高速轴向运动梁横向受迫振动的稳态分析
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轴向运动悬臂梁系统阻尼与边界条件试验页数:6
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轴向运动简支-固支梁的横向振动和稳定性
轴向运动简支—固支梁的横向振动和稳定性!TRANSVERSE VIBRATION AND STABI ITY OF AN A IA Y MOVING BEAM WITH PINNED AND FI ED ENDS李晓军!!陈立群（上海应用数学和力学研究所，上海大学力学系，上海200072）Ll Xiaojun CHEN Lioun（Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Department of Mechanics，Shanghai Uniuersity，Shanghai200072，China）摘要研究一端简支一端固支轴向运动梁的横向振动和稳定性。
提出在给定边界条件下确定一匀速运动梁固有频率和模态函数的方法。
当轴向运动速度在其常平均值附近作简谐波动时，应用多尺度法给出轴向变速运动梁参数共振时的不稳定条件。
用数值仿真说明相关参数对固有频率和不稳定边界的影响。
关键词轴向运动梁横向振动固有频率模态函数多尺度法稳定性中图分类号O326O343.9Abstract Vibration and stabiIity are investigated for an axiaIIy moving beam constrained by a pinned end and a fixed end.A scheme is proposed to derive naturaI freguencies and modaI functions of a beam under the given boundary conditions and moving axiaIIy at a constant speed.When the axiaI speed varies harmonicaIIy about a constant mean one，the method of muItipIe scaIes is appIied to the axiaIIy moving beam to determine the instabiIity boundary due to parametric resonance.NumericaI simuIations show the effects of reIated parameters on the naturaI freguencies and the instabiIity boundaries.Key words Axially moving beam；Transverse vibration；Natural freguency；Modal function；The method of multiple scales；StabilityCorresponding author：CHEN Lioun，E-mail：lgchen@，Tel：+86-21-66134972，Fax：+86-21-56553692 The project supported by the NationaI NaturaI Science Foundation of China（No.10472060），and the NaturaI Science Foundation of Shanghai City（No.04ZR14058）and Shanghai Leading DiscipIine Project（No.Y0103），China.Manuscript received20050113，in revised form20050308.1引言多种工程系统如传送带和带锯可以模型化为轴向运动梁，对于轴向运动梁横向振动的研究将有助于改进该类设备的设计与应用。
轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真
研究方法主要包括理论建模、数值模拟和实验验证。 首先，基于弹性理论和运动学原理，建立轴向运动梁 横向非线性振动的数学模型；其次，利用数值模拟方 法求解模型的非线性方程，分析系统的动态特性和演 化过程；最后，通过实验验证模型的准确性和有效性 。同时，本研究还将综合运用理论分析、数值模拟和 实验验证等多种手段，全面揭示轴向运动梁横向非线 性振动的内在机制和规律。
数值模拟与结果分析
数值模拟流程
01
根据建立的模型，利用数值方法进行模拟计算，得到梁的振动
响应。
结果分析
02
对模拟结果进行分析，研究轴向运动梁的振动特性、模态特性
、稳定性等。
结果验证
03
将数值模拟结果与实验结果进行对比，验证模型的准确性和有
效性。
04
轴向运动梁横向非线性振动优 化控制
控制策略与方法
