江苏省南通市2014届高三第三次模拟考试数学试题 Word版含解析

南通市2014届高三第三次调研测试历史要求。

1．战国《吕氏春秋·任地》载：“上田弃亩(垄)，下田弃圳(沟)；五耕五耨，必审以尽；其深殖之度，阴土必得，大草不生，又无螟蜮(虫类)；今兹美禾，来兹美麦。

”材料表明这一时期A．铁犁牛耕成为主要耕作方式B．农业生产已经懂得精耕细作C．水利灌溉推动农业迅速发展D．私有制提高了土地利用效率2．据江苏尹湾汉墓出土的考古文物《集簿》记载，当时东海郡有“县、邑、侯国卅八：县十八，侯国十八，邑二。

乡百七十，□百六，里二千五百卅四，正二千五百卅二人。

亭六百八十八，卒二千九百七十二人。

”此记载A．说明封国仍是朝廷的严重威胁D．佐证了西汉时期曾在地方分封诸侯C．表明西汉以前郡县制尚未推行D．填补了县以下基层机构的史籍空白3．唐代在两京及州县以上地方置“市”，设“市令”“丞”，到宋代发展为在京城及地方路府州县镇市置“税务”来管理市场。

上述变化反映出宋代政府A．不再直接监管市场交易B．垄断商业的局面被打破C．摒弃传统重农抑商政策D．通过征税来直接监管市场4．《明世宗实录》载：“先是都察院差御史巡盐，(皇帝)批答稍误，以未下阁臣票拟也。

刑科给事中黄臣谏曰：‘我朝设立内阁，……凡百章奏，先行票拟。

今使内阁虚代言之职，中贵肆专擅之奸，关系匪轻，渐不可长。

容臣封还原本，以重命令。

’疏入，即改批如制。

”对材料解读正确的是A．阁臣票拟严重制约了皇权B．内阁地位较明初大为下降C．内阁成为法定的决策机构D．皇帝批答须先经内阁票拟5．下列两幅图是近代中国不同时期的通商口岸示意图。

通商口岸开辟的变化，反映出这一阶段A．中国领土主权一步步遭到破坏C．西方列强完全垄断中国进出口贸易C．外国侵略势力从沿海深入到内地D．中国开始沦为半殖民地化半封建社会6．李鸿章在对《开平矿务局招商章程》的批示中指出：在用人上，“各厂司事人等，应于商股内选充，不得引用私人”；在财务上，“煤铁钱银出入，即派司事随时登注流水簿，每月一结，每年总结。

2014年江苏省南通市高考数学三模试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题(本大题共14小题，共70.0分)1.已知集合A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，则A∩B= ______ ．【答案】{1，2}【解析】解：∵A={x|1≤x≤2}，B={1，2，3，4}，∴A∩B={1，2}．故答案为：{1，2}由A与B，找出两集合的交集即可．此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．2.已知复数z满足z•i=1+i（i是虚数单位），则z= ______ ．【答案】1-i【解析】解：由z•i=1+i，得．故答案为：1-i．把给出的等式两边同时乘以i，然后由复数代数形式的除法运算化简求值．本题考查了复数代数形式的除法运算，是基础的计算题．3.袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为______ ．【答案】【解析】解：从五个球中取出2球，共有=10种不同情况，而且这些情况是等可能发生的，其中取出的球颜色相同，共有+=2种不同情况，∴取出的球颜色相同的概率为P==，故答案为：先计算从五个球中取出2球的基本事件总数，再计算所取2球球颜色相同的基本事件个数，代入古典概型公式，可得答案．此题考查了古典概型概率计算公式，掌握古典概型概率公式：概率=所求情况数与总情况数之比是解题的关键．4.平面α截半径为2的球O所得的截面圆的面积为π，则球心O到平面α的距离为______ ．【答案】【解析】解：∵截面圆的面积为π，∴截面圆的半径是1，∵球O半径为2，∴球心到截面的距离为．故答案为：．先求截面圆的半径，然后求出球心到截面的距离．本题考查球的体积，点到平面的距离，是基础题．5.如图所示的流程图，输出y的值为3，则输入x的值为______ ．【答案】1【解析】解：由程序框图知：算法的功能是求y=＞的值，当x＞0时，y=2x+1=3⇒x=1；当x≤0时，y=2x+1=3⇒x=1（舍去），故答案为：1．算法的功能是求y=＞的值，分当x＞0时和当x≤0时求得输出y=3时的x值．本题考查了选择结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是关键．6.一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，则此组数据的标准差是______ ．【答案】2【解析】解：∵一组数据2，x，4，6，10的平均值是5，∴2+x+4+6+10=5×5，解得x=3，∴此组数据的方差[（2-5）2+（3-5）2+（4-5）2+（6-5）2+（10-5）2]=8，∴此组数据的标准差S==2．故答案为：2 ．由已知条件先求出x 的值，再计算出此组数据的方差，由此能求出标准差．本题考查一组数据的标准差的求法，解题时要认真审题，注意数据的平均数和方差公式的求法．7.在平面直角坐标系x O y 中，曲线C 的离心率为 ，且过点（1， ），则曲线C 的标准方程为 ______ ． 【答案】 y 2-x 2=1 【解析】解：∵曲线C 的离心率为 ， ∴a =b ，∴设曲线C 的方程为y 2-x 2=λ， 代入点（1， ），可得λ=1， ∴曲线C 的标准方程为y 2-x 2=1， 故答案为：y 2-x 2=1．根据曲线C 的离心率为 ，设曲线C 的方程为y 2-x 2=λ，代入点（1， ），可得λ=1，即可求出曲线C 的标准方程．本题考查双曲线的标准方程与几何性质，属于基础题．8.已知函数f （x ）对任意的x ∈R 满足f （-x ）=f （x ），且当x ≥0时，f （x ）=x 2-ax +1，若f （x ）有4个零点，则实数a 的取值范围是 ______ ． 【答案】 （2，+∞） 【解析】解：∵f （-x ）=f （x ）， ∴函数f （x ）是偶函数， ∵f （0）=1＞0，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f （x ）有2个零点，即 ＞＞，∴或 ， 解得a ＞2，即实数a 的取值范围（2，+∞）， 故答案为：（2，+∞） 由f （-x ）=f （x ），可知函数是偶函数，根据偶函数的对称轴可得当x ≥0时函数f （x ）有2个零点，即可得到结论．本题主要考查函数奇偶的应用，以及二次函数的图象和性质，利用偶函数的对称性是解决本题的关键．9.已知正实数x ，y 满足（x -1）（y +1）=16，则x +y 的最小值为 ______ ． 【答案】 8【解析】解：∵正实数x ，y 满足（x -1）（y +1）=16， ∴，∴x+y==8，当且仅当y=3，（x=5）时取等号．∴x+y的最小值为8．故答案为：8．变形利用基本不等式即可得出．本题考查了变形利用基本不等式的性质，属于基础题．10.在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4．若点D满足=-2，则||= ______ ．【答案】10【解析】解：由=-2可知B为AD的中点，如图，在直角三角形ABC中，C=90°，AC=6，BC=4，∴，∴．在△CBD中，由余弦定理得：CD2=BC2+BD2-2BC•BD•cos CBD==100．∴CD=10．即||=10．故答案为：10．由题意作出图形，得到B为AD的中点，由已知条件求得 CBD的余弦值，在△CBD中利用余弦定理得答案．本题考查了平行向量与共线向量，考查了余弦定理的应用，是基础的计算题．11.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象如图所示，则f（2）=______ ．【答案】-【解析】解：根据函数f（x）=sin（ωx+φ）的图象可得•T=•=3-1，ω=．再根据五点法作图可得×1+φ=，∴φ=-，∴f（x）=sin（x-），∴f（2）=sin（-）=sin=-sin=-，故答案为：-．根据周期求出ω，再根据五点法作图求得φ，可得函数的解析式，从而求得f（2）的值．本题主要考查利用y=A sin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题．12.在平面直角坐标系x O y中，圆C的方程为x2+y2-4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是______ ．【答案】[-2，2]【解析】解：∵C的方程为x2+y2-4x=0，故圆心为C（2，0），半径R=2．设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，故有PC=R=2，∴圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，解得k2≤8，可得-2≤k≤2，故答案为：[-2，2]．由题意可得圆心为C（2，0），半径R=2；设两个切点分别为A、B，则由题意可得四边形PACB为正方形，圆心到直线y=k（x+1）的距离小于或等于PC=2，即≤2，由此求得k的范围．本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．13.设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．若a1＜a2，b1＜b2，且b i=a i2（i=1，2，3），则数列{b n}的公比为______ ．【答案】3+2【解析】解：设等差数列{a n}的公差为d，由a1＜a2可得d＞0，∴b1=a12，b2=a22=（a1+d）2，b3=a32=（a1+2d）2，∵数列{b n}为等比数列，∴b22=b1•b3，即（a1+d）4=a12•（a1+2d）2，∴（a1+d）2=a1•（a1+2d）①或（a1+d）2=-a1•（a1+2d），②由①可得d=0与d＞0矛盾，应舍去；由②可得a1=d，或a1=d，当a1=d时，可得b1=a12=b2=a22=（a1+d）2=，此时显然与b1＜b2矛盾，舍去；当a1=d时，可得b1=a12=，b2=（a1+d）2=，∴数列{b n}的公比q==3+2，综上可得数列{b n}的公比q=3+2，故答案为：3+2设等差数列{a n}的公差为d，可得d＞0，由数列{b n}为等比数列，可得b22=b1•b3，代入化简可得a1和d的关系，分类讨论可得b1和b2，可得其公比．本题考查等差数列与等比数列的性质，涉及分类讨论的思想，属中档题．14.在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当 C变化时，线段CD长的最大值为______ ．【答案】3【解析】解：如右图：∵AB=BD，∴在△ABC中，由正弦定理得，∴BD sin ABC=sin ACB，在△BCD中，CD2=BD2+BC2-2BD•BC cos（90°+ABC）=AB2+2+2BD sin ABC=AC2+BC2-2AC•BC cos ACB+2+2sin ACB=5-2cos ACB+2sin ACB=5+4sin（ ACB-45°），∴当 ACB=135°时CD2最大为9，CD最大值为3，故答案为：3．在△ABC中，由正弦定理得BD sin ABC=sin ACB，在△BCD，△ABC中由余弦定理可得CD2=BD2+BC2-2BD•BC cos（90°+ABC）=AC2+BC2-2AC•BC cos ACB+2+2sin ACB，可化为5+4sin（ ACB-45°），由此可求答案．该题考查正弦定理、余弦定理及其应用，考查三角函数的恒等变换，属中档题．二、解答题(本大题共12小题，共162.0分)15.如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD是矩形，DE⊥平面ABCD．（1）求证：AB∥EF；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】证明：（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，因为AB⊄平面CDEF，CD⊂平面CDEF，所以AB∥平面CDEF．…4分因为AB⊂平面ABFE，平面ABFE∩平面CDEF=EF，所以AB∥EF．…7分（2）因为DE⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以DE⊥BC．…9分因为BC⊥CD，CD∩DE=D，CD，DE⊂平面CDEF，所以BC⊥平面CDEF．…12分因为BC⊂平面BCF，所以平面BCF⊥平面CDEF．…14分．【解析】（1）由四边形ABCD是矩形，得到AB∥平面CDEF，由此能证明AB∥EF．（2）由已知条件推导出DE⊥BC，从而得到BC⊥平面CDEF，由此能证明平面BCF⊥平面CDEF．本题考查直线平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．16.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若b=4，•=8．（1）求a2+c2的值；（2）求函数f（B）=sin B cos B+cos2B的值域．【答案】解：（1）∵•=8，∴accos B=8，由余弦定理得b2=a2+c2-2accos B=a2+c2-16，∵b=4，∴a2+c2=32；（2）∵a2+c2≥2ac，∴ac≤16，∵accos B=8，∴cos B=≥，∵B∈（0，π），∴0＜B≤，∵f（B）=sin B cos B+cos2B=sin2B+（1+cos2B）=sin（2B+）+，∵＜2B+≤，∴sin（2B+）∈[，1]，则f（B）的值域为[1，]．【解析】（1）利用平面向量的数量积运算法则化简•=8，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及b的值代入计算即可求出a2+c2的值；（2）由基本不等式求出ac的范围，根据accos B=8表示出cos B，由ac的范围求出cos B的范围，进而利用余弦函数性质求出B的范围，f（B）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，整理为一个角的正弦函数，由B的范围求出这个角的范围，利用正弦函数的值域即可确定出f（B）的范围．此题考查了正弦、余弦定理，平面向量的数量积运算，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的值域，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．17.某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿弧的弧形小路，在路的一侧边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1）设 BAC=θ（弧度），将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）试确定θ的值，使得绿化带总长度最大．【答案】解：（1）由题意，AC=100cosθ，直径AB为100米，∴半径为50米，圆心角为2θ，∴=100θ，∴绿化带总长度S（θ）=200cosθ+100θ（θ∈（0，）；（2）∵S（θ）=200cosθ+100θ，∴S′（θ）=-200sinθ+100，令S′（θ）=0，可得θ=．函数在（0，）上单调递增，在（，）上单调递减，∴θ=时，绿化带总长度最大．【解析】（1）利用三角函数结合弧长公式，可将绿化带总长度表示为θ的函数S（θ）；（2）求导数，确定函数的单调性，即可确定θ的值，使得绿化带总长度最大．利用导数可以解决实际问题中的最值问题，关键是确定函数解析式，正确运用导数工具，确定函数的单调性．18.如图，在平面直角坐标系x O y中，椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，AB+CD=7．（1）求椭圆的方程；（2）求AB+CD的取值范围．【答案】解：（1）由题意知，，CD=7-2a，所以a2=4c2，b2=3c2，…2分因为点，在椭圆上，即，解得c=1．所以椭圆的方程为．…6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知AB+CD=7；…7分②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x-1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（3+4k2）x2-8k2x+4k2-12=0，所以，，所以．…10分同理，．所以，…12分令t=k2+1，则t＞1，3+4k2=4t-1，3k2+4=3t+1，设，因为t＞1，所以，，所以，，所以，．综合①与②可知，AB+CD的取值范围是，．…16分．【解析】（1）由题意知，，CD=7-2a，再由点，在椭圆上，能求出椭圆的方程．（2）当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在时，AB+CD=7；当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），设直线AB的方程为y=k（x-1），直线CD的方程为．由此能求出，从而能求出AB+CD的取值范围．本题考查椭圆的方程的求法，考查两条线段和的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意分类讨论思想的合理运用．19.已知函数f（x）=（x-a）2e x在x=2时取得极小值．（1）求实数a的值；（2）是否存在区间[m，n]，使得f（x）在该区间上的值域为[e4m，e4n]？若存在，求出m，n的值；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）f'（x）=e x（x-a）（x-a+2），由题意知f'（2）=0，解得a=2或a=4．当a=2时，f'（x）=e x x（x-2），易知f（x）在（0，2）上为减函数，在（2，+∞）上为增函数，符合题意；当a=4时，f'（x）=e x（x-2）（x-4），易知f（x）在（0，2）上为增函数，在（2，4），（4，+∞）上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的a=2．（2）因为f（x）≥0，所以m≥0．①若m=0，则n≥2，因为f（0）=4＜e4n，所以（n-2）2e n=e4n．设，则′，所以g（x）在[2，+∞）上为增函数．由于g（4）=e4，即方程（n-2）2e n=e4n有唯一解为n=4．②若m＞0，则2∉[m，n]，即n＞m＞2或0＜m＜n＜2．（Ⅰ）n＞m＞2时，，由①可知不存在满足条件的m，n．（Ⅱ）0＜m＜n＜2时，，两式相除得m（m-2）2e m=n（n-2）2e n．设h（x）=x（x-2）2e x（0＜x＜2），则h'（x）=（x3-x2-4x+4）e x=（x+2）（x-1）（x-2）e x，h（x）在（0，1）递增，在（1，2）递减，由h（m）=h（n）得0＜m＜1，1＜n＜2，此时（m-2）2e m＜4e＜e4n，矛盾．综上所述，满足条件的m，n值只有一组，且m=0，n=4．【解析】（1）通过求导直接得出，（2）构造出新函数通过求导得出方程组，解得即可．本题考察了求导函数，函数的单调性，解题中用到了分类讨论思想，是一道较难的问题．20.各项均为正数的数列{a n}中，设S n=a1+a2+…+a n，T n=++…+，且（2-S n）（1+T n）=2，n∈N*．（1）设b n=2-S n，证明数列{b n}是等比数列；（2）设c n=na n，求集合{（m，k，r）|c m+c r=2c k，m＜k＜r，m，k，r∈N*}．【答案】解：（1）当n=1时，（2-S1）（1+T1）=2，即，解得a1=1．…2分由（2-S n）（1+T n）=2，所以①当n≥2时，②①-②，得（n≥2），…4分即，即，所以，因为数列{a n}的各项均为正数，所以数列{2-S n}单调递减，所以＜．所以（n≥2）．因为a1=1，所以b1=1≠0，所以数列{b n}是等比数列． (6)分（2）由（1）知，所以，即．由c m+c r=2c k，得（*）又n≥2时，＜，所以数列{c n}从第2项开始依次递减．…8分（Ⅰ）当m≥2时，若k-m≥2，则，（*）式不成立，所以k-m=1，即k=m+1．…10分令r=m+1+i（i∈N*），则，所以r=2i+1，即存在满足题设的数组{（2i+1-i-1，2i+1-i，2i+1）}（i∈N*）．…13分（Ⅱ）当m=1时，若k=2，则r不存在；若k=3，则r=4；若k≥4时，，（*）式不成立．综上所述，所求集合为{（1，3，4），（2i+1-i-1，2i+1-i，2i+1）}（i∈N*）．…16分．【解析】（1）根据等比数列的定义即可证明数列{b n}是等比数列；（2）根据数列的递推关系即可得到结论．本题主要考查递推数列的应用，以及等比数列的定义，考查学生的计算能力，难度较大．21.如图，圆O的两弦AB和CD交于点E，EF∥CB，EF交AD的延长线于点F．求证：△DEF∽△EAF．【答案】证明：∵EF∥CB，∴ BCD=FED，又 BAD与 BCD是所对应的圆周角，∴ BAD=BCD∴ BAD=FED，又 EFD=EFD，∴△DEF∽△EAF．【解析】利用平行线的性质、相似三角形的判定定理即可得出．本题考查了平行线的性质、相似三角形的判定定理，属于基础题．22.若矩阵M=把直线l：x+y-2=0变换为另一条直线l′：x+y-4=0，试求实数a 值．【答案】解：设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P'的坐标为（x'，y'），则′=，所以′′…4分将点P'（x'，y'）代入直线l'：x+y-4=0，得（a-1）x+2y-4=0．即直线l的方程为．所以a=3．…10分．【解析】设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P'的坐标为（x'，y'），利用矩阵乘法得出坐标之间的关系，代入直线l′的方程，即可求得实数a的值；本题以矩阵为依托，考查矩阵的乘法，关键是正确利用矩阵的乘法公式．23.在平面直角坐标系x O y中，直线l经过点P（0，1），曲线C的方程为x2+y2-2x=0，若直线l与曲线C相交于A，B两点，求PA•PB的值．【答案】解：根据题意设直线l的参数方程为（t为参数，α为倾斜角），设A，B两点对应的参数值分别为t1，t2，将代入x2+y2-2x=0，整理可得t2+2t（sinα-cosα）+1=0，则PA•PB=|t1t2|=1．【解析】设出直线l的参数方程，A，B两点对应的参数值分别为t1，t2，将表示出x与y代入圆C方程，得到关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系即可求出所求式子的值．此题考查了直线与圆相交的性质，直线的参数方程，以及韦达定理，解题的关键是设出直线的参数方程．24.已知x＞0，y＞0，a∈R，b∈R．求证（）2≤．【答案】证明：∵x＞0，y＞0，∴x+y＞0，∴要证，即证（ax+by）2≤（x+y）（a2x+b2y）．即证xy（a2-2ab+b2）≥0，即证（a-b）2≥0，而（a-b）2≥0显然成立，故．【解析】利用“分析法”和不等式的性质即可证明．本题考查了“分析法”和不等式的性质证明不等式，属于基础题．25.在平面直角坐标系x O y中，已知定点F（1，0），点P在y轴上运动，点M在x轴上，点N为平面内的动点，且满足•=0，+=0．（1）求动点N的轨迹C的方程；（2）设点Q是直线l：x=-1上任意一点，过点Q作轨迹C的两条切线QS，QT，切点分别为S，T，设切线QS，QT的斜率分别为k1，k2，直线QF的斜率为k0，求证：k1+k2=2k0．【答案】（1）解：设点N（x，y），M（a，0），P（0，b）．∵可知，∴点P是MN的中点，∴，即，∴点M（-x，0），，．∴，，，．…3分∵，∴，即y2=4x．∴动点N的轨迹C的方程为y2=4x．…5分（2）证明：设点Q（-1，t），由于过点Q的直线y-t=k（x+1）与轨迹C：y2=4x相切，联立方程，整理得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0．…7分则△=4（k2+kt-2）2-4k2（k+t）2=0，化简得k2+tk-1=0．由题意知k1，k2是关于k的方程k2+tk-1=0的两个根，∴k1+k2=-t．又，∴k1+k2=2k0．∴k1+k2=2k0．…10分．【解析】（1）设点N（x，y），M（a，0），P（0，b），由已知条件推导出点M（-x，0），，，由此能求出动点N的轨迹C的方程．（2）设点Q（-1，t），联立方程，得k2x2+2（k2+kt-2）x+（k+t）2=0，由此利用根的判别式和韦达定理能证明k1+k2=2k0．本题考查点的轨迹方程的求法，考查斜率和相等的证明，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用．26.各项均为正数的数列{x n}对一切n∈N*均满足x n+＜2．证明：（1）x n＜x n+1；（2）1-＜x n＜1．【答案】解：（1）因为x n＞0，＜，所以＜＜，所以＞，且2-x n＞0．因为．所以，所以＜，即x n＜x n+1．…4分（注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：＞．①当n=1时，由题设x1＞0可知结论成立；②假设n=k时，＞，当n=k+1时，由（1）得，＞＞．由①，②可得，＞．…7分下面先证明x n≤1．假设存在自然数k，使得x k＞1，则一定存在自然数m，使得＞．因为＜，＞＞，＞＞，…，＞，与题设＜矛盾，所以，x n≤1．若x k=1，则x k+1＞x k=1，根据上述证明可知存在矛盾．所以x n＜1成立．…10分．【解析】（1）通过不等式的基本性质，化简证明即可．（2）利用数学归纳法的证明步骤，结合放缩法证明即可．本题考查数列与不等式的证明方法，数学归纳法的应用，也可以利用反证法证明．。

