江苏省苏州市高三数学暑假自主学习测试试题 理 新人教A版

2016届某某省宝应中学高三暑期自主学习效果检测数学 试题(文科)（满分160分，考试时间120分钟） 一、填空题（每小题5分，计70分）1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B =▲． 2、命题“,sin()03x R x π∃∈+≤”的否定是 ▲．3、设a R ∈，复数312a ii++（i 为虚数单位）是纯虚数，则a 的值为▲. 4、已知角()3πα+的终边经过点(2,P , 则tan α=▲．5、已知向量a 与b 的夹角是120，且满足(2,1)a =-，10a b ⋅=-||b ＝▲．6、在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边，若2221()tan 2b c a A bc +-=， 则 sin A =▲.7、直线1:260l a x y ++=与22:(1)(1)0l x a y a +-+-=平行但不重合，则a ＝▲．8、如果函数3sin(2)(0)y x ϕϕπ=+<<的图象关于点(,0)3π中心对称，则ϕ＝▲．9、△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，05,7,60a b B ===，则c =▲ ．10、设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是▲ ．11、已知函数2()cos ,[,]22f x x x x ππ=-∈-，则满足0()()3f x f π<的0x 的取值X 围是▲ ． 12、已知菱形ABCD 中，对角线，BD=1，P 是AD 边上的动点，则PB PC ⋅的最小值 为▲ .13、直线3y k x =+与圆22(3)(2)4x y -+-=相交于M，N 两点，若||MN <数k 的取值X 围是▲ ．14．已知圆22:1C x y +=与x 轴的两个交点分别为,A B到右），P 为C 上的动点，l 过点P 且与C 相切，过点A 作垂线且与直线BP 交于点M ，则点M 到直线290x y +-=离的最大值是 ▲.二、解答题（共6道题，计90分）15、（本题满分14分） 已知向量(4,5cos()),(3,4tan()),(0,),662a b a b πππααα=+=-+∈⊥，（1）求|2|a b -； （2）求sin(2)12πα+的值.16. （本题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ． （1）若23AB AC ⋅=，求A 的值；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ． 17、（本题满分15分） 在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，1sin(2),22C π-=且222a b c +< 求：（1）角C 的大小； （2）a bc+的取值X 围.18、（本题满分15分）过点(2,1)P --作圆C ：22(4)(2)9x y -+-=的两条切线，切点分别为A , B, 求直线AB 的方程；求在经过点A ，B 的所有圆中，面积最小的圆的方程. （如解题需要，可在答题卡上自行作图）19、（本题满分16分） 如图，有一景区的平面图是一半圆形，其中AB 长为2km ，C 、D 两点在半圆弧上，满足BC =CD ．设COB θ∠=．（1）现要在景区内铺设一条观光道路，由线段AB 、BC 、CD 和DA 组成，则当θ为何值时，观光道路的总长l 最长，并求l 的最大值．（2）若要在景区内种植鲜花，其中在AOD ∆和BOC ∆内种满鲜花，在扇形COD 内种一半面积的鲜花，则当θ为何值时，鲜花种植面积S 最大．20．（本题满分16分） 已知函数，2()(2)ln f x mx m x x=-+-，2()1g x x mx =++，（其中0m <） （1）求()f x 的单调区间；（2）若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥成立，求m 的取值X 围.20150828高三数学参考答案(文科/理科) 一、填空题（每小题5分，计70分）1、{}22、,sin()03x R x π∀∈+> 3、-6 475、6、14 7、（文科）－1 ，1 8、3π 9、8 10、(5,)-+∞ 11、(,)33ππ- 12、1213、 （文科）332()(0,45+- ， （理科） 37log 13t ≤≤14、（文科）2 ，（理科）1[1,)3-- 二、解答题（共6道题，计90分）15、（本题满分14分）解：⑴因为⊥a b ，所以435cos()4tan()066ππαα⎛⎫⨯++⨯-+= ⎪⎝⎭，………………………2分解得 3sin()65πα+=，又因为π(0,)2α∈………………………3分∴2=66263<<πππππα++，而3sin()65πα+=∴662πππα<+<………………………5分（注：不交待些X 围的，要扣2分）∴4cos()65πα+=， ………………………6分所以2(2,10)-a -b =，因此|-2|=a b ． ………………………8分（2）由（1）知，∴3424sin 22sin cos =2=3665525αααπππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭。

