(12)构造新数列求通项公式(最新)

用构造法求数列的通项公式上海外国语大学嘉定外国语实验学校 徐红洁在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一．利用倒数关系构造数列。

例如：中，若求a n }{n a 数列),(411,211N n a a a nn ∈+==++4,n n nn b b a b ==+1,1则设即＝４，n n b b -+1｝是等差数列。

n b {∴可以通过等差数列的通项公式求出,然再求后数列{ a n }的通项。

n b 练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足求a n),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+2)数列{ a n }中，求a n 通项公式。

,22,111+==+n nn a a a a 3)数列{ a n }中,求a n .),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且二．构造形如的数列。

2n n a b =例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+ 解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，,),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-求数列{ a n }的通项公式。

构造法求数列的通项作者：鄢文俊来源：《高中生学习·高一版》2012年第03期所谓构造法，就是在解决某些数学问题的过程中，通过对条件和结论的充分变形与剖析，借助适当的、熟知的模型，以此促成命题的转换，而后获得新的解题策略.这种解题方法的主要亮点就是“构造”.1. 构造成等差数列将递推公式变形成[f(n+1)-f(n)=a]（[a]为常数）形式，先求新的等差数列[{f(n)}]的通项公式，再根据[f(n)]与[an]的关系求出[an]的通项公式.题型I 对形如[an+1=AanBan+A(A、B为常数)]的递推公式，可以用倒数法来构造.例1 在数列[an]中，[a1=1,an+1=2anan+2]，求数列[an]通项公式.解析把[an+1=2anan+2]两边取倒数，得[1an+1=1an+12].设[bn=1an]，则[bn+1-bn=12]，且[b1=1]，∴数列[bn]是首项为1，公差[12]的等差数列.∴[bn=1+12(n-1)=n+12]，∴[an=2n+1]为所求.2. 构造成等比数列将递推公式变形成[f(n+1)f(n)=a]（[a]为非零常数）形式，先求新的等差数列[{f(n)}]的通项公式，再根据[f(n)]与[an]的关系求出[an]的通项公式.题型Ⅱ对形如[an+1=pan+q(p≠1,q]为常数），令[an+1+λ=p(an+λ)]来构造一个新的等比数列，并利用对应项相等求[λ]的值，求通项公式.例2 在数列[an]中，[a1=1,an+1=3an+4]，求[an].解析递推式[an+1=3an+4]可用待定系数法变形为[an+1+2=3(an+2)]，令[bn=an+2]，那么数列[bn]就是首项为3，公比为3的等比数列. 通过求[bn]的通项公式达到求[an]的目的.例3 在数列[an]中，[a1=1,an+1=4an+][3n+1]，求数列的通项公式.解析注意到递推式中的[(3n+1)]是关于[n]的一次式，用待定系数法来构造相关的递推式为：[an+1+A(n+1)+B=4(an+An+B)]（其中[A、B]为待定系数）.展开得[an+1=4an+3An+3B-A]，与题给递推式比较，解得[A=1,B=23.][∴an+1+(n+1)+23=4(an+n+23)]，∴[an+n+23=83⋅3n-1].∴数列通项公式为[an=83⋅3n-1-n-23].点拨事实上，上述两例使用的方法是相同的，例3只是把例2中的[q]改成了关于[n]的一次式，其实它还可以变化，而不仅仅只变为关于[n]的一次式！