目前，国内外学者对轴向运动梁的横向振动问题进行了广泛研究，取得了一定的研究成果。但是，由于轴向运动梁的横向振 动涉及到多个物理场和复杂的非线性因素，现有的研究方法仍存在一定的局限性，无法全面揭示其内在机制和规律。因此， 开展轴向运动梁横向非线性振动建模、分析和仿真研究具有重要的理论意义和实际应用价值。
分岔和混沌
分岔是指系统在某些参数变化时，其动态行为发生突然改变的现象；混沌则是 指系统对初始条件极为敏感，微小的变化可能导致完全不同的结果。
轴向运动梁横向非线性振动模型建立
轴向运动梁模型
轴向运动梁是指在轴向方向上运动的梁，其横向振动受到轴向运动 的影响。
非线性振动模型
建立轴向运动梁横向非线性振动模型需要考虑轴向运动、材料非线 性、几何非线性和外部激励等因素。
线性化模型局限性
由于忽略了非线性效应，线性化模型在描述大振幅振 动时精度较低。
传递矩阵法分析轴向受力智能梁的振动和稳定性_郭兰满
2
D 1( x ) ( EI ) 1
Ui = Ui ( x - a i - 1) = K i1 K i 2 B ( x - a i - 1)
2 2
K i 1K i 2 A ( x - a i - 1) C i ( x - a i - 1) D i ( x - ai - 1 ) ( E I) i ( E I) i
第 31 卷第 1 期 2011 年 2 月
振动、 测试与诊断
Jour nal of Vibration, M easurem ent & Diag no sis
V ol. 31 N o . 1 F eb. 2011
传递矩阵法分析轴向受力智能梁的振动和稳定性
郭兰满, 黄迪山, 朱晓锦
( 上海大学机电工程与自动化学院 上海 , 200072)
*
1 N= 2 2 K 1 + K 2 cos( K 1x ) ch( K 2x ) A = A( x) = N + 2 2 K 1 K 2 B = B( x) = N
1x ) 2x ) sin( K sh( K + 3 3 K 1 K 2
M(L)
Q( L )
T
= S ・ ( 11)
Dn ( EI ) n mn
*
1 - co sr x 2 r x - sinr x 2 ;e = 3 ; r r sin rx ; e4 = cos rx ; e 5 = r sin r x 。 ( 21) r
1K 2A K 2 2 2 2 - K 1K 2D 1K 2B K 2 2 2 2 K 1K 2A
Y( x)
H ( x)
M( x )
Q( x )
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
D 1( x ) ( EI ) 1
Ui = Ui ( x - a i - 1) = K i1 K i 2 B ( x - a i - 1)
2 2
K i 1K i 2 A ( x - a i - 1) C i ( x - a i - 1) D i ( x - ai - 1 ) ( E I) i ( E I) i
第 31 卷第 1 期 2011 年 2 月
振动、 测试与诊断
Jour nal of Vibration, M easurem ent & Diag no sis
V ol. 31 N o . 1 F eb. 2011
传递矩阵法分析轴向受力智能梁的振动和稳定性
郭兰满, 黄迪山, 朱晓锦
( 上海大学机电工程与自动化学院 上海 , 200072)
*
1 N= 2 2 K 1 + K 2 cos( K 1x ) ch( K 2x ) A = A( x) = N + 2 2 K 1 K 2 B = B( x) = N
1x ) 2x ) sin( K sh( K + 3 3 K 1 K 2
M(L)
Q( L )
T
= S ・ ( 11)
Dn ( EI ) n mn
*
1 - co sr x 2 r x - sinr x 2 ;e = 3 ; r r sin rx ; e4 = cos rx ; e 5 = r sin r x 。 ( 21) r
1K 2A K 2 2 2 2 - K 1K 2D 1K 2B K 2 2 2 2 K 1K 2A
Y( x)
H ( x)
M( x )
Q( x )
Tቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
振动力学(梁的横向振动)分析
EI 2 2 求出后得到固有频率 i i a i , (i 1, 2 ) A
Φ( x) C1 sin x C2 cos x C3 sh x C4 ch x 振型为
sin l sh l C sin x sh x (cos x ch x) ch l cos l
u ( x, t ) Φ( x)q(t )
代入方程得到
a x2
2 2
d Φ( x) d q(t ) q(t ) dx2 Φ( x) dt 2
2 2
写为
2 d 2Φ( x) d 2 q(t ) 2 2 2 x dx 2 dt a 2 Φ ( x) q(t )
l
l d d 2 i d d i j EI EI dx j 2 2 0 dx dx dx dx 0
2
l
d d i d i d j j EI EI 2 2 dx 0 dx dx 0 dx
2 2