江苏省苏州市部分学校2025届新高三暑期调研考试暨高考模拟考试数学试题一、单选题1．20240128︒所在的象限为（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．过原点的圆的圆心为()sin3,cos3-，则原点处与圆相切的直线的倾斜角为（ ） A ．3B ．π3-C ．3π62- D ．6π2- 3．已知函数()f x 的图像如图所示，则()f x 可能为（ ）A ．()42cos cos xf x x x =+B ．()4cos x xe ef x x x-+=+C ．()()62423cos x x f x x x-=-+D ．()62622cos x x f x x x-=-+4．已知正四棱锥S ABCD -的8条棱长均相等，O 为顶点S 在底面的射影，则（ ）A ．侧棱SA 与底面ABCD 所成角的大小为π3B ．设M ，N 为正方形ABCD 边上的两点，则二面角S MN O --的值大于π4C ．侧面SAB 与底面ABCD 所成角的大小为π4D ．设P 为正方形ABCD 上的点，则直线SP 与底面所成角的最大值为π45．命题0:p x 为3310x x --=的根，命题:q 若02cos x θ=，则1cos32θ=，则命题p 为命题q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件6．在实际生活中，我们会用铁片焊接到钢管上以保证管道正常使用．更极端地，我们可以用有限个铁片焊接到钢管上绕整个钢管侧面一周，其类似下面的数学概念．称3X ⊂R 为紧致的，如果对任意满足i i IX A ∈⊂⋃的开集族()3i A i I ⊂∈R ，都存在有限的J I ⊂，使得j j JX A ∈⊂⋃．称一个集合3A ⊂R 为开集，如果对其中任意一个点P ，都存在一个0δ>，使得以P 为球心，δ为半径的球的内部包含于A ．则以下集合中，紧致的集合的个数为（ ）①(){},,,,x y z x y z ∈R ，②(){}222,,,,,1x y z x y z x y z ∈++<R ，③(){},,0,,1x y z x y z ≤<.A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个7．奇函数()f x 于R 上连续，满足当0x ≠时，()()()()()()()272f x f x f x f x f x ''''+=，且()1632f =，若对任意使得直线()210x a y +-+=，220bx y +-=垂直的正数,a b ，都有：()()33118f x a b ≤+，则x 的最大可能值为（ ）A B C ．439441⎛⎫+ ⎝⎭D ．439441⎛⎫- ⎝⎭8．考虑从1到2024的所有正整数．我们作一个20242024⨯的数表T ，使得若i 为j 的倍数，则在(),i j 位置填入1，否则填为0，则据数表中的数之和最接近的数为（ ）（已知ln 20247.613≈）A ．13000B ．14000C ．15000D ．16000二、多选题9．1843年，Hamilton 在爱尔兰发现四元数．当时他正研究扩展复数到更高的维次（复数可视为平面上的点）．他不能做到三维空间的例子，但四维则造出四元数．根据哈密顿记述，他于10月16日跟妻子在都柏林的皇家运河上散步时突然想到的方程解．之后哈密顿立刻将此方程刻在Broughant Bridge ．对四元数i j k u a b c d =+++，,,,a b c d ∈R 的单位,,i j k ，其运算满足：222i j k 1===-，ij k =，jk i =，ki j =，ji k =-，kj i =-，ik j =-；记i j k u a b c d =---，()2222N u uu a b c d ==+++，u =11u u-=，记所有四元数构成的集合为V ，则以下说法中正确的有（ ）A ．集合{}1,i,j,k 的元素按乘法得到一个八元集合B ．若非零元,u v V ∈，则有：11u vu v --=C ．若,u v V ∈，则有：()()()N uv N u N v =D ．若非零元u V ∈，则有：12u u u -=三、单选题 10．