当前位置：文档之家 › 第二章 同余

第二章 同余

  • 格式：ppt
  • 大小：534.00 KB
  • 文档页数：21

下载文档原格式

  / 21

合集下载

第章同余一

第章同余一

(2)若 a Z ,a, m 1 ，则在模m的意义下存在唯一的整 数 a1，使得 aa1 a1a 1mod m。
证பைடு நூலகம்：(1) 利用同余的定义及整除的性质。 (2) 先证存在性，再证唯一性。
我们把形如ax =xa ≡ 1(mod m)的整数称为a模m的逆元 （简称a的逆）。
推广的Euclid算法
定义2.1.1 设 n N , a1, a2 Z, ai qin ri ，其中 qi , ri Z , 0 ri n, i 1或2，如果 r1 r2 ，我们称
a1, a2 模n同余，这时记为 a1 a2 mod n 。
两个等价定义：
定义2.1.1` 设 n N ，如果 n | a2 a1 ，我们
余类的概念。
对于整数i
，记
i
=
{
x：x∈Z
，x
≡
i(mod
n)}
。
定义2.1.2
我们把每个集合
i
叫作模n 的一个同余类。
如果(i, n) = 1，这样的同余类叫模n 的缩同余类。
由定义易知： (1)模n至多有n个两两不同的同余类，它们的并集就是Z；
(2)由定理2.1.3(1)知，缩同余类 i 中每个整数均与n 互素；
(5)若n | m，则a ≡ b (mod n) 。特别地，若a b mod ml ，
l N ，则有a ≡ b (mod m) 。
定理2.1.3 设 m N , 0 i n, mi N , (1) 若a ≡ b(mod m)，则(a，m) = (b，m) ；
(2) 1 i n, a b mod mi a b modm1,
(2) n = 11时， 11,1,13, 3,15, 5, 5, 7,19, 9, 21 − 为模11 的完系，而对应的 11,1,13, 3,15, 5, 5, 7,19, 9, 21 − 是模11 的全部11 个同余类； 由于3 和11 互素，所以 3 11,3 1,3 13,3 3,3 15,3 5,3 ( 5),3 7,3 19,3 9,3 21 × ×× ×× ××− × × ×× 也为模11 的完系，对应的则有 3 11,3 1,3 13,3 3,3 15,3 5,3 ( 5),3 7,3 19,3 9,3 21 × ×× ×× ××− × × ×× 也是模11 的全部11 个同余类。 1,13, 3,15, 5, 5, 7,19, 9, 21 − 为模11 的缩系，对应的 1,13, 3,15, 5, 5, 7,19, 9, 21 − 是模11 的全部(11) 1 0 ϕ = 个缩同余类； 由于2 和11 互素，所以 2 1,2 13,2 3,2 15,2 5,2 ( 5),2 7,2 19,2 9,2 21 × ×××××−×××× 亦为模11 的缩系，对应的则有 2 1,2 13,2 3,2 15,2 5,2 ( 5),2 7,2 1
同余的基本概念和性质

同余的基本概念和性质


模相等的同余关系的运算性质
模相等的同余关系满足交换律和结合律 模相等的同余关系满足消去律 模相等的同余关系满足分配律 模相等的同余关系满足幂等律
同余的应用
同余在模方程中的应用
模方程的同余解法 同余在模方程中的应用实例 同余在模方程中的求解步骤 同余在模方程中的优势与局限性
同余在数论中的应用
整除理论：同余是整除理论中的重要概念，用于研究整数之间的除法关系。
● - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 ● - 同余关系具有传递性，即如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 ● - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的性质
模相等的同余关系
● 定义：如果两个整数a和b除以同一个正整数m的余数相同，则称a和b对模m同余，记作 a≡b(mod m)。
● 性质： - 同余关系具有反身性，即任意整数a都与自身对模m同余，即a≡a(mod m)。 - 同余关 系具有对称性，即如果a≡b(mod m)，则b≡a(mod m)。 - 同余关系具有传递性，即如果 a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。 - 对于任意整数a、b和c，若a≡b(mod m)且 b≡c(mod m)，则a≡c(mod m)。
同余的基本概念和性质
汇报人：XX
目录
同余的定义
同余的性质
01
02
同余的应用
同余的证明方法
03
04
同余的定义
什么是同余
同余的定义：两个整数除以某 个固定整数得到的余数相同， 则称这两个整数同余。
初等数论闵嗣鹤第四版答案

