求数列通项公式的方法教案例题习题定稿版

求数列通项公式的十种方法一、公式法例1 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+⨯，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解：1232n n n a a +=+⨯两边除以12n +，得113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2n n a 是以1222a 11==为首项，以23为公差的等差数列，由等差数列的通项公式,得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222n n a n =-。

评注:本题解题的关键是把递推关系式1232n n n a a +=+⨯转化为113222n n n na a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22n n a n =+-,进而求出数列{}n a 的通项公式。

二、利用{1(2)1(1)n n S S n S n n a --≥==例2．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{}n b 的前n 项和，对任意正整数2(1)n a n =-+，34n n T S n -=.求数列{}n b 的通项公式；解： 22(1)4231a n a d S n n n n =-+∴=-=-=--23435T S n n n n n ∴=+=-- (2)分 当1,35811n T b ===--=-时当2,626 2.1n b T T n b n n n n n ≥=-=--∴=---时……4分练习：1。

已知正项数列｛a n ｝，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1，a 3，a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2）,②由①－②得 10a n =（a n 2－a n －12）+6(a n －a n －1），即（a n +a n －1）（a n －a n －1－5）=0 ∵a n +a n －1>0 ， ∴a n －a n －1=5 (n ≥2）当a 1=3时，a 3=13，a 15=73 a 1, a 3，a 15不成等比数列∴a 1≠3;当a 1=2时， a 3=12, a 15=72， 有 a 32=a 1a 15 ， ∴a 1=2， ∴a n =5n －3三、累加法例3 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，,求数列{}n a 的通项公式。

求数列通项公式的十种方法一.公式法 例1已知数列｛勺｝满足d”|=2勺+3x2", q=2,求数列｛勺｝的通项公式。

扌，故数列｛影｝是 以沪知为首项，以扌为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，畤“+心)|,3 1 所以数列｛©｝的通项公式为a n =(-n —)2\2 2评注：本题解题的关键是把递推关系式。

心=2©+3><2”转化为增一牛=3,说明数列 2 2 2 ｛*｝是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出*=1+5—1)_,进而求出数列 2 2 2｛q r ｝的通项公式。

例2.若S”和7；分别表示数列｛©｝和0｝的前"项和，对任意正整数a n =-2(n + l), T n -3S n =4n.求数列｛b K ｝的通项公式；解：•/ a fj = -2(n + I)/. “] = -4 cl = -2 = 一昇 一 3n.・.坊=3»+4"=-3舁2_5加 2 分 当 ”=1 时,7j 訥=—3—5=—8 当 n>2^\,b f J =T f J —7^2—1 =-6/2—2 ........... . ^=—6/2—2. 4 分I练习：1.已知正项数列｛an ｝,其前n 项和Sn 满足10Sn=an 2+5a n +6且a 】,a3,a 】5成等 比数列，求数列｛%｝的通项％. 解：T 105>訂+5/+6,① ・：108产日「+5/+6,解之得创=2或力产3,又 10$-产②-：+5②T +6(〃$2),②由①—②得 10a = (a^—a…-i 2) +6(a…—a…-x ),即(8”+$Q (%—/一】—5) =0T 色+/_1>0 , 二 a :—乔产5 (77^2) •当 ai =3 时，a.\— 13* ^i5=73. EL \* 越，去不成等比数列Si^3； 当 ai —2 时» 3.\— 12 9 ai5=72,有 &3 二日15 、二2, • • @7二5/7 —3,三、累加法 例3已知数列｛©｝满足如=©+2几+ 1, q=l,求数列｛©｝的通项公式。

求数列的通项公式的方法1.定义法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式。

例1．等差数列{}n a 是递增数列，前n 项和为n S ，且931,,a a a 成等比数列，255a S =．求数列{}n a 的通项公式.解：设数列{}n a 公差为)0(>d d∵931,,a a a 成等比数列，∴9123a a a =， 32n a f ++=经验证11=a 也满足上式，所以])1(2[312---+=n n n a 点评：利用公式⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-211n S S n S a n n n n 求解时，要注意对n 分类讨论，但若能合写时一定要合并．练一练：①已知{}n a 的前n 项和满足2log (1)1n S n +=+，求n a ；②数列{}n a 满足11154,3n n n a S S a ++=+=，求n a ；3.作商法：已知12()n a a a f n =求n a ，用作商法：(1),(1)(),(2)(1)n f n f n a n f n =⎧⎪=⎨≥⎪-⎩。

