【数学】河北衡水金卷2019届高三上学期第三次联合质量测评(12月)试题(文)(解析版)

河北衡水金卷—高三第三次联合质量测评数学（文科）本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟 注意事项：l ．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2．第I 卷每小题选出答案后．用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答．在试题卷上作答，答案无效．3．考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足()12z i i +=-，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为 A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集U R =，集合(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂为A ．∅B ．{}12x x -<≤C ．{}4x x -<<3D ．{}42x x -<≤3．若命题p 为：[)1,,sin cos 2x x x p ∀∈+∞+≤⌝，则为A ．[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+>B ．[)00,1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+>C ．[)0001,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+>D ．(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为 A ．14B ．16C ．18D ．205．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过34π的概率为 A ．34B ．436C ．33D ．4336．已知定义在R 上的函数()f x 满足：(1) ()()12,f x f x +=-(2)当[)()20,2,1x f x x x ∈=-+，则有A ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭ B ．()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭C ．()()3112f f f ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭ D ．()()3112f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭7．某几何体111ABP A B P -的三视图如图所示，其中点1,P P 分别是几何体111ABP A B P -上下底面的一组对应顶点，打点器从P 点开始到1P 点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为 A ．625+ B ．()2153+C ．425+D ．153+8．已知向量()11,3,,2a b x a b ⎛⎫==-⎪⎝⎭，若与的夹角为60 ，则x 的值为A ．0B ．33C ．32D ．302或9．已知双曲线()222210,0x y E a b a b -=>>：的左，右焦点分别为12,F F 过右焦点的直线:l x y c +=在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为2QF 的中点，12QF F ∆的面积为4，则双曲线E 的方程为A ．22122x y -= B ．2212x y -= C ．22144x y -= D ．22143x y -= 10．在长方体11111122,ABCD A BC D AA AD A B -==中，与平面11ABC D 所成的角为α，则α的取值区间为A ．0,6π⎛⎫⎪⎝⎭B ．0,4π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,43ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭11．椭圆()222210x y C a b a b+=>>：与抛物线2:4E y x =相交于点M ，N ，过点()1,0P -的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为 A ．33B ．22C ．23D ．3412．已知函数()()sin 03,02f x x πωϕωϕ⎛⎫=+<≤<<⎪⎝⎭对(),6x R f x f π⎛⎫∈≤⎪⎝⎭恒成立，且12x π=-为函数()f x 的一个零点，将函数()f x 的图象向右平移3π个单位得函数()g x 的图象，则方程()()10,4,4xe g x x +=∈-的解的个数为 A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

数学(理科)本试卷共6页 满分150分考试用时120分钟注意事项：I •答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名•考生要认 真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致2•第I 卷每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动, 用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号•第H 卷用毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答•在试 题卷上作答，答案无效.3 •考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 第I 卷一、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。

1 •已知复数z 满足z 1 i2 i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A. X 1, ,sin X cosx 2B. X ,1 ,sin X cosx 2C. X 1, ,sin X cosx 2D. X ,1 ,sin x cosx2 4•朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如 下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日 支米三升” •其大意为“官府陆续派遣 1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始 每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米 3升”，在该问题中的1984人 全部派遣到位需要的天数为6•已知定义在 R 上的函数f X 满足：(1) f X 2 f X ; (2) f X 2为奇函数； ⑶A.第一象限2.已知全集u B 为A.3 .若命题p 为：XB.第二象限 X Iog 2 X B. X 1 X 2 1,R ，集合A C.第三象限 2 1 ,B XX 2 C. X 4 X ,sin X cosx . 2,贝U p 为 D.第四象限 3X 4 0，贝U C u A D. X 4 X 2 A. 14 B. 165•如图所示，分别以正方形 C. 18 D. 20 ABCD 两邻边AB AD 为直径向正方形内做两个半圆，交于点 O .若向正方形内投掷一颗质地均匀的小球(小球落到每 点的可能性均相同)，则该球落在阴影部分的概率为A.B.— 8C.D.2当 x1,1 时，f x 图象连续且 f x 0恒成立，则f 15 f 4 , f 11的大小关系2 2 正确的为A 上11上 15 C 上 .11 上 15 A. f — f 4 f B. f 4 f f 22 2 2 C f15 1 -- f 4 f 2 2 D. 15 2 11 f 42 7. 一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何 体的表面积为A. 8 4 , 3B. 12 4、3C. 8 8.3D. 18 8「3&如图所示，边长为 2的正方形ABCD 中, E 为BC 边中点，点P 在对角线uuu uuu ULUTBD 上运动，过点P 作AE 的垂线，垂足为 F ,当AE EP 最小时，FC2 uuu3 uuu 3 uuu 2 uurA. — AB —ADB. — AB —AD 3 4 4 34 uuu 3uuir C. — AB AD5 5 3 uuu 4 uuu D. — AB —AD 5 52 9.已知双曲线C: x 2 — 31的左、右焦点分别为 R 、F 2，左、右顶点分别为 A B ,过点F 1的 直线与双曲线 C 的右支交于 uuu P 点，且 AP cosuuuci AF 2，则 ABP 的外接圆面积为 A. 5 B. 2、5 C. 5 D. 1010.利用一半径为 4cm 的圆形纸片(圆心为O)制作一个正四棱锥.方法如下:(1)以O 为圆心制作一个小的圆；⑵ 在小的圆内制作一内接正方形ABCD (3)以正方形ABCD 的各边向外作等腰三角形，使等腰三角形的顶点落在大 圆上(如图)； ⑷将正方形ABCD 作为正四棱锥的底，四个等腰三角形作为正四棱锥的侧 面折起，使四个等腰三角形的顶点重合.问：要使所制作的正四棱锥体积最大，则小圆的半径为4.2562 5 8.2 5 D. 2「211.已知椭圆 2 —1 a 0,t 0两个焦点之间的距离为 2，单位圆O 与x,y 的正半轴分别交于 M N 点，过点N 作圆0的切线交椭圆于 P , Q 两点，且PM MQ ，设椭圆的离心率为e ,则e 2的值为2x y 20, 13.若实数x, y 满足约束条件 x y 10, 则z 3x 2y 的最小值为 _________________ 2x y 2 0,14.二项式 ax b a0,b 0的展开式中，设“所有二项式系数和”为 A, “所有项的系 x数和”为B, “常数项”值为 C,若A B 256,C 70 ,则含x 6的项为 ____________________.2 215.已知圆C: x 2 y 3 2,点M 21 , P 为圆外任意一点.过点P 作圆C 的一条PN 时的轨迹为E ,若点A 在圆C 上运动，B 在轨迹E 上 运动，则 AB 的最小值为 _____________3f x 在0,3 上单调，则16的最大值为 A. 1B. 2C. 3D. 4 第U 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