初等数论闵嗣鹤第四版答案

初等数论闵嗣鹤第四版答案介绍《初等数论闵嗣鹤第四版答案》是对闵嗣鹤所著《初等数论》第四版的习题答案进行了整理和解析。

《初等数论》是普通高校数学系本科生的一门基础课程，有助于培养学生的数学思维和推理能力。

通过学习该答案，学生可以更好地理解和掌握《初等数论》中的知识点，并提高解题能力。

目录1.第一章素数2.第二章同余3.第三章数论函数4.第四章域上的多项式5.第五章幂的剩余与解方程6.第六章整数的几何性质第一章素数1.1 什么是素数？简要解答：素数指的是只能被1和自身整除的正整数。

详细解答：一个大于1的正整数如果只能被1和它本身整除，则称之为素数，也叫质数。

反之，如果大于1的正整数可以被其他正整数整除，则称之为合数。

最小的素数是2。

1.2 素数的性质简要解答：素数有无限多个，并且一个数是否是素数可以通过试除法判断。

详细解答：欧几里得证明了素数有无限多个的结论。

对于给定的一个正整数n，如果在2到√n之间找不到小于n的因数，那么n就是素数。

这就是试除法。

试除法是素数判断的基础，但它的效率不高，因为需要逐个试除所有小于n的数。

1.3 素数的应用简要解答：素数在密码学和随机数生成中经常被使用。

详细解答：由于素数具有唯一分解性质，使得许多密码学算法中的关键操作依赖于素数。

比如RSA算法中，公钥和私钥的生成需要使用两个大素数。

此外，素数还在随机数生成和随机性检验中发挥重要作用。

第二章同余2.1 什么是同余？简要解答：同余是数论中的一种等价关系。

详细解答：a和b对模m同余，记作a≡b(mod m)，当且仅当a和b的差是m的倍数。

同余关系具有三个基本性质：反身性、对称性和传递性。

同余关系的性质使得其在数论中有广泛的应用。

2.2 同余定理简要解答：同余定理是一类用来计算同余的定理，包括欧拉定理、费马小定理等。

详细解答：欧拉定理是指当a和m互质时，a的φ(m)次方与1同余模m，其中φ(m)表示不大于m且与m互质的正整数的个数。

信息安全第2章 同余习题解答

信息安全第2章 同余习题解答


即 C6(mod 10)＝C16(mod 120)
∪C26(mod 120)∪C36 (mod 120)∪C46(mod 120)
∪C56 (mod 120)∪C66 (mod 120)∪C76(mod 120)
∪C86 (mod 120)∪C96 (mod 120)∪C106(mod 120)
∪C116 (mod 120) ∪C6 (mod 120)
C8＝ {c|c∈Z, 8≡c (mod 10)}＝{… , - 12, -2, 8, 18, 28, …}
C9＝ {c|c∈Z, 8≡c (mod 10)}＝{… , - 11, -1, 9, 19, 29, …} 由模 10 的不同剩余类可以看出，一个剩余类中的数或 全为偶数或全为奇数。所以对模 10 来说不存在满足(1) 或(2)的完全剩余系。
Cr (mod m) Cr (mod m1)等号成立当且仅当m1＝m。
进一步，设d＝ m/m1 则
Cr (modm1 )
1 j d
C
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
r jm1
(modm)
5. (i) 把剩余类1 (mod 5)写成模 15 的剩余类的并。
解：根据公式
Cr (modm1 )
1 j d
C
r jm1
C5＝ {c|c∈Z, 5≡c (mod 10)}＝{… , - 15, -5, 5, 15, 25, …}
模 10 的不同剩余类：m ＝10
C6＝ {c|c∈Z, 6≡c (mod 10)}＝{… , - 14, -4, 6, 16, 26, …}
C7＝ {c|c∈Z, 7≡c (mod 10)}＝{… , - 13, -3, 7, 17, 27, …}
初等数论第二章同余

初等数论第二章同余

10°三1,IO】三一3, IO?三一4, IO?三一1,…(mod13)
和
N = cin_Yan_2…①仇=a2ci[a()-10°+a5a4a3-103H。
注:一般地，在考虑使N = an_{an_2-被加除的余数时,首先 是求岀正整数匕使得
10*三 一1或1(modm),
再将N=ci叶\5_2…写成
x + y+ 1 = 9或18,
3-y + x = 0或llo
这样得到四个方程组：
j\ + y + l = a
\3- y+x = b
其中。取值9或18, b取值0或11。在0<x,y<9的条件下解这四个 方程组，得到x=8, y = 0, z = 6o
习题一
1.证明定理1和定理2。
2.证明定理4。
3.证明定理5中的结论（i ）—（iv）o
(v)由
ac=be(mod m)
得到m |c(a-b),再由(c,加)=1和鉛一章翕三节定理4得到m \a- b,即
a = b(mod m)o
证毕。
例1设N = anall_［- --aQ是整数N的十进制表示，即
N=ani0,?+an-ilO,/_1+ …+ailO+ao ,
则
(i )3|Nq3|£⑷；
x = y(modm),⑷三切(modm),0 < / <n,
则பைடு நூலகம்
工4兀’三工(mod力7)。⑵
i=0i=0
证明留作习题。
定理5下面的结论成立：
(i)a = b(mod m),d \ m, d> 0 a = b(modd)；
第二章同余与同余式

