的面积公式可得AB2=30,BC2=16,CD2=17，再利用勾股定理可得AD2的值，由此即可得出答案．如图，连接AC，由题意得：AB2=30,BC2=16,CD2=17，∵在△ABC中，∠ABC=90°，∴AC2=AB2+BC2=46，∵在△ACD中，∠ADC=90°，∴AD 2=AC 2−CD 2=29，则正方形丁的面积为AD 2=29，所以答案是：29．小提示：本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．12、正方形ABCD 的边长是4，点P 是AD 边的中点，点E 是正方形边上的一点，若△PBE 是等腰三角形，则腰长为________．答案：2√5或52或√652 解析：分情况讨论：(1)当PB 为腰时，若P 为顶点，则E 点与C 点重合，如图1所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=∠D=90°，∵P 是AD 的中点，∴AP=DP=2，根据勾股定理得：BP=√AB 2+AP 2=√42+22=2√5；若B 为顶点，则根据PB=BE′得，E′为CD 中点，此时腰长PB=2√5；(2)当PB 为底边时，E 在BP 的垂直平分线上，与正方形的边交于两点，即为点E ；①当E 在AB 上时，如图2所示：则BM=12BP=√5，∵∠BME=∠A=90°，∠MEB=∠ABP ，∴△BME ∽△BAP ，∴BE BP =BM BA ，即2√5=√54，∴BE=52；②当E 在CD 上时，如图3所示：设CE=x ，则DE=4−x ，根据勾股定理得：BE 2=BC 2+CE 2，PE 2=DP 2+DE 2，∴42+x 2=22+(4−x)2，解得：x=12，∴CE=12，∴BE=√BC 2+CE 2 =√42+(12)2=√652；综上所述：腰长为：2√5，或52，或√652； 故答案为2√5，或52，或√652. 点睛：本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握正方形的性质并能进行推理计算是解决问题的关键.13、已知一直角三角形的两条直角边分别为6cm 、8cm,则此直角三角形斜边上的高为____．答案：4.8cm.解析：根据勾股定理可求出斜边．然后由于同一三角形面积一定，可列方程直接解答．∵直角三角形的两条直角边分别为6cm ，8cm ，∴斜边为√62+82 =10(cm)，设斜边上的高为h ，则直角三角形的面积为12×6×8=12×10h ， 解得：h=4.8cm ，这个直角三角形斜边上的高为4.8cm.故答案为4.8cm.小提示：此题考查勾股定理，解题关键在于列出方程.解答题14、如图，把一块直角三角形（△ABC ，∠ACB =90°）土地划出一个三角形（△ADC ）后，测得CD =3米，AD =4米，BC =12米，AB =13米．（1）求证：∠ADC=90°；（2）求图中阴影部分土地的面积．答案：（1）见解析；（2）24解析：（1）根据勾股定理求出AC的长，再根据勾股定理的逆定理证明∠ADC=90°；（2）利用△ABC的面积减去△ACD的面积即可．解：（1）∵∠ACB=90°，BC=12，AB=13，∴AC=√AB2−BC2=5，∵32+42=52，即AD2+CD2=AC2，∴∠ADC=90°；（2）S阴影=S△ABC-S△ACD=1 2×AC×BC−12×CD×AD=1 2×5×12−12×3×4=24．小提示：本题考查的是勾股定理在实际生活中的应用以及勾股定理的逆定理，有利于培养学生生活联系实际的能力．15、勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，汉代数学家赵爽为证明勾股定理创制的“赵爽弦图”也流传至今．迄今为止己有400多种证明勾股定理的方法．下面是数学课上创新小组验证过程的一部分．请认真阅读并根据他们的思路将后续的过程补充完整：将两张全等的直角三角形纸片按图所示摆放，其中b>a，点E在线段AC上，点B、D在边AC两侧，试证明：a2+b2=c2．答案：见解析．解析：首先连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−a，根据RtΔABC≅RtΔDAE，易证∠DAB=90°，再根据S四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE，S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB，两者相等，整理即可得证．证明：连结BD，作DF⊥BC延长线于F，则AE=b−aS四边形ADFB =SΔADE+SΔABC+S四边形DFCE=12ab+12ab+(b−a)⋅b =ab+b2−ab=b2∵RtΔABC≅RtΔDAE ∴AB=AD=c∴∠ADE=∠BAC∵∠ADE+∠DAE=90°∴∠BAC+∠DAE=90°即∠DAB=90°，∴AD⊥AB∴S四边形ADFB=SΔADB+SΔDFB=12c2+12(a+b)⋅(b−a) =12c2+12b2−12a2即有：b2=12c2+12b2−12a2∴a2+b2=c2小提示：本题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出四边形ADFB的面积是解本题的关键．。

勾股定理练习题及答案勾股定理是数学中的经典定理之一，它描述了直角三角形边长之间的关系。

在勾股定理的基础上，可以衍生出许多有趣的练习题，通过解答这些题目，我们不仅可以巩固对勾股定理的理解，还能培养数学思维和解决问题的能力。

接下来，我将给大家分享一些勾股定理的练习题及答案。

练习题一：已知直角三角形的一条直角边长为3cm，斜边长为5cm，求另一条直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设另一条直角边的长度为x，则有x^2 + 3^2 = 5^2。

