江西师大附中2020届高三三模考试参考答案（文科数学） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12答案 C A A D D D C A B B D B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 17 14. 10 15. 3 16. 1(0,)2e三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22题、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）【解析】（1）由πsin 22sin cos()3a Bb A B =-得， π2sin sin cos 2sin sin cos()3A B B B A B =-， 从而πcos cos()3B B =-， ……………………3分 因为ABC ∆为锐角三角形， 所以π(0,)2B ∈，ππ(,)363B π-∈-，所以π3B B =-， 从而π6B =， 所以3cos B =. ……………………6分 （2）因为1sin 12ABC S ac B ∆==， 所以4ac =， ……………………9分 又222222cos 43243843b a c ac B a c ac =+-=+-≥-=-，当且仅当2a c ==时取等号. 所以b 的最小值为84362-=-. ……………………12分18．（12分）【解析】（1）估计“厨余垃圾”投放正确的概率为130030053007030804808P ===+++； ……………3分 估计“有害垃圾”投放正确的概率为260601202060201202P ===+++. ……………………6分 （2）当600,0a b c d ====时，数据a ，b ，c ，d 的方差2s 最大. ……………………9分 因为2004a b c d x +++==，所以此时方差 222221[()()()()]4s a x b x c x d x =-+-+-+-221(6003200)1200004=+⨯=. ………………12分19．（12分）【解析】（1）在四棱台ABCD EFGH -中，延长,,,AE BF CG DH 可相交于一点S ，如图所示.取CD 的中点M ，连接SM 交GH 于点N ，连接FN .因为1CG GH HD ===，所以SD SC =，从而CD SM ⊥. ……………………3分因为底面ABCD 是菱形，2BD CD ==，所以BCD ∆为正三角形，所以CD BM ⊥.又因为M BM SM =I ，所以⊥CD 平面SBM .所以SB CD ⊥，即BF CD ⊥. ………………6分（2）因为平面CDHG ⊥平面ABCD ， 所以由（1）可知，⊥SM 平面ABCD .因为1=GH ，2=CD ，CD GH //，所以21=SM SN . 又1=CG ， 所以3122222=-=-=CM SC SM . ………………9分所以四棱台ABCD EFGH -的体积为SN S SM S V EFGH ABCD ⋅-⋅=3131 47231233132233122=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=. ………………12分20．（12分）【解析】（1）由已知，(0,)B b ，(,0)F c -，所以||BF a =，所以bc =，即c a ==，所以b = ………………3分 又222213b e a=-=， 所以26a =. 所以椭圆C 的方程为22162y x +=. ………………5分 （2）将1x =代入22162y x +=得，253y =， y =， 此时2||||1)(113AM AN ==≠，因此，直线l 的斜率必定存在. ………………6分 设直线l 的方程为1(1)y k x -=-，即1y kx k =+-，1122(,),(,)M x y N x y ， 联立221,162y kx k y x =+-⎧⎪⎨+=⎪⎩得，222(31)6(1)3(1)60k x k k x k ++-+--=， 所以1226(1)31k k x xk -+=+，21223(1)631k x x k --=+， ………………8分 所以12||||1|1|AM AN x x =-- 222212122|3(1)66(1)31|(1)|()1|(1)31k k k k k x x x x k k ----++=+-++=+⋅+ 222(1)131k k +==+， ………………11分 解得21k =，所以1k =±. 所以直线l 的方程为y x =或2y x =-+. ………………12分 【注】利用参数方程解答也可，根据步骤相应给分.21．（12分）【解析】（1）由已知，()(1)2xf x x =+⋅，从而()2(1)2ln 22[(1)ln 21]x x x f x x x '=++⋅=++， ………………3分 所以(0)1f =，(0)ln 21f '=+，所以曲线()y f x =在0x =处的切线方程为1(ln 21)y x -=+⋅，即(ln 21)1y x =++. ………………6分 （2）当0x >时，()1(2ln 22f x a x x x x≥++++）可化为2(1)2(21)ln 22x x x x a x +≥++++， 即2(1)2(21)ln 22x a x x x x ≤+-++-.令2()(1)2(21)ln 22,0x g x x x x x x =+-++->，则依题设，只需min ()a g x ≤. ……………8分()2(1)2ln 2(22)ln 22x x g x x x '=++-+-(22)[(1)ln 21]x x =-++，因为(1)ln 210x ++>，所以当01x <<时，()0g x '<；当1x >时，()0g x '>.从而()g x 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， ………………10分 所以min ()(1)44ln 2224ln 2g x g ==--=-，所以24ln 2a ≤-. 即实数a 的取值范围是(,24ln 2]-∞-. ………………12分（二）选考题：共10分。
