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垂径定理三、证明猜想，归纳定理四、新知强化，巩固定理问题：问题：在圆形纸片上画一条直径CD，在直径CD上取一点E（点E与O不重合），过点E画一条弦AB，然后沿CD对折，观察线段AE是否等于BE？如何才能使得直径CD平分弦AB？你发现了什么结论？提出猜想：根据以上的研究和图，我们可以大胆提出这样的猜想（1）过圆心；（2）垂直于弦；（3）平分弦；（4）平分弦所对的优弧；（5）平分弦所对的劣弧．验证猜想：教师用电脑课件演示图中沿直径CD对折，这条特殊直径两侧的图形能够完全重合，并给这条特殊的直径命名为——垂直于弦的直径。
1．证明猜想：猜想是否正确，还有待于证明。
引导学生从等腰三角形和圆的对称性两方面寻找证明思路.2．归纳定理：根据上面的证明，请学生自己用文字语言进行归纳，并将其命名为“垂径定理”.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.尝试练习1.下列图形中能否得到AE=BE，为什么？回忆轴对称图形的性质，引导学生来证明圆是轴对称图形.在对圆是轴对称图形证明的基础上，通过折纸，体验垂径定理的形成过程，帮助学生分析垂径定理的条件和结论。
同时又为学习推论作好准备.用两个简单的练习题来进一步加深学生对垂径定理的理解.对运用垂径定理来解决赵州桥的问题打下基础.多媒体投影OCD AB EAE BDCDAC BCAD BD=⎧⎫⎪⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩是圆的直径于⌒⌒⌒⌒EODCBAABDCEO图1 图2 图3 图4 2．如图,已知⊙O 的半径OB=5，OP ⊥AB ，垂足为P ，且OP=3，则AB=______ . 探究3：在圆上任意作一条弦AB ，你能否找到平分弦AB 的直径CD? 思考：此时AB 与CD 的位置关系？ 想一想： 如果弦AB 是过圆心的弦呢?平分弦AB 的直径CD 一定会垂直弦AB 吗？ 思考：已知CD 是直径，且平分弦AB,能否得到 CD ⊥AB ，且平分弧ACB 及弧AB? 猜想： CD 是圆O 的直径 AE=BE A BD CE O A B E O C DP OB A垂径定理推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.问题 ：你知道赵州桥吗?它是我国隋代建造的石拱桥, 距今有1400年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥是圆弧形,它的跨度(弧所对的弦的长)为37.4m, 拱高(弧的中点到弦的距离)为7.2m ，你能求出赵洲桥主桥拱的半径吗？方法总结：1、作辅助线：作垂直、连半径2、构造直角三角形1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果AB=20，CD=16，那么线段OE 的长为（ ）. A.4 B.6 2．已知⊙O 中，若弦AB 的长为8cm ，圆心O 到弦AB 的距离（弦心距）为3cm ，求⊙O 的半径。
教学设计课程基本信息学科数学年级九年级学期秋季课题 3.3垂径定理（第一课时）教科书书名：《义务教育教科书数学（九年级上册）》出版社：浙江教育出版社教学目标1. 经历探索垂径定理的过程.2. 探索并掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.3. 会运用垂径定理解决一些简单的几何问题.教学内容教学重点：垂径定理教学难点：垂径定理的推导过程以及垂径定理的灵活运用教学过程一：创设情境引入新课问题1：如图，剪一个圆形纸片，沿着它的任意一条直径对折，重复做几次，你发现了什么？由此你能得到什么结论？我们发现在折叠的过程中，直径两侧的部分会完全重合，因此我们得到结论：圆是轴对称图形任何一条直径所在直线都是它的对称轴．问题2：如图，在⊙O中任意作一条弦AB，观察下面的图形，它还是轴对称图形吗，若是，你能作出它的对称轴吗？二：师生互动共创新知已知：如图，CD是⊙O的直径，CD⊥AB，求证：AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂.分析：利用半径来构造等腰三角形来证明AE=BE；弧等可以利用同圆或等圆中两弧的端点重合来证明.垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.几何语言：∵CD是直径，CD⊥AB，∴AE=BE，AĈ=BĈ，AD̂=BD̂. 