解方程得到x = 4cm。

练习题二：已知直角三角形的一条直角边长为6cm，另一条直角边长为8cm，求斜边的长度。

解答：同样根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边的长度为y，则有6^2 + 8^2 = y^2。

解方程得到y = 10cm。

练习题三：已知直角三角形的两条直角边分别为5cm和12cm，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边的长度为z，则有5^2 + 12^2 = z^2。

解方程得到z = 13cm。

通过以上练习题，我们可以看到勾股定理的应用范围很广。

不仅可以求解直角三角形的边长，还可以用于解决其他几何问题。

接下来，我将给大家分享一些扩展的练习题。

练习题四：已知一个直角三角形的两条直角边分别为a和b，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设斜边的长度为c，则有a^2 + b^2 = c^2。

这是勾股定理的一般形式，适用于任意直角三角形。

练习题五：已知一个直角三角形的斜边长为c，一条直角边长为a，求另一条直角边的长度。

解答：根据勾股定理，直角边的平方和等于斜边的平方。

设另一条直角边的长度为b，则有a^2 + b^2 = c^2。

这个问题可以看作是已知斜边和一条直角边，求另一条直角边的问题。

通过以上练习题，我们可以发现勾股定理的灵活性和实用性。

不仅可以用于解决直角三角形的问题，还可以应用于其他几何形状的计算。

巧用勾股定理列方程求解几何计算题勾股定理被被誉为千古第一定理，是“几何学的基石和明珠”，也是相关考试中的重点考查内容之一，勾股定理除了可以解决“已知直角三角形的两条边长，求第三边”外，在求解折叠、切线、特殊四边形计算等问题时，也常会出现直角三角形及其边长的一些数量关系，此时可结合题意，借助相关概念及图形性质，找到或者构造出各边之间存在着某些数量关系的直角三角形，从而利用勾股定理列出方程求解.下面对这类问题进行归类整理.一、已知三角形的一条边长，及另两边的数量关系这类问题关键是首先要找到或构造出这样的一个直角三角形，利用全等、等腰三角形、切线等性质确定其中两边的数量关系.那么，这两条边都可以用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用全等的性质建立数量关系例1 (2015年泰州中考题)如图1，在矩形ABCD 中，8AB =，6BC =，P 为AD 上一点，将ABP ∆沿BP 翻折至EBP ∆，PE 与CD 相交于点O ，且OE OD =，则AP 的长为.分析 根据OE OD =，可以证明ODP OEG ∆≅∆，从而得到EG DP =，EP DG =.若设AP x =，则CG 、BG 可以用含x 的代数式表示.在Rt BCG ∆中，BC 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 在ODP ∆和OEG 中，D E OD OEDOP EOG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ODP OEG ∆≅∆，∴OP OG =，PD GE =，∴EP DG =.设AP EP DG x ===，则6GE PD x ==-，8CG x =-，8(6)2BG x x =--=+. 在Rt BCG ∆中，222BC CG BG +=，即 2226(8)(2)x x +-=+，解得 4.8x =.∴AP 的长为4. 8.2、利用等腰三角形性质建立数量关系例2 (2017年哈尔滨中考题)如图2，在矩形ABCD 中，M 为BC 边上一点，连结AM ，过点D 作DE AM ⊥，垂足为E .若1DE DC ==，2AE EM =，则BM 的长为 . 分析 已知点D 到AMC ∠两边的距离相等，连结DM ，可证明EM CM =，DM 平分AMC ∠，结合//AD BC ，由“两平”可得到ADM ∆是等腰三角形.若设EM x =，则AM 、BM 可以用含x 的代数式表示.在ABM ∆中，AB 的长已知，利用勾股定理列出方程求解即可.解 连结DM ，在Rt DEM ∆和Rt DCM ∆中，DE DC DM DM =⎧⎨=⎩， ∴Rt DEM Rt DCM ∆≅∆，∴AMD EMD ∠=∠.∵//AD BC ，∴DMC ADM ∠=∠，∴AMD ADM ∠=∠，∴AD AM =.设EM CM x ==，则3AD AM BC x ===,∴2BM x =.在Rt ADM ∆中，222AB BM AM +=，即2221(2)(3)x x +=，解得x =∴BM . 3、利用切线的性质建立数量关系例3 (2015年宁波中考题)如图3，在矩形ABCD 中，8AB =，12AD =，过点A ，D 两点的⊙O 与BC 边相切于点E ，则⊙O 的半径为 .分析 根据切线的性质，连结OE ，则OE BC ⊥，结合//AD BC ，反向延长OE 交AD 于点F ，则OF AD ⊥.若连结OA ，在Rt OAF ∆中，AF 的长已知，OF 、OA 的长可以用含r 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设⊙O 的半径为r ，连结OE 、OA ，并反向延长交AD 于点F .