江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2（含答案解析）江西师⼤附中2020届⾼考数学三模试卷2⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1. 设集合A ={x|x 2?4x +3=0}，B ={y|y =?x 2+2x +2,x ∈R}，全集U =R ，则A ∩(?U B)=( )A. ?B. [1,3]C. {3}D. {1,3}2. 已知i 是虚数单位，若复数z =2+ai 2+i在复平⾯内对应的点在第四象限，则实数a 的值可以是( )A. ?2B. 1C. 2D. 3 3. 在△ABC 中，sinAsinC >cosAcosC ，则△ABC ⼀定是( )A. 锐⾓三⾓形B. 直⾓三⾓形C. 钝⾓三⾓形D. 不确定4. 设a ，b ∈R ，则“(a ?b)a 2≥0”是“a ≥b ”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 已知aA. a 2B. 2a <2bC. abD. 1a <1b6. 已知双曲线C ：x 2a 2?y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 满⾜|PF 1|?|PF 2|=2a ，若PM +F 1M ?? =0? ，且M(0,b)，则双曲线C 的渐近线⽅程为( )A. y =±2xB. y =±√5xC. y =±2√2xD. y =±√3x7. CPI 是居民消费价格指数(consumerpriceindex)的简称．居民消费价格指数，是⼀个反映居民家庭⼀般所购买的消费品价格⽔平变动情况的宏观经济指标．右图是根据统计局发布的2018年1⽉?7⽉的CPI 同⽐增长与环⽐增长涨跌幅数据绘制的折线图．(注：2018年2⽉与2017年2⽉相⽐较，叫同⽐；2018年2⽉与2018年1⽉相⽐较，叫环⽐)根据该折线图，则下列结论错误的是( )A. 2018年1⽉?7⽉CPI 有涨有跌B. 2018年2⽉?7⽉CPI 涨跌波动不⼤，变化⽐较平稳C. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，1⽉CPI 涨幅最⼤D. 2018年1⽉?7⽉分别与2017年1⽉⼀7⽉相⽐较，CPI 有涨有跌8.如图是⼀个⼏何体的三视图，图中每个⼩正⽅形边长均为12，则该⼏何体的体积是()A. 83B. 323C. 8√23D. 439.函数y=sin3x1+cosx，x∈(?π,π)图象⼤致为()A. B.C. D.10.我们熟悉的卡通形象“哆啦A梦”的长宽⽐为√2:1，在东⽅⽂化中常称这个⽐例为“⽩银⽐例”，该⽐例在设计和建筑领域有着⼴泛的应⽤，已知某电波塔⾃下⽽上依次建有第⼀展望台和第⼆展望台，塔顶到塔底的⾼度与第⼆展望台到塔底的⾼度之⽐，第⼆展望台到塔底的⾼度与第⼀展望台到塔底的⾼度之⽐皆等于“⽩银⽐例”，若两展望台之间⾼度差为100⽶，则下⾯选项中与该塔的实际⾼度最接近的是()A. 400⽶B. 480⽶C. 520⽶D. 600⽶11.过点M(2,1)且斜率为1的直线与抛物线y2=2px(p>0)交于A，B两点，且M为AB的中点，则p的值为()A. 12B. 1 C. 32D. 212.若lga+lgb=0(a≠1,b≠1)，则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象()A. 关于直线y=x对称B. 关于x轴对称C. 关于y轴对称D. 关于原点对称⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13. 若(x ?1x )n 的展开式中第3项和第5项的⼆项式系数相等，则展开式中的常数项为______． 14. 在△ABC 中，|AB +AC|=|AB ?AC |，AB =3，AC =4，则BC 在CA ⽅向上的投影是__________． 15. ⼀个球的内接正⽅体的表⾯积为32，则该球的体积为______．16. (1)⼀圆内切于中⼼⾓为π3、半径为R 的扇形，则该圆的⾯积与该扇形的⾯积之⽐为__________；(2)29π6是第__________象限⾓。
高考数学三模试卷(理科)、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.(kx+ 0) ( ： - |I •.-)与函数y=kx - k 2+6的部分图象如图所示, +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以为(5.中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”， 正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn )例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的 算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()1 已知 z i =1 - 3i , Z 2=3+i ,其中i 是虚数单位，则丄丄的虚部为()A.- 1B. 2 •已知集合 A. ?B. -C. - i5A={x| v 2x w 2},2(-1,] C .[,2 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A A( ?R B )=(j1) D •(- 1 , 1]3.给出下列两个命题:命题p ：:若在边长为 1的正方形 ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设打4是两个非零向量, “ 一円小|”是“与共线” 的充分不必要条件，那么，下列命题中为真命题的是 A. p A q B pC. p A(「q )D. (「p )V( q )若正整数N 除以 4.若函数 y=ksin范围是（）C. [―,]D.L9 2J+ .二…=n?+n,贝U a计+, +—等于(2n6.某食品厂只做了3种与“福”字有关的精美卡片，分别是“富强福”、“和谐福”善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品“友4 袋, 获奖的概率为（A B ： C - D7.已知D, E是厶ABC边BC的三等分点，点P在线段DE上，若：工x ：：则xy的取值A. 22n +2n B.n2+2n C. 22n +n D. 2 (n2+2n)9.已知实数y 满足*6, 则z=log （2|x - 2|+|y| ）的最大值是（A.log j(7) B. — C. - 2 D. 210.