第二章同余与同余式

i 由同余性质，a （- 1 或mod11，或 ） a （ d (7 i m o ）
mod13). 所以 ，结论得证。

i 0
n

同余的算术应用2 ——弃九法
*证明了“弃九法”（弃九验算法）：把一个数的各 位数字相加，直到和是一个一位数（和是9，要减去 9得0），这个数就叫做原来数的弃九数．且一个数
假设p是合数, 令 p＝ab, a≠p.
由题设条件知, p|((p-1)!+l). 又因 a|p, 则有 a|((p-1)!+1). 但由于 a≤p-1可得 a|(p-1)!, 从而 a|(((p-1)!+1)-(p-1)!), 即a|l, 因而p只有因子1和p, 即p为素数.
同余关系及其在计算机领域的应用
可见S中ห้องสมุดไป่ตู้数可分成(p-3)/2对, 每一对数a和b, 满
足 abl(mod p), 故得2·3…(p-2) (mod p), 即可得
(p-1)! -1 (mod p).
定理 (威尔逊定理) p为素数 iff (p-l)!-1(mod p).
充分性: 若(p-1)! = -l (mod p), 则 p为素数.

如果等号两边的九余数不相等，那么这个算式肯 定不正确； 如果等号两边的九余数相等，那么还不能确定算 式是否正确，因为九余数只有0，1，2，…，8九种 情况，不同的数可能有相同的九余数。所以用弃九 法检验运算的正确性，只是一种粗略的检验。

弃九法
例2 求证 1997×57≠113828. 证明 由于19971＋9＋9＋78 (mod 9) 57 5＋7 3(mod 9) 113828 l+1+3+8+2+8 5(mod 9)
人教版高中数学 选修 4-6 第二章 同余与同余方程 第五节 拉格朗日插值和孙子定理

人教版高中数学 选修 4-6 第二章 同余与同余方程 第五节 拉格朗日插值和孙子定理


难点
建立拉格朗日插值公式和推导孙子定理.
孙子算经翻译：一个数除以3余2，除以5余3， 除以7余2，问这个数是几?
m=3x+2 x≡2（mod3）
相当于解方程组 m=5y+3 即
m=7z+2
x≡3（mod5）
x≡2（mod3）
同余方程组
为了能更方便的求解方程组我们将学
习拉格朗日插值法.
我们知道，在二次函数f（x）=ax2+bx+c中只要
三、孙子定理：
设a，b，c为两两互素的正整数，e，f，g为任 意整数，则同余方程组
x≡e（moda）
x≡f（modb），仅有一解： x≡g（modc） x≡ebcc1+facc2+gabc3（modabc），其中c1， c2，c3分别满足同余式：bcc1≡1（moda）
acc2 ≡1（modb）,abc3 ≡1（moda）的整数.
课堂小结
一、一次同余式组：
x≡e（moda） x≡f（modb）
x≡g（modc）
二、拉格朗日插值公式：
f(x)=e·p(x)+f ·q(x)+ g ·r(x)
x b x c x a x c x a x b p(x) ,q(x) ,r(x) a b a c b a b c c a c b
高考链接
1、(07年武汉二模)已知函数f（x）=x2+2x+alnx当
t≥1时, 不等式f(2t－1) ≥2f(t)－3恒成立, 求实数a的
取值范围. 证明:当t≥1时，f(2t－1)≥2f(t)－3 恒成立. t≥1恒成立. 即a[lnt2-ln（2t-1）] ≤2（t-1）2 即
第二章同余与同余式（可编辑）