如数列}{n a 中，,11=a 对所有的2≥n 都有2321n a a a a n = ，则=+53a a ______；4.累加法：若1()n n a a f n +-=求n a ：11221()()()n n n n n a a a a a a a ---=-+-++-1a +(2)n ≥。

例3.已知数列{}n a 满足211=a ，nn a a n n ++=+211，求n a 。

解：由条件知：111121-===-+a a n n 21a a ⋅⋅⋅(n （1）形如1n n a ka b -=+、1n n n a ka b -=+（,k b 为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k 的等比数列后，再求n a 。

①1n n a ka b -=+解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中pq t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。

求数列的通项公式(教案+例题+习题)第一章：数列的定义与通项公式的概念1.1 数列的定义引导学生回顾数列的定义：数列是按照一定的顺序排列的一列数。

强调数列的三个要素：项、项数、排列顺序。

1.2 通项公式的概念解释通项公式的定义：数列中第n项与项数n之间的关系式。

强调通项公式的作用：可以确定数列中任意一项的值。

第二章：等差数列的通项公式2.1 等差数列的定义引导学生回顾等差数列的定义：相邻两项之差为常数的数列。

强调等差数列的特点：相邻两项的差是固定的。

2.2 等差数列的通项公式推导等差数列的通项公式：an = a1 + (n-1)d解释公式中的参数：an表示第n项的值，a1表示首项的值，d表示公差，n表示项数。

第三章：等比数列的通项公式3.1 等比数列的定义引导学生回顾等比数列的定义：相邻两项之比为常数的数列。

强调等比数列的特点：相邻两项的比是固定的。

3.2 等比数列的通项公式推导等比数列的通项公式：an = a1 q^(n-1)解释公式中的参数：an表示第n项的值，a1表示首项的值，q表示公比，n表示项数。

第四章：数列的通项公式求法4.1 观察法介绍观察法求通项公式的方法：通过观察数列的规律，找出通项公式。

举例讲解观察法的应用。

4.2 递推法介绍递推法求通项公式的方法：通过数列的递推关系式，推导出通项公式。

举例讲解递推法的应用。

第五章：数列通项公式的应用5.1 求数列的前n项和引导学生回顾数列的前n项和的定义：数列前n项的和。

讲解利用通项公式求数列的前n项和的方法。

5.2 求数列的特定项的值讲解利用通项公式求数列中特定项的值的方法。

5.3 数列的极限引导学生回顾数列极限的定义：数列项数趋于无穷大时，数列的和或特定项的值的趋近值。

讲解利用通项公式分析数列极限的方法。

第六章：多项式数列的通项公式6.1 多项式数列的定义引导学生回顾多项式数列的定义：数列的每一项都是多项式。

强调多项式数列的特点：每一项都可以表示为变量的幂次乘以系数。

数列专项-2 类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项。

例1.写出下列数列的一个通项公式a n（1）-1,4，-9,16，-25,36，......；（2）2,3,5,9,17,33，......。

类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前n 项和n S 与n a 的关系，求数列{}n a 的通项n a 可用公式 11,(1),(2)n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩构造两式作差求解。

用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即1a 和n a 合为一个表达，（要先分1n =和2≥n 两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）。

例2.设数列{}a n 的前n 项和为()()*∈-=N n a S n n 131 （1）求21a a 、；（2）求数列n a 的通项公式。

例3.设数列{}a n 的前n 项和为()*∈+=N n a S nn 12，求证n a 为等比数列并求其通项公式。

类型Ⅲ 累加法：形如)(1n f a a n n +=+型的递推数列（其中)(n f 是关于n 的函数）可构造： 11221(1)(2)..(1.)n n n n a a f n a a f n a a f ----=⎧⎪⎪⎨--=--=⎪⎪⎩ 将上述1-n 个式子两边分别相加，可得：1(1)(2)...(2)(1),(2)n a f n f n f f a n =-+-+++≥适用于)(n f 是可求和的情况。