某几何体的三视图如图所示，则该几何体中, 面积最大的侧面的面积为（正（左）视医A.若数列｛a n｝是正项数列,2 2F 2, P 分别为双曲线 一 --—=1 (a > 0, b > 0)的右焦点与右支上的一点， O a 乂 b 1 2 若OM =寺(0F +0F J ，0F 2 =中 且20F2?F 』=a+b ，则该双曲线的离心 率为( ) A.B .2 212.已知函数 f (x ) =e x — ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g体ABCD 外接球表面积为,则数列 {b n }的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n -1+b 2n =三、解答题：本大题共 5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.1 求函数f ( x )的单调递增区间；2 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若 g ,:一，求△ ABCA. B.2(x o )v 0,则实数a A.::. 的取值范围是(B. (In2 , e — 1) C . [1 , e — 1)D. [1.2二、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20 分.13.已知a= TT •Il cosx ) dx ，则(9展开式中，x 3项的系数为14.已知函数 2ml □ i K 〉〔)15•正三角形 为偶函数，则 m — n= _____ .10§201? (—x)+n 英丐AD 翻折，使点B 与点C 间的距离为.二，此时四面ABC 的边长为2，将它沿高 11.已知点 为坐标原点,16.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且」9时1%亏用XI 表示不超过x 的最大整数, 如[—0.1]=— 1 , [1.6]=1 ，设 b n =[a n ]17 .设向量 〔.m 1 二：一 _一：・, x € R ,记函数-'，18•某高中毕业学年，在高校自主招生期间，把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n名学生，并对这n名学生按成绩分组，第一组［75，80)，第二组［80，85)，第三组［85，90),第四组［90，95)，第五组［95 ,100］，如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图；(n)若Q大学决定在成绩高的第3, 4, 5组中用分层抽样的方法抽取6名学生进行面试.①若Q大学本次面试中有B、C D三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中，并且通过这三位考官面试的概率依次为一、一，「，2 3 5求甲同学面试成功的概率；②若Q大学决定在这6名学生中随机抽取3名学生接受考官B的面试，第3组中有E名学生被考官B面试，求E的分布列和数学期望.19.如图，在以A, B, C, D E, F为顶点的多面体中，四边形ACDF是菱形，/ FAC=60 , AB// DE BC// EF, AB=BC=3 AF=2计E BF二苗尼(1)求证：平面ABCL平面ACDF(2)求平面AEF与平面ACE所成的锐二面角的余弦值.的焦点，过点F2的直线I交抛物线C于A, B两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线l的方程;20.已知椭圆C：£+2-一=1 (b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,点F2也为抛物线◎ 2 小y =8x(H) T为直线x= - 3上任意一点，过点F作TF i的垂线交椭圆G于M N两点，求?\m\ 的最小值.(x) =ln (x+2a)- ax, a> 0.21.已知函数(I)求f (x)的单调区间;(H)记f (x)的最大值为M (a),若a2>a i>0 且M (a i) =M (a2),求证:(川)若a>2,记集合｛x|f (x) =0｝中的最小元素为x o，设函数g (x) =|f (x) |+x，求证:X o是g (x)的极小值点.［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为卩-(t为参数)，在以坐标■ y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当$ €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a|，其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集｛x|1 < x< 2｝，求a的值.参考答案与试题解析、选择题：本大题共 12小题，每小题5分，共60分•在每个小题给出的四个选项中, 有且只有一项符合题目要求.1 .已知z i =1 - 3i , Z 2=3+i ，其中i 是虚数单位，则—的虚部为( )z244A. - 1B. -C. - iD.55 1【考点】A5:复数代数形式的乘除运算.【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出.故选：B.【考点】1H:交、并、补集的混合运算. 【分析】求解指数不等式与对数不等式化简集合 A 、B,再由交、并、补集的混合运算得答案.1 1 13【解答】 解：••• A={x| . v 2x w 2}={x| - 1 v x < 1} , B={x|ln(x - 一)w 0}={x| 一 v xW p },31i••• ?R B={X |X > 一或 X • .「}，则 A n ( ?F B ) = (- 1, J .故选：B .3. 给出下列两个命题：n -命题p ：:若在边长为1的正方形ABCD 内任取一点 M,则|MA| w 1的概率为——.命题q ：设一, 是两个非零向量，则“ .-i =1「- i I ”是“占「共线”的充分不必要条件，那么，下列命 题中为真命题的是()【解答】 解:的虚部为；I2.