d d i EI 2 0 i dx 2 dx
l 2 2
l d i 2 dx EI dx Mi i 2 0 dx
弹性体的振动
梁在激励力作用下的响应
和一维波动方程一样，用振型叠加法求响应
u ( x, t ) qi (t )Φ ( x)
u ( x, t ) u ( x, t ) EI k0 2 x x x l
2
x l
3u ( x, t ) EI x3
ku (l , t )
x l
弹性体的振动
轴向运动功能梯度梁的横向振动
轴向运动功能梯度梁的横向振动
姚晓莎;王忠民;赵凤群
【期刊名称】《机械工程学报》
【年(卷),期】2013(49)23
【摘要】新型非均匀复合材料,功能梯度材料具有防止脱层和减缓热应力等优良性能,将其应用于功能梯度梁的结构有着非常重要的工程应用价值。
基于Euler-Bernoulli梁理论和Hamilton原理,建立轴向运动功能梯度梁横向自由振动的运动微分方程,其中假设功能梯度梁的材料特性沿梁厚度方向按各组分材料体积分数的幂函数连续变化;再对运动微分方程和边界条件进行量纲一处理,采用微分求积法对其进行离散化,导出系统的广义复特征方程,然后计算分析轴向运动功能梯度简支梁横向振动复频率的实部和虚部随量纲一轴向运动速度、梯度指标等参数的变化情况,并讨论量纲一轴向运动速度和梯度指标对功能梯度梁的横向振动特性以及失稳形式的影响。
【总页数】6页(P117-122)
【关键词】功能梯度材料;轴向运动梁;横向振动;微分求积法
【作者】姚晓莎;王忠民;赵凤群
【作者单位】西安理工大学土木建筑工程学院;西安理工大学理学院
【正文语种】中文
【中图分类】O326
【相关文献】
1.轴向运动功能梯度粘弹性梁横向振动的稳定性分析 [J], 刘金建;蔡改改;谢锋;黄伟国;李成
2.纵向与横向振动耦合作用下轴向运动梁的非线性振动研究 [J], 黄建亮; 陈树辉
3.纵向与横向振动耦合作用下轴向运动梁的非线性振动研究 [J], 黄建亮; 陈树辉
4.中间支撑轴向运动微梁的横向振动研究 [J], 刘慧贤;随岁寒
5.磁场作用下轴向运动功能梯度Timoshenko梁的振动特性 [J], 陈喜;唐有绮;柳爽
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桥梁在车辆荷载作用下振动横向分布机理
桥梁在车辆荷载作用下振动横向分布机理探究【摘要】随着国民经济的发展，公路桥梁上行驶车辆的轴重加重、速度提高，车流密度也日渐提高。
然而简支板梁桥又是小跨径桥梁最常用的桥型之一，但是桥面板的铰缝混凝土可能在车辆荷载作用下完全开裂或脱落，造成梁板之间的横向联系破坏，而且车辆在桥上行驶都会产生冲击影响，而冲击影响一般都是用冲击系数简化的方法。
实际中车辆荷载对中小型桥梁产生的振动效应对桥梁的影响也是不可忽略的，因此本文对桥梁振动在各个梁上面横向分布情况提出探究的初步看法。
随着国民经济的发展，对交通的需求日益提高，众多的高速公路及城市快速干道相继修建。
公路桥梁上行驶车辆的轴重加重、速度提高，车流密度也相应提高。
同时简支板梁桥[1]又是小跨径桥梁最常用的桥型之一。
板梁桥的主要缺点是跨径不宜过大。
跨径超过一定限制时，截面显著增大，从而导致自重过大，不经济。
此外，装配式板桥是通过铰缝传递横向荷载的，整体性差，因而在通过特殊重载车辆时无超载挖潜能力。
特别是在车辆动载作用下，桥面板的铰缝混凝土可能完全开裂或脱落，造成梁板之间的横向联系破坏，而且车辆在桥上行驶都会产生冲击影响，而冲击影响一般都是用冲击系数简化的方法，即将车辆荷载的动力作用影响用车辆的静力乘以冲击系数来表示。
但是冲击系数受很多的因素影响，而且车辆荷载对中小型桥梁产生的振动效应对桥梁的影响也是不可忽略的，因此，移动车辆荷载引起的简支板梁桥动力效应越来越被工程技术界所关注。
一、车桥振动的研究现状及发展动态车辆以一定的速度通过桥梁，桥梁受到车辆荷载的激励会产生振动，反过来桥梁的振动对于车辆来说也是一种反激励，因此车辆和桥梁的振动是一个相互影响，相互耦合的过程，我们称之为车桥耦合振动问题[2]。
关于车辆通过桥梁时的振动研究己有一百多年的历史，起源于铁路桥梁。
早在1825年[3]，世界上建成第一座铁路桥梁以来，科技工作者就开始了对车载和桥梁相互作用研究探索的漫长过程。
振动力学(梁的横向振动)
火箭
火箭的助推梁在发射过程中受到推力的作用会产生横向振动，影响火箭的稳定性和安全性。研究梁的 横向振动有助于优化火箭的结构设计，提高其稳定性和安全性。
06
未来研究方向和展望
理论研究的发展
精确建模
深入研究梁的横向振动特性，建 立更为精确的数学模型，以描述 更为复杂的振动行为。
非线性动力学
研究梁在强振动或接近失稳状态 下的非线性动力学行为，揭示更 为丰富的振动特性。
高层建筑
高层建筑的楼面梁在风、地震等外部激励下会产生横向振动 ，影响楼面设备和人员的安全。研究梁的横向振动有助于优 化高层建筑的结构设计，提高其抗风、抗震性能。
机械系统
机械装备
机械装备中的传动梁、支撑梁等部件在运转过程中会产生横向振动，影响设备的正常运 行和寿命。研究梁的横向振动有助于优化机械设备的结构设计，提高其稳定性和可靠性。
梁的横向振动的重要性
