垂径定理综合练习题
1. 如图，在中，直径经过弦的中点，点在上，的延长线交于点，交过的直线于，，连结与交于点．
求证：是的切线；
若点是的中点，的半径为，，求的长．
2. 已知：如图，是的半径，为的弦，点为的中点，交于点，
，．
求的长；
过点作，交延长线于点，求的值．
3. 如图，在圆中，弦＝，点在圆上（与，不重合），连接、，过点分别作，，垂足分别是点、．
（1）求线段的长；
（2）点到的距离为，求圆的半径．
4. 如图，已知，＝，＝，＝，以为圆心、为半径画圆，与边交于另一点．
（1）求的长；
（2）连接，求的正弦值．
5. 如图，已知是的直径，为圆上一点，是的中点，于，垂足为，联交弦于，交于，联结．
（1）求证：．
（2）若＝，＝，求的长．
6. 如图，已知为直径，是的切线，连接交于点，取的中点，连接交于点，过点作于．
求证：；
若，，求和的长．
7. 如图，为的直径，点，在上，且点是的中点，过点作的垂线交直线于点．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，若＝，＝，求线段的长．
8. 如图，是圆的弦，为半径的中点，过作交弦于点，交圆于点，且＝．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，，求的度数；
（3）如果＝，求的值．
9. 一条排水管的截面如图所示，已知排水管的半径＝，水面宽＝，某天下雨后，水管水面上升了，求此时排水管水面的宽．
10. 尺规作图，将图中的破轮子复原，已知弧上三点，，．
（1）画出该轮的圆心；
（2）若是等腰三角形，底边＝，腰＝，求圆片的半径．
参考答案与试题解析
垂径定理综合练习题
一、解答题（本题共计 10 小题，每题 10 分，共计100分）
1.
【答案】
证明：∵直径经过弦的中点，
∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是的切线；
解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴；
∵的半径为，即，
在中，，，
∴，
由此可得：，，由勾股定理可得：
，
，
，
∵是直径，，
∴由垂径定理得：，
∵，
∴，
∵点是的中点，，∴，
∴．
【解答】
证明：∵直径经过弦的中点，∴，，
∴．
∵，，
∴，
∴，
∴是的切线；
解：连接，
∵是直径，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴；
∵的半径为，即，
在中，，，∴，
由此可得：，，由勾股定理可得：
，
，
，
∵是直径，，
∴由垂径定理得：，
∵，
∴，
∵点是的中点，，
∴，
∴．
2.
【答案】
解：∵是圆心，且点为的中点，∴，
∵，
∴，
设圆的半径为，即，
则，
由得，解得：，即；
如图，
∵，，∴，
则．
【解答】
解：∵是圆心，且点为的中点，∴，
∵，
∴，
设圆的半径为，即，
则，
由得，解得：，即；
如图，
∵，，∴，
则．
3.
【答案】
∵经过圆心，，
∴＝，
同理：＝，
∴是的中位线，
∴，
∵＝，
∴＝．
过点作，垂足为点，＝，连接，
∵经过圆心，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
在中，＝，
∴＝，即圆的半径为．
【解答】
∵经过圆心，，
∴＝，
同理：＝，
∴是的中位线，
∴，
∵＝，
∴＝．
过点作，垂足为点，＝，连接，
∵经过圆心，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
在中，＝，
∴＝，即圆的半径为．
4.
【答案】
如图连接，作于．
∵，＝，＝，＝，∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，，
∴＝＝，
∴＝．
作于．
∵＝，
∴，∴，
∴．
【解答】
如图连接，作于．
∵，＝，＝，＝，∴，
∵，
∴，
∴，
∵＝，，
∴＝＝，
∴＝．
作于．
∵＝，
∴，∴，
∴．
5.
【答案】
证明：∵为圆的半径，是的中点，∴，＝，
∵，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
又∵＝
∴．
∵，
∴，
∵＝，＝，
∴＝，得，
解得，
∴＝．
【解答】
证明：∵为圆的半径，是的中点，∴，＝，
∵，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∴＝，
又∵＝
∴．
∵，
∴，
∵＝，＝，
∴＝，得，
解得，
∴＝．
6.
【答案】
证明∵是的切线，∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
解：连接．
∵是直径，
∴，
∵，，∴，
∴，
∴，
，
，∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，∴，
∴．
【解答】
证明∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
解：连接．
∵是直径，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
，
，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
在中，，∴，
∴．
7.
【答案】
证明：连接，
∵＝，
∴＝，
∵点是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴，
∵，
∴，即是的切线；
∵为的直径，
∴＝，
∴，
∵＝，＝＝，∴，
∴，
∴．
【解答】
证明：连接，
∵＝，
∴＝，
∵点是的中点，
∴＝，
∴＝，
∴，
∵，
∴，即是的切线；
∵为的直径，
∴＝，
∴，
∵＝，＝＝，∴，
∴，
∴．
8.
【答案】
证明：连接．
∵，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴．
连接．
∵＝，，
∴＝＝，
∴是等边三角形，
∴＝，
∴＝．
延长交于，连接．
∵是直径，
∴＝＝，∵＝，∴，
∴，
∴＝＝．
【解答】
证明：连接．
∵，
∴＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝＝，
∴＝，
∴＝，
∴．
连接．
∵＝，，
∴＝＝，
∴是等边三角形，
∴＝，
∴＝．
延长交于，连接．
∵是直径，
∴＝＝，∵＝，∴，
∴，
∴＝＝．
9.
【答案】
解：如图，
作于，交于，
∵＝，，＝，
∴＝，
∵水管水面上升了，
∴＝＝，
∴，
∴＝．
答：此时排水管水面的宽为.
【解答】
解：如图，
作于，交于，
∵＝，，＝，
∴＝，
∵水管水面上升了，
∴＝＝，
∴，
∴＝．
答：此时排水管水面的宽为.
10.
【答案】
连接，，
∵＝，
∴＝，
∵＝，
∴＝，
设圆片的半径为，在中，＝，
∴＝，
解得：，
∴圆片的半径为
【解答】
（1）