例4 在数列[an]中，[a1=3,an+1=][2an+3⋅2n+1]，求[an].解析 [∵an+1=2an+3×2n+1,][∴an+12n+1-an2n=3,][又a12=32]，[∴an2n]是首项为[32]，公差为3的等差数列.[∴an2n=32+(n-1)×3=3n-32].[∴an=(3n-32)⋅2n].【思考】本题如果采用例3中的方法，可以怎么构造呢？题型Ⅲ对形如[an+2=Aan+1+Ban][(A、B]为常数）的递推公式，须用两次构造成等比数列的方法. 具体做法叫特征方程法——其特征方程为[x2=Ax+B]，若方程两根为[α、β]，则递推公式可构造成如下两种对称形式：[an+2-αan+1=β(an+1-αan),][an+2-βan+1=α(an+1-βan)]，通过分别利用等比知识及加减消元法达到求[an]的目的.例5 在数列[an]中，[a1=1,a2=3,an+2=2an+1][+3an]，求[an].解析 [∵an=2an-1+3an-2]，[∴an+an-1=3(an-1+an-2)].而[a1+a2=7,∴an+an-1]是首项为7，公比为3的等比数列，则[an+an-1=7×3n-2]①递推式又可变形为：[an-3an-1=-(an-1-3an-2)]，且[a2-3a1=-13]，[∴an-3an-1]是首项为-13，公比为-1的等比数列，则[an-3an-1=(-13)⋅(-1)n-2]②由①[×3+]②得，[4an=7×3n-1+13×(-1)n-1].[∴an=74×3n-1+134×(-1)n-1].点拨这种形式的构造方案——特征方程法也可以用在其它形式上，比如题型I的更一般形式：[an+1=Aan+CBan+D(A、B、C、D为常数)]的递推公式. 我们先考查特征方程[x=Ax+CBx+D]，若其一个有理数特征根为[λ]（无理数特征根在运算时比较繁琐，不提倡用此法），那么我们可以把递推式变形成[1an+1-λ=1Aan+CBan+D-λ]，然后化简右边的繁分式直至（通过换元后）变形成题型Ⅱ.题型Ⅳ对形如[an+1=Aank][(A、k为常数,][且A>0)]的递推公式，可以通过两边取以[A(A≠1)]为底的对数，构造成一个新的等比数列，再达到求[an]的目的.例6 在数列[an]中，[a1=1,an+1=3an2]，求数列[an]通项公式.解析通过对[an+1=3an2]两边取以3为底的对数得，[log3an+1=2log3an+1]，再令[bn=log3an]，本题就变形成了上面提到的类型：[an+1=pan+q(p≠1,q]为常数）.3. 构造成差式有些数列在给出递推公式后我们可以构造成差式，其解题的大致思路是：构造出该数列相邻两项的差，然后采用迭加（或迭代）的方法来求解.例7 在数列[an]中，[a1=1,a2=3,an+2=][(n+3)an+1-(n+2)an]，求通项公式[an].解析把递推式变形为[an+2-an+1=(n+2)(an+1-an)]，迭代下去，[an+2-an+1=(n+2)(an+1-an)][=(n+2)(n+1)(an-an-1)][=⋯][=(n+2)(n+1)⋯×4×3(a2-a1)][=(n+2)!]（注：[n]的阶层——[n!=n(n-1)(n-2)×⋯×2×1]）于是，[an-an-1=n!]，[an-1-an-2=(n-1)!]，…[a2-a1=2!]，迭加得，[an=1+2!+3!+⋯+n!].4. 构造成商式有些数列在给出递推公式后，我们可以构造成商式. 其解题的思路是：构造数列相邻两项的商式，然后用连乘的方法来求解.这也是一种求数列通项公式的常用方法.例8 在;数列[an]中，前[n]项的和[Sn=n2an]，求[an].解析 [∵Sn=n2an]，[a1=12]，当[n≥2]时，[an=Sn-Sn-1=n2an-(n-1)2an-1].化简并整理得：[anan-1=n-1n+1].[∴an=anan-1⋅an-1an-2×⋯×a2a1⋅a1][=n-1n+1⋅n-2n×⋯×13⋅12][=1n(n+1).]。