A BCD MNO（第14题图）2014年高考模拟试卷(2)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 .1．已知集合{}lg M x y x ==，{}21N x y x ==-，则M ∩N ＝ ． 2．复数(1i)i z =-(i 为虚数单位)的共轭复数为 ．3．已知函数22,0,(),0x x x f x ax bx x ⎧+≤=⎨+>⎩为奇函数，则a b += ．4．在某个容量为300的样本的频率分布直方图中，共有9个小长方形，若中间一个小长方形的面积等于其他8个小长方形面积和的15，则中间一组的频数为 .5．如图是一个算法的程序框图，其输出的结果是 ．6．已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>，若()0,()232f f ππ==,则实数ω的最小值为 ．7．数列{}n a 满足11()2n n a a n *++=∈N ,112a =-,n S 是{}n a 的前n 项和,则2011S = .8．若()0,3m ∈，则直线(2)(3)30m x m y ++--=与x 轴、y 轴围成的三角形的面积小于98的概率为 ．9．若中心在原点、焦点在y 轴上的双曲线的一条渐近线方程 为30x y +=，则此双曲线的离心率为 ．10．若不等式xy y x k29422≥+对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为 ．11．已知点,,,P A B C 是球O 表面上的四个点，且,,PA PB PC 两两成60角，1cm PA PB PC ===，则球的表面积为 2cm ．12．已知点G 、H 分别为ABC ∆的重心（三条中线的交点）、垂心（三条高所在直线的交点），若46AC AB ==，，则HG BC ⋅的值为 ．13. 若关于x 的方程43210x ax ax ax ++++=有实数根，则实数a 的取值范围为 ．14. 如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB ，CD 于点M ，N ，则当MNBN取最小值时，CN = ．二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）设函数()sin()(0,0)f x x ωϕωϕπ=+><<的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π，函数()2y f x π=+为偶函数．（1）求()f x 的解析式；(第5题图)b ←2b Y 输出b 开始 a ←1,b ←1 a ≤3 a ←a +1结束 N（2）若α为锐角，3()2125f απ+=，求sin 2α的值．16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，060DAB ∠=，平面PCD ⊥底面ABCD ，E 是AB 的中点，G 为PA 上的一点．（1）求证：平面GDE ⊥平面PCD ；（2）若//PC 平面DGE ，求PGGA 的值．17.（本小题满分14分）近日我渔船编队在钓鱼岛附近点A 周围海域作业，在B 处的海监15船测得A 在其南偏东45方向上，测得渔政船310在其北偏东15方向上，且与B 的距离为43海里的C 处．某时刻，海监15船发现日本船向在点A 周围海域作业的我渔船编队靠近，上级指示渔政船310立刻全速前往点A 周围海域执法，海监15船原地监测．渔政船310走到B 正东方向D 处时，测得距离B 为42海里．若渔政船310以23海里/小时的速度航行，求其到达点A 所需的时间．18. (本小题满分16分)已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ．（1）求椭圆C 的方程；（2）设F 是椭圆C 的右焦点，M 为椭圆上一点，以M 为圆心，MF 为半径作圆M ．问点M 的横坐标在什么范围内取值时，圆M 与y 轴有两个交点?B C DAPA B C D E G（3）设圆M 与y 轴交于D 、E 两点，求弦长DE 的最大值．19.（本小题满分16分）已知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，若()f x y x=在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“一阶比增函数”；若2()f x y x =在(0,)+∞上为增函数，则称()f x 为“二阶比增函数”.我们把所有 “一阶比增函数”组成的集合记为A ，所有“二阶比增函数”组成的集合记为B . （1）设函数32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈. ①求证：当0a =时，()f x A B ∈；②若()f x A ∈，且()f x B ∉，求实数a 的取值范围； （2）对定义在(0,)+∞上的函数()f x ，若()f x B ∈，且存在常数k ，使得(0,),()x f x k ∀∈+∞<，求证:()0f x <.20.（本小题满分16分）若数列{}n b 满足：对于N n *∈，都有2n n b b d +-=（常数），则称数列{}n b 是公差为d 的准等差数列．（1）若⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c n 求准等差数列{}n c 的公差，并求{}n c 的前19项的和19T ；（2）设数列{}n a 满足：1a a =，对于N n *∈，都有12n n a a n ++=．①求证：{}n a为准等差数列，并求其通项公式；②设数列{}n a的前n项和为n S，试研究：是否存在实数a，使得数列{}n S有连续的两项都等于50?若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相．．．．．．．．．．．应的答题区域内作答．．．．．．．．．．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，AB 是半圆的直径，C 是AB 延长线上一点，CD 切半圆于点D ，2CD =，DE AB ⊥，垂足为E ，且E 是OB 的中点，求BC 的长．B ．（选修４－２：矩阵与变换） 已知矩阵2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，2246B -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦． （1）求矩阵A 的逆矩阵；（2）求满足AX B =的二阶矩阵X ．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的参数方程为2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩，曲线D 的极坐标方程为sin()24πρθ+=-．（1）将曲线C 的参数方程化为普通方程； （2）曲线C 与曲线D 有无公共点？试说明理由．D ．（选修４－５：不等式选讲）已知x ，y ，z 均为正数．求证：111yx z yzzx xy xy z++?+．22．甲、乙两人参加某种选拔测试．在备选的10道题中，甲答对其中每道题的概率都是35，乙能答对其中的5道题．规定每次考试都从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，答对一题加10分，答错一题（不答视为答错）减5分，至少得15分才能入选．（1）求乙得分的分布列和数学期望；（2）求甲、乙两人中至少有一人入选的概率．23．设数集{}121,,,,n A x x x =-，其中120n x x x <<<<，2n ≥，向量集{}(,),,B a a x y x A y A ==∈∈.若12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，则称A 具有性质P .（1）若1a >，数集{}1,1,A a =-，求证：数集A 具有性质P ； （2）若2b >，数集{}1,1,2,A b =-具有性质P ，求b 的值； （3）若数集{}121,,,,n A x x x =-（其中120n x x x <<<<，2n ≥）具有性质P ，11x =，2x q =(q 为常数，1q >)，求数列{}k x 的通项公式k x *(,)k N k n ∈≤.2014年高考模拟试卷(2)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1.(]0,1；2.1i -；3.0；4.50；5. 16；6.3；7. 502；8. 23；9. 10； 10. 3；11.32π； 12. 203-.解析：2211()()()()33HG BC AG AH BC AG BC AC AB AC AB AC AB ⋅=-⋅=⋅=+⋅-=-203=-．另解：注意到题中的ABC ∆形状不确定，因此可取特殊情形90ACB ∠=，则点H 即为点A ，由此可迅速得到答案 ； 13. [)2,2,3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦； 14.512-. 二、解答题15. 解：（1）由题设：1,22T T ππ=∴=，22Tπω∴==，()2y f x π=+为偶函数，∴函数()f x 的图象关于直线2x π=对称，s i n()1πϕ∴+=或sin()1πϕ+=-，0ϕπ<<，2πϕ∴=，()sin(2)cos22f x x x π∴=+=；（2）3()2125f απ+=，3cos()65πα∴+=，α为锐角，4sin()65πα∴+=24sin 2()2sin()cos()66625πππααα∴+=++=，27c o s 2()2c o s ()16625ππαα∴+=+-=-， 241732473sin 2sin[2()]()6325225250ππαα+∴=+-=⨯--⨯=．16． （1）证明：设菱形ABCD 的边长为1，E 是AB 的中点，060DAB ∠=，PG211312cos60424DE ∴=+-⨯=， 222DE AE AD ∴+=，DE AE ∴⊥，DE CD ∴⊥，平面PCD ⊥底面ABCD ，平面PCD 底面ABCD CD =，DE ABCD ⊂，DE ∴⊥平面PCD ，又DE GED ⊂平面,∴平面GDE ⊥平面PCD ；（2）解：连接AC ，交DE 于H ，连接GH ，则//PC 平面DGE ，,PC PAC ⊂平面平面PCA 平面GDE GH =，//PC GH∴，2PG CH DCGA HA AB∴===. 17. 解：由题设，43,42,75,45,120,BC BD CBD ABD ABC ==∠=∠=∠= 在CBD ∆中，由余弦定理得，483224342cos752(62)CD =+-⨯⨯=+，在CBD ∆中，由正弦定理得，42sin 752,sin sin sin 7522(62)BD CD C C =∴==+，,090,45,1B D B C C C A <∴<<∴=∴=， 在ABC ∆中，由正弦定理得，sin sin120BC ACA =， s i n 12043s i n 1206(62)s i n s i n 15BC AC A ∴===+∴渔政船310从C 处到达点A 所需的时间为6(62)23+小时．18.解：(1)椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，2222121914a b a a b ⎧-=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，即22223401914a b a b ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2243a b ⎧=⎨=⎩， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=；(2)易求得(1,0)F ．设00(,)M x y ，则2200143x y +=， 圆M 的方程为22220000()()(1)x x y y x y -+-=-+，令0x =，化简得2002210y y y x -+-=，20044(21)0y x ∆=-->……①．将22003(1)4x y =-代入①，得20038160x x +-<，解出0004442233x x x -<<≤≤∴-≤<，又-2，；(3)设1(0,)D y ，2(0,)E y ，其中12y y <．由(2)，得222210000046444(21)38163()33DE y y y x x x x =-=--=--+=-++，当043x =-时，DE 的最大值为833．19. （1）①证明：当0a =时，2()4(0)f x x x x =->，()41f x y x x ∴==-在(0,)+∞上为增函数，()f x A ∴∈； 2()14f x y x x==-在(0,)+∞上为增函数，()f x B ∴∈，()f x A B ∴∈；②解：32()2(2)(1)(0,)f x ax a x a x x a R =--+->∈，()f x B ∉，∴由①知0a ≠，()f x A ∈，2()2(2)(1)f x y ax a x a x∴==--+-在(0,)+∞上为增函数， 020a a a>⎧⎪∴-⎨≤⎪⎩，02a ∴<≤（*） ()f x B ∉，2()12(2)f x a y ax a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数，2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上是增函数⇔12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，121212121()()()()0a a x x x x a f x f x x x ----=<， 结合（*）有12,(0,)x x ∀∈+∞，且12x x <，1210a x x a-->，01a ∴<≤结合（*）有2()12(2)f x a y a x a x x-==+--在(0,)+∞上不是增函数⇔12a <≤，∴实数a 的取值范围是12a <≤； （2）（用反证法）假设0(0,)x ∃∈+∞，0()0f x ≥，则：㈠若0()0f x >，记020()0f x m x =>， ()f x B ∈，2()f x y x∴=在(0,)+∞上为增函数， ∴当0x x >时，0220()()f x f x m x x >=，所以2()f x mx >， ∴一定可以找到一个10x x >，使得211()f x mx k >>，这与()f x k <矛盾；㈡若0()0f x =，则020()0f x x =，()f x B ∈，在(0,)+∞上为增函数，0x x ∴>时，0220()()0f x f x x x >=，即()0f x >，同㈠可得矛盾；()0f x ∴<.20. 解：（1）数列⎩⎨⎧+-=.9414为偶数时，当为奇数时；，当n n n n c nn 为奇数时，2[4(2)1](41)8n n c c n n +-=+---=，n 为偶数时，2[4(2)9](49)8n n c c n n +-=++-+=， ∴准等差数列{}n c 的公差为8，19(375)10(1781)983122T +⨯+⨯=+=； （2）①n a a n n 21=++ （*∈N n ）（i ）)1(221+=+++n a a n n （ii ）（ii ）-（i ）得22=-+n n a a （*∈N n ）． 所以，{}n a 为公差为2的准等差数列．当n 为偶数时，a n n a a n -=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-+-=2122，当n 为奇数时，解法一：12121-+=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-++=a n n a a n ；解法二：()[]11)1(2)1(21-+=----=--=-a n a n n a n a n n ；解法三：先求n 为奇数时的n a ，再用（i ）求n 为偶数时的n a 同样给分．⎩⎨⎧--+=∴为偶数）　（为奇数）（n a n n a n a n ,,1②解：当n 为偶数时，()2212212222221222n n n n a n n n a S n =⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⋅=；当n 为奇数时，()2212121212221212121⨯⎪⎭⎫⎝⎛---+-⋅-+⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛-++++⋅=n n n a n n n a S n 21212-+=a n ． 当k 为偶数时，50212==k S k ，得10=k ．由题意，有10502192129=⇒=-+⨯=a a S ；或1050211121211-=⇒=-+⨯=a a S ． 所以，10±=a ．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 解：连接OD ，则OD DC ⊥．在Rt OED ∆中，1122OE OB OD ==，30ODE ∴∠=．在Rt ODC ∆中，30DCO ∴∠=，由2DC =，则23tan 303OB OD DC ===，243cos30332CD OC ===， 所以233BC OC OB =-=． B ．解：（1）2143A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，21det()243A -∴==-， ∴矩阵A 的逆矩阵131312222422122A --⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦（2）AX B =，1X A B -∴=31221022460221⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦． C. 解：（1）由2sin ,[0,2)cos x y ααπα=⎧∈⎨=⎩得 21,[1,1]x y x +=∈- （2）由sin()24πρθ+=-得曲线D 的普通方程为20x y ++=2201x y x y ++=⎧⎨+=⎩得230x x --=解得113[1,1]2x ±=∉-,故曲线C 与曲线D 无公共点.D. 证明：因为x ，y ，z 都是为正数，所以12()y yx x yzzxz xyz+=+ ，同理可得22,yz z x zx xy x xyyz y+? ， 当且仅当x y z ==时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得111yx z yzzxxyxy z++?+． 22. 解：（1）设乙答题所得分数为X ，则X 的可能取值为15,0,15,30-．353101(15)12C P X C =-==； 21553105(0)12C C P X C ===；12553105(15)12C C P X C ===； 353101(30)12C P X C ===．乙得分的分布列如下：X15- 0 15 30P112 512 512 112155115(15)01530121212122EX =⨯-+⨯+⨯+⨯=．（2）由已知甲、乙至少答对2题才能入选，记甲入选为事件A ，乙入选为事件B .则 223332381()()()555125P A C =+=，511()12122P B =+=． 故甲乙两人至少有一人入选的概率4411031()1.1252125P P A B =-⋅=-⨯= 23. （1）证明：数集{}1,1,A a =-时，列表如下：1a (1,1)-- (1,1)- (1,)a - (1,1)-(1,1) (1,)a (,1)a - (,1)a (,)a a 2a(1,1)-(1,1)(,1)a(,)a a(1,1)-(,1)a -(1,)a(1,)a -(1,1)-由表知：12,a B a B ∀∈∃∈使得120a a ⋅=，∴数集A 具有性质P ；（2）选取1(,2)a b =，B 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)t -，2b t ∴=，2b >，{}1,1,2,t A b ∈=-，2t ∴=，2(2)2b ∴==；（3）由（1）（2）猜测1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. 记{}21,1,,,m m A x x =-，2,3,,m n =.先证明:若1m A +具有性质P ，则m A 也具有性质P .任取1(,),a s t s =、m t A ∈.当s 、t 中出现1-时,显然有2a 满足120a a ⋅=; 当1s ≠-且1t ≠-时，1s ≥、1t ≥.因为1m A +具有性质P ,所以有211111(,),,m a s t s t A +=∈，使得120a a ⋅=, 从而1s 和1t 中有一个是1-，不妨设11s =-.假设1t ∈1m A +且1t ∉m A ，则11m t x +=.由1(,)(1,)0m s t x +⋅-=， 得11m m s tx x ++=≥，与m s A ∈矛盾.1t ∴∈m A .从而m A 也具有性质P现用数学归纳法证明猜测: 1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤. ①当n =1和2时，结论显然成立;②假设n=m 时, {}21,1,,,m m A x x =-有性质P ，则1k k x q -=，1,2,,k m =； 当n=1m +时,若{}1211,1,,,,m m m A x x x ++=-有性质P ，则{}21,1,,,m m A x x =-也有性质P ，{}1111,1,,,,m m m A q q x -++∴=-. 取11(,)m a x q +=，并设2(,),a s t =满足120a a ⋅=，即10m x s qt ++=. 由此可得1s =-或1t =-. 若1t =-，则1m q x q s+=≤矛盾；1s ∴=-，1m x qt +=，又11m m x q -+>，{}1111,1,,,,m m m t A q q x -++∈=-，1q >1m t q -∴=，1m m x q +∴=.综合①②知，1k k x q -=*(,)k N k n ∈≤.。

江苏省南通市2014届高三第三次调研测试语文I试题一、语言文字运用(15分)1．下列词语中，字形和加点字的读音全都正确．．．．的一组是(3分)（▲ ）A．安祥无精打采给．予(gěi) 奇闻轶．事(yì)B．调剂扺掌而谈星宿．(xiù) 舐．犊情深(shì)C．观瞻貌和神离地壳．(qiào) 载．誉归来(zài)D．针砭两全其美箴．言(zhēn) 方枘．圆凿(nè)2．在下面一段话空缺处依次填入成语，最恰当的一组是(3分)（▲ ）唐诗和宋诗孰优孰劣，在后代引起了▲的争论。

对唐宋诗的评价，往往因个人爱好的不同而▲，其实两个朝代的诗歌▲，不应该用一种固化的标准评价不同风格的诗歌。

A．经年累月南辕北辙各有千秋B．旷日持久大相径庭各有千秋C．旷日持久南辕北辙半斤八两D．经年累月大相径庭半斤八两3．在下面一段文字横线处各补写一句话，使整段文字语意完整连贯、逻辑严密。