∵⊙O 与BC 边相切于点E ，∴ OE r =，OE BC ⊥.又//AD BC ，OF AD ⊥，6AF =.则8OF EF OE r =-=-.在Rt OAF ∆中，222OF AF OA +=，即222(8)6r r -+=， 解得 6.25r =.∴⊙O 的半径为6.25.二、一个直角三角形的三条边可以用含同一个未知数的代数式表示这类问题与第一类类似，关键是要结合题目的条件，利用折叠、相似等性质，找到或者构造这样的一个直角三角形，将三边用含同一个字母的代数式表示，然后利用勾股定理列出方程，求解即可.1、利用折叠建立数量关系例4 (2018年杭州中考题)如图4，折叠矩形纸片ABCD 时，发现可以进行如下操作:①把ADE ∆翻折，点A 落在DC 边上的点F 处，折痕为DE ，点E 在AB 边上;②把纸片展开并铺平，得到正方形AEFD ;③把CDG ∆翻折，点C 落在直线AE 上的点H 处，折痕为DG ，点G 在BC 边上.若2AB AD =+，1EH =，则AD = .分析若设AD x =，由折叠可知2DH DC x ==+，1AH AE HE x =-=-.在Rt ADH ∆中，三条边长可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设AE AD x ==，则1AH AE HE x =-=-.由③，可知2DH DC AB x ===+.在Rt ADH ∆中222AD AH DH +=，即222(1)(2)x x x +-=+，解得13x =+，23x =-(舍).∴3AD =+ 2、利用相似建立数量关系例5 (2017年潍坊中考题)如图5，将一张矩形纸片ABCD 的边BC 斜着向AD 边对折，使点B 落在AD 边上，记为'B ，折痕为CE ;再将CD 边斜向下对折，使点D 落在'B C 边上，记为'D ，折痕为CG ，''2B D =，13BE BC =，矩形纸片ABCD 的面积为 . 分析 由折叠，可知'90EB C B ∠=∠=︒.根据“一线三垂足”模型，易证''AEB DB C ∆∆，且相似比为13.在'Rt AEB ∆中，若设BE x =，则三边都可以用含x 的代数式表示，利用勾股定理列出方程求解即可.解 设BE x =，则3BC x =.折叠可得'90EB C B ∠=∠=︒，'32CD CD x ==-，3222AE x x x =--=-.∵A D ∠=∠，''EB A B CD ∠=∠，∴''AEB DB C ∆∆， ∴''1'3AB B E BE CD B C BC ===， 12'33A B CD x ==- ∴在'Rt AEB ∆中，222''AE AB B E +=， 即2222(22)()3x x x -+-=， 解得123x =(舍)，253x = ∴5BC =，3AB =，∴矩形纸片ABCD 的面积为15. 三、两个直角三角形有一条边相等(公共边)在有些问题中，可以找到这样的两个直角三角形，它们有一条边相等，有些情况下这条相等的边是一条公共边;其它的边长或者已知，或者可以用含同一个字母的代数式表示.根据勾股定理，利用这条公共边列方程求解即可例6 (2017年威海中考题)如图6，四边形ABCD 为一个矩形纸片，3AB =，2BC =，动点P 自D 点出发沿DC 方向运动至C 点后停止. ADP ∆以直线AP 为轴翻折，点D 落到点1D 的位置.设DP x =.(1)略.(2)当x 为何值时，直线1AD 过BC 的中点E ?分析 根据条件，1D P 、1D E 、PC 可以用含x 的代数式表示.若连结PE ，注意到在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，有一条公共边PE ，根据222211PD D E PC CE +=+，列方程求解即可.解 连结PE ，由折叠，可知1D P DP x ==，3PC x =-.∵12AD AD ==，∴12D E =.在1Rt PD E ∆和Rt PCE ∆中，222211PD D E PC CE +=+，即22222)(3)1x x +=-+，解得x =. 例7 (2018年宁波中考题)如图7，在菱形ABCD 中，2AB =，B ∠是锐角，AE BC ⊥于点E ，M 为AB 的中点，连结MD 、ME .若90EMD ∠=︒，则cos B 的值为 .分析 要求cos B 的值，只需要求BE 的长.利用条件“M 为AB 的中点”，结合菱形的对边分别平行的性质，可延长DM 、CB 交于点F ，证明ADM BFM ∆≅∆，从而得到DE EF =.若设BE x =，则2DE EF x ==+，注意到在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中，有一条公共边AE ，根据2222AB BE DE AD -=-，列方程求解即可.解 延长DM 、CB 交于点F ，连结DE ，则有ADM BFM ∆≅∆，∴DM MF =.又∵90EMD ∠=︒，∴ME 是DF 的垂直平分线，∴DE EF =.设BE x =，则2DE EF x ==+.在Rt ABE ∆和Rt ADE ∆中2222AB BE DE AD -=-，即2222(2)22x x +-=-，解得1x =-±∴1EB =-+∴1cos 2BE B AB ==.。