第二章同余与同余式（可编辑）

练习计算ord11 3 首先计算φ 11 10，所以指数可能为1,2,5,10 从小到大依次试算 31?3, 32?9, 35?1 mod 11 ，所以ord11 3 5 根据这个结论可以推出 ord11 14 5 ord11 4 可以推出ord11 -3 ord11 -1 * ord11 3 10 所以-3?8是原根，原根一共φ 10 4个所以8?23，83?29 ?72?6， 87?221?21?2，89?227?27?7，即2、6、7、8是原根总结寻找一个原根的技巧: ordm a |φ m m, n 1， a, mn 1，则ordmn a [ordm a ,ordn a ] ab, m 1， ordm a ,ordm b 1则ordm ab ordm a ordm b 奇素数p，p-1 练习求模41的原根情况φ 11 40,现在只要考察x8, x20 从2开始,因为 28?10, 220?1 mod 41 ; 38?1, 320?-1 mod 41 ; 48?20, 420?1 mod 41 ; 58?18, 520?1 mod 41 ; 68?10, 620?-1 mod 41 ; 所以6是模41的原根练习求模41的原根情况因为:62?36, 63?-30?11, 64?25, 65?-55?27 mod 41 ; 66?39, 67?29, 68?10, 69?19,610?32, 611?28 mod 41 ; 612?4, 613?24, 614?21, 615?3, 616?18, 617?26 mod 41 ; 618?33, 619?34, 620?40,621?35,622?5, 623?30 mod 41 ; 624?16, 625?14,626?2,627?12, 628?31, 629?22 mod 41 ; 630?9, 631?13, 632?37,633?17,634?20, 635?38 mod 41 ; 636?23, 637?15, 638?8,639?7,640?1 mod 41 ; 练习求模41的原根情况所以:指数为1的元素有φ 1 1个,是1; 指数为2的元素有φ 2 1个,是620?40 mod 41 ; 指数为4的元素有φ 4 2个,是610?32, 630?9mod 41 ; 指数为5的元素有φ 5 4个,是10，18，16，37 指数为8的元素有φ 8 4个,是27，3，14，38 指数为10的元素有φ 10 4个,是25，4，31，23 指数为20的元素有φ 20 8个,是36，39，21，33，5，2，20，8 指数为40的元素有φ 40 16个,是6，11，29，19，28，24，26，34，35，30，12，22，13，17，15，7 总结指数的价值：幂化简原根的价值生成元：生成缩系所有元素 , gd d遍历φ p 的缩系φφ p 个，gd遍历模p的原根 g是原根的时候幂与计算幂后的值形成置换 a a2 a3 a4 a5 a6 3 2 6 4 5 1 总结原根的价值之二可以推出其余所有缩系元素的指数 ordm ai ordm a / ordm a ,i 可以根据幂对缩系元素按指数分类 a7 a8 a9 a10 7 3 6 1 a a2 a3 a4 a5 a6 2 4 8 5 10 9 练习计算同余方程xk ?1 mod 11 的解的个数首先计算φ 11 10，所以指数可能为1,2,5,10 k 1时，有φ 1 1个； k 2时，有φ2 1个 k 5时，有φ 5 4个； k 10时，有φ 10 4个考虑不周，k 3,4等其他数时呢 x ? 1 mod 11 是k等于任何值的解练习计算同余方程xk ?1 mod 11 的解的个数关键在于指数可能可以化简指数可取1,2,5,10, 指数为1时，有1个解，此时k可取1的倍数，即1-10任意数指数为2时，有1个解，此时k取2的倍数，即2,4,6,8,10 指数为5时，有4个解，此时k取5的倍数，即5,10 指数为10时，有4个解，此时k取10 综合：k 1,3,7,9有1个解，k 2,4,6,8有两个解，k 5有5个解，k 10有10个解练习进一步：xk ? 1 mod 11 各有哪些解？先找出每个指数对应的解，要计算指数先找出原根原根都是试找的，先看2 22?4, 25?-1, 210?1 mod 11 ,所以2是模11的原根所以生成缩系中的其它元素 22?4, 23?8, 24?5,25?10, 26?9 mod 11 27?7, 28?3, 29?6, 210?1 mod 11 所以原根有：2、8、7、6（幂与10互质）指数为5的有：4、5、9、3（幂与10最大公约2）指数为2的有：10 指数为1的有1 练习进一步：xk ? 1 mod 11 各有哪些解？所以原根有：2、8、7、6（幂与10互质）指数为5的有：4、5、9、3（幂与10最大公约2）指数为2的有：10 指数为1的有1 所以k 1、3、7、9时有解x?1 mod 11 k2、4、6、8时有解x?1 mod 11 和x?10 mod 11 k 5时有解x?1,3,4,5,9mod 11 K 10时有解x?1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 mod 11 2.6.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用费马小定理的应用费马小定理设p是素数, a与p互素, 则 ap-1≡1 mod p . 另一种形式是, 设p是素数, 则对任意的整数a, ap≡a mod p . 费马小定理提供了一种不用因子分解就能断定一个数是合数的新途径. 例如, 29?1≡4 mod 9 , 可以断定9是合数.2.6.6 初等数论在计算机科学技术中的几个应用产生均匀伪随机数的方法随机数与伪随机数线性同余法与乘同余法随机数：随机变量的观察值伪随机数：用计算机随机函数所产生的“随机数”并不随机，是伪随机数。