(4分) 司马谈把先秦诸子划分为‚六家‛，刘歆在此基础上进一步划分为‚十家‛。

这对春秋战国思想的研究是有贡献的，但应指出，_ ①_。

如杨朱学派在当时影响颇大，而且杨朱与老子、庄子不同，其观点立场更不一样，不宜列入道寥，应是独立的一家。

还应指出，随着社会的发展变化，_____②____。

据韩非所说，孔子死后儒家分为八派。

在儒家八派中，影响较大的是孟子和荀子。

孟子和荀子都不是简单地继承孔子，而是各有发展。

4．阅读下面的材料，根据要求回答问题。

(5分)索契冬奥会开幕式上，奥运五环展示环节出现故障，本将形成五环的五朵雪绒花有一朵没有打开。

闭幕式上，穿着亮片服装的舞蹈演员不断变幻出各种图案，没想到最后一幕竟然重演了开幕式的‚故障五环‛——四组演员都拉成了圈，而右上角的一组演员抱成一团。

几秒钟后．最后一个环缓缓打开，一个完好的奥运五环呈现在世人面前，现场爆发出了热烈的掌声。

如果你是电视台现场直播主持人，你将如何解说?请为俄罗斯人这一做法设计一段解说词。

2014届高三期末测试数学参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 复数i z =（其中i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ． 2. 某同学在7天内每天参加体育锻炼的时间（单位：分钟）用茎叶图表示如图，图中左列表示时间的十位数，右列表示时间的个位数.则这 7天该同学每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的平均数为 ▲ . 3. 函数()221()4x xf x -=的值域为 ▲ ．4. 分别在集合A ={1，2，3，4}和集合B ={5，6，7，8}中各取一个数相乘，则积为偶数的概率为 ▲ ． 5. 在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，一条渐近线方程为0x =，则双曲线C 的 离心率为 ▲ . 6． 如图是计算101121k k =-∑的值的一个流程图，则常数a 的取 值范围是 ▲ ．7. 函数y =()πsin 23x -的图象可由函数y = sin x 的图象作两次变换得到，第一次变换是针对函数y =sin x 的图象而言的，第二次变换是针对第一次变换所得图象而言的．现给出下列四个变换： A. 图象上所有点向右平移π6个单位；B. 图象上所有点向右平移π3个单位；C. 图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）；D. 图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变）.请按顺序写出两次变换的代表字母： ▲ .（只要填写一组）8. 记max{a ，b }为a 和b 两数中的较大数．设函数()f x 和()g x 的定义域都是R ，则“()f x 和()g x都是偶函数”是“函数{}()max ()()F x f x g x =，为偶函数”的 ▲ 条件．（在“充分不必要”“必要不充分”“充分必要”和“既不充分也不必要”中选填一个） 9. 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 1：2248190x y x y +--+=关于直线l ：250x y +-=对称的圆C 2的方程为 ▲ ．10. 给出以下三个关于x 的不等式：①2430x x -+<，②311x >+，③2220x m x m ++<．若③的解6 7 8 5 5 6 3 4 0 1集非空，且满足③的x 至少满足①和②中的一个，则m 的取值范围是 ▲ ． 11. 设π02βα<<<，且113cos cos()ααβ=-=，，则tan β的值为 ▲ ．12. 设平面向量a ，b满足3-a b a ·b 的最小值为 ▲ ．13. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线22491x y+=上的点到原点O 的最短距离为 ▲ ． 14. 设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠⎧⎪=⎨=⎪⎩，，，． 则函数()f x 和()g x 的图象在区间[]510-，内公共点的个数为 ▲ ．【填空题答案】1. 252. 723. (]04，4. 345. 26. (]1921，7. BD （DA ） 8. 充分不必要 9. 221x y += 10.[)10-， 11.12. 513. 16- 14. 15二、解答题：本大题共6小题，共90分．15．设向量a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，其中0πβα<<<．（1）若⊥a b，求+a 的值；（2）设向量c (0=，且a + b = c ，求αβ，的值．【解】（1）因为a (cos sin )αα=，，b (cos sin )ββ=，，所以11==，a b ． ……………2分因为⊥a b ，所以a ·b = 0．…………………………………………………………4分于是22234=++⋅=a a b b，故2=a ． ……………………6分（2）因为a + b ()(cos cos sin sin 0αβαβ=++=，，所以cos cos 0sin sin αβαβ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，………………………………………………………………8分由此得()cos cos παβ=-，由0πβ<<，得0ππβ<-<，又0πα<<，故παβ=-． ………………………………………………………10分代入sin sin αβ+=，得s i n s i n αβ==．……………………………………12分而0πβα<<<，所以2ππαβ==，．……………………………………………14分EADCFP东北16．如图，在三棱锥P —ABC 中，平面P AC ⊥平面ABC ，60BAC ∠= ，E ，F 分别是AP ，AC 的中点，点D 在棱AB 上，且AD AC =． 求证：（1）//EF 平面PBC ；（2）平面DEF ⊥平面P AC ．【证】（1）在△P AC 中，因为E ，F 分别是AP ，AC 的中点，所以EF // PC ．………2分 又因为EF ⊄平面PBC ，PC ⊂平面PBC ， 所以//EF 平面PBC ．………………5分（2）连结CD ．因为60BAC ∠= ，AD AC =，所以△ACD 为正三角形．因为F 是AC 的中点，所以DF AC ⊥．………………………………………7分 因为平面P AC ⊥平面ABC ，DF ⊂平面ABC ，平面P AC I 平面ABC AC =， 所以DF ⊥平面P AC ． …………………………………………………………11分 因为DF ⊂平面DEF ，所以平面DEF ⊥平面P AC ．…………………………14分17．如图，港口A 在港口O 的正东120海里处，小岛B 在港口O 的北偏东60 的方向，且在港口A北偏西30 的方向上．一艘科学考察船从港口O 出发，沿北偏东30 的OD 方向以20海里/小时 的速度驶离港口O ．一艘给养快艇从港口A 以60海里/小时的速度驶向小岛B ，在B 岛转运补 给物资后以相同的航速送往科考船．已知两船同时出发，补给装船时间为1小时． （1）求给养快艇从港口A 到小岛B 的航行时间； （2）给养快艇驶离港口A 后，最少经过多少时间能和科考船相遇？【解】（1）由题意知，在△OAB 中，OA =120，3060AOB OAB ∠=∠=o o ，．于是60AB =，而快艇的速度为60海里/小时，所以快艇从港口A 到小岛B 的航行时间为1小时． ………………………………5分 （2）由（1）知，给养快艇从港口A 驶离2小时后，从小岛B 出发与科考船汇合． 为使航行的时间最少，快艇从小岛B 驶离后必须按直线方向航行，设t 小时后恰与科考船在C 处相遇．…………………………………………………………………7分在△OAB 中，可计算得OB =而在△OCB 中，6020(2)30BC t OC t BOC ==+∠=o ，，，………………………9分 由余弦定理，得2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-⋅⋅∠， 即([]222(60)20(2)220(2)t t t =++-⨯+亦即285130t t +-=，解得1t =或138t =-（舍去）．……………………………12分故23t +=．即给养快艇驶离港口A 后，最少经过3小时能和科考船相遇？………………………14分18．设公差不为零的等差数列{}n a 的各项均为整数，S n 为其前n 项和，且满足2371574a a S a =-=，． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）试求所有的正整数m ，使得+12m m ma a a +为数列{}n a 中的项． 【解】（1）因为{}n a 是等差数列，且77S =，而17747()72a a S a +==，于是41a =．………2分 设{}n a 的公差为d ，则由23154a a a =-得(12)(1)5134d d d --=--， 化简得282790d d -+=，即(3)(83)0d d --=，解得3d =或38d =，但若38d =，由41a =知不满足“数列{}n a 的各项均为整数”，故3d =．………5分于是4(4)311n a a n d n =+-=-．……………………………………………………7分（2）因为+12(3)(6)189m m m m m m m ma a a a a a a a +++==++，3113(4)1n a n n =-=-+， ……10分 所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，18ma 必须是3的倍数， 于是m a 在1236±±±±，，，中取值，但由于1m a -是3的倍数，所以1m a =或2m a =-．由1m a =得4m =；由2m a =-得3m =． …………………………………………13分 当4m =时，+1213471m m m a a a a +⨯==；当3m =时，+123142m m m a aa a +⨯==-． 所以所求m 的值为3和4．…………………………………………………………16分 另解：因为2+12(38)(35)(311)9(311)18311311m m m a a m m m m a m m +---+-+==-- 1823332323113(4)1m m m m ⨯⨯=-+=-+--+，所以要使+12m m m a a a +为数列{}n a 中的项，233⨯⨯必须是3的倍数， 于是3(4)1m -+只能取1或2-．（后略）19. 在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，短半轴长为2，椭圆C 上1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且π2AOB ∠=．①求证：原点O 到直线AB 的距离为定值； ②求AB 的最小值．【解】（1）由题意，可设椭圆C 的方程为22221(0)y x a b a b+=>>，焦距为2c ，离心率为e ． 于是2b =．设椭圆的右焦点为F ，椭圆上点P 到右准线距离为d ， 则AFe AF e d d=⇒=⋅，于是当d 最小即P 为右顶点时，PF取得最小值， 所以1a c -=． (3)分因为2221221a c a b b c a b c ⎧⎧-==⎪⎪=⇒=⎨⎨⎪⎪==+⎩⎩，，，， 所以椭圆方程为22154x y +=．………………………………………………………5分（2）①设原点O 到直线AB 的距离为h ，则由题设及面积公式知OA OB h AB⋅=．当直线OA的斜率不存在或斜率为0时，2OA OB ⎧=⎪⎨=⎪⎩或2OB OA ⎧=⎪⎨=⎪⎩．于是d =．………………………………………………………………7分 当直线OA 的斜率k 存在且不为0时，则22222115454x y xk x y kx⎧⎪+=⇒+=⎨⎪=⎩，， 解得2222211541A A x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩，． 同理222221115411154BB x k k y k ⎧=⎪+⎪⎪⎨⎪=⎪+⎪⎩………………………………………9分 在Rt △OAB 中，22222222OA OB OA OB h AB OA OB ⋅⋅==+， 则222222222222222111111115544545411111k k k OA OB k h OA OB OA OB k k k k+++++==+=+=+⋅++++()()221111454511945201k k +++==+=+，所以h =．综上，原点O 到直线AB．……………………………………11分 另解：()()()()()()222222222222222111111111554411111111141114k kk k OA OB k k h OA OB k k k k k kkk ++⋅++++⋅===+++++++++++2221299992020k k k k ++==++，所以h =．②因为h 为定值，于是求AB 的最小值即求OA OB ⋅的最小值．22OA OB ⋅()()()()22222221112111411112040054204k k k k kk k k ++++=⋅=++++，令221t k k =+，则2t ≥， 于是22OA OB ⋅=()220401202011412041204120400t t t t t ++=⋅=-+++， …………………14分 因为2t ≥，所以()22116002018181OA OB ⋅⋅-=≥，当且仅当2t =，即1k =±，OA OB ⋅取得最小值409，因而min 40AB ==所以AB．…………………………………………………………16分 20．设函数()2ln f x a x bx =-，其图象在点()()22P f ，处切线的斜率为3-．（1）求函数()f x 的单调区间（用只含有b 的式子表示）；（2）当2a =时，令()()g x f x kx =-，设1x ，2x ()12x x <是函数()0g x =的两个根，0x 是1x ，2x 的等差中项，求证：0()0g'x <（()g'x 为函数()g x 的导函数）． 【解】（1）函数()f x 的定义域为()0+∞，．()2a f x bx '=-，则()243af b '=-=-，即86a b =-．于是()()2286bx b f x x-+-'=．……………………………………………………2分①当0b =时，()60f x x-'=<，()f x 在()0+∞，上是单调减函数； ②当0b <时，令()0f x '=，得x =， 所以()f x在(0上是单调减函数，在)+∞上是单调增函数； ③当0b >时，若304b <≤，则()0f x '<恒成立，()f x 在()0+∞，上单调减函数；若3b >，令()0f x '=，得x =，所以()f x在(0上单调增函数，在)+∞上单调减函数； 综上，若0b <，()f x的单调减区间为(0，单调增区间为)+∞； 若304b ≤≤，()f x 的单调减区间为()0+∞，；若34b >，()f x的单调增区间为(0，单调减区间为)+∞．……………………………………8分（2）因为286a a b ==-，，所以1b =，即()22ln g x x x kx =--．因为()g x 的两零点为1x ，2x ，则211122222ln 02ln 0x x kx x x kx ⎧--=⎪⎨--=⎪⎩，， 相减得：()()()221212122ln ln 0x x x x k x x -----=， 因为 12x x ≠，所以()()1212122ln ln x x k x x x x -=-+-，于是()()1200012122ln ln 242x x g'x x k x x x x x -=--=-+- ()()()112211212121212221222ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x x x ⎡⎤-⎢⎥-⎡⎤=--=-⎢⎥⎢⎥-+-⎢⎥⎣⎦+⎢⎥⎣⎦． ……………………………………14分令()1201x t t x =∈，，，()()214ln 2ln 11t t t t t t ϕ-=-=--++，则()()()()222141011t 't t t t t ϕ--=-=<++，则()t ϕ在()01，上单调递减，则()()10t ϕϕ>=，又1220<，则()00g'x <．命题得证．………………16分C21A. 如图，AB 是圆O 的直径，D 为圆O 上一点，过D 作圆O 的切线交AB 的延长线于点C ．若DA = DC ，求证：AB = 2 BC ． 【证】连结OD ，BD ，因为AB 是圆O 的直径，所以902ADB AB OB ∠==o，．因为DC 是圆O 的切线，所以90CDO ∠=o ．因为AD = DC ，所以A C ∠=∠．于是△ADB ≅△CDO ，从而AB = CO ，即2OB = OB + BC ，得OB = BC ．故AB = 2 BC ．……………………………………10分21B. 已知矩阵A 的逆矩阵A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，求矩阵A 的特征值． 【解】因为A 1-A =E ，所以A =(A 1-)1-．因为A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-212143411，所以A =(A 1-)1-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1232． …………………………………5分 于是矩阵A 的特征多项式为f (λ)1232----=λλ= λ2－3λ－4， ………………………8分令f (λ) = 0，解得A 的特征值λ1 = －1，λ2 =4 ．………………………………………10分21C. 在平面直角坐标系xOy 中，求过椭圆5cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎪⎨=⎪⎩，（ϕ为参数）的左焦点，且与直线423x t y t=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，（t 为参数）平行的直线的普通方程．【解】椭圆的普通方程：221259x y +=，左焦点(40)F -，………………………………………3分直线的普通方程：220x y -+=. …………………………………………………………6分 设过焦点(40)F -，且与直线220x y -+=平行的直线为20x y λ-+= 将(40)F -，代入20x y λ-+=， 4.λ=所求直线的普通方程为240x y -+=．…………………………………………………10分 21D. 已知实数x ，y 满足：| x + y |31<，1|2|6x y -<，求证：| y |518<．【证】3|||3|2()(2)2|||2|y y x y x y x y x y ==+--++-≤．…………………………………5分 由题设知| x + y |1<，1|2|x y -<， 从而1153||2366y ⨯+=≤．故| y |518<．…………………………………………………10分22．从棱长为1的正方体的8个顶点中任取不同2点，设随机变量ξ是这两点间的距离．（1）求概率(P ξ=；（2）求ξ的分布列，并求其数学期望E (ξ )．【解】（1）从正方体的8个顶点中任取不同2点，共有28C 28=种．因为正方体的棱长为1 正方体每个面上均有两条对角线，所以共有2612⨯=条．因此(123287P ξ==． ……………………………………………3分（2）随机变量ξ的取值共有1正方体的棱长为1，而正方体共有12条棱，于是()1231287P ξ===．………………………5分从而(()(331111777P P P ξξξ=-=-=--=． …………………………………7分所以随机变量ξ的分布列是…………………………………………………………………8分因此331()1E ξ=⨯=． …………………………………………10分23．在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线C ：24y x =，F 为其焦点，点E 的坐标为(2，0)，设M为抛物线C 上异于顶点的动点，直线MF 交抛物线C 于另一点N ，链接ME ，NE 并延长分别交 抛物线C 与点P ，Q ．（1）当MN ⊥Ox 时，求直线PQ 与x 轴的交点坐标；（2）当直线MN ，PQ 的斜率存在且分别记为k 1，k 2时，求证：122k k =． 【解】（1）抛物线C ：24y x =的焦点F (1，0) ．当MN ⊥Ox 时，直线MN 的方程为 1x =．将1x =代入抛物线方程24y x =，得2y =±．不妨设(12)M ，，(12)N -，， 则直线ME 的方程为2+4y x =-，由2244y x y x =-+⎧⎨=⎩，解得1x =或4x =，于是得(44)P -，．同理得(44)Q ，，所以直线PQ 的方程为4x =．故直线PQ 与x 轴的交点坐标(4，0)．………………………………………………4分 （2）设直线MN 的方程为1x my =+，并设11223344()()()()M x y N x y P x y Q x y ，，，，，，，． 由2214404x my y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 于是124y y =-①，从而221212144y y x x =⋅=②．设直线MP 的方程为2x t y =+， 由2224804x t y y my y x=+⎧--=⎨=⎩，得， 所以138y y =-③，134x x =④． 同理248y y =-⑤，244x x =⑥．由①②③④⑤⑥，得323241412424y y x x y y x x ====，，，．431212214312122211y y y y y y k k ---===⋅=，即122k k =．…………………………………………………………………………10分。

