高数同济§1.5 极限运算法则例题05-1

二、求极限方法举例
2x3 3x2 5 . 例4 求 lim 3 2 x 7 x 4 x 1
分子分母的极限都是无穷大 解 x 时， 先用
( 型) xຫໍສະໝຸດ 3再求极限 分出无穷小， 去除分子分母，
3 2 2 x3 3 x2 5 x lim 3 lim x 7 x 4 x 2 1 x 4 7 x
例如 ,当x 0时,
1 x sin , x
1 x arctan x
2
都是无穷小
推论1 常数与无穷小的乘积是 无穷小. 推论2 有限个无穷小的乘积 也是无穷小.
§5. 极限运算法则
极限运算法则 定理3
设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
( 2) lim[ f ( x ) g( x )] A B;
f ( x) A ( 3) lim , 其中 B 0. g( x ) B
定理3 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
(1) lim[ f ( x ) g( x )] A B; 分析： 要证 ( f ( x ) g ( x )) ( A B ) 0 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B . 证
有
u
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x0 2 时有 M u M , M

当 x x0 时
u
是无穷小.
1、无穷小的运算性质: 定理1. 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小. 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.

lim x2 5x 4 x1 2x 3
12 5 1 4 21 3

0
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结论：
1.已知多项式
则
2.已知分式函数
若
则
若
求 去公因子再求
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练习：求 解: 原式
(型)
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例6 . 求
解:
分子分母同除以 x2 , 则
23 1 22 10 3
7 3
x2
思考： 若
怎么求函数极限？
例4.
lim (x 3)(x 1) lim x 1
x3 (x 3)(x 3) x3 x 3
x = 3 时分母为 0 !
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例5 . 求
解: x = 1 时, 分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
x x0
试证
例3. 设有分式函数
都是多项式 , 若
试证:
lim P(x)
证: lim F (x) xx0
xx0
lim Q(x)
x x0
其中
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例 求 lim x3 1 x2 x2 5x 3
解
lim
x2
x3 1

lim(x3 1)
x2
x2 5x 3 lim(x2 5x 3)
例例78
求 lim 2x3 x2 5 x 3x2 2x1
解解
因为
lim
x
3x2 2x3

2x1 x2 5

0

所所以以
lim 2x3 x2 5 x 3x2 2x1

(3) lim f (x) = lim f (x) = A (B0) g(x) lim g(x) B
•推论1 如果lim f(x)存在 而c为常数 则 lim [cf(x)]=clim f(x)
•推论2 如果limf(x)存在 而n是正整数 则 lim[f(x)]n=[limf(x)]n
x3 x 3
x3 x 3 u6
14
结束
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为
什么？
思考题解答
没有极限．
假设 f ( x) g( x) 有极限， f ( x)有极限，
由极限运算法则可知：
g( x) = f ( x) g( x) f ( x) 必有极限，
5
下页
❖二、数列极限的四则运算法则
•定理4 设有数列{xn}和{yn} 如果
那么
lim
n
xn
=
A

lim
n
yn
=
B

(1) nlim(xn yn)= A B
(2) nlim(xn yn)= AB
(3)当 yn 0 (n=1 2 )且 B0 时
x
=
1 x
sin
x

是无穷小与有界函数的乘积
所以 lim sin x = 0 x x
12
下页
❖定理6(复合函数的极限运算法则)
设函数y=f[g(x)]是由函数y=f(u)与函数u=g(x)复合而成
f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义 若g(x)u0(xx0) f(u)A(uu0) 且在x0的某去心邻域内g(x)u0 则

1 + 2 + + n 原式 = lim n→ ∞ n2 1 n( n + 1) = lim 2 n→ ∞ n2 1 1 = lim (1 + ) n→ ∞ 2 n 1 = . 2
第一章 9
x cos x 例6 求 lim . 4 x → ∞ ( 2 x + 3)
x 解 当x → ∞时 , 为无穷小 , 4 ( 2 x + 3)
t→0
1 = 2 2 1+ t +1
1
第一章
14
3
例9
求 lim
x −3 a x−a
x→a 3
.
0 ( 型) 0
有理化法
( 3 x − 3 a ) 3 ( x − a )2 解 原式 = lim x →a x−a
= lim ( x − a )( x + ax + a 2 ) 3 ( x − a )2
3 3 2 3 3 3 x →a
( x − a )( x + ax + a 2 )
2 3 3 2
3
3
= lim
( x − a)
2 3 2
x→a 3
x + 3 ax + a
第一章
=
0 3 a
3 2
= 0．
15
1、极限的四则运算法则及其推论; 2、极限求法; •多项式与分式函数(分母不为0)代入法;
0 •消去零因子法(因式分解,有理化,变量替换); ( 型 ) 0 ∞ •同除最高次法; ( ∞ 型 )( x → ∞ )
x → x0
令 u = ϕ ( x) a = lim ϕ ( x )
x → x0