用构造数列方法求通项公式
题目中若给出的是递推关系式，而用累加、累积、迭代等又不易求通项公式时，可以考虑通过变形，构造出含有an(或Sn)的式子，使其成为等比或等差数列，从而求出an(或Sn)与n的关系，这是近一、二年来的高考热点，因此既是重点也是难点。

例：已知数列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……
(1)求{an}通项公式(2)略
解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝(--1)(an--)
∴{an--}是首项为a1--，公比为--1的等比数列。

由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-
又例：在数列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，证明数列{an-n}是等比数列。

证明：本题即证an+1-(n+1)=q(an-n) (q为非0常数)
由an+1=4an-3n+1，可变形为an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，
所以数列{an-n}是首项为1，公比为4的等比数列。

若将此问改为求an的通项公式，则仍可以通过求出{an-n}的通项公式，再转化到an的通项公式上来。

又例：设数列{an}的首项a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通项公式。

(2)略
解：由an=-，n=2,3,4,……，整理为1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首项为1-a1，公比为--的等比数列，得an=1-(1-a1)(--)n-
58。

用构造法求数列的通项公式在高中数学教材中，有很多已知等差数列的首项、公比或公差(或者通过计算可以求出数列的首项,公比),来求数列的通项公式。

但实际上有些数列并不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式,要求出数列的通项公式。

而这些题目往往可以用构造法，根据递推公式构造出一个新数列，从而间接地求出原数列的通项公式。

对于不同的递推公式，我们当然可以采用不同的方法构造不同的类型的新数列。

下面给出几种我们常见的构造新数列的方法：一． 利用倒数关系构造数列。

例如：}{n a 数列中，若),(411,211N n a a a nn ∈+==+求a nn n nn b b a b ==+1,1则设+4,即n n b b -+1＝４，nb {∴｝是等差数列。

可以通过等差数列的通项公式求出n b ,然再求后数列{ a n }的通项。

练习：1)数列{ a n }中，a n ≠0，且满足),(,311,2111N n a a a nn ∈+==+求a n2)数列{ a n }中，,22,111+==+n nn a a a a 求a n 通项公式。

3)数列{ a n }中,),,2(02,0,1111N n n a a a a a a n n n n n ∈≥=-⋅+≠=--且求a n .二． 构造形如2n n a b =的数列。

例：正数数列{ a n }中，若n n n a N n a a a 求),(4,52211∈-==+解：设4,4,112-=--==++n n n n n n b b b b a b 即则),71(,429429429)4()1(25254}{2211N n n n a na n nb a b b n n n n ∈≤≤-=∴-=-=-⋅-+=∴==-即，是等差数列，公差是数列练习：已知正数数列{ a n }中，),2(2,211N n n a a a n n ∈≥==-,求数列{ a n }的通项公式。

用结构法求数列的通项公式在高中数学教材中，有好多已知等差数列的首项、公比或公差 (或许经过计算能够求出数列的首项 ,公比 ),来求数列的通项公式。

但实质上有些数列其实不是等差、等比数列,给出数列的首项和递推公式 ,要求出数列的通项公式。

而这些题目常常能够用结构法，依据递推公式结构出一个新数列，进而间接地求出原数列的通项公式。

关于不一样的递推公式，我们自然能够采纳不一样的方法结构不一样的种类的新数列。

下边给出几种我们常有的结构新数列的方法：一．利用倒数关系结构数列。

比如：数列 { a n } 中，若 a12,114(n N ), 求a n an 1an设b n 1 , 则b n 1b n+4,a n即 b n 1b n＝４，{b n｝是等差数列。

能够经过等差数列的通项公式求出b n,然再求后数列{ a n}的通项。

练习： 1)数列 { a n } 中， a n≠0，且知足a111N ), 求a n , a n11, (n23a nn}中， a11, a n 2a n n通项公式。

2)数列 { a1a n, 求a 2n}中 , a11, a n0,且a n2a n a n 1a n1 0(nn3)数列 { a2, n N ), 求 a .二．结构形如 b n a n2的数列。

例：正数数列 { a n } 中，若 a15, a n 12a n24(n N ), 求a n解：设 b n a n 2 , 则b n1bn4,即b n1b n4数列 { b n } 是等差数列，公差是4， b1225 a1b n25(n 1)( 4)294n即 a n 24n29a n294n , (1n7, n N )练习：已知正数数列 { a n } 中， a1 2, a n 2 a n 1 (n2, n N ) ,求数列 { a n } 的通项公式。

三．结构形如 b n lg a n的数列。

例：正数数列 { a} 中，若 a =10,且lg a n lg a n 1 , (n2, n N ), 求a .n11n2解：由题意得：lg a n1，可设 b n lg a n，lg a n 12即b n1,bn 12b n是等比数列，公比为1， b1 lg 10 12b n 1 (1) n 1(1)n 1 ,(n N) .22(1) n 1 , a n( 1 )n 1即 lg a n10 22练习：（选自 2002 年高考上海卷）数列 { a n } 中，若 a1=3, a n 1a n2 ,n 是正整数，求数列 { a n } 的通项公式。

巧用构造法求递推数列的通项公式蒋明权利用递推数列求通项公式，在理论上和实践中均有较高的价值，自从二十世纪八十年代以来，一直是全国高考和高中数学联赛的热点之一。

本文想介绍一下利用构造法求递推数列的通项公式的方法和策略，希望能抛砖引玉。

一、构造等差数列法例1.在数列{a n }中，a na n a n n n n n 1132212==+++++，()()()，求通项公式a n 。

解：对原递推式两边同除以n n n ()()++12可得：a n n a n nn n +++=++12112()()()① 令b a n nn n =+()1② 则①即为b b n n +=+12，则数列{b n }为首项是b a 1111132=+=()×，公差是b b n n +-=12的等差数列，因而b n n n =+-=-3221212()，代入②式中得a n n n n =+-12141()()。