(第10题图)(第9题图) 南通市2014届高三数学参考答案与评分建议 数学I参考公式：棱锥的体积公式：13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置．．．．．．．． 1．已知集合A ={1，k -1}，B ={2，3}，且A ∩B ={2}，则实数k 的值为 ▲ ．答案：3． 2．若复数z 满足i z =2(i 为虚数单位)，则z = ▲ ．答案：-2i ． 3．不等式组0,0,2x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩≥≥≤所表示的平面区域的面积为 ▲ ．答案：2．4．函数y =sin 2x 的最小正周期为 ▲ ．答案：π．5．若正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为1，则三棱锥A -BDA 1的体积为 ▲ ．答案：16．6．已知函数23,0,()1,0,x x f x x x ->⎧=⎨+⎩≤若f (x )=5，则x = ▲ ．答案：8或-2．7．设函数f (x )=log 2x (0<x <5)，则f (x )<1的概率为 ▲ ．答案：25． 8．某鲜花店对一个月的鲜花销售数量(单位：支)进行统计，统计时间是4月1日至4月30日，5天一组分组统计，绘制了如图的鲜花销售数量频率分布直方图．已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，且第二组的频数为180，那么该月共销售出的鲜花数(单位：支)为 答案：1200．9．如图是一个算法流程图．若输入A =3，B =5，则输出A ，B 的值分别为▲ ．答案：5，3．10．已知向量a ，b ，c在正方形网格中的位(第8题图)(,)λμλμ=+∈R c a b ，则λμ+= ▲ ．答案：53-．11．已知实数x ，y ，满足xy =1，且x >2y >0，则2242x y x y +-的最小值为 ▲ ．答案：4．12．设t ∈R ，[t ]表示不超过t 的最大整数．则在平面直角坐标系xOy 中，满足[x ]2+[y ]2=13的点P (x ，y )所围成的图形的面积为 ▲ ．答案：8．13．设函数f (x )满足f (x )=f (3x )，且当x ∈[1,3)时，f (x )=ln x ．若在区间[1,9)内，存在3个不同的实数x 1，x 2，x 3，使得312123()()()f x f x f x x x x ===t ，则实数t 的取值范围为 答案：ln31(,)93e． 14．设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ▲ ．答案：92．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡．．．指定区域内作答．．．．．．．．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）如图，在△ABC 中，|AB AC -|=3，|BC BA -|=5，|CA CB -|=7． (1)求C 的大小；(2)设D 为AB 的中点，求CD 的长．解：(1)依题意BC =3，CA =5，AB =7．······························1分 由余弦定理，得222cos 2CB CA AB C CB CA+-=⋅⋅=12-． ····················4分因0<C <π，···············6分 故C =23π．·······················8分(2)由余弦定理，得13cos 14A =．··············11分 在△ADC 中，AD =72，CD 2=AC 2+AD 2-2AC ×AD ×cos A =194，于是CD．·· 14分16．（本小题满分14分）如图，AB 为圆O 的直径，点E ，F 在圆上，四边形ABCD 为矩形，AB ∥EF ，∠BAF =3π，M 为BD 的中点，平面ABCD ⊥平面ABEF ．求证：(1)BF ⊥平面DAF ； (2)ME ∥平面DAF ．(第15题图)BAC解：(1)因四边形ABCD 为矩形，故DA ⊥AB ．因平面ABCD ⊥平面ABEF ，且DA ⊂平面ABCD ，平面ABCD ∩平面ABEF =AB ， 故DA ⊥平面ABEF ． ·············3分，因BF ⊂平面ABEF ，故DA ⊥BF ． ··········4分 因AB 为直径，故BF ⊥AF ．因DA ，AF 为平面DAF 内的两条相交直线，故BF ⊥平面DAF ．·····················7分 (2)因∠BAF =3π，AB ∥EF ，故EF =12AB ．··················································8分 取DA 中点N ，连NF ，MN ，因M 为BD 的中点， 故MN ∥AB ，且MN =12AB ，于是四边形MNFE 为平行四边形，所以ME ∥NF ．··· 1分 因NF ⊂平面DAF ，ME ⊄平面DAF ，故ME ∥平面DAF ．·····14分注：第(2)问，亦可先证明ME ∥平面MOE ．17．（本小题满分14分）图1是某种称为“凹槽”的机械部件的示意图，图2是凹槽的横截面（阴影部分）示意图，其中四边形ABCD 是矩形，弧CmD 是半圆，凹槽的横截面的周长为4．若凹槽的强度T 等于横截面的面积S 与边AB 的乘积，设AB =2x ，BC =y ． (1)写出y 关于x 函数表达式，并指出x 的取值范围； (2)求当x 取何值时，凹槽的强度T 最大．解：(1)易知半圆CmD 的半径为x ，故半圆CmD 的弧长为πx ． 所以，4=2x +2y +πx ，得4(2)2xy -+π=．····················································4分 依题意，知：0<x <y ，得404x <<+π． 所以，4(2)2x y -+π=(404x <<+π)．·······················································7分 (2)依题意，T =AB S ⋅=212(2)2x xy x -π=238(43)x x -+π． ······························9分令2163(43)T x x '=-+π=0，得16912x =π+∈4(0,)4+π，另一解舍去．··············11分(第17题图)图1图2所以当16912x =π+，凹槽的强度最大．·····················································14分注：x 的范围写为404x <≤+π，不扣分． 18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22221x y a b+=(a >b >0)过点(1，1)．(1)，求椭圆的方程； (2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．(2)若椭圆上两动点P ，Q ，满足OP ⊥OQ ．①已知命题：“直线PQ 恒与定圆C 相切”是真命题，试直接写出圆C 的方程；(不需要解答过程)②设①中的圆C 交y 轴的负半轴于M 点，二次函数y =x 2-m 的图象过点M ．点A ，B在该图象上，当A ，O ，B 三点共线时，求△MAB 的面积S 的最小值．解：(1)由e =，所以::a b c =．························································2分 设椭圆方程为222212x y b b+=，将(1，1)代入得221112b b +=，所以223,32b a ==，椭圆方程为222133x y +=．··················5分 (2)①221x y +=．··················································································9分 ②由题意，二次函数为y =x 2-1．········· 10分 设直线AB 的方程为y =kx ．由21y x y kx⎧=-⎨=⎩，消去y 得，210x kx --=． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12x x k +=，121x x =-．······································12分所以2112S OM x x =⋅-= ·····························14分 当0k =时，△MAB 的面积S 的最小值为1． ··········16分19．（本小题满分16分）设数列{a n }，a 1=1，1133n n n a a +=+．数列{b n }，13n n n b a -=．正数数列{d n }，2221111n n n d b b +=++． (1)求证：数列{b n }为等差数列；(2)设数列{b n }，{d n }的前n 项和分别为B n ，D n ，求数列{b n D n +d n B n -b n d n }的前n 项和S n ．解：(1)由1133n n n a a +=+，得11331n n n n a a -+=+． 又13n n n b a -=，所以11n+n b b +=．·······························································3分 又b 1=a 1=1，所以数列{b n }是以1为首项，1为公差的等差数列．·····················4分 (2)由(1)得1(1)1n b n n =+-⨯=，B n =(1)2n n +．·············································6分 因2221111n n n d b b +=++， 故222221121)111(1)(1)nn n d n n n n ++=++=+++（21[1](1)n n =++． 由d n >0，得11111(1)1n d n n n n =+=+-++．于是，111n D n n =+-+． ·································10分 又当n ≥2时，b n D n +d n B n -b n d n =(B n -B n -1)D n +(D n -D n -1)B n -(B n -B n -1)(D n -D n -1)=B n D n -B n -1D n -1， 所以S n =(B n D n -B n -1D n -1)+(B n -1D n -1-B n -2D n -2)+…+(B 2D 2-B 1D 1)+B 1D 1=B n D n ．··········14分 因S 1=b 1D 1+d 1B 1-b 1d 1=B 1D 1也适合上式，故对于任意的n ∈N *，都有S n =B n D n ． 所以S n =B n D n =(1)2n n +⋅1(1)1n n +-+=321(2)2n n +． ···············16分 20．（本小题满分16分）设函数f (x )=ax 2+e x (a ∈R )有且仅有两个极值点x 1，x 2(x 1<x 2)． (1)求实数a 的取值范围；(2)是否存在实数a 满足f (x 1)=231e x ?如存在，求f (x )的极大值；如不存在，请说明理由． 解：(1)()f x '=2ax +e x ．显然a ≠0，x 1，x 2是直线y =12a-与曲线y =g (x )=e x x两交点的横坐标．··············2分由()g x '=1ex x-=0，得x =1．列表：·························································4分 此外注意到： 当x <0时，g (x )<0；当x ∈[0，1]及x ∈(1，+∞)时，g (x )的取值范围分别为[0，1e ]和(0，1e )．于是题设等价于0<12a -<1e⇒a <e 2-，故实数a 的取值范围为(-∞，e2-)．········6分(2)存在实数a 满足题设．证明如下： 由(1)知，0< x 1<1<x 2，1()f x '=2ax 1+1e x =0，故f (x 1)=121+e x ax =111e e 2x x x -=231e x ，故11231e 1e e 02x x x --=．····························8分 记R (x )=23e 1e e 2x x x --(0<x <1)，则()R x '=2e (1)1e 02x x x x --<，于是，R (x )在(0，1)上单调递减． 又R (23)=0，故R (x )有唯一的零点x =23． 从而，满足f (x 1)=231e x 的x 1=23．所以，a=1231e 3e 24x x -=-．·····························12分 此时f (x )=2233e e 4x x -+，()f x '=233e e 2x x -+，又(0)f '>0，(1)f '<0，(2)f '>0，而x 1=23∈(0，1)， 故当a =233e 4-时，f (x )极大=f (x 1)=232e 3．·······················································16分南通市2014届高三数学临门一脚数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请．选定其中两小题．．．．．．．，并在相应的答题区域．．．．．．．．．内作答．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．[选修4－1：几何证明选讲]（本小题满分10分）如图，⊙O 是三角形△ABC 的外接圆，AB =AC ，延长BC 到点D ，使得CD =AC ，连结AD 交⊙O 于点E ，连结BE 与AC 交于点F ，求证BE 平分∠ABC ．解：因CD =AC ，故∠D =∠CAD ．因AB =AC ，故∠ABC =∠ACB ． 因∠EBC =∠CAD ，故∠EBC =∠D ．因∠ABC =∠ABE +∠EBC ，∠ACB =∠D +∠CAD ．故∠ABE =∠EBC ，即BE 平分∠ABC ． ···················································10分B ．[选修4－2：矩阵与变换]（本小题满分10分） 已知矩阵14a b ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦A ，A 的两个特征值为12λ=，2λ=3． (1)求a ，b 的值；(2)求属于2λ的一个特征向量α．解：(1)令2()()(4)(4)4014abf a b a a b λλλλλλλ--==--+=-+++=-，于是 1λ+2λ=a +4，1λ⋅2λ=4a +b ．解得a =1，b =2． ············································5分(2)设α=x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则A α=1214⎡⎤⎢⎥-⎣⎦x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=24x y x y +⎡⎤⎢⎥-+⎣⎦=3x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦=33x y ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 故23,43,x y x x y y +=⎧⎨-+=⎩解得x =y ．于是，α=11⎡⎤⎢⎥⎣⎦．···············································10分(第21A 题图)C ．[选修4－4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）圆C 的参数方程为12cos ,2sin x y θθ=+⎧⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)，设P 是圆C 与x 轴正半轴的交点．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．设过点P 的圆C 的切线为l ，求直线l 的极坐标方程．解：由题设知，圆心(1C ，(2,0)P ，∠CPO =60°，故过P 点的切线的倾斜角为30°． ····························································3分 设(,)M ρθ是过P 点的圆C 的切线上的任一点，则在△PMO 中， ∠MOP =θ，030OMP θ∠=-，0150OPM ∠=． 由正弦定理得sin sin OM OPOPM OMP=∠∠，于是002sin150sin(30)ρθ=-， 即0cos(60)1 ρθ+=（或0sin(30)1ρθ-=）即为所求切线的极坐标方程．·········10分D ．[选修4－5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知a 、b 、c 均为正实数，且a +b +c =1解：因 a 、b 、c ＞0，故 2 111++)2≤((a +1)+(b +1)+(c +1))(1+1+1)=12，························································3分，a =b =c =13时，取“=”．··········································10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）(1)计算：2013320145C A +；(2)观察下面一组组合数等式：101C C n n n -=；2112C C n n n -=；3213C C n n n -=；…由以上规律，请写出第k (k ∈N *)个等式并证明．解：(1)原式=2074．·····················································································5分(2)等式为：11C C k k n n k n --=，k ∈N *． ····························································7分证明：C k n k =!!()!kn k n k -=(1)!(1)!((1)(1))!n n k n k -----=11C k n n --．·······························10分23．（本小题满分10分）数列{a n }，{b n }满足a 1=b 1，且对任意正整数n ，{a n }中小于等于n 的项数恰为b n ； {b n }中小于等于n 的项数恰为a n ． (1)求a 1；(2)求数列{a n }的通项公式．解：(1)首先，容易得到一个简单事实：{a n }与{b n }均为不减数列且a n ∈N ，b n ∈N ． 若a 1=b 1=0，故{a n }中小于等于1的项至少有一项，从而b 1≥1，这与b 1=0矛盾． 若a 1=b 1≥2，则{a n }中没有小于或等于1的项，从而b 1=0，这与b 1≥2矛盾． 所以，a 1=1．························································································4分 (2)假设当n =k 时，a k =b k =k ，k ∈N *．若a k +1≥k +2，因{a n }为不减数列，故{a n }中小于等于k +1的项只有k 项， 于是b k +1=k ，此时{b n }中小于等于k 的项至少有k +1项(b 1，b 2，…，b k ，b k +1)， 从而a k ≥k +1，这与假设a k =k 矛盾．若a k +1=k ，则{a n }中小于等于k 的项至少有k +1项(a 1，a 2，…，a k ，a k +1)， 于是b k ≥k +1，这与假设b k =k 矛盾． 所以，a k +1=k +1．所以，当n =k +1时，猜想也成立．综上，由(1)，(2)可知，a n =b n =n 对一切正整数n 恒成立．所以，a n =n ，即为所求的通项公式．························································10分。

南通市2014届高三一模试卷--数学试题数学Ⅰ参考答案与评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位．．．．．．置上．．． 1． 已知集合U ={1，2，3，4，5}，A ={1，2，4}，则U A =ð ▲ ．【答案】{3，5}．2． 已知复数1z 13i =+，2z 3i =+(i 为虚数单位)．在复平面内，12z z -对应的点在第 ▲ 象限．【答案】二．3． 命题：“x ∃∈R ，0x ≤”的否定是 ▲ ．【答案】x ∀∈R ，||0x >．4． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线28y x =上横坐标为1的点到其焦点的距离为 ▲ ．【答案】3．5． 设实数x ，y 满足0 0 3 24 x y x y x y ⎧⎪⎪⎨+⎪⎪+⎩≤≤≥，≥，，，则32z x y =+的最大值是 ▲ ． 【答案】7．6． 如图是一个算法的流程图．若输入x 的值为2，则输出y 的值是 ▲ ．【答案】32-．7． 抽样统计甲，乙两个城市连续5天的空气质量指数(AQI)，数据如下：城市空气质量指数(AQI)第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 甲109 111 132 118 110 乙110 111 115 132 112 则空气质量指数(AQI )较为稳定(方差较小)的城市为 ▲ （填甲或乙）． 【答案】乙．8． 已知正三棱锥的侧棱长为1随机选取两条棱，则这两条棱互相垂直的概率是 ▲ ． 【答案】25．9． 将函数()()sin 2f x x ϕ=+()0ϕ<<π的图象上所有点向右平移π6个单位后得到的图象关于原点对称，则ϕ等于 ▲ ．（第6题）【答案】π3．10．等比数列{a n }的首项为2，公比为3，前n 项和为S n ．若log 3［12a n (S 4m +1)］=9，则1n +4m 的最小值是 ▲ ．【答案】52．11．若向量()cos sin αα=，a ，()cos sin ββ=，b ，且2+⋅≤a b a b ，则cos()αβ-的值是 ▲ ．【答案】1．12．在平面直角坐标系xOy 中，直线y x b =+是曲线ln y a x =的切线，则当a ＞0时，实数b 的最小值是 ▲ ．【答案】1-．13．已知集合M ={(,)|3x y x -≤y ≤1}x -，N ={|P PA,(1,0),(1,0)}A B -，则表示M∩N 的图形面积等于 ▲ ．【答案】43π+14．若函数2()2014(0)f x ax x a =++>对任意实数t ，在闭区间[1 1]t t -+，上总存在两实数1x 、2x ，使得12|()()|f x f x -≥8成立，则实数a 的最小值为 ▲ ．【答案】8．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，1AB BC ⊥，且1AA AB =． （1）求证：AB ∥平面11D DCC ；（2）求证：1AB ⊥平面1A BC ．（1）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，//AB CD ，AB ⊄平面11D DCC ， CD ⊂平面11D DCC ，所以//AB 平面11D DCC ． ……………………………………………………………………6分（2）证明：在四棱柱1111ABCD A B C D -中，四边形11A ABB 为平行四边形，又1AA AB =，A 1B 11CDABD 1（第15题）故四边形11A ABB 为菱形． 从而11AB A B ⊥．…………………………………………………………………………… 9分又1AB BC ⊥，而1A B BC B =，1 A B ，BC ⊂平面1A BC ，所以1AB ⊥平面1A B C． ………………………………………………………………… 14分 16．(本小题满分14分)在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边长，且c =－3b cos A ，tan C =34．（1）求tan B 的值；（2）若2c =，求△ABC 的面积．（1）解：由正弦定理，得sin 3sin cos C B A =-，………………………………………………2分即sin()3sin cos A B B A +=-． 所以sin cos cos sin 3sin cos A B A B B A +=-． 从而sin cos 4sin cos A B B A =-．因为c o A B ≠，所以tan 4tan A B=-．……………………………………………………4分又tan tan tan tan()A B C A B +=-+=，由（1）知，23tan 344tan 1B B =+， 解得1ta 2B =．………………………………………………………………………………6分（2）解：由（1），得sin A =sin B 3sin 5C =． ………………………………10分由正弦定理，得sin sin 3c A a C ===12分 所以△ABC 的面积为114sin 2223ac B ==． ………………………………14分 17．(本小题满分14分)已知a 为实常数，y =f (x )是定义在(－∞，0)∪(0，+∞)上的奇函数，且当x <0时，f (x )=2x －a 3x2+1．（1）求函数f (x )的单调区间；（2）若f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，求a 的取值范围．（1）解：由奇函数的对称性可知，我们只要讨论f (x )在区间(－∞，0)的单调性即可．f′(x )＝2＋2a 3x 3，令f′(x )＝，得x＝－a ． …………………………………………………2分①当a ≤0时，f ′(x )＞0，故f (x )在区间(－∞，0)是单调递增． ………………………4分②当a ＞0时，x ∈(－∞，－a )，f ′(x )＞0，所以f (x )在区间(－∞，－a )是单调递增．x ∈(－a ，0)，f ′(x )＜0，所以f (x )在区间(－a ，0)是单调减．………………………6分综上所述：当a ≤0时，f (x )单调增区间为(－∞，0)，(0，+∞)；当a ＞0时，f (x )单调增区间为(－∞，－a )，(a ，+∞)，单调减区间为(－a ，0)，(0，a )．…………………… 7分 （2）解：因为f (x )为奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝－(－2 x －a 3x 2＋1)＝2x ＋ a 3x2－1． …………………… 9分①当a ＜0时，要使f (x )≥a －1对一切x ＞0成立，即2x ＋ a 3x2≥a 对一切x ＞0成立．而当x ＝－a2＞0时，有－a +4a ≥a ，所以a ≥0，则与a ＜0矛盾．所以a ＜0不成立．………………………………………………………………………11分②当a ＝0时，f (x )＝2x －1＞－1=a －1对一切x ＞0成立，故a ＝0满足题设要求．…12分③当a ＞0时，由(1)可知f (x )在(0，a )是减函数，在(a ，+∞)是增函数． 所以f min (x )=f (a )＝3a －1＞a －1，所以a ＞0时也满足题设要求． …………………13分综上所述，a 的取值范围是[0+∞．…………………………………………………… 14分 18．(本小题满分16分)如图，一块弓形薄铁片EMF ，点M 为EF 的中点，其所在圆O 的半径为4 dm （圆心O 在弓形EMF 内），∠EOF =23π．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片ABCD (不计损耗)， AD ∥EF ，且点A 、D 在EF 上，设∠AOD =2θ． （1）求矩形铁片ABCD 的面积S 关于θ的函数关系式； （2）当矩形铁片ABCD 的面积最大时，求cos θ的值．（1）解：设矩形铁片的面积为S ，AOM θ∠=．当03θπ<<时（如图①），4cos 2AB θ=+，24sin AD θ=⨯，()()()4cos 224sin 16sin 2cos 1S AB AD θθθθ=⨯=+⨯=+．…………………………… 3分当32θππ<≤时（如图②），24cos AB θ=⨯，24sin AD θ=⨯， 故64sin cos 32sin 2S AB AD θθθ=⨯==．综上得，矩形铁片的面积S 关于θ的函数关系式为()16sin 2cos 1 0 332sin 2 .32S θθθθθπ⎧+<<⎪=⎨ππ⎪<⎩，，，≤……………………………………………………… 7分（2）解：当03θπ<<时，求导，得 ()()()216cos 2cos 1sin 2sin 164cos cos 2S θθθθθθ'=++-=+-⎡⎤⎣⎦．令0S '=，得31c o s θ= 10分 记区间(0 )3π，0θ（唯一存在）．列表： θ ()00 θ，0θ0( )3πθ，S '+-S 增函数 极大值 减函数又当θππ<≤时，32sin 2S θ=在[ )ππ，上的单调减函数， 所以当θθ=即cos θ=时，矩形的面积最大．………………………………… 16分 19．(本小题满分16分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>过点(1，，又椭圆内接四边形ABCD (点A 、B 、C 、D 在椭圆上)的对角线AC ，BD 相交于点1(1 )4P ，，且2AP PC =，2BP PD =． （1）求椭圆的方程； （2）求直线AB 的斜率．（1）解：依题意，22222 1314. c a a b c a b ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪⎩，解得224 1. a b ⎧⎪⎨⎪⎩=，=所求椭圆的方程为2214x y +=． ………………………………………………………… 6分（2）解：设()11 A x y ，，则221114x y +=．由2AP PC=，得()1133428x y C--，．…………………………………………………… 8分 代入椭圆方程2214x y +=，得()()21213342148x y --+=．整理，得221111319()0216x y x y +-+-，………………………………………………… 10分 即1118x y +=-． ③ …………………………………………… 12分设()22 B x y ，，同理可得2218x y +=-． ④ ……………………………………………14分③-④，得21211y y x x -=--，即直线AB 的斜率为21211y y k x x -==--．…………………… 16分20．(本小题满分16分)已知等差数列{a n }、等比数列{b n }满足a 1+a 2＝a 3，b 1b 2＝b 3，且a 3，a 2+ b 1，a 1+ b 2成等差数列，a 1，a 2，b 2成等比数列．（1）求数列{a n }和数列{b n }的通项公式；（2）按如下方法从数列{a n }和数列{b n }中取项：第1次从数列{a n }中取a 1， 第2次从数列{b n }中取b 1，b 2， 第3次从数列{a n }中取a 2，a 3，a 4， 第4次从数列{b n }中取b 3，b 4，b 5，b 6， ……第2n －1次从数列{a n }中继续依次取2n －1个项， 第2n 次从数列{b n }中继续依次取2n 个项， ……由此构造数列{c n }：a 1，b 1，b 2，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12，…，记数列{c n }的前n 和为S n ．求满足S n ＜22014的最大正整数n ．（1）解：设等差数列{a n }的公差为d ，等比数列{b n }的公比为q ，依题意，得1112111111112111()2 () (2)()2[() ()(). a a d a d b b q b q a d a b q a d b a d a b q ++=+⎧⎪=⎪⎨+++=++⎪⎪+=⎩，，]，解得a 1=d =1，b 1=q =2． 故a n =n ，b n =2n ．…………………………………………………………………………… 6分（2）解：将a 1，b 1，b 2记为第1组，a 2，a 3，a 4，b 3，b 4，b 5，b 6记为第2组，a 5，a 6，a 7，a 8，a 9，b 7，b 8，b 9，b 10，b 11，b 12记为第3组，……以此类推，则第n 组中，有2n －1项选取于数列{a n }，有2 n 项选取于数列{b n }，前n 组共有n 2项选取于数列{a n }，有n 2＋n 项选取于数列{b n }，记它们的总和为P n ，并且有()22211222nn n n n P +++=+-． ………… 11分222014207120144545(451)222202P +-=+-->，2220141981334444(441)22(21)202P +-=---<．当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22012）时，222014201345(451)22202n S +-=--+<．………………………………………………… 13分当2245(451)2n S +=＋（2＋22＋…＋22013)时，22201445(451)2202n S +-=-+>．可得到符合20142n S <的最大的n =452＋2012=4037．…………………………………… 16分数学Ⅱ（附加题）参考答案与评分标准21．【选做题】A．选修4—1：几何证明选讲（本小题满分10分）在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆交BC于点N，且BN=2AM．求证：AB2=AC．证明：如图，在△ABC中，因为CM是∠ACM的平分线，=所以A CB C Array①……………………………3分又因为BA与BC是圆O过同一点B的割线，所以BM BA BN BC ⋅=⋅，即 BA BN BC BM =，…………………………………… 6分又BN =2AM ，所以2 BA AM =， ②…………………………… 8分由①②，得AB 2=AC ． ………………………10分 B ． 选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，()11001-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． 解：设1a b c d -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦B ，因为()111---=BA A B ，………………………………………………… 2分所以100134a b c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即220 340 341 a c b d a c b d +=⎧⎪+=⎪⎨+=⎪⎪+=⎩，，，，…………………………………………… 6分 解得2 1 321 2a b c d =-⎧⎪=⎪⎪⎨=⎪⎪=-⎪⎩，，，，所以1213122--⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎣⎦B ．…………………………………………………… 10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在极坐标系中，已知曲线C ：2sin =ρθ，过极点O 的直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，AB =，求直线l 的方程．解：设直线l 的方程为0θθ=(ρ∈R )，() 0A 0，，()10 B ρθ，， …………………………………2分则1|0|AB =-=ρ0|2sin |θ．………………………………………………………………… 5分又AB =，故0s i n=θ． …………………………………………………………… 7分 解得03π=θ+2k π或03π=-θ+2k π，k ∈Z ．所以直线l的方程为3π=θ或32π=θ (ρ∈R )． ………………………………………… 10分D ．选修4—5：不等式选讲 （本小题满分10分）已知x ，y ，z 均为正数，求证：111yx z yz zx xy x y z++++≥．证明：因为x ，y ，z 均为正数，所以()12y yx x ++≥≥．………………………………4分同理可得2y z xy zx x+≥，2x z yz xy y+≥． ………………………………………………… 7分 当且仅当x =y =z 均时，以上三式等号都成立．将上述三个不等式两边左，右两边分别相加，并除以2， 得111y x z yz zx xy x y z ++++≥．…………………………………………………………… 10分【必做题】 22．（本小题满分10分）如图，设1P ，2P ，…，6P 为单位圆上逆时针均匀分布的六个点．现任选其中三个不同点构成一个三角形，记该三角形的面积为随机变量S ． （1）求S =的概率；（2）求S 的分布列及数学期望()E S ．解：（1）从六个点任选三个不同点构成一个三角形共有36C种不同选法，其中S 30的直角三角形（如△145P P P ），共6212⨯=种，所以(361235C P S ==． ………………… 3分（2）S．S =的为顶角是120的等腰三角形（如△123P P P ），共6种，所以(366310C P S ===． …………………………………………………… 5分S =的为等边三角形（如△135P P P ），共2种，所以(362110C P S ===．…… 7分又由（1）知(361235C P S ===，故S 的分布列为所以333()10510E S 10分 23．（本小题满分10分）已知1，2，…，n 满足下列性质T 的排列1a ，2a ，…，n a 的个数为()f n （n ≥2，且n ∈N *）． 性质T ：排列1a ，2a ，…，n a 中有且只有一个1i i a a +>（i ∈{1，2，…，1n -}）． （1）求(3)f ； （2）求()f n ． 解：（1）当3n =时，1，2，3的所有排列有(1，2，3)，(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，(3，2，1)，其中满足仅存在一个i ∈{1，2，3}，使得1i i a a +>的排列有(1，3，2)，(2，1，3)，(2，3，1)，(3，1，2)，SP 310 35110所以(f =．………………………………………………………………………… 3分（2）在1，2，…，n 的所有排列1(a ，2a ，…，)n a 中，若(11)i a n i n =-≤≤，从1n -个数1，2，3，…，1n -中选1i -个数按从小到大的顺序排列为1a ，2a ，…，1i a -，其余按从小到大的顺序排列在余下位置，于是满足题意的排列个数为11C i n --．……………………………………………………………………… 6分若n a n=，则满足题意的排列个数为(1)f n -．……………………………………… 8分综上，()f n =(1)f n -+1111Cn i n i ---=∑1(1)21n f n -=-+-．从而()33212()(3)(3)2112n n f n n f n --=--+=---． ……………………………… 10分。