河北省衡水中学2019届高三第三次模拟考试数学（文）试题本试题卷共6页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}210A x x =-<，{}2,x B y y x A ==∈，则A B ⋂=( ) A.()0,1B.()1,2-C.()1,+∞D.1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭2.已知复数z 满足：()()312z i i i -+=(其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( )A.15-B.25-C.45D.353.命题:p 若α为第一象限角，则sin αα<；命题q ：函数()22x f x x =-有两个零点，则( ) A.p q ∧为真命题B.p q ∨为真命题C.p q ⌝∨⌝为真命题D.p q ⌝∧为真命题4.正项等比数列{}n a 中的1a ，4031a 是函数()3214633f x x x x =-+-的极值点，则2016a =( )A.1B.2C.1-5.已知O 是正方形ABCD 的中心，若DO AB AC λμ=+ ，其中λ，R μ∈，则λμ=( )A.2-B.12-C.6.在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且222b c a bc +=+.若2sin sin sin B C A ⋅=，则ABC △的形状是( ) A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7.如图直角坐标系中，角02παα⎛⎫<< ⎪⎝⎭、角02πββ⎛⎫-<< ⎪⎝⎭的终边分别交单位圆于A 、B 两点，若B 点的纵坐标为513-，且满足AOB S =△1sin sin 2222ααα⎫-+⎪⎭的值( )A.513-B.1213C.1213-D.5138.已知公比不为1的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足2a 、52a 、83a 成等差数列，则363S S =( ) A.134B.1312C.94D.11129.已知函数()51cos 1242f x x x ⎛⎫=+- ⎪-⎝⎭，若函数()242g x x x =-+-与()f x 图象的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，则1mi i x ==∑( )A.2mB.3mC.4mD.m10.将函数()2sin 0y x ωω=>的图象向左平移02φπφω⎛⎫<≤ ⎪⎝⎭个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单位长度得到函数()y g x =的图象，且()y g x =的图象与直线1y =相邻两个交点的距离为π，若()1g x >-对任意,123x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭恒成立，则φ的取值范围是( )A.,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11.已知函数()2f x x ax =-，()ln x g x x e =-，在其共同的定义域内，()g x 的图象不可能在()f x 的上方，则求a 的取值范围( )A.101a e <<+ B.0a > C.1a e ≤+ D.0a ≤12.已知函数()g x 满足()()()121'102x g x g e g x x -=-+，且存在实数0x 使得不等式()021m g x -≥成立，则m 的取值范围为( )A.(],2-∞B.(],3-∞C.[)0,+∞D.[)1,+∞二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.平面向量a 与b 的夹角为60°，()2,0a = ，1b = ，则2a b +等于____________.14.在ABC △中，,,a b c 分别是内角,,A B C 的对边且B 为锐角，若sin 5sin 2A cB b=，sin B =，ABC S =△b 的值为_____________. 15.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足：11a =，22a =，()*211n n n S a a n N +++=-∈，则n S =__________.16.已知函数()212ln f x x x e e ⎛⎫=≤≤ ⎪⎝⎭，()1g x mx =+，若()f x 与()g x 的图象上存在关于直线1y =对称的点，则实数m 的取值范围是_____________.三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足11a =，981S =. (1)求{}n a 的通项公式； (2)求122017111122017S S S ++++++…的值. 18.在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，且22cos c a B b -=. (1)求角A 的大小；(2)若ABC △22cos 4c ab C a ++=，求a . 19.已知数列{}n a 中，11a =，()*13n n n aa n N a +=∈+.(1)求{}n a 的通项公式；(2)数列{}n b 满足()312n n n n n b a =-⋅⋅，数列{}n b 的前n 项和为n T ，若不等式()112nn n n T λ--<+对一切*n N ∈恒成立，求λ的取值范围.20.已知ABC △中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且203SB A AC ⋅+= ，其中S 是ABC △的面积，4C π=.(1)求cos B 的值； (2)若24S =，求a 的值.21.已知函数()()()1ln 42f x m x m x m R x=+-+∈. (1)当4m ≥时，求函数()f x 的单调区间；(2)设[],1,3t s ∈，不等式()()()()ln322ln3f t f s a m -<+--对任意的()4,6m ∈恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知函数()2x f x ke x =-(其中k R ∈，e 是自然对数的底数). (1)若2k =，当()0,x ∈+∞时，试比较()f x 与2的大小；(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求k 的取值范围，并证明：()101f x <<.数学(文)答案一、选择题1-5:DCCAA 6-10:CBCAB 11、12：CC 二、填空题13.21n- 16.322,3e e -⎡⎤-⎢⎥⎣⎦三、解答题17. 解：(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，由981S =，得5981a =， 则有59a =，所以51912514a a d --===-，故()12121n a n n =+-=-()*n N ∈.(2)由(1)知，()213521n S n n =++++-=…，则()111111n S n n n n n ==-+++， 所以12201711111111112201722320172018S S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭ (12017)120182018=-=. 18.解：(1)由22cos c a B b -=及正弦定理可得： 2sin 2sin cos sin C A B B -=∵()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， ∴sin cos sin 2BA B =， ∵sin 0B ≠，∴1cos 2A =，又因为0A π<<， ∴3A π=.(2)∵22cos 4c ab C a ++=①，又由余弦定理得222cos 2a b c ab C +-=，代入①式得22283b c a +=-，由余弦定理得222222cos a b c b A b c bc =+-=+-.∵1sin 2ABC S bc A ==△1bc =，∴22831a a =--，得a =.19.解：(1)证明：由()*13n n n aa n N a +=∈+，得13131n n n na a a a ++==+， ∴11111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭， 所以数列112n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是以3为公比，以111322a ⎛⎫+= ⎪⎝⎭为首项的等比数列，从而1113232231n n n n a a -+=⨯⇒=-； (2)12n n nb -=， ()0122111111123122222n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++-⨯+⨯…()121111112122222n n n T n n -=⨯+⨯++-⨯+⨯…，两式相减得 012111111222222222n n n n T n n -+=++++-⨯=-…， ∴1242n n n T -+=-. ∴()12142nn λ--<-， 若n 为偶数，则1242n λ-<-，∴3λ<， 若n 为奇数，则1242n λ--<-，∴2λ-，∴2λ-， ∴23λ-<<.20.解：∵203S BA AC ⋅+= ，得13cos 2sin 2bc A bc A =⨯，得sin 3cos A A =，即()222sin 9cos 91sin A A A ==-，所以29sin 10A =， 又30,4A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴sin 0A >，故sin A =，cos A =()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+===. (2)24S =，所以sin 48bc A =，得bc = 由(1)得cos B =，所以sin B =. 在ABC △中，由正弦定理，得sin sin b cB C =，即= 联立①②，解得8b =，c =2222cos 72a b c bc A =+-=，所以a =21.(1)函数定义域为()0,+∞，且()()()2221211'42x m x m f x m x x x--+⎡⎤⎣⎦=-+-=， 令()'0f x =，得112x =，212x m=--， 当4m =时，()'0f x ≤，函数()f x 在定义域()0,+∞单调递减；当4m >时，由()'0f x >，得1122x m -<<-；由()'0f x <，得102x m <<--或12x >， 所以函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.综上所述，当4m =时，()f x 在定义域()0,+∞单调递减；当4m >时，函数()f x 的单调递增区间为11,22m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，递减区间为10,2m ⎛⎫- ⎪-⎝⎭，1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.(2)由(1)知当()4,6m ∈时，函数()f x 在区间[]1,3单调递减，所以当[]1,3x ∈时，()()max 152f x f m ==-，()()min 13ln31263f x f m m ==++-.问题等价于：对任意的()4,6m ∈，恒有()()1ln322ln352ln31263a m m m m +-->----+成立，即()()22423m a m ->--. 因为2m >，则()2432a m <--，∴()min2432a m ⎛⎫<- ⎪ ⎪-⎝⎭，设[)4,6m ∈，则当4m =时，()2432m --取得最小值133-，所以，实数a 的取值范围是13,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦.22.解：(1)当2k =时，()22x f x e x =-，则()'22x f x e x =-，令()22x h x e x =-，()'22x h x e =-， 由于()0,x ∈+∞，故()'220x h x e =->，于是()22x h x e x =-在()0,+∞为增函数， 所以()()22020x h x e x h =->=>，即()'220x f x e x =->在()0,+∞恒成立， 从而()22x f x e x =-在()0,+∞为增函数，故()()2202x f x e x f =->=.(2)函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，则12,x x 是()'20x f x ke x =-=的两个根，即方程2x xk e=有两个根， 设()2x x x e ϕ=，则()22'xx x e ϕ-=， 当0x <时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ<；当01x <<时，()'0x ϕ>，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；当1x >时，()'0x ϕ<，函数()x ϕ单调递增且()0x ϕ>；要使方程2xxk e =有两个根，只需()201k eϕ<<=，如图所示：故实数k 的取值范围是20,e ⎛⎫⎪⎝⎭，又由上可知函数()f x 的两个极值点1x ，2x 满足1201x x <<<，由()111'20x f x ke x =-=得112x x k e =， ∴()()111222211111112211x x x x f x ke x e x x x x e =-=-=-+=--+，由于()10,1x ∈， 故()210111x <--+<，所以()101f x <<.。

