垂径定理综合练习题

专题2.1 圆中垂径定理综合应用（3大类题型）【题型1 直接运用勾股定理求线段】【题型2 勾股定理与方程综合求线段】【题型3 垂径定理在实际中应用】【题型1 直接运用勾股定理求线段】1．（2023•大连模拟）如图所示，在⊙O中，直径AB＝10，弦DE⊥AB于点C，连接DO．若OC：OB＝3：5，则DE的长为（）A．3B．4C．6D．8 2．（2023•杭州模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5cm，CD＝8cm，则AE＝（）cm．A．8B．5C．3D．2 3．（2023•宜昌）如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D．若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为（）A．5B．4C．3D．2 4．（2023•金寨县校级模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若CD＝6，AB＝10，则AE的长为（）A．1B．2C．3D．4 5．（2023•亳州三模）如图，在⊙O中，直径AB⊥CD于点H．若AB＝10，CD ＝8，则BH的长为（）A．5B．4C．3D．2 6．（2023•容县一模）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为点E，CD＝8cm，AB＝10cm，则AE＝．7．（2023•衡南县三模）在⊙O中，直径AB＝4，弦CD⊥AB于P，OP＝，则弦CD的长为．8．（2023•东台市校级模拟）如图，A、B、C是⊙O上的点，OC⊥AB，垂足为点D，若OA＝5，AB＝8，则线段CD的长为＝．9．（2023•望城区模拟）如图，AB是⊙O的直径，且AB＝10cm，弦CD⊥AB 于点E，CD＝8cm，连接OC，则BE＝cm．10．（2023•长沙县二模）如图，⊙O的半径为5，弦AB＝8，点C是AB的中点，连接OC，则OC的长为．【题型2 勾股定理与方程综合求线段】11．（2023•邯郸模拟）如图，以CD为直径的⊙O中，弦AB⊥CD于M．AB＝16，CM＝16．则MD的长为（）A．4B．6C．8D．10 12．（2022秋•南开区校级期末）如图，在⊙O中，半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC，若AB＝8，CD＝2，则EC的长度为（）A．B．8C．D．13．（2022秋•文登区期末）如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，若AE＝CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3B．4C．D．5 14．（2022秋•西湖区校级期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB交于点E．若BE＝10，CD＝8，则⊙O的半径为（）A．3B．4.2C．5.8D．6 15．（2022秋•泰山区校级期末）一块圆形宣传标志牌简图如图所示，点A，B，C在⊙O上，CD垂直平分AB于点D．现测得AB＝16dm，DC＝4dm，则圆形标志牌的半径为（）A．6dm B．5dm C．10dm D．3dm 16．（2022秋•任城区校级期末）如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝2寸，AB＝16寸，直径CD的长是（）A．28寸B．30寸C．36寸D．34寸17．（2023•汉阳区校级一模）如图，CD为⊙O直径，弦AB⊥CD于点E，CE ＝1，AB＝6，则CD长为（）A．10B．9C．8D．5 18．（2023•汇川区三模）在半径为r的圆中，弦BC垂直平分OA，若BC＝6，则r的值是（）A．B．C．D．19．（2023春•仪征市期末）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，，BE＝1，则OC＝．20．（2023•大冶市一模）如图，AB是⊙O的弦，C是AB的中点，连接OC并延长交⊙O于点D．若CD＝1，AB＝4，则⊙O的半径是．【题型3 垂径定理在实际中应用】21．（2022秋•海淀区校级月考）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧AB，点O 是弧AB的圆心，C为弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．已知AB＝60m，CD＝10m，求这段弯路的半径．22．（2022秋•郾城区期中）如图是一根圆形下水管道的横截面，管内有少量的污水，此时的水面宽AB为0.6米，污水的最大深度为0.1米．（1）求此下水管横截面的半径；（2）随着污水量的增加，水位又被抬升0.7米，求此时水面的宽度增加了多少？23．（2022秋•沭阳县期中）如图是某蔬菜基地搭建一座圆弧型蔬菜棚，跨度AB＝3.2米，拱高CD＝0.8米（C为AB的中点，D为弧AB的中点）．（1）求该圆弧所在圆的半径；（2）在距蔬菜棚的一端0.4米处竖立支撑杆EF，求支撑杆EF的高度．24．如图，有一拱桥是圆弧形，它的跨度（所对弦长）为60m，拱高18m，当水面涨至其跨度只有30m时，就要采取紧急措施．某次洪水来到时，拱顶离水面只有4m，问是否需要采取紧急措施？25．如图，残缺轮片上弦AB的垂直平分线交弧AB于点C，交弦AB于点D，已知AB＝24cm，CD＝8cm．（1）找出此残缺轮片所在圆的圆心（写出找到圆心的方法）；（2）求此圆的半径．26．某地有一座圆弧形拱桥，所在圆的圆心为点O，桥下水面宽度AB为7.2m，过点O作OC⊥AB于点D，交圆弧于点C，CD＝2.4m（如图）．现有一艘宽3m、船舱顶部高出水面AB2m的货船要经过这座拱桥，此货船能否顺利通过这座拱桥？27．我国古算书《九章算术》中有“圆材埋壁”一题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径（直径）几何？”（注：如图，⊙O表示圆材截面，CE是⊙O的直径，AB表示“锯道”，CD表示“锯深”，1尺＝10寸，求圆材的直径长就是求CE的长．）28．如图，半圆拱桥的圆心为O，圆的半径为5m，一只8m宽的船装载一集装箱，箱顶宽6m，离水面AB高3.8m，这条船能过桥洞吗？请说明理由．29．（2022秋•沭阳县校级月考）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且AB＝26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD＝5：24（1）求CD的长；（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？30．（2022秋•东台市期中）如图，是一张盾构隧道断面结构图．隧道内部为以O为圆心，AB为直径的圆．隧道内部共分为三层，上层为排烟道，中间为行车隧道，下层为服务层．点A到顶棚的距离为1.6m，顶棚到路面的距离是6.4m，点B到路面的距离为4.0m．请求出路面CD的宽度．（精确到0.1m）。

垂径定理练习题及答案一、选择题1. 在一个圆中，如果一条直径的端点与圆上一点相连，这条线段的中点与圆心的距离是直径的（）A. 一半B. 半径B. 直径D. 无法确定2. 垂径定理指出，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是（）A. 直径B. 半径C. 线段D. 无法确定3. 圆内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形是（）A. 平行四边形B. 矩形C. 菱形D. 无法确定4. 如果圆的半径为r，那么圆的直径是（）A. 2rB. rC. r的平方D. 2r的平方二、填空题1. 垂径定理告诉我们，如果一条线段是圆的直径，那么它与圆上任意一点连线所形成的直角三角形的斜边是______。

