高三数学分段函数

高中分段函数求解技巧口诀分段函数是高中数学中比较重要的一个概念，它的解法是将整个自变量的定义域划分成不同的区间，并在每个区间内给出不同的函数表达式。

掌握分段函数的求解技巧可以帮助我们更好地理解和应用数学知识。

第一节：分段函数的图象一、定义函数体```plain定义域上，看函数体；画纵轴，分段写。

```二、取定义域```plain看矩阵的左右，找交集全等。

```三、划分区间```plain定义域中间横，取极限临。

```四、确定函数式```plain划竖线，命函数形；填函数，选函数式。

```第二节：分段函数的取值一、分析关系```plain找横线，有无交点；若有，找横，知关系；若无，找横，无关系。

```二、分情况```plain关系式，有两种；分情况，来讨论。

```第三节：分段函数的解析一、选择域```plain定义域，和问题域；选交集，作定义域。

```二、排除谬误```plain注意谬误，别两误；取定义，排多余。

```三、分情况```plain问题域，依关系；分情况，来解析。

```四、化简式```plain化简式，分三种；一元式，二元式。

```第四节：分段函数的性质一、分析定义```plain连续性，特殊点；关系性，分段式。

```二、求特征```plain极端值，极限值；奇偶性，有无解。

```三、确定趋势```plain左右极限，研判特性；分子分母，退特征。

```四、综合分析```plain总性质，综合观；切点图，带参看。

```第五节：分段函数的应用一、定义写```plain清醒明确，共理解。

```二、按需选```plain有条件，求最值；极限值，变介值。

```三、画图观```plain定义写，画线段；按条件，分区间。

```四、根据题意```plain找关系，写条件；设未知，代求解。

```以上是一些高中分段函数求解技巧的口诀，通过口诀的串联，可以帮助我们更加系统地理解和掌握分段函数的求解技巧。

但是，还需要多做题，多观察，多总结，才能真正掌握这些技巧，并能熟练地运用到解题过程中。

高三分段函数知识点总结在高中数学中，分段函数是一个非常重要的知识点。

它不仅在数学课堂上出现频率较高，而且在现实生活中也有很多实际应用。

掌握分段函数的相关知识，对于提高数学水平和解决实际问题都有着重要的意义。

一、分段函数的概念和定义所谓分段函数，就是将一个定义域分为若干子区间，并且每个子区间上都有一个特定的函数表达式。

在每个子区间上，函数的表达式都是简单的一次或多次函数。

具体来说，一个分段函数可以写成以下形式：\[ f(x) = \begin{cases}f_1(x), & a \leq x < b \\f_2(x), & b \leq x < c \\\cdots \\f_n(x), & y_m \leq x < y_{m+1} \\\end{cases} \]其中，f1(x), f2(x), ..., fn(x)是定义在子区间[a, b), [b, c), ..., [ym, ym+1)上的函数。

每个子区间的两个端点都是开区间，即不包含边界。

二、分段函数的图像特点绘制分段函数的图像是理解和运用分段函数的重要手段。

根据分段函数的定义，我们可以得出以下图像特点：1. 在子区间[a, b)上，函数的图像是一条直线或曲线；2. 在子区间[b, c)上，函数的图像是另一条直线或曲线；3. 不同子区间之间的连接点通常是开口；通过观察一个分段函数的图像，我们可以分别对每个子区间上的函数进行分析，从而确定函数的性质和变化趋势。

