2010高三数学高考《立体几何初步》专题学案：棱柱 棱锥

第10课时 棱柱 棱锥一、棱柱1．定义：如果一个多面体有两个面互相 ，而其余每相邻两个面的交线互相 ，这样的多面体叫做棱柱，两个互相平行的面叫做棱柱的 ，其余各面叫做棱柱的 ，两侧面的公共边叫做棱柱的 ，两个底面所在平面的公垂线段，叫做棱柱的 ．2．性质：① 侧棱 ，侧面是 ；② 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的 多边形；③ 过不相邻的两条侧棱的截面是 四边形．3．分类：① 按底面边数可分为 ；② 按侧棱与底面是否垂直可分为：棱柱 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧ ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧4．特殊的四棱柱：四棱柱→平行六面体→直平行六面体→长方体→正四棱柱→正方体． 5．长方体对角线的性质：长方体一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的 ． 二、棱锥1．定义：如果一个多面体的一个面是 ，其余各面是有一个公共顶点的 ，那么这个多面体叫做棱锥，有公共顶点的各三角形，叫做棱锥的 ；余下的那个多边形，叫做棱锥的 ．两个相邻侧面的公共边，叫做棱锥的 ，各侧面的公共顶点，叫做棱锥的 ；由顶点到底面所在平面的垂线段，叫做棱锥的 ． 2．性质：如果棱锥被平行于底面的平面所截，那么所得的截面与底面 ，截面面积与底面面积的比等于顶点到截面距离与棱锥高的 ．3．正棱锥的定义：如果一个棱锥的底面是 多边形，且顶点在底面的射影是底面的 ，这样的棱锥叫做正棱锥． 4．正棱锥的性质：① 正棱锥各侧棱 ，各侧面都是 的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高 （它叫做正棱锥的 ）；② 正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个 三角形，正棱锥的高、侧棱、侧棱在底面内的射影组成一个 三角形．例1．已知正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1，AB ＝1，AA 1＝2， 点E 为CC 1的中点，点F 为BD 1的中点. ⑴ 证明：EF 为BD 1与CC 1的公垂线；A BCDA 1 C 1D 1B 1E F⑵ 求点F 到面BDE 的距离. 答案(1)略； (2)33 变式训练1：三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝2a ，BC 、AC 、AA 1长均为a ，A 1在底面ABC 上的射影O 在AC 上． ⑴ 求AB 与侧面AC 1所成的角；⑵ 若O 点恰是AC 的中点，求此三棱柱的侧面积． 答案(1) 45°；(2)2)732(21a ++ 例2. 如图，正三棱锥P —ABC 中，侧棱PA 与底面ABC 成60°角． （1）求侧PAB 与底面ABC 成角大小； （2）若E 为PC 中点，求AE 与BC 所成的角； （3）设AB ＝32，求P 到面ABC 的距离． 解：(1)32arctan ；(2)取PB 中点F ，连结EF ，则∠AEF 为所求的角，求得∠AEF ＝2030arccos ； (3)P 到平面ABC 的距离为32．变式训练2： 四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BCCA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝2. （1）求证：AO ⊥平面BCD ；（2）求异面直线AB 与CD 所成的角； （3）求点E 到平面ACD 的距离．答案：(1)易证AO ⊥BD ，AO ⊥OC ，∴AO ⊥平面BCD ； (2)42arccos；(3)用等体积法或向量法可求得点E 到平面ACD 的距离是721． 例3. 四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是直角梯形，AB ∥CD ，AB ＝2，CD ＝1，∠DAB ＝45°；侧面PAD 是等腰直角三角形，AP ＝PD ，且平面PAD ⊥平面ABCD ．⑴ 求证：PA ⊥BD ； ⑵ 求PB 与底面ABCD 所成角的正切值； ⑶ 求直线PD 与BC 所成的角． 答案：(1)略；(2)55；(3)60°变式训练3：在所有棱长均为a 的正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为BC 的中点．⑴ 求证：AD ⊥BC 1； ⑵ 求二面角A －BC 1－D 的大小；PACEABC PDAA 1C 1B 1COACD B C 1B 1A⑶ 求点C 到平面ABC 1的距离．提示：(1)证AD ⊥平面BB 1C 1C ；(2) arc tan 6；(3)721a ． 例4．如图，在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝CC 1＝1，M 为AB 的中点，A 1D ＝3DB 1．（1）求证：平面CMD ⊥平面ABB 1A 1； （2）求点A 1到平面CMD 的距离； （3）求MD 与B 1C 1所成角的大小． 提示(1)转证CM ⊥平面A 1B ；(2)过A 1作A 1E ⊥DM ，易知A 1E ⊥平面CMD ，∴求得A 1E ＝1； (3)异面直线MD 与B 1C 1所成的角为62arccos变式训练4：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝AD ＝1，AB ＝2，O 为对角线A 1C 的中点． ⑴ 求OD 与底面ABCD 所成的角的大小；⑵ P 为AB 上一动点，当P 在何处时，平面POD ⊥平面A 1CD ？并证明你的结论．当P 为AB 的中点时，平面POD ⊥平面A 1CD ．柱体和锥体是高考立体几何命题的重要载体，因此，在学习时要注意以下三点． 1．要准确理解棱柱、棱锥的有关概念，弄清楚直棱柱、正棱锥概念的内涵和外延． 2．要从底面、侧面、棱(特别是侧棱)和截面(对角面及平行于底面的截面)四个方面掌握几何性质，能应用这些性质研究线面关系．3．在解正棱锥问题时，要注意利用四个直角三角形，其中分别含有九个元素(侧棱、高、侧棱与斜高在底面上的射影、侧棱与侧面与底面所成角、边心距以及底面边的一半)中的三个，已知两个可求另一个．A 1B 1C 1 C MDB。

