高中数学函数知识点总结(经典收藏)
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高中数学函数知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
{}{}{}C B A x y y x C x y y B x y x A 、、,,,如:集合lg |),(lg |lg |======
中元素各表示什么?
A 表示函数y=lgx 的定义域,
B 表示的是值域,而
C 表示的却是函数上的点的轨迹
2 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集的特殊情况 注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
{}
{}如:集合,A x x x B x ax =--===||22301
若,则实数的值构成的集合为
B A a ⊂
(答:,,)-⎧
⎨⎩
⎫⎬⎭1013
显然,这里很容易解出A={-1,3}.而B 最多只有一个元素。故B 只能是-1或者3。根据条件,可以得到a=-1,a=1/3. 但是,这里千万小心,还有一个B 为空集的情况,也就是a=0,不要把它搞忘记了。
3. 注意下列性质:
{}()集合,,……,的所有子集的个数是;1212a a a n n
要知道它的来历:若B 为A 的子集,则对于元素a 1来说,有2种选择(在或者不在)。同样,对于元素a 2, a 3,……a n ,都有2种选择,所以,总共有
2n 种选择,即集合A 有2n 个子集。
当然,我们也要注意到,这2n 种情况之中,包含了这n 个元素全部在何全部不在的情况,故真子集个数为21n -,非空真子集个数为22n -
()若,;2A B A B A A B B ⊆⇔==
(3)德摩根定律:
()()()()()()C C C C C C U U U U U U A B A B A B A B ==,
有些版本可能是这种写法,遇到后要能够看懂
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于的不等式
的解集为,若且,求实数x ax x a
M M M a --<∈∉5
0352 的取值范围。
()(∵,∴
·∵,∴
·,,)
335
30
555
50
15392522∈--<∉--≥⇒∈⎡
⎣
⎢⎫⎭⎪M a a M a a
a
注意,有时候由集合本身就可以得到大量信息,做题时不要错过;如告诉你函数f(x)=ax 2+bx+c(a>0) 在(,1)-∞上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,就应该马上知道函数对称轴是x=1.或者,我说在上,也应该马上可以想到m ,n 实际上就是方程的2个根 5、熟悉命题的几种形式、
()()().
∨∧⌝可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”,“且”和“非”若为真,当且仅当、均为真p q p q ∧ 若为真,当且仅当、至少有一个为真p q p q ∨ 若为真,当且仅当为假⌝p p
命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。 6、熟悉充要条件的性质(高考经常考)
x x A |{=满足条件}p ,x x B |{=满足条件}q ,
若;则p 是q 的充分非必要条件B A _____⇔; 若;则p 是q 的必要非充分条件B A _____⇔;
若;则p 是q 的充要条件B A _____⇔;
若;则p 是q 的既非充分又非必要条件___________⇔;
7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射? (一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。)
注意映射个数的求法。如集合A 中有m 个元素,集合B 中有n 个元素,则从A 到B 的映射个数有n m 个。
如:若}4,3,2,1{=A ,},,{c b a B =;问:A 到B 的映射有个,B 到A 的映射
有个;A 到B 的函数有个,若}3,2,1{=A ,则A 到B 的一一映射有个。 函数)(x y ϕ=的图象与直线a x =交点的个数为个。 8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
()()
例:函数的定义域是
y x x x =
--432
lg ()()()(答:,,,)022334
函数定义域求法: ● 分式中的分母不为零;
● 偶次方根下的数(或式)大于或等于零; ● 指数式的底数大于零且不等于一;
● 对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。
● 正切函数x y tan =⎪⎭
⎫
⎝
⎛∈+≠∈Z π
πk k x R x ,2,且 ● 余切函数x y cot =()Z π∈≠∈k k x R x ,,且
●
反三角函数的定义域
函数y =arcsinx 的定义域是 [-1, 1],值域是,函数y =arccosx
的定义域是 [-1, 1] ,值域是 [0, π] ,函数y =arctgx 的定义域是
R ,值域是
.,函数y =arcctgx 的定义域是 R ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。 10. 如何求复合函数的定义域?
[]
如:函数的定义域是,,,则函数的定f x a b b a F(x f x f x ())()()>->=+-0
义域是_____________。[](答:,)a a -
复合函数定义域的求法:已知)(x f y =的定义域为[]n m ,,求[])(x g f y =的定义域,可由n x g m ≤≤)(解出x 的范围,即为[])(x g f y =的定义域。
例若函数)(x f y =的定义域为⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡2,21
,则)(log 2x f 的定义域为。