2014高三年级三统模拟测试数学Ⅰ卷一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应的位．．．．．．．置上．．． 1．已知集合{}1 3 5 9U =，，，，{}1 3 9A =，，，{}1 9B =，，则()U A B =U ð ▲ ． 2. 已知2(,)a ib i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b += ▲ ． 3． 用系统抽样方法从400名学生中抽取容量为20的样本，将400名学生随机地编号为400~1，按编号顺序平均分为20个组。

若第1组中用抽签的方法确定抽出的号码为11，则第20组抽取的号码为 ▲ ．4． 从1,2,3,4中随机取出两个不同的数，则其和为奇数的概率为 ▲ ．5．已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 的夹角为 ▲ ． 6.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S 为 ▲ ．7．已知实数x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则2x y +的最大值是 ▲ ．8、已知cos()4πθ+=(0,)2πθ∈，则sin(2)3πθ-= ▲ ．9、直线23+=x y 与圆心为D 的圆()()13122=-+-y x 交于B A ,两点，直线BD AD ,的倾斜角分别为βα,，则()βα+tan = ▲ ． 10．设P 为2412-=x y 图象C 上任意一点，l 为C 在点P 处的切线，则坐标原点O 到l 距离的最小值为 ▲ ．11、已知椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，A 、B 分别是椭圆长轴的两个端点，M 、N 是椭圆上关于x 轴对称的两点，直线,AM BN 的斜率分别为12,k k ，若1214k k ⋅=，则椭圆的离心率为 ▲ ．12．若0,0a b >>，且21a b +=，则22(4)S a b =+ 的最大值是 ▲ ． 12.已知a >0，b >0，函数f (x )＝x 2＋(ab －a －4b )x ＋ab 是偶函数，则f (x )的图象与y 轴交点纵坐标的最小值为________．13．设函数()x x x x f 5323+-=，{}n a 为公差不为0的等差数列，若101021=+++a a a ，则()()()1021a f a f a f +++ = ▲ ．1100223Pr int I While I I I S I End While S←<←+←+14. 定义在R 上的函数()f x 满足(2)f x -是偶函数，且对任意x R ∈恒有(3)(1)201f x f x -+-=，又(4)2013f =，则(2014)f = .二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在ABC ∆中，,,A B C 的对边分别是,,a b c ，已知平面向量(sin(),cos )m C C π=-，(sin(),sin )2n B B π=+ ，且sin 2m n A ⋅= ． （1）求sin A 的值；（2）若1,cos cos 1a B C =+=，求边c 的值． 16．（本小题满分14分）(2013·苏州质检)如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，已知∠ACB ＝90°，M 为A 1B与AB 1的交点，N 为棱B 1C 1的中点，(1)求证：MN ∥平面AA 1C 1C ；(2)若AC ＝AA 1，求证：MN ⊥平面A 1BC .如图，ABCD是边长为1百米的正方形区域，现规划建造一块景观带△ECF，其中动点E、F分别在CD、BC上，且△ECF的周长为常数a（单位：百米）．（1）求景观带面积的最大值；（2）当a=2时，请计算出从A点欣赏此景观带的视角（即∠EAF）．18．（本小题满分16分）如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆22221(0)yx a ba b+=>>的右焦点为(1 0)F，,离心率.分别过O,F的两条弦AB,CD相交于点E(异于A,C两点),且OE EF=.(1)求椭圆的方程; (2)求证:直线AC,BD的斜率之和为定值.（第18题）FED CB A（第17题）设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，S 6＝22． （1）求S n ；（2）若从{a n }中抽取一个公比为q 的等比数列{a k n }，其中k 1＝1，且 k 1＜k 2＜…＜k n ＜…，k n ∈N *．①当q 取最小值时，求{ k n }的通项公式；②若关于n (n ∈N *)的不等式6S n ＞k n ＋1有解，试求q 的值．20．（本小题满分16分）已知函数32()f x x x b =-++，()ln g x a x =． （1）若()f x 的极大值为427，求实数b 的值； （2）若对任意[]1,x e ∈，都有2()(2)g x x a x -++≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）当0b =时，设()(),1(),1f x x F xg x x ⎧<⎪=⎨⎪⎩≥，对任意给定的正实数a ，曲线()y F x =上是否存在两点,P Q ，使得POQ ∆是以O （O 为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在y 轴上？请说明理由．数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD 内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD 的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换 已知矩阵1237A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦， (Ⅰ)求逆矩阵1A -；（Ⅱ）若矩阵X 满足31AX ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，试求矩阵X ．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面P AB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2P A a =，求异面直线P A 与CD 所成角的余弦 值的大小；（2）若二面角A －PB －CP A 的长度．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个数； （2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．ABCDOP（第22题）。

（第3题）(第5题)江苏省南通、泰州、扬州、连云港、淮安五市 2013届高三第三次模拟考试数学试卷及答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1． 已知集合(]2 1A =-，，[)1 2B =-，，则A B =U ▲ ． 【答案】(2 2)-，2． 设复数z 满足(34i)50z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的 模为 ▲ ． 【答案】13． 右图是一个算法流程图，则输出的S 的值是 ▲ ．【答案】24004． “M N >”是“22log log M N >”成立的 ▲ 条件．（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”中选择一个正确的填写） 【答案】必要不充分5． 根据某固定测速点测得的某时段内过往的100辆 机动车的行驶速度(单位：km/h)绘制的频率分布 直方图如右图所示．该路段限速标志牌提示机动车辆正常行驶速度为60 km/h~120 km/h ，则该时 段内非正常行驶的机动车辆数为 ▲ ． 【答案】156． 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦 点到准线的距离为 ▲ ．【答案】47． 从集合{}1 2 3 4 5 6 7 8 9，，，，，，，，中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为(第9题)▲ ．【答案】1128． 在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆C ：22(1)4x y -+=上的任意一点，点Q (2a ，3a -) (a ∈R)，则线段PQ 长度的最小值为 ▲ ．【答案29． 函数()sin()f x A x ωϕ=+(0A >，0ω>，02)ϕ<π≤在R 上的部分图象如图所示，则(2013)f 的值为 ▲ ． 【答案】10．各项均为正数的等比数列{}n a 中，211a a -=．当3a 取最小值时，数列{}n a 的通项公式a n = ▲ ． 【答案】12n -11．已知函数2221 0 () 0ax x x f x x bx c x ⎧--⎪=⎨++<⎪⎩，≥，，是偶函数，直线y t =与函数()y f x =的图象自左向右依次交于四个不同点A ，B ，C ，D ．若A B B C =，则实数t 的值为 ▲ ． 【答案】74-12．过点(1 0)P -，作曲线C ：e xy =的切线，切点为1T ，设1T 在x 轴上的投影是点1H ，过点1H 再作曲线C 的切线，切点为2T ，设2T 在x 轴上的投影是点2H ，…，依次下去，得到第1n +()n ∈N 个 切点1n T +．则点1n T +的坐标为 ▲ ．【答案】() e nn ，13．在平面四边形ABCD中，点E ，F 分别是边AD ，BC 的中点，且AB1=，EF =，CD =．若15AD BC ⋅=uuu r uuu r ，则AC BD ⋅uuu r uuu r的值为 ▲ ． 【答案】1314．已知实数a 1，a 2，a 3，a 4满足a 1+a 2+a 30=，a 1a 42+a 2a 4-a 20=，且a 1>a 2>a 3，则a 4的取值范围是▲ ．【答案】二、解答题15．如图，在四棱锥P ABC D -中，底面ABC D 是矩形，四条侧棱长均相等． （1）求证：AB //平面PC D ； （2）求证：平面PAC ⊥平面ABC D ． 证明：（1）在矩形ABC D 中，//A B C D ， 又AB ⊄平面PC D ， C D ⊂平面PC D ，所以AB //平面PC D ． ………6分 （2）如图，连结BD ，交A C 于点O ，连结PO ，在矩形ABC D 中，点O 为 A C B D ，的中点， 又PA PB PC PD ===，故PO AC ⊥，PO BD ⊥， ………9分 又AC BD O =I ，A CB D ，⊂平面ABCD ，所以PO ⊥平面ABC D ， ………12分 又PO ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面ABC D ． ………14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知222222sin 2sin sin C b a c A C c a b--=---． （1）求角B 的大小；（2）设222sin sin sin T A B C =++，求T 的取值范围． 解：（1）在△ABC 中，222222s i n 2c o s c o s Bs i n c o s 2s i n s i n 2c o s c o ss i n c o sC b a c a c B c C B A C a b C b C B C c a b ---====----， ………3分因为sin 0C ≠，所以sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =-，所以2sin cos sin cos sin cos sin()sin A B B C C B B C A =+=+=， ………5分 因为sin 0A ≠，所以1cos 2B =，因为0πB <<，所以π3B =． ………7分（2）222131sin sin sin (1cos 2)(1cos 2)242T A B C A C =++=-++-ABC（第15题）PDO()71714π(cos 2cos 2)cos 2cos 242423A C A A -⎡⎤=⎢⎥⎣+=--⎦+()()71171πcos 22cos 2422423A A A =--=-+ ………11分因为2π03A <<，所以4π023A <<，故ππ5π2333A <+<，因此()π11cos 232A -+<≤，所以3924T <≤． ………14分17．某单位设计的两种密封玻璃窗如图所示：图1是单层玻璃，厚度为8 mm ；图2是双层中空玻璃，厚度均为4 mm ，中间留有厚度为x 的空气隔层．根据热传导知识，对于厚度为d 的均匀介质， 两侧的温度差为T ∆，单位时间内，在单位面积上通过的热量T Q k d∆=⋅，其中k 为热传导系数．假定单位时间内，在单位面积上通过每一层玻璃及空气隔层的热量相等．（注：玻璃的热传导系 数为3410 J mm/C -⨯⋅ ，空气的热传导系数为42.510 J mm/C -⨯⋅ ．）（1）设室内，室外温度均分别为1T ，2T ，内层玻璃外侧温度为1T '，外层玻璃内侧温度为2T '， 且1122T T T T ''>>>．试分别求出单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过 的热量（结果用1T ，2T 及x 表示）；（2）为使双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量只有单层玻璃的4%，应如何设计 x 的大小？图1图2（第17题）（第18题）解：（1）设单层玻璃和双层中空玻璃单位时间内，在单位面积上通过的热量分别为1Q ，2Q ， 则31212141082 000T T T T Q ---=⨯⋅=， ………2分34311122224102.51041044T T T T T T Q x---''''---=⨯⋅=⨯⋅=⨯⋅ ………6分111222343444102.510410T T T T T T x---''''---===⨯⨯⨯ 11122234344410 2.510410T T T T T T x ---''''-+-+-=++⨯⨯⨯124 000 2 000T T x -=+． ………9分（2）由（1）知21121Q Q x =+， 当121x =+4%时，解得12x =（mm ）．答：当12x =mm 时，双层中空玻璃通过的热量只有单层玻璃的4%． ………14分18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y xa b a b+=>>的右焦点为(1 0)F ，． 分别过O ，F 的两条弦AB ，C D 相交于点E （异于A ，C 两点），且O E E F =． （1）求椭圆的方程；（2）求证：直线AC ，BD 的斜率之和为定值．（1）解：由题意，得1c =，c e a==，故a =从而2221b a c =-=，所以椭圆的方程为2212x y +=．① ………5分（2）证明：设直线AB 的方程为y kx =， ②直线C D 的方程为(1)y k x =--， ③ ………7分由①②得，点A ，B 的横坐标为由①③得，点C ，D 21k +， ………9分记11( )A x kx ，，22( )B x kx ，，33( (1))C x k x -，，44( (1))D x k x -，， 则直线A C ，BD 的斜率之和为13241324(1)(1)kx k x kx k x x x x x ----+--132413241324(1)()()(1)()()x x x x x x x x k x x x x +--+-+-=⋅--1234123413242()()()()()x x x x x x x x k x x x x --+++=⋅--………13分2222213242(1)2420212121()()k k k k k k x x x x -⎛⎫---+ ⎪+++⎝⎭=⋅--0=． ………16分19．已知数列{}n a 是首项为1，公差为d 的等差数列，数列{}n b 是首项为1，公比为(1)q q >的等比数列．（1）若55a b =，3q =，求数列{}n n a b ⋅的前n 项和；（2）若存在正整数(2)k k ≥，使得k k a b =．试比较n a 与n b 的大小，并说明理由． 解：（1）依题意，5145511381a b b q -===⨯=， 故5181120514a a d --===-， 所以120(1)2019n a n n =+-=-， ………3分令2111213413(2019)3n n S n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅， ① 则213 13213(2039)3(2019)3n n n S n n -=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅， ② ①-②得，()2121+20333(2019)3n n n S n --=⨯++⋅⋅⋅+--⋅，13(13)1+20(2019)313n nn --=⨯--⋅-(2920)329n n =-⋅-， 所以(2029)3292nn n S -⋅+=． ………7分（2）因为k k a b =，所以11(1)k k d q -+-=，即111k qd k --=-，故111(1)1k n qa n k --=+--，又1n n b q -=， ………9分所以1111(1)1k n n n q b a q n k --⎡⎤--=-+-⎢⎥-⎣⎦()()111(1)1(1)11n k k q n q k --⎡⎤=-----⎣⎦-()()23231(1)1(1)11n n k k q k q q qnq q q k -----⎡⎤=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅++⎣⎦- ………11分（ⅰ）当1n k <<时，由1q >知()()232311()1(1)1n n k k n n n q b a k n q q q n q q q k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅++--++⋅⋅⋅+⎣⎦-211()(1)(1)()1n n q k n n q n k n q k ---⎡⎤<-----⎣⎦- 22(1)()(1)1n q qk n n k ----=--0<， ………13分 （ⅱ）当n k >时，由1q >知()()231231(1)()11n n k k k n n q b a k q q qn kqqq k ------⎡⎤-=-++⋅⋅⋅+--++⋅⋅⋅++⎣⎦- 121(1)()()(1)1k k q k n k q n k k q k ---⎡⎤>-----⎣⎦- 22(1)()k q q n k -=-- 0>，综上所述，当1n k <<时，n n a b >；当n k >时，n n a b <；当1 n k =，时，n n a b =． ………16分（注：仅给出“1n k <<时，n n a b >；n k >时，n n a b <”得2分．）20．设()f x 是定义在(0 )+∞，的可导函数，且不恒为0，记()()()n nf xg x n x=∈*N ．若对定义域内的每一个x ，总有()0n g x <，则称()f x 为“n 阶负函数”；若对定义域内的每一个x ，总有[]()0n g x '≥，则称()f x 为“n 阶不减函数”（[]()n g x '为函数()n g x 的导函数）．（1）若31()(0)a f x x x xx=-->既是“1阶负函数”，又是“1阶不减函数”，求实数a 的取值范围；（2）对任给的“2阶不减函数”()f x ，如果存在常数c ，使得()f x c <恒成立，试判断()f x 是 否为“2阶负函数”？并说明理由． 解：（1）依题意，142()1()1f x a g x x x x==--在(0 )+∞，上单调递增，故15342[()]0a g x xx'=-+≥ 恒成立，得212a x≤， ………2分因为0x >，所以0a ≤． ………4分 而当0a ≤时，1421()10a g x xx=--<显然在(0 )+∞，恒成立，所以0a ≤． ………6分（2）①先证()0f x ≤：若不存在正实数0x ，使得20()0g x >，则2()0g x ≤恒成立． ………8分 假设存在正实数0x ，使得20()0g x >，则有0()0f x >，由题意，当0x >时，2()0g x '≥，可得2()g x 在(0 )+∞，上单调递增， 当0x x >时，022()()f x f x xx >恒成立，即202()()f x f x xx >⋅恒成立，故必存在10x x >，使得20112()()f x f x x mx >⋅>（其中m 为任意常数），这与()f x c <恒成立（即()f x 有上界）矛盾，故假设不成立，所以当0x >时，2()0g x ≤，即()0f x ≤； ………13分 ②再证()0f x =无解：假设存在正实数2x ，使得2()0f x =， 则对于任意320x x >>，有322232()()0f x f x x x >=，即有3()0f x >，这与①矛盾，故假设不成立， 所以()0f x =无解，综上得()0f x <，即2()0g x <，故所有满足题设的()f x 都是“2阶负函数”． ………16分。