《8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积》教学设计【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体几何初步》，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的表面积、体积公式及其求法，还有简单组合体的体积的求解。

教材从分析简单几何体的侧面展开图得到了它们的表面积公式，体现了立体问题平面化的解决策略，这是本节课的灵魂，也是立体几何的灵魂，在立体几何中，要注意将立体问题转化为平面几何问题，在教学中应加以重视。

【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A..通过对棱柱、棱锥、棱台的研究，掌握棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的求法．B．会求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．1.数学抽象：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；2.逻辑推理：推导棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积的公式；3.数学运算：求棱柱、棱锥、棱台及有关组合体的表面积与体积；4.直观想象：棱柱、棱锥、棱台体积之间的关系。

【教学重点】：棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积；【教学难点】：求棱柱、棱锥、棱台有关的组合体的表面积与体积．【教学过程】教学过程教学设计意图一、复习回顾，温故知新1.北京奥运会场馆图通过观看图片及复习初中所学知识，引入本节新课。

建立知识间的联系，提高学生概括、类2. 北京奥运会结束后，国家对体育场馆都进行了改造，从专业比赛场馆逐步成为公众观光、健身的综合性体育场馆，国家游泳中心也完成了上述变身，新增了内部开放面积，并建成了大型的水上乐园．经营方出于多种考虑，近几年内“水立方”外墙暂不承接商业化广告，但出于长远考虑，决定为水立方外墙订制特殊显示屏，届时“水立方”将重新焕发活力，大放异彩．能否计算出“水立方”外墙所用显示屏的面积？3.学生回答下列公式矩形面积、三角形面积、梯形面积、长方体体积、正方体体积4.在初中已经学过了正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图与其表面积的关系吗？二、探索新知探究：棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何体，它们的展开图是什么？如何计算它们的表面积？思考1：棱柱的侧面展开图是什么？如何计算它的表面积？侧面展开图是几个矩形，表面积是上下底面面积与侧面展开图的面积的和。

高中数学备课教案立体几何中的棱柱与棱锥的体积与表面积高中数学备课教案：立体几何中的棱柱与棱锥的体积与表面积一、引言在高中数学中，立体几何是一个重要的内容，其中棱柱与棱锥是常见的几何体形状。