同余的运算法则

同余的运算法则

同余的运算法则全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：同余的概念最早出现在数论领域，是一种描述整数间的模运算关系的数学概念。

同余的运算法则涉及到模运算的一系列性质和规律，对于解决一些数论问题和密码学中的加密算法起着至关重要的作用。

本文将介绍同余的概念及其运算法则，并讨论其在数学和应用方面的重要性。

1. 同余的定义在数论中，我们通常使用符号“≡”表示同余关系。

如果两个整数a和b除以一个正整数m的余数相等，即a除以m和b除以m的余数相等，我们就说a与b关于模m同余，记为a≡b(mod m)。

简单来说，同余就是指两个数除以同一个数的余数相等。

12和22关于模5同余，因为12除以5的余数为2，22除以5的余数也为2，即12≡22(mod 5)。

2. 同余的运算法则在模运算中，同余有着一系列的运算法则。

我们可以根据这些法则来简化模运算的计算，并处理一些复杂的数论问题。

（1）同余的传递性如果a≡b(mod m)且b≡c(mod m)，那么可以推出a≡c(mod m)。

这就是同余关系的传递性，即如果两个数与同一个模同余，那么它们之间也是同余的。

举例来说，如果5≡15(mod 10)且15≡25(mod 10)，那么可以推出5≡25(mod 10)。

（2）同余的对称性和反对称性（3）同余的加法和乘法性质对于同余关系来说，加法和乘法都具有良好的性质。

（4）同余的幂运算性质如果a≡b(mod m)，那么对于任意正整数n，有a^n≡b^n(mod m)。

即同余数的幂运算后依然同余。

（5）同余的逆元如果a在模m下存在逆元，即存在整数b使得ab≡1(mod m)，那么我们称b是a的逆元。

对于素数模m来说，任意整数a在模m下都有逆元。

同余的概念在数论和密码学领域有着广泛的应用。

（1）同余在数论中的应用在数论中，同余可以用来证明一些整数性质和解决一些数论问题。

在证明费马小定理和欧拉定理等定理时就会用到同余的性质。

在密码学中，同余的概念有着重要的应用。

同余定理-

同余定理-

同余定理同余定理是关于模运算的一个重要理论，它能解决很多与模运算相关的问题。

在数学和计算机科学中，同余定理经常被用于计算和密码学中。

同余定义和符号同余是一个抽象的数学概念，用来描述两个整数之间的关系。

当两个整数除以另一个整数得到的余数相同时，它们被称为同余的。

在数学符号上，同余用符号≡表示，如下所示：a ≡b (mod m)其中a、b、m是整数，称为同余方程，其中mod表示“模”。

实际上，同余定理是一个等式，它表示：对于给定的模数m，如果两个整数a和b满足模数m时的余数相同（即a mod m = b mod m），那么这两个整数就是同余的。

例如，我们可以把它简写成a = b (mod m)，这意味着a和b在模m下有相同的余数。

同余定理的三种形式同余定理有三种形式：基本形式、加法形式和乘法形式。

每种形式都有其独特的特点和用途。

1. 基本形式最常见的同余定理形式是基本形式，也被称为恒等式。

它表示：如果a和b在模m下有相同的余数，那么它们是同余的。

a≡b(mod m) ⇔ a mod m = b mod m2. 加法形式加法形式表示：如果a、b、c在模m下同余，那么a+b、b+c、a+c在模m下也同余。

如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m)，则a + c ≡b + d (mod m)证明：根据同余定义，我们有：a ≡b (mod m)那么，我们可以将a和b分别表示出来：a =b + km其中k是一个整数。

同样地，我们也有：c ≡d (mod m)c =d + lm将它们相加，得到：a + c =b + km + d + lm = b + d + (k + l)m 将其转化为同余符号，得到：a + c ≡b + d (mod m)这证明了加法形式的同余定理。

3. 乘法形式乘法形式表示：如果a、b、c在模m下同余，那么ab和bc在模m下也同余。

如果 a ≡ b (mod m) 且 c ≡ d (mod m)，则ac ≡ bd (mod m)证明：根据同余定义，我们有：a ≡b (mod m)那么，我们可以将a和b分别表示出来：a =b + km其中k是一个整数。