梁的横向振动对结构的稳定性、安全 性和疲劳寿命等都有重要影响，因此 对梁的横向振动的研究具有重要的理 论价值。
随着科学技术的发展，对梁的横向振 动的深入研究可以为新型结构的设计 和优化提供理论支持，促进工程技术 的进步和创新。
02
梁的横向振动的基本理论
线性振动的定义
线性振动
数值模拟与实验验
证
发展更为高效的数值模拟方法， 并加强实验验证，以提高理论模 型的可靠性和实用性。
控制方法的改进
智能控制
利用现代控制理论和方法， 结合智能材料和传感器， 开发更为高效和智能的振 动控制策略。
主动控制
研究和发展更为先进的主 动控制方法，以实现对梁 振动的高效抑制和优化。
混合控制
结合被动控制和主动控制 的优势，开发混合控制策 略，以提高控制效果和降 低能耗。
火箭的助推梁在发射过程中受到推力的作用会产生横向振动，影响火箭的稳定性和安全性。研究梁的 横向振动有助于优化火箭的结构设计，提高其稳定性和安全性。
06
未来研究方向和展望
理论研究的发展
精确建模
深入研究梁的横向振动特性，建 立更为精确的数学模型，以描述 更为复杂的振动行为。
非线性动力学
研究梁在强振动或接近失稳状态 下的非线性动力学行为，揭示更 为丰富的振动特性。
高层建筑
高层建筑的楼面梁在风、地震等外部激励下会产生横向振动 ，影响楼面设备和人员的安全。研究梁的横向振动有助于优 化高层建筑的结构设计，提高其抗风、抗震性能。
机械系统
机械装备
机械装备中的传动梁、支撑梁等部件在运转过程中会产生横向振动，影响设备的正常运 行和寿命。研究梁的横向振动有助于优化机械设备的结构设计，提高其稳定性和可靠性。
梁的横向振动的重要性
梁的横向振动对结构的稳定性、安全 性和疲劳寿命等都有重要影响，因此 对梁的横向振动的研究具有重要的理 论价值。
随着科学技术的发展，对梁的横向振 动的深入研究可以为新型结构的设计 和优化提供理论支持，促进工程技术 的进步和创新。
02
梁的横向振动的基本理论
线性振动的定义
线性振动
数值模拟与实验验
证
发展更为高效的数值模拟方法， 并加强实验验证，以提高理论模 型的可靠性和实用性。
控制方法的改进
智能控制
利用现代控制理论和方法， 结合智能材料和传感器， 开发更为高效和智能的振 动控制策略。
主动控制
研究和发展更为先进的主 动控制方法，以实现对梁 振动的高效抑制和优化。
混合控制
结合被动控制和主动控制 的优势，开发混合控制策 略，以提高控制效果和降 低能耗。
高速电主轴的振动分析
毕业设计（论文）题目高速电主轴的振动分析作者学院专业学号指导教师二〇一一年五月三十日摘要高速加工能显著地提高生产率、降低生产本钱和提高产品加工质量，是制造业进展的重要趋势，也是一项超级有前景的先进制造技术。
实现高速加工的首要条件是高质量的高速机床，而高速机床的核心部件是高速电主轴单元，它实现了机床的“零传动”，简化了结构，提高了机床的动态响应速度，是一种新型的机械结构形式，其性能好坏在专门大程度上决定了整台机床的加工精度和生产效率。
在主轴的动态参数中，振动是最重要的问题之一，包括了丰硕的运行状态信息，是一个动态状态信息库。
因此对高速电主轴进行振动分析相当重要。
本文要紧介绍了高速电主轴的振动机理及相关的防治方法，提出了高速电主轴的检测方式，介绍了虚拟仪器Labview及其仿真进程。
并通过仿真结果对不同因素的振动阻碍进行了直观描述，对前述的理论分析进行了验证。
关键词高速电主轴，Labview仿真，振动分析，虚拟仪器测试ABSTRACTHigh speed machining(HSM)has become the mainstream of manufacturing for drastically increasing productivity,reducing production costs and improving the product quality.HSM is also a promising advanced manufacturing technology.In the realization of HSM,machine tool generally plays an all-important role and high speed motorized spindle is the key technology for a machine tool.The machine tool equipped with high speed motorized spindle has characteristic of the zero-transmission and simplified of the machine structure.With use of new mechanical structure,the high speed motorized spindle has much better dynamic performance in response to the high demands in this machine.In general,overall performance of high speed machine