故所求的通项公式是a n n n n =+-12141()() 二、构造等比数列法1.定义构造法 利用等比数列的定义q a a n n=+1，通过变换，构造等比数列的方法。

例2.设在数列{a n }中，a a a a n n n 112222==++，，求{a n }的通项公式。

解：将原递推式变形为a a a n n n++=+12222()① a a a n n n+-=-12222()② ①/②得：a a a a n n n n +++-=+-1122222[]， 即lg lg[]a a a a n n n n +++-=+-1122222③ 设b a a n n n =+-lg[]22④ ③式可化为a a n n +=12，则数列{b n }是以b 1＝lg[]lg lg()a a 11222222221+-=+-=+为首项，公比为2的等比数列，于是b n n n =+=+-22122211lg()lg()×，代入④式得：a a n n +-22＝()212+n ，解得a n n n=+++-221121122[()]()为所求。

用构造法求数列通项公式
一、构造法的原理
构造法是一种求解数列通项公式的方法，它依赖于对数列数据的分析，其基本原理是通过分析数列前几项的关系，推出数列的规律，从而确定数
列的通项公式。

二、构造法的步骤
1、根据给定的数列，找出相邻两项的关系；
2、根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式；
3、根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项；
4、推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式；
5、利用确定的通项公式，验证数列中的其它项。

三、构造法的应用
1、举例：
给出一个数列：1，2，4，8，16，32
(1)根据给定的数列，找出相邻两项的关系：
由数列可以看出，数列中相邻两项的关系是：an = 2 * an-1
(2)根据求出的关系，确定该数列的类型，即数列的递推公式：
an = 2 * an-1
递推公式：an+1 = 2 * an
(3)根据确定的递推公式，从第一项开始，逐步求出数列中的其它项：
a1=1
a2=2*a1=2
a3=2*a2=4
a4=2*a3=8
a5=2*a4=16
a6=2*a5=32
(4)推出数列的规律，并将其表示为数列的通项公式：
由所求得的数列可以看出，数列中每一项都是前一项的2倍，因此可
得数列的通项公式为：an=2^(n-1)。

(5)利用确定的通项公式。

用构造法求数列的通项公式首先，我们需要了解什么是数列和通项公式。

数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

通项公式是指能够通过一个数列中的任意一项来表示它的第n项的公式。

构造法是指通过观察数列中的规律，逐步构造出通项公式的方法。

对于数列的构造方法，有多种不同的途径可以使用。

下面将介绍一些常见的构造法。

1.等差数列：等差数列是指数列中任意两项之间的差都是一个常数d。

要构造等差数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。

例如，对于等差数列1,4,7,10,13,...，我们可以观察到每一项与前一项的差都是3，因此该数列的通项公式可以表示为An=A1+(n-1)d，其中A1为首项，d为公差，n为项数。

2.等比数列：等比数列是指数列中任意两项之间的比都是一个常数r。

要构造等比数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。

例如，对于等比数列2,6,18,54,162,...，我们可以观察到每一项与前一项的比都是3，因此该数列的通项公式可以表示为An=A1*r^(n-1)，其中A1为首项，r为公比，n为项数。

3.斐波那契数列：斐波那契数列是一种特殊的数列，每一项都是前两项的和。

要构造斐波那契数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。

例如，对于斐波那契数列1,1,2,3,5,8,...，我们可以观察到每一项都是前两项的和，因此该数列的通项公式可以表示为An=An-1+An-2，其中A1和A2为首两项，n为项数。