用勾股定理解决问题勾股定理是数学中一个重要的定理，可以解决许多与直角三角形相关的问题。

它表明，在一个直角三角形中，直角边的平方等于其他两边的平方和。

在本文中，我们将探讨如何运用勾股定理来解决一些实际问题。

问题一：计算斜边的长度假设有一个直角三角形，其中一条直角边的长度为3，另一条直角边的长度为4。

我们可以利用勾股定理来计算斜边的长度。

根据勾股定理，斜边的平方等于3的平方加上4的平方，即斜边的平方等于9加上16，得到斜边的平方等于25。

因此，斜边的长度为5。

问题二：判断三条边是否能够构成直角三角形给定三条边的长度，如何确定它们是否能够构成直角三角形？我们可以运用勾股定理来解决这个问题。

假设三条边的长度分别为a、b和c，其中c是最长的边。

如果a的平方加上b的平方等于c的平方，则这三条边可以构成直角三角形；如果不等于，则无法构成直角三角形。

通过这个方法，我们可以快速判断任意三条边是否构成直角三角形。

问题三：求解未知边的长度有时候，我们已知一个直角三角形的两条边的长度，但需要求解另一条边的长度。

这时，我们可以利用勾股定理求解未知边的长度。

假设已知一条直角边的长度为a，另一条直角边的长度为b，且我们希望求解斜边的长度c。

根据勾股定理，c的平方等于a的平方加上b的平方。

通过对这个方程进行求解，我们就可以得到未知边的长度。

问题四：应用于几何图形的计算除了直角三角形，勾股定理在几何图形的计算中也有广泛的应用。

例如，我们可以利用勾股定理来计算矩形的对角线长度。

假设矩形的长为a，宽为b，我们可以利用勾股定理求解对角线的长度。

结论勾股定理是一项在数学和几何学中广泛应用的定理。

通过运用这一定理，我们可以解决许多关于直角三角形的问题，如计算斜边的长度、判断三条边是否能够构成直角三角形、求解未知边的长度，以及应用于几何图形的计算。

勾股定理为我们提供了一种便捷而准确的方法，可以解决许多实际问题。

因此，熟练掌握和应用勾股定理对于数学学习和实际应用都具有重要意义。

用勾股定理列方程解几何题例1已知直角三角形的周长为36cm，斜边的中线长为7.5cm，求三边长。

解由题意可得斜边长15cm，设一直角边长为xcm，则另一边长为（36－x－15）cm，即（21－x）cm，由勾股定理得x2+（21－x）2=152解得x1=9 x2=12∴三角形的三边长分别为9cm，12cm，15cm。

例2四边形ABCD是一个梯形，AB‖CD，∠ABC=90°，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，M是AD的中点，从M作AD的垂线交BC于N，则BN的长等于[ ]A．1cm B．1.5cm C．2cm D．2.5cm解：如图1，连结AN、DN，由题意得AN=DN，∠DCN=90°在Rt△ABN和Rt△DCN中，AB=9cm，BC=8cm，CD=7cm，设BN=xcm，则CN=（8－x）cm，由勾股定理得：92+x2=72+（8－x）2解得x=2（cm）∴（C）正确例3如图2，正方形ABCD的边长为10cm，△APM是正三角形，P、M在正方形的边BC、CD上，求AP的长。

解先证出△ABP≌△ADM∴ BP=DM，CP=CM。

在Rt△ABP和Rt△CPM中，AB=10cm，高CP=xcm，则BP=（10－x）cm，由勾股定理得：2x2=102+（10－x）2例4已知如图3，AB是⊙O的弦，P是AB上一点，AB=10cm，PA=4cm，OP=5cm，求⊙O的半径。

解连结OB，过O作OC⊥AB于C。

设OB=xcm，由题可得：AC=5cm，CP=1cm，OP=5cm，在Rt△BOC和Rt△POC中，由勾股定理得x2－52=52－12解得x=7∴半径为7cm。

例5如图4，已知在△ABC中，∠B=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于E，AC切于D，AD=2，AE=1，求CD的长。

解∵AD切⊙O于D∴ AD2=AE·AB，22=1×AB∴ AB=4∴∠B=90°，∴BC=CD设CD=x，则AC=2+x，BC= x，由勾股定理得：42+x2=（x+2）2∴ x=3 ∴CD的长为3例6填空：把两个半径为5和一个半径为8的圆形纸片放在桌面上使它们两两外切，若要用一个大圆形纸片把三个圆形纸片完全盖住，则这个大圆形纸片的最小半径等于______。