in terms of the machining precision and productivity is largely dependent upon the performance of the equipped high speed motorized spindle.It is storeroom in the dynamic problem of the machine tool which include many information of the dynamic movement on the equipment. So it is very important to analysis the vibration of high-speed electric spindle.This article mainly introduced vibration mechanism and preventing measures of the high-speed electric spindle.It proposes the detection method of high-speed electric spindle and introduces the Labview virtual instrument and its simulation process. Through the simulation results we make intuitionistic description for the influence of vibration ,in different factors and validate the foregoing theoretical analysis. Keywords: high-speed electric spindle, Labview simulation, vibration analysis, Virtual instrument testing目录摘要 (Ⅰ)Abstract (Ⅱ)目录 (Ⅲ)第一章绪论 (1)1.1 引言 (1)1.2 本课题研究的背景和意义 (1)本课题研究的背景 (2)课题的研究意义 (3)1.3 国内外研究现状 (3)电主轴振动分析的研究现状 (3)电主轴振动检测研究现状 (4)1.4 本课题研究内容 (5)第二章高速电主轴振动的产生和特点 (6)2.1 高速电主轴的工作原理和结构 (6). 高速电主轴的工作原理 (6). 高速电主轴的大体结构 (8) (9)2.3 振动的相关介绍 (9)振动的分类 (9)几种振动和冲击信号的特点 (11)2.4高速电主轴振动缘故分析及其操纵方法 (11)电主轴的油膜振荡 (14)电主轴的电磁振动 (16)电主轴的机械振动 (18)第三章振动检测的整体设计及实施 (19) (19) (19)构建实验台 (20)传感器 (20)传感器的位置 (21)的组建与硬件设计 (21)振动信息的读取 (24)转速测量 (25)信号调理 (26)预处置 (27)异样数据的剔除 (27)趋势项的提取或去除 (27) (27)干扰产生的机理 (28)抗干扰方法 (28)第四章振动实验检测与信号分析 (29) (30)4.2 Labview简介 (30)4.3 测量点的布置 (31)4.4 测量进程 (32)4.5 测量结果的仿真分析 (41)第五章总结与展望 (42)参考文献 (44)致谢 (45)第一章绪论现代机械制造工业正朝着高精度、高速度、高效率的方向飞速进展，对加工机床提出了更高的要求，机床的高速化成为目前机床的进展趋势。
梁的横向受迫振动
振动力学
连续系统振动
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连续系统振动
1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动 杆的纵向受迫振动 梁的横向自由振动 梁的横向受迫振动 转动惯量、剪切变形对梁振动的影响 轴向力作用对梁的横向振动的影响 梁横向振动的近似解法
目录
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连续系统振动
1 杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动 1.2固有频率和主振型 1.3主振型的正交性
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样 ，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其 上所有质点都做简谐运动。 可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极 限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dU U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
连续系统振动