2014年高考模拟试卷(3)南通市数学学科基地命题第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ．1. 函数()sin()3f x x πω=-的最小正周期为3π，其中0ω>，则ω= .2. 若复数21(1)z a a i =-++是纯虚数，则实数a = .3. 若{Z |2216},{3,4,5}x A x B =∈≤≤=，则AB = .4. 已知双曲线22221(0,0)x ya b a b-=>>中，若以其焦点为圆心，半实轴长为半径的圆与渐近线相切，则其渐近线方程为 ． 5．如果数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的方差是a ，若数据132x -，232x -，332x -，…，32n x -的方差为9，则a = .6. 执行右边的程序框图，若p ＝80，则输出的n 的值为 .7. 如果投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为x 和y ，则log (1)1x y -=的概率为 . 8．若)(x f 是R 上的增函数，且2)2(,4)1(=-=-f f ，设{}31)(|<++=t x f x P ，{}4)(|-<=x f x Q ，若“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则实数t 的取值范围是______.9．正方形铁片的边长为8cm ，以它的一个顶点为圆心，一边长为半径画弧剪下一个顶角为4π的扇形，用这块扇形铁片围成一个圆锥形容器，则这个圆锥形容器的容积等于________cm 3.10. 若方程[][]22221,1,5,2,4x y a b a b+=∈∈表示焦点在x 轴上且离心率小于的椭圆，则z a b =+的最小值为 ．11. 已知22()9,f x x x kx =-++若关于x 的方程()0f x =在（0，4）上有两个实数解，则k 的取值范围是 .12. 已知圆C 过点(1,1)P ，且与圆M :222(2)(2)(0)x y r r +++=>关于直线20x y ++=对称.若Q 为圆C 上的一个动点，则PQ MQ ⋅的最小值为 .13. 已知函数3221()(21) 1.3=++-+-+f x x x a x a a 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点．则实数a 的取值范围为 ．14. 已知函数22 () n n f n n n ⎧⎪=⎨-⎪⎩为奇数为偶数 ，且()(1)n a f n f n =++，则1232014a a a a +++⋯+=.(第6题)二、解答题：本大题共6小题，共90分.15.（本小题满分14分）已知ABC ∆的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,向量(1,2)m =，2(cos2,cos )2An A =，且1m n ⋅=.(1)求角A 的大小；(2)若2b c a +==,求证：ABC ∆为等边三角形.16.（本小题满分14分）在直三棱柱111ABC A B C -中，AC=4,CB=2,AA 1=2，60ACB ∠=，E 、F 分别是11,AC BC 的中点．（1）证明：平面AEB ⊥平面1B CF ；（2）设P 为线段BE 上一点，且2EP PB =，求三棱锥11P B C F -的体积．P F EC 1B 1A 1CBA17.（本小题满分14分）设椭圆方程22221x y a b+=(0)a b >>，椭圆上一点到两焦点的距离和为4，过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2． （1）求椭圆方程；（2）若M ，N 是椭圆C 上的点，且直线OM 与ON 的斜率之积为12-，是否存在动点00(,)P x y ，若2OP OM ON =+，有22002x y +为定值．18. (本小题满分16分) 某固定在墙上的广告金属支架如图所示，根据要求，AB 至少长3米，C 为AB 的中点，B 到D 的距离比CD 的长小0.5米，∠BCD=600（1）若,CD x =,BC y =将支架的总长度表示为y 的函数，并写出函数的定义域.（注：支架的总长度为图中线段AB 、BD 和CD 长度之和）（2）如何设计,AB CD 的长，可使支架总长度最短．19.（本小题满分16分）若数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足等式23n n a S +=.（1）能否在数列中找到按原来顺序成等差数列的任意三项，说明理由；（2）能否从数列中依次抽取一个无穷多项的等比数列，且使它的所有项和S 满足9116013S <<，如果这样的数列存在，这样的等比数列有多少个？（注：设等比数列的首项为1,a ，公比为(||1)q q <，则它的所有项的和定义为11a q-）20.（本小题满分16分）已知函数32()(63)x f x x x x t e =-++，t R ∈. （1）若函数()y f x =有三个极值点，求t 的取值范围；（2）若()f x 依次在,,()x a x b x c a b c ===<<处取到极值，且22a c b +=，求()f x 的零点； （3）若存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式()f x x ≤恒成立，试求正整数m 的最大值.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．[选做题]本题包括A 、B 、C 、D 四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答题区域．．．．．．．．．．．．．．．．．内作答．．．． A ．（选修４－１：几何证明选讲）在ABC ∆中，,=AB AC 过点A 的直线与其外接圆交于点P,交BC 延长线于点D. 求证：⋅=⋅AP AD AB ACB ．（选修４－２：矩阵与变换）ABC ∆的顶点A （1，2），B （3，3），C （2，1），求在矩阵2002⎡⎤⎢⎥-⎣⎦对应的变换下所得图形的面积．C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知直线11:()5x tl t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩为参数和直线2:0l x y --=的交于点P . （1）求P 点的坐标；（2）求点P 与(1,5)Q -的距离.D ．（选修４－５：不等式选讲）设,a b 是正数，证明：3322222a b a b a b+++≥⋅.【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.22．在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为矩形，平面ABEF ⊥平面ABCD ， EF // AB ，PDC BA∠BAF =90º， AD = 2，AB =AF =2EF =1，点P 在棱DF 上．（1）若P 是DF 的中点， 求异面直线BE 与CP 所成角的余弦值； （2）若二面角D -AP -CPF 的长度．23．数列{}n a 满足2121n n a a +=-，1N a =且11N a -≠，其中{}2,3,4,N ∈（1）求证：1||a ≤1； （2）求证：()12cos 2N k a k Z π-=∈．PFEDCAB2014年高考模拟试卷(3)参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题 1. 6．263T ππωω==⇒= ;2. 1.将复数表示为(,)z a bi a b R =+∈的形式，然后由0,0a b =≠即可求；3.{}3,4.142216,222,14x x x ≤≤∴≤≤∴≤≤，即{}1,2,3,4A =. {}3,4,5B = ，{}3,4A B ∴⋂=；4. y x =±.设焦点为(,0)c ，渐近线方程为by xa=±，即0,bx ay ±=所以a =所以,a b =即渐近线方程为y x =±;5. 3.原数据的方差为a ，则新方差为2a ，而已知新方差为9，所以3a =;6. 7 .依次产生的S 和n 值分别为2,2;6,3;14,4;30,5;62,6;126,7;所以，输出的n 值为7;7.19.因为抛掷两枚均匀的正方体骰子的基本事件数为36种，又由l o g (1)1x y -=知1(1)y x x =+>，所以，满足条件的事件有: (2，3)，(3，4)，(4，5)，(5，6)共4种，则log (1)1x y -=的概率为19;8.3>t .{}|()13{()2}{()(2)}P x f x t x f x t x f x t f =++<=+<=+<，{}|()4{()(1)}Q x f x x f x f =<-=<-，因为函数)(x f 是R 上的增函数，所以{}|2{2}P x x t x x t =+<=<-，{}|1Q x x =<-，要使“P x ∈”是“Q x ∈的充分不必要条件，则有21t -<-，即3t >；9..由题意知，弧长为4π×8＝2π，即围成圆锥形容器底面周长为2π，所以圆锥底面半径为r ＝1，可得圆锥高h ＝，所以容积V ＝13πr 2×h ＝13π×1.⨯;10. 4 .方程22221x y a b+=表示焦点在x 的椭圆时，有22a b c e a ⎧>⎪⎨==⎪⎩，即22224a b a b ⎧>⎨<⎩，化简得2a b a b >⎧⎨<⎩， 又[1,5]a ∈，[2,4]b ∈，画出满足不等式组的平面区域，如右图阴影部分所示，令z y x =+，平移直线,y x z =-+当过(2,2)时，min 4Z =; 11. 23(,3).4--()0f x =可以转化为22|9|x x kx -+=-，记22()|9|g x x x =-+，则()0f x =在（0，4）上有两个实数解，可以转化为函数2229,03()929,34x g x x x x x <≤⎧=-+=⎨-<<⎩与()h x kx =-的图象，结合图像和特殊点(3,9),(4,23)A B 可知23(,3)4k ∈--; 12.－4.设圆心C (,)a b ，则222022212a b b a --⎧++=⎪⎪⎨+⎪=⎪+⎩，解得00a b =⎧⎨=⎩，则圆C 的方程为222x y r +=，将点P 的坐标代入得22r =，故圆C 的方程为222x y +=，设(,)Q x y ，则222x y +=，且(1,1)(2,2)PQ MQ x y x y ⋅=--⋅++=224x y x y +++-=2x y +-，法一：令x α，y α=，则2sin()4x y πα+=+≥-2法二：令x y t +=，则y x t =-+，所以2PQ MQ x y ⋅=+-≥-4，PQ MQ ⋅的最小值为4- ; 13. [)7,1--.2()221'=++-f x x x a ， 若函数()f x 在(]1,3上存在唯一的极值点，则方程2221++-x x a =0在区间(]1,3上有唯一解.因为抛物线21122=--+a x x 的对称轴为1=-x ，函数21122=--+a x x 在区间(]1,3单调递减，所以[)7,1∈--a ；14. 2014. n 为奇数时 1+n 为偶数 ，22(1)21=-+=--n a n n n ， n 为偶数时，1+n 为奇数，22(1)21=-++=+n a n n n ∴ 13=-a ，25=a ，37=-a ，49=a ，511=-a ，713=a ，…… ，∴ 122+=a a ，342+=a a ，即1220142014a a a ++=.二、解答题15. (1)由(1,2)m =，2(cos2,cos )2A n A =， 得222cos22cos 2cos 1cos 12cos cos 2Am n A A A A A ⋅=+=-++=+ …………4分 又因为1m n ⋅=，所以，22cos cos 1A A +=解得1cos 2A =或cos 1A =- …………6分0,3A A ππ<<∴=……7分(2)在ABC ∆中，2222cos a b c bc A =+-且a =所以，22222122b c bc b c bc=+-⋅=+-① …………9分又b c +=b c =，代入①整理得230c -+=，解得c =b于是a b c ===， .…………13分 即ABC △为等边三角形. .…………14分 16．（1）在ABC ∆中，∵AC =2，BC =4,060ACB ∠=，∴AB =222AB BC AC +=， ∴AB BC ⊥.………………………………3分 由已知1AB BB ⊥，1BB BC B =，∴11AB BB C C ⊥面. …………………5分又∵AB ABE ⊂面，11ABE BB C C ⊥故平面平面，即平面AEB ⊥平面1B CF ……7分 （2）取11B C 的中点H ，连结EH ， 则//EH AB且12EH AB ==由（1）11AB BB C C ⊥面，∴11EH BB C C ⊥面， ……10分C 1A 1A∵2EP PB =，∴111111111333P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=. ……14分17. （1）因为24a =，所以，2a = ---------------------------------2分∵过焦点且垂直于x 轴的直线交椭圆于A ，B 两点，AB =2．∴由椭圆的对称性知，椭圆过点(,1)c ，即22114c b+= --------------------4分224c b =-，解得22b =椭圆方程为22142x y += ------------------------------------------------------------7分（2）存在这样的点00(,)P x y .设11(,)M x y ，22(,)N x y ， 则121212OM ON y y k k x x ==-，化简为 121220x x y y += ---------------------9分 ∵M ，N 是椭圆C 上的点，∴2211142x y +=，2222142x y += 由2OP OM ON =+得0121222x x x y y y =+⎧⎨=+⎩- ----------------------------------------11分所以22220012122(2)(2)x y x x y y +=+++ 222211221212(2)4(2)4(2)x y x y x x y y =+++++444020=+⨯+=即存在这样的点00(,)P x y -----------------------------------------------------14分 18. （1）由,CD x =则(0.5)BD x m =-，设CB y =， 则支架的总长度为AC BC BD CD +++，在BCD ∆中，由余弦定理2222cos60(0.5)x y xy x +-=-化简得 20.25y xy x -=-+ 即20.250y xy x -+-= ① ……4分 记0.5220.5l y y x x y x =++-+=+- 由20.250y xy x -+-=，则20.251y x y -=-222220.2520.52220.5420.5220.520.50.50.51111y y y y y y y l y y y y y y ---+---=+⨯-=+-=-=--------------6分（2）由题中条件得23y ≥，即 1.5y ≥设1(0.5)y t t -=≥则原式224(1)2(1)0.5484220.50.50.5t t t t t l t t+-+-++---=-=-=246 1.5 1.5 1.50.5460.54 5.5t t t t t t t++-=++-=++ ……10分0.5t ≥由基本不等式 1.54t t∴+≥有且仅当24 1.5t = ，即t =时成立，又由t = 满足0.5t ≥1y ∴=，x ∴= ∴当2,AB CD =+=金属支架总长度最短． (16)分19. （1）当1n =时，1123a a +=，则11a =.又23n n a S +=，所以1123n n a S +++=，两式相减得113n n a a +=，即 {}n a 是首项为1，公比为13的等比数列，所以113n n a -=------------------------------------------------------4分 假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为,,,()p q r a a a p q r << 则111211333q p r ---=+，即211333q p r=+，所以2331r q r p --⋅=+，即2331r q r p --⋅-=，即3(23)1r q q p ---=又p q r <<，*,r q r p N ∴--∈，所以33,230r q q p -->-<所以3(23)0r q q p ---<∴假设不成立，所以不存在三项按原来顺序成等差数列 --------8分 （2）设抽取的等比数列首项为13m ，公比为13n，项数为k ，且,,m n k N +∈则111[1()]333()111133k m nmn nS k -=<--， -------------------------------------------10分因为9116013S <<，所以191311601313<<-， ------------------12分 所以1311(1)3391609(2)33m nn m ⎧<-⎪⎪⎨⎪<+⎪⎩由（1）得到113133nm +<，所以3,1m n ≥≥， ------------13分 由（2）得到1609933m n +>， --------------------------------14分 当3,1m n ==时，适合条件，这时等比数列首项为311327=，公比为11133= 当3,1m n =>时，均不适合. 当3,1m n >≥时，均不适合.综上可得满足题意的等比数列有只有一个. ------------------16分20. （1）①23232()(3123)(63)(393)x x f x x x e x x x t x x x t e '=-++-++=--++∵()f x 有3个极值点，∴323930x x x t --++=有3个不同的根， --------2分 令32()393g x x x x t =--++，则2()3693(1)(3)g x x x x x '=--=+-， 从而函数()g x 在(,1)-∞-，(3,)+∞上递增，在(1,3)-上递减.∵()g x 有3个零点，∴(1)0(3)0g g ->⎧⎨<⎩，∴824t -<<. -----------------4分（2）,,a b c 是()f x 的三个极值点∴3232393()()()()()x x x t x a x b x c x a b c x ab bc ac x abc --++=---=-+++++-----6分∴23932a b c ab ac bc t abca c b++=⎧⎪++=-⎪⎨+=-⎪⎪+=⎩，∴1b =或32-（舍∵(1,3)b ∈-）∴111a b c ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩， 所以，()f x的零点分别为1-1，1+ -------------------10分 （3）不等式()f x x ≤，等价于32(63)x x x x t e x -++≤，即3263x t xe x x x -≤-+-. 转化为存在实数[0,2]t ∈，使对任意的[1,]x m ∈，不等式3263x t xe x x x -≤-+-恒成立. 即不等式32063x xe x x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立.即不等式2063x e x x -≤-+-在[1,]x m ∈上恒成立. ----------------12分 设2()63x x e x x ϕ-=-+-，则()26x x e x ϕ-'=--+. 设()()26x r x x e x ϕ-'==--+，则()2x r x e -'=-.因为1x m ≤≤，有()0r x '<. 所以()r x 在区间[1,]m 上是减函数. 又1(1)40r e -=->，2(2)20r e -=->，()3330r -=-<， 故存在()02,3x ∈，使得00()()0r x x ϕ'==.当01x x ≤<时，有()0x ϕ'>，当0x x >时，有()0x ϕ'<. 从而()y x ϕ=在区间0[1,]x 上递增，在区间0[,)x +∞上递减. 又1(1)40e ϕ-=+>，2(2)50e ϕ-=+>，3(3)60e ϕ-=+>，4(4)50e ϕ-=+>，5(5)20e ϕ-=+>，6(6)30e ϕ-=-<.所以，当15x ≤≤时，恒有()0x ϕ>；当6x ≥时，恒有()0x ϕ<. 故使命题成立的正整数m 的最大值为5. -----------------16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21. A. 由AB AC =，所以ABC ACB ∠=∠，所以,,∠=∠∠=∠ACD APC CAP CAP 所以,APCACD ∆∆所以,=AP ACAC AD所以2,=⋅AC AP AD 由AB AC =，所以⋅=⋅AP AD AB AC .………10分B ．由20120224⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以，A ，B ，C 在矩阵变换下变为(2,4),(6,6),(4,2)A B C '''---，从而可得A B B C A C ''''''===，可得S=6． ………10分C. （1）将15x t y =+⎧⎪⎨=-+⎪⎩代入0x y --=得t =得(1P +， ………5分（2）由(1,5)Q -，得PQ =. ………10分D. 332233222()()()222a b a b a ba b a b a b +++≥⋅⇔+≥++ ……3分3322332222()()()a b a b ab a b a b ab a a b b a b ⇔+≥+⇔+-+=--- ……6分 2()()0a b a b ⇔+-≥.当且仅当a b =时等号成立. ……10分22. （1）因为∠BAF=90º，所以AF ⊥AB ，因为 平面ABEF ⊥平面ABCD ，且平面ABEF ∩平面ABCD= AB ，所以AF ⊥平面ABCD ，因为四边形ABCD 为矩形， 所以以A 为坐标原点，AB ，AD ，AF 分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系O xyz -． 所以 (1,0,0)B ，1(,0,1)2E ，1(0,1,)2P ，(1,2,0)C ．所以 1(,0,1)2BE =-，1(1,1,)2CP =--，所以4cos ,||||BE CP BE CPBE CP ⋅<>==⋅即异面直线BE 与CP ． -----------------------------5分 （2）因为AB ⊥平面ADF ，所以平面APF 的法向量为1(1,0,0)n =．设P 点坐标为(0,22,)t t -，在平面APC 中，(0,22,)AP t t =-，(1,2,0)AC =， 所以 平面APC 的法向量为222(2,1,)t nt-=-， 所以，121212||cos ,||||n n n n n n ⋅<>==⋅解得23t =，或2t =（舍）． 所以PF = ---------------10分 23. （1）猜想：N K a -≤1，1≤k <N －1，k ∈N *，接下来用数学归纳法对k 进行证明：当k =1时，由2121n n a a +=-，1N a = 得 21N a -=12N a +=1 但11N a -≠ ∴1-N a =－1，∴11N a -≤成立 --------------------------------------------2分 假设k =m (1≤m <N －1，m ∈*N )时，1N m a -≤ 则21N m a --=12N m a -+∈[0，1] 所以11N m a --≤ 所以k =m+1时结论也成立.综上 ，有1N K a -≤，1≤k <N －1，k ∈*N 故有11a ≤ ----------------5分 （2）当N=2时，由12=a 且11≠a 得11cos a π=-=成立假设N=m (m ≥2)时，存在Z k ∈，使得12cos2m k a π-= ------------------7分 则当N=m ＋1时，由归纳假设，存在k ，使得23cos 2m k a π-=，则21a =212a +=3cos 122m k π-+=22cos 2m k π- 所以12cos 2m k a π-==(1)22cos 2m k π+-或12cos 2m k a π-=-=(1)2(1)2(22)cos 2m m k π+-+-- 所以无论N 取任何大于1的正整数，都存在k 使得()12cos2N k a k Z π-=∈ --10。