了解棱柱与棱锥的体积与表面积是非常必要的，本教案将帮助学生掌握计算棱柱与棱锥的体积与表面积的方法。

二、棱柱的体积与表面积1. 定义和性质棱柱是由两个平行且全等的多边形底面以及连接底面相对顶点的侧面组成的几何体。

棱柱的体积公式为V = 底面积 * 高。

表面积公式为S = 侧面积 + 2 * 底面积。

2. 计算方法（1）计算棱柱的体积：首先计算底面的面积，然后乘以高即可得到棱柱的体积。

（2）计算棱柱的表面积：计算侧面的面积，再加上两个底面的面积即可得到棱柱的表面积。

3. 例题演练（1）已知棱柱的底面是一个边长为a的正方形，高为h，求棱柱的体积和表面积。

解：棱柱的底面积为S1 = a * a = a^2，侧面积为S2 = a * h。

因此，棱柱的体积为V = a^2 * h，表面积为S = a^2 + 2 * a * h。

（2）一个棱柱的底面是一个边长为8 cm的正方形，高为10 cm，求棱柱的体积和表面积。

解：棱柱的底面积为S1 = 8 * 8 = 64 cm^2，侧面积为S2 = 8 * 10 = 80 cm^2。

因此，棱柱的体积为V = 64 cm^2 * 10 cm = 640 cm^3，表面积为S = 64 cm^2 + 2 * 80 cm^2 = 224 cm^2。

三、棱锥的体积与表面积1. 定义和性质棱锥是由一个多边形底面与连接底面顶点的侧面构成的几何体。

棱锥的体积公式为V = （底面积 * 高）/ 3。

表面积公式为S = 底面积 + （周长 * 斜高）/ 2。

2. 计算方法（1）计算棱锥的体积：先计算底面的面积，然后乘以高，最后除以3即可得到棱锥的体积。

（2）计算棱锥的表面积：将底面积加上底面周长与斜高的乘积再除以2，即可得到棱锥的表面积。

第1课时棱柱、棱锥和棱台
一、学习目标
1. 了解棱柱、棱锥、棱台的概念；
2. 认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
3. 能根据几何结构特征对现实生活中的简单物体进行描述．
二、数学活动
1．我们生活中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？
2．观察下列几何体，它们有什么共同特点：
3．上述几何体可由一平面图形，按一定方向平移而得。

请你说出它们分别是那个平面图形，沿什么方向平移的？
面的几何体又有什么共同特点？
三、数学建构1．棱柱：
（1）定义
（2）图形及其表示（3）相关概念
2．棱锥：
（1）定义
（2）图形及其表示（3）相关概念
3．棱台：
（1）定义
（2）图形及其表示
（3）相关概念
4．多面体的概念
四、数学应用
例1 画一个四棱柱和三棱台．
例2 指出图中的几何体是由哪些简单几何体构成的？.
五、巩固与小结
1．《必修二》P8练习T4、T5
2．下列命题是否正确，若不正确，请举例（画图）说明。