已知集合A={x| v 2x w 2}, 2B={x|ln (x -)< 0}，则 A n ( ?R B )=(A.B- (- 1 ,] CD . (- 1 , 1]A. p A q B .「p C. p A(^ q) D.厂p)V( q)【考点】2E:复合命题的真假.【分析】推导出命题P是真命题，命题q是假命题，从而得到pA(「q)是真命题.【解答】解：命题p：若在边长为1的正方形ABCD内任取一点M1 2土X TT X 1 TT则|MA| < 1的概率为-=---------------- 41X1命题P是真命题；•••设；一是两个非零向量，则“.-■=r-j ”是“［与一共线”的不充分不必要条件，二命题q是假命题，••• pq)是真命题.故选：C.4. 若函数y=ksin (kx+ $)(.：. | ) | .)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示,则函数f (x) =sin (kx - 0) +cos (kx -$)图象的一条对称轴的方程可以为( )13H一 D.24 124【考点】H6:正弦函数的对称性.【分析】由函数的最大值求出A,由特殊点的坐标求出0的值，可得函数的解析式，再利用三角恒等变换化简 f (x)的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性求得 f ( x)的图象的一条对称轴的方程.(kx+ 0 ) (•；• I「•)与函数y=kx - k2+6的部分图象如图所示，二2根据函数y=ksin (kn + 0 ) (k> 0, | 0 | )的最大值为k, •- k+6=k,「. k=2.TT TT TT把点(一，0)代入y=2sin (2x+ 0 )可得sin + 0 ) =0,二0 = ------ ，•入y=2sin【解答】解：若函数y=ksin12Tt(2x -)•TT 、 l ■ / c H 兀、 + )「SI n (2x+亍). 令2x+「=k n +——，求得x-+, k € Z ,故f (x )的图象的对称轴的方程为得12 2 224当k=1时，可得函数f (x ) =sin (kx - ) +cos (kx - $ )图象的一条对称轴的方程可以 为11故选：B.5•中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余 二,五五数之余三，问物几何？”人们把此类题目称为“中国剩余定理”，若正整数N 除以正整数m 后的余数为n ,则记为N=n(modn ),例如1仁2 (mod3.现将该问题以程序框图的 算法给出，执行该程序框图，则输出的n 等于()A. 21B. 22C. 23D. 24【考点】EF:程序框图.【分析】该程序框图的作用是求被 3和5除后的余数为2的数，根据所给的选项，得出结论. 【解答】解：该程序框图的作用是求被3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数，在所给的选项中，满足被 3除后的余数为2，被5除后的余数为3的数只有23, 故选：C.6.某食品厂只做了 3种与“福”字有关的精美卡片， 分别是“富强福”、“和谐福”、“友 善福”、每袋食品随机装入一张卡片，若只有集齐3种卡片才可获奖，则购买该食品4袋,x=H+—-- 24k € Z相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全，由此能求出购买该食品 4袋，获奖的概率.【解答】解：购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34,获奖时至多有2张卡片相同，且“富强福”、“和谐福”、“友善福”三种卡片齐全, 相同的2张为 「在4个位置中选2个位置，有 ’种选法，其余2个卡片有.上种选法，•••获奖包含的基本事件个数 m f : A >36,36 4•购买该食品4袋，获奖的概率为 p= ='.3° 9故选：B.范围是（ ）A [ , ]B .[.,」C. [ , ] D.[,」【考点】7G 基本不等式在最值问题中的应用；9H:平面向量的基本定理及其意义.【解答】解：D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上，若：亠x ：,1 ?可得 x+y=1 , x , y € [—,—],当且仅当x=y=.：时取等号,2并且xy=x （1 - x ） =x - x ,函数的开口向下，对称轴为: 值，2xy 的最小值为：一. 则xy 的取值范围是：[,.].A.丄 16【考点】 B.C.空D.9 S 9CB 古典概型及其概率计算公式.【分析】购买该食品4袋，购买卡片编号的所有可能结果为：n=34，获奖时至多有2张卡片获奖的概率为（ ) 7.已知D, E 是厶ABC 边BC 的三等分点，点P 在线段DE 上,若：.=x ，则xy 的取值【分析】利用已知条件推出 x+y=1 ,然后利用x , y 的范围,利用基本不等式求解 xy 的最值.X ，当x=.或x=〕时，取最小乙0 O故选：D.&若数列｛a n ｝是正项数列，且.■ + .7 .+, +寸；〔=n 2+n ,则a i ++, +—L 等于( )2 n2 2 2 2A. 2n+2nB . n+2n C. 2n+n D. 2 (n+2n )【考点】8H:数列递推式.【分析】利用数列递推关系可得 a n ,再利用等差数列的求和公式即可得出. 【解答】解：T - ■ +』=+, + i=n 2+ n ,「. n=1 时，、”冷=2，解得 a i =4. n 》2 时，*：：》• +甘二；+, +『：!, ]=(n — 1) ?+n — 1, 相减可得： J ：i. =2n ，二a n =4n 2. n=1时也成立. 8.•'——=4n.n贝y a i +一_+, +―=4 (1+2+, +n ) =4X -------------- =2n 2+2n .2 n 2故选：A.【考点】7C:简单线性规划.【分析】作出不等式组对应的平面区域， 根据图象，去掉绝对值， 结合对数的运算性质进行 求解即可.【解答】 解：作出不等式组对应的平面区域如图： 由图象知y >0, x w 2, 设 m=2|x — 2|+|y| ,则 m=y- 2 (x — 2) =y — 2x+4, 即 y=2x+m- 4,平移直线y=2x ，由图象知当直线 y=2x+z — 4经过点C 时，直线的截距最小，此时z 最小,9.