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第14讲等腰三角形
知识总结归纳
一. 等腰三角形的性质
（1）等边对等角：等腰三角形的底角相等
（2）等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 二. 三线合一
（1）“三线合一”：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线与底边上的高相互重合
（2）“三线合一”逆定理：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重
合在一起，则该三角形必是等腰三角形．
典型例题
【例1】 （1）已知ABC △中，AB AC =，求证：B C ∠=∠． （2）已知ABC △中，B C ∠=∠，求证：AB AC =．
【例2】 证明：等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线与底边上的高相互重合．
【例3】 证明：如果一个三角形的某个角的平分线、对边中线或者对边上的高有两条重合在一起，则该
三角形必是等腰三角形．
【例4】 （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ，求此三角形的周长．（2）已知等腰三
角形的周长为13，其一边长为3，则其他两边长为多少？
【例5】 已知：ABC △是等腰三角形，70A ∠=，求B ∠．
【例6】 等腰三角形被一条直线分成两个较小的三角形也是等腰三角形．这个等腰三角形的顶角可能
是多少？
【例7】 如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 分别在AC 、AB 上，BD BC =，AD DE BE ==，求A
∠的度数．
【例8】 如图，O 是等边ABC △内一点，OCB ABO ∠=∠，求BOC ∠的度数．
【例9】 如图，ABC △是等边三角形，D 为BC 边上的一点，在ABC △的外角平分线CE 上取点E ，使CE BD =，连接AE 、DE ．请判断ADE △的形状，并说明理由．
【例10】 如图，ABC △中，AB AC =，120BAC ∠=，DE 垂直平分AC 交BC 于D ，垂足为E ，
2cm DE =，C
A B
C A
B E
D
C B A
O
C B
A E
D
C B
A
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求BC 长．
【例11】 如图，在ABC △中，AB AC =，D 在BC 边上，30BAD ∠=，在AC 边上取点E ，使AE AD =．
求EDC ∠的度数．
【例12】 如图，若AB AC =，BG BH =，AK KG =，则BAC ∠的度数是多少？
【例13】 如图，若1AA 、1BB 分别是EAB ∠、DBC ∠的平分线，若11AA BB AB ==，求BAC ∠的度数．
【例14】 如图，在ABC △中，D 是BC 的中点，DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，DE DF =，求证：
AB AC =． 【例15】 如图，在ABC △中，AE 平分BAC ∠，DCE B ACB ∠=∠-∠，求证：DCE △是等腰三角形．
【例16】 如图，已知AB CD =，A D ∠=∠，求证：B C ∠=∠．
【例17】 如图，ABC △中，BD DC =，ABD ACD ∠=∠，求证：AD BC ⊥．
【例18】 如图，在ABC △中，//DE BC ，FB 、FC 分别平分ABC ∠和ACB ∠．求证：DE BD CE =+．
【例19】 如图，在ABC △中，AE 垂直于ABC ∠的平分线于E ，并交ACB ∠的平分线于F ，过F 作
MN BC ∥并交AB 于M ，交AC 于N ，求证：MN AM CN =+．
【例20】 如图，90ACB ∠=，AC BC =，D 为BC 的中点，AD ，垂足为点E ，BF AC ∥CE 的延长线于点F ．求证：AB 垂直平分DF ．
【例21】 如图，等腰直角ABC △中，90ACB ∠=，D 是BC 的中点，CE AD ⊥于F 交AB 于E ，CDF BDE ∠=∠． 【例22】 如图，在ABC △中，AB AC =，36A ∠=，BE 平分ABC ∠，AD DB =，DE 交BC 延长线于
F ，求证：AB CF =．
E D
C B A
G
K H C B
A B C D E A
A E
F C B D
E
D
B A
D
C B A
B A
C D
M B E F
N D
A
C F
B
A C
E
D
E D
C
B
A
E
F B C
A D F E D
C B
A
F
E
D
C B A
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作业
1. 已知：ABC △是等腰三角形，80A ∠=，求B ∠．
2. （1）如果一个等腰三角形的两边长分别是4cm 和7cm ，求此三角形的周长．
（2）已知等腰三角形的周长为15，其一边长为4，则其他两边长为多少？
3. 如图，在ABC △中，12ABC ∠=，132ACB ∠=，BM 和CN 分别是这两个角的外角平分线，且点
M 、N 分别在直线AC 、AB 上．证明：BM CN =．
4. 如图，在ABC △中，DE BC ∥，FB 、FC 分别平分ABC ∠和ACB ∠．若9BD CE
+=，求线段DE 的长．
5. 如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 分别是BC 、AC 上的点．问BAD ∠与CDE ∠满足什么条件时，AD AE =，写出你的推理过程．
6. 如图，在正方形ABCD 中，PBC △、QCD △是两个等边三角形，BP 与DQ 交于M ，与CQ 交于
E ，CP 与DQ 交于
F ．求证：PM QM =． 7. 如图，在Rt ABC △中，AB AC =，点D 、E 是线段AC 上两动点，且AD EC =，AM BD
⊥，垂足为M ，AM 的延长线交BC 于点N ，直线BD 与直线NE 相交于点F ．求证：DEF △为等腰三角
形．
M
D F C
E
N
B
A
A B
M C
N
F E D
C B A A
E D C B M B D C
A E Q F P