初等数论_第二章__同_余教案

初等数论_第二章__同_余教案

由于xi的选取是任意的，所以模m的完全剩余系有无穷多个，通常称
(ⅰ){0, 1, 2,,m1}是模m的最小非负完全剩余系；
(ⅱ) 或
是模m的绝对最小完全剩余系。
例如，集合{0, 6, 7, 13, 24}是模5的一个完全剩余系，集合{0, 1, 2, 3, 4}是模5的最小非负完全剩余系。
定理1整数集合A是模m的完全剩余系的充要条件是
证明过程。
定理1下面的三个叙述是等价的：
(ⅰ)ab(modm)；
(ⅱ)存在整数q，使得a=bqm；
(ⅲ)mab。
证明留作习题。
对给定的整数b和模m，所有对模m同余b的整数的集合是
{b+km}）（k为整数）。
根据带余除法，a=q1mr，0r<m。全体整数按整数m为标准分为m类。
定理2同余具有下面的性质：
解由
42n+13n+2=442n93n=416n93n
43n93n= 133n0 (mod 13)
得证。
。
例6设p是素数，a是整数，则由a21(modp)可以推出
a1或a1(modp)。
解由
a21(modp)pa21 = (a1)(a1)，
所以必是
pa1或pa1，
即a1(modp)或a1(modp)。
[7(1)164]26=(74)26
=326= 3(35)53(7)5=37(72)2
2129(mod 50)，
即所求的余数是29。
例3设n的十进制表示是 ，若792n，求x，y，z。
解因为792 =8911，故
792n8n，9n及11n。
我们有
8n8 z= 6，
以及
9n913xy45z= 19xy9xy1，(5)

人教版高中数学 选修 4-6 第二章 同余与同余方程 第三节 费马小定理和欧拉定理

知识回顾
剩余类定理 若a,b,c为任意3个整数，m为正整数，且 (m,c)=1,则当ac≡bc(modm)时，有a≡b(modm) 同余定理
如果a,b,c,d是四个整数，且a≡b(mod
m),c≡d(mod m),则有ac≡bd(mod m).
导入新课
上一讲我们讲了剩余类，剩余环
并知道了它的运算法则.
S = {a×x1 （m od n ）,a×x2 （m od n ）,. . .,a×xφ n（ ）} m od n
则 Zn = S . ① 因为 a 与 n 互质， xi (1 ≤ i ≤ φ(n)) 与 n 互质， 所 以 a * xi 与 n 互质，所以 a * xi mod n ∈ Zn . ② 若 i ≠ j ， 那么 xi ≠ xj，且由 a, n互质可得 xi mod n ≠ a * xj mod n （消去律）. a*
拓展
我们看到在费马小定理中针对的是m为素
数的情况，对于其它数能否找到类似的性质
呢，这就是下面要讲的欧拉定理.
欧拉定理 设m为正整数，ɑ为
任意整数，且（ɑ， m ）=1，则
a
φ m
1 modm , 其中φ m 表示1， 2，， ... m
中与m互素的正整数的个数.
证明：
( 1 ) 令 Z n = {x1,x2 ,. . . ,xφ n }
证明
设 得 An= a,2a,3a,4a…… (p-1)a 假设
An中有2项ma, na 被p除以后余数是相同
ma=na (mod p) 即a(m-n)=0(mod p)
因为 a和p互质,
n=0(mod p) 的倍数.
所以 m又因为 m,n属于集 推出 和假设产生矛盾.

信息安全数学基础 第二章 同余


性质2.2
设 m N , a b(mod m), c d (mod m), k Z
（1）ax cy bx dy(mod m)特别的： k b k (mod m) a


（2）ac bd (mod m) 特别的： ak bk(mod m) 以及： n N , a n b n (mod m)
2.2 同余的应用

凯撒密码 Caesar Cipher

移位密码、加法密码
A B C D E F Z A B C D E F W X Y Z A B C
X Y Z

A B C D E F
y≡x+3(mod 26)

仿射密码 Affine Cipher

y≡ax+b(mod26)

尝试解密：casear
2.3 剩余类（系） Residue

同余是一种等价关系 =〉可以借助同余实现 划分
m N , a Z ，令Ca={c| c Z , a c(mod m)}

定理2-1

(1)任意整数都包含于一个Cr中，0≤r≤m-1
(2)Ca=Cb <=> a b(mod m)
10002k+1≡-1(mod7), 10002k≡1(mod7) 若n=am1000m+am-11000m-1+…+a11000+a0
对于637592≡692-637=55=6(mod7)
2.1 同余的基本概念与性质