已知实数x , y 满足* x+y^6,则z=logA.logB.logC. — 2 ■L} (2|x — 2|+|y| )的最大值是(D. 2z=log(2" — 2|+M )最大,由严x+2得严2,即C(2, 4), 时y=6 (产4此时z=log ,丄■- (2|x - 2|+|y| ) =log ；=4=- 2,故选：C.10•某几何体的三视图如图所示，则该几何体中，面积最大的侧面的面积为（由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面AEDL平面BCDE四棱锥A- BCDE 的高为1，四边形BCDE是边长为1的正方形，分别计算侧面积，即可得出结论.【解答】解：由三视图可知，几何体的直观图如图所示，平面BCDE的高为1,四边形BCDE是边长为1的正方形，则S A AED=!. ；= , S M BC=&ABE=丄忙•儿JU , S M CC F 1 ，二,【考点】口：由三视图求面积、体积.【分析】AEDL平面BCDE四棱锥A-正f左）视區A 一D11.已知点F2, P分别为双曲线二=-=1 (a>0, b> 0)的右焦点与右支上的一点，Oa 2b2为坐标原点，若而=+ (祁+応), 亟乙母细2码?口i=a2+b2,则该双曲线的离心LJ:率为( )A.」宀B.C.二D. 2 二2 2 y'【考点】KC双曲线的简单性质.【分析】根据向量知识可知M为PF2的中点，结合[=且2一「？：“=a2+b2可求出/ OFM从而得出M的坐标，再得出P点坐标，代入双曲线方程化简即可得出e.・1 ■ •【解答】解：T我工.，「• M是PF2的中点，•••厂；=OF=F2M=C,••• 2?；if L2C2COS ( n -z OFM) =a2+b2=c2,/ 2开•z OFM= ■.3•M (欝，电£), ••• F2 ( C, 0), M是PF2的中点，•P ( 2C,二C ),4 F? 3广2T P 在双曲线上，■，即4b2c2-3a2c2- a2b2=0,a2b2■ 22 2,2/2 2、^22 2/2 2、■/ b =C - a , • 4C ( C - a ) - 3a C - a ( C - a ) =0,即4c4- 8a2c2+a4=0,••• e= —,「. 4e4- 8e2+1=0，解得e2=1+ 或e2=1-^^ (舍)，a 2 2•e「二「故选A.••• F (x )在(1, 2)递减, ••• F (x ) min =F (2) =ln2 ,• G (x )在(1, 2 )上递增，c--G ( x ) ma )=G ( 2)=,2若存在 x °€( 1, 2),使得 f ( X 0) g (X 0)v 0, 则 ln2 v a v 时， 故选：A.求出被积函数，由定积分公式求出a ，求出二项式的通项公式，化简整理，令 9 -2r=3，求出r ,即可得到所求系数.JTTT【解答】 解：a= — (- cosx ) dx=- sinx| —12.已知函数 f (x ) =e x - ax - 1, g (x ) =lnx - ax+a ，若存在 x o €( 1, 2),使得 f (x o ) g (x o )v 0,则实数a 的取值范围是(2A .；仁■, B. (In2 , e - 1) C . [1 , e - 1) D. 一2 23T :函数的值.【考点】 【分析】 令F (x)=；,令G(x ) =一「'，根据函数的单调性分别求出xT x的最大值，求出 a 的范围即可.【解答】 解：由*7W >0 g(x)<0:则 F '( x )一一垃？迪 v av AL , 口〉luxxi-l1 -lnx卑v 0 对 x €( 1, 2)(x-1)2成立,1)F ( x )的最小值令 G (x )・:，贝U G (x )x———>0 对 x €( 1, 2)成立,满足题意,二、填空题: 本大题共4小题，每小题5分，共20 分. 13.已知 ITa=i 「一 (J 0 cosx ) dx ，则(ax+ J ) 9展开式中,x 3项的系数为【考点】 67:定积分.【分析】J0 0=-(sin - sinO ) = - 1,2则(-x- 1 ) 9展开式中的通项公式为-,(-x) 9-r(- 一)r2x 9 2xr . 9 - 2r= -(,：) |X , r=0 , 1, , , 9,由9 - 2r=3，可得r=3 ,x3项的系数为-(J故答案为：-:.i rolo g?ni7K.>014•已知函数f (J二* 为偶函数，则m- n= 4log201T(-x)+nx【考点】3L:函数奇偶性的性质.【分析】根据函数奇偶性的定义建立方程关系进行求解即可.【解答】解：•••函数的偶函数，•••当x> 0,则-x v0,则 f (- x) =f (x),即log 20仃x - nx3=mlog20仃x+3x3,即m=1, - n=3,则n=- 3,则m- n=1 -( - 3) =4,故答案为：415.正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为「，此时四面体ABCD外接球表面积为5n .【考点】LG球的体积和表面积.【分析】三棱锥B- ACD的三条侧棱BD丄AD DCL DA底面是等腰直角三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出正三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，然后求球的表面积.【解答】解：根据题意可知三棱锥 B- ACD 的三条侧棱BD 丄AD DCL DA 底面是等腰直角三 角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球， 求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱ABC- ABC 的中，底面边长为 1 , 1,心， 由题意可得：三棱柱上下底面中点连线的中点， 到三棱柱顶点的距离相等， 说明中心就是外接球的球心，•••三棱柱ABC- A 1B 1C 的外接球的球心为 0,外接球的半径为 r , 球心到底面的距离为 1, 底面中心到底面三角形的顶点的距离为: 2外接球的表面积为：4n r =5 n . 故答案为：5 n .9 916.数列｛a n ｝的前项和为S n ,且，用［X ］表示不超过x 的最大整数,丹1"T"【考点】8E:数列的求和.