·1·衡水金卷2019届高三第三次联合质量测评
数学文
2018.12 一、选择题：本大题共
12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足
12z i i ，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限2．已知全集U R ，集合22log 21,340U A x x B x x x C A ，则B 为
A ．
B ．12x x
C ．4x x
D ．42x x 3．若命题p 为：
1,,sin cos 2x x x p ，则为A ．
1,,sin cos 2x x x B ．
00,1,sin cos 2x x x C ．
0001,,sin cos 2x x x D ．,1,sin cos 2x x x
4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣
1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多
8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的
1984人全部派遣到位需要的天数为
A ．14
B ．16
C ．18
D ．20 5．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过3
4的概率为
A ．34
B ．43
6C ．33D ．43
3。

2019届河北省衡水中学高三年级第三次质检考试数学（文）试题一、单选题1．设集合{}{()}2230,ln 2A x x x B x y x =--≤==-，则A B ⋂= （ ）A ．[)32－，B ．(]23，C ．[)l 2－，D ．()l 2－，【答案】C【解析】本题首先可以通过解一元二次不等式计算出集合A ，然后通过对数的性质计算出集合B ，最后计算出A B I ，即可得出结果。

【详解】集合A ：2230x x --≤，()()310x x -+?，13x -≤≤，故集合{}=13A x x -＃，集合B ：20x ->，2x <， 故集合{}B=2x x <，)12A B é?-ë，，故选C 。