扩展：怎样快速判断一个数可以被19整除？
提示：凑成19的倍数
2位数字？
对于p=3，若p≡1(mod3)，则p+14≡0(mod3)，排除 若p≡2(mod3)，则p+10≡0(mod3)，排除
  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定理1 设m是一个正整数,a , b是两个整数,则 a ≡ b (mod m ) 的充要条件是存在整数k , 使得a = b + km .
3
定理 2 模m同余是等价关系, 即 (1) 对任一整数a , a ≡ a (mod m ); (3)若a ≡ b (mod m ), b ≡ c (mod m ), 则a ≡ c (mod m ) (传递性 ) (自反性 ) (2)若a ≡ b (mod m ), 则b ≡ a (mod m ); (对称性 )
即:欧拉( Euler ) 数ϕ ( x )是定义在正整数上的 函 函数,ϕ ( m )的值等于0,1, 2,L , m − 1中与m互素的数的 个 数.
12
二、简化剩余系
定义 2 如果模m的剩余类里面的数与m互素,就 .(又 把这个类叫做一个与模m互素的剩余类.(又称简化 剩余类)
定义3 设m是一个正整数,在模m的所有不同简 化剩余类中,从每个类任取一个数组成的整数的集合, 叫做模m的一个简化剩余系.
证 因(e , ϕ ( n)) = 1, 则存在整数d ,1 ≤ d < ϕ ( n), 使得
ed ≡ 1 (mod ϕ ( n))
由2.3定理4 2.3定理4 定理
19
于是存在正整数k , 使得 ed = 1 + kϕ ( n). 因(a , pq ) = 1, 所以(a , p ) = 1,由Euler 定理
定 理13 设 m 是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 则 ( a , m ) = ( b , m ). 因 而 若 d 能 整 除 m 及 a, b二 者 之 一, 则 d 必 能 整 除 a, b 中的另一个.
7
证明同余式的一般方法(基本的方法):
运算后 把同余式译为等式 又将等式译为同余式. →
aϕ ( p ) ≡ 1 (mod p ) ⇒ a kϕ ( p )ϕ ( q ) ≡ 1 (mod p ) 于是 即 同理 于是 ⇒ a kϕ ( n ) ≡ 1 (mod p ) a 1+ kϕ ( n ) ≡ a (mod p ) a ed ≡ a (mod p ) a ed ≡ a (mod q ) a ed ≡ a (mod n) a ed ≡ a (mod[ p, q ])
10
定理
4
若( m1 , m2 ) = 1, m1 > 0, m2 > 0, 而x1 , x2
分别遍历模m1 , m2的完全剩余系,则m2 x1 + m1 x2 遍 历模m1 m2的完全剩余系.
11
2.3 简化剩余系与欧拉函数
一、欧拉(Euler)函数 欧拉 函数
定义1 设m是一个正整数,则m个整数0,1, 2,L , m − 1中与m互素的整数的个数,记作ϕ ( m ).通常称为 欧拉( Euler )函数.
14
,若 定理3 设m是一个正整数,(a , m ) = 1,若x 遍历模 m的简化剩余系,则ax也遍历模m的简化剩余系.
,则 定理4 设m是一个正整数,(a , m ) = 1,则存在整 数a ',1 ≤ a ' < m , 使得 aa ' ≡ 1 (mod m )
定理 设( m1 , m2 ) = 1, m1 > 0, m2 > 0, 若x1 , x2 分别遍历m1 , m2的简化剩余系,则m2 x1 + m1 x2 遍历 模m1 m2的简化剩余系.
5
定理9 设m是正整数,a ≡ b (mod m ), k > 0, 则 ak ≡ bk (mod mk )
定 理10 设 m是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 如 果 d 是 a, b及 m的 任 一 公 因 数,则 a b m (mod ). ≡ d d d
定 理11 设 m是 正 整 数 , a ≡ b (mod m ), 如 果 d | m, d >0, 则 a ≡ b (mod d ).
18
例5 设p, q是两个不同的奇素数, n = pq , (a , pq ) = 1, 如果整数e满足1 < e < ϕ ( n),(e , ϕ ( n)) = 1, 那么存在整 数d ,1 ≤ d < ϕ ( n), 使得 ed ≡ 1 (mod ϕ ( n)) 而且对于整数a e ≡ c (mod n),1 ≤ c < n, 有 c d ≡ a (mod n).
定理3 设m是正整数,(a , m ) = 1, b是任意整数, 若x 遍历模m的一个完全剩余系, 则ax + b也遍历模 m的一个完全剩余系. 的