三、分段函数的应用举例分段函数的应用非常广泛，几乎涉及到了数学的各个领域。

以下是一些具体的应用示例：1. 路程和时间的关系。

设一辆汽车以常速行驶，行驶时间t与行驶路程d之间的关系可以用分段函数表示。

在不同的行驶时间段内，汽车的行驶速度可能不同，因此在不同的时间段内可能存在多个定义子区间和函数表达式。

2. 升学率与学生积极性的关系。

假设一个学校的升学率与学生积极性之间存在一定的关系，可以用一个分段函数进行表示。

高三分段函数单调性练习题分段函数是数学中常见的函数形式，其特点是定义域被分成多个部分，并在每个部分使用不同的函数规则进行描述。

掌握分段函数的单调性是解题的基本要求，下面我们来进行一些分段函数单调性的练习。

题目一：判断函数f(x) = x+1 (x≤0)， f(x) = x^2 (x>0) 的单调性。

解析：首先，我们将函数f(x)分成两个部分，其定义域也相应分为两部分：x≤0和x>0。

当x≤0时，函数f(x) = x+1，这是一个线性函数，其单调性可直接判断。

由于系数为1，可以知道在x≤0的范围内，函数f(x)是递增的。

当x>0时，函数f(x) = x^2，这是一个二次函数。

我们可以通过求导数的方法来判断它的单调性。

求导得到f'(x) = 2x，在x>0的范围内，f'(x)始终大于0，说明函数f(x)在此范围内是递增的。

综上所述，函数f(x)在整个定义域内都是单调递增的。

题目二：判断函数g(x) = 3x-1 (x≤-1)， g(x) = x^2 (x>-1) 的单调性。

解析：同样地，我们将函数g(x)分成两个部分，其定义域也相应分为两部分：x≤-1和x>-1。

当x≤-1时，函数g(x) = 3x-1，这是一个线性函数，其单调性可直接判断。

由于系数为3，可以知道在x≤-1的范围内，函数g(x)是递增的。

当x>-1时，函数g(x) = x^2，这是一个二次函数。

我们同样可以通过求导数的方法来判断其单调性。

求导得到g'(x) = 2x，在x>-1的范围内，f'(x)始终大于0，说明函数g(x)在此范围内是递增的。

综上所述，函数g(x)在整个定义域内都是单调递增的。

通过以上练习题，我们可以发现，对于分段函数的单调性判断，可以分别对每个部分进行讨论，并结合函数的具体形式来判断单调性。

对于线性函数来说，系数的正负决定了函数的单调性；对于二次函数来说，可以通过求导数的方法来判断。

第一讲 分段函数【基础知识】1.定义：一般地在定义域不同的部分上，有不同的解析式，像这样的函数通常叫做分段函数.2.理解：（1）分段函数是一个函数，而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是自变量各段取值的并集；分段函数的值域是各段函数值的并集。

（3）写分段函数的定义域时，区间端点位置要不重不漏.3. 类型：（1）取整函数：f(x)=[x]([x]表示不大于x 的最大整数）.（2）f(x)=（-1)x = -1,x 为正奇数1，x 为非付偶数（3）含绝对值符号的函数.如f(x)=|x+2|= x+2,x ≥2,-(x+2),x<-2（4）自定义函数. 如 -x-1,x ≤-1,f(x) = x 2-x-2,-1<x ≤2,x-2,x>24. 分段函数的图像（1）翻折法 （2）对折法 （3）分类讨论法【典型分析】题型一：分段函数的求值【例1】设函数,,,,)1()1(lg 2)(2>≤+=⎩⎨⎧--x x x x x x f 则f[f(-4)]=________.【例2】已知,,,,)0()0(log )(3≤>⎩⎨⎧+=x x b a x x f x 且f(0)=2,f(-1)=3,则f(f(-3))等于________.【例3】已知函数,,,,)31()3()3()1()(<≥⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x f x f x 则f(2+log 32)的值为_________.【例4】已知函数)34()0()0(1)1()(,,,,cos 2f x x x f x f x 则>≤⎩⎨⎧+-=π的值为________.【例5】函数,,,,)21()1(2)(2<<-⎩⎨⎧+-≤=x x x x x f 若f(x)=3,则x=________.题型二：分段函数与方程、不等式问题【例6】函数,,,,,)4()42()2(31)(≥<<--≤⎪⎩⎪⎨⎧+=x x x x x x x f 若f(a)<-3,则a 的取值范围是________.【例7】已知函数,,,,)1()1()1(log 22)(21>⎩⎨⎧+--≤=-x x x x f x 且f(a)=-3，则f(6-a)=________.【例8】已知函数,,,,)0()0(2log )(31≤>⎪⎩⎪⎨⎧=x x x x f x 若21)(>a f ,则a 的取值范围是______.。

分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。

本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。

1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。

通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。

在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。

2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。

在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。

需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。

3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。

需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。

4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。

当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。

例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。

5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

x 2【经典例题赏析】例1 .求函数f (X ) 【解析】当x 0时, 分段函数及题型 4x 3 (x 0)x 3 (0 x 1)的最大值.x 5 (x 1)f max ( x) f(0) 3,当 0 x 1 时，f max (x) f (1) 4 x 5 1 5 4,综上有 f max (x) 4.例2 .在同一平面直角坐标系中 ,函数y f (x)和y g(x)的图象关于直线y x 对称，现将y g(x)的图象沿x 轴向左平移 2个单位, 再沿y 轴向上平移1个单位，所得的图象是由两条线段组成的折线 (如图所示),则函数 f (x)的表达式为() 答案A. f(x)2x 2 今2 (1 (0 x 0)x 2)B. f(x)2x 2 今2 (1 (0 x 0)x 2)C. f(x)2x 2 今1 (1 (2 2)4)D. f(x) 2x 6今3 (1 (2 2)4)例3 .判断函数f(x) x 2(x 1) (x x 2(x 1)(x 0)的奇偶性. 0)【解析】当x 0时，x 0, f( x) x)2( x 1) x 2(x 1) f (x),当 x f( 0) f (0) 0, 当x 0, 0,f( x) (x)2( x 1) x 2(x 1) f (x)因此, 对于任意x R 都有f( x) f(x),所以f(x)为偶函数.1 o 2f '(x) 3x 2 1 1恒成立,所以f (x)是单调递增函数,当x 0 f (x)也是单调递增函数,所以f (x)在R 上是单调递增函数 或画图易知f(x)在R 上是单调递增函数 例5 .写出函数f (x) |1 2x| |2 x|的单调减区间.3x 1 (x 4)【解析】f(x) 3 x (-2x2),画图易知单调减区间为(，弓］.3x 1 (x 2)x 2 1 (x 0)例6 .设函数f(x) 1,若f(x 。