4.平方数列：平方数列是指数列中每一项都是一些整数的平方。

要构造平方数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。

例如，对于平方数列1,4,9,16,25,36,...，我们可以观察到每一项都是一些整数的平方，因此该数列的通项公式可以表示为An=n^2，其中n为项数。

5.阶乘数列：阶乘数列是指数列中每一项都是小于等于该项的正整数的阶乘。

要构造阶乘数列的通项公式，可以通过观察数列中的规律来得到。

谈学论教高中数学中十分常见.推式的形式多样，且较为复杂，据递推关系式的特点构造出形如等差、项公式的式子，将问题转化为等差、公式问题来求解.这样才能化繁为简.活，造出合适的辅助数列，一、已知a n +1=qa n+p ，求a n对于形如a n +1=qa n +p (p ≠0,q ≠0且q 关系式，在运用构造法求数列{}a n 引入参数λ，设a n +1+λ=q ()a n +λ，关系式列出式子，求出q 、λ的值，列{}a n +λ，求得其首项和公比，通项公式，或运用累乘法求得数列{}a n 例1.在数列{}a n 中，a 1=5，a n +1=3a n -{}a n 的通项公式.分析：首先根据已知递推关系式a n +1=a n +1-λ=q ()a n -λ，通过对比系数求出q 、λ构造出等比数列{}a n -λ，便能求出数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=3a n -4，可得a n +1-2=3(a n ∵a 1=5，∴数列{}a n -2是以a 1-2=3为首项，等比数列，∴a n -2=3n，a n =3n +2，∴数列{}a n 的通项公式为a n =3n+2.二、已知a n +1=qa n +c n，求a n由形如a n +1=qa n +c n的通项公式，需先将递推关系式设为p æèçöø÷a n c n +λ，并求出p 、λ的值，再根据等比数列的通项公式，法，就便能得到数列{}a n 的通项公式.例2.在数列{}a n 中，a 1=32，a n +1=2a n +3n ，求数列{}a n 的通项公式.解：由a n +1=2a n +3n，可设a n +13n +1+λ=p æèçöø÷a n 3n +λ，可得p =23,λ=-1，∴数列{}a n 3n -1是首项为a 13-1=-12，公比为23的等比数列，∵a n 3n -1=-12∙æèöø23n -1=-2n -23n -1，∴a n =-3∙2n -2+3n ，∴数列{}a n 通项公式为a n =-3∙2n -2+3n.解答本题，需首先根据递推关系式的特点，在其左右同时除以3n ，并设递推关系式为a n +13n+1+λ=p æèçöø÷a n 3n +λ，求出p 、λ的值，即可构造出等比数列{}a n3n-1.三、已知a n +1=g ()n a n +f (n )，求a n对于形如a n +1=g ()n a n +f ()n 的递推关系式，也需采用构造法来求数列的通项公式，其解题思路为：①根据g ()n 的特点，在已知递推关系式的两边同除以ϕ()n ，使其变形为形如a n +1ϕ()n +1-an ϕ()n =f ()n ϕ()n 的式子，②令n =1,2,3，…，n -1，将这n -1个式子累加，并进行化简，或根据等差数列的通项公式即可求得数列的通项公式.例3.在数列{}a n 中，a 1=1，a n +1=æèöø1+1n a n +(n +1)∙2n .若b n =an n，求数列{}a n 和{}b n 的通项公式.分析：在已知递推关系式a n +1=n +1n a n +()n +1∙2n的两边同除以n +1，将其变形为a n +1n +1-an n=2n ，构造出等比数列，再运用累加法即可解题.龚海亮谈学论教。