三：应用新知层层深入B OACD下列图形是否适合用垂径定理呢？例1 已知AB̂，用直尺和圆规作这条弧的中点 分析：要平分弧，找到这条弧的中点，让我们联想到了垂径定理的 基本图形，所以第一步我们先连结AB ，然后再画出垂直弦AB 的过圆心的一条直线即可，所以第二步，作AB 的垂直平分线CD ， 交弧AB 于点E.例2 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.分析:为求O 到AB 的距离，我们先过点O 作OC ⊥AB ，即求OC的长度，观察图形发现OC 在直角三角形OBC 中，其中半径 OB=10，由于OC ⊥AB ，由垂径定理可得BC 等于AB 的一半等于8， 那么根据勾股定理即可得到OC 的长度.变式：一条排水管的截面如图所示。
《垂径定理》教学设计教案第一章：导入教学目标：1. 激发学生对垂径定理的兴趣。
2. 引导学生通过实际问题发现垂径定理。
教学内容：1. 引导学生回顾圆的性质和基本概念。
2. 提出问题：在圆中，如何判断一条直线是否垂直于一条弦？教学活动：1. 利用实物或图片展示圆和直线，引导学生观察和思考。
2. 引导学生通过实际操作，尝试判断直线是否垂直于弦。
教学评估：1. 观察学生在实际操作中的表现，了解他们对垂径定理的理解程度。
第二章：探索垂径定理教学目标：1. 帮助学生理解和掌握垂径定理的内容。
2. 培养学生通过几何推理解决问题的能力。
教学内容：1. 引导学生通过几何推理，探索垂径定理。
2. 引导学生验证垂径定理的正确性。
教学活动：1. 引导学生通过画图和几何推理，探索垂径定理。
2. 组织学生进行小组讨论，分享各自的解题思路和方法。
教学评估：1. 观察学生在探索过程中的表现，了解他们的思考和解决问题的能力。
第三章：应用垂径定理教学目标：1. 帮助学生掌握垂径定理的应用方法。
2. 培养学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 引导学生运用垂径定理解决实际问题。
教学活动：1. 引导学生学习和掌握垂径定理的应用方法。
2. 组织学生进行实际问题解决练习，引导学生运用垂径定理。
教学评估：1. 观察学生在实际问题解决中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第四章：巩固与提高教学目标：1. 帮助学生巩固垂径定理的知识。
2. 提高学生解决实际问题的能力。
教学内容：1. 引导学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学活动：1. 组织学生进行垂径定理的知识巩固练习。
2. 引导学生运用垂径定理解决更复杂的问题。
教学评估：1. 观察学生在练习中的表现，了解他们巩固垂径定理的能力。
2. 观察学生在解决更复杂问题中的表现，了解他们运用垂径定理的能力。
第五章：总结与拓展教学目标：1. 帮助学生总结垂径定理的主要内容和应用方法。
01教材版本02内容概述冀教版数学九年级上册本节课主要学习垂径定理，掌握垂径定理的证明方法及其应用。
通过本节课的学习，学生将能够了解垂径定理的基本概念、性质和应用，提高数学分析和解决问题的能力。
教材版本及内容概述01知识与技能掌握垂径定理及其证明方法；能够运用垂径定理解决相关问题。
02过程与方法通过观察、实验、推理等活动，培养学生的数学思维和探究能力。
03情感态度与价值观培养学生严谨的数学态度和探究精神，提高数学学习的兴趣和自信心。
教学目标与要求0102直尺、圆规、三角板等教学用具。
投影仪、电脑等多媒体教学设备，展示垂径定理的相关图形和动画演示。
教具准备多媒体资源教具准备和多媒体资源圆的性质及定义02圆是平面上所有与定点（圆心）距离等于定长（半径）的点的集合。
01圆的性质包括圆心到圆上任意一点的距离都等于半径，以及圆具有旋转对称性。
通过圆心且两端点都在圆上的线段，是圆中最长的弦。
直径半径弦连接圆心和圆上任意一点的线段。
连接圆上任意两点的线段，不一定是直径。
030201直径、半径、弦等概念1 2 3顶点在圆心的角，其大小由所截取的弧长决定。
圆心角圆上两点间的部分，分为优弧和劣弧。
弧在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
这一关系在垂径定理的证明和应用中起到重要作用。
圆心角、弧、弦之间的关系圆心角、弧、弦之间的关系垂径定理的表述垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