减法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任意 $epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) - g(x) - A + B| = |f(x) - A + g(x) + B| leq |f(x) - A| + |g(x) + B| < 2epsilon$，即 $lim_{x to a} (f(x) - g(x)) = A - B$
乘法法则
定义
若$lim_{x to a} f(x) = A$ 和 $lim_{x to a} g(x) = B$， 则 $lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$
证明
由于当$x to a$时，$f(x) to A$和$g(x) to B$，对于任 意$epsilon > 0$，存在$delta_1 > 0$和$delta_2 > 0$， 使得当$0 < |x - a| < delta_1$时，有$|f(x) - A| < epsilon / |B|$，当$0 < |x - a| < delta_2$时，有$|g(x) - B| < epsilon / |A|$。取$delta = min(delta_1, delta_2)$，则当$0 < |x - a| < delta$时，有$|f(x) cdot g(x) - A cdot B| = |A cdot g(x) + f(x) cdot B| leq |A||g(x) - B| + |B||f(x) - A| < |A||epsilon / |B|| + |B||epsilon / |A|| = 2epsilon$，即$lim_{x to a} (f(x) cdot g(x)) = A cdot B$

x)
Pn ( x0 ) Pm ( x0 )
f ( x0 ).
16
极限运算法则
例 求 lim x2 2x 3 ( 0 型 )
x3 x 3
0
解 方法：消去零因子
x2 2x 3 lim
lim ( x 3)( x 1)
x3 x 3
x3 ( x 3)
lim( x 1) 4 x3
预习：
1.无穷小
无穷小的定义和性质 等价无穷小替换的使用规则
2. 无穷大
无穷大的定义和性质 无穷大和无穷小的关系
1
第三节 极限运算法则
极限四则运算法则 极限的复合运算则 两个极限存在准则
第一章 函数与极限
2
极限运算法则
一、极限四则运算法则
lim f ( x)泛指任一种极限
定理1(四则运算) 设 lim f ( x) A, lim g( x) B,则
limqn 0(| q | 1)
n
解 方 法 先作恒等变形, 变成基础极限。
2n 3n lim n 2n 3n
2 n 1 lim 2 n lim1
lim 3
n 3
n
n 2 n 1 lim 2 n lim1
3
n 3 n
1
例
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
1 lim 0 n n
x21,源自x 0,求 lim f ( x). x 0 x0
解 x 0 是函数的分段点,
10
lim f ( x) A
x x0
左极限f ( x0 0)和右极限f ( x0 0)均存在
f ( x0 0) f ( x0 0) A

2
2
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
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类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
例如，
lim
n
n
1 n2
π
n2
1
2
π
n2
1
n
π
1
( P57 题 4 (2) )
解答见课件第二节 例5
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定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
取 min1 , 2, 则当 0 x x0 时
0 (x) a u a
故
f (u) A , 因此①式成立.
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定理7. 设
且 x 满足
时,
(x) a, 又
则有
lim f [(x)]
x x0
说明: 若定理中 lim (x) , 则类似可得
x x0
第五节
第一章
极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
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一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
0,
当
时,有
当
时,有
取 min1 , 2 , 则当 0 x x0 时, 有
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x U (x0 , ) 时 , 就有
u
u
M
M

u 1
方法 2
lim (x 1)( x 1) lim( x 1)
x1 x 1
x1
2
内容小结
1. 极限运算法则 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5
(1) 无穷小运算法则
(2) 极限四则运算法则
注意使用条件
(3) 复合函数极限运算法则
2. 求函数极限的方法
(1) 分式函数极限求法
1) x x0 时, 用代入法 ( 分母不为 0 )
2)
x
x0
时,
对
0 0
型
,
约去公因子
3) x 时 , 分子分母同除最高次幂 “ 抓大头”
(2) 复合函数极限求法
设中间变量
思考及练习
1.
问
是否存在 ? 为什么 ?
答: 不存在 . 否则由
利用极限四则运算法则可知 矛盾.
存在 , 与已知条件
2.
解:
原式
lim
n
n (n 1) 2n2
lim 1 (1 n 2
f (x) 2x3 2x2 a x b
再利用后一极限式 , 得
3 lim f (x) lim (a b)
x0 x
x0
x
可见
故
提示: 令 (x) f (x) g(x)
利用保号性定理证明 .
说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .
定理 4 . 若 lim f (x) A, lim g(x) B , 则有
提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明 .
说明: 定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .
( 如P47 例5 )
( 如P47 例6 )
( 如P47 例7 )