2. 圆的内接四边形中，如果对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等，等于______。

3. 已知圆的半径为5cm，那么圆的直径是______。

三、解答题1. 已知一个圆的半径为7cm，圆内有一点P，连接点P和圆心O，得到线段OP。

如果OP的长度为4cm，求点P到圆上任意一点的距离。

2. 一个圆的直径为14cm，圆内接四边形ABCD，其中AC为直径。

已知AB=6cm，求BC的长度。

四、证明题1. 证明：如果一个三角形是直角三角形，且斜边是圆的直径，那么这个三角形的外接圆的直径是这个三角形的斜边。

2. 证明：如果一个圆的内接四边形的对角线互相平分，且其中一条对角线是圆的直径，那么这个四边形的对角线长度相等。

答案：一、选择题1. A2. A3. B4. A二、填空题1. 直径的一半2. 圆的直径3. 10cm三、解答题1. 点P到圆上任意一点的距离是3cm（利用勾股定理，OP为直角三角形的一条直角边，半径为斜边，另一直角边为点P到圆上任意一点的距离）。

2. BC的长度是8cm（利用圆内接四边形的性质，对角线互相平分，且AC是直径，所以BD=7cm，再利用勾股定理求BC）。

1、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点P，CD＝10cm，AP:PB＝1:5，则⊙O的半径为_______。

2、在⊙O中，P为其内一点，过点P的最长的弦为8cm，最短的弦长为4cm，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm，一弦长为8cm，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm，另一条弦长为6cm，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O中，OA是半径，弦AB＝cm，D是弧AB的中点，OD交AB于点C，若∠OAB＝300，则⊙O的半径____cm。

7、在⊙O中，半径OA＝10cm，AB是弦，C是AB弦的中点，且OC:AC=3:4，则AB=_____。

8、在弓形ABC中，弦AB=24，高CD=6，则弓形所在圆的半径等于。

9．如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点，AB＝10cm，CD＝6cm，则AC的长为_____。

1、已知：AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点P ，CD ＝10cm ，AP:PB ＝1:5，则⊙O 的半径为_______。

2、在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP ＝____ _。

3、已知圆的半径为5cm ，一弦长为8cm ，则该弦的中点到弦所对的弧的中点的距离为__ _____。

4、已知圆心到圆的两条平行弦的距离分别是2和3，则两条平行弦之间的距离为_ ____。

5、在半径为5cm 的圆内有两条互相平行的弦，一条弦长为8cm ，另一条弦长为6cm ，则这两条弦之间的距离为_____ _。

6、如图，在⊙O 中，OA 是半径，弦AB ＝310cm ，D 是弧AB 的中点，OD 交AB 于点C ，若∠OAB ＝300，则⊙O 的半径____cm 。

初中垂径定理试题及答案一、选择题1. 在圆中，垂直于弦的直径是该弦的（）。

A. 垂线B. 垂径C. 弦心距D. 弦长答案：B2. 垂径定理告诉我们，如果一条线段垂直于弦，并且平分弦，那么它也平分弦所对的（）。

A. 弧B. 圆心角C. 弦心距D. 弦长答案：A3. 在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦分成的两段长度（）。

A. 相等B. 不相等C. 无法确定D. 取决于圆的大小答案：A二、填空题4. 在圆中，如果弦AB的中点为M，且直径CD垂直于弦AB于点M，则弦AB所对的弧ACB的度数为______。

答案：90°5. 垂径定理在圆的几何学中非常重要，它说明了垂直于弦的直径将弦平分，并且平分的弦所对的弧是______。

答案：相等的三、解答题6. 已知圆O的半径为10cm，弦AB垂直于直径CD于点M，求弦AB的长度。

答案：由于直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理，弦AB被直径CD平分，因此弦AB的长度为圆的直径，即20cm。