①棱锥是一个底面为多边形，其余各面为三角形的几何体；
②有两个面互相平行，其余各面是等腰梯形的多面体是棱台；小结：。

§8.1基本立体图形第1课时棱柱、棱锥、棱台学习目标 1.通过对实物模型的观察，归纳认知棱柱、棱锥、棱台的结构特征.2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算．知识点一空间几何体、多面体、旋转体的定义1．空间几何体：如果我们只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体．2．多面体、旋转体类别多面体旋转体定义由若干个平面多边形围成的几何体一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体图形相关概念面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边顶点：棱与棱的公共点轴：形成旋转体所绕的定直线思考构成空间几何体的基本元素是什么？常见的几何体可以分成哪几类？答案构成空间几何体的基本元素是：点、线、面．常见几何体可以分为多面体和旋转体．知识点二棱柱的结构特征1．棱柱的结构特征棱柱图形及表示定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱如图可记作：棱柱ABCDEF—A′B′C′D′E′F′相关概念：底面(底)：两个互相平行的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与底面的公共顶点分类：按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱、五棱柱……2.几个特殊的棱柱(1)直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱(如图①③)；(2)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱叫做斜棱柱(如图②④)；(3)正棱柱：底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱(如图③)；(4)平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱也叫做平行六面体(如图④)．思考棱柱的侧面一定是平行四边形吗？答案棱柱的侧面一定是平行四边形．知识点三棱锥的结构特征棱锥图形及表示定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥如图可记作：棱锥S—ABCD 相关概念：底面(底)：多边形面；侧面：有公共顶点的各个三角形面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：各侧面的公共顶点分类：(1)按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥……，其中三棱锥又叫四面体；(2)底面是正多边形，并且顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥知识点四棱台的结构特征棱台图形及表示定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台如图可记作：棱台ABCD—A′B′C′D′相关概念：上底面：平行于棱锥底面的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台……思考棱台的各侧棱延长线一定相交于一点吗？答案一定相交于一点．1．所有的棱柱两个底面都平行．(√)2．棱柱的两个底面是全等的多边形．(√)3．棱柱最多有两个面不是四边形．(√)4．棱锥的所有面都可以是三角形．(√)一、棱柱的结构特征例1(1)下列关于棱柱的说法：①所有的面都是平行四边形；②每一个面都不会是三角形；③两底面平行，并且各侧棱也平行；④被平面截成的两部分可以都是棱柱．其中正确的说法的序号是________．答案③④解析①错误，棱柱的底面不一定是平行四边形．②错误，棱柱的底面可以是三角形．③正确，由棱柱的定义易知．④正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱．所以说法正确的序号是③④.(2)如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1，M，N分别为棱A1B1，C1D1的中点．①这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？②用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．解①是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义．②截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.反思感悟棱柱结构的辨析方法(1)扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义．①看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形；②看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行．(2)举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除．跟踪训练1下列命题中正确的是()A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形答案 D二、棱锥、棱台的结构特征例2(1)(多选)下列说法中，正确的是()A．棱锥的各个侧面都是三角形B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面C．棱锥的侧棱平行D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥答案AB解析由棱锥的定义，知棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体就是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错．棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，故D错．(2)有下列四种叙述：①用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台；②两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；③有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台；④棱台的侧棱延长后必交于一点．其中正确的有()A．0个B．1个C．2个D．3个答案 B解析①中的平面不一定平行于底面，故①错；由棱台的定义知，④正确；②③可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故②③错．反思感悟判断棱锥、棱台的方法(1)举反例法结合棱锥、棱台的定义举反例直接排除关于棱锥、棱台结构特征的某些不正确说法．(2)直接法棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点跟踪训练2下列关于棱锥、棱台的说法：①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥．其中正确说法的序号是________．答案①②解析①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形是四面体也就是三棱锥；③错误，如图所示的四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥．空间几何体的表面展开图典例(1)某同学制作了一个对面图案均相同的正方体礼品盒，如图所示，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为(对面是相同的图案)()答案 A解析其展开图是沿盒子的棱剪开，无论从哪条棱剪开，剪开的相邻面在展开图中可以不相邻，但未剪开的相邻面在展开图中一定相邻．相同的图案是盒子上相对的面，展开后不能相邻．(2)如图是三个几何体的表面展开图，请问各是什么几何体？解图①中，有5个平行四边形，而且还有两个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且具有共同的顶点，还有一个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，且其腰的延长线交于一点，还有两个相似的三角形，符合棱台的特点．把表面展开图还原为原几何体，如图所示：所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[素养提升]多面体表面展开图可以有不同的形状，应多实践，观察并大胆想象立体图形与表面展开图的关系，一定先观察立体图形的每一个面的形状，借助展开图，培养直观想象素养．1．下面多面体中，是棱柱的有()A．1个B．2个C．3个D．4个答案 D解析根据棱柱的定义进行判定知，这4个图都满足．2．有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为()A．四棱柱B．四棱锥C．三棱柱D．