【分析】 运用数列的递推关系，n > 2时将n 换为n - 1，相减可得数列｛a n ｝的通项公式，再 由取整函数的定义，运用不完全归纳法，即可得到所求和.99【解答】解：由叮一一•二技，“一,① 十曰 厂2 24可得 a 2 - Si= , a 2=a 1+ =,3 3 39将n 换为n - 1,可得a n - S n -产三,n 》2②a n =S n — S n - 1①—②可得，a n+1=2a n , 则 a n =a 22n —2="?2n —2= ?2n ,上式对n=1也成立.如[-0.1]= - 1 , [1.6]=1，设b n =［a n ］，则数列｛b n ｝的前 2n 项和 b 1+b 2+b 3+b 4+, +b 2n- 1 + b 2n =•球的半径为r=则 an =. ?2, b n = [a n ]=[ : ?2n ], 9^9b i +b 2=0+1=仁，—1 ―一护 9 b i +b 2+b 3+b 4=0+1+2+5=8=— 2 —2b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6+b 7+b 8=0+1+2+5+10+21+42+85=166= - - 43则数列｛b n ｝的前 2n 项和为 b l + b 2+b 3+b 4+, +b 2n —l +b n 厂—n —.3 3另解：设 T 2n =b l + b 2+b 3+b 4+ , +b 2n -l + b 2n , 由 T 2n — T 2n - 2=2^ " - 1 ,累加可得数列｛b n ｝的前2n 项和为--一、■' — n=— n - I.1-4 3 3故答案为：—- n -I.3 3三、解答题：本大题共 5小题，共70分•解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17 .设向量二’.二in| n , x € R,记函数f (x)= a'b(1) 求函数f (x )的单调递增区间；(2) 在锐角△ ABC 中，角A, B , C 的对边分别为 a , b , c .若•「、.-〔，•. 「，求△ ABC 面积的最大值.【考点】HR 余弦定理；9R:平面向量数量积的运算；GL 三角函数中的恒等变换应用.【分析】(1)利用平面向量数量积的运算，三角函数恒等变换的应用化简可求 f (x ) =sin(2x —^-),令2k n -今三2X -£W 2k n 弓,k €乙即可解得f (x )的单调递增区间.TT 1(2)由已知可求sin (2A -——)「：，结合△ ABC 为锐角三角形，可得 A ,利用余弦定理， 基本不等式可求bc w 2+，进而利用三角形面积公式即可计算得解.当n=1时， 当n=2时, 当n=3时,b i +b 2+b 3+b 4+b 5+b 6=0+1+2+5+10+21=39=— 3 — ;【解答】(本题满分为12分)(2x -—), ,3 分•函数f (x )的单调递增区间为：［k n-，k n +：」，k €乙5分(2厂"sin (2A-丄)=，结合△ ABC 为锐角三角形，可得:327T八•- A= , ,7 分4•••在△ ABC 中，由余弦定理 a 2=b 2+c 2- 2bccosA ，可得：2=b 2+c 2- _ bc >( 2 - _) bc ,(当 且仅当b=c 时等号成立) • bc W=2+ 一，又T sinA=sin=^^, ,10 分42 • S A ABC = bcsinA= ■ bc w - (2+ ：)=,(当且仅当 b=c 时等号成立)2 44 2• △ ABC 面积的最大值为'二,12 分218•某高中毕业学年，在高校自主招生期间， 把学生的平时成绩按“百分制”折算，排出前n 名学生，并对这 n 名学生按成绩分组，第一组 ［75 , 80),第二组［80 , 85),第三组［85 , 90),第四组［90 , 95),第五组［95 , 100］,如图为频率分布直方图的一部分，其中第五组、 第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成等差数列，且第四组的人数为60.(I)请在图中补全频率分布直方图； (n)若Q 大学决定在成绩高的第3 ,4 , 5组中用分层抽样的方法抽取 6名学生进行面试.① 若Q 大学本次面试中有 B 、C D 三位考官，规定获得两位考官的认可即面试成功，且面试结果相互独立，已知甲同学已经被抽中， 并且通过这三位考官面试的概率依次为 ，：、.,，-,zi O U 求甲同学面试成功的概率；② 若Q 大学决定在这6名学生中随机抽取 3名学生接受考官 B 的面试，第3组中有E 名学 生被考官B 面试，求E 的分布列和数学期望.解：(1)： f 仗)二过■ k=s in xcosx+(sinx - cosx ) (sinx+cosx ) =lsin2x2 2--cos2x=sin2•••令 2k nTTTTw 2k n +2k € Z ,解得:w x w k n + , k €Z12 122A - 一 =【考点】CH 离散型随机变量的期望与方差； B3:分层抽样方法；B8:频率分布直方图.【分析】(I)由第四组的人数能求出总人数，由此能补全频率分布直方图.(H)①设事件 人=甲同学面试成功，由此利用独立事件概率公式能求出甲同学面试成功的 概率.②由题意得，E =0, 1, 2, 3,分别求出其概率，由此能求出 E 的分布列和数学期望.【解答】 解：(I)：第四组的人数为 60, •••总人数为：5X 60=300,由直方图可知，第五组人数为： 0.02 X 5X 300=30人， 60_30 T L 斗八 K 又 .为公差，•••第一组人数为：45人，第二组人数为：75人，第三组人数为：90人(n)①设事件 A=甲同学面试成功,②由题意得，E =0, 1, 2, 3,则 P (A )频率频率= 'pO p 3 S I- m ip3p 0 —L- o 1-',,19gI 3--- ：-li ---19.如图，在以 A , B , C, D E, F 为顶点的多面体中，四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 ,AB// DE BC// EF , AB=BC=3 AF=2旖，BF 二 Jj 豆 (1)求证：平面 ABCL 平面 ACDF(2)求平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【考点】MT 二面角的平面角及求法； LY :平面与平面垂直的判定.