【点睛】本题考查的是集合的相关性质，主要考查集合的运算、一元二次不等式的解法以及对数的相关性质，考查计算能力，体现了基础性与综合性，是简单题。

2．若复数(1)(1)z m m m i =-+-是纯虚数，其中m 是实数，则1z=( ) A ．i B ．i -C ．2iD ．2i -【答案】A【解析】因为复数()()11z m m m i =-+-是纯虚数，所以()1010m m m ⎧-=⎨-≠⎩，则m =0，所以z i =-，则11i z i==-. 3．已知函数22log ,01(),1,1x x f x x x <<⎧⎪=⎨≥⎪⎩则()()2f f =（ ） A ．2 B ．1-C ．1D ．2-【答案】D【解析】根据分段函数的定义域中变量的范围先求出()124f =，然后再求出124f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭即为所求． 【详解】 由题意得()124f =， ∴()()2112log244ff f ⎛⎫===- ⎪⎝⎭． 故选D ． 【点睛】本题考查分段函数求值，解题的关键是分清自变量在定义域中的哪个范围中，然后代入求值即可，属于基础题．4．以下四个命题中是真命题的是 ( )A ．对分类变量x 与y 的随机变量2k 观测值k 来说，k 越小，判断“x 与y 有关系”的把握程度越大B ．两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于0C ．若数据123,,,...n x x x x 的方差为1，则1232,2,2,...2n x x x x 的方差为2D ．在回归分析中，可用相关指数2R 的值判断模型的拟合效果，2R 越大，模型的拟合效果越好 【答案】D【解析】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，即可得到答案. 【详解】依据线性相关及相关指数的有关知识可以推断，选项D 是正确的． 【点睛】本题主要考查了线性相指数的知识及其应用，其中解答中熟记相关指数的概念和相关指数与相关性之间的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.5．已知两个非零单位向量12,e e u r u u r的夹角为θ，则下列结论不正确的是（ ）A ．不存在θ，使12e e •=u r u u rB ．2212e e =u r u u rC ．∀∈θR ，()1212()e e e e -⊥+u r u u r u r u u rD ．1e u r 在2e u u r方向上的投影为sin θ【答案】D【解析】A 中，由平面向量数量积的定义，判断即可；B 中，由平面向量模长的定义，判断即可；C 中，根据平面向量数量积与垂直的定义，判断即可；D 中，根据单位向量以及向量投影的定义，计算即可； 【详解】对于A ，因为两个非零单位向量12e ,e ?u v u u v ，所以 12e ?e u v u u v＝1×1×cosθ＝cosθ≤1，∴A 正确． 对于B ，因为两个非零单位向量221212e ,e ?e e =u v u u v u v u u v ，所以＝1，B 正确；对于C ，因为两个非零单位向量12e ,e ?u v u u v ，且 ()()1212e e e e -+u v u u v u v u u v 22120e e =-=u r u u r ，所以()()1212e e e e -⊥+u v u u v u v u u v ，∴C 正确；对于D ，因为两个非零单位向量12e ,e ? u v u u v ，所以1e u r 在2e u u r 方向上的投影为|1e u r|cosθ＝cosθ，D 错误； 故选D ． 【点睛】本题考查了平面向量的数量积与单位向量的定义和应用问题，也考查了模长与投影问题，属于基础题．6．对于实数m ，“12m <<”是“方程22112x ym m +=--表示双曲线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】根据方程表示双曲线求出m 的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】由题意，方程22x y 1m 1m 2+=--表示双曲线，则()()m 1m 20--<，得1m 2<<，所以“1m 2<<”是“方程22x y 1m 1m 2+=--表示双曲线”的充要条件，故选C ． 【点睛】本题主要考查了充分条件和必要条件的判断，其中解答中结合双曲线方程的特点求出m 的取值范围是解决本题的关键，着重考查了运算与求解能力，以及推理、论证能力，属于基础题.7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根九节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第五节的容积为（ ） A ．6766升 B ．4744升 C ．3733升 D ．1升【答案】A【解析】试题分析：依题意123417891463,3214a a a a a d a a a a d +++=+=++=+=，解得1397,6666a d ==，故513928674666666a a d =+=+=. 【考点】等差数列的基本概念.8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，普州（现四川省安岳县）人，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n ，x 的值分别为5，2，则输出v 的值为（ ）A ．64B ．68C ．72D ．133【答案】B【解析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量v 的值，模拟程序的运行过程，可得答案． 【详解】模拟程序的运行，可得： n ＝5，x ＝2， v ＝1，m ＝2，满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝122⨯+=4，m ＝1，n ＝4， 满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝421⨯+=9，m ＝0，n ＝3， 满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝920⨯+=18，m ＝﹣1，n ＝2， 满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝1821⨯-=35，m ＝﹣2，n ＝1， 满足进行循环的条件n ＞0，执行循环体，v ＝3522⨯-=68，m ＝﹣3，n ＝0， 不满足进行循环的条件n ＞0，退出循环，输出v 的值为68． 故选：B ． 【点睛】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进行解答，属于基础题．9．若将函数()2sin cos 2x x f x x =+-的图象向右平移()0ϕϕ>个单位，所得图象关于y 轴对称，则ϕ的最小值是（ ） A ．12πB ．4π C ．38π D ．512π 【答案】D【解析】利用三角恒等变换，化简函数的解析式，再利用函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，求得ϕ的最小值． 【详解】将函数化简为()2sin cos 2x x f x x =-＝12sin2x •1cos22x +﹣2＝sin （2x +3π）， 将函数()f x 的图象向右平移φ（φ＞0）个单位，可得y ＝sin （2x ﹣2φ+3π）的图象；根据所得图象关于y 轴对称， 可得﹣2φ+3π＝k π+2π，k ∈Z ，即122k ππϕ=--，k ∈Z ，令k ＝-1，可得ϕ的最小值为512π. 故选：D ． 【点睛】本题主要考查三角恒等变换，函数y ＝A sin （ωx +φ）的图象变换规律，三角函数的图象的对称性，属于基础题．10．已知以圆()22:14C x y -+=的圆心为焦点的抛物线1C 与圆C 在第一象限交于A 点，B 点是抛物线：2:C 28x y =上任意一点，BM 与直线2y =-垂直，垂足为M ，则BM AB -的最大值为( ) A ．1 B ．2C ．1-D ．8【答案】A【解析】分析：由圆的标准方程求得圆心，可得抛物线1C 方程，利用运用抛物线的定义可得1BM AB BF AB AF -=-≤=，从而可得结果. 详解：因为()22:14C x y -+=的圆心()1,0所以，可得以()1,0为焦点的抛物线方程为24y x =，由()222414y x x y ⎧=⎪⎨-+=⎪⎩，解得()1,2A ， 抛物线22:8C x y =的焦点为()0,2F ，准线方程为2y =-，即有1BM AB BF AB AF -=-≤=，当且仅当,,(A B F A 在,B F 之间）三点共线，可得最大值1，故选A.点睛：本题主要考查抛物线的定义和几何性质，以及平面向量的数量积公式，属于难题.与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决. 11．如图，正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上存在一动点P ，过点P 作垂直于平面11BB D D 的直线，与正方体表面相交于,M N 两点.设BP x =，BMN ∆的面积为S ，则当点P 由点B 运动到1BD 的中点时，函数()S f x =的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】设2MN y =，而P 由B 运动到1BD 的中点的过程中，tan 12BP BP xBMPMP yMN ===∠，由相似三角形，可知tan BMP ∠为定值，设正方体的边长为a ，当P 为线段1BD的中点时，tan 2BMP ∠==,y x BMN =∆的面积为12S MN BP =⨯⨯()2102x x ==>，故选D.12．若a b b a e e ππ--+≥+，则有（ ） A ．0a b +≤ B ．0a b -≥ C ．0a b -≤ D ．0a b +≥【答案】D【解析】由a b b a e e ππ--+≥+， 构造函数()xxf x e π-=-，利用函数单调性得答案．【详解】由a b b a e e ππ--+≥+，化简得a a b b e e ππ---≥-，构造函数()xxf x e π-=-，则函数()f x 在R 上是增函数，∵a a b b e e ππ---≥-，∴()()f a f b ≥-，则a b ≥-，即0a b +≥． 故选：D ． 【点睛】本题考查构造函数以及指数函数单调性的应用，属于基础题.二、填空题13．设α、β为两个不同平面，直线m α⊂，则“//αβ”是“//m β”的__________条件. 【答案】充分不必要【解析】利用面面平行的定义和线面平行的定义和性质，结合充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】根据题意，由于α、β表示两个不同的平面，l 为α内的一条直线，由于//αβ，则根据面面平行的性质定理可知，在平面α内任何一条直线都与平面β平行，条件可以推出结论；反之，直线m 与平面α、β的交线平行，根据直线与平面平行的判定定理可知//m β，但此时，平面α、β相交.因此，“//αβ”是“//m β”的充分不必要条件，故答案为充分不必要. 【点睛】本题主要考查空间中面面平行的性质定理，同时也考查了充分不必要条件的判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.14．若实数,x y 满足约束条件410,14x y y x y --≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩，则ln ln z y x =-的最小值是____.【答案】－ln3【解析】由约束条件作出可行域，目标函数z ＝lny ﹣lnx ＝ln y x ，由图求出yx的最大值即可． 【详解】由实数x ，y 满足约束条件410,{14x y y x y --≥≥+≤作出可行域如图所示，联立4{1x y y +==，解得B （3,1），由目标函数z ＝lny ﹣lnx ＝ln y x ，而y x 的最小值为OB k ＝13，∴z ＝lny ﹣lnx 的最小值是﹣ln3． 故答案为﹣ln3．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题． 15．若侧面积为的圆柱有一外接球O ，当球O 的体积取得最小值时，圆柱的表面积为_______. 【答案】【解析】设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径，由圆柱的侧面积，求得，得出，得到得最小值，进而求得圆柱的表面积.【详解】由题意，设圆柱的底面圆的半径为，高为，则球的半径.因为球体积，故最小当且仅当最小.圆柱的侧面积为，所以，所以，所以，当且仅当时，即时取“=”号，此时取最小值，所以,圆柱的表面积为.【点睛】本题主要考查了球的体积公式，以及圆柱的侧面公式的应用，其中解答中根据几何体的结构特征，得出求得半径和圆柱的底面半径的关系式，求得圆柱的底面半径是解答的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理与运算能力，属于中档试题. 16．已知数列{}n a 的前n 项和122n n n S a +=-，若不等式223(5)n n n a λ--<-，对n N +∀∈恒成立，则整数λ的最大值为______．【答案】4 【解析】【详解】当1n =时，21122S a =-，得14a =，当2n ≥时，122nn n S a -=-， 又122n n n S a +=-，两式相减得1222nn n n a a a -=--，得122nn n a a -=+，所以11122n n nn a a ---=． 又1122a =，所以数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，1为公差的等差数列，12n na n =+，即(1)2nna n =+⋅． 因为0n a >，所以不等式223(5)n n n a λ--<-，等价于2352nn λ-->． 记122311,,224n nn b b b -==-=， 2n ≥时，112121223462n n nnn b n n b n ++--==--． 所以3n ≥时，1max 331,()8n n n b b b b +<==． 所以33375,5888λλ-><-=，所以整数λ的最大值为4． 【考点】1．数列的通项公式；2．解不等式．三、解答题17．在ABC ∆中，角A ，B ，C 对边分别为a ，b ，c ，且sin 2c A π⎛⎫- ⎪⎝⎭是cos a B 与cos b A 的等差中项. （1）求角A ；（2）若2a b c =+，且ABC ∆的外接圆半径为1，求ABC ∆的面积. 【答案】（1）3π；（2）4. 