专题05勾股定理的应用十种最常考类型（解析版）类型一大树折断问题【典例1】（2023春•德庆县期末）如图，一棵高为16m的大树被台风刮断，若树在离地面6m处折断，树顶端刚好落在地面上，此处离树底部8m处．【思路引领】首先设树顶端落在离树底部x米处，根据勾股定理可得62+x2＝（16﹣6）2，再解即可．【解答】解：设树顶端落在离树底部x米处，由题意得：62+x2＝（16﹣6）2，解得：x1＝8，x2＝﹣8（不合题意舍去）．故答案为：8．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023•南宁模拟）在《九章算术》中有一个问题（如图）：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？它的意思是：一根竹子原高一丈（10尺），中部一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，试问折断处离地面（）尺．A．4B．3.6C．4.5D．4.55【思路引领】画出图形，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：如图，由题意得：∠ACB＝90°，BC＝3尺，AC+AB＝10尺，设折断处离地面x尺，则AB＝（10﹣x）尺，在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+32＝（10﹣x）2，解得：x＝4.55，即折断处离地面4.55尺．故选：D．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，正确应用勾股定理得出方程是解题的关键．类型二水杯中的筷子问题及类似问题【典例2】（2023春•陕州区期中）如图是一个饮料罐，下底面半径是5，上底面半径是8，高是12，上底面盖子的中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）的取值范围是（）A．12≤a≤13B．12≤a≤15C．5≤a≤12D．5≤a≤13【思路引领】如图，过A作AB⊥BC于B，根据勾股定理即可得到结论．【解答】解：如图，过A作AB⊥BC于B，∵下底面半径是5，高是12，∴AB＝12，BC＝5，∴AC=B2+B2=122+52=13，∴a的长度的取值范围是12≤a≤13，故选A．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息，正确理解题意是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•盐山县期末）如图，有一个水池，水面是一边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇拉向水池一边，它的顶端恰好到达池边的水面，这根芦苇的长度为（）尺．A．10B．12C．13D．14【思路引领】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答．【解答】解：设水深为x尺，则芦苇长为（x+1）尺，根据勾股定理得：x2+（102）2＝（x+1）2，解得：x＝12，芦苇的长度＝x+1＝12+1＝13（尺），答：芦苇长13尺．故选：C．【总结提升】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．2．（2022秋•安阳县期末）从前有一个人拿着竹竿进城，横拿竖拿都进不去，横着比城门宽43，竖着比城门高23，另一个人告诉他沿着城门的两对角斜着拿竿，这个人一试，不多不少刚好进去了，则竹竿的长度为103．【思路引领】设竹竿的长为x米，根据门框的边长的平方和等于竹竿的长的平方列方程，解一元二次方程即可．【解答】解：设竹竿的长为x米，由题意得：(−43)2+(−23)2=2，解得：1=103，2=23（舍去），故答案为：103．【总结提升】本题考查一元二次方程的应用；得到门框的边长和竹竿长的等量关系是解决本题的关键．类型三梯子滑动问题【典例3】（2020春•硚口区期中）如图，一个梯子AB斜靠在一竖直的墙AO上，测得AO＝8米．若梯子的顶端沿墙面向下滑动2米，这时梯子的底端在水平的地面也恰好向外移动2米，则梯子AB的长度为（）A．10米B．6米C．7米D．8米【思路引领】首先设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，利用勾股定理可列出方程，再解可得BO长，然后再利用勾股定理计算出AB长．【解答】解：由题意得：AC＝BD＝2米，∵AO＝8米，∴CO＝6米，设BO＝x米，则DO＝（x+2）米，由题意得：62+（x+2）2＝82+x2，解得：x＝6，AB=82+62=10（米），故选：A．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．【变式训练】1．（2023秋•新泰市期中）如图，一架梯子若靠墙直立时比窗户的下沿高1m．若斜靠在墙上，当梯子的下端离墙5m时，梯子的上端恰好与窗户的下沿对齐．则梯子的长度为（）A．13m B．12m C．15m D．172【思路引领】设梯子的长度为x m，根据勾股定理列方程即可得到结论．【解答】解：设梯子的长度为x m，根据勾股定理得，52+（x﹣1）2＝x2，解得x＝13，答：梯子的长度为13m，故选：A．【总结提升】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•北京期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，已知小巷的宽度CE是2.2米．一架梯子AB斜靠在左墙时，梯子顶端A与地面点C距离是2.4米．如果保持梯子底端B位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端D与地面点E距离是2米．求此时梯子底端B到右墙角点E的距离是多少米．【思路引领】设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，在Rt△ABC和Rt △DBE中，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【解答】解：设此时梯子底端B到右墙角点E的距离是x米，则BC为（2.2﹣x）米，由题意可知，AC＝2.4米，DE＝2米，AB＝DB，在Rt△ABC和Rt△DBE中，由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，DB2＝BE2+DE2，∴BC2+AC2＝BE2+DE2，即（2.2﹣x）2+2.42＝x2+4，解得：x＝1.5，答：此时梯子底端B到右墙角点E的距离是1.5米．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理列出方程是解题的关键．3．（2023秋•宝丰县期末）如图是盼盼家新装修的房子，其中三个房间甲、乙、丙，他将一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的垂直距离记作MA，如果梯子的底端P不动，顶端靠在对面墙上，此时梯子的顶端距离地面的垂直距离记作NB．（1）当盼盼在甲房间时，梯子靠在对面墙上，顶端刚好落在对面墙角B处，若MA＝1.6米，AP＝1.2米，则甲房间的宽度AB＝ 3.2米．