三棱锥答案 B解析根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥．3．(多选)下列说法不正确的是()A．棱台的两个底面相似B．棱台的侧棱长都相等C．棱锥被平面截成的两部分是棱锥和棱台D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形答案BCD解析 由棱台的定义知A 正确，B ，C 不正确；棱柱的侧棱都相等且相互平行，且侧面是平行四边形，但侧面并不一定全等，D 不正确． 4．三棱柱的平面展开图是( )答案 B5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm ，则每条侧棱长为________ cm. 答案 12解析 棱柱有10个顶点，则该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，且侧棱长都相等，侧棱长为605＝12 (cm)．1．知识清单：(1)多面体、旋转体的定义． (2)棱柱、棱锥、棱台的结构特征． 2．方法归纳：举反例法，定义法． 3．常见误区：棱台的结构特征认识不清．1．有两个面平行的多面体不可能是( ) A ．棱柱 B ．棱锥 C ．棱台 D ．以上都错 答案 B解析 由棱锥的结构特征可得．2．下列关于棱柱的说法中，错误的是( ) A ．三棱柱的底面为三角形 B ．一个棱柱至少有五个面C ．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D ．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形 答案 C解析显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，故C错误；D正确．3．如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是()A．(1)(2) B．(2)(3) C．(3)(4) D．(1)(4)答案 B解析(1)图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；(2)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(3)图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；(4)图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是(2)(3)．4．设集合M＝{正四棱柱}，N＝{长方体}，P＝{直四棱柱}，Q＝{正方体}，则这四个集合之间的关系是()A．Q M N P B．Q M N PC．P M N Q D．Q N M P答案 B解析根据定义知，正方体是特殊的正四棱柱，正四棱柱是特殊的长方体，长方体是特殊的直四棱柱，所以{正方体}⊆{正四棱柱}⊆{长方体}⊆{直四棱柱}，故选B.5．(多选)下列说法错误的是()A．有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这些面围成的多面体是棱锥B．有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥D．如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体答案ABC解析有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，即其余各面的三角形必须有公共的顶点，故A错误；棱台是由棱锥被平行于棱锥底面的平面所截而得的，而有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体有可能不是棱台，因为它的侧棱长延长后不一定交于一点，故B错误；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确．6．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．答案5697.纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北，现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开，外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“△”的面的方位是________．答案北8．直四棱柱ABCD－A1B1C1D1，若AB⊥AD且AB＝3，AD＝4，AA1＝5，则AC1的长为________．答案5 2解析依题意该直四棱柱为长方体，∴AC21＝AB2＋AD2＋AA21＝32＋42＋52＝50，∴AC1＝5 2.9.如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2，S △DEF ＝32a 2. 10．试从正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的八个顶点中任取若干，连接后构成以下空间几何体，并且用适当的符号表示出来．(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；(2)四个面都是等边三角形的三棱锥；(3)三棱柱．解 (1)如图①所示，三棱锥A 1－AB 1D 1(答案不唯一)．(2)如图②所示，三棱锥B 1－ACD 1(答案不唯一)．(3)如图③所示，三棱柱A 1B 1D 1－ABD (答案不唯一)．11．用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截得的棱台上、下底面积之比为1∶4，截去的棱锥的顶点到底面的距离为3，则棱台的上、下底面的距离为( )A ．12B ．9C ．6D ．3答案 D解析 设原棱锥的高为h ，由题意得⎝⎛⎭⎫3h 2＝14，则h ＝6，因而棱台的高为3，故选D.12.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是( )A ．A 1B 1＝2，AB ＝3，B 1C 1＝3，BC ＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1答案 C解析 选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不符合题意；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC，故B 不符合题意；选项C 中A 1B 1AB ＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 符合题意；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不可能是三棱台．13．在五棱柱中，不同在同一个侧面且不同在同一个底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线共有________条．答案 10解析 如图，在五棱柱ABCDE －A 1B 1C 1D 1E 1中，从顶点A 出发的对角线有两条：AC 1，AD 1，同理从B ，C ，D ，E 点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条)．14．一个长方体共顶点的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体对角线的长是________．答案 6解析 设长方体长、宽、高为x ，y ，z ，则yz ＝2，xz ＝3，yx ＝6，三式相乘得x 2y 2z 2＝6，即xyz ＝6，解得x ＝3，y ＝2，z ＝1，所以x 2＋y 2＋z 2＝3＋2＋1＝ 6.15.如图，在三棱锥V －ABC 中，VA ＝VB ＝VC ＝4，∠AVB ＝∠AVC ＝∠BVC ＝30°，过点A 作截面AEF ，则△AEF 周长的最小值为________．答案4 2解析将三棱锥沿侧棱VA剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值．∵∠AVB＝∠A1VC＝∠BVC＝30°，∴∠AVA1＝90°.又VA＝VA1＝4，∴AA1＝4 2.∴△AEF周长的最小值为4 2.16.如图，在一个长方体的容器中装有少量水，现将容器绕着其底部的一条棱倾斜，在倾斜的过程中：(1)水面的形状不断变化，可能是矩形，也可能变成不是矩形的平行四边形，对吗？(2)水的形状也不断变化，可以是棱柱，也可能变为棱台或棱锥，对吗？(3)如果倾斜时不是绕着底部的一条棱，而是绕着其底部的一个顶点，上面的第(1)题和第(2)题对不对？解(1)不对．水面的形状就是用一个与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面截长方体时截面的形状，因而可以是矩形，但不可能是非矩形的平行四边形．(2)不对．水的形状就是用与棱(将长方体倾斜时固定不动的棱)平行的平面将长方体截去一部分后剩余部分的几何体，此几何体是棱柱，水比较少时，是三棱柱，水多时，可能是四棱柱或五棱柱，但不可能是棱台或棱锥．(3)用任意一个平面去截长方体，其截面形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，因而水面的形状可以是三角形、四边形、五边形、六边形，水的形状可以是棱锥、棱柱，但不可能是棱台，故此时(1)对，(2)不对．。