考虑函数()1cos f x x=，记函数()()[]()m f mx g x f mx =，其中[]x 为x 的整数部分，定义(),,N m n y 为()m g x 在[)1,n n -上满足()1m g x y -=的根的个数，则以下说法正确的有（ ）A ．()m g x 的值域为(),-∞+∞B ．()511,,06i N i ==∑C ．()m g x 为周期函数当且仅当πm为有理数 D ．()e,,30N n ≠对0,1,...,99n =成立四、多选题11．在现实的经济生活中，投资者在面对不确定性时往往表现出风险厌恶的特征．当投资者的财富发生变化时，其用于投资风险资产的绝对量和相对量都将会发生变化．假设一名风险厌恶的投资者的效用函数()U W （W X ∈，X 为一连续区间）是可导且其导函数也可导的．若函数()()()()U W A W U W ''=-'在X 上单调递减，则称该投资者是递减绝对风险厌恶的；若函数()()()()W U W R W U W ''=-'在X 上单调递减，则称该投资者是递减相对风险厌恶的．则以下哪些效用函数对应的投资者是递减绝对风险厌恶的，但不是递减相对风险厌恶的？（ ）A ．()()()280,4U W W W W =-∈B ．()()()()2log 10,3U W W W =+∈C ．()())0,2U W W ∈D ．()()()232480,1U W W W W W =--∈五、填空题12．已知某工厂有三条流水线用于生产某产品，三条流水线的产量之比为2：1：2，根据抽样，有：则流水线2的均值为，流水线3的标准差为．13．数列{}n a 满足21n n n a pa qa ++=+，其中*,p q ∈N ，00a =，11a =．当1p =，2q =时，该数列的通项公式为，若该数列满足对任意的正整数,m n ，都有：()()gcd ,gcd ,m n m n a a a =，当2024p q +=时，符合条件的正整数对(),p q 的个数为．其中()gcd ,m n 为,m n 的最大公因数．14．已知抛物线()21:20C y px p =>的焦点为F ，满足若过点()1,1P -的直线交1C 于,U V ，则有UF VF UPVP=．在1C 上有三点构成等边三角形，其中心的轨迹记为2C ，则2C 的轨迹方程为，试给出一圆Γ，使得对2C 上任意一点T ，过点T 作Γ的两条切线分别交2C 于不同于T 的点,A B ，则AB 必为Γ的切线：．六、解答题15．双曲线()22122:1,0x y C a b a b -=>，12,F F 为两焦点，12,A A 为1C 的顶点，D 为1C 上不同于12,A A 的一点．(1)证明：12F DF ∠，12DF F ∠的角平分线的交点的轨迹为一对平行直线的一部分，并求出这对平行线的方程；(2)若平面上仅有1C 的曲线，没有坐标轴和坐标原点，请给出确定1C 的两个焦点的位置的方法并给出作长为,a b 的线段的方法．（叙述即可）16．在高中课本中，我们研究导数是在实数上研究的．实际上，求导（微分）是一个局部性质．那么我们能不能在某些范围内推广导数这一种局部性质．我们在高中课本中讲到：若()f x 在0x 附近连续，且若()()000limx xf x f x x x →--存在，则()()()0000lim x xf x f x f x x x →-'=-为0x 点处的导数．我们能不能将概念推广到复数域上呢？显然，我们是可以做到的．此时考虑函数()f z ，若()f z 在0z 附近连续（实际上可以考虑一个非常非常小的圆），且若()()000lim zzf z f z z z →--存在，则()()()0000lim z zf z f z f z z z →-'=-为0z 点处的导数．(1)按此定义，验证导数的除法公式()()()()()()()()2f z f z g z f z g z g z g z '⎛⎫''-=⎪ ⎪⎝⎭在复函数求导下仍然成立．(2)更一般地，若在某个区域D 上()f z 均可导，我们称()f z 为D 上解析的函数．考虑复函数()1z az cazτ-=-，其中a 为一个模长小于1的复数，c 为一个模长为1的复数．证明： ①该复函数将{}:1z z =∈<D C 上的点映为D 上的点，且将{}:1z z ∂=∈=D C 上的点映为∂D 上的点．②()z τ为D 上的解析函数．(3)已知：（ⅰ）若函数()f z 为D 上的解析函数，且值域在D 中，满足()()000f f '==，则有：()02f ''≤．（ⅱ）若函数()f z ，()g z 分别为D ，()(){}f D f z z D =∈上的解析函数，则()()g f z 为D 上的解析函数．此时若()f z 为D 上的解析函数，且值域在D 中，满足11022f f ⎛⎫⎛⎫'== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，证明：13229f ⎛⎫''≤ ⎪⎝⎭．17．将全体定义在R 上的函数的集合记为()F R ．