7. 在一个圆中，弦AC的长度为12cm，弦BC的长度为8cm，且AC和BC相交于点O，求圆的半径。

答案：由于AC和BC相交于圆心O，根据垂径定理，OA=OC，OB=OA，因此OA=OC=6cm，OB=OA=6cm。

根据勾股定理，圆的半径r满足r^2 =OA^2 + OB^2 = 6^2 + 6^2 = 72，所以r = √72 = 6√2 cm。

四、证明题8. 证明：在圆中，如果一条直径垂直于弦，那么这条直径将弦平分。

答案：设圆心为O，直径为CD，弦为AB，且CD垂直于AB于点M。

要证明CM=MD。

由于CD是直径，所以∠CMO=∠DMO=90°。

根据垂径定理，CM=MD，因此这条直径将弦平分。

垂径定理1．下列说法正确的是（）A．弧长相等的弧一定是等弧B．所对圆心角相等的弧是等弧C．同弧或等弧所对的圆周角相等D．平分弦的直径必垂直于弦2．下列说法正确的个数有（）①相等的弦所对的圆心角相等；②平分弦的直径垂直于这条弦；③直径所对的弧是半圆；④圆是轴对称图形，其对称轴有无数条，对称轴是圆的直径．A．1个B．2个C．3个D．4个3．如图，CD是圆O的直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为M，则下列结论中错误．．的是（）A．AM=BM B．弧AC=弧BC C．OM=DM D．弧AD=弧BD4．如图，AB是圆O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC=15，CD=24，则OE=（）A．6 B．62C．9 D．125．如图，圆O的半径为3，圆心O到AB的距离为2，则弦AB的长为（）A．2 B．25C．13D．106．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点()13,0A ，直线34y kx k =-+与圆O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为（ ）A ．22B ．24C ．10.5D ．12.57．如图所示，矩形ABCD 与圆O 相交于M 、N 、F 、E ，若AM=2，DE=1，EF=8，则MN 的长为（ ）A ．2B ．4C ．6D ．88．若圆O 的半径为10 cm ，且两平行弦AC ，BD 的长分别为12 cm ，16 cm ，则两弦间的距离是( )A ．2 cmB ．14 cmC ．2 cm 或14 cmD ．6 cm 或8 cm9．如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四个点，AD ∥BC,那么弧AB 与弧CD 的数量关系是（ )A ．弧AB =弧CD B ．弧AB ＞弧CDC ．弧AB ＜弧CD D ．无法确定10．如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB 与小圆有公共点，则弦AB 的取值范围是（ ）A ．8≤AB≤10B ．8＜AB≤10C ．4≤AB≤5D ．4＜AB≤511．如图，⊙O 1的弦AB 是⊙O 2的切线，且AB ∥O 1O 2，如果AB ＝12cm ，那么阴影部分的面积为（ ）．A ．36πcm 2B ．12πcm 2C ．8πcm 2D ．6πcm 212．在某校校园文化建设活动中，小彬同学为班级设计了一个班徽，这个班徽图案由一对大小相同的较大半圆挖去一对大小相同的较小半圆而得．如图，若它们的直径在同一直线上，较大半圆1O 的弦21AB O O ∥，且与较小半圆2O 相切， AB=4，则班徽图案的面积为（ ）A ．25πB ．16πC ．8πD ．4π13．如图，圆O 的直径AB=10，C 是圆O 上一点，点D 平分弧BC ，2cm DE =，则弦AC= 14．如图，已知AB 是圆O 的弦，点C 在圆O 上，且弧AB=弧BC ，分别连接AO ，CO ，并延长CO ，交弦AB 于点D ，23AB =，CD=3，若点E 在圆O 上，BE ∥OA ，则BE 的长为 ．15．如图，一圆弧过方格的格点A、B、C，在方格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为（0,3），点B的坐标为（-2,1），则该圆弧所在圆的圆心坐标是．16．某品牌太阳能热水器的实物图和截面示意图如图所示，支架CD与地面垂直，真空集热管AB与地面水平线夹角∠BAC为30°，直线AB与CD都经过水箱截面的圆心O．已知DC=65，AB=180，则水箱内水面宽度BE为cm．17．圆管涵是公路路基排水中常用的涵洞结构类型，它不仅力学性能好，而且构造简单、施工方便．某水平放置的圆管涵圆柱形排水管道的截面是直径为1.2m的圆，如图所示，若水面宽AB=0.8，求水的最大深度．（精确到0.1）18．“两龙“高速公路是某省高速公路隧道和桥梁最多的路段．如图，是一个单心圆曲隧道的截面，若路面AB宽为8米，净高CD为8米，求此隧道单心圆的半径OA．19．如图，在圆O中，AB、CD为直径，弦DE⊥AB于点F，连接BC．(1)若DE=16，BF=15，求圆O的直径；(2)若∠C=∠D，求弦BC与DE的夹角．20．（1）如图1，AB是圆O的直径、C、D是圆O上的两点，若∠BAC=20°，弧AD=弧CD．求：①∠ADC的度数；②求∠DAC的度数；（2）如图2，圆O的弦AB垂直平分半径OC，若圆O的半径为4，求弦AB的长．。

圆垂径定理专题练习题1．垂径定理：垂直于弦的直径____这条弦，并且____弦所对的两条弧．2．如图，在半径为5 cm的⊙O中，弦AB＝6 cm，OC⊥AB于点C，则OC＝( )A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm3．如图，已知⊙O的半径为5，弦AB＝6，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是( )A．2.5 B．3.5 C．4.5 D．5.54. 如图，AB是⊙O的弦，AB长为8，P是⊙O上一个动点(不与A，B重合)，过点O作OC⊥AP于点C，OD⊥PB于点D，则CD的长为___．5. 如图，圆内接四边形ABDC，AB是⊙O的直径，OD⊥BC于点E.(1)请写出四个不同类型的正确结论；(2)若BE＝4，AC＝6，求DE的长．6. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径OB＝10，水面宽AB＝16，则截面圆心O到水面的距离OC是( )A．4 B．5 C．6 D．87. 为了测量一铁球的直径，将该铁球放入工件槽内，测得有关数据如图所示(单位：cm)，则该铁球的直径为____．8. H5N1亚型高致病性禽流感是一种传染速度很快的传染病，为防止禽流感蔓延，政府规定：离疫点3千米范围内为扑杀区，所有禽类全部扑杀；离疫点3至5千米范围内为免疫区，所有禽类强制免疫；同时，对扑杀区和免疫区内的村庄，道路实行全封闭管理．现有一条笔直的公路AB通过禽流感疫区，如图所示，O为疫点，在扑杀区内的公路CD长为4千米，问这条公路在免疫区内有多少千米？9．如图，直线与两个同心圆交于图示的各点，MN＝10，PR＝6，则MP＝____．10．如图，矩形ABCD与圆心在AB上的⊙O交于点G，B，F，E，GB＝8 cm，AG＝1 cm，DE＝2 cm，则EF＝____cm.11. 如图，⊙O的直径AB＝16 cm，P是OB的中点，∠APD＝30°，求CD的长．12. 如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD.垂足P是OB的中点，CD＝6 cm，求直径AB的长．13. 在⊙O中，直径AB＝6，BC是弦，∠ABC＝30°，点P在BC上，点Q在⊙O上，且OP⊥PQ.(1)如图1，当PQ∥AB时，求PQ的长度；(2)如图2，当点P在BC上移动时，求PQ长的最大值．答案：1. 平分 平分2. B3. C4. 45.解：(1)不同类型的正确结论为BE ＝12BC ，BD ︵＝CD ︵， ∠BED ＝90°，BD ＝CD ，△BOD 是等腰三角形， △BDE ≌△CDE ，OB 2＝OE 2＋BE 2等 (2)∵AB 是 ⊙O 的直径，∴OA ＝OB ，∵OD ⊥BC 于E 点，∴BE ＝CE ，∴OE 为△ABC 的中位线，∴OE ＝12AC ＝12×6＝3，在Rt △OBE 中，由勾股定理，得 OB ＝OE 2＋BE 2＝32＋42＝5，∴OD ＝OB ＝5， ∴DE ＝OD －OE ＝5－3＝26. C7. 10 cm8.解：过O 作OE ⊥AB 于E ，连接OC ， OA ，易求OE ＝5，AE ＝25，则AB ＝2AE ＝45，∴AC ＋DB ＝AB －CD ＝45－4＝4(5－1)(千米)9. 210. 611.解：连接OD ，过点O 作OM ⊥CD于点M ，则CM ＝DM.∵直径AB ＝16 cm ， P 为OB 的中点，∴OP ＝4 cm.在Rt △OPM 中，∵∠APD ＝30°，∴OM ＝12OP ＝2 cm.在Rt △DOM 中， DM ＝DO 2－OM 2＝82－22＝215(cm )， ∴CD ＝2DM ＝415 cm 12.解：连接OD ，∵P 是OB 的中点，∴OP ＝12OB ＝12OD ， ∵AB ⊥CD ，∴∠OPD ＝90°，DP ＝12CD ＝12×6＝3(cm )， 在Rt △ODP 中，sin ∠ODP ＝OP OD ＝12OD OD ＝12，∴∠ODP ＝30° ∴OD ＝DP cos 30°＝23(cm )，∴AB ＝2OD ＝43(cm )13.解：(1)PQ ＝6 (2)PQ 长的最大值为332。

