用正交变换化二次型为标准型

§5 二次型及其标准形二、用正交变换化二次型为标准形二、用正交变换化二次型为标准形f (x 1,x 2,⋅⋅⋅,x n )=a 11x 12+a 22x 22+⋅⋅⋅+a nn x n2+2a 12x 1x 2+2a 13x 1x 3+⋅⋅⋅+2a n -1,n x n -1x n令a ij =a ji ,则⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 实二次型与实对称矩阵之间存在一一对应的关系.⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅n nn n n n n n n x x x a a a a a aa a a x x x x x x f ), , ,(), , ,(212122221112112121. 因此,二次型可记作f =x T Ax ,其中A 是一个实对称矩阵.实对称矩阵A 叫做二次型f 的矩阵,f 也叫做实对称矩阵A 的二次型.实对称矩阵的秩就叫做二次型f 的秩.对于二次型，寻找可逆的线性变换11111221221122221122,,.n n n n nn m nn n x c y c y c y x c y c y c y x c y c y c y =+++⎧⎪=+++⎪⎨⎪⎪=+++⎩简记为x = C y ，于是f =x T Ax =(C y )T A (C y )=y T (C T AC )y使二次型只含平方项，即标准形f = k 1y 12+ k 2y 22+ … + k n y n 2说明：这里只讨论实二次型，所求线性变换也限于实数范围.二次型f =x T Ax 在可逆线性变换x =Cy 下,有合同矩阵:若存在可逆矩阵C ,使B =C T AC ,=y T (C T AC )y .=(Cy )T A (Cy ) f =x T Ax 则称矩阵A 与B 合同.显然，☐B T = (C T AC )T = C T A T (C T )T = C T AC = B 即若A 为对称阵，则B 也为对称阵．☐R (B ) = R (A ) ．由此可知,经可逆变换x=Cy后,二次型f的矩阵由A变为与A合同的矩阵C T AC,且二次型的秩不变.若二次型f 经过可逆变换x = C y 变为标准形，即222()()()TT TT f x Ax Cy A Cy y C AC y ===1122112212(,,,)n nn n n k y k y k y k y k y y y y k y =+++⎛⎫⎛⎫⎪⎪⎪⎪= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭问题：对于对称阵A，寻找可逆矩阵C，使C T AC为对角阵（把对称阵合同对角化）．定理：设A 为n 阶对称阵，则必有正交阵P，使得P−1AP= P T AP= Λ，其中Λ是以A的n个特征值为对角元的对角阵（不唯一）.定理：任给二次型f (x)=x T Ax（其中A = A T），总存在正交变换x= P y，使f化为标准形f(P y) = λ1y12+ λ2y22+ … + λn y n2其中λ, λ2, … , λn是f的矩阵A的特征值．1推论：任给二次型f (x )=x T Ax （其中A = A T ），总存在可逆变换x = C z ，使f (C z )为规范形．证明：f (P y ) = λ1y 12+ λ2y 22+ … + λn y n 2若R (A ) = r ，不妨设λ1,λ2,…, λr 不等于零，λr +1= … = λn =0.12,,|k i r k ⎛⎫⎪≤⎪=⎪ 其中令则K 可逆，变换y = Kz 把f (P y )化为f (PKz ) = (PKz )T A (PKz ) = z T K T P T APKz = z T K T ΛKz其中|=, 1,.i i n K k i r k λ⎨ ⎪> ⎪⎩⎝⎭1212,,,,0,,0||||||Trr K K diag λλλλλλ⎛⎫Λ=⎪⎝⎭将二次型化为标准形的问题，可以转化为将二次型的对称矩阵的对角化问题.。

用正交变换将二次型化为标准型例题正交变换是线性代数中非常重要的概念，它能够将一个二次型矩阵化为标准型。

在本文中，我们将以一个具体的例题来说明如何使用正交变换将二次型化为标准型，帮助读者更深入地理解这一概念。

1. 例题描述假设有一个二次型矩阵Q如下：\[Q = \begin{bmatrix}2 & -1 & 0 \\-1 & 2 & 0 \\0 & 0 & 3 \\\end{bmatrix}\]我们的任务是使用正交变换将这个二次型矩阵化为标准型，并进行必要的计算和推导过程。