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连续系统振动
1 2 3 4 5 6 7 杆的纵向振动 杆的纵向受迫振动 梁的横向自由振动 梁的横向受迫振动 转动惯量、剪切变形对梁振动的影响 轴向力作用对梁的横向振动的影响 梁横向振动的近似解法
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连续系统振动
1 杆的纵向振动
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动 1.2固有频率和主振型 1.3主振型的正交性
1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2u E 2u 1 ( ) 2 q( x, t ) 2 x A t
q( x, t ) 0
得到杆的纵向自由振动微分方程为
2 2u 2 u a 2 t x2
系统是无阻尼的，因此可象解有限多个自由度系统那样 ，假设一个主振动模态即设系统按某一主振型振动时，其 上所有质点都做简谐运动。 可见杆上所有的点将同时经过平衡位置，并同时达到极 限位置。
杆的前三阶主振型表示如图所示。
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1 杆的纵向振动
1.2固有频率和主振型
2. 杆的左端固定，右端自由的情况 边界条件为
U ( x) C cos
px px D sin a a
dU U ( 0) 0 , dx
x l
0
C 0,
p p D cos x 0 a a
p cos l 0 a
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1 杆的纵向振动
1.1等直杆的纵向振动
实际的振动系统，都具有连续分布的质量与弹性，因此， 称之为弹性体系统。 同时符合理想弹性体的基本假设，即均匀、各向同性服从 虎克定律。 由于确定弹性体上无数质点的位置需要无限多个坐标，因 此弹性体是具有无限多自由度的系统，它的振动规律要用时间 和空间坐标的函数来描述，其运动方程是偏微分方程，但是在
梁的横向强迫振动
2
（6.158）
y( x, t ) w( x) sin t
1 w ( x) w( x) p ( x) EJ
IV 4
（6.159）
4 2 其中 a ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解
可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得 1
（6.160）
0 j i 0 i j
l
l
（6.130）
将式（6.130）代入（6.129），得
l 2 l 0 i j i 0
EJY "Y " dx AY Y dx
i j
（6.131）
式（6.128）乘以 l
0
EJY "Y " dx AY Y dx
2 j i j 0 j i
Yi ( x) 并沿梁长对x积分，同样可得到
P(t )Y j (1 ) M (t )Y j ' ( 2 )
上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 筛选性质（见（ 1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 t t
( x)
导数的
1 y( x, t ) Y j ( x)Y j (1 ) P( ) sin j (t )d Y j ' ( 2 ) M ( ) sin j (t )d 0 0 j 1 j
2
（6.126）
式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有
l 2 0 j i i
(EJYi ")" i AYi 2 (EJYj ")" j AYj
l 0 i j
（6.127）
（6.158）
y( x, t ) w( x) sin t
1 w ( x) w( x) p ( x) EJ
IV 4
（6.159）
4 2 其中 a ，相应于上式的齐次方程通解形如式（6.120），非齐次特解
可用如下方法得到，对上式两边作拉氏变换，得 1
（6.160）
0 j i 0 i j
l
l
（6.130）
将式（6.130）代入（6.129），得
l 2 l 0 i j i 0
EJY "Y " dx AY Y dx
i j
（6.131）
式（6.128）乘以 l
0
EJY "Y " dx AY Y dx
2 j i j 0 j i
Yi ( x) 并沿梁长对x积分，同样可得到
P(t )Y j (1 ) M (t )Y j ' ( 2 )
上式也可以根据将（6.153）、（6.154）代入（6.147）并利用 筛选性质（见（ 1.76））而得出。于是，零初始条件下梁的响应为 t t
( x)
导数的
1 y( x, t ) Y j ( x)Y j (1 ) P( ) sin j (t )d Y j ' ( 2 ) M ( ) sin j (t )d 0 0 j 1 j