一．选择题（共7小题）1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为cm cm C cm或cm D cm或cm 2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）=5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）二．解答题（共7小题）8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE．11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．12．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．14．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2014•凉山州）已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC的长为cm cm C cm或cm D cm或cmAM=AB=OM==3cm==4==2cm2．（2014•舟山）如图，⊙O的直径CD垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（）3．（2014•毕节地区）如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）AB=12OC=4．（2014•三明）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，则下列结论正确的是（）==，5．（2014•南宁）在直径为200cm的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图．若油面的宽AB=160cm，则油的最大深度为（）OM===60cm6．（2014•安顺）如图，MN是半径为1的⊙O的直径，点A在⊙O上，∠AMN=30°，点B为劣弧AN的中点．P 是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）=BON=∠AON=×=OA=，．7．（2014•沛县模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，⊙A与x轴交于B（2，0）、C（8，0）两点，与y轴相切于点D，则点A的坐标是（）二．解答题（共7小题）8．（2014•佛山）如图，⊙O的直径为10cm，弦AB=8cm，P是弦AB上的一个动点，求OP的长度范围．AE=BE=AB=××==3cm9．（2014•盘锦三模）如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为E，，（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．=∠C=∠=，C=C=，BC=；，CE=BE=BC==10．（2009•长宁区二模）如图，点C在⊙O的弦AB上，CO⊥AO，延长CO交⊙O于D．弦DE⊥AB，交AO于F．（1）求证：OC=OF；（2）求证：AB=DE．11．（2009•浦东新区二模）一根横截面为圆形的下水管道的直径为1米，管内有少量的污水（如图），此时的水面宽AB为0.6米．（1）求此时的水深（即阴影部分的弓形高）；（2）当水位上升到水面宽为0.8米时，求水面上升的高度．ABAB=×==0.412．（2008•长宁区二模）如图，在△ABC中，AB=AC，⊙O过点B、C，且交边AB、AC于点E、F，已知∠A=∠ABO，连接OE、OF、OB．（1）求证：四边形AEOF为菱形；（2）若BO平分∠ABC，求证：BE=BC．13．（2007•佛山）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC=13，BC=24，求⊙O的半径．=，CD=BC=1214．（2007•青浦区二模）如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，点C是弧AB上的一点，OC⊥AB，垂足为D，如AB=60m，CD=10m，求这段弯路的半径．。

垂径定理副标题题号一二总分得分一、选择题（本大题共4小题，共12.0分）1.如图所示，的半径为13，弦AB的长度是24，，垂足为N，则A. 5B. 7C. 9D.11【答案】A【解析】解：由题意可得，，，，，，故选A．根据的半径为13，弦AB的长度是24，，可以求得AN的长，从而可以求得ON的长．本题考查垂径定理，解题的关键是明确垂径定理的内容，利用垂径定理解答问题．2.如图，AB是的直径，弦于点E，，的半径为5cm，则圆心O到弦CD的距离为A.B. 3cmC.D. 6cm【答案】A【解析】解：连接CB．是的直径，弦于点E，圆心O到弦CD的距离为OE；同弧所对的圆周角是所对的圆心角的一半，，；在中，，，．故选A．根据垂径定理知圆心O到弦CD的距离为OE；由圆周角定理知，已知半径OC的长，即可在中求OE的长度．本题考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形的综合应用解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解．3.如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为点C，若，，则的半径为A. 5B.C.D. 4【答案】C【解析】解：连结OA，如图，设的半径为r，，，在中，，，，，解得．故选C．连结OA，如图，设的半径为r，根据垂径定理得到，再在中利用勾股定理得到，然后解方程求出r即可．本题考查了的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此题的关键．4.如图，线段AB是的直径，弦CD丄AB，，则等于A.B.C.D.【答案】C【解析】解：线段AB是的直径，弦CD丄AB，，，，．故选：C．利用垂径定理得出，进而求出，再利用邻补角的性质得出答案．此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出的度数是解题关键．二、解答题（本大题共2小题，共16.0分）5.如图，在四边形ABCD中，，，AD不平行于BC，过点C作交的外接圆O于点E，连接AE．求证：四边形AECD为平行四边形；连接CO，求证：CO平分．【答案】证明：由圆周角定理得，，又，，，，，，四边形AECD为平行四边形；作于M，于N，四边形AECD为平行四边形，，又，，，又，，平分．【解析】本题考查的是三角形的外接圆与外心，掌握平行四边形的判定定理、垂径定理、圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得到，得到，根据平行线的判定和性质定理得到，证明结论；作于M，于N，根据垂径定理、角平分线的判定定理证明．6.如图，AB为直径，C为上一点，点D是的中点，于E，于F．判断DE与的位置关系，并证明你的结论；若，求AC的长度．【答案】解：与相切．证明：连接OD、AD，点D是的中点，，，，，，，，，与相切．连接BC交OD于H，延长DF交于G，由垂径定理可得：，，，，弦心距，是直径，，，是的中位线，．【解析】先连接OD、AD，根据点D是的中点，得出，进而根据内错角相等，判定，最后根据，得出DE与相切；先连接BC交OD于H，延长DF交于G，根据垂径定理推导可得，再根据AB是直径，推出OH是的中位线，进而得到AC的长是OH长的2倍．本题主要考查了直线与圆的位置关系，在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中明确指出直线与圆有公共点时，通常连接过该公共点的半径，证明该半径垂直于这条直线本题也可以根据与相似，求得AC的长．。