推论平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理的几何意义揭示了弦、直径和弦所对的弧之间的内在联系。
为解决与弦、弧有关的问题提供了重要的理论依据。
在圆中，经常利用垂径定理将已知条件与所求目标进行转化，从而简化问题。
已知条件在⊙O中，CD是直径，AB是弦，且AB⊥CD于点E。
求证AE=BE，弧AC=弧BC，弧AD=弧BD。
01证明过程02连接OA、OB，由于OA=OB（半径相等），∠OEA=∠OEB=90°（已知），OE=OE（公共边）。
《垂径定理》教学设计教案第一章：教学目标1.1 知识与技能目标理解垂径定理的概念和意义。
学会运用垂径定理解决实际问题。
1.2 过程与方法目标通过观察和实验，发现垂径定理的规律。
学会运用几何画图工具，准确地画出垂直平分线。
1.3 情感态度与价值观目标培养学生的观察能力和思维能力。
培养学生的合作意识和解决问题的能力。
第二章：教学内容2.1 教材分析介绍垂径定理的内容和证明过程。
通过实际例题，展示垂径定理的应用。
2.2 学情分析学生已经掌握了直线、圆的基本概念和性质。
学生具备一定观察和实验的能力。
第三章：教学过程3.1 导入新课通过一个实际问题，引发学生对垂径定理的思考。
引导学生观察和实验，发现垂径定理的规律。
3.2 探究与发现学生分组进行实验，观察垂直平分线与弦的关系。
引导学生总结垂径定理的表述。
3.3 知识讲解讲解垂径定理的证明过程。
通过示例，解释垂径定理的应用。
3.4 练习与巩固学生独立完成一些练习题，巩固对垂径定理的理解。
教师引导学生互相讨论和解答问题。
第四章：教学评价4.1 课堂评价教师通过观察学生的实验和练习情况，评价学生对垂径定理的理解和应用能力。
学生之间互相评价，分享解题经验和思路。
4.2 课后评价教师布置一些相关的课后作业，检验学生对垂径定理的掌握程度。
学生通过完成作业，进一步巩固和提高垂径定理的应用能力。
第五章：教学资源5.1 教材教师使用的教材，包括课本和相关教辅材料。
5.2 实验材料学生分组进行实验所需的材料，如几何画图工具、圆规、直尺等。
5.3 多媒体教学资源利用多媒体课件和教学视频，帮助学生更好地理解和掌握垂径定理。
第六章：教学策略6.1 讲授法教师通过讲解垂径定理的证明过程和应用实例，引导学生理解和掌握知识点。
6.2 实验法学生通过分组实验，观察和验证垂径定理，培养动手能力和观察能力。
6.3 讨论法教师组织学生进行小组讨论，分享解题经验和思路，促进互动交流。
第七章：教学难点与重点7.1 教学难点学生对垂径定理的证明过程的理解和应用。
垂径定理推论应用教学设计一、教学背景垂径定理是初中数学中的重要定理之一，是学生在几何学习中的基础内容。
该定理表明，如果一个直径上的两个点与圆上的另外两个点连线垂直且相交于一点，那么这个交点将成为一个直角。
垂径定理的推论应用较为多种多样，能够帮助学生巩固并拓展他们的几何知识。
二、教学目标1. 理解和应用垂径定理推论的概念和基本原理；2. 能够分析和解决涉及垂径定理推论的几何问题；3. 发展学生的几何思维和推理能力。
三、教学内容与过程1. 导入：通过几个简单的例子，复习和巩固学生对垂径定理的理解和应用。
引导学生思考如何利用垂径定理推论解决几何问题。
2. 理论讲解：系统性地讲解垂径定理的推论应用，包括以下几个方面：a. 推论一：垂径定理的逆命题。
如果一个直径上的两个点与圆上的另外两个点连线不垂直，那么这四个点将不共圆心，不成直角。
b. 推论二：垂径定理的逆命题。
如果一个直径上的两个点与圆上的另外两个点连线不垂直，那么这四个点将不共圆心，不成直角。
c. 推论三：两个互相垂直的直径将平分彼此。
d. 推论四：两个平分彼此的互相垂直的直径。
e. 推论五：直径的两条弦所成的角等于直径所对的弧所对的圆心角的一半。
3. 练习与讨论：提供一系列练习题，让学生运用垂径定理推论解决几何问题。
通过小组讨论和全班讨论，激发学生的思考和合作能力。
教师应及时给予指导和反馈。
4. 拓展训练：提供一些拓展性的问题，让学生扩展对垂径定理推论的应用。
鼓励学生独立思考和解决问题的能力。
四、教学评价1. 课堂表现：观察学生在课堂上对垂径定理推论应用的理解和运用情况。
包括思考问题的能力、合作交流的能力和解决问题的能力。
2. 作业评价：布置适当的作业，检验学生对垂径定理推论应用的掌握情况。
作业内容可以包括选择题、解答题和综合运用题等。
3. 小结与回顾：通过课堂小结和回顾，检查学生对垂径定理推论应用的理解程度。
提醒学生注意易错点和容易混淆的概念。