培优点07数列中的构造问题（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】　数列中的构造问题是历年高考的一个热点内容，主、客观题均可出现，一般通过构造新的数列求数列的通项公式．【核心题型】题型一　形如a n ＋1＝pa n ＋f (n )型形式构造方法a n ＋1＝pa n ＋q 引入参数c ，构造新的等比数列{a n －c }a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c 引入参数x ，y ，构造新的等比数列{a n ＋xn ＋y }a n ＋1＝pa n ＋q n两边同除以q n ＋1，构造新的数列{a n q n}命题点1　a n ＋1＝pa n ＋q (p ≠0,1，q ≠0)【例题1】（2024·河南·模拟预测）已知数列{}n a 满足1111233n n a a +=×+，且234a =，则1011a =（ ）A ．101113æöç÷èøB ．10111011313+C ．10101010313+D ．101013æöç÷èø【变式1】（2024·天津河西·三模）若数列{}n a 满足121n n a a +=-，则称{}n a 为“对奇数列”．已知正项数列{}1n b +为“对奇数列”，且12b =，则2024b =（ ）A ．202323´B ．20232C ．20242D ．20252【变式2】（2022·广西柳州·三模）已知数列{}n a 的首项11a =，其前n 项和为n S ，若121n n S S +=+，则5a =.【变式3】（23-24高三·山东青岛·期末）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =，12n n a S +=+．(1)求数列{}n a 的通项公式;(2)设2221log log n n n b a a +=×，记数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明34n T <．命题点2　a n ＋1＝pa n ＋qn ＋c (p ≠0,1，q ≠0)【例题2】（2023·河南郑州·模拟预测）在数列{}n a 中，12211,9,3210n n n a a a a a ++===--，则{}n a 的前n 项和n S 的最大值为（ ）A ．64B ．53C ．42D ．25【变式1】（20-21高三上·天津滨海新·期中）已知数列{}n a 满足10a =，121n n a a n +=+-，则数列{}n a 的一个通项公式为（ ）A ．1n a n =-B ．2(1)n a n =-C ．3(1)n a n =-D ．4(1)n a n =-【变式2】（2024·宁夏石嘴山·三模）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若111,21,n n a a a n +=+=+则19S =.【变式3】（2024·湖南邵阳·一模）已知数列{}n a 的首项为()*12,21n n a a n n ++=+ÎN ，则10a = .命题点3　a n ＋1＝pa n ＋q n (p ≠0,1，q ≠0,1)【例题3】（2022·河南·模拟预测）在数列{}n a 中，若12a =，1132n n n a a ++=+，则n a =（ ）A ．2nn ×B ．5122n-C ．1232n n +×-D ．11432n n -+×-【变式1】（2024·湖南永州·三模）已知非零数列{}n a 满足21220n n n n a a ++-=，则20242021a a =（ ）A ．8B ．16C ．32D ．64【变式2】（2024·四川南充·二模）已知数列{}n a ，满足11a =，且12nn n a a +=，则78a a +=.【变式3】（23-24高三上·湖南娄底·期末）已知数列{}n a 满足212,2,nn n a a a +=×=则10a 的值为 .题型二　相邻项的差为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ＋qa n －1)　可以化为a n ＋1－x 1a n ＝x 2(a n －x 1a n －1)，其中x 1，x 2是方程x 2－px －q ＝0的两个根，若1是方程的根，则直接构造数列{a n －a n －1}，若1不是方程的根，则需要构造两个数列，采取消元的方法求数列{a n }【例题4】（22-23高三上·湖北·阶段练习）已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且121a a ==，1223n n n a a a --=+（3n ³），则下列结论正确的是（ ）A ．数列{}1n n a a +-为等比数列B ．数列{}12n n a a ++为等比数列C ．()20401314S =-D ．()11312n n n a --+-=【变式1】（2024·山西晋中·模拟预测）若数列{}n a 满足11a =，24a =，且对任意的()*N 2n n γ都有1122n n n a a a +--+=，则234202411111111a a a a ++++=----L （ ）A ．31114220232024æö-+ç÷èøB ．10122024C ．31114220242025æö-+ç÷èøD ．10122025【变式2】（2024高三·全国·专题练习）已知数列{}()*1211,1,2,540,2n n n n a a a a a a n n +-==-+=γN ，则{}n a 的通项公式为.【变式3】（23-24高三上·四川·阶段练习）在数列{}n a 中，11a =，22a =，1132n n n a a a +-=-(2,N )n n *³Î.设1n n n b a a +=-.(1)求证：数列{}n b 是等比数列；(2)设1(1)(21)n n n n a c b +=+×+，记数列{}n c 的前n 项和n T ，求证：1n T <.题型三　倒数为特殊数列(形如a n ＋1＝pa n ra n ＋s型)　两边同时取倒数转化为1a n ＋1＝s p ·1a n ＋r p 的形式，化归为b n ＋1＝pb n ＋q 型，求出1a n的表达式，再求a n ．【例题5】（2022·浙江·模拟预测）数列{}n a 满足()112nn na a n a *+=Î+N ，11a =，则下列结论错误的是（ ）A ．10317211a a a =+B ．12n a ìüïïíýïïîþ是等比数列C ．()211n n a -=D ．