即 : 若a0 , a1 ,L , am -1是模m的完全剩余系,则 aa0 + b，aa1 + b， ，aam −1 + b L 也是模m的完全剩余系.
定理1 设m是一个正整数, 则 (i) 任一整数必包含在一个C r中,0 ≤ r ≤ m − 1 ; (ii) C a = C b ⇔ a ≡ b (mod m ); (iii) C a I C b = φ ⇔ a ≡ b (mod m ); /
9
定理 2 设m是一个正整数, 则m个整数r0 , r1 ,L , rm −1 为模m的一个完全剩余系的充要条件是ri ≡ rj (mod m ), / i ≠ j , i , j = 0,1,L , m − 1.
特别地, n = p为素数时, ( p) = p − 1. 当 ϕ
16
2.4 欧拉定理 费马小定理
(a 定理1( Euler 定理 ) 设m是大于1的整数， , m ) = 1, 则 a
ϕ (m)
≡ 1 (mod m ).
分析:因ϕ ( m )等于模m的简化剩余系所含元个数,
又若r1 , r2 ,L , rϕ ( m ) 是模m的简化剩余系, 则ar1 , ar2 ,L , arϕ ( m )
k k −1
+ L + a1 10 + a0 , 0 ≤ ai < 10
则 3 | n ⇔ 3 | a k + a k − 1 + L + a0 , 而 9 | n ⇔ 9 | a k + a k − 1 + L + a0 .
定 理 8 设 m是 一 个 正 整 数 , ad ≡ bd (mod m ), 如 果( d , m ) = 1, 则 a ≡ b (mod m )
4
定理5 若 x ≡ y (mod m ), ai ≡ bi (mod m ), i = 0,1, 2,L , k , 则 a0 + a1 x + L + ak x k ≡ b0 + b1 y + L + bk y k (mod m )
定理6 设整数n有十进制表示式: n = ak 10 + ak −1 10
由欧拉函数的定义知,模m的简化剩余系里共含
ϕ( m )个数. )个
定理2 设m是一个正整数, ( ri , m ) = 1, i = 1, 2, 3, L , ϕ ( m ), 且ri ≡ rj (mod m ) ( i ≠ j ), 则r1 , r2 ,L rϕ ( m )是模 / m的一个简化剩余系.
定理1 设r1 , r2 是同一模m剩余类的两个剩余, 则(r1 ,m ) = 1 ⇔ ( r2 , m ) = 1.
13 此定理说明:模m的简化剩余类中的数都与m互素.
为此,只需在模m的最小非负完全剩余系0,1, 2,L , m − 1里找出与m互素的所有整数,则这些整 数的全体就构成模m的一个简化剩余系.
因[p,q]=pq=n
20
因此,由 c ≡ a (mod n), 可得
e
c d ≡ (a e )d ≡ a ed ≡ a (mod n)
定理 3(Wilson定理 ) 设p是一个素数, 则 ( p − 1) ! ≡ −1 (mod p )
21
定 理 3 整 数 a , b模 m同 余 的 充 要 条 件 是 a , b被 m除 m除 的 余 数 相 同.
定 理 4 设 m 是 一 个 正 整 数 ， a1 , a 2 , b1 , b2 是 整 数 . 若 a1 ≡ b1 (mod m ), a 2 ≡ b2 (mod m ), 则 (i) a1 ± a 2 ≡ b1 ± b2 (mod m ) (ii) a1 a 2 ≡ b1 b2 (mod m )
15
5
四、欧拉函数的性质及计算方法
Байду номын сангаас
定理6 (欧拉函数的性质) 若( m , n) = 1, 则 ϕ(mn) = ϕ ( m )ϕ ( n).
定理5 设正整数n的标准分解式为
α α α n = p1 1 p2 2 L pk k
则
1 1 1 ϕ ( n) = n(1 − )(1 − )L (1 − ) p1 p2 pk
第二章 同余
1
本章主要内容
同余
基本性 质
剩余 类
简 化剩余类 完全剩余系 简 化剩余系
欧 拉定理
费马定理
欧拉函数及其计算方法
2
2.1 同余的概念及其基本性质
一、基本概念
定义1 给定一个正整数m , 如果对于整数a , b 有m | a − b, 则a，b叫做模m同余,记作 a ≡ b (mod m ), 否则, 叫做模m不同余, 记作 a ≡ b (mod m ). /
其 理论 根据 是 :
a ≡ b (mod m ) ⇔ m | a − b
“ 注: 同余”是大自然的循环现象,研究同余的优点 在于:化无限为有限.
8
2.2 剩余类及完全剩余系
定义1 C a = {c | a ≡ c , c ∈ Z }叫做模 m 的a 的 剩余类 .一个剩余 类中的任一数叫做 该类的剩余 或代表元.若r0 , r1 ,L , rm −1是m个整数, 并且其中任 何两个数都不在同一个剩余类里, 则r0 , r1 ,L , rm −1 叫做模 m 的一个完全剩余系.