盐城市2014届高三年级第三次模拟考试数 学 试 题一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程. 1．已知集合{}=1012A -，，，，{}=024B ，，，则AB = ▲ .2．已知复数2i z =-（其中i 为虚数单位），则z z ⋅= ▲ . 3．从长度为2、3、5、6的四条线段中任选三条，能构成三角形的概率为 ▲ .4．函数()f x =的定义域为 ▲ .5．某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，数量分别为120件，9060件. 个容量为n 的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了4件，则n 6．如图所示的流程图，若输入x 的值为2，则输出x 的值为 ▲ ．7．若0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，cos()24παα-=，则α2sin = ▲ .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为4π的半圆面，则该圆锥的体积为 ▲ . 9．设04ω<<，函数()sin()f x x ωϕ=+的图象若向右平移23π个单位所得到的图象与原图象 重合，若向左平移12π个单位所得到的图象关于y 轴对称，则()tan ωϕ的值为 ▲ . 10．若圆222x y r +=过双曲线22221x y a b-=的右焦点F ，且圆与双曲线的渐近线在第一、四象限的交点分别为A 、B ，当四边形OAFB 为菱形时，双曲线的离心率为 ▲ . 11．在平行四边形ABCD 中，4AD =,=3BAD π∠,E 为CD 中点，若=4AC BE ⋅，则AB 的长为 ▲ ．12．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，*n N ∈，其中k 是常数．若对于任意的*m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，则k 的值为 ▲ ．13．若不等式29ln bx c x x ++≤对任意的()0+x ∈∞，，()03b ∈，恒成立，则实数c 的取值范围是 ▲ ．14．若实数x ，y 满足1x ≥-，1y ≥-且2244x y x y +=+，则2222x y y x --+的取值范围是 .第6题二、解答题：本大题共6小题，计90分. 15．(本小题满分14分)在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，若a c +=. （1）求证：2B π≤；（2）当2AB BC ⋅=-，b =ABC ∆的面积.16．(本小题满分14分)如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为菱形，点F 为侧棱PC 上一点.（1）若PF FC =，求证：//PA 平面BDF ；（2）若BF PC ⊥，求证：平面BDF ⊥平面PBC .PABCF D第16题图1是某斜拉式大桥图片，为了了解桥的一些结构情况，学校数学兴趣小组将大桥的结构进 行了简化，取其部分可抽象成图2所示的模型，其中桥塔AB 、CD 与桥面AC 垂直， 通过测量得知=50AB m ，=50AC m ，当P 为AC 中点时，=45BPD ∠。

江苏省南通市2014届高三年级第三次模拟考试理科数学试卷（带解析）1B=【解析】试题分析：求两集合的交集，就是求它们共同元素的集合.集合A为无限集，集合B为有限集，所以将集合B中元素逐一代入集合A B={1,2}考点：集合基本运算．2z=．【解析】考点：复数的四则运算．3．袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为．【解析】试题分析：从5个球中一次取出2个球的基本事件共有10，符合要求的有2个(两个红球或两个篮球)考点：概率基础知识．4．2的距离为．【解析】试题分析：由题意得：截面圆的半径为1.截面圆圆心与球心距离、截面圆的半径1及球的半径2考点：球的相关知识．53，则输入x的值为．【答案】1【解析】3，所以考点：流程图中选择结构65，则此组数据的标准差是．【解析】试题分析：因为一组数据平均值是5，所.因此方差为8,注意审题．考点：数据分析相关知识7程为．【解析】考点：双曲线的性质8．已知函数对任意的满足)，且当时，4的取值范围是 ．【解析】4考点：二次函数的图象与性质，零点问题9的最小值为 ． 【答案】8【解析】试题分析：因为，所以方法一：，；方法二（消元）：考点：不等式在求解最值上的应用．10【答案】10【解析】试题分析：在垂直的条件下，建系求解是最佳选择．以C 为坐标原点，AC建立直角坐标系，则A(6，0),B （0,4），D （-6,8）考点：平面向量的相关知识11【解析】试题分析：根据解出，过点（1，1），所以考点：三角函数的图象12C的取值范围是．【解析】试题分析：圆C条切线相互垂直”为“圆心到直线的距离小于等于”，再利用点到直线的距离公式求解．即2.考点：圆的方程、圆和直线的位置关系、点到直线的距离公式13．设数列{a n}为等差数列，数列{b n}为等比数列．则数列{b n}的公比为．【解析】试题分析：方法一：，若，则，舍去；若，则2考点：等差数列、等比数列的性质14．在△ABC 中，AC=1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）CD长的最大值为 ．【答案】3 【解析】试题分析：则在三角形BCD 中，由余弦定理可知在三角形ABC 中，由余弦定理可可得，所以，令，则5，当4考点：解三角形15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ．（1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF⊥平面CDEF．【答案】（1）详见解析，（2）详见解析.【解析】试题分析：（1）证明线线平行，一般思路为利用线面平行的性质定理与判定定理进行转化. 因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD CDEF CDEF，所以AB∥平面CDEF ABFE AB∥EF．（2）证明面面垂直，一般利用其判定定理证明，即先证线面垂直. 因为DE⊥平面ABCD=CDEF，所以BC⊥面ABCD，所以DE⊥BC．因为BC⊥CD DE D平面CDEF．因为BCF，平面BCF⊥平面CDEF．试题解析：【证】（1）因为四边形ABCD是矩形，所以AB∥CD，CDEF CDEF，所以AB∥平面CDEF． 4分ABFE所以AB∥EF． 7分（2）因为DE⊥平面ABCD ABCD，所以DE⊥BC． 9分=CDEF，因为BC⊥CD DE D所以BC⊥平面CDEF． 12分因为BCF，平面BCF⊥平面CDEF． 14分考点：线面平行与垂直关系16．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c（1（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）向量数量积就是边与角的关系，这也是向量与三角形的结合点. 因为（2）研究三角函数性质，先将其化为基本三角函数，即所最后根据基本三角函数性质，求其值域. 由于【解】（1 3分6分（2 8分10分因为，12分14分考点：两角和与差的三角函数、解三角形、向量的数量积17．某风景区在一个直径AB为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A与圆弧上的一点C之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C到点B设计为沿．．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计）（1（2【答案】（1（2）【解析】试题分析：（1）解实际问题应用题，关键正确理解题意，正确列出等量关系或函数关系式.本题要注意着重号. 2AC与弧长BC之和.（2.3分7分（2 9分11分列表如下：13分14分考点：运用数学知识解决实际问题18．如图，在平面直角坐标系xOy（1）求椭圆的方程；（2【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）求椭圆标准方程，只需两个独立条件.另一个是点在椭圆上即，所以．所以椭圆的方程为（2）研究直线与椭圆位置关系，关键确定参数，一般取直线的斜率，①当两条弦中一条斜率为0当两弦斜率均存在且不为0时，理，1)(1)．所以2222)12(14(34kk k+=++【解】（12分6分（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，7分 ② 当两弦斜率均存在且不为010分12分16分考点：椭圆的方程及椭圆与直线的位置关系．19（1（2若不存在，说明理由．【答案】（1（2【解析】试题分析：（1）根据函数极值求参数，不要忘记列表检验.因为导数为零的点不一定是极值点.符合题意；（2）由值域范围确定解析式中参数范围，是函数中难点.主要用到分类讨论的思想方法.（Ⅱ）两式相除设增，减，此时【解】（12分5分（2 7分① 9分11分②13分16分 考点：导数在研究函数上的应用20．各项均为正数的数列{a n}a+（1{b n }是等比数列； （2【答案】（1）详见解析，（2．【解析】试题分析：（1）数列{bn}式，时，②，①-②，得即，，化简得或．因为数列{an}的各项均为正数，所． （2）由（12项开始依次递减．当以时，，即．令)，则1即存在满足题设的（*）式不成立．【解】（12分①②①-， 4分因为数列{an}．所以数列{bn}是等比数列． 6分（2）由（1*）2项开始依次递减． 8分（*． 13分（*）式不成立．． 16分（注：列举出一组给2分，多于一组给3分）考点：数列的通项公式、前n项和21．求【答案】详见解析【解析】因3分分10分（第21—A题）考点：三角形相似问题22．试求【解析】试题分析：解决矩阵问题，关键在于对应.所分10分考点：矩阵与曲线变换23．P（0，1），若直线【答案】1【解析】试题分析：利用直线的参数方程的几何意义，可简便解决有关线段乘积问题.5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以）10分考点：直线的参数方程24【答案】详见解析【解析】试题分析：利用分析法或作差法证明不等式. 即5分10分考点：不等式相关知识25F（1，0）（1（2【答案】（1（2）详见解析. 【解析】试题分析：（1）求动点轨迹方程，分四步。

如东县掘港高级中学2014高三第三次调研考试试卷数学试卷（Ⅰ）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1．已知集合}12|{},2|||{+==≥=x y y B x x A ，则=B A . 2．已知x 为实数，则“3x ≥”是“2230x x --≥”的 条件 3．已知,αβ都是锐角，1sin ,cos(),22ααβ=+=则cos β=____ __. 4．i 为虚数单位，复数11i-的虚部是____ __. 5. 已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为 ．6. 已知圆锥的母线长为5，侧面积为π15，则此圆锥的体积为（结果保留π）__________．7．顶点在原点且以双曲线1322=-y x 的右准线为准线的抛物线方程是 ． 8. 函数12ln y x x=+的单调减区间为__________．9. 设定义在区间（20π，）上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象交于点P ，过点P作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．10. 已知直线01=+-y kx 与圆4:22=+y x C 相交于B A ,两点，若点M 在圆C 上，且有OB OA OM +=（O 为坐标原点），则实数k = .11. 已知实数a x f x x x ax x x f a 232167)(1,log 1;2)(,0=⎩⎨⎧>≤+-=>，若方程，有且仅有两个不等实根，且较大的实根大于3，则实数a 的取值范围 .12．在数列{}n a 中，11a =，2(1)2nn n a a ++-=，记n S 是数列{}n a 的前n 项和，则100S = ．13．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是 ．14. 我们可以利用数列{}n a 的递推公式2,,n n n n a a n ⎧⎪=⎨⎪⎩为奇数时，为偶数时（n ∈*N ）求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数。

2014—2015学年度第一学期江苏省南通第一中学高三阶段考试数学试题注意事项：本试卷分试题和答卷两部分，共160分，考试时间为120分钟．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(∁U A )∩B ＝ ▲ ． 2． 命题“若x ，y 都是偶数，则x ＋y 也是偶数”的逆否命题是 ▲ ． 3．函数()f x =的定义域是 ▲ ．4． 若a ＝30.6，b ＝log 30.2，c ＝0.63，则a 、b 、c 的大小关系为 ▲ ．（从大到小排列） 5． 函数y ＝x e x 的最小值是 ▲ ．6． 已知U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－x －2＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，B ∩(∁U A )＝∅，则m ＝ ▲ ． 7． 已知命题p ：“∃x ∈R ，使得x 2＋2ax ＋1＜0成立”为真命题，则实数a 的取值范围是 ▲ ． 8．已知函数()f x =的值域是[)0+∞，则实数m 的取值范围是 ▲ ．9． 已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝ ▲ ．10．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域R 上的递减函数，则实数a 的取值范围是 ▲ ．11．函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式f (x )cos x <0的解集为 ▲ ．12．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |，函数g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin (πx )，x ＞0，－1x，x ＜0，则函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为 ▲ ．13．将一个长宽分别是a ，b (0<b <a )的铁皮的四角切去相同的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，若这个长方体的外接球的体积存在最小值，则ab的取值范围是 ▲ ．14．设a ＞0，函数2(),()ln a f x x g x x x x=+=-，若对任意的x 1，x 2∈[1,e ]，都有12()()f x g x ≥成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题14分）已知集合A ＝{y |y ＝2x －1,0＜x ≤1}，B ＝{x |(x －a )[x －(a ＋3)]＜0}．分别根据下列条件，求实数a 的取值范围． (1)A ∩B ＝A ；(2)A ∩B ≠∅. 16．（本小题14分）已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a >0)，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0.若f (－1)＝0，且对任意实数x 均有f (x )≥0成立． (1)求F (x )的表达式；(2)当x ∈[－2,2]时，g (x )＝f (x )－k x 是单调函数，求k 的取值范围．17．A,B 两地相距S 千米，要将A 地所产汽油运往B 地．已知甲、乙二型运油车行驶S 千米的耗油量（不妨设空载时，满载时相同）分别为各自满载油量的11,1514，且甲型车的满载油量是乙型车的56，今拟在A,B 之间设一运油中转站C ，由从A 出发，往返于A,C 之间的甲型车将A 处的汽油运至C 处，再由从C 出发，往返于C,B 之间的乙型车将C 处收到的汽油运至B 处．若C 处收到的汽油应一次性运走，且各辆车的往返耗油从各自所载汽油中扣除，问C 地设在何处，可使运油率最大？此时，甲、乙二型汽车应如何配备？（运油率精确到1%，运油率=B 处收到的汽油A 处运出的汽油×100%） 18．（本小题16分）已知定义域为R 的函数()122x x af x b+-+=+是奇函数，（1）求,a b 的值；( 2) 判断并证明函数()f x 的单调性；（3）若对任意的t ∈R ，不等式()()22220f t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围.19．（本小题16分）已知函数()2f x x x a x =-+．（1）若函数()f x 在R 上是增函数，求实数a 的取值范围；（2）求所有的实数a ，使得对任意[1,2]x ∈时，函数()f x 的图象恒在函数()21g x x =+图象的下方；（3）若存在[4,4]a ∈-，使得关于x 的方程()()f x t f a =有三个不相等的实数根，求实数t 的取值范围．20．（本小题16分）已知函数f (x )＝sin x －x cos x 的导函数为f ′(x )． (1)求证：f (x )在(0，π)上为增函数；(2)若存在x ∈(0，π)，使得f ′(x )＞12x 2＋λx 成立，求实数λ的取值范围；(3)设F (x )＝f ′(x )＋2cos x ，曲线y ＝F (x )上存在不同的三点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)， x 1＜x 2＜x 3，且x 1，x 2，x 3∈(0，π)，比较直线AB 的斜率与直线BC 的斜率的大小，并证明．_____________________________________________________________________________________命题、校对、制卷： 吴勇贫 审核：吴勇贫江苏省南通第一中学2015届高三阶段考试理科数学答案1. 解析 由集合的运算，可得(∁U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．答案 {6,8}2．解析 由于“x ，y 都是偶数”的否定表达是“x ，y 不都是偶数”，“x ＋y 是偶数”的否定表达是“x ＋y 不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若x ＋y 不是偶数，则x ，y 不都是偶数”． 答案 若x ＋y 不是偶数，则x 、y 不都是偶数 3． {0}∪[1,+∞)；4． 解析 30.6＞1，log 30.2＜0,0＜0.63＜1，所以a ＞c ＞b .答案 a ＞c ＞b5． 解析 y ′＝e x ＋x e x ＝(1＋x )e x ，令y ′＝0，则x ＝－1，因为x ＜－1时，y ′＜0，x ＞－1时，y ′＞0，所以x ＝－1时，y min ＝－1e .答案 －1e6．答案0,1，－12；7． 解析 “∃x ∈R ，x 2＋2ax ＋1＜0”是真命题，即不等式x 2＋2ax ＋1＜0有解，∴Δ＝(2a )2－4＞0，得a 2＞1，即a ＞1或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)8．[][)0,19,+∞，试题分析：由题意得：函数2(3)1y mx m x =+-+的值域包含[)0,+∞， 当m ＝0时，31[0,),y x =-+∈⊃+∞R 满足题意；当0m ≠时，要满足值域包含[)0,+∞，需使得0,0.m >∆≥即9m ≥或01m <≤， 综合得：实数m 的取值范围是[][)0,19,+∞.9．解析 ∵f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4，①∴f (－x )＝a (－x )3＋b sin(－x )＋4， 即f (－x )＝－ax 3－b sin x ＋4，② ①＋②得f (x )＋f (－x )＝8，③又∵lg(log 210)＝lg ⎝⎛⎭⎫1lg 2＝lg(lg 2)－1＝－lg(lg 2)， ∴f (lg(log 210))＝f (－lg(lg 2))＝5，又由③式知f (－lg(lg 2))＋f (lg(lg 2))＝8， ∴5＋f (lg(lg 2))＝8，∴f (lg(lg 2))＝3. 答案 310．解析 ∵函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－3a )x ＋10a ，x ≤7，a x －7，x >7是定义域上的递减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，(1－3a )×7＋10a ≥a 0，即⎩⎪⎨⎪⎧1－3a <0，0<a <1，7－11a ≥1，解得13<a ≤611.答案 ⎝⎛⎦⎤13，61111．解析 当x ∈(0,1)时，cos x >0，f (x )>0；当x ∈⎝⎛⎭⎫1，π2时，cos x >0，f (x )<0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫π2，4时，cos x <0，f (x )<0，当x ∈(－1,0)时，cos x ＞0，f (x )＞0；当x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，－1时，cos x ＞0，f (x )＜0； 当x ∈⎝⎛⎭⎫－4，－π2时，cos x ＜0，f (x )＜0. 故不等式f (x )cos x <0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－π2<x <－1，或1<x <π2. 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－π2＜x ＜－1，或1＜x ＜π212．解析 函数y ＝f (x )(x ∈R )满足f (x ＋1)＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝－[－f (x )]＝f (x )，即函数f (x )的周期为2，作出x ∈[－1,1]时，f (x )＝|x |的图象，并利用周期性作出函数f (x )在[－5,5]上的图象，在同一坐标系内再作出g (x )在[－5,5]上的图象，由图象可知，函数f (x )与g (x )的图象有9个交点，所以函数h (x )＝f (x )－g (x )在区间[－5,5]上的零点的个数为9.答案 913．解析 设切去正方形的边长为x ，x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2，则该长方体外接球的半径为r 2＝14[(a －2x )2＋(b －2x )2＋x 2]＝14[9x 2－4(a ＋b )x ＋a 2＋b 2]，在x ∈⎝⎛⎭⎫0，b 2存在最小值时，必有0<2(a ＋b )9<b 2，解得a b <54，又0<b <a ⇒a b >1，故ab 的取值范围是⎝⎛⎭⎫1，54. 14．答案)+∞．15．解 因为集合A 是函数y ＝2x －1(0＜x ≤1)的值域，所以A ＝(－1,1]，B ＝(a ，a ＋3)．…………………………4分(1)A ∩B ＝A ⇔A ⊆B ⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ≤－1，a ＋3＞1，即－2＜a ≤－1，故当A ∩B ＝A 时，a 的取值范围是(－2，－1]．……………………7分 (2)当A ∩B ＝∅时，结合数轴知，a ≥1或a ＋3≤－1，即a ≥1或a ≤－4. …………12分 故当A ∩B ≠∅时，a 的取值范围是(－4,1). …………………14分16．解 (1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋1＝0，∴b ＝a ＋1，……………………2分 ∴f (x )＝ax 2＋(a ＋1)x ＋1.∵对任意实数x 均有f (x )≥0恒成立， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＝(a ＋1)2－4a ≤0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，(a －1)2≤0.………………4分 ∴a ＝1，从而b ＝2，∴f (x )＝x 2＋2x ＋1， ………………6分∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ＋1，x ＞0，－x 2－2x －1，x ＜0. ………………8分(2)g (x )＝x 2＋2x ＋1－k x ＝x 2＋(2－k )x ＋1. ∵g (x )在[－2,2]上是单调函数， ∴k －22≤－2或k －22≥2，………………12分解得k ≤－2或k ≥6. ………………14分 故k 的取值范围是(－∞，－2]∪[6，＋∞). 17．解：设AC ＝l （千米），0＜l ＜S ，则CB ＝S －l （千米），设甲型车满车载油量为a 吨，则乙型车满车载油量为65a 吨．…………2分一辆甲型车往返一次，C 地收到的汽油为12(1)15la S -⋅吨，一辆乙型车往返一次，B 地收到的汽油为1212()(1)[1]1514l S l a S S--⋅⨯-⋅吨．………6分故运油率21(1)(1)261157(1)()1577l S l a l l S S y a S S--⋅⨯-⋅==-⋅+⋅ 2216()105357l l S S =-+⋅+． …………8分 当1335242()105l S =-=-时，y 有最大值，max 24387%280y =≈． …………10分 此时一辆甲型车运到C 处的汽油量为910a 吨，设甲、乙二型车各x 、y 辆，则有96105a x a y ⋅=⋅，所以43x y =． …………12分答：C 地设在靠近B 地的四分之一处，可使运油率最大，此时甲、乙二型车数量之比为4:3．………………………………………………14分18．解：（1）()(),f x f x -=-112222x x x x a ab b--++-+-∴=++，()()()()112222x x x x b a b a -+-∴+-=+-,42222222x x x x ab b a a b --∴-+⋅-⋅=⋅-⋅4201222ab a b ab a b-=⎧=⎧⎪=⇒⎨⎨=⎩⎪=⎩. 4分 （2）因为()11212xf x =-++，所以()y f x =是单调递减的.证明：设12,x x <()()()()211212221212x x x x f x f x --=++,因为12,x x <所以21220,x x ->从而()()12f x f x >，所以()y f x =在R 上是单调递减的. 10分（3）()()2222,f t f t k -<--又()f x 是奇函数，∴()()2222,f t f k t -<-又()f x 是减函数，∴2222t k t ->-，即232,k t <-∴ 2.k <- 16分19．解：（1）22(2),,()2(2),,x a x x a f x x x a x x a x x a ⎧+-⎪=-+=⎨-++<⎪⎩≥由()f x 在R 上是增函数，则2,22,2a a a a -⎧-⎪⎪⎨+⎪⎪⎩≥≤即22a -≤≤，则a 范围为22a -≤≤；…4分 （2）由题意得对任意的实数[1,2]x ∈，()()f x g x <恒成立，即1x x a -<，当[1,2]x ∈恒成立，即1x a x -<，11x a x x-<-<，11x a x x x -<<+，故只要1x a x-<且1a x x <+在[1,2]x ∈上恒成立即可，在[1,2]x ∈时，只要1x x -的最大值小于a 且1x x+的最小值大于a 即可，而当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫-=+> ⎪⎝⎭，1x x -为增函数，max 132x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭；当[1,2]x ∈时，21110x x x '⎛⎫+=-> ⎪⎝⎭，1x x +为增函数，min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以322a <<；（3）当22a -≤≤时，()f x 在R 上是增函数，则关于x 的方程()()f x t f a =不可能有三个不等的实数根； 则当(2,4]a ∈时，由22(2),,()(2),x a x x a f x x a x x a⎧+-⎪=⎨-++<⎪⎩≥得x a ≥时，2()(2)f x x a x =+-对称轴22a x a -=<，则()f x 在[,)x a ∈+∞为增函数，此时()f x 的值域为[(),)[2,)f a a +∞=+∞，x a <时，2()(2)f x x a x =-++对称轴22a x a +=<，则()f x 在2,2a x +⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦为增函数，此时()f x 的值域为2(2),4a ⎛⎤+-∞ ⎥⎝⎦， ()f x 在2,2a x a +⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭为减函数，此时()f x 的值域为2(2)2,4a a ⎛⎤+ ⎥⎝⎦；由存在(2,4]a ∈，方程()()2f x t f a ta ==有三个不相等的实根，则2(2)22,4a ta a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，即存在(2,4]a ∈，使得2(2)1,8a t a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭即可，令2(2)14()488a g a a a a +⎛⎫==++⎪⎝⎭， 只要使()max ()t g a <即可，而()g a 在(2,4]a ∈上是增函数，()max 9()(4)8g a g ==， 故实数t 的取值范围为91,8⎛⎫ ⎪⎝⎭； 同理可求当[4,2)a ∈--时，t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭；综上所述，实数t 的取值范围为91,8⎛⎫⎪⎝⎭．20．解 (1)证明：f′(x )＝x sin x ，当x ∈(0，π)时，sin x ＞0，所以f′(x )＞0恒成立，所以f (x ) 在(0，π)上单调递增．………………………………4分(2)因为f′(x )＞12x 2＋λx ，所以x sin x ＞12x 2＋λx ．当0＜x ＜π时，λ＜sin x －12x ． ………………………………6分设φ(x )＝sin x －12x ，x ∈(0，π)，则φ′(x )＝cos x －12．当0＜x ＜π3时，φ′(x )＞0；当π3＜x ＜π时，φ′(x )＜0．于是φ (x )在(0，π3)上单调递增，在 (π3，π)上单调递减，…………………………8分所以当0＜x ＜π时，φ(x )max ＝g (π3)＝32－π6因此λ＜32－π6． ………………………………10分(3)由题意知只要判断F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1的大小．首先证明：F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)．由于x 2＜x 3，因此只要证：F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．………………………………12分 设函数G (x )＝F (x )－F (x 2)－(x －x 2) F′(x 2)( x 2＜x ＜π)，因为F ′(x )＝x cos x －sin x ＝－f (x )，所以G′(x )＝F′(x )－F′(x 2)＝f (x 2)－f (x )， 由（1）知f (x )在(0，π)上为增函数，所以G′(x )＜0． 则G (x )在(x 2，π)上单调递减，又x ＞x 2，故G (x )＜G (x 2)＝0．而x 2＜x 3＜π，则G (x 3)＜0，即F (x 3)－F (x 2)－(x 3－x 2) F′(x 2)＜0，即F (x 3)－F (x 2)＜(x 3－x 2) F′(x 2)．从而F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F′(x 2)得证． ………………………………14分同理可以证明：F′(x 2)＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1．因此有F (x 3)－F (x 2)x 3－x 2＜F (x 2)－F (x 1)x 2－x 1，即直线AB 的斜率大于直线BC 的斜率．……………16分。