517493a a a =【变式1】（23-24高三上·山东青岛·期末）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1112,21n n n a a a a +==+，若2024(1,)S k k Î-，则正整数k 的值为（ ）A ．2024B ．2023C ．2022D ．2021【变式2】（2021·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足132a =，133n n n a a a +=+，若3n n n c a =，则12n c c c ++×××+= .【变式3】（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的首项143a =，且满足184n n n a a a +=+，212n n b a =-.(1)求证：数列{}n b 是等比数列；(2)记n nnc n b =+，求数列{}n c 的前n 项和n S .【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2022高三上·河南·专题练习）已知各项均为正数的数列{}n a 满足*12()2n n n a a n n +=+Î-N ，且10a >．若当且仅当3n =时，n a n取得最小值，且1sin()02a p=，则符合条件的实数1a 组成的集合中的元素个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．62．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，12n n n a a a +=+，记11n n b a =+，若存在m ，*n ÎN ，使得22log log 6m n b b +=，则86m mn+的最小值为（ ）A ．83B ．103C ．114D ．1453．（2023·陕西商洛·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =-，121n n a a n ++=+，若12399n n S S ++=，则n =（ ）A ．48B ．49C ．50D ．514．（23-24高三上·河北·阶段练习）在数列{}n a 中，11a =，213n n n a a a t +=-+，且2n a £，则实数t 的最大值为（ ）A ．4B ．5C．D ．6二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足111,2n n a a a n +==+，则下列判断正确的是（ ）A ．311S =B ．419a =C ．8721S =D ．9758a =6．（2023·辽宁朝阳·一模）已知数列{}n a 满足11a =，且*12,N 1n n naa n a +=Î+，则下列说法正确的是（ ）A ．数列{}n a 为递减数列B ．01n a <£C ．1011,87a æöÎç÷èøD ．50111110a <<三、填空题7．（2022·湖南益阳·一模）已知数列{}n a 中，11a =，1512+=-n na a ，若12n n b a =-，则数列{}n b 的前n 项和n S =.8．（2023·陕西汉中·一模）已知数列{}n a 满足：1133n n n a a ++=+，若13a =，则{}n a 的通项公式为 .9．（23-24高三下·湖北·阶段练习）已知数列{}n a 中，135a =，121n n n a a a +=+，*n ÎN ，则{}1n n a a +的前n 项和n S =．四、解答题10．（2024·陕西西安·二模）已知数列{}n a 的前n 项为n S ，21n a n =+，数列{}n b 为等比数列，且229a b +=，103128S b +=.(1)求数列{}n b 的通项公式；(2)设n n n c a b =×，求数列{}n c 的前n 项和n M .11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足12a =，12n n a a n +=+．(1)求证{}1n a n ++是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)设1n n c a n=+，求证：121n c c c +++<L ．【综合提升练】一、单选题1．（2023·四川泸州·三模）已知数列{}n a 满足122n n a a +=+，11a =，则此数列的通项公式为（ ）A ．11,132,2n n n a n -=ì=í´³îB ．1,13,2n nn a n =ì=í³îC ．1322n n a -=´-D ．32n n a =-2．（2023·河南郑州·模拟预测）已知数列{}n a 各项均为正数，13a =，且有123n na a +=-，则n a =（ ）A ．121n -B ．321n-C ．1421n --D ．1221n+-3．（2023·云南红河·一模）已知数列{}n a 满足：119,2n n a a a n +=-=，则4a =（ ）A ．21B ．23C ．25D ．274．（2021·四川绵阳·模拟预测）设数列{}n a 满足113,34n n a a a n +==-，若21485n n n n n b a a +++=，且数列{}n b 的前n 项和为n S ，则n S =（ ）A ．2169n n æö-ç÷+èøB ．42369n n ++C ．1169n n æö+ç÷+èøD ．2169n n æö+ç÷+èø5．（22-23高三上·黑龙江哈尔滨·期末）若数列{}n a 满足123nn n a a a +=+（0n a ¹且1n a ¹-），则202320231a a +与202220221a a +的比值为（ ）A ．13B ．12C ．2D ．36．（2024·广东茂名·一模）数列{}n a 满足18a =，11nn n a a na +=+（*n ÎN ），112nn n b a l æöæö=+×ç÷ç÷èøèø，若数列{}n b 是递减数列，则实数l 的取值范围是（ ）A ．8,7æö-+¥ç÷èøB ．7,8æö-+¥ç÷èøC ．8,7æö+¥ç÷èøD ．7,8æö+¥ç÷èø7．（2023·四川·模拟预测）在数列{}n a 中，*n "ÎN ，1221n n n a a a ++=+，且123a <<，则下列结论成立的是（ ）A ．20222020a a <B ．2020202220212023a a a a +>+C ．2022202320212a a a +<D ．20232021a a >8．