2
（6.126）
式（6.127）两边乘以并沿梁长对x积分，有
l 2 0 j i i
(EJYi ")" i AYi 2 (EJYj ")" j AYj
l 0 i j
（6.127）
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Ａ ｉ 耵 １ ２ ｓ ｎ （ ＋ ，Ａｖｉ ） ２ ２ｓｓ （ ｒ ｒ ｎ
￣
（ ６ ）
警 Ａ ｉ １Ａ （ ＿ ｎ （ ｓ￣ ｓ （ ［ ｒ 酬 ｖ ｓｘ ＋ｉ） ｎ］
根 据 Ｇ ｌ ｋｎ 法 【， 用 静 止 梁 的 模 态 函 数 ａｅ ｉ方 ｒ 选 ” 为试 函数 ， 考虑 位移 函数 具有 如下 形式解
＋ ＋ 。 耵 尊：
１ 控 制 方 程
。
考 虑 一个 均 匀 黏 弹性 梁 ， 度 为Ｐ 横截 面 积 为 密 ，
，
初始 张 力为 Ｐ， 性模 量 为 ， 性矩 为 黏性 阻 ０弹 惯
尼系数为 。梁在支承两端间距 为 的长度上 以一 致 的轴 向传 输速 度 庞 动 。假 定 梁横 向受 到激 励 力
＝ ：
Ｎｍ （）］ ｋ１一 ， ｑ一１
＋
１ｋ≠ ｍ
．
（ ８ ）
， ，
一 凡
偏 微 分 一积 分模 型 的无量 纲 方 程及 边 界 条 件 分 别
为 Ｃ ８ １
ａ ｐ ｏ ｃ ｅ ｎ ａｕ ａ ｅ ｕ ｎ ｙ ｉ ｅｓ ｐ ｒ ｒｔ ａ ｐ ｅ ｇ ． ｐ ｒ ａ ｈ ｓ ｙｎ ｔ ｒ ｌ ｒ ｑ ｅ ｃ ｔ ｕ ｅ ｃ ｉ ｃ ｌ ｅ ｄｒ ｅ ａ ｆ ｎｈ ｉ ｓ ｎ ａ Ｋｅ ｒ ｓ ：ｖ ｂ ａ ｉ ｎ ａ ｄ ｗａ ｅ ；ｈ ｇ —ｐ ｅ ｘ ａ ｌ ｏ ｉ ｇ ｂ ａ ｙ ｗ０ ｄ ｉｒｔ ｎ ｖ ｏ ｉ ｈ ｓ ｅ ｄ ａ ｉｌ ｍ ｖ ｎ ｅ ｙ ｍ ｒ ｓ ｏ ｓ Ｇａ ｅ ｋ ｎｍ ｅｈ ｄ ｅ ｐ ｎ ｅ； ｌｒ ｉ ｔ ｏ ；ｎ ｎ ｉ ｅ ｒｔ ；ｆ ｒ ｅ ｉ ｒ ｔ ｎ ；ｓｅ ｄ —ｔ ｔ ｏｌ ａ ｙ ｎ ｉ ｏ ｃ ｄ ｖ ｂ ａｉ ｏ ｔａ ｙ ｓａ ｅ
Ｓ ｎｇ ａ ２ ００ ２，Ｃｈ ｎａ ｈａ ｈ ｉ ０ ７ ｉ ；
２ Ｓ ａ ｇ ａ ｎ ｔ ｕｅｏ Ａｐ ｌ ｄＭ ａｈ ｍａｉｓａ ｄＭｅ ｈ ｎｃ ，Ｓ ａ ｇ ａ ｉｅ ｓ ， ． ｈ ｎ ｈ ｉ ｓｉ ｔ ｆ ｐｉ ｔｅ ｔ ｃ ａ ｉｓ ｈ ｎ ｈ ｉ Ｉ ｔ ｅ ｃｎ Ｕｎｖ ｒｉ ｙ ｔ
（ ∑ｇ ｉ（ ） ） Ｎ ）ｎ ，： （Ｓ
（ ７ ）
频率 附近 的主共振现象 。数值算例将给出系统参数 对稳 态 时幅频特 性 曲线 的影 响 。
形 式 解 （） ７ 自然 满 足 边 界 条 件 （） 考 虑 Ⅳ阶 ２。 Ｇ ｌｋｎ 断 ， 式（） ａｅ ｉ截 ｒ 将 ７代入 控制 方 程（）并在 方程 两 ６， 边 同乘 以权 函 数 ｓ （ ｘ， 中 ｍ ＝ ， ，３ … ，Ⅳ， ｉ ｍｐ ）其 ｎ １２ ， 然后 在 区间［，］ ０ １上积 分可得 常微 分方 程组
一
超临界速度下简支边界轴 向运动梁的固有频率 …。 】 超 临 界速 度 范 围 内的研 究 文 献相 当有 限 ， 目前 还未见报道有关匀速轴 向运动梁受迫振动的研究 。 本文考虑简支边界条件下轴向运动梁横 向受到一个
周 期 的 外 激 励 后 所 作 的 微 幅 受 迫 振 动 ， 用 ８阶 采 Ｇ ｌ ｋｎ ａｅ ｉ方法 截 断非线 性积 分 一偏 微分 模型 ， ｒ 并发 展 有 限 差分 格 式 处理 截 断 方程 ， 数值 研 究 前两 阶 固有
Ｓ ＨＡ ０ Ｗｅ － ｎ ，ＺＨＡＮＧ ｏ ｃ ＷＡＮＧ ｉｆｎ ｎ ｙｕ Ｇｕ — ｅ ， Ｚｈ －ｅ ｇ
（ ． ｃ ｏ ｌ ｆ ｃ ａ ｏ ｉｓ ｎ ｉｅｒ ｇａ ｄ ｕｏ ｔ ｎ ｈ ｎ ｈ ｉ ｉｅｓｙ １ Ｓ ｈ ｏ ｏ ｈ ｔ ｎｃ ｇｎ ｅｉ ｔｍａｉ ，Ｓ ａ ｇ ａ ｖ ｒｉ ， Ｍｅ ｒ Ｅ ｎ ｎＡ ｏ Ｕｎ ｔ
向运 动梁 横 向振 动 的非 线 性 偏微 分 一积 分模 型 ， 采 用 ＫＢ 方 法研 究 了两 端简 支 边 界 下轴 向运 动 梁横 Ｍ 向非线 性振 动 的基频 。 １９ 年 ， ａｉｄａ Ｚ ｕ 】 ９ ８ Ｒ ｖｎ ｒ和 ｈ 基 于 １ Ｇａ ｒｉ截 断研 究 了超 临 界速 度 下 简 支 边 界 阶 ｌｋｎ ｅ 轴 向变 速 运 动梁 的混 沌 性 态 。２０ 年 ， 芹 和 何 ０７ 郝 锃 采 用波传 播 法分 析 了两端 固支 轴 向运 动梁 横 向 自 由振 动 的 固有频 率 和模 态 函数 。２ １ 年 ， ｎ 和 ００ Ｄｉｇ