《8.1基本几何图形》教学设计第1课时棱柱、棱锥、棱台【教材分析】本节课选自《普通高中课程标准数学教科书-必修第二册》（人教A版）第八章《立体儿何初步》，本节课是第1课时，本节课主要学习棱柱、棱锥、棱台的概念及结构特征。

教材首先让学生观察现实世界中实物的图片，引导学生将观察到的实物进行归纳、分类抽象、概括，得出柱体、锥体、台体的结构特征，在此基础上给出由它们组合而成的简单几何体的结构特征.空间几何体是新课程立体几何部分的起始课程，它在土木建筑、机械设计、航海测绘等大量实际问题中都有广泛的应用，新课程从对空间几何体的整体观察入手，再研究组成空间几何体的点、直线和平面.这种安排降低了立体几何学习入门难的门槛,强调几何直观，淡化几何论证，可以激发学生学习立体几何的兴趣。

【教学目标与核心素养】【教学重点】：让学生感受大量空间实物及模型、概括出棱柱、棱锥、棱台的结构特征;【教学难点】：棱柱、棱锥、棱台的结构特征的概括。

【教学过程】【学习过程】一、探索新知观察1:观察生活的具体实物，你能抽象出它们的空间图形吗?空间几何体的定义：如果我们只考虑这些物体的形状和大小，而不考虑其它因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间几何体.思考1:如图，下面这些图片中的物体具有怎样的形状？在日常生活中，我们把这些物体的形状叫做什么？如何描述它们的形状?1 .多面体：由若干个围成的几何体叫做多面体。

围成多面体的各个多边形叫做多面体的,两个面的叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的O面ABE,面BAF,棱AE,棱EC,顶点E,顶点C2.旋转体：由一条平面曲线（包括直线）绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体，这条 ____________ 叫做旋转体的轴。