①若()f n 是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和;例4.设数列{}a n 满足11=a ，121+=-+n a a n n ，求数列的通项公式。

② 若()f n 是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;例5.设数列{}a n 满足21=a ，n n n a a 21=-+，求数列的通项公式。

一．观察法之宇文皓月创作例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，…（2） ,17164,1093,542,211（3） ,52,21,32,1（4） ,54,43,32,21-- 解：（1）变形为：101－1，102―1，103―1，104―1，……∴通项公式为：110-=n n a（2）;122++=n n n a n（3）;12+=n a n（4）1)1(1+⋅-=+n na n n.点评：关键是找出各项与项数n的关系。

二、公式法：当已知条件中有a n 和s n 的递推关系时，往往利用公式：a n ＝1*1(1)(2,)n n s n s s n n N -=⎧⎪⎨-≥∈⎪⎩来求数列的通项公式。

例1： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，(1)求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；解：(1)∵a 1=f (d －1) = (d －2)2，a 3 = f (d +1)= d 2，∴a 3－a 1=d 2－(d －2)2=2d ，∴d =2，∴a n =a 1+(n －1)d = 2(n －1)；又b 1= f (q +1)=q 2，b 3 =f (q －1)=(q －2)2，∴2213)2(qq b b -==q 2，由q ∈R ，且q ≠1，得q =－2，∴b n =b ·qn－1=4·(－2)n －1例 2. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ⋅⋅=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）(A)122-=n a n (B)42+=n a n (C) 122+-=n a n(D)102+-=n a n解析：设等差数列的公差位d ，由已知⎩⎨⎧==+⋅⋅+12348)()(3333a d a a d a ， 解得⎩⎨⎧±==243d a ，又{}n a 是递减数列， ∴2-=d ，81=a ，∴=--+=)2)(1(8n a n 102+-n ，故选(D)。