【分析】(1 )设O 是AC 中点，连结 OF 、OB FC 推导出 OBL AC OF 丄AC,则/ FOB 是二面 角F - AC- B 的平面角，由此能证明平面 ABC L 平面 ACDF(2)以O 为原点，OB 为x 轴，OC 为y 轴，OF 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法 能求出平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值.【解答】 证明：(1 )设O 是AC 中点，连结 OF OB FC, 在厶 ABC 中，AB=BC ••• OB L AC •••四边形 ACDF 是菱形，/ FAC=60 , • △ FAC 是等边三角形，• OF L AC,ck p(W )T-''20,P(^=2)=GV•••/ FOB是二面角F- AC- B的平面角,•••0F= _- ’「= 7,又••• BF= —,••• O F+O B U BF2,•••/ FOB=90 ,•平面ABCL平面ACDF解：（2）由（1 ）知OB OC OF两两垂直，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OF为z轴, 建立空间直角坐标系，则A（0，-占，0），B （铤，0，0），C（0,也，0），F（0，0，3），AF=（0，V3，3），AC=（0，2航，0），•/ AB// DE AF// CD,又AB?平面CDE AF?平面CDEDE＞平面CDE CD?平面CDE•AB//平面CDE AF//平面CDE又AB A AF=A ••平面ABF// 平面CDE••• EF// BC, • B、C、E、F 四点共面，又平面ABF A平面BCEF=B F平面CDEH平面BCEF=CE•BF// CE •••四边形BCEF是平行四边形，••• ••=： = （-• :, 0），•二汀I「'=（-•—，3）,设平面AEF的法向量■ = （x , y , z）,则丁上朋出谊，取x g，得：=（n * FE =-^6 x+V3y=0设平面ACE的法向量•= （a, b, c),AC=2V3b=0设平面AEF与平面ACE所成的锐二面角为0 ,则cos2i20.已知椭圆C ：卫_ +耳=1 (b >0)的左、右焦点分别为F i 、F 2,点F 2也为抛物线 G: y 2=8x 6 b 2 的焦点，过点F 2的直线I 交抛物线C 2于A ，B 两点.(I)若点P (8, 0)满足|PA|=|PB|，求直线I 的方程；(n) T 为直线x= - 3上任意一点，过点 F i 作TF i 的垂线交椭圆 C 于M N 两点，求：-|MN |的最小值.【考点】K4:椭圆的简单性质.【分析】(I)由抛物线C"，二&得F 2 (2, 0),当直线I 斜率不存在，即I : x=2时， 满足题意.当直线I 斜率存在，设I : y=k (x - 2)(k z 0), A (x i , y i ), B (X 2, y 2),与抛物线方程联立可得 k 2x 2 -(4k 2+8) x+4k 2=0,禾U 用根与系数的关系、中点坐标公式可得AB 的中点k 2(n) F 2 ( 2, 0),可得椭圆C 的方程，设T 点的坐标为(-3, m ),贝y 直线TF i 的斜率=-m.当0时，直线 MN 的斜率.，直线 MN 的方程是x=my - 2,tn当m=0时，上述方程.设 M(X 3, y s ), N( x 4, yj ,与椭圆的方程联立，利用根与系数的关 系、两点之间的距离公式及其基本不等式的性质即可得出.•••平面AEF 与平面ACE 所成的锐二面角的余弦值为554厂‘」 由|PA|=|PB|，可得PGL I , k PG ?k= - i ,解得k 即可得出.QB24【解答】解：(I)由抛物线C J 厂：也得F 2 (2, 0), 当直线I 斜率不存在，即I : x=2时，满足题意. 当直线 I 斜率存在，设 I : y=k ( x - 2) (k z 0), A (X i , yj , B (X 2, y 2),* 2_由* y 皿得 k 2x 2-( 4k 2+8) x+4k 2=0, y^k(x~2)2 , 4k +8 , , z , . 8设AB 的中点为G,^— Ik 2 k•••|PA|=|PB| , • PGLI , k pG ?k=- 1,Xk=T ，解得 k=±£，则 y=± V2(x-2),•直线I 的方程为■. - :. :!或x=2.2 2(fl)： F 2 (2, 0), •••：,：; m一 一.：11o 2设T 点的坐标为（-3 , m ）, 则直线TF i 的斜率..' -t ,TFi -3+2当0时，直线MN 的斜率.,直线MN 勺方程是x=my- 2 , 当m=0时，直线 MN 的方程是x= - 2,也符合x=my- 2的形式.•直线 MN 的方程是 x=my - 2.2 ,2-', 2 2，得(m+3) y - 4my- 2=0 ,~24m2 •一'「-匚_,D +3Hl +3|TF[ l=Vm 2+l /□2^24 (nT+1 j=I ' -「…厂- ：:■•- :设 M (X 3 , y s ), N (X 4 , y 4),则 1ID2+3当且仅当/'-.J —4—，即卩m=± 1时，等号成立，此时m 2+l(x ) =ln (x+2a )— ax , a > 0.(I)求f (x )的单调区间;(n)记 f (x )的最大值为 M (a ),若 a 2>a i >0 且 M (a i ) =M (a 2),求证:(川)若a >2,记集合｛x|f (x ) =0｝中的最小元素为 x o ，设函数g (x ) =|f (x ) |+x ，求证: x o 是g ( x )的极小值点.【考点】6E:禾U 用导数求闭区间上函数的最值； 6B :利用导数研究函数的单调性. 【分析】(I)先求导，根据导数和函数单调性的关系即可得到函数的单调区间，(H)由(I)知， M (a ) =f (一- 2a ) =2a 2— 1 — lna ，继而得到 2a i 2 — 1 — lna i =2a 22 — 1 — a.a 221n —a i 1In a 2,通过转化得到 4玄協2=，设h (t ) =t —一— 2ln t , t > 1根据函数的单调性证明 a 2 a l ta l a 2f (a+1) x-ln(x+2a) f -2a<(川)由(I)可得，g (x ) =.