【解析】（1）由题意，得2cos cos cos c A a B b A =+，由正弦定理，化简2sin cos sin C A C =，进而得到cos A ，即可求解；（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，求得2sin a R A ==利用余弦定理求得3bc =，进而利用面积公式，即可求解． 【详解】 （1）因为sin 2c A π⎛⎫-⎪⎝⎭是cos a B 与cos b A 的等差中项. 所以2cos cos cos c A a B b A =+. 由正弦定理得2sin cos sin cos sin cos C A A B B A =+，从而可得2sin cos sin C A C =，又C 为三角形的内角，所以sin 0C ≠，于是1cos 2A =，又A 为三角形内角，因此3A π=.（2）设ABC ∆的外接圆半径为R ，则1R =，2sin 3a R A ==，由余弦定理得()22222cos 33a b c bc b c bc π=+-=+-，即3123bc =-，所以3bc =. 所以ABC ∆的面积为133sin 2S bc A ==. 【点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．18．《汉字听写大会》不断创收视新高，为了避免“书写危机”，弘扬传统文化，某市大约10万名市民进行了汉字听写测试.现从某社区居民中随机抽取50名市民的听写测试情况，发现被测试市民正确书写汉字的个数全部在160到184之间，将测试结果按如下方式分成六组：第1组[)160,164，第2组[)164,168，…，第6组[]180,184，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.（1）若电视台记者要从抽取的市民中选1人进行采访，求被采访人恰好在第2组或第6组的概率；（2）试估计该市市民正确书写汉字的个数的众数与中位数；（3）已知第4组市民中有3名男性，组织方要从第4组中随机抽取2名市同组成弘扬传统文化宣传队，求至少有1名女性市民的概率.【答案】（1）0.32 ；（2）众数是170，中位数是168.25 ；（3）45【解析】（1）利用频率分布直方图能求出被采访人恰好在第2组或第6组的概率； （2）利用频率分布直方图能求出众数和中位数；（3）共50×0.12＝6人，其中男生3人，设为a ，b ，c ，女生三人，设为d ，e ，f ，利用列举法能求出至少有1名女性市民的概率． 【详解】（1）被采访人拾好在第2组或第6组的概率40.0740.010.32p =⨯+⨯=.（2）众数：1681721702+=； 设中位数为x ，则()()0.0540.0741680.080.20.281680.080.5x x ⨯+⨯+-⨯=++-⨯=∴中位数0.50.48168168.250.08x -=+=.（3）共500.126⨯=人，其中男生3人，设为a ，b ，c ，女生三人，设为d ，e ，f ，则任选2人，可能为{},a b ，{},a c ，{},a d ，{},a e ，{},a f ，{},b c ，{},b d ，{},b e ，{},b f ，{},c d ，{},c e ，{},c f ，{},d e ，{},d f ，{},e f ，共15种，其中两个全是男生的有{},a b ，{},a c ，{},b c ，共3种情况， 设事件A ：至少有1名女性，则至少有1名女性市民的概率()341155P A =-=. 【点睛】本题考查概率、众数、中位数的求法，考查频率分布直方图、列举法等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．19．如图，已知四棱锥P-ABCD 的底面是边长为23的菱形，60BAD ∠=o ，点E 是棱BC 的中点，DE AC O ⋂=，点P 在平面ABCD 的射影为O ，F 为棱PA 上一点．(1)求证：平面PED ⊥平面BCF ；(2)若BF//平面PDE ，PO=2，求四棱锥F-ABED 的体积．【答案】（1）见解析；（2）332【解析】（1）推导出BC ⊥PO ，BC ⊥DE ，从而BC ⊥平面PED ，由此能证明平面PED ⊥平面BCF ；（2）取AD 的中点G ，连结BG ，FG ，从而BG ∥DE ，进而BG ∥平面PDE ，平面BGF ∥平面PDE ，由此能求出四棱锥F ﹣ABED 的体积． 【详解】证明：()1PO Q ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，BC PO ∴⊥， 依题意BCD V 是等边三角形，E 为棱BC 的中点，BC DE ∴⊥， 又PO DE O ⋂=，PO ，DE ⊂平面PED ，BC ∴⊥平面PED ，BC Q ⊂平面BCF ，∴平面PED ⊥平面BCF ．解：(Ⅱ)取AD 的中点G ，连结BG ，FG ，Q 底面ABCD 是菱形，E 是棱BC 的中点，//BG DE ∴，BG Q ⊄平面PDE ，DE ⊂平面PDE ，//BG ∴平面PDE ， //BF Q 平面PDE ，BF BG B ⋂=，∴平面//BGF 平面PDE ，又平面BGF ⋂平面PAD GF =，平面PDE ⋂平面PAD PD =，//GF PD ∴，F ∴为PA 的中点，31932323sin6022ABED S o Q 四边形=⨯⨯=， 点F 到平面ABED 的距离为12POd ==， ∴四棱锥F ABED -的体积：119333133F ABED ABED V S d 四边形-=⋅⋅==． 【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查四棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．20．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，已知直线AB 的斜率为12，AB = （1）求椭圆C 的方程；（2）设直线:1l x my =-与椭圆C 交于不同的两点M 、N ，且点O 在以MN 为直径的圆外（其中O 为坐标原点），求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）11(,)22-【解析】(1)由已知条件列出关于a b 、的二元一次方程组，求出a b 、的值，得到椭圆方程(2)由题意中点O 在以MN 为直径的圆外转化为MON ∠为锐角，即0OM ON ⋅>u u u u v u u u v，设出点M 、N 的坐标代入求出m 的取值范围 【详解】（1）由已知得：(),0A a -，()0,B b ，结合已知有12b a ⎧=⎪=，可得24a =，21b =，则椭圆的方程为2214x y +=.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，由22114x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得 ()224230my my +--=.故12224m y y m +=+，12234y y m -=+， ()()222212416480m m m ∆=++=+>.由题意得MON ∠为锐角0OM ON ⇔⋅>u u u u v u u u v，∴12120OM ON x x y y ⋅=+>u u u u v u u u v，又()()()212121212111x x my my m y y m y y =--=-++()()21212121211x x y y m y y m y y +=+-++()2222223214110444m m m m m m--+⋅-+=>+++ ∴214m <，解得1122m -<<. ∴m 的取值范围为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了求椭圆方程及直线与椭圆的位置关系，在求解过程中将其转化为向量的夹角问题，运用向量知识求解，设而不求，解得m 的取值范围，属于中档题21．已知函数()()ln 1f x x a x =-+， a R ∈在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行. （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在01x >，当()01,x x ∈时，恒有()()212122x f x x k x -++>-成立，求k的取值范围.【答案】(1)增区间01)（， 减区间(1,)+∞ (2) (,1).-∞ 【解析】试题分析：()1先求出函数的导数，令导函数大于0，解出即可；（2）构造新函数()()21ln 122x g x x x k x =-+---，求导，分类讨论k 的取值，在不同情况下讨论，取得最后结果解析：（1）由已知可得()f x 的定义域为()0,.+∞()1,f x a x ='-Q ()110,f a ∴=-=' 1.a ∴= ()111,xf x x x-∴=-=' ()001,f x x >'<<令得 ()01,f x x '令得()011+.f x ∴∞的单调递增区间为（，），单调递减区间为（，）（2）不等式()()212122x f x x k x -++>-可化为()21ln 122x x x k x -+->-，()()21ln 1,(1),22x g x x x k x x =-+--->令()()21111,x k x g x x k x x-+-+=-+-='令1,x >Q ()()211,h x x k x =-+-+令 ()1,2kh x x -=的对称轴为 111,2kk -≤≥-当时，即 ()01),h x x 易知在（，上单调递减 ()()11,h x h k ∴<=-()1,0,k h x ≥≤若则 ()0,g x ∴'≤ ()01),g x x ∴在（，上单调递减 ()()10g x g ∴<=，不适合题意.()-11,10,k h ≤若则 ()001)0,x x x g x ∴∈>'必存在使得（，时()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.111,2kk -><-当时，即 ()001),x h x x 易知必存在使得在（，上单调递增 ()()110,h x h k ∴>=-> ()0,g x ∴'> ()01),g x x ∴在（，上单调递增 ()()10,g x g ∴>=恒成立适合题意.综上，k 的取值范围是(),1.-∞点睛：含有参量的不等式题目有两种解法，一是分离含参量，二是带着参量一起计算，本题在处理问题时含有参量运算，然后经过分类讨论，求得符合条件情况的参量范围 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]已知曲线1C的参数方程为x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)，以原点O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为sin()14πρθ-=．（1）求曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）射线OM ：()2πθααπ=<<与曲线1C 交于点M ，射线ON ：4πθα=-与曲线2C 交于点N ，求2211OMON+的取值范围．【答案】（1）1C 的极坐标方程为222cos 26ρθρ+=，2C的直角方程为0x y -+=；（2）13()32，.【解析】(1)利用三种方程的互化方法求出曲线1C 的极坐标方程和曲线2C 的直角坐标方程即可；（2）设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<，可得2OM ，2ON 的值，代入2211OMON+可得其取值范围.【详解】解：（1）由曲线1C的参数方程x y ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(ϕ为参数)得：2222cos sin 1ϕϕ+=+=，即曲线1C 的普通方程为22123x y += 又cos ,sin x y ρθρθ==，曲线1C 的极坐标方程为22223cos 2sin 6ρθρθ+=，即222cos 26ρθρ+= 曲线2C的极坐标方程可化为sin cos ρθρθ-=故曲线2C的直角方程为0x y -=（2）由已知，设点M 和点N 的极坐标分别为()1,ρα，2,4πρα⎛⎫-⎪⎝⎭，其中2παπ<<则22126cos 2OMρα==+，2222211cos sin 2ON ρπαα===⎛⎫- ⎪⎝⎭于是2222211cos 27cos 2cos 66OM ONααα+++=+= 由2παπ<<，得1cos 0α-<<故2211OMON +的取值范围是1332，⎛⎫⎪⎝⎭【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程、参数方程化为普通方程及极坐标方程的简单应用，需熟练掌握三种方程的互化方法.23．已知函数()223f x x x m =+++, m R ∈． (1)当2m =-时，求不等式()3f x ≤的解集； （2）若(),0x ∀∈-∞，都有()2f x x x≥+恒成立，求m 的取值范围．【答案】（1）12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；（2）322m≥--【解析】（1）当2m=-时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x xxx x⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，分段解不等式即可．（2）f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝33,02343,2m xx m x⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当32x-<<时，得23m xx+≥+，当32x≤-时，得253m xx≥++，利用恒成立求最值，可得m的取值范围．【详解】（1）当m＝﹣2时，f（x）＝|2x|+|2x+3|-2＝41,031,02345,2x xxx x⎧⎪+≥⎪⎪-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩当，解得；当恒成立当解得﹣2，此不等式的解集为（2）当x∈（﹣∞，0）时f（x）＝|2x|+|2x+3|+m＝33,02343,2m xx m x⎧+-<<⎪⎪⎨⎪--+≤-⎪⎩．当32x-<<时，得23m xx+≥+恒成立，由当且仅当即时等号成立．∴，∴当32x ≤-时，得243x m x x --+≥+．∴253m x x ≥++恒成立，令253y x x=++，，∵22228375559932y x =-≥-=-=⎛⎫⎪⎝⎭'- ，∴在上是增函数．∴当时，取到最大值为356-∴.又3517332266-=--<--Q 所以322m ≥--【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法，考查利用恒成立求参数的问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