思考2：观察下面的长方体，它的每个面是什么样多边形？不同的面之间有什么位置关茶叶众水品吸石仍伽!篮球和足球金字塔(一) 棱柱1 .棱柱定义： 一般地，有两个面互相 ____________ ,其余各面都是 _________ ,并且每相邻两个四边形的公共边都互相 ___________ ，由这些面围成的多面体叫做棱柱.为了研究方便，我们把棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，它们是全等的多边形；其余各面叫做棱柱的侧面，它们都是平行四边形；相邻侧面的 ______________ 叫做棱柱的侧棱, 侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.你能指出下面棱柱的底面、侧面、侧棱、顶点吗？2棱柱的表示法：用平行的两底面多边形的字母表示棱柱，如：棱柱ABCDE- AiBiCiDiEi 3. (1)棱柱的分类1：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形、…… 我们把这样的棱柱分别叫做 ____________ 、 ___________ 、 ____________ 、……三睇五卧(2)棱柱的分类2： 一般地,把 _________ 垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，侧棱 ___________ 于底面的棱柱叫做斜棱柱，底面是 ______________ 的直棱柱叫做正棱柱。

江苏省泰兴中学高一数学教学案(118)必修2 棱柱、棱锥和棱台班级 姓名目标要求:1、了解并掌握棱柱、棱锥和棱台的概念,弄清它们之间的关系及区别；2、能画出简单的棱柱、棱锥和棱台的空间图形；3、明确多面体的概念． 重点难点对几何体直观图的认识及棱柱、棱锥和棱台的定义、几何特征的理解． 典例剖析例1、仔细观察下列图形，并将图的序号填入横线内：(1)棱柱有 ；（2）棱锥有 ；(3)棱台有 ；(4)多面体有 ．例2、画一个四棱柱和一个三棱台．Ｆ ＥＢＣＤ例3、 (1)以四棱柱的侧棱为对边的平行四边形有______________.(2)某棱台的上下底面对应边之比为1:2,则上下底面面积之比为．(3) 一个骰子由1~6六个数字组成,请你根据图中三种状态所显示的数字,推出“？”处的数字是____________.例4、下列三个命题正确吗？为什么？(1)有两个面平行，其余各个面都是平行四边形的几何体叫做棱柱；(2)有一个面是多边形，其余各个面都是三角形的几何体是棱锥；(3)有两个面平行，其它各个面都是梯形的几何体是棱台．学习反思1、熟练掌握棱柱、棱锥和棱台的定义,它们的几何特征分别是,并且知道它们相互转化过程；2、对于几何体的类型的判断除了熟悉基本几何体的基本性质、特点外，对于一些复杂的判断还是要回归到定义中去判断．课堂练习1、棱柱的侧面是形，棱锥的侧面是形，棱台的侧面是形．2、多面体至少有个面，这个多面体是；六棱台是面体．3、平行于棱柱侧棱的截面是什么图形？过棱锥顶点的截面是什么图形？请画图说明．4、判断：(1)棱柱至多有四个面是矩形； (2)四棱锥是四面体；(3)有两个面平行且相似，其它面是梯形的几何体是棱台．江苏省泰兴中学高一数学作业(118)班级 姓名 得分1、 下面四个图形中是四棱锥的是 ( )A B C D2、 下面四张图形中能较好的表示棱台的是 ( )A B C D 3、判断下列命题是否正确： ( ) (1)棱柱的侧面都是平行四边形； (2)棱锥的侧面为三角形，且所有侧面都有一个公共顶点； (3)多面体至少有四个面； (4)棱台的侧棱所在的直线均相交于一点． 4、（1）正方体可以看作 平移，平移的距离为 形成的几何体．（2）如图，四棱柱的六个面都是平行四边形，这个四棱柱可以有哪个平面图形按照怎样的方向平移得到？BCDAB 1D 1C 1A 15、甲：“用一个平面去截一个长方体, 截面一定是长方形”；乙：“有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥”.这两种说法 （ ） A ．甲正确乙不正确 B ．甲不正确乙正确 C ．甲正确乙正确 D ．甲不正确乙不正确6、如图，这是一个正方体的表面展开图，若把它再折回成正方体后，有下列命题： （1） 点H 与点C 重合； （2） 点D 与点M 与点R 重合；（3） 点B 与点Q 重合； （4） 点A 与点S 重合．其中正确的命题序号是 ．7、在正方体各顶点处割去一个三棱锥，使得三棱锥的底面三角形的顶点为正方形各棱的中点，试问：得到的几何体有多少个面？多少个顶点？多少条棱？8、（1）分别画出一个三棱锥、三棱柱和四棱台。