对k ∈R ，(),a b F ∈R ，定义()F R 上的函数之间的加法和数乘运算：()()()()a b x a x b x +=+，()()()ka x k a x =⋅．已知():I F →R R为一个满足线性关系的映射，即()()()I a b I a I b +=+，()()I ka k I a =⋅，这里k ∈R ，(),a b F ∈R ，且满足对任意整数n ，有()cos 0I nx =，数列2sin sin 54cos n x nx a I x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，cos 54cos n nx b I x ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，其中1n ≥．(1)求{}n a ，{}n b 的递推公式；（不需要提供初值，递推公式可以由n a ，n b 组成）(2)若{}n a满足1sin b =1π0,2b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且{}n a 为单调递减的正项数列：①求{}n a ，{}n b 的通项公式；②记tan n n n c a b =，记n S 为n c 的前n 项和，证明：4n n n c S 为定值，并求出该定值．18．在ABC V 中，:AB AC =ABC V 的外接圆圆心为O ，内切圆I e 的圆心为I ，垂心为H ，V 为OH 的中点，A 在BC 上的投影为D ，以DV 为半径作V ⊙． (1)证明：V ⊙，I e 相切；(2)记V ⊙，I e 的切点为F ，直线AF 交BC 于点E ，G 为线段BC 上一点，满足3BE BG CE CG ⋅=⋅，证明：直线OI 和AG 的交点在BOC V 的外接圆上．19．设S 为空间直角坐标系E 中的一个非空闭凸集，即S ≠∅，且若,x y S ∈，则对任意[]0,1k ∈有()1kx k y S +-∈，且对任意的E y S ∈ð，都存在0ε>，使得{}E x E y x S ε∈-<⊆ð，这里a 为线段a 的长度．称T ⊂R 的下确界或最大下界为inf T ，定义为小于等于在T 中的所有数的最大实数，如果不存在这样的实数，则记为-∞．已知若D 为闭集，则E D ð为开集.(1)设点()0,1,0w ，(){}3,,00S x y xy =≤≤≤，证明：S 为非空闭凸集，并求inf x Sw x ∈-． (2)证明：对任意E y S ∈ð，存在唯一的一个x S ∈，使得inf x Sy x y x ∈-=-； (3)证明：对任意E y S ∈ð，存在非零向量p 以及实数0c >，使得对任意x S ∈，都有：p y p x c ⋅≥⋅+．。

苏州市2011届高三调研测试数 学一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。

不需要写出解答过程，请把答案直接填在答题卡相应位置上。

1.复数()212i +的共轭复数是 ▲ .2.若双曲线()22221,0x y a b a b-=>的离心率为2，则b a = ▲ .3.样本数据11,8,9,10,7的方差是 ▲ .4.函数()()[)()sin 0,0,0,2f x A x A ωϕωϕπ=+>>∈ 的图象如图所示，则ϕ= ▲ .5.已知集合{}2,5A =,在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ，则“以,,a b c 为边恰好构成三角形”的概率是 ▲ .6．设,E F 分别是R t A B C 的斜边BC 上的两个三等分点，已知3,6AB AC ==,则AE AF ⋅= ▲ .7.设,αβ为两个不重合的平面，,m n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题：①若,,m n m n αα⊥⊥⊄则n ∥α；②若,,,,m n n m αβαβα⊥⋂=⊂⊥则n β⊥； ③若,m n ⊥m ∥α，n ∥β，则αβ⊥；④若,,n m αβα⊂⊂与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直. 其中，所有真命题的序号是 ▲ . 8.已知11tan ,tan 73αβ==，且(),0,αβπ∈， 则2αβ+= ▲ .9.右图是一个算法的流程图，最后输出的S = ▲ . 10.已知圆22x y m +=与圆2268110x y x y ++--=相交， 则实数m 的取值范围为 ▲ .11.某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径40mm ，满盘时直径120mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，则满盘时卫生纸的总长度大约是 ▲ m （π取3.14，精确到1m ）. 12.