2. 步骤一：寻找正交矩阵我们需要寻找一个正交矩阵P，使得\[P^TQP = D\]其中D是一个对角矩阵，称为标准型矩阵。

3. 寻找特征值和特征向量我们先计算二次型矩阵Q的特征值和特征向量。

计算得到特征值为1，3，3，对应的特征向量分别为\[v_1 = \begin{bmatrix}1 \\-1 \\0 \\\end{bmatrix},v_2 = \begin{bmatrix}0 \\0 \\1 \\\end{bmatrix}\]4. 步骤二：构造正交矩阵接下来，我们可以使用特征向量构造正交矩阵P。

根据特征向量的定义，我们可以取单位化后的特征向量作为P的列向量，即\[P = \begin{bmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\-\frac{1}{\sqrt{2}} & 0 \\0 & 1 \\\end{bmatrix}\]5. 步骤三：进行正交变换现在，我们可以进行正交变换，计算\[P^TQP\]的结果。

将P带入计算，得到\[P^TQP = \begin{bmatrix}1 & 0 \\0 & 3 \\\end{bmatrix}\]6. 总结与回顾通过以上步骤，我们成功地使用正交变换将二次型矩阵Q化为标准型矩阵。

这说明正交变换在矩阵化简中的重要性和应用价值。

用正交变换将二次型化为标准型例题随着数学的发展，线性代数作为数学的一个重要分支之一，其中的二次型是一类非常基础而又重要的数学概念。

在线性代数中，二次型是一种十分基础的形式，它广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、经济学等。

而用正交变换将二次型化为标准型便成为线性代数中一个重要的转化方法。

本文将围绕着这个主题展开深入的讨论，通过例题来解释如何用正交变换将二次型化为标准型。

1. 二次型的定义我们需要了解二次型的定义。

在数学上，二次型是指一个关于n个变量的二次齐次多项式，它通常写作：\[ Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]其中，\( a_{ij} \) 为常数，\( x_1, x_2, \ldots, x_n \) 为变量。

在矩阵形式下，二次型可以表示为：\[ \mathbf{x}^T \mathbf{A} \mathbf{x} \]其中，\( \mathbf{x} \) 为列向量，\( \mathbf{A} \) 为对称矩阵。

2. 用正交变换将二次型化为标准型的步骤现在，我们开始讨论如何用正交变换将二次型化为标准型。

假设有一个任意的二次型\[ Q(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j \]我们可以通过以下步骤将其化为标准型。

步骤一：找到矩阵A的特征值和特征向量我们需要找到矩阵A的特征值和特征向量。

设\( \lambda_1,\lambda_2, \ldots, \lambda_n \)为矩阵A的n个特征值，\( \mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n \)为对应的特征向量。

步骤二：构建正交矩阵P我们将特征向量构成正交矩阵P，即\[ P = [\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_n] \]步骤三：进行正交变换进行正交变换，即\[ \mathbf{x} = P\mathbf{y} \]其中，\( \mathbf{x} \)为原二次型的变量向量，\( \mathbf{y} \)为新的变量向量。

正交变换法化二次型为标准型技巧正交变换法化二次型为标准型技巧
正交变换法是一种有效的数学方法，它可以将一般形式的二次型变换为标准型。

通常，将一般形式的二次型变换为标准型，有助于求解二次型问题。

怎样将一般形式的二次型变换为标准型呢？将正交变换法化二次型为标准型的
技巧可以概括为两个步骤：第一步是要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型；第二步是要把这一标准型变换过程中的参数化为正交变换的取值。

具体而言，要把原来的不规则二次型变换为一致的标准型，首先要取f(x, y) = ax + by + c为原来型式中参数系数，把x', y'取为标准型形式中系数，把r, a, b取为原来型式中系数，把A, B, C取为标准型形式中的系数，这样原来的不
规则二次型就被转变成标准型。

然后，我们可以把此标准型变换之后的参数量化为正交变换系数，即：A = ax + by + c, B = ay - bx + c, C = -(ax - by + c), D = -axy + bx^2 + cx。

通
过将原来的不规则二次型参数转换成正交变换参数，就可以把任意二次型变换为标准型。

经过上述两步，正交变换法可以有效地将一般形式的二次型变换为标准型形式，其精准性和有效性在求解二次型问题上非常有用。