)1 ,则x 0得取值范围是( )答案D.x 2 (x 0)f (x) 1 4 \ x 1 1 \ x 1 3 x 10 , 0 x 10, 故选A 项.例4 .判断函数f(x) X 3 x(x X 2 (x 0)的单调性. 0) 【解析】 A.( 1,1) B.( 1,)C.( ,2) (0, )D. ( , 1) (1,) 例7 .设函数 f(x)(x 1)2 (x 1) 则使得f (x) 1的自变量x 4 、、x 1 (x 1) 的取值范围为 () A .(, 2] [0,10] B. (,2] [0,1] C.(, 2] [1,10] D. [2,0] [1,10] 【解析】 当 x 1 时，f (X )1 (x 1)21 x 2或x 0 , 所以x 2或0 x 1, 显然f(x)连续.当x 0时,时,f '(x) 2x 0恒成立, 所以1 x 10 , 综上所述,1 .函数y3 函数y lg x ()A.是偶函数，在区间（B.是偶函数，在区间（C.是奇函数，在区间（0,D是奇函数，在区间（0, 2、画出函数y |x 1|针对性课堂训练,0）上单调递增,0）上单调递减）上单调递增）上单调递减|2x 3|在区间［4,3）的图象3x 2(4 x 3)3x 2(1 x 3)4 •某商品在近30天内每件的销售价格p （元）与时间t （天）的函数关系是t 20,t 100, 0 t25 t25,t N,该商品的日销售量30,t N. Q （件）与时间t （天）的函数关系是t 40 (0 t 30,t N），求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天?。

分段函数的性质与应用分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。

即“分段函数——分段看” 一、基础知识：1、分段函数的定义域与值域——各段的并集2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图像判断分段函数奇偶性。

如果不便作出，则只能通过代数方法比较()(),f x f x -的关系，要注意,x x -的范围以代入到正确的解析式。

4、分段函数分析要注意的几个问题（1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。

否则是断开的。

例如：()221,34,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩，将3x =代入两段解析式，计算结果相同，那么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。

再比如 ()221,31,3x x f x x x -≤⎧=⎨->⎩中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。

（2）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。

例如：()13f x x =-+，可转化为：()13,113,1x x f x x x -+≥⎧=⎨-+<⎩5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便必要时进行数形结合。

高考分段函数知识点高考是每个学生都将经历的一次重要考试，它对于一个人的人生道路具有至关重要的影响。

其中，数学科目一直被认为是让人头疼的科目之一。

而在数学中，分段函数是一个重要的知识点。

本文将向大家介绍高考分段函数的相关知识点。

一、分段函数的定义分段函数是指由两个或多个函数组成的函数，其定义域上按照不同的条件来确定函数表达式。

通常情况下，每个函数表达式只在特定的子区间上有效。

二、分段函数的表示方式在数学中，对于分段函数的表示方式有两种常见的形式，分别是符号函数和条件函数。

1. 符号函数：符号函数是一种用数系的符号表示函数。

一般来说，符号函数的定义可以写成 f(x) = {±1, x＞0或x＜0}，表示在不同的区间上函数取不同的值。

2. 条件函数：条件函数是一种用条件表达式表示函数的形式。

它的定义可以写成 f(x) = {f₁(x), x ∈ D₁；f₂(x), x ∈ D₂；f₃(x), x ∈D₃……}，其中D₁、D₂、D₃……表示不同的区间，f₁(x)、f₂(x)、f₃(x)……表示不同的函数表达式。

三、分段函数的性质1. 连续性：一段函数在其定义域上是否连续是其性质之一。

对于分段函数而言，每个子区间内的函数表达式都是连续的，即在各个子区间的边界处函数值存在且相等。

2. 求导性质：在求导过程中，需要根据不同的子区间分别对函数进行求导。

首先，找到函数在定义域内的各个子区间，然后对每个子区间内的函数进行求导，最后将求导结果合并。

3. 极值问题：对于分段函数来说，极值问题也是一个值得关注的问题。

因为分段函数在定义域的不同子区间内可能存在多个极值点，所以需要根据实际题目的条件来确定具体的极值点。

四、解题技巧1. 确定分段函数的子区间：在解答分段函数的题目时，首先需要确定函数的定义域和区间。

这一步是解题的基础，也是问题的关键。

2. 绘制函数图像：根据所给的函数表达式和子区间，可以尝试绘制出函数的图像。

2023届高考数学专项（分段函数）题型归纳与练习【题型归纳】题型一 、分段函数的求值问题由于分段函数的答案解析式与对应的定义域有关，因此求值时要代入对应的答案解析式。