已知数列{}n a 满足()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-,则数列 {}n a 的前100项的和为 ▲ .13.已知ABC △的三边长,,a b c 满足23,23b c a c a b +≤+≤，则ba的取值范围为 ▲ . 14.在平面直角坐标系xOy 中，点P 是第一象限内曲线31y x =-+上的一个动点，点P 处的切线与两个坐标轴交于,A B 两点,则AOB △的面积的最小值为 ▲ . 二、解答题：本大题共六小题，共计90分. 15.（本小题满分14分）在ABC △中，已知角,,A B C 的对边分别为,,a b c 且()()3a b c b c a bc +++-=. ⑴求A ;⑵若90,4B C c -=︒=，求b .（结果用根式表示）16. （本小题满分14分）正三棱柱111ABC A B C -中，已知1AB A A =,D 为1C C 的中点，O 为1A B 与1AB 的交点.⑴求证：1AB ⊥平面1A BD ;⑵若点E 为AO 的中点，求证：EC ∥平面1A BD .17. （本小题满分14分）有一隧道既是交通拥挤地段，又是事故多发地段.为了保证安全，交通部门规定，隧道内的车距()d m 正比于车速()/v km h 的平方与车身长()l m 的积，且车距不得小于一个车身长l （假设所有车身长均为l ）.而当车速为()60/km h 时，车距为1.44个车身长. ⑴求通过隧道的最低车速；⑵在交通繁忙时，应规定怎样的车速，可以使隧道在单位时段内通过的汽车数量Q 最多？ 18. （本小题满分16分）如图，椭圆22143x y +=的左焦点为F ，上顶点为A ， 过点A 作直线AF 的垂线分别交椭圆、x 轴于,B C 两点. ⑴若AB BC λ=,求实数λ的值；⑵设点P 为ACF △的外接圆上的任意一点， 当PAB △的面积最大时，求点P 的坐标. 19. （本小题满分16分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ，已知()*121111n nn N S S S n ++⋅⋅⋅+=∈+. ⑴求1S ,2S 及n S ；⑵设1,2n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭若对一切*n N ∈均有21116,63nk k b m m m =⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭∑，求实数m 的取值范围.20. （本小题满分16分） 设函数()()ln ln 0,0f x x a x a a =->>且为常数. ⑴当1k =时，判断函数()f x 的单调性，并加以证明； ⑵当0k =时，求证：()0f x >对一切0x >恒成立；⑶若0k <，且k 为常数，求证：()f x 的极小值是一个与a 无关的常数.加试题卷21.（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到定点()1,0F 的距离与定直线l ：1x =-的距离相等. ⑴求动点P 的轨迹E 的方程;⑵过点F 作倾斜角为45︒的直线m 交轨迹E 于点,A B ，求AOB △的面积.22. （本小题满分10分）一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X .⑴求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率； ⑵求X 的分布列及X 的数学期望. 23. （本小题满分10分）如图，在棱长为3的正方体1111ABCD A BC D -中，11A E CF ==. ⑴求两条异面直线1AC 与1D E 所成角的余弦值； ⑵求直线1AC 与平面1BED F 所成角的正弦值. 24．（本小题满分10分）设()1n f n n +=，()()*1,ng n n n N =+∈．⑴当1,2,3,4n =时，比较()f n 与()g n 的大小． ⑵根据⑴的结果猜测一个一般性结论，并加以证明． 【解答部分】1. 34i --【解析】()21214434.i i i +=+-=-+2.222,3,c b ba a a====3.2【解析】()()()()()222222119899910979 2.5s -+-+-+-+-==4.4π【解析】()2738,T =-=2,384A ππω===，()3sin 4f x x πϕ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， ()13sin 04f πϕ⎛⎫-=-+= ⎪⎝⎭，.4πϕ=5.58【解析】“在A 中可重复的依次取出三个数,,a b c ”的基本事件总数为328=，事件“以,,a b c 为边不能构成三角形”分别为()()()2,2,5,2,5,2,5,2,2,所以351.88P =-=6. 