垂径定理精选题35道一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．82．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．84．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．45．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．18．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5 9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．610．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．1212．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．814．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O 于点D，则CD的最大值为．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为；当点E在⊙G 的运动过程中，线段FG的长度的最小值为．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是cm．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为cm．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝cm．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为cm．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．垂径定理精选题35道参考答案与试题解析一．选择题（共15小题）1．如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为（）A．2B．4C．4D．8【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故选：C．【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．2．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y＝x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（）A．4B．C．D．【分析】PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，由于OC＝3，PC＝a，易得D点坐标为（3，3），则△OCD为等腰直角三角形，△PED也为等腰直角三角形．由PE⊥AB，根据垂径定理得AE＝BE＝AB＝2，在Rt△PBE中，利用勾股定理可计算出PE＝1，则PD＝PE＝，所以a＝3+．【解答】解：作PC⊥x轴于C，交AB于D，作PE⊥AB于E，连接PB，如图，∵⊙P的圆心坐标是（3，a），∴OC＝3，PC＝a，把x＝3代入y＝x得y＝3，∴D点坐标为（3，3），∴CD＝3，∴△OCD为等腰直角三角形，∴△PED也为等腰直角三角形，∵PE⊥AB，∴AE＝BE＝AB＝×4＝2，在Rt△PBE中，PB＝3，∴PE＝，∴PD＝PE＝，∴a＝3+．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质．3．如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点P，AP＝2，BP＝6，∠APC＝30°，则CD 的长为（）A．B．2C．2D．8【分析】作OH⊥CD于H，连接OC，如图，根据垂径定理由OH⊥CD得到HC＝HD，再利用AP＝2，BP＝6可计算出半径OA＝4，则OP＝OA﹣AP＝2，接着在Rt△OPH中根据含30度的直角三角形的性质计算出OH＝OP＝1，然后在Rt△OHC中利用勾股定理计算出CH＝，所以CD＝2CH＝2．【解答】解：作OH⊥CD于H，连接OC，如图，∵OH⊥CD，∴HC＝HD，∵AP＝2，BP＝6，∴AB＝8，∴OA＝4，∴OP＝OA﹣AP＝2，在Rt△OPH中，∵∠OPH＝∠APC＝30°，∴∠POH＝60°，∴OH＝OP＝1，在Rt△OHC中，∵OC＝4，OH＝1，∴CH＝＝，∴CD＝2CH＝2．故选：C．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理以及含30度的直角三角形的性质．4．如图，在半径为3的⊙O中，AB是直径，AC是弦，D是的中点，AC与BD交于点E．若E是BD的中点，则AC的长是（）A．B．3C．3D．4【分析】连接OD，交AC于F，根据垂径定理得出OD⊥AC，AF＝CF，进而证得DF＝BC，根据三角形中位线定理求得OF＝BC＝DF，从而求得BC＝DF＝2，利用勾股定理即可求得AC．【解答】解：连接OD，交AC于F，∵D是的中点，∴OD⊥AC，AF＝CF，∴∠DFE＝90°，∵OA＝OB，AF＝CF，∴OF＝BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，在△EFD和△ECB中∴△EFD≌△ECB（AAS），∴DF＝BC，∴OF＝DF，∵OD＝3，∴OF＝1，∴BC＝2，在Rt△ABC中，AC2＝AB2﹣BC2，∴AC＝＝＝4，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，三角形全等的判定和性质，三角形中位线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．5．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，且AB＝8cm，则AC 的长为（）A．2cm B．4cm C．2cm或4cm D．2cm或4 cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4（cm），OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3（cm），∴CM＝OC+OM＝5+3＝8（cm），∴AC＝＝＝4（cm）；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2（cm），在Rt△AMC中，AC＝＝＝2（cm）．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．6．已知⊙O的直径CD＝10cm，AB是⊙O的弦，AB＝8cm，且AB⊥CD，垂足为M，则AC 的长为（）A．cm B．cm C．cm或cm D．cm或cm【分析】先根据题意画出图形，由于点C的位置不能确定，故应分两种情况进行讨论．【解答】解：如图，连接AC，AO，∵⊙O的直径CD＝10cm，AB⊥CD，AB＝8cm，∴AM＝AB＝×8＝4cm，OD＝OC＝5cm，当C点位置如图1所示时，∵OA＝5cm，AM＝4cm，CD⊥AB，∴OM＝＝＝3cm，∴CM＝OC+OM＝5+3＝8cm，∴AC＝＝＝4cm；当C点位置如图2所示时，同理可得OM＝3cm，∵OC＝5cm，∴MC＝5﹣3＝2cm，在Rt△AMC中，AC＝＝＝2cm．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．7．如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（）A．3B．2.5C．2D．1【分析】根据垂径定理以及勾股定理即可求答案．【解答】解：连接OA，设CD＝x，∵OA＝OC＝5，∴OD＝5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AD＝4，由勾股定理可知：52＝42+（5﹣x）2∴x＝2，∴CD＝2，故选：C．【点评】本题考查垂径定理，解题的关键是熟练运用垂径定理以及勾股定理，本题属于基础题型．8．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5B．4≤OM≤5C．3＜OM＜5D．4＜OM＜5【分析】由垂线段最短可知当OM⊥AB时最短，当OM是半径时最长．根据垂径定理求最短长度．【解答】解：如图，连接OA，作OM⊥AB于M，∵⊙O的直径为10，∴半径为5，∴OM的最大值为5，∵OM⊥AB于M，∴AM＝BM，∵AB＝6，∴AM＝3，在Rt△AOM中，OM＝＝＝＝4；此时OM最短，所以OM长的取值范围是4≤OM≤5．