含有抽象函数的分段函数，在处理里首先要明确目标，即让自变量向有具体答案解析式的部分靠拢，其次要理解抽象函数的含义和作用（或者对函数图象的影响）例1、（2021∙江西南昌市∙高三期末（理））已知定义在R 上的奇函数满足，且当时，，其中a 为常数，则的值为（ ） A ．2B ．C ．D ． 变式1、（辽宁省沈阳市2020‐2021学年高三联考）函数21,13()(4),3x x f x f x x --≤<⎧=⎨-≥⎩，则(9)f = ______． 变式2、（2021∙山东临沂市∙高三二模）已知奇函数，则（ ）A ．B ．C ．7D ．11变式3、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）对于给定正数k ，定义(),()(),()k f x f x kf x k f x k ≤⎧=⎨>⎩，设22()252f x ax ax a a =--++，对任意x ∈R 和任意(,0)a ∈-∞恒有()()k f x f x =，则（ ） A ．k 的最大值为2 B ．k 的最小值为2C ．k 的最大值为1D ．k 的最小值为1题型二、与分段函数有关的方程或不等式含分段函数的不等式在处理上通常是两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解。

另一种是通过作出分段函数的图象，数形结合，利用图像的特点解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R ，函数f (x )=24,43,x x x x x λλ-≥⎧⎨-+<⎩，当λ=2时，不等式f (x )<0的解集是___________．若函数f (x )恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．变式1、（2021∙浙江高三期末）已知，则______；若，则______．变式2、（2021∙山东烟台市∙高三二模）已知函数是定义在区间上的偶函数，且当()f x ()(6)f x f x =-03x ≤<21),01()2(2),13a x x f x x x ++≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩(2019)(2020)(2021)f f f ++2-1212-()()31,0,0x x f x g x x ⎧-<⎪=⎨>⎪⎩()()12f g -+=11-7-(),201,0x x f x x x ⎧≥=⎨-+<⎩()2f =()2f α=α=()f x ()(),00,-∞+∞时，，则方程根的个数为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6变式3、（2021∙山东高三其他模拟）已知，，则方程的解的个数是（ ） A ．B ．C ．D ．题型三、分段函数的单调性分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。

高中数学的分段函数分段函数是数学中非常重要的一个概念，它在高中阶段的数学学习中经常出现，不仅涉及到函数的定义与求值，还涉及到图像的绘制与性质的分析。

下面我将从分段函数的基本概念、定义与性质、图像分析等几个方面进行详细阐述，希望能够帮助你对高中数学中的分段函数有更深入的理解。

首先，我们先来了解一下分段函数的基本概念。

所谓分段函数，就是由两个或多个函数在不同的区间上组合而成的函数。

它的定义域被划分成多个不同的区间，并且在每个区间上有不同的函数式。

每一个区间上的函数式称为分段函数的一个分段。

分段函数常常由符号函数来定义，符号函数是根据自变量的取值范围判断所需函数的类型。

例如，当x小于其中一特定值时，分段函数的定义可能由多项式函数、指数函数或三角函数等组成；当x大于或等于这个特定值时，分段函数的定义可能完全由不同的多项式函数、指数函数或三角函数等组成。

其次，我们来详细了解分段函数的定义与性质。

分段函数的定义在每个区间上不同，因此我们需要将函数式按照每个区间进行表示。

例如，对于一个分段函数f(x)，其定义域可以分为多个区间[a,b]、(b,c)、(c,d]等。

对于每个区间，我们需要确定相应的函数式，即f(x)={f1(x)，a≤x≤b；f2(x)，b<x<c；f3(x)，c≤x≤d}。

在每个区间上，分段函数的性质可能与其对应的函数式有关。

例如，在[a,b]区间上的函数式f1(x)的性质可能是可导函数，而在(b,c)区间上的函数式f2(x)的性质可能是不可导函数。

最后，我们可以通过对分段函数的图像进行进一步的分析。

我们可以从图像的形状、连续性、单调性等方面来推断函数的性质。

例如，如果分段函数在一些区间上是光滑的、单调增加的，那么该区间上的函数式可能是一个增函数。

通过观察图像的局部特点，我们还可以找到函数的最大值、最小值以及极值点等。

通过对图像的分析，我们不仅可以了解函数的特点，还可以对函数进行进一步的运算和研究。