连云港南通市2014届高三第三次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}|12A x x =≤≤，{}1,2,3,4B =，则AB = ．【答案】{}1,22． 已知复数z 满足i 1i z ⋅=+（i 是虚数单位），则z = ． 【答案】1i -3． 袋中有2个红球，2个蓝球，1个白球，从中一次取出2个球，则取出的球颜色相同的概率为 ． 【答案】154． 平面α截半径为2的球O 所得的截面圆的面积为π，则球心O 到平面α的距离为 ．5． 如图所示的流程图，输出y 的值为3，则输入x 的值为 ．【答案】16． 一组数据2,,4,6,10x 的平均值是5，则此组数据的标准差是 ．【答案】7． 在平面直角坐标系xOy 中，曲线C且过点(1,则曲线C 的标准方程为 ．【答案】221y x -=8． 已知函数()f x 对任意的x ∈R 满足()()f x f x -=，且当0x ≥时，2()1f x x ax =-+．若()f x 有4个零点，则实数a 的取值范围是 ． 【答案】()2,+∞9. 已知正实数,x y 满足(1)(1)16x y -+=，则x y +的最小值为 ．【答案】810． 在直角三角形ABC 中，C =90°，6AC =，4BC =．若点D 满足2AD DB =-，则||CD = ．（第5题）【答案】1011．已知函数()sin()f x x ωϕ=+的图象如图所示，则(2)f =． 【答案】12．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2240x y x +-=(1)y k x =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k 的取值范围是 ． 【答案】⎡-⎣13．设数列{a n }为等差数列，数列{b n }为等比数列．若12a a <，12b b <，且2(1,2,3)i i b a i ==，则数列{b n }的公比为 ． 【答案】3+14．在△ABC 中，BC AC =1，以AB 为边作等腰直角三角形ABD （B 为直角顶点，C 、D 两点在直线AB 的两侧）．当C ∠变化时，线段CD 长的最大值为 ． 【答案】3二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答. 解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤．15．如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，DE ⊥平面ABCD ． （1）求证：AB ∥EF ；（2）求证：平面BCF ⊥平面CDEF ．【证】（1）因为四边形ABCD 是矩形，所以AB ∥CD ， 因为AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，所以AB ∥平面CDEF ．……………………… 4分因为AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE 平面CDEF EF =，所以AB ∥EF ． …………………………… 7分 （2）因为DE ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以DE ⊥BC ． …………………………… 9分 因为BC ⊥CD ，CDDE D =，,CD DE ⊂平面CDEF ，所以BC ⊥平面CDEF ． …………………………… 12分 因为B C ⊂平面BCF ，平面BCF ⊥平面CDEF ． …………………………… 14分16．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若4b =，8BA BC ⋅=．（1）求22a c +的值；（2）求函数2()cos cos f B B B B =+的值域．【解】（1）因为8BA BC ⋅=，所以cos 8ac B =． …………………………… 3分 由余弦定理得222222cos 16b a c ac B a c =+-=+-，CE A B DF（第15题）因为4b =，所以2232a c +=． …………………………… 6分 （2）因为222a c ac +≥，所以16ac ≤， …………………………… 8分 所以81cos 2B ac =≥．因为()0,πB ∈，所以π03B <≤． …………………………… 10分因为21π1()cos cos 2(1cos2)sin(2)f B B B B B B B =+=++=++，…… 12分由于ππ5π2666B <+≤，所以π1sin(2),162B ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f B 的值域为31,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦． …………………………… 14分17．某风景区在一个直径AB 为100米的半圆形花园中设计一条观光线路（如图所示）．在点A 与圆弧上的一点C 之间设计为直线段小路，在路的两侧．．边缘种植绿化带；从点C 到点B 设计为沿弧 BC 的弧形小路，在路的一．侧．边缘种植绿化带．（注：小路及绿化带的宽度忽略不计） （1）设 ÐBAC =q （弧度），将绿化带总长度表示为q 的函数()s θ； （2）试确定q 的值，使得绿化带总长度最大． 【解】（1）如图，连接BC ，设圆心为O ，连接CO ． 在直角三角形ABC 中，100AB =，BAC θ∠=， 所以100cos AC θ=．由于22BOC BAC θ∠=∠=，所以弧BC 的长为502100θθ⨯=． ……………………3分 所以()2100cos 100s θθθ=⨯+，即()200cos 100s θθθ=+，π(0,)2θ∈． ……………………………7分（2）()100(2sin 1)s θθ'=-+， ……………………………9分 令 ¢s (q )=0，则π6θ=， ……………………………11分列表如下：所以，当π6θ=时，()s θ取极大值，即为最大值． ……………………………13分答：当π6θ=时，绿化带总长度最大． ……………………………14分O（第17题）ABCθ18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为12，过椭圆右焦点F 作两条互相垂直的弦AB 与CD ．当直线AB 斜率为0时，7AB CD +=． （1）求椭圆的方程； （2）求AB CD +的取值范围．【解】（1）由题意知，12c e a ==，72CD a =-，所以22224,3a c b c ==． ……………………………2分因为点74(,)2c c -在椭圆上，即222274()2143c c c c -+=，所以1c =．所以椭圆的方程为22143y x +=． ……………………………6分（2）① 当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知7AB CD +=； ……………………………7分 ② 当两弦斜率均存在且不为0时，设11(,)A x y ，22(,)B x y ， 且设直线AB 的方程为(1)y k x =-， 则直线CD 的方程为1(1)y x k=--．将直线AB 的方程代入椭圆方程中，并整理得2222(34)84120k x k x k +-+-=，所以1x =2x =所以212212(1)|34k AB x x k +=-=+． ……………………………10分同理，2222112(1)12(1)4343k k CD k k++==++． 所以2222222212(1)12(1)84(1)3434(34)(34)k k k AB CD k k k k ++++=+=++++， ………………………12分令21t k =+，则1t >，23441k t +=-，23431k t +=+， 设222(41)(31)111149()12()24t t f t t t t t-+==-++=--+，因为1t >，所以1(0,1)t∈，（第18题）所以49()(12,]4f t ∈，所以8448[,7)()7AB CD f t +=∈．综合①与②可知，AB CD +的取值范围是48[,7]7． ……………………………16分19．已知函数2()()e x f x x a =-在2x =时取得极小值．（1）求实数a 的值；（2）是否存在区间[],m n ，使得()f x 在该区间上的值域为44[e ,e ]m n ？若存在，求出m ，n 的值；若不存在，说明理由．【解】（1）()e ()(2)x f x x a x a '=--+，由题意知(2)0f '=，解得2a =或4a =． …………………………… 2分 当2a =时，()e (2)x f x x x '=-，易知()f x 在(0,2)上为减函数，在(2,)+∞上为增函数，符合题意； 当4a =时，()e (2)(4)x f x x x '=--，易知()f x 在(0,2)上为增函数，在(2,4)，(4,)+∞上为减函数，不符合题意．所以，满足条件的2a =． …………………………… 5分 （2）因为()0f x ≥，所以0m ≥． …………………………… 7分 ① 若0m =，则2n ≥，因为4(0)4e f n =<，所以24(2)e e n n n -=． …………… 9分 设2(2)()e (2)x x g x x x -=≥，则2224(2)()e 0x x x g x x x ⎡⎤--'=+⎢⎥⎣⎦≥，所以()g x 在[2,)+∞上为增函数．由于4(4)e g =，即方程24(2)e e n n n -=有唯一解为4n =．…………………………… 11分 ② 若0m >，则[]2,m n ∉，即2n m >>或02m n <<<． （Ⅰ）2n m >>时，2424()(2)e e ()(2)e e m n f m m mf n n n⎧=-=⎨=-=⎩， 由①可知不存在满足条件的,m n ． …………………………… 13分（Ⅱ）02m n <<<时，2424(2)e e (2)e e m n m nn m⎧-=⎨-=⎩，两式相除得22(2)e (2)e m n m m n n -=-．设2()(2)e (02)x h x x x x =-<<，则32()(44)e (2)(1)(2)e x x h x x x x x x x '=--+=+--，()h x 在(0,1)递增，在(1,2)递减，由()()h m h n =得01m <<，12n <<，此时24(2)e 4e e m m n -<<，矛盾．综上所述，满足条件的,m n 值只有一组，且0,4m n ==．……………………………16分 20．各项均为正数的数列{a n }中，设12n n S a a a =+++，12111n nT a a a =+++， 且(2)(1)2n n S T -+=，*n ∈N ．（1）设2n n b S =-，证明数列{b n }是等比数列；（2）设12n n c na =，求集合(){}*,,|2,,,,m r k m k r c c c m k r m k r +=<<∈N ．【解】（1）当1n =时，11(2)(1)2S T -+=，即111(2)(1)2a a -+=，解得11a =． ……………………………2分由(2)(1)2n n S T -+=，所以212n nT S =-- ① 当2n ≥时，11212n n T S --=-- ②①-②，得11212222(2)(2)n n n n n n a a S S S S --=-=----（2n ≥），……………………………4分 即211(2)(2)2[(2)(2)]n n n n S S S S ----=---， 即2112()n n n n b b b b --=-，所以1152n n n n b b b b --+=， 因为数列{a n }的各项均为正数，所以数列{}2n S -单调递减，所以11nn b b -<． 所以112n n b b -=（2n ≥）． 因为11a =，所以110b =≠，所以数列{b n }是等比数列． ……………………………6分（2）由（1）知112()2n n S --=，所以112n n a -=，即2n n nc =．由2m r k c c c +=，得2m r k k c cc c +=（*）又2n ≥时，1112n n c n c n++=<，所以数列{}n c 从第2项开始依次递减． …………8分（Ⅰ）当2m ≥时，若2k m -≥，则22422222m m m k m m mc c m m c c m ++==++≥≥， （*）式不成立，所以1k m -=，即1k m =+． ……………………………10分 令*1()r m i i =++∈N ，则()111112122222222i r k m m im m m m i m r m c c c ++++++++==-=-==， 所以12i r +=，即存在满足题设的数组(){}11121,2,2i i i i i +++---（*i ∈N ）．……… 13分 （Ⅱ）当1m =时，若2k =，则r 不存在；若3k =，则4r =； 若4k ≥时，1142k c cc c =≥，（*）式不成立． 综上所述，所求集合为{}111(1,3,4),(21,2,2)i i i i i +++---（*i ∈N ）． ………………16分 （注：列举出一组给2分，多于一组给3分）南通市2014届高三第二次调研测试数学Ⅱ（附加题）21A ．选修4—1：几何证明选讲如图，圆O 的两弦AB 和CD 交于点E ，//EF CB ，EF 交AD 的 延长线于点F ．求证：△DEF ∽△EAF ．【解】因为//EF CB ，所以BCE FED ∠=∠， ………………3分 又BAD BCD ∠=∠，所以BAD FED ∠=∠， ………………6分 又EFD EFD ∠=∠，所以△DEF ∽△EAF ． ………………10分 21B ．选修4—2：矩阵与变换若矩阵012a ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦M 把直线:20l x y +-=变换为另一条直线:40l x y '+-=，试求实数a 值． 【解】设直线l 上任意一点(,)P x y 在矩阵M 作用下的点P '的坐标为(,)x y ''， 则'012'x a x y y ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，所以,2.x ax y x y '=⎧⎨'=-+⎩……………………………4分 将点(,)P x y '''代入直线:40l x y '+-=， 得(1)240a x y -+-=．（第21—A 题）即直线l 的方程为1202a x y -+-=．所以3a =． ……………………………10分 21C ．选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点P （0，1），曲线C 的方程为2220x y x +-=，若直线 l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求PA PB ⋅的值．【解】设直线l 的参数方程为cos ,1sin .x t y t αα=⎧⎨=+⎩（t 为参数，α为倾斜角）设A ，B 两点对应的参数值分别为1t ，2t ． 将cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩代入2220x y x +-=， 整理可得22(sin cos )10t t αα+-+=．………5分（只要代入即可，没有整理成一般形式也可以） 所以121PA PB t t ⋅==． ……………………………10分 21D ．选修4—5：不等式选讲已知0x >，0y >，a ∈R ，b ∈R ．求证()222ax by a x b yx y x y++++≤．【证明】因为0x >，0y >，所以0x y +>，所以要证()222ax by a x b yx y x y++++≤，即证222()()()ax by x y a x b y +++≤．即证22(2)0xy a ab b -+≥， ……………………………5分 即证2()0a b -≥， 而2()0a b -≥显然成立，故()222ax by a x b yx y x y++++≤． ……………………………10分22．在平面直角坐标系xOy 中，已知定点F （1，0），点P 在y 轴上运动，点M 在x 轴上，点N为平面内的动点，且满足0PM PF ⋅=，PM PN +=0． （1）求动点N 的轨迹C 的方程；（2）设点Q 是直线l ：1x =-上任意一点，过点Q 作轨迹C 的两条切线QS ，QT ，切点分别为S ，T ，设切线QS ，QT 的斜率分别为1k ，2k ，直线QF 的斜率为0k ，求证： 1202k k k +=．【解】（1）设点(),N x y ，(,0)M a ，(0,)P b ． 由PM PN +=0可知，点P 是MN 的中点，所以0,20,2a xy b +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩即,,2a x y b =-⎧⎪⎨=⎪⎩所以点(),0M x -，0,2y P ⎛⎫ ⎪⎝⎭．所以,2y PM x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，1,2y PF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． …………3分由0PM PF ⋅=，可得204y x -+=，即24y x =．所以动点N 的轨迹C 的方程为24y x =．……………5分 （2）设点()1,Q t -，由于过点Q 的直线()1y t k x -=+与轨迹C ：24y x =相切，联立方程()241y xy t k x ⎧=⎪⎨-=+⎪⎩，整理得()()2222220k x k kt x k t ++-++=．…………7分则()()22224240k kt k k t ∆=+--+=，化简得210k tk +-=．显然，1k ，2k 是关于k 的方程210k tk +-=的两个根，所以12k k t +=-． 又02t k =-，故1202k k k +=． 所以命题得证． ……………………………10分 23．各项均为正数的数列{}n x 对一切*n ∈N 均满足112n n x x ++<．证明：（1）1n n x x +<； （2）111n x n-<<．【证明】（1）因为0n x >，112n n x x ++<，所以1102n n x x +<<-，所以112n nx x +>-，且20nx ->．数学参考答案及评分建议 第11页 （共11页） 因为2221(1)1n n n n n n nx x x x -+--==≥0． 所以12n nx x -≥， 所以12n n n x x x +<-≤1，即1n n x x +<． ……………………………4分 （注：用反证法证明参照给分）（2）下面用数学归纳法证明：11n x n >-． ① 当1n =时，由题设10x >可知结论成立； ② 假设n k =时，11k x k >-， 当1n k =+时，由（1）得，()11111211121k k k x x k k k +>>==--++--． 由①，②可得，11n x n >-． ……………………………7分 下面先证明1n x ≤．假设存在自然数k ，使得1k x >，则一定存在自然数m ，使得11k x m>+． 因为112k k x x ++<，()11121121k k m x x m m +>>=---+， ()21111221211k k m x x m m ++->>=---+-，…，()()1221k m m m x m m +--->=--， 与题设112k k x x ++<矛盾，所以，1n x ≤． 若1k x =，则11k k x x +>=，根据上述证明可知存在矛盾． 所以1n x <成立． ……………………………10分。