故选：B．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理，解决本题的关键是确定OM的最小值，所以求OM的范围问题又被转化为求弦的弦心距问题，而解决与弦有关的问题时，往往需构造以半径、弦心距和弦长的一半为三边的直角三角形，若设圆的半径为r，弦长为a，这条弦的弦心距为d，则有等式r2＝d2+（）2成立，知道这三个量中的任意两个，就可以求出另外一个．9．如图，⊙O的半径为4，△ABC是⊙O的内接三角形，连接OB、OC．若∠BAC与∠BOC 互补，则弦BC的长为（）A．3B．4C．5D．6【分析】首先过点O作OD⊥BC于D，由垂径定理可得BC＝2BD，又由圆周角定理，可求得∠BOC的度数，然后根据等腰三角形的性质，求得∠OBC的度数，利用余弦函数，即可求得答案．【解答】解：过点O作OD⊥BC于D，则BC＝2BD，∵△ABC内接于⊙O，∠BAC与∠BOC互补，∴∠BOC＝2∠A，∠BOC+∠A＝180°，∴∠BOC＝120°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB＝（180°﹣∠BOC）＝30°，∵⊙O的半径为4，∴BD＝OB•cos∠OBC＝4×＝2，∴BC＝4．故选：B．【点评】此题考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的性质以及三角函数等知识．注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．10．如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连接AO并延长交⊙O于点E，连接EC．若AB ＝8，OC＝3，则EC的长为（）A．B．8C．D．【分析】根据垂径定理求出AC＝BC，根据三角形的中位线求出BE，再根据勾股定理求出EC即可．【解答】解：连接BE，∵AE为⊙O直径，∴∠ABE＝90°，∵OD⊥AB，OD过O，∴AC＝BC＝AB＝＝4，∵AO＝OE，∴BE＝2OC，∵OC＝3，∴BE＝6，在Rt△CBE中，EC＝＝＝2，故选：D．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，三角形的中位线等知识点，能根据垂径定理求出AC＝BC是解此题的关键．11．已知如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，则⊙O的直径为（）A．6B．8C．10D．12【分析】连接OC，根据题意OE＝OC﹣1，CE＝3，结合勾股定理，可求出OC的长度，即可求出直径的长度．【解答】解：连接OC，∵弦CD⊥AB于E，CD＝6，AE＝1，∴OE＝OC﹣1，CE＝3，∴OC2＝（OC﹣1）2+32，∴OC＝5，∴AB＝10．故选：C．【点评】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，解题的关键在于连接OC，构建直角三角形，根据勾股定理求半径OC的长度．12．点P是⊙O内一点，过点P的最长弦的长为10cm，最短弦的长为6cm，则OP的长为（）A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm【分析】根据直径是圆中最长的弦，知该圆的直径；最短弦即是过点P且垂直于过点P 的直径的弦；根据垂径定理即可求得CP的长，再进一步根据勾股定理，可以求得OP的长．【解答】解：如图所示，CD⊥AB于点P．根据题意，得：AB＝10cm，CD＝6cm．∵AB是直径，且CD⊥AB，∴CP＝CD＝3cm．根据勾股定理，得OP＝＝＝4（cm）．故选：B．【点评】此题综合运用了垂径定理和勾股定理．正确理解圆中，过一点的最长的弦和最短的弦是解题的关键．13．⊙O的半径为5，M是圆外一点，MO＝6，∠OMA＝30°，则弦AB的长为（）A．4B．6C．6D．8【分析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，根据含30°角的直角三角形的性质得出OC＝MO＝3，根据勾股定理求出AC，再根据垂径定理得出AB＝2AC，最后求出答案即可．【解答】解：过O作OC⊥AB于C，连接OA，则∠OCA＝90°，∵MO＝6，∠OMA＝30°，∴OC＝MO＝3，在Rt△OCA中，由勾股定理得：AC＝＝＝4，∵OC⊥AB，OC过O，∴BC＝AC，即AB＝2AC＝2×4＝8，故选：D．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，能熟记垂直于弦的直径平分弦是解此题的关键．14．如图，CD为⊙O直径，CD⊥AB于点F，AE⊥BC于E，AE过圆心O，且AO＝1．则四边形BEOF的面积为（）A．B．C．D．【分析】根据垂径定理求出AF＝BF，CE＝BE，＝，求出∠AOD＝2∠C，求出∠AOD＝2∠A，求出∠A＝30°，解直角三角形求出OF和BF，求出OE、BE、BF，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：∵CD为直径，CD⊥AB，∴＝，∴∠AOD＝2∠C，∵CD⊥AB，AE⊥BC，∴∠AFO＝∠CEO＝90°，在△AFO和△CEO中∴△AFO≌△CEO（AAS），∴∠C＝∠A，∴∠AOD＝2∠A，∵∠AFO＝90°，∴∠A＝30°，∵AO＝1，∴OF＝AO＝，AF＝OF＝，同理CE＝，OE＝，连接OB，∵CD⊥AB，AE⊥BC，CD、AE过O，∴由垂径定理得：BF＝AF＝，BE＝CE＝，∴四边形BEOF的面积S＝S△BFO+S△BEO＝××+＝，故选：C．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形等知识点，能够综合运用定理进行推理是解此题的关键．15．△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点E、D，则AE的长为（）A．B．C．D．【分析】在Rt△ABC中，由勾股定理可直接求得AB的长；过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可得M为AE的中点，在Rt△ACM中，根据勾股定理得AM的长，从而得到AE的长．【解答】解：在Rt△ABC中，∵AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5．过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，由垂径定理可得M为AE的中点，∵S△ABC＝AC•BC＝AB•CM，且AC＝3，BC＝4，AB＝5，∴CM＝，在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2＝AM2+CM2，即9＝AM2+（）2，解得：AM＝，∴AE＝2AM＝．故选：C．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．二．填空题（共14小题）16．如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上的一点，若BC＝6，AB＝10，OD⊥BC于点D，则OD的长为4．【分析】根据垂径定理求得BD，然后根据勾股定理求得即可．【解答】解：∵OD⊥BC，∴BD＝CD＝BC＝3，∵OB＝AB＝5，∴OD＝＝4．故答案为4．【点评】题考查了垂径定理、勾股定理，本题非常重要，学生要熟练掌握．17．如图，在⊙O中，弦AB＝1，点C在AB上移动，连接OC，过点C作CD⊥OC交⊙O于点D，则CD的最大值为．【分析】连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当OC⊥AB时，OC最小，再求出即可．【解答】解：连接OD，如图，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD＝＝，当OC的值最小时，CD的值最大，而OC⊥AB时，OC最小，此时D、B两点重合，∴CD＝CB＝AB＝×1＝，即CD的最大值为，故答案为：．【点评】本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．18．如图，AB是⊙O的直径，CD为⊙O的一条弦，CD⊥AB于点E，已知CD＝4，AE＝1，则⊙O的半径为．【分析】连接OC，由垂径定理得出CE＝CD＝2，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，由勾股定理得出CE2+OE2＝OC2，得出方程，解方程即可．