（23-24高三上·江苏盐城·阶段练习）已知数列{}n a 的首项135a =，且1321n n n a a a +=+，121112025na a a ++×××+<，则满足条件的最大整数n =（ ）A ．2022B ．2023C ．2024D ．2025二、多选题9．（21-22高三上·山东聊城·期末）已知数列{}n a 满足111,23nn na a a a +==+，则下列结论正确的有（ ）A ．13n a ìü+íýîþ为等比数列B ．{}n a 的通项公式为1123n n a +=-C ．{}n a 为递增数列D ．1n a ìüíýîþ的前n 项和2234n n T n +=--10．（2023·重庆·模拟预测）已知数列{}n a 满足2134n n n a a a +=-+，14a =，n *ÎN ，则下列结论正确的有（ ）．A ．数列{}n a 是递增数列B ．142n n a -³×C ．11111122ni i n a a =++=--åD ．()21log 221nni i a =-£-å11．（2024·全国·模拟预测）已知数列{}n a 满足2122n n n a a a +=-+，则下列说法正确的是（ ）A ．当112a =时，()5124n a n <£³B ．若数列{}n a 为常数列，则2n a =C ．若数列{}n a 为递增数列，则12a >D ．当13a =时，1221n n a -=+三、填空题12．（2020高三·上海·专题练习）已知数列{}n a 满足+11=34,1n n a a a +=，则n a = .13．（2023·四川乐山·三模）已知数列{}n a 满足122n n a a +=+，11a =，则n a = ．14．（2023·全国·模拟预测）数列{}n a 满足1144(2)n n n a a a n +-+=³，121,3a a ==，则263log a 的值为 ．四、解答题15．（23-24高三上·云南楚雄·期末）已知数列{}n a 满足12a =，1221nn n a a n +=++-.(1)求2a ，3a ；(2)求n a ，并判断{}2(1)n a n --是否为等比数列.16．（23-24高三下·山东·开学考试）已知数列{}n a 满足111,2n n a a a n +==+．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)()(1)1nn n b a n =-+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n S ．17．（2024·陕西宝鸡·一模）已知数列{}n a ，若11a =，且121n n a a +=+.(1)求证：{}1n a +是等比数列，并求出数列{}n a 的通项公式；(2)若()12n n nn a b +=，且数列21n n b b +ìüíýîþ的前项和为n S ，求证：1334n S £<.18．（2024·山西临汾·一模）已知数列{}n a 的首项11a =，且满足121n n a a n +=+-，等比数列{}n b 的首项112b =，且满足22n n b b =.(1)求证：数列{}n a n +是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}n n a b 的前n 项和nS19．（2024·广东深圳·模拟预测）设数列{}n a 满足：12a =，1244n n a a n +=+-．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列{}3nn n a +的前n 项和n S ．【拓展冲刺练】一、单选题1．（21-22高三下·青海玉树·阶段练习）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若1222,10n n a a S +=-=，则{}n a 的通项公式为（ ）A ．34n n a =-B ．22n n a =+C ．2n a n n=+D ．231n a n =-2．（20-21高三下·四川成都·期中）已知数列{}n a 满足121nn n a a a +=+，11a =，数列{}n b 满足11b =，()112n n n b b n a --=³，则数列13n b n +ìüíýîþ的最小值为（ ）．A ．294B ．223C．D ．436二、多选题3．（2023·江苏淮安·模拟预测）设a ，R b Î，数列{}n a 满足1a a =，21n n a a b +=+，*n ÎN ，则下列说法不正确的是（ ）A ．当12b =时，1010a >B ．当14b =时，1010a >C ．当2b =-时，1010a >D ．当4b =-时，1010a >4．（2024·安徽安庆·二模）满足12a =，21a =，()*21n n n a a a n ++=+ÎN 的数列{}n a 称为卢卡斯数列，则（ ）A ．存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++ÎN 为等差数列B ．存在非零实数t ，使得{}()*1n n a ta n ++ÎN 为等比数列C ．()*243n n n a a a n ++=+ÎN D ．()20242023113ii i a a =-=-å三、填空题5．（2023·上海·模拟预测）数列{}n a 满足()*120,N n n n a a a n +=¹Î，且2a 与4a 的等差中项是5，则12n a a a ++×××+= ；6．（2023·浙江·二模）已知等比数列{}n a 满足()114n n n a a a +-=-，则公比q = .7．（2023·云南昆明·模拟预测）已知数列{}n a 满足11a =，*1()3n n na a n a +=Î-N ，则n a = ．四、解答题8．（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列{}n a 满足11262,4n n n a a a +=+×=.(1)证明数列2nn a ìüíýîþ为等差数列，并求n a ；(2)求数列{}n a 的前n 项和n S .9．（2024·四川绵阳·模拟预测）已知数列{}n a 中，113a =，12n n n a a a +=-*(N )n Î.(1)证明：1{1}na -是等比数列；(2)求数列1{}na 的前n 项和.10．（2022·全国·模拟预测）已知数列{}n a 的首项为147a =，且满足14(*)31n n n a a n a +=Î+N .(1)求证：数列11n a ìü-íýîþ为等比数列；(2)设11n n b n a æö=-ç÷èø，求数列{}n b 的前n 项和n T .。