ｍｏ ｉ ｇ ａ ｉｌ ｔ ｈ ｕ ｅ ｃ ｉ ｃ ｌｓ ｅ ｄ ｗａ ｎ ｅ ｔ ａ ｅ ． ｔｗａ ｓ ｕ ｅ ｈ ｅ ｅ ｔｒ ａ ｘ ｉ ｔ ｎ ｉ ｓ ａ ｉｌ ｎ ｆ ｒ ｖ ｎ ｘ ａ ｌ ａ ｅ ｓ ｐ ｒ ｒ ｉａ ｐ ｅ ｓ ｉ ｖ ｓｉ ｔ ｄ Ｉ ｓａ ｓ ｍ ｄ ｔ ａ ｔ ｘ ｅ ｌｅ ｃｔ ｉ ｓ ｐ ｔ ｌ ｕ ｉ ｍ ｙ ｔ ｔ ｇ ｔｈ ｎ ａｏ ａｙ ｏ ａ ｄ ｔ ｍｐ ｒ ｌ ａｍ ｏ ｉ． ｓ ｄ ｏ ｅｃ ｏ ｄ ｎ ｔ ａ ｓ ｏ ， ｏ ｌ ｅ ｒｉ ｔｇ ｏ ｐ ｒｉ ｌ ｉ ｅ ｅ ｔ ｌｅ ｕ ｔ ｎ ｇ ｖ ｒ ｉ ｇ ｔ ｅ ｎ ｅ ｏ ａｌ ｈ ｒ ｎ ｃ Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｏ ｒ ｉ ａｅ ｔｎ ｆ ｒ ａ ｎ ｎ ｉ ａ ｅ ｒ － ａ ｔ — ｆ ｒ ｎ ｉ ｑ ａｉ ｏ ｅ ｎ ｙ ｈ ｒ ｍ ｎ ｎ ａｄ ａ ｏ ｎ ｈ ｓ ｌ ｔ ｎ ｖ ｒｅ ｖｂ ａ ｉ ｎ ｏ ｅｂ ａ ｓｃ ｎ ｔ ｕ ｅ ｙ ｔ ｅ Ｋｅ ｖ ｎ ｍｏ ｅ ． ｅ ｆ ｓ ｔ ｅ ｏ ａ ｃ ｓｗｅ ｅａ ａｙ ｅ ｉ ｅ ｍａ ｌ ｒ ｓ ｅ ｓ ｉ ｒ ｔ ｆｔ ｅ ａ ｏ ｈ ｍ ｗａ ｏ ｓ ｔ ｔｄ ｂ ｈ ｌ ｉ ｄ １ Ｔｈ ｒ ｔ ｗｏ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ ｒ ｎ ｌ ｚ ｄ ｖ ａｔ ｉ ｉ ｈ ８ ｔｒ Ｇａ ｅｋ ｎ ｔｕ ｃ ｔｏ ｅ ｏ ．Ｂａ ｅ ｎ ｔ ｅ Ｇａｅ ｋ ｎ ｔｕ ｃ ｉｎ ｈ ｅ ｆｎ ｔ ｉ ｅ ｅ ｃ ｃ ｅ ｅ ｒ ｅ ｅｏ ｅ ｏ －ｅｍ ｌｒ ｉ ｒ ｎ ａｉ ｎ ｍ ｔ ｄ ｈ ｓ ｄ ｏ ｈ ｌ ｒ ｉ ｒ ｎ ａ ｏ ，ｔ ｉ ｄ ｆ ｒ ｎ ｅ ｓ ｈ ｍ ｓ ｗｅ ｅ ｄ ｖ ｌｐ ｄ ｔ ｔ ｉ ｅ
Ｅ ｍａ ：ｈ ｇ ｕ ｃ ０ ＠ １ ３ ｏ ． — ｉ ｚａ ｇ ｏｅ １ ６ ． ｒ ｌ ｎ ｃｎ
２ １年６ ０２ 月
噪
声
与
振
动
，“ 过 局部 线性 化 结合 Ｇａｅ ｉ截断 方法 研 究 了 ｈｎ ｌｋｎ ｒ
＋ ，＋Ｔ ， ， ＋ｒ ＝ ｓＪ ＋ ２ １ ＋ ｃ， ６ｏ（ｔ ｙ ｃ ｏ）
ｃ ｍｐ ｔ ｈ ｔ ｂ ｅ ｓｅ ｄ —ｔｔ ｅ ｐ ｎ ｅ ｍ ｅ ｉ ａ ｉ ｌ ｔ ｎ ｓ ｌｙ ｔ ａ ｈ ｅ ｏ ａ ｃ ｃ ｕ ｓ ｉ ｅ ｌａ ｒ ｑ ｅ ｃ ｏ ｕ ｅ ｔ ｅ ｓａ ｌ ｔ ａ ｙ ｓａｅ ｒ ｓ ｏ ｓ ．Ｎｕ ｒｃ ｌｓｍｕ ａｉ ｓ ｄ ｐ ａ ｔ ｔ ｅ ｒ ｓ ｎ ｎ ｅ ｏ ｃ ｒ ｆ ｔ ｏ ｄ ｆｅ ｕ ｎ ｙ ｏ ｉ ｈ ｈ
Ｂ ｏ（ 而 振 动 ， 平 面 内只 有 横 向位 移 Ⅵ ｃｓＯ － 在 。 为 时 间 ， 为轴 向坐标 。在 两端 简 支边 界 下 ， 弹 黏
性遵 从 传统 的 Ｋｅ ｉ本 构 关系 的超 临界 轴 向运动 梁 ｌｎ ｖ
６０ 一 砰 Ａ ） ｃ（ （ ｓ
ｄ ａ ＋ ， ｍ ４ ， ｙ
许 多 工 程 装 置 的 基 本 元 件 ， 如 动 力 传 送 比 带 、 锯 、 中缆 车索 道 、 带 空 单索架 空 索道 ｃ 以 ，
收 稿 日期 ： ０ １０ —１ 修 改 日期 ：０ １０ ．１ ２ １－７ １； ２ １－８１
及 高速 流 动 的输液 管 道 等 均可 模 型化 为轴 向运动 梁 。 １ ９ 年 ， ｃ ｅｔ 于准 静态 应 力假 设 建立 了轴 ９ ２ Ｗｉ ｒ基 ｋ
Ｓ ａ ｇ ａ ２ ０ ９ ，Ｃ ｉａ ｈ ｎ ｈ ｉ ０ ０ ２ ｈｎ ）
Ａｂ ｔ ｃ Ｔｈ ｔａ ｙ ｓａ ｅｐ ｒｏ ｉ ｅ ｐ ｎ ｅ ｏ ａ ｓ ｅ ｓ ｌ ｏ ｃ ｄ ｖ ｂ ａｉ ｎ ｏ ｉ ｌ ｕ ｐ ｒｅ ｉｃ ｅ ａ ｔ ｅ ｍ ｓ ａ ｔ： ｅ ｓｅ ｄ — ｔｔ ｅ ｉ ｄ ｃ ｒ ｓ ｏ ｓ ｆｔ ｎ ｖ ｒｅ ｙ ｆ ｒ ｅ ｉ ｒ ｔ ｆａ ｓ ｒ ｒ ｏ ｍｐ ｙ ｓ ｐ ｏ ｔ ｄ ｖ ｓ ｏ ｌ ｓｉ ｂ ａ ｃ
基金项 目：上 海 市 机 械 自动 化 及 机 器 人 重 点 实 验 室
（ ｚ ８ ４； 海 市 重 点 学 科 建 设项 目（３ １６ ｚ ｏ ｏ）上 ￥００）
作者简 介： 邵文韫（９ ０ １ １７ ． ，女， 江桐庐人 ， 浙 讲师 ， 在职博 士 生， 从事机器人应用研 究。
通 讯 作 者 ： 国 策 ， ， 士生 。 张 男 博
Ｓｈ ｎ ｈａ ０ ７ Ｃｈ ｎ ； ａ ｇ ｉ ２０ ０ ２， ｉ ａ
３ Ｓ ａ ｇ ａ ｏ ｔ ＆ Ｔ ｌ ｃ ｍｍ ｕ ｉ ａｉ ｎ ｓｇ ｉ ｇ Ｃｏ ｓ ｌ ｎ ｓｉ ｔ ． Ｌ ｄ ． ｈ ｎ ｈ ｉ ｓｓ Ｐ ｅｅ ｏ ｎｃ ｔ ｓ ｏ Ｄｅ ｉｎ ｎ ｎ ｕ ｔ ｇ Ｉ ｔ ｅ Ｃｏ ， ｔ ， ｉ ｎ ｔ ｕ
高速轴 向运动梁横向受迫振动的稳态分析
２ ５
文章 编号 ： ０ ６ １ ５ （０ ２０ —０ ５０ １０ —３ ５２ １）３０ ２ －４
－ ＿＿ ＿
ｌ
Ｃｊ
同
速 轴 向运 动 梁横 向受迫 振 动 的稳 态 分 析
邵文韫 ，张国策 ，王志锋 。
（． １上海大学 机 电工程与 自 动化学院， 上海 ２０ ７ ； ００ ２ ２上海大学 上海市应 用数学和力学研究所， ． 上海 ２ ０７ ； ００ ２ ３ 上海邮电设计咨询研究院有 限公 司，上海 ２ ０９ ） ． ０ ０２
摘 要： 在两端简支边界条件下， 研究超 临界速度范 围内轴 向运动梁横 向非线性受迫振动 的稳态响应 。考虑 Ｋ ｌｉ ｅ ｎ ｖ