（2）当他在乙房间时，测得MA＝2.4米，MP＝2.5米，且∠MPN＝90°，求乙房间的宽AB；（3）当他在丙房间时，测得MA＝2.8米，且∠MPA＝75°，∠NPB＝45°．①求∠MPN的度数；②求丙房间的宽AB．【思路引领】（1）根据勾股定理即可得到结论；（2）证明△AMP≌△BPN，从而得到MA＝PB＝2.4米，PA＝NB＝0.7米，即可求出AB＝PA+PB；（3）①根据平角的定义即可求出∠MPN＝60°；②根据PM＝PN以及∠MPN的度数可得到△PMN为等边三角形．利用相应的三角函数表示出MN，MP的长，可得到房间宽AB和AM长相等．【解答】解：（1）在Rt△AMP中，∵∠A＝90°，MA＝1.6米，AP＝1.2米，∴PM=B2+B2=1．62+1．22=2，∵PB＝PM＝2，∴甲房间的宽度AB＝AP+PB＝3.2米，故答案为：3.2；（2）∵∠MPN＝90°，∴∠APM +∠BPN ＝90°，∵∠APM +∠AMP ＝90°，∴∠AMP ＝∠BPN ．在△AMP 与△BPN 中，∠B =∠B ∠B =∠B =90°B =B，∴△AMP ≌△BPN ，∴MA ＝PB ＝2.4，∵PA =B2−B 2=0.7，∴AB ＝PA +PB ＝0.7+2.4＝3.1；（3）①∠MPN ＝180°﹣∠APM ﹣∠BPN ＝60°；②过N 点作MA 垂线，垂足点D ，连接NM ．设AB ＝x ，且AB ＝ND ＝x ．∵梯子的倾斜角∠BPN 为45°，∴△BNP 为等腰直角三角形，△PNM 为等边三角形（180°﹣45°﹣75°＝60°，梯子长度相同），∠MND ＝15°．∵∠APM ＝75°，∴∠AMP ＝15°．∴∠DNM ＝∠AMP ，∵△PNM 为等边三角形，∴NM ＝PM ．∴△AMP ≌△DNM （AAS ），∴AM ＝DN ，∴AB ＝DN ＝AM ＝2.8米，即丙房间的宽AB 是2.8米．【总结提升】此题考查了勾股定理的应用，全等三角形的应用，解直角三角形的应用，根据PM＝PN以及∠MPN的度数得到△PMN为等边三角形是解题的关键．类型四立体图形中的最短距离问题【典例4】（2021春•饶平县期末）如图，长方体的底面边长均为3cm，高为5cm，如果用一根细线从点A 开始经过4个侧面缠绕一圈达到点B，那么所用细线最短需要13cm．【思路引领】把立体图形转化为平面图形解决即可．【解答】解：将长方体展开，连接AB，根据两点之间线段最短，AB=52+122=13cm；故答案为：13【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，本题就是把长方体的侧面展开“化立体为平面”，用勾股定理解决．【变式训练】1．（2023秋•沙坪坝区期中）如图，圆柱形容器中，高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，则壁虎捕捉蚊子的最短距离为20cm．（容器厚度忽略不计）【思路引领】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为12cm，底面周长为32cm，在容器内壁离容器底部2cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿2cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝16cm，BD＝12cm，∴在直角△A′DB中，A′B=162+122=20（cm）．故答案为：20．【总结提升】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．2．（2022春•桦甸市期末）如图，是一块长，宽，高分别为6cm，4cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的外表面，到长方体的另一个顶点B处吃食物，则它需要爬行的最短路径长是85cm．【思路引领】把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内，在平面内线段最短，根据勾股定理即可计算．【解答】解：第一种情况：把我们所看到的左面和上面组成一个平面，则这个长方形的长和宽分别是9和4，则所走的最短线段是AB=92+42=97（cm）．第二种情况：把我们看到的前面与上面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是7和6，所以走的最短线段是AB=72+62=85（cm）．第三种情况：把我们所看到的前面和右面组成一个长方形，则这个长方形的长和宽分别是10和3，所以走的最短线段是AB=102+32=109（cm）．∴它需要爬行的最短路径是85cm．故答案为：85cm．【总结提升】本题主要考查的是平面展开﹣最短路径问题，解决此题的关键是明确线段最短这一知识点，然后把长方体的一些面展开到一个平面内，求出最短的线段．3．（荆州中考）如图，已知圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．42dm B．22dm C．25dm D．45dm【思路引领】要求丝线的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可．【解答】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为4dm，圆柱高为2dm，∴AB＝2dm，BC＝BC′＝2dm，∴AC2＝22+22＝4+4＝8，∴AC＝22dm，∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝42dm．故选：A．【总结提升】本题考查了平面展开﹣最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．类型五选址满足条件问题【典例5】（2023春•永善县期中）如图，河CD的同侧有A、B两个村，且AB=213km，A、B两村到河的距离分别为AC＝2km，BD＝6km．现要在河边CD上建一水厂分别向A、B两村输送自来水，铺设水管的工程费每千米需2000元．请你在河岸CD上选择水厂位置0，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用w（元）．【思路引领】作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，分别利用勾股定理求出AF和A'B的长即可．【解答】解：如图所示，作A点关于CD的对称点为A'，连接A'B交CD于点O，过点A作AF⊥BD于点F，过点A'作A'E⊥BD交BD的延长线于点E，此时AO+BO最小，∵AC＝2km，BD＝6km，∴BF＝4km，DE＝2km，∵AB＝213km，∴AF=(213)2−42=6（km），在Rt△BA'E中，由勾股定理得：A'B=′2+B2=62+(6+2)2=10（km），∴AO+BO＝10（km），∴铺设水管的总费用W＝10×2000＝20000（元）．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，构造直角三角形运用勾股定理是解题的关键．【变式训练】1．（2023春•红塔区期中）如图，在笔直的铁路上A，B两点相距20km，C、D为两村庄，DA＝8km，CB＝14km，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，求AE＝13.3km．