数列通项公式的常用方法及例题一、公式法：已知或根据题目的条件能够推出数列{}n a 为等差或等比数列，根据通项公式()d n a a n 11-+=或11-=n n q a a 进行求解.例1：已知{}n a 是一个等差数列，且5,152-==a a ，求{}n a 的通项公式.二、n s 与n a 的关系式法：⎩⎨⎧≥-==-2,1,11n S S n S a n n n 例2：已知数列{}n a 的前n 项和12-=n n s ，求通项n a .例3：已知数列{}n a 的前n 项和n s 满足n n s a 311=+，其中11=a ，求n a .三、累加法：()n f a a n n =--1，()的函数是一个关于n n f例4：12,011-+==+n a a a n n ，求通项n a四、累乘法：()1n n a f n a -=，()的函数是一个关于n n f 例5：111,1n n n a a a n -==- ()2,n n N *≥∈ 求通项n a五、构造法： ㈠、两边加常数：在数列{}n a 中有1n n a ka b -=+（,k b 均为常数且0k ≠），从表面形式上来看n a 是关于1n a -的“一次函数”的形式，这时用下面的方法:处理方法：设1n n a ka b λλ-+=++ 则1()n n b a k a kλλ-++=+ b k λλ+=令 1b k λ∴=- 111111n n n n b b a k a k k b a k k b a k --⎛⎫∴+=+ ⎪--⎝⎭+-∴=⎛⎫+ ⎪-⎝⎭ ∴数列1n b a k ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是以k 为公比，11b a k +-以为首项的等比数列，借助它去求n a 例6：已知111,21n n a a a -==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a（二）两边加指数函数式：在数列{}n a 中有m n n c ba a +=+1（c b ,为常数且不为0，*,N n m ∈）型的数列求通项n a . 处理方法：两边同除以1+n c，得到一个“1n n a ka b -=+”型的数列，再用上面（一）方法处理，便可求出nn c a 的通式，从而求出n a . 例7：{}1113,232,.n n n n n a a a a a ++==+数列满足：求（三）、取倒数法：适用于11n n n ka a ma p --=+()2,n n N *≥∈（,,k m p 均为常数0m ≠）， 两边取倒数后得到一个新的特殊(等差或等比)数列或类似于1n n a ka b -=+的式子. 例8：已知11122,2n n n a a a a --==+ ()2,n n N *≥∈ 求通项n a（四）、取对数法：适用于1(2)p q n n a a n -=≥（,p q 为非零常数） 例9：已知()2113,2n n a a a n -==≥ 求通项n a能力提升1．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( )A ．15B ．16C ．49D ．642．已知数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n ，则a 2 013等于( )A ．2 013×2 014B ．2 012×2 013C ．2 011×2 012D ．2 013×2 0133．已知数列{x n }满足x 1＝1，x 2＝23，且1x n －1＋1x n ＋1＝2x n(n ≥2)，则x n 等于( ) A ．(23)n －1 B ．(23)n C.n ＋12 D.2n ＋14．已知数列{a n }中a 1＝1，a n ＝12a n －1＋1(n ≥2)，则a n ＝( ) A ．2－(12)n －1 B ．(12)n －1－2 C ．2－2n －1 D ．2n －1 5．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝32a n －3，则这个数列的通项公式a n ＝( ) A ．2(n 2＋n ＋1) B ．2·3n C ．3·2n D ．3n ＋16．在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋()11+n n ，则通项公式a n ＝________. 7．已知数列{a n }的首项a 1＝12，其前n 项和S n ＝n 2a n (n ≥1)，则数列{a n }的通项公式为 8．在数列{a n }中，a 1＝1，当n ≥2时，有a n ＝3a n －1＋2，则a n ＝________.9．在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ≥2)，则a n ＝________.10．若数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.11．已知{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1＝a n 3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． 12．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足： a n ＝b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1，求数列{b n }的通项公式．。

求数列的通项公式（教案+例题+习题）一、教学目标1. 理解数列的概念，掌握数列的基本性质。

2. 学会求解数列的通项公式，并能应用于实际问题。

3. 培养学生的逻辑思维能力和运算能力。

二、教学内容1. 数列的概念与基本性质2. 数列的通项公式的求法3. 数列通项公式的应用三、教学重点与难点1. 教学重点：数列的概念，数列的通项公式的求法及应用。

2. 教学难点：数列通项公式的推导和应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解数列的概念、性质及通项公式的求法。

2. 利用例题，演示数列通项公式的应用过程。

3. 布置习题，巩固所学知识。

五、教学过程1. 引入数列的概念，讲解数列的基本性质。

2. 讲解数列通项公式的求法，引导学生掌握求解方法。

3. 通过例题，演示数列通项公式的应用，让学生理解并掌握公式。

4. 布置习题，让学生巩固所学知识，并提供解题思路和指导。

5. 总结本节课的重点内容，布置课后作业。

教案结束。

例题：已知数列的前n项和为Sn = n(n+1)/2，求该数列的通项公式。

解答：由数列的前n项和公式可知，第n项的值为Sn S(n-1)。

将Sn = n(n+1)/2代入上式，得到第n项的值为：an = Sn S(n-1) = n(n+1)/2 (n-1)n/2 = n/2 + 1/2。

该数列的通项公式为an = n/2 + 1/2。

习题：1. 已知数列的前n项和为Sn = n^2，求该数列的通项公式。

2. 已知数列的通项公式为an = 2n + 1，求该数列的前n项和。

3. 已知数列的通项公式为an = (-1)^n，求该数列的前n项和。

4. 已知数列的通项公式为an = n^3 6n，求该数列的前n项和。

5. 已知数列的通项公式为an = 3n 2，求该数列的前n项和。

六、教学目标1. 掌握数列的递推关系式，并能运用其求解数列的通项公式。

2. 学习利用函数的方法求解数列的通项公式。

3. 提升学生分析问题、解决问题的能力。