衡水金卷2018—2019年度高三第三次联合质量测评文科综合试题 2018.12 本试卷分选择题和非选择题两部分。

满分300分，考试用时150分钟。

注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本题共35小题，每小题4分，共140分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

近期，美国对中国向其出口的商品不断增加关税，中美间的贸易争端由此展开。

下图为某国外机构预测的我国部分省市经济可能受贸易战影响的程度(港澳台不在评测之列)。

据此完成1～2题。

1．该机构预测的依据最可能是A．对外贸易的数额B．经济发达程度C．出口占GDP的比重D．当地美资企业的多少2．为应对中美贸易争端，当前国家层面可采取的最佳措施是A．调整产业结构，积极发展高新技术产业B．拓展国内市场，尽可能减少对外出口C．积极倡导和参与区域经济一体化，扩大对外开放D．优化重组相关企业，对高关税产品限制生产荷兰全年平均降水量与蒸发量分别为760mm和550mm，降雨量年内分布较为均匀，而蒸发量则集中于4至9月期间。

荷兰1／4土地海拔不到1m，筑堤拦海和排涝在1000多年的荷兰治水历史中成为整个国家的重要活动，开始时雨水完全可以依靠重力排放入海，后来则需依靠动力。

下图为公元1000年以来荷兰西部区域陆地下沉与海平面上升情况。

据此完成3~5题。

3．荷兰需要依靠动力才能排水入海的时间大约起始于A．1100年B．1400年C．1600年D．1900年4．为防涝，荷兰一年中雨水排放的旺季往往是A．每年9月至来年3月B．每年5月至9月C．每年上半年时间D．每年下半年时间5．目前荷兰又将围垦的一些低地退陆还海，其主要目的是A．增加海域，开发海洋资源B．维护沿海湿地生态系统C．减少风暴潮对沿海低地侵害D．大力发展沿海旅游业地质学家冯景兰曾对某地地理景观作如下表述：“深厚坚固相间互之块状砂岩与砾岩，侵蚀之后，绝崖陡壁，直如人造之坚固伟岸之堡垒，而不知其为天造地设也。

河北衡水金卷高三第三次联合质量测评数学（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z满足，则复数z在复平面内对应的点所在象限为A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.已知全集，集合为A. B. C. D.3.若命题p为：为A.B.C.D.4.朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A. 14B. 16C. 18D. 205.若线段AB的长为3，在AB上任意取一点C，则以AC为直径的圆的面积不超过的概率为A. B. C. D.6.已知定义在R上的函数满足：(1)(2)当，则有A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，其中点分别是几何体上下底面的一组对应顶点，打点器从P点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为A.B.C.D.8.已知向量的夹角为，则的值为A. 0B.C.D.9.已知双曲线的左，右焦点分别为过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E的渐近线交于点P，与y轴正半轴交于点Q，且点P为的中点，的面积为4，则双曲线E的方程为A. B. C. D.10.在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为A. B. C. D.11.椭圆与抛物线相交于点M，N，过点的直线与抛物线E相切于M，N 点，设椭圆的右顶点为A，若四边形PMAN为平行四边形，则椭圆的离心率为A. B. C. D.12.已知函数对恒成立，且为函数的一个零点，将函数的图象向右平移个单位得函数的图象，则方程的解的个数为A. 4B. 5C. 6D. 7二．埴空题：本大题其4小题，每小题5分。