10【解析】()()AE AF AB BE AC CF ⋅=+⋅+()()222211331193226310.39AB BC AC BC AB AC BC BC ACAB BC ⎛⎫⎛⎫=+⋅- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅-+⋅-==+=7. ①②【解析】③错误，,αβ相交或平行；④错误，n 与m 可以垂直，不妨令n αβ=，则在β内存在.m n ⊥FE CB8. 4π【解析】()11173tan .26173παβαβ++==<+<-⨯1tan .36πββ=<< ()1123tan 21,2,2.1134123ππαβαβαβ++==+<+=-⨯ 9. 25【解析】...,5,2524,25;6,2425,a P S a P ==>===<输出的25.S =10. 1121m <<【解析】由222:68110C x y x y ++--=得该圆圆心坐标为()3,4-，半径为6，圆221:C x y m +=的圆心坐标在圆2C 内，因此两圆相切的可能性只有两种：圆1C 内切于圆2C 此时56,1;m ==圆2C 内切于圆1C ，此时56,121.m ==所以1121m <<. 11. 100【解析】()120401204023200020.1mm πππ-⨯+⨯⨯=，所以3200032100.mm m m ππ=≈12. 200【解析】由()*115132,37n n n a a a n N a +-==∈-得23521353133,1,327337a a ⨯-⨯-====⨯-⨯- 451132,317a ⨯-==⨯-则{}n a 是周期数列，()100231332200.S =++⨯+=13. 35,43⎛⎫⎪⎝⎭【解析】 通过23230,0b c a c a b a b c a c b b c a a b +≤⎧⎪+≤⎪⎪+>⎨+<⎪⎪+>⎪>>⎩求得可行域如图因此00b b a a -=-可以看作是点(),a b 到原点连线的斜率，3543b a <<。

参考公式： 样本数据12,,,n x x x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中11n i i x x n ==∑．一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分）1.已知集合{|1}A x x =≤，{|0}B x x =>，则AB = .2.设x R ∈，向量(,1),(3,2)x ==-a b 且⊥a b ，则x = ．3.设复数z 满足12zi i =+(i 为虚数单位），则z = .．4.若2x >，则12x x +-的最小值为 ． 【答案】45.样本数据18，16，15，16，20的方差2s ＝.6.已知双曲线221(0)y x m m-=>的离心率为2，则m 的值为 ___ ___．7.根据如图所示的伪代码，最后输出的i 的值为___ ___.【答案】 9T ←1 i ←3While T <10 T ←T +i i ←i +2 End While Print i8.已知函数nm y x =,其中,m n 是取自集合{1,2,3}的两个不同值，则该函数为偶函数的概率为_____．9.已知实数,x y 满足不等式组0,0,26,312x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩，则2z x y =+的最大值是 ．考点：简单的线性规划.10.已知函数2, 0,()2, 0x x f x x x x -≤⎧⎪=⎨->⎪⎩，则满足()1f x <的x 的取值范围是______．x11.如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，点,E F 分别在11,AA CC 上，且134AE AA =，113CF CC =，点,A C 到BD 的距离之比为3:2，则三棱锥E BCD -和F ABD -的体积比E BCD F ABDVV --=.【答案】32【解析】试题分析：点,A C 到BD 的距离之比为3:2，所以23BCD ABD S S ∆=∆，又直四棱柱1111ABCD A B C D -中，134AE AA =，113CF CC =，所以94AE CF =，于是1293313423BCD E BCD F ABDABD S AEV V S CF ∆--∆⋅==⨯=⋅.考点：直棱柱的定义、棱锥体积公式.12.已知P 是直线:40(0)l kx y k ++=>上一动点，,PA PB 是圆22:20C x y y +-=的两条切线，切点分别为,A B ．若四边形PACB 的最小面积为2，则k = ．13.已知函数()3sin()(0)6f x x πωω=->和()2cos(2)(0)g x x ϕϕπ=+<<的图象的对称轴完全相同，则()3g π的值是 ．