•，分类讨论，得到 gln(x+2a)x -2a+—(X )在( —2a , x o )递减，g (x )在(x o , =- 2a )递增，故x o 是g (x )的极小值点.a【解答】解：(I): f '( x )=一—x+2a■/x >— 2a , a >0,由 f '( x )> 0，得—2a v x v — — 2a , a 由 f '( x )v 0，得 x >— 2a ,a1!取得最小值丄.\m\321.已知函数 alv 1，问题即可得以证明,a= ： '：：x+2a又 X T — 2a 时，f ( X )T — 8,••• f (x )的增区间为(-2a , - 2a ),减区间为(a 2a , +s),a(H)由(I)知，M(a ) =f (- 2a ) a =2a 2 -1 - Ina ,2 2 • 2a 1 - 1 - lna 1=2a 2 - 1 - Ina 2, /• 2 (a 22 - a i 2) =lna 2 - Ina 1=ln 「, Si • 2a 1a 2「」=ln 「， a l a 2 S1• 4a 1a 2 (-••-—；) =2ln a l a2 a 221n — • 4a 1a 2= ------------ a l a 2设 h (t ) =t - —- 2lnt • h '( t ) =1+ [-= • h ( X )在(1, +s)单调递增，h (t ) (1 - ) 2>0, (1) =0,即 t - —> 2lnt > 0, v > 1, Qi a 1 Qo -------- > 2ln > 0, 3.1 3-^ 自 | a221n — al ‘ ------- < 1, a l a2 •- a i a 2< ;4(川)由(I)可知，f ( X )在区间(-.-2a )，易知 f (- 2a ) =M(a ) =2a 2- 1 Tna 在(2, +^)递增,aM( a )> M( 2) =7 - ln2 > 0,••- 2a v x o v - 2a ,且—2a v x v x o , f (x ) v 0, a(a+1) x-ln(x+2a), *2a<ic<Cx 0■, ln(x+2aJ Kr,^ x ~2a+—u ax o v x v — - 2a 时，f (x )a> 0,于是-2a v x v x o 时，g ' (x ) = (a+1) •••若能证明x o <— -- 2a ,便能证明（a+1） a+1 1 1——=—v a+1 - , x+2a x o +^a1 —v o, o +a2 -记 $ (a ) =f ( ------------ 2a ) =2a +—r - 1 - In a+1 a+1] 1 --$ (a ) =4a - ，-、, (a+1 ) a+1 (a+1).•/ a > 2, •- h '( a )> 8 — > 0, 9 3 •- $ （玄）在（2, +s ）上单调递增, • $ (a )> (2)=匚-ln3 >o , J-1-2a v --2a, • f （x ）在（-2a ，一〒-2a ）内单调递减, a+1 •以（-2a ，击-2a ）,于是—2a v x v x o 时，g '( x ) =a+1 -——:—v x+2a a+1 - 1 =o , —r-2a+2a a+1 • g (x )在(-2a , x o )递减, 1 1 ------------------------------------------------------------- ------- 当 x o v x v - 2a 时，相应的 g '( x ) = -( a - 1 )>1 -( a x+2a (—-2aJ +2a a a - 1) =1> o ,• g (x )在(xo , ..- 2a )递增, 故x o 是g （x ）的极小值点.•••当- 2a v x v - 2a 时,a［选修4-4 :极坐标与参数方程］22.在平面直角坐标系xOy中，直线I的参数方程为(X-3+tuos°(t为参数)，在以坐标y=l+tsin4)原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为p =4cos 0 .(I)求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)当0 €( 0, n )时，I与C相交于P, Q两点，求|PQ|的最小值.【考点】QH参数方程化成普通方程；Q4:简单曲线的极坐标方程.【分析】(I)利用三种方程的转化方法，求I的普通方程和C的直角坐标方程；(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2,直线过点A ( 3, 1), CA± PQ时，可求|PQ|的最小值.y 二号+ + COS (t)【解答】解：(I)直线I的参数方程为；I (t为参数)，普通方程为y -仁tan 0 (x - 3),圆C的方程为p =4cos 0，直角坐标方程为x2+y2=4x;(H)由(I)可知圆心坐标为 C (2, 0),半径为2，直线过点A( 3, 1), ••• |CA|=「,••• CA± PQ时,|PQ| 的最小值为2「=2 .［选修4-5 :不等式选讲］23.已知函数f (x) =|x - a| ,其中a> 1(1 )当a=2时，求不等式f (x)> 4 - |x - 4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | < 2的解集{x|1 < x< 2},求a的值.【考点】&2:带绝对值的函数；R5:绝对值不等式的解法.【分析】(1)当a=2时，f (x)> 4 - |x - 4|可化为|x - 2|+|x - 4| > 4,直接求出不等式|x-2|+|x - 4| > 4的解集即可.-2 弘xWO(2)设h (x) =f ( 2x+a)- 2f (x),则h (x) = Z.由|h (x) | < 2 解2a, 丈》◎得等二；：二：当,它与1 < x w 2等价，然后求出a的值.【解答】解：(1)当a=2 时，f (x)> 4- |x - 4| 可化为|x - 2|+|x - 4| > 4 ,当x< 2 时，得-2x+6> 4,解得x w 1 ；当2V x V 4时，得2> 4,无解；当x>4时，得2x - 6>4,解得x > 5; 故不等式的解集为{x|x > 5或xw 1}.-2a,(2)设h (x) =f (2x+a)- 2f (x),则h (x) = 4^-2日，0<x<2由|h (x) | w 2 得• 一又已知关于x的不等式|f (2x+a)- 2f (x) | w 2的解集{x|1 w x w 2},2所以* ,故a=3.面积的最大值.。