坐标系与参数方程1．【全国I 卷2019届高三五省优创名校联考数学】在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为22x m t y t ⎧⎪=+⎨=⎪⎪⎪⎩（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，椭圆C 的极坐标方程为2222cos 3sin 48ρθρθ+=，其左焦点F 在直线l 上．（1）若直线l 与椭圆C 交于A B ，两点，求FA FB +的值； （2）求椭圆C 的内接矩形面积的最大值． 【答案】（1）2）【解析】（1）将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入ρ2cos 2θ＋3ρ2sin 2θ＝48，得x 2＋3y 2＝48，即2214816x y +=， 因为c 2＝48－16＝32，所以F的坐标为（-0）， 又因为F 在直线l上，所以m =-把直线l的参数方程22x y =-=⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩代入x 2＋3y 2＝48，化简得t 2－4t －8＝0，所以t 1＋t 2＝4，t 1t 2＝－8，所以12FA FB t t +=-===（2）由椭圆C 的方程2214816x y +=，可设椭圆C 上在第一象限内的任意一点M 的坐标为（θ，4sin θ）（π02θ<<），所以内接矩形的面积8sin 2S θθθ=⋅=， 当π4θ=时，面积S取得最大值【名师点睛】直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式222tan x y yx ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩，后者也可以把极坐标方程变形，尽量产生2cos ρρθ，，sin ρθ以便转化．另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可以用一个参数θ来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题．2．【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+．（1）当π6a =时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．【答案】（1）2210142x y x ++=+=，；（2）112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，【解析】（1）当π6a =时，直线l的参数方程为π1cos ,162π11sin 162x t x y t y t ⎧⎧=-+=-+⎪⎪⎪⎪⇒⎨⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩，． 消去参数t得10x ++=． 由曲线C 的极坐标方程为2241sin ρθ=+，得()22sin 4ρρθ+=， 将222x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2224x y +=，即22142x y +=； （2）由直线l 的参数方程为1cos ,1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩（t 为参数，0πα<<），可知直线l 是过点P （–1，1）且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142x y +=，所以易知点P （–1，1）在椭圆C 内，将1cos , 1sin x t y t αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中，整理得 ()()221sin 22sin c s 10to t ααα++--=，设A ，B 两点对应的参数分别为12t t ，， 则12211sin t t α⋅=-+，所以12211sin PA PB t t α⋅==+， 因为0πα<<，所以(]2sin 01α∈，，所以1221111sin 2PA PB t t α⎡⎫⋅==∈⎪⎢+⎣⎭，，所以PA PB ⋅的取值范围为112⎡⎫⎪⎢⎣⎭，．【名师点睛】利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题．经过点P （x 0，y 0），倾斜角为α的直线l 的参数方程为00cos sin x x t y y t θθ=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为12t t ，，线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为0t ，则以下结论在解题中经常用到：（1）1202t t t +=；（2）1202t t PM t +==；（3）21AB t t ＝－；（4）12··PA PB t t ＝． 3．【河南省信阳高级中学2018–2019学年高二上学期期中考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2sin 2cos 0a a ρθθ=+>（）；直线l的参数方程为222x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．直线l 与曲线C 分别交于M N ，两点． （1）写出曲线C 的直角坐标方程和直线l 的普通方程；（2）若点P 的极坐标为()2πPM PN +=，，a 的值．【答案】（1）曲线C 的直角坐标方程为：()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）2a =．【解析】（1）由()2sin 2cos 0a a ρθθ=+>，得()22sin 2cos 0a a ρρθρθ=+>，所以曲线C 的直角坐标方程为2222x y y ax +=+，即()()22211x a y a -+-=+，直线l 的普通方程为2y x =+．（2）将直线l的参数方程2,2x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩代入2222x y y ax +=+并化简、整理，得()2440t t a -++=．因为直线l 与曲线C 交于M N ，两点．所以()()2Δ4440a =-+>，解得1a ≠．由根与系数的关系，得121244t t t t a +==+，．因为点P 的直角坐标为()20-，，在直线l上．所以12PM PN t t +=+==， 解得2a =，此时满足0a >．且1a ≠，故2a =．【名师点睛】参数方程主要通过代入法或者已知恒等式（如22cos sin 1αα+=等三角恒等式）消去参数化为普通方程，通过选取相应的参数可以把普通方程化为参数方程，利用关系式222tan cos ,sin x y x y xy ρρθρθθ=⎧+==⎧⎪⎨⎨=⎩⎪⎩等可以把极坐标方程与直角坐标方程互化，这类问题一般我们可以先把曲线方程化为直角坐标方程，用直角坐标方程解决相应问题．4．【河南省豫南九校（中原名校）2017届高三下学期质量考评八数学】己知直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，点13P （，）． （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求11PA PB+的值． 【答案】（1）21y x =+，216y x =；（2【解析】（1）直线l 的参数方程为132x ty t=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），消去参数，可得直线l 的普通方程21y x =+，曲线C 的极坐标方程为2sin 16cos 0ρθθ-=，即22sin 16cos 0ρθρθ-=，曲线C 的直角坐标方程为216y x =，（2）直线的参数方程改写为1535x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），代入2212124351670554y x t t t t t =--=+==-，，，121211t t PA PB t t -+==． 【名师点睛】由直角坐标与极坐标互换公式222cos sin x y x y ρθρθρ⎧=⎪=⎨⎪+=⎩，利用这个公式可以实现直角坐标与极坐标的相互转化．5．【河南省开封市2019届高三上学期第一次模拟考试数学】在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程是1x t y t ==+⎧⎨⎩（t 为参数），曲线C 的参数方程是22cos 2sin x y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）求直线l 和曲线C 的极坐标方程； （2）已知射线1OP θα=：（其中π02α<<）与曲线C 交于O P ，两点，射线2π2OQ θα=+：与直线l 交于Q 点，若OPQ ∆的面积为1，求α的值和弦长OP ． 【答案】（1）cos sin 10ρθρθ-+=，4cos ρθ=；（2）π4OP α==， 【解析】（1）直线l 的普通方程为10x y -+=，极坐标方程为cos sin 10ρθρθ-+=，曲线C 的普通方程为2224x y -+=（），极坐标方程为4cos ρθ=．（2）依题意，∵π02α∈（，），∴4cos OP α=， 1ππsin cos 22OQ αα=+-+（）（）1sin cos αα=+，12cos 12cos sin OPQ S OP OQ ααα===+△， ∴πtan 102αα=∈，（，），∴π4OP α==，【名师点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． 6．【四川省成都市第七中学2019届高三一诊模拟考试数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数标方程为e e e et tt tx y --⎧=+⎪⎨=-⎪⎩（其中t 为参数），在以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）中，直线l的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线C 的极坐标方程；（2）求直线l 与曲线C 的公共点P 的极坐标． 【答案】（1）2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭（2）π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，【解析】（1）消去参数t ，得曲线C 的直角坐标方程()2242x y x -=≥．将cos sin x y ρθρθ==，代入224x y -=，得()222cos sin 4ρθθ-=．所以曲线C 的极坐标方程为2ππcos2444ρθθ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭．（2）将l 与C 的极坐标方程联立，消去ρ得2π4sin 2cos23θθ⎛⎫-=⎪⎝⎭．展开得()22223cos cos sin 2cos sin θθθθθθ-+=-．因为cos 0θ≠，所以23tan 10θθ-+=．于是方程的解为tan θ=，即π6θ=．代入πsin 3ρθ⎛⎫-=⎪⎝⎭ρ=P 的极坐标为π6⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【名师点睛】本题考查曲线的极坐标方程与普通方程的互化，直线的极坐标方程与曲线极坐标方程联立求交点的问题，考查计算能力．7．【黑龙江省大庆市第一中学2019届高三下学期第四次模拟（最后一卷）数学】在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的参数方程为22x ty t =⎧⎨=+⎩（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为2cos 8sin ρθθ=．（1）求曲线C 的直角坐标方程，并指出该曲线是什么曲线； （2）若直线l 与曲线C 的交点分别为M ，N ，求MN ．【答案】（1）曲线C 方程为28x y =，表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线；（2）10． 【解析】（1）因为2cos 8sin ρθθ=，所以22cos 8sin ρθρθ=，即28x y =，所以曲线C 表示焦点坐标为()0,2，对称轴为y 轴的抛物线． （2）设点()11,M x y ，点()22,N x y直线l 过抛物线的焦点()0,2，则直线参数方程为22x t y t =⎧⎨=+⎩化为一般方程为122y x =+，代入曲线C 的直角坐标方程，得24160x x --=， 所以12124,16x x x x +==-所以MN ===10==．【名师点睛】本题考查极坐标方程化直角坐标方程，直线的参数方程化一般方程，弦长公式等，属于简单题．8．【河北省石家庄市2018届高中毕业班模拟考试（二）数学】在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为224x y +=，直线l的参数方程2x ty =--⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的32倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；（2）设点2P -（，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A B ，，求11PA PB+的值． 【答案】（1）2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；（2）12【解析】（1）若将曲线1C 上的点的纵坐标变为原来的32， 则曲线2C 的直角坐标方程为22243x y +=（），整理得22149x y +=， ∴曲线2C 的参数方程2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）．（2）将直线的参数方程化为标准形式为122333x t y t ''⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t '为参数），将参数方程带入22149x y +=得221(2))22149t --'+=' 整理得27183604t t ''++=（）．12127214477PA PB t t PA PB t t ''''+=+===，， 72111714427PA PB PA PB PA PB++===．【名师点睛】本题考查了参数方程与普通方程的互化，及直线的参数方程的应用，重点考查了转化与化归能力．遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用直线参数的几何意义求解．要结合题目本身特点，确定选择何种方程．。