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，CD⊥AB，∴CE＝CD＝2，∠OEC＝90°，设OC＝OA＝x，则OE＝x﹣1，根据勾股定理得：CE2+OE2＝OC2，即22+（x﹣1）2＝x2，解得：x＝；故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理、勾股定理、解方程；熟练掌握垂径定理，并能进行推理计算是解决问题的关键．19．如图，以G（0，1）为圆心，半径为2的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C，D 两点，点E为⊙G上一动点，CF⊥AE于F，则弦AB的长度为2；当点E在⊙G的运动过程中，线段FG的长度的最小值为﹣1．【分析】作GM⊥AC于M，连接AG．因为∠AFC＝90°，推出点F在以AC为直径的⊙M上推出当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM，想办法求出FM、GM即可解决问题；【解答】解：作GM⊥AC于M，连接AG．∵GO⊥AB，∴OA＝OB，在Rt△AGO中，∵AG＝2，OG＝1，∴AG＝2OG，OA＝＝，∴∠GAO＝30°，AB＝2AO＝2，∴∠AGO＝60°，∵GC＝GA，∴∠GCA＝∠GAC，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴AC＝2OA＝2，MG＝CG＝1，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，当点F在MG的延长线上时，FG的长最小，最小值＝FM﹣GM＝﹣1．故答案为2，﹣1．【点评】本题考查垂径定理、直角三角形30度角的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．20．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点O为原点建立直角坐标系，则过A，B，C三点的圆的圆心坐标为（﹣1，﹣2）．【分析】连接CB，作CB的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点D的坐标即可．【解答】解：连接CB，作CB的垂直平分线，如图所示：在CB的垂直平分线上找到一点D，CD＝DB＝DA＝＝，所以D是过A，B，C三点的圆的圆心，即D的坐标为（﹣1，﹣2），故答案为：（﹣1，﹣2），【点评】此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．21．如图，△ABC中，∠BAC＝60°，∠ABC＝45°，AB＝2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为．【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF＝2EH＝20E•sin∠EOH＝20E•sin60°，因此当半径OE最短时，EF最短，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，在Rt△ADB中，解直角三角形求直径AD，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，在Rt△EOH中，解直角三角形求EH，由垂径定理可知EF＝2EH．【解答】解：由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H，∵在Rt△ADB中，∠ABC＝45°，AB＝2，∴AD＝BD＝2，即此时圆的直径为2，由圆周角定理可知∠EOH＝∠EOF＝∠BAC＝60°，∴在Rt△EOH中，EH＝OE•sin∠EOH＝1×＝，由垂径定理可知EF＝2EH＝．故答案为：．【点评】本题考查了垂径定理，圆周角定理，解直角三角形的综合运用．关键是根据运动变化，找出满足条件的最小圆，再解直角三角形．22．已知⊙O的半径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝16cm，CD＝12cm，则弦AB和CD之间的距离是2或14cm．【分析】分两种情况进行讨论：①弦AB和CD在圆心同侧；②弦AB和CD在圆心异侧；作出半径和弦心距，利用勾股定理和垂径定理求解即可，小心别漏解．【解答】解：①当弦AB和CD在圆心同侧时，连接OA，OC，过点O作OE⊥AB于点E并延长交CD于点F．如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AE＝8cm，CF＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴EO＝6cm，OF＝8cm，∴EF＝OF﹣OE＝2cm；②当弦AB和CD在圆心异侧时，如图，∵AB＝16cm，CD＝12cm，∴AF＝8cm，CE＝6cm，∵OA＝OC＝10cm，∴OF＝6cm，OE＝8cm，∴EF＝OF+OE＝14cm．∴AB与CD之间的距离为14cm或2cm．故答案为：2或14．【点评】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．23．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC．若∠CAB＝22.5°，CD＝8cm，则⊙O的半径为4cm．【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE＝DE，由OA＝OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【解答】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴CE＝DE＝CD＝4cm，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA＝22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE＝45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴OC＝CE＝4cm，故答案为：4【点评】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．24．如图，在⊙O中，半径OD垂直于弦AB，垂足为C，OD＝13cm，AB＝24cm，则CD＝8cm．【分析】根据垂径定理，可得AC的长，根据勾股定理，可得OC的长，根据线段的和差，可得答案．【解答】解：由垂径定理，AC＝AB＝12cm．由半径相等，得OA＝OD＝13cm．由勾股定理，得OC＝＝＝5．由线段的和差，得CD＝OD﹣OC＝13﹣5＝8cm，故答案为：8．【点评】本题考查了垂径定理，利用垂径定理得出直角三角形OAC是解题关键，又利用了勾股定理．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x+与⊙O相交于A，B两点，且点A在x轴上，则弦AB的长为2．【分析】设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，先求出A、C坐标，得到OA、OC长度，可得∠CAO＝30°，Rt△AOD中求出AD长度，从而根据垂径定理可得答案．【解答】解：设直线AB交y轴于C，过O作OD⊥AB于D，如图：在y＝x+中，令x＝0得y＝,∴C(0,),OC＝,在y＝x+中令y＝0得x+＝0,解得x＝﹣2,∴A(﹣2,0),OA＝2,Rt△AOC中，tan∠CAO＝＝＝,∴∠CAO＝30°，Rt△AOD中，AD＝OA•cos30°＝2×＝，∵OD⊥AB，∴AD＝BD＝，∴AB＝2，故答案为：2．【点评】本题考查一次函数、锐角三角函数及垂径定理等综合知识，解题的关键是利用tan∠CAO＝得到∠CAO＝30°．26．已知⊙O的直径为10cm，AB，CD是⊙O的两条弦，AB∥CD，AB＝8cm，CD＝6cm，则AB与CD之间的距离为1或7cm．【分析】作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，利用平行线的性质OF⊥CD，根据垂径定理得到AE＝BE＝4，CF＝DF＝3，则利用勾股定理可计算出OE＝3，OF＝4，讨论：当点O在AB与CD之间时，EF＝OF+OE；当点O不在AB与CD 之间时，EF＝OF﹣OE．【解答】解：作OE⊥AB于E，延长EO交CD于F，连接OA、OC，如图，∵AB∥CD，OE⊥AB，∴OF⊥CD，∴AE＝BE＝AB＝4cm，CF＝DF＝CD＝3cm，在Rt△OAE中，OE＝＝＝3cm，在Rt△OCF中，OF＝＝＝4cm，当点O在AB与CD之间时，如图1，EF＝OF+OE＝4+3＝7cm；当点O不在AB与CD之间时，如图2，EF＝OF﹣OE＝4﹣3＝1cm；综上所述，AB与CD之间的距离为1cm或7cm．