14.已知各项均为正数的等比数列{}n a ，若4321228a a a a +--=，则872a a +的最小值为______.二、解答题 （本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（本小题满分14分）已知向量(cos ,sin )A A =-m ，(cos ,sin )B B =n ，cos2C ⋅=m n ，其中,,A B C 为ABC ∆的内角．（Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）若6AB =，且18CA CB ⋅=，求,AC BC 的长．所以cos cos2C C -=，即22cos cos 10C C +-=， ………………… 4分16.（本小题满分14分）如图，四棱锥P ABCD -的底面为矩形，AB =1BC =，,E F 分别是,AB PC的中点，DE PA ⊥．（Ⅰ）求证：EF平面PAD ；（Ⅱ）求证：平面PAC ⊥平面PDE ．【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析.【解析】（Ⅰ）要证线面平行，先找线线平行；（Ⅱ）要证线面垂直，先证线面垂直，于是需找出图形中的线线垂直关系，以方便于证明纯平面垂直. 试题分析：17.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意n N *∈满足2(1)n n n S a a =+，且0n a ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设11, 32 1 n n n a a n c n -+⎧⎪=⎨⨯+⎪⎩为奇数，为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T ．【答案】（Ⅰ）()n a n n N *=∈；（Ⅱ）2122222n n T n n +=++-；【解析】（Ⅰ）对条件2(1)n n n S a a =+进行变形得出数列满足的递推关系，进而再求通项18.（本小题满分16分）如图，某自来水公司要在公路两侧排水管，公路为东西方向，在路北侧沿直线1l 排，在路南侧沿直线2l 排，现要在矩形区域ABCD 内沿直线将1l 与2l 接通．已知60AB m =，80BC m =，公路两侧排管费用为每米1万元，穿过公路的EF 部分的排管费用为每米2万元，设EF 与AB 所成的小于90︒的角为α．（Ⅰ）求矩形区域ABCD 内的排管费用W 关于α的函数关系式；（Ⅱ）求排管的最小费用及相应的角α．【答案】（Ⅰ）60(sin 2)80cos W αα-=-；（Ⅱ）最小费用为80+α为6π.令()0f α'=得12sin 0α-=，即1sin 2α=，得6πα=． …………… 11分 列表19.（本小题满分16分） 已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的长轴两端点分别为,A B ，000(,)(0)P x y y >是椭圆上的动点，以AB 为一边在x 轴下方作矩形ABCD ，使(0)A D k b k =>，PD 交AB 于点E ，PC 交AB 于点F ．（Ⅰ）如图（1），若1k =，且P 为椭圆上顶点时，PCD ∆的面积为12，点O 到直线PD 的距离为65，求椭圆的方程；（Ⅱ）如图（2），若2k =，试证明：,,AE EF FB 成等比数列．【答案】 （Ⅰ）22194x y +=；（Ⅱ）详见解析.得200()(2)2()x a y b b x a -+=-，0202()2b a x a x y b -∴-=+，即002()2b a x FB y b-=+．…… 11分 又2200221x y a b +=，222220022004()4(2)(2)b a x a y AE FB y b y b -∴⋅==++. ………………… 13分而20.（本小题满分16分） 对于函数()f x ，若在定义域内存在实数x ，满足()()f x f x -=-，则称()f x 为“局部奇函数”． （Ⅰ）已知二次函数2()24()f x ax x a a R =+-∈，试判断()f x 是否为“局部奇函数”？并说明理由；（Ⅱ）若()2x f x m =+是定义在区间[1,1]-上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围；（Ⅲ）若12()423x x f x m m +=-+-为定义域R 上的“局部奇函数”，求实数m 的取值范围．方程()()0f x f x +-=即22(4)0a x -=有解2x =±，令22()228F t t mt m =-+-，1° 当(2)0F ≤，222280t mt m -+-=在[2,)+∞有解，由(2)0F ≤，即22440m m --≤，解得11m ≤≤ ……………… 13分。