【思路引领】设AE＝x km，即可得到EB＝（20﹣x）km，结合DA⊥AB于点A，CB⊥AB于B根据勾股定理列式求解即可得到答案．【解答】解：设AE＝x km，则EB＝（20﹣x）km，∵DA⊥AB，CB⊥AB，DA＝8km，CB＝14km，∴DE2＝x2+82＝x2+64，DE2＝（20﹣x）2+142＝x2﹣40x+596，∵C、D两村到E站的距离相等，∴x2﹣40x+596＝x2+64，解得：x＝13.3，故答案为：13.3．【总结提升】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据相等列等式求解．类型六航海问题【典例6】（2023春•黄陂区期中）如图，某港口P位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一小时后分别位于点Q，R处，且相距20海里．如果知道“远航”号沿北偏东50°方向航行，你能判断“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由．【思路引领】利用勾股定理逆定理以及方向角得出答案．【解答】解：由题意可得：RP＝12海里，PQ＝16海里，QR＝20海里，∵162+122＝202，∴△RPQ是直角三角形，∴∠RPQ＝90°，∵“远航”号沿北偏东50°方向航行，∴∠RPN＝40°，∴“海天”号沿北偏西40°方向航行．【总结提升】此题主要考查了勾股定理的逆定理以及解直角三角形的应用，正确得出各线段长是解题关键．【变式训练】1．（2023秋•泰山区期末）如图，南北向MN为我国领海线，即MN以西为我国领海，以东为公海，上午9时30分，我国反走私A艇发现正东方有一走私艇C以8海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B密切注意．反走私艇A和走私艇C的距离是20海里，A、B两艇的距离是12海里；反走私艇B测得距离C艇16海里，若走私艇C的速度不变，最早会在什么时候进入我国领海？【思路引领】由勾股定理的逆定理得△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，再由三角形面积求出BE=485海里，然后由勾股定理得CE=645海里，即可解决问题．【解答】解：由题意可知，∠BEC＝90°，∵AB2+BC2＝122+162＝202＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∵MN⊥AC，∴走私艇C进入我国领海的最短距离是CE，=12AB•BC=12AC•BE，∵S△ABC∴BE=B⋅B B=12×1620485（海里），∴CE=B2−B2==645（海里），∴645÷8=85（小时）＝96分，∴9时30分+96分＝11时6分．答：走私艇C最早在11时6分进入我国领海．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键．类型七受台风或噪声影响问题【典例7】（2022秋•清水县月考）如图，A城气象台测得台风中心在A城的正西方300千米处，以每小时107千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域．（1）问A城是否会受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风的影响，那么A城遭受这次台风影响的时间有多长？【思路引领】（1）作AC⊥BF，则距点A最近的点即为C点，计算AC的长，若AC＞200千米，则不受影响，反之，则受影响．（2）求出A城所受影响的距离DE，又有台风移动的速度，即可求解出其影响的时间．【解答】解：（1）A城市受影响．如图，过点A作AC⊥BF，则距离点C最近的距离为AC，∵AB＝300，∠ABC＝30°，∴AC=12AB＝150＜200，所以A城会受到这次台风的影响；（2）如图，∵距台风中心200千米的范围内是受这次台风影响的区域，则AD＝AE＝200，即DE为A城遭受这次台风的距离，CD=A2−B2=507，∴DE＝1007，则t===10小时．故A城遭受这次台风影响的时间10小时．【总结提升】本题主要考查了方向角问题以及解直角三角形的简单运用，能够熟练掌握．【变式训练】1．（2022春•紫云县期末）如图，有两条公路OM，ON相交成30°，沿公路OM方向离O点80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON的方向行驶时，以P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近噪声影响越大，若重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为5米/秒．（1）求卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；（2）求卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间．【思路引领】（1）过点A作AH⊥ON于H，利用含30°角的直角三角形的性质可得答案；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，利用勾股定理求出CH的长，再根据等腰三角形的性质可得CD的长，从而求出时间．【解答】解：（1）过点A作AH⊥ON于H，∵∠O＝30°，OA＝80米，∴AH=12OA＝40米，∴卡车P对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离为40米；（2）当AC＝AN＝50米时，则卡车在CD段对学校A有影响，由（1）知AH＝40米，∴CH=B2−B2=502−402=30（米），∴CN＝2CH＝60（米），∴t＝60÷5＝12（秒），∴卡车P沿道路ON方向行驶一次，它给学校A带来噪声影响的总时间为12秒．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30°角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识，根据题意，构造出直角三角形是解题的关键．类型八求旗杆（大树）高度问题【典例8】（2023秋•开封期末）如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8m处，发现此时绳子末端距离地面2m，则旗杆的高度为（滑轮上方的部分忽略不计）（）A．14m B．15m C．16m D．17m【思路引领】根据题意画出示意图，设旗杆高度为x m，可得AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出x．【解答】解：设旗杆高度为x m，过点C作CB⊥AD于B，则AC＝AD＝x m，AB＝（x﹣2）m，BC＝8m，在Rt△ABC中，AB2+BC2＝AC2，即（x﹣2）2+82＝x2，解得：x＝17，即旗杆的高度为17米．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，构造直角三角形的一般方法就是作垂线．【变式训练】1．