2 衡水中学 2018～2019 学年度上学期高三年级三调考试数学(文)试卷Ⅰ卷一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合 A = {x x 2 - 1< 0 }， B = {y y = 2x , x ∈ A }，则 A ⋂ B = ( )A. (0,1)B. (-1, 2)C. (1, +∞)D. ⎛ 1 ,1⎫2 ⎪ ⎝ ⎭2. 已知复数 z 满足： ( z - i )(1 + 2i ) = i 3 (其中i 为虚数单位)，复数z 的虚部等于( )A. - 15 B. - 25 C. 4 5 D. 3 53. 命题 p : 若α为第一象限角，则sin α<α；命题 q ：函数 f ( x ) = 2x - x 2 有两个零点，则()A. p ∧ q 为真命题B. p ∨ q 为真命题C. ⌝p ∨ ⌝q 为真命题D. ⌝p ∧ q 为真命题4. 正项等比数列{a } 中的 a ， a是函数 f ( x ) = 1x 3 - 4x 2 + 6x - 3 的极值点，则log a = ()n14031 36 2016 A.1B.2C. -1D. λ5. 已知O 是正方形 ABCD 的中心，若 DO = λAB + μAC ，其中λ， μ∈ R ，则 μ= ( )A. -2B. - 12C. -D. 6. 在△ABC 中，角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ，且b 2 + c 2 = a 2 + bc .若sin B ⋅ sin C = sin 2 A ，则△ABC 的形状是( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等边三角形D.等腰直角三角形7. 如图直角坐标系中，角α⎛ 0 <α< π⎫ 、角 ⎛ π 0⎫ 的终边分别交单位圆于 A 、 B 两点，若 B 点的2 ⎪ β - 2 < β< ⎪⎝ ⎭ ⎝ ⎭纵坐标为- 5，且满足 S =，则sin α⎛ 3 cos α -sin α⎫ + 1 的值()13 △ A OB 42 2 2 ⎪ 2 ⎝ ⎭223⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ mA. - 5 13B. 12 13C. - 12 13D. 5 13 8. 已知公比不为 1 的等比数列{a } 的前 n 项和为 S ，且满足 a 、 2a 、3a 成等差数列，则 3S3 = ( )A. 13 4nB. 13 12 nC. 9 42 5 86 D. 11 129. 已知函数 f ( x ) =5 + cos ⎛ 1 x - 1⎫，若函数 g ( x ) = -x 2 + 4x - 2 与 f ( x ) 图象的交点为( x , y ) ，2 ⎪ 1 1⎝ ⎭( x 2 , y 2 ) ，…， ( x n , y n ) ，则∑ x i = ()i =1A. 2mB. 3mC. 4mD. m10. 将函数 y = 2sin ωx (ω> 0 ) 的图象向左平移 φ⎛ 0 < φ≤ π⎫个单位长度后，再将所得的图象向下平移一个单ω 2 ⎪ ⎝ ⎭ 位长度得到函数 y = g ( x ) 的图象，且 y = g ( x ) 的图象与直线 y = 1 相邻两个交点的距离为π，若 g ( x ) > -1 对任意 x ∈⎛ - π ,π⎫恒成立，则φ的取值范围是( ) 12 3⎪ ⎝ ⎭A. ⎡ π ,π⎤ ⎣12 2 ⎦B. ⎡π,π⎤ ⎣ 6 3 ⎦C. ⎡ π ,π⎤ ⎣12 3 ⎦D. ⎡π,π⎤ ⎣ 6 2 ⎦ 11. 已知函数 f ( x ) = x 2 - ax ， g ( x ) = ln x - e x ，在其共同的定义域内， g ( x ) 的图象不可能在 f ( x ) 的上方，则求 a 的取值范围( ) A. 0 < a <1e + 1B. a > 0C. a ≤ e + 1D. a ≤ 012. 已知函数 g ( x ) 满足 g ( x ) = g '(1)e x -1 - g (0 )x + 1x 2 ，且存在实数 x 使得不等式 2m -1 ≥ g (x) 成立，则 m20 0的取值范围为( )A. (-∞, 2]B. (-∞, 3]C. [0, +∞)D. [1, +∞)二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 平面向量 a 与b 的夹角为60° ， a = (2, 0) ， b = 1，则 a + 2b 等于.S 2x - 4n n 1 2 n n + 2 n +1 n 14. 在△ABC 中， a , b , c 分别是内角 A , B , C 的对边且 B 为锐角，若sin A = 5c ， sin B = 7 ， S = 5 7，则b 的值为.sin B 2b4 △ A BC 4 15. 已知数列{a } 的前 n 项和为 S ，且满足：a = 1 ，a = 2 ，S + 1 = a - a (n ∈ N*)，则 S = . 16. 已知函数 f ( x ) = 2 l n x⎛ 1 ≤ x ≤ e 2 ⎫， g ( x ) = mx + 1，若 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象上存在关于直线 y = 1 对称的 e ⎪ ⎝ ⎭点，则实数 m 的取值范围是.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知等差数列{a n } 的前 n 项和为 S n ，且满足 a 1 = 1 ， S 9 = 81. (1) 求{a n } 的通项公式；(2) 求 1 + S 1 + 1 1 S 2 + 2+ … + 1S 2017 + 2017的值.18.在△ABC 中，内角A, B, C 的对边分别是a, b, c ，且2c - 2a cos B =b .(1)求角A 的大小；(2)若△ABC 的面积为3，且c2 +ab cos C +a2 = 4 ，求a . 419.已知数列{a }中，a =1 ，a=a n(n ∈N * ).n 1 n+1 a+ 3n(1)求{a n }的通项公式；(2)数列{b}满足b=(3n -1)⋅n⋅a，数列{b}的前n项和为T，若不等式(-1)n λ<T+n对一切n∈N* 恒n n 2n n n n n 2n-1成立，求λ的取值范围.2S π 20.已知△ABC 中，角A, B, C所对的边分别是a, b, c ，且BA ⋅AC += 0 ，其中S 是△ABC 的面积，C =.3 4(1)求cos B 的值；(2)若S = 24 ，求a 的值.21.已知函数f (x )=m ln x +(4 - 2m )x +1 (m ∈R ).x(1)当m ≥ 4 时，求函数f (x)的单调区间；(2)设t, s ∈[1, 3]，不等式f (t )-f (s )<(a + ln 3)(2 -m )- 2 l n 3 对任意的m ∈(4, 6)恒成立，求实数a 的取值范围.22.已知函数f (x )=ke x -x 2 (其中k ∈R ，e 是自然对数的底数).(1)若k = 2 ，当x ∈(0, +∞)时，试比较f (x )与 2 的大小；(2)若函数f (x )有两个极值点x1 , x2 (x1 <x2 )，求k 的取值范围，并证明：0 <f (x1 )< 1 .。

衡水金卷2018—2019年度高三第三次联合质量测评数学文科试卷 2018.12（本试卷共6页 满分150分 考试用时120分钟）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的。

1．已知复数z 满足，则复数z 在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知全集，集合 为A ．B ．C ．D ． 3．若命题p 为：为 A ． B ． C ． D ．4．朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千九百八十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多八人，每人日支米三升”．其大意为“官府陆续派遣1984人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多8人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升”，在该问题中的1984人全部派遣到位需要的天数为A ．14B ．16C ．18D ．205．若线段AB 的长为3，在AB 上任意取一点C ，则以AC 为直径的圆的面积不超过的概率为 A ． B ． C ． D ．6．已知定义在R 上的函数满足：(1) (2)当，则()12z i i +=-U R =(){}{}()22log 21,340U A x x B x x x C A =-<=--<，则B ⋂∅{}12x x -<≤{}4x x -<<3{}42x x -<≤[)1,,sin cos 2x x x p ∀∈+∞+≤⌝，则[)1,,sin cos 2x x x ∀∈+∞+>[)00,1,sin cos 2x x x ∃∈-∞+>[)0001,,sin cos 2x x x ∃∈+∞+>(),1,sin cos 2x x x ∀∈-∞+≤34π3443633433()f x ()()12,f x f x +=-[)()20,2,1x f x x x ∈=-+有A ．B ．C ．D ． 7．某几何体的三视图如图所示，其中点分别是几何体上下底面的一组对应顶点，打点器从P 点开始到点结束绕侧面打一条轨迹线，则留下的所有轨迹中最短轨迹长度为A ．B ．C ．D ．8．已知向量的夹角为，则的值为 A ．0 B ． C ． D ． 9．已知双曲线的左，右焦点分别为过右焦点的直线在第一象限内与双曲线E 的渐近线交于点P ，与y 轴正半轴交于点Q ，且点P 为的中点，的面积为4，则双曲线E 的方程为A ．B ．C ．D ． 10．在长方体与平面所成的角为，则的取值区间为A ．B ．C ．D ． ()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭()()3112f f f ⎛⎫-<-< ⎪⎝⎭()()3112f f f ⎛⎫-<<-⎪⎝⎭()()3112f f f ⎛⎫<-<- ⎪⎝⎭111ABP A B P -1,P P 111ABPA B P -1P 625+()2153+425+153+()11,3,,2a b x a b ⎛⎫==- ⎪⎝⎭，若与60x 3332302或()222210,0x y E a b a b-=>>：12,F F :l x y c +=2QF 12QF F ∆22122x y -=2212x y -=22144x y -=22143x y -=11111122,ABCD A BC D AA AD A B -==中，11ABC D αα0,6π⎛⎫ ⎪⎝⎭0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭,43ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭,42ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭11．椭圆与抛物线相交于点M ，N ，过点的直线与抛物线E 相切于M ，N 点，设椭圆的右顶点为A ，若四边形PMAN 为平行四边形，则椭圆的离心率为A ．B ．C ．D ． 12．已知函数对恒成立，且为函数的一个零点，将函数的图象向右平移个单位得函数的图象，则方程的解的个数为A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。