例1
求
lim
x2
x
2
x3 1 3x
5
.
解 lim( x 2 3x 5) lim x 2 lim 3x lim 5
x2
x2
x2
x2
(lim x)2 3 lim x lim 5
x2
x2
x2
22 3 2 5 3 0,
lim x2
x2
x3 1 3x
5
lim( x3 1)
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
0,当n m,
,当n m,
7
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铃
例4
求
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
).
解 n 时,是无限多个无穷小之和．
先变形再求极限.
1
lim(
n
n
2
2 n2
n n2
)
lim 1
n
2
n2
n
1 n(n 1)
lim 2
13
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铃
3. 函数极限的局部保号性
如果lim f (x) A, 且A 0(或A 0),那么 x x0
存在常数 0, 使得当0 x x0 时，有
f (x) 0(或f (x) 0).
14
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铃
问题讨论
思考题
在某个过程中，若 f ( x) 有极限，g( x) 无极限，那么f ( x) g( x)是否有极限？为

极限四则运算法则
加法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的和在 该点的极限也存在，且等于两函数极限的和
。
减法运算法则
若两函数在某点的极限存在且不为零，则它 们的积在该点的极限也存在，且等于两函数
极限的积。
乘法运算法则
若两函数在某点的极限存在，则它们的差在 该点的极限也存在，且等于被减数函数极限 与减数函数极限的差。
泰勒公式定义
泰勒公式是用多项式逼近一个函数的方法，将一个函数表示为一个无穷级数。
泰勒公式性质
泰勒公式具有唯一性、收敛性和可微性等性质，其中收敛性是指当n趋近于无穷大时， 泰勒级数的和趋近于原函数。
泰勒公式在求极限中的应用举例
利用泰勒公式求极限
对于一些复杂的函数极限，可以通过泰勒公 式将其展开为多项式形式，从而简化求极限 的过程。
柯西收敛准则
数列 {xn} 收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 ε，总存在正整数 N， 使得当 m>N 以及对于任意的正整数 p，都有 |xm+p−xm|<ε 成立。
应用举例
利用柯西收敛准则判断级数是否收敛，如判断 ∑n=1∞ann! 的收敛性，其中 {an} 是单调减少且趋于零的数列。
04
无穷小量与无穷大 量的关系
在同一变化过程中，如果函数 $f(x)$是无穷小量，且函数 $g(x)$是有界量，那么函数 $f(x)g(x)$也是无穷小量；如果 函数$f(x)$是无穷大量，且函 数$g(x)$是有界量但不为零， 那么函数$frac{1}{f(x)g(x)}$也 是无穷小量。
02
极限运算法则
03
无穷大量的性质与运算
无穷大量具有可加性、可乘性 、同阶无穷大等性质，可以通 过取对数等方法转化为无穷小 量进行计算。

x l x 0 i f ( m x ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 )),且 Q (x0)0, 则有
f ( x ) A ,g ( x ) B .其 0 , 中 0 .
由无穷小运算法则,得
-
15
[ f ( x ) g ( x ) ( ] A B )0.(1)成立.
[f( x ) g ( x ) ] ( A B ) (A )B ( ) AB
(A B ) 0.
(2)成立.
limf([x)n ][lim f(x)n ].
⑤定理的条件： limf(x),limg(x) 存在
商的情形还须加上分母的极限不为0
⑥定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商
⑦定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
-
18
五、求极限方法举例
例1 求lx im 2x2x33x15.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总存在正数 ( 或正数X ), 使得对于适合不等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
f (x)都满足不等式 f (x) ,
那末 称函数f (x) 当x x0(或x )时为无穷小,
记作 lim f (x) 0 (或lim f (x) 0).
xx0
x
例如,
lim six n0, 函s数 ix n是x当 0时的无 . 穷 x 0
-
2
lim1 0, x x
函数 1是当 x时的无. 穷小 x
lim(1)n 0, n n
数{列 (1)n}是n 当 时的无 . n