（2023春•岳阳楼区期末）小华和小侨合作，用一块含30°的直角三角板，旗杆顶端垂到地面的绳子，测量长度的工具，测量学校旗杆的高度，如图，测得AD＝0.5米，绳子部分长CD＝6米，则学校旗杆AB的高度为（）A．6.5米B．(63+0.5)米C．12.5米D．(65+0.5)米【思路引领】根据含30°角的直角三角形的性质得出2DC＝BC，进而利用勾股定理解答即可．【解答】解：由题意知∠ABC＝30°，CD⊥AB，∴BC＝2CD＝12米，A=63米，∵AD＝0.5米，∴B=(63+0.5)米，故选：B．【总结提升】本题考查了含30度直角三角形的性质及勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键．2．（2023秋•岱岳区期中）学习完《勾股定理》后，张老师要求数学兴趣小组的同学测量学校旗杆的高度．同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面并多出了一段，但这条绳子的长度未知．如图，经测量，绳子多出的部分长度为2米，将绳子拉直，且绳子底端与地面接触，此时绳子端点距离旗杆底端5米，则旗杆的高度为214米．【思路引领】在Rt△ABC中，由勾股定理得出关于AB的方程求解即可．【解答】解：如图，由题意可知，BD＝2米，BC＝5米，AC＝AB+BD＝（AB+2）米，在Rt△ABC中，由勾股定理得，AB2+BC2＝AC2，即AB2+52＝（AB+2）2，解得AB=214，∴旗杆的高度为214米．故答案为：214．【总结提升】本题考查了勾股定理的应用，熟记勾股定理是解题的关键．3．（2023秋•秦安县期末）如图，在一棵树的10米高B处，有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A处，另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，则这棵树的高度为15米．【思路引领】根据两只猴子所经过的距离相等，将两只猴子所走的路程表示出来，根据勾股定理列出方程求解．【解答】解：如图，设树的高度为x米，因两只猴子所经过的距离相等都为30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故这棵树高15m．【总结提升】把实际问题转化为数学模型，构造直角三角形，然后利用勾股定理解决．类型九小鸟飞行距离问题【典例9】（2022秋•嵩县期末）如图，有两棵树，一棵高8米，另一棵高2米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则它至少要飞行（）米．A．6B．8C．10D．12【思路引领】根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出．【解答】解：两棵树的高度差为8﹣2＝6m，间距为8m，根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=82+62=10m．故选：C．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是将现实问题建立数学模型，运用数学知识进行求解．【变式训练】1．（2023秋•青羊区期中）如图，一只小鸟旋停在空中A点，A点到地面的高度AB＝20米，A点到地面C 点（B，C两点处于同一水平面）的距离AC＝25米．（1）求出BC的长度；（2）若小鸟竖直下降到达D点（D点在线段AB上），此时小鸟到地面C点的距离与下降的距离相同，求小鸟下降的距离．【思路引领】（1）在直角三角形中运用勾股定理即可求解；（2）在Rt△BDC中，根据勾股定理即可求解．【解答】解：（1）由题意知∠B＝90°，∵AB＝20米，AC＝25米．∴BC=252−202=15米，（2）设AD＝x，则CD＝x，BD＝20﹣x，在Rt△BDC中，DC2＝BD2+BC2，∴x2＝（20﹣x）2+152，解得x=1258，∴小鸟下降的距离为1258米．【总结提升】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．类型十利用勾股定理表示无理数【典例10】（2022春•武昌区期末）平面直角坐标系中，点P（﹣4，2）到坐标原点的距离是（）A．2B．4C．23D．25【思路引领】利用勾股定理计算可得结论．【解答】解：由题意得，点P到坐标原点的距离为：42+22=20=25．故选：D．【总结提升】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理的内容是解决本题的关键．【变式训练】1．（2023•大连）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），连接AB，以点A为圆心、AB的长为半径画弧，与x轴正半轴相交于点C，则点C的横坐标是+1．【思路引领】由勾股定理求出AB的长，进而得到AC的长，再求出OC的长，得出点C的坐标，即可解决问题．【解答】解：∵点A，B的坐标分别为（1，0）和（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵∠AOB＝90°，∴AB=B2+B2=12+22=5，∵以点A为圆心，以AB长为半径画弧，∴AC＝AB=5，∴OC＝AC+OA=5+1，∵交x轴正半轴于点C，∴点C的坐标为（5+1，0）．故答案为：5+1．【总结提升】本题考查了勾股定理以及坐标与图形性质等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键．2．（2022秋•芗城区月考）用尺规作图在数轴上作出表示实数=10的点P（保留作图痕迹，不写作法）．【思路引领】过表示1的点A作数轴的垂线AB，在垂线上截取AB＝3，连接OB，以O为圆心，OB为半径作弧交数轴于P，则P即为所求的点．【解答】解：如图：点P表示的数即为10．【总结提升】此题主要考查了勾股定理以及作图，关键是掌握10是两直角边长分别为1和3的直角三角形的斜边长．3．（2023•长阳县一模）如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形边长为1，点A，B，C，D均为格点，以A为圆心，AB长为半径作弧，交网格线CD于点E，则C，E两点间的距离为（）A．3B．3−3C．3+12D．3−12【思路引领】如图：连接AE，则AE＝2、AD＝1，由勾股定理可求出DE，然后运用线段的和差即可解答．【解答】解：如图：连接AE，则AE＝2，AD＝1，∴DE=B2−A2=22−12=3，∴CE＝CD﹣DE=3−3．故选B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理的应用以及线段的和差，根据题意运用勾股定理求得DE是解答本题的关键．4．（2022秋•埇桥区期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A、B，C都在格点上，以A为圆心，AB为半径画弧，交最上方的网格线于点D，则CD的长为（）A．3−1B．3−5C．5D．22【思路引领】连接AD，则AD＝AB＝3，在Rt△AED中，利用勾股定理求出DE即可得出答案．【解答】解：连接AD，由题意知：AD＝AB＝3，在Rt△AED中，由勾股定理得：ED=A2−B2=32−22=5，∴CD＝CE﹣DE＝3−5，故选：B．【总结提升】本题主要考查了勾股定理，求出DE的长是解题的关键．。