故答案为1或7．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论．27．如图，圆O的直径AB垂直于弦CD，垂足是E，∠A＝22.5°，OC＝4，CD的长为4．【分析】根据圆周角定理得∠BOC＝2∠A＝45°，由于⊙O的直径AB垂直于弦CD，根据垂径定理得CE＝DE，且可判断△OCE为等腰直角三角形，所以CE＝OC＝2，然后利用CD＝2CE进行计算．【解答】解：∵∠A＝22.5°，∴∠BOC＝2∠A＝45°，∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，∴CE＝DE，△OCE为等腰直角三角形，∴CE＝OC＝2，∴CD＝2CE＝4．故答案为4．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了等腰直角三角形的性质和圆周角定理．28．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB＝10，CD＝8，则OH的长度为3．【分析】根据垂径定理由CD⊥AB得到CH＝CD＝4，再根据勾股定理计算出OH＝3．【解答】解：连接OC，∵CD⊥AB，∴CH＝DH＝CD＝×8＝4，∵直径AB＝10，∴OC＝5，在Rt△OCH中，OH＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．29．如图所示，在⊙O内有折线OABC，其中OA＝8，AB＝12，∠A＝∠B＝60°，则BC的长为20．【分析】延长AO交BC于D，根据∠A、∠B的度数易证得△ABD是等边三角形，由此可求出OD、BD的长；过O作BC的垂线，设垂足为E；在Rt△ODE中，根据OD的长及∠ODE的度数易求得DE的长，进而可求出BE的长；由垂径定理知BC＝2BE，由此得解．【解答】解：延长AO交BC于D，作OE⊥BC于E；∵∠A＝∠B＝60°，∴∠ADB＝60°；∴△ADB为等边三角形；∴BD＝AD＝AB＝12；∴OD＝4，又∵∠ADB＝60°，∴DE＝OD＝2；∴BE＝10；∴BC＝2BE＝20；故答案为20．【点评】此题主要考查了等边三角形的判定和性质以及垂径定理的应用．三．解答题（共6小题）30．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．（1）若CD＝16，BE＝4，求⊙O的直径；（2）若∠M＝∠D，求∠D的度数．【分析】（1）先根据CD＝16，BE＝4，得出OE的长，进而得出OB的长，进而得出结论；（2）由∠M＝∠D，∠DOB＝2∠D，结合直角三角形可以求得结果；【解答】解：（1）∵AB⊥CD，CD＝16，∴CE＝DE＝8，设OB＝x，又∵BE＝4，∴x2＝（x﹣4）2+82，解得：x＝10，∴⊙O的直径是20．（2）∵∠M＝∠BOD，∠M＝∠D，∴∠D＝∠BOD，∵AB⊥CD，∴∠D＝30°．【点评】本题考查了圆的综合题：在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角为直角；垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．31．如图，⊙O中，直径CD⊥弦AB于E，AM⊥BC于M，交CD于N，连接AD．（1）求证：AD＝AN；（2）若AB＝8，ON＝1，求⊙O的半径．【分析】（1）先根据同角的余角相等得到∠CNM＝∠B，利用等量代换得到∠AND＝∠B，利用同弧所对的圆周角相等得到∠D＝∠B，则得∠AND＝∠D，利用等角对等边可得出结论；（2）先根据垂径定理求出AE的长，连接AO，设OE的长为x，则DE＝NE＝x+1，OA ＝OD＝2x+1，在Rt△AOE中根据勾股定理可得出x的值，进而得出结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB∴∠CEB＝90°∴∠C+∠B＝90°，同理∠C+∠CNM＝90°∴∠CNM＝∠B∵∠CNM＝∠AND∴∠AND＝∠B，∵，∴∠D＝∠B，∴∠AND＝∠D，∴AN＝AD；（2）解：设OE的长为x，连接OA∵AN＝AD，CD⊥AB∴DE＝NE＝x+1，∴OD＝OE+ED＝x+x+1＝2x+1，∴OA＝OD＝2x+1，∴在Rt△OAE中OE2+AE2＝OA2，∴x2+42＝（2x+1）2．解得x＝或x＝﹣3（不合题意，舍去），∴OA＝2x+1＝2×+1＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．32．如图，在圆O中，弦AB＝8，点C在圆O上（C与A，B不重合），连接CA、CB，过点O分别作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分别是点D、E．（1）求线段DE的长；（2）点O到AB的距离为3，求圆O的半径．【分析】（1）由OD⊥AC知AD＝DC，同理得出CE＝EB，从而知DE＝AB，据此可得答案；（2）作OH⊥AB于点H，连接OA，根据题意得出OH＝3，AH＝4，利用勾股定理可得答案．【解答】解：（1）∵OD经过圆心O，OD⊥AC，∴AD＝DC，同理：CE＝EB，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝AB，∵AB＝8，∴DE＝4．（2）过点O作OH⊥AB，垂足为点H，OH＝3，连接OA，∵OH经过圆心O，∴AH＝BH＝AB，∵AB＝8，∴AH＝4，在Rt△AHO中，AH2+OH2＝AO2，∴AO＝5，即圆O的半径为5．【点评】本题主要考查垂径定理，解题的关键是掌握垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了中位线定理与勾股定理．33．如图，CD为⊙O的直径，CD⊥AB，垂足为点F，AO⊥BC，垂足为点E，BC＝3．（1）求AB的长；（2）求⊙O的半径．【分析】（1）连接AC，如图，利用垂径定理可判断CD垂直平分AB，则CA＝CB＝3，同理可得AE垂直平分BC，所以AB＝AC＝3；（2）先证明△ABC为等边三角形，则AE平分∠BAC，所以∠OAF＝30°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系求出OA即可．【解答】解：（1）连接AC，如图，∵CD⊥AB，∴AF＝BF，即CD垂直平分AB，∴CA＝CB＝3，∵AO⊥BC，∴CE＝BE，即AE垂直平分BC，∴AB＝AC＝3；（2）∵AB＝AC＝BC，∴△ABC为等边三角形，∴∠BAC＝60°，∴AE⊥BC，∴AE平分∠BAC，即∠OAF＝30°，在Rt△OAF中，∵OF＝AF＝×＝，∴OA＝2OF＝，即⊙O的半径为．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．34．如图，四边形ABCD内接于⊙O，OC＝4，AC＝4．（1）求点O到AC的距离；（2）求∠ADC的度数．【分析】（1）作OM⊥AC于M，根据等腰直角三角形的性质得到AM＝CM＝2，根据勾股定理即可得到结论；（2）连接OA，根据等腰直角三角形的性质得到∠MOC＝∠MCO＝45°，求得∠AOC＝90°，根据圆内接四边形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）作OM⊥AC于M，∵AC＝4，∴AM＝CM＝2，∵OC＝4，∴OM＝＝2；（2）连接OA，∵OM＝MC，∠OMC＝90°，∴∠MOC＝∠MCO＝45°，∵OA＝OC，∴∠OAM＝45°，∴∠AOC＝90°，∴∠B＝45°，∵∠D+∠B＝180°，∴∠D＝135°．【点评】本题考查了垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．35．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，彰显了我国古代劳动人民的智慧，图1，点P表示筒车的一个盛水桶．如图2，当筒车工作时，盛水桶的运行路径是以轴心O为圆心，5m为半径的圆，且圆心在水面上方．若圆被水面截得的弦AB长为8m，求筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度．【分析】过O点作半径OD⊥AB于E，如图，利用垂径定理得到AE＝BE＝4，再利用勾股定理计算出OE，然后计算出DE的长即可．【解答】解：过O点作半径OD⊥AB于E，如图，∴AE＝BE＝AB＝×8＝4（m），在Rt△AEO中，OE＝＝＝3（m），∴ED＝OD﹣OE＝5﹣3＝2（m），答：筒车工作时，盛水桶在水面以下的最大深度为2m．【点评】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．。