1 1 1 lim + + ⋯ + = 1 n→ ∞ n n n
n个 个
定理2 定理 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证: 设 又设 时, 有 即 则当 当 时 , 就有
故
即
是
时的无穷小 .
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
5 ). 常数与无穷小的乘积是 无穷小 .
6 ) . 极限可以进行加 , 减 , 乘 , 除四则运算 .
lim[ cf ( x )] = c lim f ( x ) ; lim[ f ( x )]n = [lim f ( x )]n .
7 ) . 设 lim f ( x ) = A ( 或 ∞ ) ,
内容小结
1) .
x → x0 ( x → ∞)
lim f ( x ) = A ⇐⇒ f ( x ) = A + α ,
其中α 为当 x → x0 时的无穷小 .
( x → ∞)
2) . 在 x 的同一趋限过程中 : 1 为无穷小 ; f ( x ) 为无穷大 ⇒ f ( x) 1 为无穷大 . f ( x ) 为无穷小且 f ( x ) ≠ 0 ⇒ f ( x) 或乘积 3). 有限个无穷小的和 (或乘积 )也是无穷小 . 4) . 有界函数与无穷小的乘 积是无穷小 !! .
x → x0
{ xn } 是以 x0 为极限的任意一个数列 , 则必有 : lim f ( xn ) = A ( 或∞ ).
n →∞
8 ). { xn } 的任意子列与 { xn } 共极限 .
9) . 保号性定理 :
x → x0
lim f ( x ) < 0 ⇒ f ( x ) < 0 , 当 x ∈ U° ( x0 , δ ) 时成立 .

f ( x ) A ,g ( x ) B , 其中 , 为无穷小
设 f (x) A A A 1
(BA)
g(x) B
B B
B(B ) 有界
无穷小
因此 为无穷小, f ( x) A
g(x) 1 B 由极限与无穷小关系定B 理,
得
1 lgim( x
f ( x) g) ( x)
又 limf(u)A, 则有 limf[g(x)]limf(u)A ①
uu0
xx0
uu0
证: limf(u)A uu0
0, 0, 当 0uu0 时, 有 f(u)A
xl im x0g(x)u0
对上述 0 , 1 0, 当
0xx0 1 时, 有 g(x)u0
取 m in0,1, 则当 0 xx0 时
(a0b00,m ,n为非负常数
)
a0 , b0
0 ,
,
当nm ( 如P47 例5 ) 当nm ( 如P47 例6 ) 当nm ( 如P47 例7 )
例8. 求 lim sin x .
x x
解: Q sinx 1
1 lim 0 x x
利用定理 2 可知
sin x lim 0 .
x x
y
y sin x x
lim 1 x3 x 3
1 6
x = 3 时分母为 0 !
2x3
例4
.
求
lxi m1x2
. 5x4
解: x = 1 时分母 = 0 , 分子≠0 , 但因
lim x2 5x4 12 514 0
x1 2x3
213
lx i1mx22x5x34
例5 .
求
4x2 3x9 lxi m 5x2 2x1 .

结论： 设多项式 f( x ) a 0 x n a 1 x n 1 a n ,则有
x l x 0 i f ( x m ) a 0 ( x l x 0 i x ) n m a 1 ( x l x 0 i x ) n m 1 a n a 0 x 0 n a 1 x 0 n 1 a n f(x0).
常见的有界函数
4
注意： 也有界
记忆口诀：外函数有界，复合函数必有界。
5
定理 2. 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 . 推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 . 注: 无限个无穷小的乘积不一定是无穷小 !
6
问: 无穷大是否有类似的性质？ 以下命题成立？ （1）两个无穷大之和也是无穷大 ？ （2）两个无穷大的积也是无穷大？ （3）无穷大与有界函数的和也是 无穷大？ （4）无穷大与有界函数的乘积也是无穷大？ （5）无穷大与无穷小的乘积是什么？
10
定理 4.
若
lim
n
xn

A，lim n
yn

B ，则
(1)
lim
n
(
xn

yn )

A B;
(2)
lim
n
xn
yn
AB;
(3)
当 yn

0且
B

0时， lim n
xn yn

A. B
注意：极限的四则运算法则成立的条件为：
参与四则运算的各项的极限都存在！
定 理 5若 lim f(x ) A ， lim g (x ) B ， 且 f(x ) g (x ) ， 则 A B .